Utilizarea Anomaliilor Bouger Locale Pentru Determinarea Str
-
Upload
gigi-marga -
Category
Documents
-
view
44 -
download
5
description
Transcript of Utilizarea Anomaliilor Bouger Locale Pentru Determinarea Str
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI FACULTATEA DE GEODEZIE
TEZĂ DE DOCTORAT
UTILIZAREA ANOMALIILOR BOUGUER LOCALE PENTRU DETERMINAREA STRUCTURII PĂRŢII
SUPERIOARE A CRUSTEI TERESTRE
CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC: Prof. dr. ing. GHIŢĂU Dumitru
ing. MARINESCU Mirel George
2 0 0 2
Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti (UTCB)
iii
MULŢUMIRI
Această lucrare reprezintă rezultatul a şase ani dedicaţi studiului geodeziei fizice, de-a lungul cărora s-au succedat alternativ momente interesante sub aspect profesional şi ştiinţific cu momente mai dificile... Peste toate acestea am trecut cu bine cu sprijinul mai multor oameni faţă de care voi rămâne profund îndatorat şi cărora le adresez cele mai calde şi sincere mulţumiri. În mod deosebit doresc să mulţumesc conducătorului meu ştiinţific, domnul prof. dr. ing. Dumitru Ghiţău, pentru numeroasele sfaturi şi indicaţii oferite şi pentru răbdarea, căldura şi amabilitatea pe care le-a manifestat faţă de mine în tot acest timp. De asemenea, îi sunt recunoscător domnului prof. dr. ing. Marian Ivan de la Facultatea de Geofizică din Universitatea Bucureşti pentru bibliografia şi ajutorul acordat în aprofundarea analizei spectrale. Calde mulţumiri aduc membrilor Comisiei de Doctorat formată din:
• prof. dr. ing. Johan Neuner, preşedinte; • prof. dr. ing. Dumitru Ghiţău, conducător ştiinţific; • prof. dr. ing. Lucian Turdeanu, membru; • col. dr. ing. Ştefan Cantaragiu, membru; • col. dr. ing. Corneliu Serediuc, membru,
care au avut bunăvoinţa să citească şi să aprecieze această lucrare, făcând observaţii utile şi pertinente. Cu respect mulţumesc domnului prof. dr. ing. Petre Pătruţ – rectorul Universităţii Tehnice de Construcţii Bucureşti şi domnului cdor. ing. Pavel Mîţiu – şeful Centrului de Testare-Evaluare şi Cercetare Ştiinţifică Armamente din Agenţia de Cercetare pentru Tehnică şi Tehnologii Militare, pentru sprijinul acordat pe toată perioada pregătirii şi elaborării tezei de doctorat. În acelaşi cadru al recunoaşterii ajutorului primit, autorul mulţumeşte colegilor care prin prietenia şi preocupările lor individuale au contribuit la crearea unui climat benefic activităţii de studiu şi cercetare ştiinţifică în Colectivul de Geodezie din care face parte. Exprim sincere mulţumiri fratelui meu, absolvent de Master în Statistică al Universităţii Statului Ohio, pentru indicaţiile privind elaborarea capitolului 4, precum şi pentru întreaga bibliografie de geostatistică pusă la dispoziţie. În încheiere doresc să-i mulţumesc mamei mele care m-a sprijinit în permanenţă pe tot parcursul lung şi dificil al elaborării prezentei lucrări.
iv
v
REZUMAT
În lucrare se prezintă unele posibilităţi de poziţionare a unei falii tectonice seismic-
active folosind anomalii gravimetrice locale, anomalii ale gradientului vertical al gravităţii şi
anomalii ale derivatelor verticale de ordinul II ale gravităţii determinate din măsurători
gravimetrice de precizie. Falia avută în vedere a fost pusă evidenţă, de asemenea, de către
specialişti din Institutul Naţional pentru Fizica Pământului (Bucureşti) în cadrul unor
prospecţiuni seismometrice efectuate în urmă cu mai mulţi ani.
ABSTRACT
The thesis presents some possibilities of positioning a seismic-active tectonic fault using
local gravity anomalies, vertical gradient anomalies of the gravity field, and second order
derivative anomalies of the gravity field computed from accurate gravity measurements.
Specialists from the National Institute for Earth’s Physics (Bucharest) have also exposed the
fault taken into consideration while carrying out seismic shooting years ago.
RESUME
La thèse présente des possibilités de positionnement d’une faille tectonique sismique-
active en utilisant des anomalies résiduelles, des anomalies du gradient vertical de la pesanteur
et des anomalies de dérivées secondes de la pesanteur déterminées à partir de mesures
gravimétriques très précises. Des spécialistes de L’Institut National pour la Physique du Globe
(de Bucarest) ont mis également en évidence la même faille lors des prospections sismiques
faites il y a quelques années.
Cuvinte cheie: geodezie fizică, falie tectonică, anomalie gravimetrică, filtrare
vi
Dedic această lucrare memoriei tatălui meu (1939 – 1997)...
... pentru că a avut întotdeauna încredere în mine
şi m-a încurajat să mă înscriu la doctorat.
vii
CUPRINS 1. INTRODUCERE .................................................................................................................................................. 1 2. UTILIZAREA ANOMALIILOR BOUGUER PENTRU DETERMINAREA STRUCTURII PĂRŢII
SUPERIOARE A CRUSTEI TERESTRE......................................................................................................... 5 2.1 Geomorfologia planetară ...................................................................................................................................... 5 2.2 Geomorfologia tectono-structurală ..................................................................................................................... 11 2.3 Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre .................... 20 3. ANOMALIILE GRAVITĂŢII .......................................................................................................................... 25 3.1 Anomalia Faye.................................................................................................................................................... 26 3.2 Anomaliile Bouguer............................................................................................................................................ 32
3.2.1 Anomalia Bouguer incompletă .................................................................................................................. 32 3.2.2 Anomalia Bouguer completă ..................................................................................................................... 34 3.2.3 Anomalia Bouguer perfecţionată (simplă) ................................................................................................. 35
4. METODE DE INTERPOLARE FOLOSITE ÎN GEODEZIA FIZICĂ ........................................................ 41 4.1 Interpolarea în contextul geodeziei fizice ........................................................................................................... 41 4.2 Metode de construire a gridului anomaliilor Bouguer ........................................................................................ 63
4.2.1 Realizarea gridului elastic.......................................................................................................................... 65 4.2.1.1 Interpretarea condiţiei de minim a funcţiei E )g( g∆ ..................................................................... 65 4.2.1.2 Expresia matriceală a funcţiilor K )g( g∆ şi )g( g∆G ................................................................... 67 4.2.1.3 Minimizarea funcţionalei pătratice )g()g()g( ggg ∆∆∆ GKE += ................................................... 68 4.2.1.4 Rezolvarea sistemului FΑ∆gg = .................................................................................................. 70 4.2.1.5 Stabilirea vectorului soluţiilor – g
0∆g pentru prima iteraţie ......................................................... 71
4.2.1.6 Netezire versus ajustare ................................................................................................................. 72 4.2.2 Realizarea gridului de tip spline ''placă subţire'' şi a gridului spline pseudo-cubic .................................... 73
4.2.2.1 Gridul spline de tip ''placă subţire'' de interpolare ......................................................................... 73 4.2.2.2 Gridul spline de tip "placă subţire" de ajustare.............................................................................. 74 4.2.2.3 Gridul elastic – aproximare discretă a gridului spline ''placă subţire'' de ajustare ......................... 75
4.2.3 Realizarea gridului prin kriging ................................................................................................................. 75 4.2.3.1 Krigingul universal ........................................................................................................................ 77 4.2.3.2 Gridul spline de tip ''placă subţire'' – caz particular al krigingului universal ................................. 80
4.3 Metode de îndesire a gridului anomaliilor Bouguer ........................................................................................... 81 4.3.1 Folosirea funcţiei spline bicubice complete de tipul I (Algoritmul Kubic-Botman).................................. 84 4.3.2 Folosirea funcţiei spline bicubice incomplete de tipul I............................................................................. 88
4.4 Metode de interpolare într-un element finit rectangular al gridului.................................................................... 89 4.4.1 Cazul în care se consideră o fereastră de interpolare cu dimensiunile egale cu cele ale elementului
finit rectangular al gridului......................................................................................................................... 90 4.4.1.1 Interpolarea biliniară...................................................................................................................... 90
4.4.2 Cazul în care se consideră o fereastră de interpolare cu dimensiunile mai mari decât cele ale elementului finit rectangular al gridului ..................................................................................................... 91 4.4.2.1 Interpolarea folosind o funcţie spline cubică naturală (Algoritmul lamei flexibile) ...................... 91 4.4.2.2 Interpolarea folosind metoda celor mai mici pătrate...................................................................... 96
viii
5. CONTRIBUŢII ALE GEODEZIEI FIZICE LA DELIMITAREA ZONELOR DE STRUCTURĂ DIN INTERIORUL PĂMÂNTULUI........................................................................................................................ 97
5.1 Anomalia Bouguer regională şi anomalia Bouguer locală .................................................................................. 98 5.2 Anomaliile continuate analitic ale gravităţii ..................................................................................................... 100 5.3 Anomaliile derivatelor verticale ale gravităţii................................................................................................... 104
5.3.1 Anomalia gradientului vertical (anomalia derivatei verticale de ordinul I) ............................................. 104 5.3.2 Anomalia derivatei verticale de ordinul II ............................................................................................... 116
6. STUDIU DE CAZ ............................................................................................................................................. 119 6.1 Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani ..................................................................................................... 119
6.1.1 Consideraţii geonomice privind amplasarea ............................................................................................ 120 6.1.2 Reţeaua geodezică.................................................................................................................................... 121 6.1.3 Măsurători geodezice efectuate în poligon............................................................................................... 122 6.1.4 Rezultate obţinute din măsurătorile geodezice de poziţie ........................................................................ 123
6.2 Măsurători efectuate şi rezultatele obţinute ...................................................................................................... 124 6.2.1 Măsurători efectuate................................................................................................................................. 124 6.2.2 Rezultatele obţinute.................................................................................................................................. 124
6.3 Comentarii ........................................................................................................................................................ 193 7. CONCLUZII ..................................................................................................................................................... 199 ANEXA 1 – ATRIBUTELE PRINCIPALE ALE PUNCTELOR REŢELEI GRAVIMETRICE DIN
POLIGONUL GEODINAMIC GRUIU – CĂLDĂRUŞANI LA EPOCA 1993.8...................... 203 ANEXA 2 – ATRIBUTELE PRINCIPALE ALE PUNCTELOR REŢELEI GRAVIMETRICE DIN
POLIGONUL GEODINAMIC GRUIU – CĂLDĂRUŞANI LA EPOCA 1995.8...................... 219 ANEXA 3 – MODALITATEA DE OBŢINERE A ECUAŢIILOR SISTEMULUI (5.47) ............................. 235 BIBLIOGRAFIE................................................................................................................................................... 247 INDEX ................................................................................................................................................................... 259 ACRONIME.......................................................................................................................................................... 261
ix
LISTA FIGURILOR Fig. 2.1 Greutatea (după GHIŢĂU 1983). ................................................................................................................ 6 Fig. 2.2 Geoidul terestru (după MARTY 2000)........................................................................................................ 7 Fig. 2.3 Structura radială a Pământului (după CAZENAVE 1994). ......................................................................... 8 Fig. 2.4 Diferite tipuri de crustă (după GRASU 1997). ............................................................................................ 8 Fig. 2.5 Raportul manta-crustă-litosferă. .................................................................................................................. 9 Fig. 2.6 Structura părţii superioare a Pământului şi consecinţa fenomenelor din manta asupra dinamicii
litosferei (după DIETZ 1972 – din GRASU 1997).................................................................................... 10 Fig. 2.7 Coordonatele cinematice ale plăcilor tectonice (după DEWEY 1976 – din GRASU 1997). .................... 12 Fig. 2.8 Răspunsurile crustei terestre supusă la compresiuni şi distensiuni pure
(după ANDERSON 1971 – din GRASU 1997): 1 – cutare; 2 – încălecare; 3 – subducţie; 4 – îngroşare; 5 – riftogeneză; 6 – structuri de afundare; 7 – subţiere. ................................................. 12
Fig. 2.9 Câteva tipuri de deformări ale crustei terestre supusă la tensiuni combinate (după MATTAUER 1980 – din GRASU 1997): 1 – compresiune şi culisare; 2 – compresiune oblică; 3 – distensiune şi culisare; 4 – distensiune oblică............................................... 13
Fig. 2.10 Plăcile tectonice utilizate de modelele NUVEL. ....................................................................................... 17 Fig. 2.11 Segmentele de microplăci litosferice pe teritoriul României (după AIRINEI 1977)................................. 18 Fig. 2.12 Harta anomaliilor gravimetrice (în mgal) determinate din măsurători altimetrice efectuate de satelitul
Geosat la sud de paralela de 30°S (după MORGAN şi SANDWELL 1994 – din CAZENAVE 1994). ... 21 Fig. 2.13 Porţiune din dorsala medio-atlantică şi din zona de subducţie a insulelor Sandwich
(după SANDWELL şi SMITH 1992 – din CAZENAVE 1994)................................................................ 21 Fig. 2.14 Schema structurală interpretativă a regiunii L’Adrar des Inforas (după SAÏDOU 1979).......................... 23 Fig. 3.1 Anomalie gravimetrică. ............................................................................................................................. 25 Fig. 3.2 Reducerea Faye.......................................................................................................................................... 27 Fig. 3.3 Schiţele pilaştrilor geodezici din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani.......................................... 28 Fig. 3.4 Reducerea de strat intermediar. ................................................................................................................. 32 Fig. 3.5 Atracţia maselor topografice asupra punctului P situat pe suprafaţa fizică a Pământului.......................... 33 Fig. 3.6 Corecţia de relief........................................................................................................................................ 36 Fig. 3.7 Justificarea semnului corecţiei de relief..................................................................................................... 36 Fig. 3.8 Geometrizarea terenului în jurul punctului P pentru calculul corecţiei de relief. ...................................... 38 Fig. 3.9 Atracţia prismei curbilinii αβγδ asupra punctului de staţie P situat pe suprafaţa fizică a Pământului. ..... 38 Fig. 3.10 Atracţia unei calote sferice calculate prin cumul din tabelele lui Cassinis pentru ρ = 1
(după FAVRE 1958).................................................................................................................................. 39 Fig. 4.1 Aproximarea unidimesională a unei funcţii de o variabilă. ....................................................................... 41 Fig. 4.2 Semnificaţia corespondenţei )p(gp ∆→ în cazul unui sistem tridimensional de coordonate. .................. 45 Fig. 4.3 Interpolarea biliniară.................................................................................................................................. 47 Fig. 4.4 Exemplu de suprafaţă rectangulară biliniară.............................................................................................. 47 Fig. 4.5 Graficul funcţiei U(t). ................................................................................................................................ 48 Fig. 4.6 Interpolarea bicubică. ................................................................................................................................ 49 Fig. 4.7 Interpretarea fizică a proprietăţii de derivabilitate a funcţiei U. ................................................................ 49 Fig. 4.8 Suprafaţa rectangulară bicubică. ................................................................................................................ 51 Fig. 4.9 Importanţa analizei continuităţii spaţiale a datelor. ................................................................................... 52 Fig. 4.10 Convenţia început – sfârşit (după DEUTSCH 1998). ............................................................................... 53 Fig. 4.11 Modul de realizare al unui s-grafic............................................................................................................ 53 Fig. 4.12 Modul de obţinere al semi-variogramei experimentale. ............................................................................ 54 Fig. 4.13 Parametrii semi-variogramei. .................................................................................................................... 55
x
Fig. 4.14 Modelul exponenţial. .............................................................................................................................. ... 57 Fig. 4.15 Modelul gaussian. ..................................................................................................................................... 57 Fig. 4.16 Modelul pătratic. ........................................................................................................................................ 57 Fig. 4.17 Modelul pătratic raţional. .......................................................................................................................... 57 Fig. 4.18 Modelele putere. ........................................................................................................................................ 58 Fig. 4.19 Modelul liniar. ....................................................................................................................................... .... 58 Fig. 4.20 Modelul undă. ........................................................................................................................................... 58 Fig. 4.21 Modelul sferic. ........................................................................................................................................... 58 Fig. 4.22 Modelul logaritmic. .................................................................................................................................. 58 Fig. 4.23 Profiluri ipotetice de valori care ilustrează relaţiile dintre media locală şi abaterea standard locală.
În fig. (a), media locală, reprezentată printr-o linie dreaptă/curbă şi abaterea standard sunt constante. În fig. (b), media este caracterizată de o anumită tendinţă, în timp ce abaterea standard rămâne cons- tantă. În fig. (c), media este constantă, în timp ce abaterea standard este caracterizată de o anumită tendinţă, iar în fig. (d), atât media cât şi abaterea standard sunt caracterizate de o anumită tendinţă (după ISAAKS 1989)................................................................................................................................. 59
Fig. 4.24 Reprezentarea grafică a funcţiei de covarianţă. ......................................................................................... 61 Fig. 4.25 Lungimea de undă. .................................................................................................................................... 63 Fig. 4.26 Interpretarea geometrică a condiţiei de minim a funcţiei )g(K g∆ ........................................................... 66 Fig. 4.27 Interpretarea fizică a condiţiei de minim a funcţiei )g(E g∆ . ................................................................... 66 Fig. 4.28 Aspectul grafic al funcţiei g∆ corespunzător unor diverse criterii de minimizare. .................................. 66 Fig. 4.29 Stabilirea vectorului soluţiilor g∆g 0 pentru prima iteraţie. ........................................................................ 71 Fig. 4.30 Elementele finite rectangulare Ω m,n din jurul punctului l,cp . ................................................................. 83 Fig. 4.31 Îndesirea gridului anomaliilor Bouguer. .................................................................................................... 84 Fig. 4.32 Element finit pătratic de latură l = 1. ......................................................................................................... 85 Fig. 4.33 Ferestre de interpolare cu diferite dimensiuni. .......................................................................................... 90 Fig. 4.34 Interpolarea biliniară într-un element finit rectangular.............................................................................. 91 Fig. 4.35 Fereastră de interpolare de dimensiuni 3 x 3. ............................................................................................ 91 Fig. 4.36 Subintervalele de definire ale funcţiei spline............................................................................................. 93 Fig. 4.37 Fereastră de interpolare de dimensiuni (2k – 1) x (2k – 1). ....................................................................... 96 Fig. 5.1 Amplasarea simetrică a punctelor 0M şi *
0M faţă de planul (xOy). ...................................................... 101 Fig. 5.2 Configuraţia de puncte pentru reţeaua de pătrate..................................................................................... 103 Fig. 5.3 Schema generală de filtrare în domeniul spectral (după IVAN 1994). .................................................... 106 Fig. 5.4 Reprezentarea caracteristicii teoretice a filtrului pentru gradientul vertical............................................. 109 Fig. 5.5 Caracteristica de transfer a filtrului pentru calculul anomaliilor gradientului vertical............................. 115 Fig. 6.1 Microplăcile tectonice pe teritoriul României (după AIRINEI 1977)...................................................... 119 Fig. 6.2 Consideraţii privind amplasarea Poligonului Geodinamic Gruiu – Căldăruşani
(după CORNEA 1980)............................................................................................................................. 120 Fig. 6.3 Reţeaua gravimetrică din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani. .................................................. 122 Fig. 6.4 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru:
(a) anomaliile Faye. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer incomplete. Epoca 1993.8.................................................................................. 125
Fig. 6.5 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru: (a) anomaliile Bouguer complete. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer perfecţionate (simple). Epoca 1993.8 ................................................................ 126
Fig. 6.6 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru: (a) anomaliile Bouguer regionale. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer locale. Epoca 1993.8.......................................................................................... 126
Fig. 6.7 Anomalia Faye (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 .................................................................................... 127 Fig. 6.8 Anomalia Faye (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 .................................................................................... 129 Fig. 6.9 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 ........................................................... 131 Fig. 6.10 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 ........................................................... 133 Fig. 6.11 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 .............................................................. 135 Fig. 6.12 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 .............................................................. 137 Fig. 6.13 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 ........................................................ 139 Fig. 6.14 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 ........................................................ 141
xi
Fig. 6.15 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 2D). Epoca 1993.8.............................................................. 143 Fig. 6.16 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 3D). Epoca 1993.8.............................................................. 145 Fig. 6.17 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 ................................................................... 147 Fig. 6.18 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 ................................................................... 149 Fig. 6.19 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 ........................................ 151 Fig. 6.20 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 ........................................ 153 Fig. 6.21 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1993.8........................ 155 Fig. 6.22 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1993.8........................ 157 Fig. 6.23 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru:
(a) anomaliile Faye. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer incomplete. Epoca 1995.8.................................................................................. 159
Fig. 6.24 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru: (a) anomaliile Bouguer complete. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer perfecţionate (simple). Epoca 1995.8 ................................................................ 159
Fig. 6.25 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru: (a) anomaliile Bouguer regionale. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer locale. Epoca 1995.8.......................................................................................... 160
Fig. 6.26 Anomalia Faye (reprezentare 2D). Epoca 1995.8.................................................................................... 161 Fig. 6.27 Anomalia Faye (reprezentare 3D). Epoca 1995.8.................................................................................... 163 Fig. 6.28 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 2D). Epoca 1995.8 ........................................................... 165 Fig. 6.29 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 3D). Epoca 1995.8 ........................................................... 167 Fig. 6.30 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 2D). Epoca 1995.8 .............................................................. 169 Fig. 6.31 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 3D). Epoca 1995.8 .............................................................. 171 Fig. 6.32 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 2D). Epoca 1995.8........................................................ 173 Fig. 6.33 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 3D). Epoca 1995.8........................................................ 175 Fig. 6.34 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 2D). Epoca 1995.8.............................................................. 177 Fig. 6.35 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 3D). Epoca 1995.8.............................................................. 179 Fig. 6.36 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 2D). Epoca 1995.8 ................................................................... 181 Fig. 6.37 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 3D). Epoca 1995.8 ................................................................... 183 Fig. 6.38 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1995.8 ........................................ 185 Fig. 6.39 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1995.8 ........................................ 187 Fig. 6.40 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1995.8........................ 189 Fig. 6.41 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1995.8........................ 191 Fig. 6.42 Profilul anomaliilor gravităţii pe direcţia NV-SE.................................................................................... 193 Fig. 6.43 Împărţirea fictivă a gridului anomaliilor gradientului vertical în ferestre de dimensiuni 5 x 5
cu suprapunere pe o distanţă egală cu de două ori mărimea pasului gridului. ......................................... 194 Fig. 6.44 Indicele V (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 ........................................................................................... 195 Fig. 6.45 Indicele V (reprezentare 2D). Epoca 1995.8 ........................................................................................... 197 Fig. A1.1 Schiţa reţelei gravimetrice din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani. Epoca 1993.5 .................. 205 Fig. A2.1 Schiţa reţelei gravimetrice din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani. Epoca 1995.5 .................. 221
xii
LISTA TABELELOR Tabelul 2.1 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NUVEL-1 (1990) – Pacific Plate Fixed. ................ 14 Tabelul 2.2 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NNR-NUVEL-1 (1991) – No Net Rotation. .......... 15 Tabelul 2.3 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NUVEL-1A (1994) – Pacific Plate Fixed. ............. 15 Tabelul 2.4 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NNR-NUVEL-1A (1991) – No Net Rotation. ....... 16 Tabelul 2.5 Elementele caracteristice ale modelului cinematic APKiM................................................................... 16 Tabelul 3.1 Calculul gradientului normal al gravităţii pentru elipsoidul Krasovski (B = 45°). ................................ 30 Tabelul 3.2 Calculul constantei k pentru o paletă circulară cu razele de 50, 100, 200 şi 400 m şi cu ∆A = 25G. ..... 40 Tabelul 4.1 Explicitarea coeficientului Q )s'(Q)r'cc( +−+− ll din relaţia (3.5). ...................................................... 46 Tabelul 4.2 Explicitarea coeficientului )s'(U)r'cc(U +−+− ll din relaţia (3.19)..................................................... 48 Tabelul 5.1 Valorile coeficienţilor care intervin în relaţia (5.12). .......................................................................... 103 Tabelul 5.2 Soluţiile sistemului generat de condiţia (3.28)..................................................................................... 112 Tabelul 5.3 Soluţiile sistemului generat de condiţiile (3.4) şi (3.42). ..................................................................... 114
Capitolul 1
INTRODUCERE
Necesitatea vitală a cunoaşterii mediului în care omul îşi desfăşoară activitatea socială şi
economică a determinat apariţia din cele mai vechi timpuri a preocupărilor pentru aflarea
formei şi dimensiunii Pământului, precum şi pentru descrierea sau reprezentarea suprafeţei
acestuia. Concepţiile şi cunoştinţele privind forma Pământului şi poziţia lui printre celelalte
corpuri cereşti au evoluat şi s-au aprofundat odată cu progresul general al ştiinţelor, în special al
matematicii şi astronomiei.
Deşi volumul de date privind Pământul acumulate în decursul timpului prin aportul
conjugat al tuturor geo-ştiinţelor este imens şi continuă să crească zi de zi, oamenii cunosc prea
puţin despre planeta pe care trăiesc.
Studiul Pământului ca planetă a sistemului solar, cu implicaţii profunde pe plan
ştiinţific, economic şi social-politic, s-a putut extinde pe măsura dezvoltării ştiinţelor
geonomice, fiecare cu metode şi tehnologii proprii de investigare. Astfel, din punct de vedere
fizic, Pământul, considerat la un moment dat un corp solid nedeformabil, este studiat în prezent
şi în ipoteza unui corp elastic, deformabil sub acţiunea unor influenţe complexe ce provin atât
din exteriorul, cât şi din interiorul său.
Prin efectele pe care le produc sau le-ar putea produce, deformaţiile crustei terestre
influenţează în mod puternic activitatea umană, fapt ce explică preocuparea manifestată pentru
studierea, poziţionarea şi monitorizarea faliilor tectonice.
Se pot da numeroase exemple de studii desfăşurate în acest scop care au antrenat
importante resurse umane, tehnice şi financiare:
• lansarea seriei de sateliţi altimetrici – Geos3 (1975), Seasat (1978), Geosat (1985),
ERS-1 (1991) şi TOPEX/Poseidon (1992) – care permit printre altele şi obţinerea de
informaţii cu privire la dinamica crustei terestre;
• monitorizarea faliei californiene San Andreas – care separă placa Americii de Nord
de placa Pacificului şi care a provocat numeroase cutremure, cele mai puternice
fiind înregistrate în San Francisco în anul 1906 şi Los Angeles în anul 1997;
Capitolul 1 – Introducere 2
• supravegherea proceselor tectonice din Japonia, ţară care se află la intersecţia a trei
plăci tectonice: placa Asiei, placa Filipinelor şi placa Pacificului;
• studiul evoluţiei în timp al deplasărilor crustale din Islanda, unde placa Euroasiatică
se distanţează de placa Americii de Nord.
Lucrarea de faţă se înscrie în tematica acestor preocupări, abordând mai multe aspecte
teoretice şi practice privind utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii
superioare a crustei terestre.
Teza este structurată pe capitole, subcapitole şi secţiuni, pentru individualizarea cărora
s-a folosit modalitatea uzuală de numerotare ierarhică, prin care identificatorul unei
subdiviziuni este precedat de codul structurii superioare – sistem ce asigură facilitatea de
regăsire a trimiterilor din text.
Relaţiile, figurile şi tabelele s-au numerotat la nivelul fiecărui capitol.
Introducerea conţine descrierea sumară a tuturor capitolelor.
În capitolul 2 se prezintă importanţa determinării structurii părţii superioare a crustei
terestre şi raporturile în care se află aceasta cu celelalte învelişuri ale Pământului. Explicaţiile
sunt însoţite de prezentarea unor aspecte generale de geomorfologie planetară şi geomorfologie
tectono-structurală.
Capitolul 3 conţine descrierea metodelor de calcul al anomaliilor gravimetrice: Faye,
Bouguer incomplete, complete şi perfecţionate (simple) şi ale reducerilor / corecţiilor aferente
care stau la baza determinării acestora: reducerea Faye (în aer liber), reducerea de strat
intermediar (reducerea Bouguer incompletă sau reducerea Bouguer de placă), reducerea
Bouguer completă (reducerea topografică sau reducerea de elevaţie), corecţia de relief.
Capitolul 4 este structurat în patru subcapitole:
• aspecte generale privind interpolarea în contextul geodeziei fizice;
• metode de construire a gridului anomaliilor Bouguer;
• metode de îndesire a gridului anomaliilor Bouguer;
• metode de interpolare într-un element finit rectangular al gridului.
În primul subcapitol se specifică care sunt mărimile gravimetrice folosite pentru
interpolare şi modul de determinare a acestora, se prezintă două posibilităţi de reprezentare a
câmpului anomaliilor Bouguer folosind metoda elementelor finite, se dau exemple de suprafeţe
cu ajutorul cărora se poate aproxima forma câmpului anomaliilor Bouguer şi se analizează
aspecte privind corelaţia spaţială a anomaliilor Bouguer.
În cel de-al doilea subcapitol se prezintă în detaliu trei metode de construire a gridului
anomaliilor Bouguer utilizând valorile cunoscute ale anomaliilor Bouguer în punctele unei
Capitolul 1 – Introducere 3
reţele gravimetrice: realizarea gridului elastic, realizarea gridului de tip spline ''placă subţire'' şi
a gridului spline pseudo-cubic şi realizarea gridului prin kriging.
În subcapitolul 3 se descriu două metode de îndesire a gridului anomaliilor Bouguer,
element cu element, folosind funcţii spline bicubice complete de tipul I şi funcţii spline
bicubice incomplete.
În cel de-al patrulea subcapitol se propun trei metode de interpolare punctuală într-un
element finit rectangular al gridului: interpolarea biliniară, interpolarea folosind o funcţie spline
cubică naturală şi interpolarea folosind metoda celor mai mici pătrate. Aplicarea acestor metode
este condiţionată de dimensiunile ferestrei de interpolare.
În capitolul 5 se prezintă principalele metode de obţinere ale:
• anomaliilor Bouguer regionale şi anomaliilor Bouguer locale ale gravităţii;
• anomaliilor continuate analitic ale gravităţii (metoda bazată pe formula flux-
divergenţă şi pe funcţia Green pentru un semispaţiu şi metoda Constantinescu-
Botezatu);
• anomaliilor derivatelor verticale ale gravităţii: anomaliile gradientului vertical,
respectiv anomaliile derivatelor verticale de ordinul II (metoda filtrării, metoda
Baranov şi metoda Constantinescu-Eldaiem).
De asemenea, sunt prezentate şi aspecte privind interpretarea fizică a acestor anomalii.
În capitolul 6 se prezintă un studiu de caz efectuat în PGGC*).
Pentru început se face o descriere generală a poligonului şi anume: consideraţiile
geonomice privind amplasarea (care au condiţionat decisiv proiectarea şi realizarea poligo-
nului), reţeaua geodezică, măsurătorile geodezice de poziţie efectuate în perioada 1979-1994 şi
rezultatele obţinute din prelucrarea acestora.
În continuare se prezintă campaniile gravimetrice şi de nivelment efectuate la epocile
1993-toamnă (1993.8) şi 1995-toamnă (1995.8) şi comentarea rezultatelor obţinute din prelu-
crarea măsurătorilor gravimetrice corespunzătoare acestor două epoci.
Datele numerice necesare au fost obţinute prin bunăvoinţa CGUTCB care a permis
accesul autorului la baza de date în care sunt stocate informaţiile respective.
În ultimul capitol se prezintă succint concluziile şi contribuţiile originale ale autorului
în domeniul abordat.
Anexele conţin atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice pentru epocile
1993.8 şi 1995.8.
*) Toate prescurtările din lucrare sunt explicate la sfârşitul acesteia, în pagina de ACRONIME.
Capitolul 1 – Introducere 4
Bibliografia studiată a fost redactată conform Standardelor Internaţionale ISO 690-1
din anul 1980 completat cu ISO 690-2 din anul 1997, referitoare la redactarea conţinutului,
formei şi structurii referinţelor bibliografice. Citarea referinţelor bibliografice în text a fost
realizată folosind metoda primului autor şi a anului apariţiei respectivei publicaţii.
La finalul lucrării se găseşte indexul termenilor principali precum şi lista acronimelor
utilizate.
Capitolul 2
UTILIZAREA ANOMALIILOR BOUGUER PENTRU DETERMINAREA STRUCTURII PĂRŢII SUPERIOARE
A CRUSTEI TERESTRE
Determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre reprezintă unul dintre
obiectivele de studiu pentru mai multe discipline, cum ar fi: geodezia fizică, geofizica,
geologia, geomorfologia şi oceanografia, fapt care a determinat, în special în ultimele decenii,
iniţierea unor ample programe de studii, prelucrări şi interpretări interdisciplinare.
Pentru o mai bună înţelegere a importanţei determinării structurii părţii superioare a
crustei terestre şi a raporturilor în care se află aceasta cu celelalte învelişuri ale Pământului, în
cadrul acestui capitol se prezintă unele aspecte generale de geomorfologie.
Geomorfologia este ştiinţa care se ocupă cu studiul reliefului crustei terestre şi cu
evoluţia lui în timp (POSEA 1976).
2.1 GEOMORFOLOGIA PLANETARĂ
Geomorfologia planetară studiază influenţele reciproce care se exercită între formele de
relief de ordinul I (continente şi bazine oceanice) (POSEA 1976).
Interacţiunile dintre diferitele forme de relief ale scoarţei terestre nu pot fi explicate fără
cunoaşterea structurii Pământului şi a anumitor procese planetare, cum ar fi: mişcarea de rotaţie
şi variaţia sa, deplasarea polilor etc. De aceea, pe lângă metodele de studiu şi cercetare proprii,
geomorfologia planetară foloseşte ipotezele, teoriile şi rezultatele altor discipline dintre care se
menţionează: astronomia, geofizica şi geodezia fizică.
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
6
Forma Pământului
Un punct material situat pe suprafaţa fizică a Pământului este supus acţiunii mai multor
forţe dintre care cele mai importante sunt: forţa atracţiei universale – Fr
(îndreptată spre
centrul de masă al Pământului), forţa centrifugă – qr (Fig. 2.1) şi forţele de atracţie ale Soa-
relui – , datorită masei sale şi respectiv ale Lunii – Sfr
Lfr
, datorită apropierii sale de Pământ.
Rezultanta tuturor forţelor mai sus menţionate este gravitatea (greutatea) – gr :
. (2.1) Krrrrr
++++= LS ffqFg
Regiunea din spaţiu în care se extinde influenţa complexă a atracţiei gravitaţionale şi a
rotaţiei Pământului constituie câmpul gravităţii sau câmpul gravific (CONSTANTINESCU
1964).
Fig. 2.1 Greutatea (după GHIŢĂU 1983).
Datorită rotaţiei în jurul axei sale forma de echilibru a Pământului este aceea de sferoid.
Deoarece formula sferoidului terestru este greu de utilizat în calculele geodezice, pentru
rezolvări practice, s-a recurs la adoptarea unei forme geometrice apropiată dar mai simplă, şi
anume aceea de elipsoid (elipsoid de rotaţie).
Calculând gradul de turtire al sferoidului în funcţie de viteza de rotaţie a Pământului,
rezultă că acesta nu corespunde formei Pământului. Asemenea necorespondenţe se întâlnesc şi
pentru celelalte planete. Cauza este legată de distribuirea diferită a maselor în interiorul
planetei, fenomen care se manifestă printr-o repartizare neuniformă a forţei gravitaţionale
interioare. De aceea, suprafaţa de echilibru reală către care tinde Pământul, nu este aceea de
sferoid, ci o formă particulară, denumită de către Listing în anul 1870 – geoid (Fig. 2.2).
Calculele arată că suprafaţa geoidului este mai ridicată în regiunea oceanelor (decât în
cazul sferoidului) şi în general mai coborâtă în zona continentelor (ajungându-se chiar până la
140 m sub suprafaţa sferoidului). În felul acesta, s-a ajuns la concluzia că regiunile continentale
şi în special zonele muntoase au o densitate mai mică în comparaţie cu fundul oceanelor.
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
7
Fig. 2.2 Geoidul terestru (după MARTY 2000).
Atât sferoidul cât şi geoidul suferă modificări în timp. Sferoidul se modifică din cauza
variaţiei vitezei de rotaţie şi a deplasării axei în jurul căreia se face rotirea, iar geoidul datorită
deplasărilor efectuate de masele din interiorul său precum şi datorită influenţelor variabile,
exercitate de planetele din univers.
Structura internă a Globului terestru
Materia din care este constituit Globul terestru este organizată diferenţiat pe măsură ce
se coboară de la suprafaţă către centrul planetei. Construit iniţial pe date seismologice, modelul
structurii interne a Pământului a fost completat ulterior prin contribuţia tuturor geo-ştiinţelor.
Cu ajutorul prospecţiunilor geologice, al analizei propagării undelor seismice şi al altor
metode specifice de investigare, geofizicienii au formulat ipoteza conform căreia Pământul este
constituit din mai multe învelişuri (straturi) concentrice de formă aproximativ sferică, având
proprietăţi fizice şi chimice distincte. Doi factori principali par a fi cauzat această structură în
pături concentrice şi anume mişcarea de rotaţie şi forţa de atracţie. Aceste învelişuri sunt
separate prin aşa numitele suprafeţe de discontinuitate.
Într-o primă abordare, masa Pământului a fost împărţită în trei geosfere majore, pornind
de la suprafaţă către centru: scoarţa terestră sau crusta, manta şi nucleul, numite şi învelişuri
de ordinul I (Fig. 2.3). Acestea sunt separate prin discontinuităţi de ordinul I.
Acumularea de noi date obţinute prin studii interdisciplinare complexe şi aprofundate,
au condus ulterior la o subîmpărţire a acestor geosfere în mai multe straturi numite învelişuri de
ordinul II. Acestea sunt separate prin discontinuităţi de ordinul II, pentru care însă nu există
deocamdată un acord unanim privind adâncimea şi densitatea acestora.
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
8
Fig. 2.3 Structura radială a Pământului (după CAZENAVE 1994).
Crusta terestră, reprezintă pătura subţire a părţii superioare a Pământului, rece, cu
densitatea cuprinsă între 2.7 şi 2.9 g/cm3, în care viteza undelor seismice (P) este sub 7 km/s. Ea
este separată de manta prin discontinuitatea Mohorovičič (sau pe scurt Moho). Din constatările
de până acum reiese că crusta are grosimi variabile: 6-10 km sub oceane, 30-40 km sub
platformele continentale, ajungând la 70-80 km sub catenele montane alpine (Fig. 2.4).
Fig. 2.4 Diferite tipuri de crustă (după GRASU 1997).
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
9
a. Crusta oceanică. Se caracterizează prin absenţa stratului granitic. De sus în jos
comportă: un strat de roci sedimentare (care este cu atât mai gros şi vechi cu cât ne
deplasăm din zona de rifturi spre fosele oceanice) şi un strat bazaltic de câţiva
kilometri sub care se află mantaua.
b. Crusta continentală. Compoziţia sa este diferită, după cum se situează sau nu în
scuturile şi platformele continentale sau în catenele montane tinere. În ambele
cazuri, crusta continentală comportă de sus în jos următoarele subdiviziuni: un strat
de roci sedimentare (cutate sau necutate), un strat granitic şi unul bazaltic; la limita
dintre stratul granitic şi cel bazaltic se situează discontinuitatea Conrad.
c. Crusta intermediară. În cazul acestui tip de scoarţă, stratul granitic este în mod
evident redus ca grosime, discontinuitatea Moho aflându-se la o profunzime medie
de ordinul a 20 km.
Pentru stratul granitic se acceptă densitatea , iar pentru calcule mai precise
.
3g/cm 2.7 =ρ
3g/cm 2.67
Mantaua, delimitată la o adâncime de circa 2900 km prin discontinuitatea Gutemberg-
Wiechert – dincolo de care s-a constatat că nu pot trece undele seismice transversale – este
alcătuită din mantaua superioară, zona de tranziţie şi mantaua inferioară (sau mezosfera).
La partea inferioară a crustei se evidenţiază litosfera, care are grosimea de aproximativ
125 km – determinată de cauze termice, şi care înglobează atât crusta cât şi o parte din mantaua
superioară (Fig. 2.5a).
Mantaua superioară este compusă din partea inferioară a litosferei şi astenosferă, care se
extinde din baza litosferei până la adâncimea de 400 km (Fig. 2.5b).
(a). (b).
Fig. 2.5 Raportul manta-crustă-litosferă.
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
10
Zona de tranziţie se extinde de la 400 km la 700 km (discontinuitatea Repetti), iar viteza
undelor seismice creşte progresiv de la 8.2 km/s până la 11 km/s la limita cu mantaua
inferioară.
După cum se ştie, litosfera este rigidă şi se compune din plăci de mari dimensiuni, care
cuprind pe lângă zonele continentale şi pe cele oceanice, şi care se formează în urma aportului
de material astenolitic din zonele de acreţie, prin răcire şi îngroşare progresivă. Astenosfera
furnizează pentru baza litosferei un flux de căldură, compensând fenomenul de răcire, exact în
momentul în care grosimea acesteia atinge circa 125 km.
Plăcile litosferice se deplasează orizontal. În mişcarea lor, ele se freacă, se ating sau se
ciocnesc cu forţe şi viteze variabile, dând naştere, în aceste locuri, la cutremure, vulcanism şi
chiar la spargerea plăcilor sau la cutări de munţi.
În timp ce în mezosferă materialul rămâne rigid, astenosfera corespunde unui material
vâscos, pe care plăcile litosferice alunecă, susceptibil de a se deforma uşor şi care este sediul
curenţilor de convecţie răspunzători de deplasarea litosferei în cadrul dinamicii plăcilor.
După unii autori, curenţii de convecţie nu ar fi singurii răspunzători de mişcarea plăcilor
litosferice. Acestora li se adaugă atât împingerea plăcilor în zonele de acreţie, cât şi afundarea
lor în zona foselor sub propria greutate, ca urmare a răcirii şi apariţiei unui dezechilibru
gravitaţional în raport cu astenosfera (Fig. 2.6).
Fig. 2.6 Structura părţii superioare a Pământului şi consecinţa fenomenelor din manta asupra dinamicii litosferei (după DIETZ 1972 – din GRASU 1997).
Nucleul reprezintă zona centrală a planetei, caracterizată printr-o densitate foarte mare,
şi este compus din nucleul extern şi nucleul intern (sau sâmburele / grăuntele). În timp ce
nucleul extern se află în stare lichidă şi este alcătuit dintr-un aliaj de fier şi nichel, nucleul intern
se găseşte în stare solidă şi este alcătuit din fier aproape pur.
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
11
2.2 GEOMORFOLOGIA TECTONO-STRUCTURALĂ
Geomorfologia tectono-structurală studiază formele de relief de ordinul II (munţi,
podişuri, câmpii), atât sub aspect structural cât şi morfologic (POSEA 1976).
Din punct de vedere structural se deosebesc, de obicei, două tipuri principale: zonele de
orogen (denumite şi geosinclinale) şi platformele precum şi unul de tranziţie: depresiunile
marginale (denumite şi avantfose).
Din punct de vedere morfologic, continentele sunt formate din: lanţuri de munţi,
podişuri, piemonturi şi câmpii.
Forma acestor unităţi, evoluţia şi repartiţia lor se află în strânsă legătură cu principalele
perioade de mişcări tectonice, care au afectat diferitele porţiuni ale crustei.
În continuare se va trata doar evoluţia tectonicii generale, ca bază de plecare şi
înţelegere a evoluţiei geomorfologice.
Tectonica globală
Tectonica plăcilor în derivă, numită şi tectonica globală, este o variantă nouă a teoriei
derivei continentelor emisă de A. Wegener în anul 1912. Ea reuneşte o serie de ipoteze, între
care cea a curenţilor subcrustali formulată de O. Ampferer (1906) şi cea a lui J. Joli (1924).
Prima ipoteză presupune existenţa unor curenţi în interiorul mantalei, care duc la deplasări ale
scoarţei, inclusiv la cutarea acesteia şi formarea de munţi – în timp ce a doua ipoteză admite
dezintegrări radioactive interioare ce provoacă acumulări de căldură cu urmări geotectonice.
Noua ipoteză integrează, în mod global, toate fenomenele geologice principale care au loc la
suprafaţa globului: formarea continentelor, oceanelor şi munţilor, vulcanismul, cutremurele şi
chiar localizarea petrolului sau a mineralelor.
În această nouă concepţie, crusta solidă a Pământului (continentele şi fundul oceanelor)
este compusă din plăci rigide – denumite plăci tectonice, care se mişcă în permanenţă unele în
raport cu altele, se reînnoiesc pe linia unor mari despicături prin lavă venită din interior, şi se
consumă, în părţile opuse, prin coborâre şi retopire în zona unor gropi abisale.
Pământul având forma unui Glob, aceste plăci au forma unor calote sferice a căror
deplasare ia aspect de rotire a uneia în raport cu alta. Ca urmare, fiecare placă are un pol de
rotaţie, denumit şi pol eulerian, iar punctele sale vor parcurge, în mişcare, distanţe diferite în
raport cu depărtarea faţă de acest pol (Fig. 2.7).
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
12
Fig. 2.7 Coordonatele cinematice ale plăcilor tectonice (după DEWEY 1976 – din GRASU 1997).
Între plăci vor apărea, astfel, tensiuni tectonice (compresiuni sau distensiuni) răspun-
zătoare de deformările crustei în zonele de contact dintre acestea (GRASU 1997).
Compresiunile – se realizează în cazul apropierii a două plăci, prin subducţia uneia din
ele finalizată cu coliziune. Crusta suferă o reducere dimensională (scurtare) care poate
determina: cutări, încălecări, subducţii sau îngroşări (Fig. 2.8).
Fig. 2.8 Răspunsurile crustei terestre supusă la compresiuni şi distensiuni pure (după ANDERSON 1971 – din GRASU 1997): 1 – cutare; 2 – încălecare; 3 – subducţie; 4 – îngroşare; 5 – riftogeneză; 6 – structuri de afundare; 7 – subţiere.
Distensiunile – se produc în cazul în care plăcile suferă o mişcare divergentă; contrar
situaţiei precedente, crusta suferă de data aceasta o întindere. În raport de mărimea distensiunii
se pot genera: depresiuni de afundare (grabene), rifturi cu neoformare de scoarţă sau subţieri
(Fig. 2.8).
În afara deformărilor introduse de mişcările de apropiere sau îndepărtare a plăcilor,
există mişcări verticale şi mişcări de alunecare laterală (culisare) pe direcţiile faliilor
transformante; toate acestea corespund unor deformări sub acţiunea unor compresiuni şi
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
13
distensiuni pure. Limitele dintre plăci nefiind de cele mai multe ori rectilinii, rezultă că nu vom
avea niciodată compresiuni şi distensiuni pure, ci diverse combinaţii (Fig. 2.9).
Fig. 2.9 Câteva tipuri de deformări ale crustei terestre supusă la tensiuni combinate (după MATTAUER 1980 – din GRASU 1997): 1 – compresiune şi culisare; 2 – compresiune oblică; 3 – distensiune şi culisare; 4 – disten-siune oblică.
Monitorizarea deplasărilor plăcilor tectonice reprezintă una din preocupările majore ale
geofizicienilor şi geodezilor. Aceştia au elaborat o serie de modele cinematice ale plăcilor
tectonice cu ajutorul cărora se pot determina vitezele de deplasare ale punctelor situate pe
suprafaţa fizică a Pământului datorită mişcărilor plăcilor tectonice. Acestea se bazează pe
anumite ipoteze, cum ar fi:
• se presupune că punctele situate pe suprafaţa fizică a Pământului aparţin unui număr
limitat de plăci, definite drept calote rigide pe suprafaţa unei sfere (ipoteza de
rigiditate semnifică faptul că nu există nici un fel de deformaţie în interiorul unei
plăci);
• se presupune că se poate descrie traiectoria oricărui punct al unei plăci printr-o
simplă rotaţie.
Modelele cinematice de natură geofizică au fost realizate pe baza înregistrărilor
continue a variaţiilor temporale ale nivelului mărilor, pe urmărirea comportamentului faliilor
transformante şi pe determinarea azimutelor de alunecare ale cutremurelor, în timp ce modelele
cinematice determinate prin metode geodezice sunt rezultatul procesării măsurătorilor efectuate
cu ajutorul tehnicilor de poziţionare moderne specifice geodeziei spaţiale: VLBI, SLR şi GPS.
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
14
Mişcările unei plăci tectonice pot fi descrise cu ajutorul vectorilor de rotaţie geocentrici
definiţi fie prin:
• coordonatele geografice ΛΦ, [°] ale polului de rotaţie şi viteza unghiulară
[° / Ma] a acestuia; Ω
• componentele vitezelor unghiulare de rotaţie în jurul axelor carteziene: şi
[rad / Ma], unde 1Ma
YX , ωω
Zω ani. 106=
Dintre modelele cinematice de natură geofizică cele mai semnificative amintim seria
NUVEL care a evoluat de-a lungul timpului astfel:
• NUVEL-1 (1990);
• NNR-NUVEL-1 (1991);
• NUVEL-1A (1994);
• NNR-NUVEL-1A (1994).
Elementele caracteristice acestor modele sunt prezentate în Tabelele 2.1, 2.2, 2.3 şi 2.4.
Tabelul 2.1 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NUVEL-1 (1990) – Pacific Plate Fixed.
Nr. crt.
Denumirea plăcii
Φ [°]
Λ [°]
Ω [°/Ma]
ωX [rad/Ma]
ωY [rad/Ma]
ωZ [rad/Ma]
1 Placa Africii 59.16 286.83 0.96950 0.00251 -0.00831 0.01452
2 Placa Antarcticii 64.32 276.02 0.90930 0.00072 -0.00684 0.01431
3 Placa Arabiei 59.66 326.81 1.16160 0.00857 -0.00560 0.01749
4 Placa Australiei 60.08 1.74 1.12360 0.00977 0.00030 0.01700
5 Placa Caraibelor 54.20 279.20 0.85340 0.00140 -0.00860 0.01208
6 Placa Cocos 36.82 251.37 2.08900 -0.00932 -0.02766 0.02185
7 Placa Euroasiatică 61.07 274.18 0.89850 0.00056 -0.00757 0.01372
8 Placa Indiei 60.49 329.60 1.15390 0.00855 -0.00503 0.01752
9 Placa Nazca 55.58 269.90 1.42220 -0.00002 -0.01403 0.02047
10 Placa Americii de Nord 48.71 281.83 0.78290 0.00185 -0.00883 0.01026
11 Placa Pacificului 0.00 0.00 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
12 Placa Americii de Sud 55.00 274.25 0.66570 0.00049 -0.00665 0.00951
13 Placa Juan de Fuca 35.00 26.00 0.53000 0.00681 0.00332 0.00531
14 Placa Filipinelor 0.00 313.00 1.00000 0.01190 -0.01276 0.00000
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
15
Tabelul 2.2 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NNR-NUVEL-1 (1991) – No Net Rotation.
Nr. crt.
Denumirea plăcii
Φ [°]
Λ [°]
Ω [°/Ma]
ωX [rad/Ma]
ωY [rad/Ma]
ωZ [rad/Ma]
1 Placa Africii 50.60 286.00 0.30000 0.00091 -0.00319 0.00405
2 Placa Antarcticii 63.00 244.10 0.25000 -0.00087 -0.00178 0.00389
3 Placa Arabiei 45.20 355.60 0.57000 0.00698 -0.00054 0.00705
4 Placa Australiei 33.80 33.20 0.68000 0.00826 0.00539 0.00660
5 Placa Caraibelor 25.00 266.90 0.22000 -0.00019 -0.00347 0.00162
6 Placa Cocos 24.50 244.20 1.58000 -0.01093 -0.02258 0.01143
7 Placa Euroasiatică 50.60 247.60 0.24000 -0.00101 -0.00246 0.00325
8 Placa Indiei 45.50 0.40 0.57000 0.00698 0.00005 0.00710
9 Placa Juan de Fuca -27.40 58.10 0.64000 0.00524 0.00841 -0.00513
10 Placa Nazca 47.80 259.80 0.78000 -0.00162 -0.00901 0.01009
11 Placa Americii de Nord -2.50 274.00 0.22000 0.00026 -0.00382 -0.00017
12 Placa Pacificului -63.00 107.40 0.67000 -0.00159 0.00506 -0.01042
13 Placa Filipinelor -39.00 323.30 0.95000 0.01033 -0.00770 -0.01044
14 Placa Americii de Sud -25.40 235.40 0.12000 -0.00108 -0.00155 -0.00091
Tabelul 2.3 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NUVEL-1A (1994) – Pacific Plate Fixed.
Nr. crt.
Denumirea plăcii
Φ [°]
Λ [°]
Ω [°/Ma]
ωX [rad/Ma]
ωY [rad/Ma]
ωZ [rad/Ma]
1 Placa Africii 59.16 -73.17 0.92700 0.00240 -0.00794 0.01389
2 Placa Antarcticii 64.32 -83.98 0.86950 0.00069 -0.00654 0.01368
3 Placa Arabiei 59.66 -33.19 1.11070 0.00820 -0.00536 0.01673
4 Placa Australiei 60.08 1.74 1.07440 0.00935 0.00028 0.01625
5 Placa Caraibelor 54.20 -80.80 0.81600 0.00133 -0.00823 0.01155
6 Placa Cocos 36.82 251.37 1.99750 -0.00892 -0.02645 0.02090
7 Placa Euroasiatică 61.07 -85.82 0.85910 0.00053 -0.00724 0.01312
8 Placa Indiei 60.49 -30.40 1.10340 0.00818 -0.00480 0.01676
9 Placa Americii de Nord 48.71 -78.17 0.74860 0.00177 -0.00844 0.00982
10 Placa Nazca 55.58 -90.10 1.35990 -0.00002 -0.01342 0.01958
11 Placa Americii de Sud 55.00 -85.75 0.63650 0.00047 -0.00636 0.00910
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
16
Tabelul 2.4 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NNR-NUVEL-1A (1991) – No Net Rotation.
Nr. crt.
Denumirea plăcii
Φ [°]
Λ [°]
Ω [°/Ma]
ωX [rad/Ma]
ωY [rad/Ma]
ωZ [rad/Ma]
1 Placa Africii 50.57 -73.98 0.29090 0.00089 -0.00310 0.00392
2 Placa Antarcticii 62.99 244.26 0.23830 -0.00082 -0.00170 0.00371
3 Placa Arabiei 45.23 -4.46 0.54550 0.00669 -0.00052 0.00676
4 Placa Australiei 33.85 33.18 0.64610 0.00784 0.00512 0.00628
5 Placa Caraibelor 25.01 266.99 0.21430 -0.00018 -0.00339 0.00158
6 Placa Cocos 24.49 244.24 1.51030 -0.01043 -0.02161 0.01093
7 Placa Euroasiatică 50.63 247.73 0.23370 -0.00098 -0.00240 0.00315
8 Placa Indiei 45.51 0.35 0.54530 0.00667 0.00004 0.00679
9 Placa Americii de Nord -2.44 -85.90 0.20690 0.00026 -0.00360 -0.00015
10 Placa Nazca 47.80 259.87 0.74320 -0.00153 -0.00858 0.00961
11 Placa Pacificului -63.05 107.33 0.64080 -0.00151 0.00484 -0.00997
12 Placa Americii de Sud -25.33 235.57 0.11640 -0.00104 -0.00152 -0.00087
13 Placa Juan de Fuca -30.05 58.87 0.66580 0.00520 0.00861 -0.00582
14 Placa Filipinelor -38.01 -35.36 0.89970 0.01009 -0.00716 -0.00967
15 Placa Rivera 20.43 253.13 1.97810 -0.00939 -0.03096 0.01205
16 Placa Scoţiei -25.27 261.23 0.17050 -0.00041 -0.00266 -0.00127
Cel mai cunoscut model cinematic determinat prin metode geodezice este APKiM.
Elementele caracteristice ale acestuia sunt prezentate în Tabelul 2.5.
Tabelul 2.5 Elementele caracteristice ale modelului cinematic APKiM.
Nr. crt.
Denumirea plăcii
Φ [°]
Λ [°]
Ω [°/Ma]
ωX [rad/Ma]
ωY [rad/Ma]
ωZ [rad/Ma]
1 Placa Africii 53.10 269.60 0.28300 -0.00007 -0.00297 0.00394
2 Placa Antarcticii 50.10 220.50 0.25000 -0.00214 -0.00189 0.00338
3 Placa Arabiei 55.50 359.50 0.50500 0.00413 -0.00075 0.00668
4 Placa Australiei 33.80 36.80 0.63300 0.00746 0.00530 0.00627
5 Placa Caraibelor 30.00 274.70 0.42600 0.00071 -0.00725 0.00381
6 Placa Euroasiatică 57.90 258.40 0.27000 -0.00074 -0.00250 0.00381
7 Placa Asiei de Est 11.90 285.20 0.52200 0.00266 -0.00963 0.00126
8 Placa Indiei 43.50 43.20 0.70200 0.00598 0.00528 0.00844
9 Placa Nazca 28.70 255.30 0.73600 -0.00287 -0.01162 0.00575
10 Placa Americii de Nord -2.60 273.70 0.18700 0.00021 -0.00338 -0.00006
11 Placa Pacificului -62.70 93.90 0.69900 -0.00001 0.00583 -0.01083
12 Placa Americii de Sud -19.40 210.10 0.12700 -0.00203 -0.00094 -0.00070
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
17
Cele 16 plăci care intervin în modelele cinematice prezentate anterior se pot observa în
Fig. 2.10. Liniile de separare dintre plăcile tectonice se numesc falii.
Fig. 2.10 Plăcile tectonice utilizate de modelele NUVEL.
Viteza de deplasare a unui punct care are coordonatele geografice B, L [°] sau
coordonatele carteziene X, Y, Z [exprimate în mii de km] situat pe o placă litosferică proiectată
pe elipsoidul de referinţă se poate calcula cu relaţiile:
)Lsin(cosdtdB
Λ−ΦΩ= ;
]costgB)Lcos([sindtdL
ΦΛ−−ΦΩ= ;
YZdtdX
ZY ω−ω= ;
ZXdtdY
XZ ω−ω= ;
XYdtdZ
YX ω−ω= , (2.2)
unde dtdL,
dtdB se obţin în [°/Ma], iar
dtdZşi,
dtdY,
dtdX în [mm/a].
Modificările pe care le provoacă formei geoidului precum şi poziţiei spaţiale a unor
porţiuni din suprafaţa fizică, constituie argumentele principale pentru care cercetarea
deplasărilor scoarţei terestre este inclusă, în ultimul timp, în categoria preocupărilor geodezice
din domeniul studierii figurii Pământului.
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
18
Teritoriul românesc şi tectonica plăcilor
Ipoteza tectonicii globale admite posibilitatea existenţei microplăcilor tectonice ca
diviziuni (fragmente) ale plăcilor descrise anterior. Existenţa microplăcilor poate explica unele
fenomene dinamice care afectează crusta terestră pe suprafeţe mai mici decât cele ale
principalelor plăci tectonice specificate în Fig. 2.10.
Efortul reunit al mai multor generaţii de geologi a făcut ca în momentul de faţă să se
dispună de suficiente date pentru reconstituirea evoluţiei geologico-structurale a teritoriului
României şi, mai ales, să se încerce încadrarea acesteia în conceptul tectonicii plăcilor.
Astfel, în anul 1977, prof. Airinei a emis ipoteza existenţei pe teritoriul României a
patru microplăci tectonice. La baza modelului său au stat anomaliile gravimetrice regionale de
maxim şi minim, de talie continentală sau subcontinentală. În lucrările sale sunt conturate: o
anomalie de talie continentală (A) şi trei anomalii subcontinentale (B, C, D).
Anomaliile de minim se interpun între cele de maxim şi se suprapun, în principal, pe
aria de orogen – în timp ce anomaliile de maxim corespund cu ariile rigide, cratonizate,
aparţinând unor plăci şi subplăci identificate astfel: segmentul sud-vestic al plăcii Est-Europene
(A), subplaca Intra-Alpină (B), subplaca Moesică (C) şi subplaca Mării Negre (D) – Fig. 2.11
(AIRINEI 1977).
Fig. 2.11 Segmentele de microplăci litosferice pe teritoriul României (după AIRINEI 1977).
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
19
Potrivit ipotezelor din lucrările prof. Airinei, raporturile geodinamice dintre aceste plăci
şi subplăci răspunzătoare în fapt de edificarea orogenului carpatic, sunt următoarele:
• placa Est-Europeană se află în raport de subducţie faţă de subplaca Intra-Alpină,
generând compresiunile care au dat naştere Carpaţilor Orientali;
• subplăcile Intra-Alpină şi Moesică se află în raport de subducţie – coliziune
răspunzătoare de ridicarea Meridionalilor şi a curburii acestora în zona de legătură
cu Balcanii;
• subplaca Mării Negre suferă o afundare în astenosferă în raport cu subplaca Intra-
Alpină;
• între placa Est-Europeană şi subplaca Mării Negre şi între aceasta din urmă şi
subplaca Moesică, ar exista după Airinei o alunecare (culisare) cu frecare, datorită
mişcării mai mari a subplăcii Mării Negre, împinsă, la rândul ei, de subplaca Asiei
Mici.
În concuzie, stările tensionale care conduc la deformări ale crustei terestre se localizează
în lungul zonelor de adiacenţă ale plăcilor.
Drept urmare, deplasările relative ale microplăcilor tectonice sunt însoţite de apariţia
unor forţe de frecare pe suprafeţele de contact, fenomen care conduce la acumulări uriaşe de
energie. În momentul în care echilibrul instabil dintre plăcile în mişcare relativă dispare, se
produce o deplasare prin salt a maselor, simultan cu declanşarea bruscă a energiei acumulate.
Această eliberare de energie produce unde seismice care se propagă cu amplitudini, viteze şi
trasee diferite prin toată masa Pământului producând vibraţii ale scoarţei terestre care dau
naştere cutremurelor de pământ. Pe măsura îndepărtării de epicentru, energia undelor seismice
scade până la dispariţie. Efectele vizibile ale fenomenului depind de foarte mulţi factori:
adâncimea epicentrului, natura straturilor străbătute de undele seismice, modul în care se
combină undele directe cu cele reflectate etc.
Un cutremur este precedat, însoţit şi urmat de variaţii ale tendinţei generale de deplasare
a plăcilor tectonice. Aceste variaţii de natură geometrică (modificarea poziţiilor relative) sau
fizică (modificarea câmpului gravific), pot fi evaluate folosind metode diferite printre care şi
metode geodezice.
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
20
2.3 UTILIZAREA ANOMALIILOR BOUGUER PENTRU
DETERMINAREA STRUCTURII PĂRŢII SUPERIOARE A
CRUSTEI TERESTRE
Geodezia fizică este direct interesată de studiul transformărilor care se produc în
interiorul crustei terestre, deoarece acestea conduc la modificări ale câmpului gravific, care la
rândul lor generează schimbări ale formei geoidului. Astfel, contribuţia sa la determinarea
structurii părţii superioare a crustei terestre este considerată de către specialiştii din domeniul
geo-ştiinţelor ca fiind întotdeauna oportună.
Pentru sublinierea aspectelor mai sus menţionate, în cele ce urmează se vor prezenta
două exemple în care interpretarea anomaliilor Bouguer a avut un rol esenţial pentru punerea în
evidenţă a structurilor geologice.
Exemplul 1
În anul 1985, fosta DMA, actuala NIMA a lansat satelitul altimetric Geosat.
Harta anomaliilor gravimetrice determinate din măsurătorile altimetrice efectuate de
către acest satelit timp de 18 luni, a permis specialiştilor americani să obţină informaţii
strategice fundamentale cu privire la topografia fundului oceanelor, deosebit de utile pentru
ghidarea submarinelor.
Acesta a constituit principalul motiv pentru care marina militară a Statelor Unite a
clasificat drept secrete măsurătorile provenite de la Geosat. Totuşi, în faţa presiunii exercitate
de comunitatea ştiinţifică internaţională, în anul 1992 acestea au fost parţial desecretizate fiind
puse la dispoziţia cercetătorilor din întreaga lume datele culese sub paralela de 30°S. Una dintre
hărţile realizate cu aceste date este cea din Fig. 2.12.
Relieful submarin este dominat de patru mari clase de structură:
• munţii şi vulcanii submarini;
• dorsalele oceanice – care brăzdează fundul oceanelor pe mai bine de 60.000 km, şi
care reprezintă zonele unde plăcile litosferice se creează prin cristalizarea magmei
bazaltice provenită din manta;
• zonele de subducţie – care reflectă dezechilibrul gravitaţional al scoarţei oceanice
în raport cu astenosfera;
• faliile transformante şi zonele de fractură.
Primele trei dintre acestea corespund cu frontierele principalelor plăci litosferice.
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
21
Fig. 2.12 Harta anomaliilor gravimetrice (în mgal) determinate din măsurători altimetrice efectuate de satelitul Geosat la sud de paralela de 30°S (după MORGAN şi SANDWELL 1994 – din CAZENAVE 1994).
Iată de pildă cum arată o porţiune din dorsala medio-atlantică şi din zona de subducţie a
insulelor Sandwich (situate în partea de sud-est a Americii de Sud), dedusă din interpretarea
anomaliilor Bouguer provenite tot din misiunea satelitului Geosat (Fig. 2.13).
Fig. 2.13 Porţiune din dorsala medio-atlantică şi din zona de subducţie a insulelor Sandwich (după SANDWELL şi SMITH 1992 – din CAZENAVE 1994).
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
22
În prezent, în centrul atenţiei specialiştilor din întreaga lume se află rezultatele provenite
de la satelitul franco-american TOPEX/Poseidon lansat în august 1992, care este dotat cu un
altimetru a cărui precizie este de 2.5 cm (de 5 ori mai mare decât cea a celui îmbarcat pe
Geosat).
Exemplul 2
Acest exemplu constituie practic o scurtă descriere a tezei de doctorat intitulată "Studiul
gravimetric al regiunii L’Adrar des Inforas (Nord-Est de Mali)" susţinută de L. Y. Saïdou în
anul 1979 la Universitatea de Ştiinţe şi Tehnică din Languedoc.
În zona de studiu, cuprinsă între 16°N – 22°N şi 1°W – 3°E, au fost executate 200
măsurători/grad pătrat (300 în zonele de detaliu) ţinând seama de orientarea structurilor
geologice. Măsurătorile au fost executate pe profile est-vest, distanţate la aproximativ 20 km,
pasul de măsurare pe un profil fiind de 3 km.
Interpretarea anomaliilor Bouguer din zona de studiu a permis identificarea structurilor
geologice prezentate în Fig. 2.14.
Explicarea legendei
1 – Roci dense de Gourma;
2 – Cratogen Vest African;
3 – Intruziune densă de cratogen;
4 – Intruziuni dense profunde asociate magne-
tismului tardi-panafrican;
5 – Structuri dense asociate unităţilor granuli-
tice;
6 – Mase bazice ale zonelor de sutură;
7 – Graben nigriţian;
8 – Anomalii liniare negative din zona de su-
tură (sedimente de margine mai mult sau mai
puţin metamorfizate);
9 – Anomalii locale negative asociate intru-
ziunilor granitice alcaline tardive;
10 – Anomalii liniare negative din ramura oc-
cidentală (granit tardi-tectonic);
11 – Anomalii liniare pozitive din ramura ori-
entală (granulite);
12 – "Accident" geologic;
13 – "Accident" magnetic;
14 – "Accident" gravimetric;
15 – "Accident" gravimetric şi magnetic;
16 – Contact de bază de întindere şi încăle-
care.
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
23
Fig. 2.14 Schema structurală interpretativă a regiunii L’Adrar des Inforas (după SAÏDOU 1979).
Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre
24
Capitolul 3
ANOMALIILE GRAVITĂŢII
Pentru diverse scopuri geodezice şi geofizice, este necesară compararea valorii gravităţii
măsurată într-un punct P situat pe suprafaţa fizică a Pământului – , cu gravitatea normală –
, care se referă la suprafaţa elipsoidului de referinţă (Fig. 3.1). Pentru aceasta se impune
reducerea mărimii la nivelul geoidului, situat în apropierea elipsoidului, fapt ce conduce la
introducerea noţiunii de anomalie gravimetrică.
Pg'0Pγ
Pg
Fig. 3.1 Anomalie gravimetrică.
În figura de mai sus H – reprezintă altitudinea ortometrică (segmentul de linie de forţă
cuprins între poziţia punctului pe suprafaţa terestră şi respectiv pe geoid), iar – altitudinea
elipsoidală (altitudinea punctului P deasupra elipsoidului de referinţă).
Por
PeH
Aşa cum am precizat anterior, măsurătorile gravimetrice se efectuează pe suprafaţa
fizică a Pământului, între această suprafaţă şi geoid existând mase de atracţie, numite mase
topografice, a căror densitate ρ este cunoscută doar aproximativ.
Pentru aducerea valorii gravităţii de pe suprafaţa fizică a Pământului pe geoid şi pentru a
evalua influenţa maselor topografice asupra acesteia, valorii măsurate – g trebuie să i se aplice
o serie de corecţii denumite reduceri gravimetrice. Aceste reduceri, care sunt de natură
geofizică, se determină prin acceptarea unor ipoteze simplificatoare, care corespund doar parţial
realităţii. În funcţie de modul în care este luată în calcul atracţia maselor topografice, se
deosebesc mai multe tipuri de reduceri gravimetrice.
P
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 26
Anomalia gravităţii în punctul P – , este dată de relaţia: Pr∆g
, (3.1) '00 PP
rPr gg γ−=∆
unde indicele r indică reducerea geofizică care s-a aplicat la calculul gravităţii reduse g , iar
– gravitatea normală la nivelul elipsoidului. Recomandările AIG din anul 1980 includ
următoarea relaţie de calcul a gravităţii normale:
Pr
'0Pγ
++++= B2sin 126 000 0.000B8sin 271 023 0.000B041sin 279 0.005032.7(1 978 γ 642P'0
, (3.2) B)7sin 000 000 0.000 8+
care asigură o aproximaţie de 10-4 miligali.
În studiul de caz prezentat în detaliu în capitolul 6 se vor face exemplificări numerice
avându-se în vedere măsurătorile efectuate în PGGC. De aceea s-a considerat util ca în acest
capitol, pe lângă modalitatea teoretică de calcul a anomaliilor gravităţii şi a reducerilor aferente
acestora, să se prezinte şi particularizările cu privire la determinarea lor ţinându-se seama de
specificul constructiv al pilaştrilor din poligonul menţionat.
De asemenea, trebuie specificat că:
• determinarea anomaliilor gravităţii s-a făcut în conformitate cu instrucţiunile BGI
(FRANŢA, BGI 1996);
• punctele din reţeaua PGGC au altitudinile determinate în sistemul de altitudini
dinamice (GHIŢĂU 1983).
3.1 ANOMALIA FAYE
Anomalia gravimetrică cea mai utilizată în geodezia fizică este anomalia Faye (în aer
liber) – . Motivul utilizării frecvente a acestei anomalii în aplicaţiile geodezice se explică
prin efectul indirect mic prezentat de aceasta.
F∆g
Într-un punct P, situat pe suprafaţa fizică a Pământului, anomalia Faye se calculează cu
relaţia:
, (3.3) '00 PP
FPF gg γ−=∆
unde reprezintă gravitatea în punctul redusă în aer liber care se poate determina cu
relaţia (3.5) – în cazul general sau (3.9) – în cazul PGGC, iar – gravitatea normală
calculată în P , care se determină cu relaţia (3.2).
0PFg 0P
'0Pγ
'0
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 27
Dependenţa pronunţată faţă de relief a anomaliei Faye creează variaţii mari chiar pe
zone mici, conducând la dificultăţi de reprezentare şi interpolare a acestora.
Reducerea Faye (reducerea în aer liber)
Prin aplicarea acestei reduceri se urmăreşte eliminarea efectului introdus de diferenţa de
nivel existentă între poziţia reală a punctului de observaţie şi proiecţia lui pe suprafaţa
geoidului.
Principiile care stau la baza reducerii Faye sunt următoarele:
• geoidul este aproximat, ca suprafaţă, cu elipsoidul de referinţă sau cu o sferă de rază
medie km (pentru latitudinea B = 45°); 378 6R m ≈
• masa Pământului este concentrată în interiorul geoidului, ca şi cum între punctele P
şi P ar fi "aer liber" (Fig. 3.2). '00 P≈
Fig. 3.2 Reducerea Faye.
În aceste condiţii, reducerea Faye – în punctul P se poate calcula folosind
gradientul normal al gravităţii –
PF∆F
eH∂γ∂ dat de relaţia (3.19), astfel:
PPP
e
PF H3086.0H
HF −≈
∂
γ∂=∆ . (3.4)
Dacă altitudinea folosită este cunoscută din determinările geodezice, adică se referă
la geoid şi este exprimată în metri, termenul corectiv rezultă în miligali. Gravitatea redusă în aer
liber (în reducerea Faye) se calculează în mod curent cu relaţia:
PH
. (3.5) PPPF
PPF H3086.0gFgg 0 +≈∆−=
În cazul PGGC, la determinarea reducerii Faye s-a avut în vedere că, prin construcţie,
pilaştrii geodezici au prevăzute în structura lor diferite puncte necesare efectuării diferitelor
tipuri de măsurători (Fig. 3.3), după cum urmează:
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 28
• sistem de centrare forţată pentru poziţionarea instrumentelor şi dispozitivelor de
măsurători unghiulare (direcţii orizontale şi / sau verticale, determinări astronomice)
şi liniare (distanţe);
• reper de nivelment geometric (RN), dispus excentric faţă de reperul de centrare
forţată;
• centură metalică pentru susţinerea platformei pe care staţionează gravimetrul.
De aceea, pentru calculul reducerii în aer liber, pe lângă gradientul normal al gravităţii –
eH∂γ∂ trebuie să se cunoască şi gradientul gravităţii deasupra solului – pHg ∂∂ , pentru
fiecare punct în care s-au efectuat măsurători.
Fig. 3.3 Schiţele pilaştrilor geodezici din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani.
În acest context, reducerea Faye se calculează la nivelul platformei gravimetrice
folosind relaţia:
),HH(HgH
HF P
tPp
P
p
Pt
P
e
PF −
∂∂
+
∂
γ∂=∆ (3.6)
în care:
; (3.7) Pt
Pd
Pt HHH δ−=
, (3.8) Pp
Pd
Pp HHH δ−=
în timp ce valoarea gravităţii reduse în aer liber se poate determina astfel:
)HH(HgH
HgFgg P
tPp
P
p
Pt
P
e
PPF
PPF
0 −
∂∂
+
∂
γ∂+=∆+= . (3.9)
În relaţiile de mai sus reprezintă altitudinea la nivelul terenului, – altitudinea
platformei pe care s-a staţionat cu gravimetrul, iar – altitudinea dinamică în punctul P
determinată la nivelul reperului de nivelment.
ptH P
pH
PdH
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 29
A. Gradientul normal al gravităţii
Dacă într-un punct situat la altitudinea deasupra elipsoidului de referinţă se aplică
formula Bruns (GHIŢĂU 1983):
eH
2
e
2gJ2G4Hg
ω−−ρπ=∂∂ (3.10)
sub condiţia ρ = 0, se obţine o primă expresie pentru gradientul vertical al gravităţii normale:
20
e
2gJ2H
ω−−=∂
γ∂ , (3.11)
unde reprezintă viteza unghiulară de rotaţie a Pământului ( ), iar
G – constanta gravitaţională geocentrică ( G ) (GROTEN 2000).
ω -111 s rad 10*115 292 7=ω12kgs −−3-14 m 10*672.59 6=
Curbura medie a elipsoidului de rotaţie – J exprimată în funcţie de razele de curbură
principale ( şi ) are expresia:
0
MR1 = NR 2 =
+=
N1
M1
21J0 , (3.12)
unde M este raza de curbură a elipsei meridiane, iar N – raza de curbură a primului vertical
(marea normală).
Pentru calculul valorii gradientului gravităţii normale în limita neglijării termenilor de
ordinul II şi superiori pentru turtirea f, se folosesc următoarele formule:
++≈+= KBcos'e
231
ac)Bcos'e1(
ac
M1 22
22322
2 ; (3.13)
++≈+= KBcos'e
211
ac)Bcos'e1(
ac
N1 22
22122
2 . (3.14)
Aşa cum se cunoaşte, în formulele de mai sus a, b – reprezintă semiaxa mare, respectiv
semiaxa mică a elipsoidului de rotaţie, – este raza de curbură polară, iar
– reprezintă cea de a doua excentricitate numerică.
b/ac 2=2222 b/)ba('e −=
Însumând relaţiile (3.13) şi (3.14), rezultă:
)Bcosf21(a
c2)Bcos'e1(a
c2N1
M1 2
222
2 K++≈+=+ , (3.15)
unde este turtirea geometrică. 2/'ea/)ba(f 2≈−=
În acest mod, expresia (3.12) devine:
)Bsinf2f21(a
f1J 20 −+
−= . (3.16)
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 30
Considerând cunoscute relaţiile dintre ω – viteza unghiulară medie de rotaţie a Pămân-
tului, e , γγ – gravitatea normală, respectiv gravitatea normală la ecuator şi turtirea geometrică f:
)Bsinf1( 2e
2 −γ≈γ;a
m eγ=ω , rezultă:
)Bsinf1(am 22 +γ≈ω . (3.17)
Cu aceasta, expresia gradientului vertical al gravităţii normale – eHγ ∂∂ va fi:
)Bsinf1(am2)Bsinf2f21(
af12
H22
e
+γ−−+−
γ−=∂
γ∂ , (3.18)
sau în limita aproximaţiei menţionate:
)Bsinf2mf1(a
2H
2
e
−++γ
−=∂
γ∂ . (3.19)
În cazul elipsoidului Krasovski, pentru B = 45°, modul de calcul al acestuia este
prezentat în tabelul de mai jos:
Tabelul 3.1 Calculul gradientului normal al gravităţii pentru elipsoidul Krasovski (B = 45°).
a [m] 6 378 180.000
γ [mgal] 980 619.942 5
f 0.003 352 811
m 0.003 449 786
eH∂
γ∂≈ -0.3 086 mgal/m
B. Gradientul vertical al gravităţii deasupra solului
Pentru reducerea observaţiilor gravimetrice efectuate pe o platformă gravimetrică la
nivelul terenului, este necesară cunoaşterea gradientului vertical al gravităţii – ( )
deasupra solului pentru fiecare punct în care s-au efectuat măsurători.
pHg/∂∂pHg
iP
În cazul în care zona studiată se caracterizează prin variaţii mici ale gravităţii, se poate
accepta o dezvoltare în serie, limitată la termeni de ordinul I, a diferenţei de gravitate dintre
– punctul pentru care se calculează valoarea gradientului vertical al gravităţii deasupra
solului şi – celelalte puncte ale reţelei gravimetrice, astfel:
iP
jP
, (3.20) ijPpiHijiyijixijij )H()g(y)g(x)g(vg
p++=+
unde:
. (3.21) Pp
Pd
Ppi
Ppj
Ppij
Ppijijijijijij HHH ; )H()H()H( ; yyy ; xxx ; ggg δ+=−=−=−=−=
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 31
Variaţia gravităţii în plan orizontal (xy) este mult mai mică decât cea produsă pe
verticală. Din acest motiv, componentele orizontale ale gradientului gravităţii: x/gg x ∂∂=
p
şi
se vor exprima în mgal*kmy/gg y ∂∂= -1, iar componenta verticală, în mgal*mH H/ggp
∂∂= -1.
Modelul funcţional cuprinde 3 necunoscute, acestea fiind componentele gradientului
gravităţii: x/gg x ∂∂= , şi y/gg y ∂∂= pH H/ggp
∂∂= . Forma generală a ecuaţiei corecţiilor
rezultă din relaţia (3.20):
. (3.22) ijijPpiHijiyijixij g)H()g(y)g(x)g(v
p−++=
În ecuaţia de mai sus, în timp ce variabila i ia o singură valoare, j ia pe rând toate
celelalte valori, în acest mod formându-se i sisteme cu i – 1 ecuaţii şi 3 necunoscute, a căror
rezolvare conduce la determinarea gradientului vertical al gravităţii deasupra solului pentru
toate punctele reţelei gravimetrice.
Modelul stochastic. Mărimile introduse în această prelucrare sunt obţinute dintr-o
prelucrare anterioară (compensarea reţelei gravimetrice), fiind deci mărimi corelate. Matricea
de corelaţie respectivă este obţinută în cadrul acelui proces de prelucrare. Pentru a simplifica
procesul de calcul au fost neglijaţi coeficienţii de corelaţie ( ji ,0rij ≠∀= ), utilizându-se astfel
pentru ponderi o matrice diagonală ale cărei elemente de pe diagonala principală s-au calculat
cu regula lui Tienstra. Conform acestei reguli, pentru diferenţa de gravitate dintre punctele şi
se atribuie ponderea dată de relaţia:
iP
jP ijp
ijg
20ij qscp = , (3.23)
în care reprezintă varianţa unităţii de pondere rezultată în urma compensării reţelei
gravimetrice, iar – coeficienţii de pondere ai diferenţelor de gravitate calculaţi cu relaţia:
20s
ijgq
ijjiijg q2qqqij
−+= . (3.24)
Coeficienţii de pondere din partea dreaptă a relaţiei de mai sus se extrag din matricea
cofactorilor determinată în cadrul prelucrării menţionate anterior.
Metoda de calcul descrisă a fost preluată din (GHIŢĂU 1996) şi implementată într-un
program de calcul propriu elaborat în mediul de programare Delphi 6.0 – mod consolă.
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 32
3.2 ANOMALIILE BOUGUER
3.2.1 Anomalia Bouguer incompletă
Într-un punct P, situat pe suprafaţa fizică a Pământului, anomalia Bouguer incompletă –
se calculează cu relaţia: PBI∆g
, (3.25) '00 PP
BIPBI gg γ−=∆
unde reprezintă gravitatea în punctul căreia i s-a aplicat reducerea de strat intermediar
(reducerea Bouguer incompletă sau reducerea Bouguer de placă) şi care se poate determina cu
relaţia (3.36), iar – gravitatea normală calculată în , care se determină cu relaţia (3.2).
0PBIg 0P
'0Pγ '
0P
Reducerea de strat intermediar (reducerea Bouguer incompletă sau
reducerea Bouguer de placă)
Prin aplicarea acestei reduceri se urmăreşte eliminarea influenţei de atracţie exercitată
de stratul intermediar (placa Bouguer) de grosime , delimitat(ă) de două plane paralele care
trec prin punctele P şi (Fig.3.3). Se presupune, prin urmare, că terenul din jurul staţiei P
este complet plan.
PH'00 PP ≈
Fig. 3.4 Reducerea de strat intermediar.
Masele situate între suprafaţa fizică a Pământului şi geoid, comprimate în cadrul
reducerii Faye în interiorul geoidului, sunt readuse în apropierea poziţiei iniţiale, considerându-
se că formează stratul intermediar menţionat. Rezultă că, semnul reducerii de strat intermediar
va fi negativ.
Întinderea stratului intermediar poate fi, în principiu, foarte mare, în acest caz putându-
se imagina şi o compensaţie între masele situate deasupra planului care trece prin punctul P şi
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 33
cele aflate sub acest plan. Extinderea la infinit a stratului intermediar, deşi exagerată, este
motivată prin faptul că efectul maselor dispuse pe orizontală asupra gravităţii într-un punct
scade foarte repede cu distanţa. S-a constatat că, efectul maselor situate la distanţe de peste zece
ori grosimea stratului intermediar (10 ), reprezintă aproximativ 10% din efectul total. De
aceea, în mod obişnuit, întinderea stratului este o mărime finită, stabilită în funcţie de
altitudinea a punctului de staţie. (CONSTANTINESCU 1964).
PH
PH
În aceste condiţii, stratul intermediar poate fi înlocuit cu un cilindru vertical, cu
dimensiunile indicate în Fig. 3.5, al cărui potenţial de atracţie va fi:
dvl
Gl
dmGVc ∫∫∫ ∫∫∫ρ
== , (3.26)
unde: 22 zsl += , (3.27)
iar: . (3.28) dzdydxdv =
Semnificaţia fizică a mărimilor care intervin în relaţia (3.26) este următoarea:
ρ – densitatea medie locală a crustei terestre;
G – constanta gravitaţională geocentrică, a cărei valoare este prezentată în 3.1.A.
Fig. 3.5 Atracţia maselor topografice asupra punctului P situat pe suprafaţa fizică a Pământului.
Dacă se introduc coordonatele polare s, α în planul xy: α= cossx , , atunci se
poate scrie:
α= sinsy
α=ααα−α
=α= ddsscosssinsinscos
ddsJdydx , (3.29)
unde J – reprezintă jacobianul transformării.
Folosind relaţia anterioară, relaţia (3.28) devine:
dzddssdzdydxdv α== , (3.30)
iar:
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 34
dz)zza(G2zs
sdsdzG2zs
sdsdzdGVPP P H
0
222
0
H
0
a
0
H
0
a
02222c ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −+ρπ=
+ρπ=
+αρ=
π
. (3.31)
Considerând că distanţa z este măsurată în sensul crescător al diferenţelor de nivel, forţa
de atracţie a întregului cilindru (reducerea de strat intermediar – în punctul P) se poate
determina astfel:
Pp∆F
=+−+ρπ=+−ρπ=−=∆ ])H(aaH[G2])zaz([G2dzdVF 2P2P
H
0
22Pp
P
])aH(11[aH G2 2PP +−+ρπ= . (3.32)
Dacă se aplică o dezvoltare în serie şi se opresc doar termenii de ordinul I, rezultă:
)a2H1(HG2F PPPP −ρπ≈∆ . (3.33)
În cazul în care , ultimul termen din paranteză se poate neglija. Astfel, corecţia
datorată influenţelor maselor topografice devine:
PH 10a >
. (3.34) PPP HG2F ρπ≈∆
Densitatea medie locală a stratului intermediar ρ poate fi determinată direct sau poate fi
interpolată de pe hărţile geologice ale zonei în care s-au efectuat observaţiile gravimetrice. Dacă
se ia în consideraţie pentru aceasta valoarea medie ρ = 2.67 g/cm3, se obţine:
. (3.35) PPP H1119.0F ≈∆
În aceste condiţii, gravitatea în punctul căreia i s-a aplicat reducerea de strat
intermediar se calculează cu relaţia:
0P
. (3.36) PPPP
PPBI H1119.0gFgg 0 −≈∆−=
În mod riguros, în cazul PGGC relaţia de mai sus trebuie scrisă astfel:
. (3.37) Pt
PPP
PPBI H1119.0gFgg 0 −≈∆−=
3.2.2 Anomalia Bouguer completă
Într-un punct P, situat pe suprafaţa fizică a Pământului, anomalia Bouguer completă –
se calculează cu relaţia: PBC∆g
, (3.38) '00 PP
BCPBC gg γ−=∆
unde reprezintă gravitatea în punctul P căreia i s-a aplicat reducerea Bouguer completă
(reducerea topografică sau reducerea de elevaţie) şi care se poate determina cu relaţia (3.40) –
0PBCg 0
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 35
în cazul general sau (3.42) – în cazul PGGC, iar γP – gravitatea normală calculată în , care se
determină cu relaţia (3.2).
'0P
Reducerea Bouguer completă (reducerea topografică sau reducerea
de elevaţie)
Reducerea Bouguer completă, care mai poartă şi denumirea de reducere topografică sau
reducere de elevaţie, reprezintă o grupare a celor două reduceri anterioare şi anume reducerea în
aer liber determinată cu relaţia (3.4) – în cazul general sau (3.6) – în cazul PGGC şi reducerea
de strat intermediar determinată cu relaţia (3.36) – în cazul general respectiv (3.37) – în cazul
PGGC.
În cazul general, reducerea Bouguer completă – în punctul P se calculează astfel: PBC∆F
. (3.39) PPPP
PF
PBC H1967.0H)1119.03086.0(FFF ≈−≈∆−∆=∆
Gravitatea redusă în acest mod va fi:
. (3.40) PPPP
PF
PPBC
PPBC H1967.0gFFgFgg 0 +≈∆−∆+=∆+=
În cazul PGGC, vom avea:
Pt
Pt
Pp
P
p
Pt
P
e
PP
PF
PBC H1119.0)HH(
HgH
HFFF −−
∂∂
+
∂
γ∂≈∆−∆=∆ . (3.41)
Gravitatea Bouguer completă în acest caz va fi:
=∆−∆+=∆+= PP
PF
PPBC
PPBC FFgFgg 0
Pt
Pt
Pp
P
p
Pt
P
e
P H1119.0)HH(HgH
Hg −−
∂∂
+
∂
γ∂+= . (3.42)
3.2.3 Anomalia Bouguer perfecţionată (simplă)
Într-un punct P, situat pe suprafaţa fizică a Pământului, anomalia Bouguer perfecţionată
(simplă) – ( ) se calculează cu relaţia: PBP∆g
, (3.43) '00 PP
BPPBP gg γ−=∆
unde reprezintă gravitatea în punctul P căreia i s-a aplicat reducerea Bouguer completă
coroborată cu corecţia de relief şi care se poate determina cu relaţia (3.51), iar – gravitatea
normală calculată în , care se determină cu relaţia (3.2).
0PBPg
'0Pγ
'0P
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 36
Această anomalie prezintă un efect indirect mare, de aceea nu este recomandată pentru
scopuri geodezice, în schimb are variaţii mici şi uniforme pe zone întinse, pretându-se astfel
foarte bine pentru interpolare.
Corecţia de relief
Scopul acestei corecţii este de a elimina principala aproximaţie introdusă în calculul
reducerii de strat intermediar, unde s-a considerat că terenul din jurul punctului de staţie P este
plan. În realitate, suprafaţa fizică a Pământului prezintă excedente şi deficite de mase în raport
cu stratul intermediar (Fig. 3.6), care exercită o influenţă de atracţie cuprinsă în valoarea
gravităţii măsurată în punctul de staţie P.
Fig. 3.6 Corecţia de relief.
Semnul corecţiei de relief va fi întotdeauna pozitiv deoarece:
• în cazul unui deficit de masă, înseamnă că la reducerea de strat intermediar s-a
scăzut în mod nejustificat o anumită cantitate, ce urmează să fie compensată prin
aplicarea corecţiei de relief;
• în cazul unui excedent de mase, valoarea gravităţii măsurate în punctul de staţie P a
fost micşorată cu o cantitate egală cu proiecţia forţei fr
de atracţie exercitată de
excedentul de mase (Fig. 3.7) pe direcţia gravităţii. Prin urmare, pentru a se înlătura
efectul de atracţie al excedentului de mase va trebui să se aplice corecţia de relief
tot cu semn pozitiv.
Fig. 3.7 Justificarea semnului corecţiei de relief.
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 37
Abia după aplicarea acestei corecţii, suprafaţa exterioară a stratului intermediar poate fi
considerată aproximativ plană.
Într-un punct P de altitudine , corecţia de relief – c se calculează cu relaţia: PH Pr
Q3PQ
2PQPr d
s]HH[G
21c
Q
σ−
ρ= ∫∫σ
, (3.44)
în care G – reprezintă constanta gravitaţională geocentrică, ρ – densitatea medie a maselor
topografice, – zona din jurul punctului P în care se calculează influenţa corecţiei de relief,
iar s – distanţa dintre punctul P şi punctul Q, corespunzător elementului de suprafaţă d
Qσ
Qσ .
În (MORITZ 1989) se recomandă ca pentru calculul distanţei s să se utilizeze relaţia:
)2/sin(R2s PQPQ ψ= , (3.45)
unde este distanţa sferică între P şi Q – în timp ce (SIDERIS 1995) recomandă folosirea
distanţei plane dintre cele două puncte:
PQψ
2PQ
2PQPQ )yy()xx(s −+−= , (3.46)
unde respectiv ( reprezintă coordonatele carteziene plane ale punctelor P şi Q. )y,x( PP )y,x QQ
Distanţa s până la care se recomandă evaluarea influenţei corecţiei de relief este funcţie
de altitudinea medie a punctelor din reţeaua gravimetrică (Fig. 3.10). Din aceeaşi figură se
observă că influenţa corecţiei de relief asupra punctului de staţie este cu atât mai mare cu cât
distanţa s este mai mică.
Este evident că efectuarea calculelor din relaţia (3.44) nu este posibilă fără existenţa
unui model numeric al terenului de o bună calitate.
În cazul punctelor reţelei gravimetrice din PGGC, din lipsa unui model numeric al
terenului, corecţiile de relief nu au putut fi calculate folosind relaţia (3.44).
Din acest motiv s-a apelat la o altă modalitate de calcul a corecţiei de relief care constă
în geometrizarea terenului în jurul punctului de staţie, acesta reprezentându-se sub forma unor
sectoare de inel cilindrice (Fig. 3.8).
Pentru fiecare sector S se determină o diferenţă de nivel medie – , între cota medie
a sectorului – H şi cota punctului P –
medPSH∆
medS
PH :
, i = 1, ..., ns (3.47) Pi
medSi
medPS H)H()H( −=∆
unde ns reprezintă numărul de sectoare.
Deoarece semnul corecţiei de relief este întotdeauna pozitiv, semnul diferenţei de nivel
medii – nu are nici o importanţă. medPSH∆
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 38
Fig. 3.8 Geometrizarea terenului în jurul punctului P pentru calculul corecţiei de relief.
Pentru a calcula această influenţă se consideră prisma curbilinie αβγδ, determinată de
razele , şi planele de azimute A şi (Fig. 3.9), în interiorul căreia se ia un element de
masă dm. Acesta este determinat polar prin unghiul A şi distanţa s şi are înălţimea dh, astfel
încât, asemănător relaţiei (3.30), se poate scrie:
iR jR 1 2A
, (3.48) dhsdAdsdvdm ρ=ρ=
unde ρ reprezintă densitatea rocii în elementul de masă dm.
Fig. 3.9 Atracţia prismei curbilinii αβγδ asupra punctului de staţie P situat pe suprafaţa fizică a Pământului.
Fig. 3.10 Atracţia unei calote sferice calculate prin cumul din tabelele lui Cassinis pentru ρ = 1 (după FAVRE 1958).
Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 40
Atracţia prismei considerate, care se presupune că are altitudinea medie , va fi: medSH
medPS
i
jG
G12med
PS
H
H
R
R
A
Ai Hk
RR
lnAHGdhdAsdsGFF
medS
P
j
i
2
1
∆=ρ
∆∆ρ=ρ== ∫∫ ∫αβγδ , (3.49)
unde k este o mărime constantă, care depinde – aşa cum se observă din relaţia de mai sus – de
valorile azimutelor şi ale razelor, iar ∆A reprezintă diferenţa dintre azimutele utilizate în
calcule.
În aceste condiţii, corecţia de relief în punctul P – care este egală cu forţa de atracţie
exercitată de deficitul şi excedentul de mase, în raport cu generalizarea din Fig. 3.5 – se poate
determina cu relaţia:
. (3.50) ∑=
=ns
1ii
Pr Fc
În aceste condiţii, gravitatea perfecţionată în punctul se calculează cu relaţia: 0P
. (3.51) Pr
PP
PF
PPr
PBC
PPBP cFFgcFgg 0 +∆−∆+=+∆+=
Pentru calculul corecţiilor de relief s-a utilizat o paletă circulară cu razele de 50, 100,
200 şi 400 m şi cu ∆A = 25G. Cu aceste valori, constanta k ce intervine în relaţia (3.49) va fi:
Tabelul 3.2 Calculul constantei k pentru o paletă circulară cu razele de 50, 100, 200 şi 400 m şi cu ∆A = 25G.
G
Gij
G
Gij )A(AA
ρρ
∆ −= 6990.392
63.6619825
=
)RRln(ij
1470.693ln2 =
ρ [gcm-3] 2.67
G [cm3s-2g-1] 6.673*10-8
k ≈ 4.849 730*10-8 s-2
În aceste condiţii, dacă ∆ se exprimă în metri, c se obţine în microgali. medPSH P
r
Capitolul 4
METODE DE INTERPOLARE FOLOSITE ÎN GEODEZIA FIZICĂ
4.1 INTERPOLAREA ÎN CONTEXTUL GEODEZIEI FIZICE
Aproximarea unei funcţii
Problema aproximării unidimensionale a unei funcţii de o variabilă se poate formula în
diverse moduri. Dintre acestea, cele mai frecvente sunt următoarele:
a. funcţia este cunoscută, dar are o formă complicată, dificil de manipulat în calcule;
b. funcţia este incomplet cunoscută (se cunosc doar valorile sale pentru o mulţime
discretă şi finită de puncte).
În primul caz, aproximarea se poate face în principiu mai exact, numărul de restricţii
fiind dependente de complexitatea funcţiei.
În al doilea caz, informaţiile sunt mai reduse şi trebuie completate cu ipoteze
suplimentare, referitoare de exemplu, la gradul de regularitate al funcţiei (continuitatea sa şi a
derivatelor sale).
Pentru aproximarea unei funcţii , definită prin valorile R→]b,a[:f ii y)x(f = în
punctele unei diviziuni ]bi(,x]b,a[D i ,a[)n,,0 ⊂==
)x(f)x(F ii =
K
A]b,a[D ⊂
, se foloseşte o funcţie
care satisface condiţiile pe (Fig. 4.1). Punctele diviziunii se mai
numesc şi noduri.
R→A:F
Fig. 4.1 Aproximarea unidimesională a unei funcţii de o variabilă.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 42
În general, când se urmăreşte obţinerea unei formule de aproximare valabilă pentru o
clasă largă de funcţii, eroarea ce rezultă din aproximarea funcţiei f prin funcţia F este diferită de
zero.
Funcţia F trebuie să aibă o formă simplă, adică să fie uşor de evaluat, de diferenţiat şi de
integrat. În multe aplicaţii, această funcţie se alege sub forma unui polinom algebric. Există însă
şi posibilitatea utilizării polinoamelor generalizate de forma:
, (4.1) ∑=
ϕ=n
1iiin )x(c)x(F
unde ϕ reprezintă funcţii liniar independente (coeficienţii )x(i n10 ccc === K din ecuaţia:
(4.2) ∑=
=ϕn
1iii 0)x(c
pot fi unic determinaţi pentru orice valoare a lui n).
Cele mai utilizate funcţii liniar independente folosite pentru aproximare sunt
polinoamele Legendre, Laguere, Cebâşev, Newton, Taylor, polinoamele ortogonale Hermite,
polinoamele trigonometrice (seriile Fourier) şi polinoamele spline cubice.
În cazurile enunţate mai sus, alegerea unui criteriu de aproximare este foarte
importantă. Dintre acestea, cele mai utilizate sunt:
a. Interpolarea. În acest caz, condiţia principală este ca funcţia F(x) să capete în
noduri aceleaşi valori ca funcţia f(x):
. (4.3) ii y)x(F =
Acest criteriu presupune că poziţiile nodurilor ( sunt cunoscute fără eroare. )y,x ii
b. Minimizarea sumei pătratelor în noduri. În acest caz se impune ca suma
pătratelor diferenţelor dintre cele două funcţii, pentru nodurile avute în vedere, să fie minimă:
minim. (4.4) ∑=
→−n
1i
2iii )]x(Fy[
Aşa cum este cunoscut, metoda menţionată poartă denumirea de metoda celor mai mici
pătrate sau metoda pătratelor minime.
Problema aproximării multidimensionale a unei funcţii de mai multe variabile se poate
formula de o manieră asemănătoare.
Trebuie subliniat că, metodele de aproximare au cunoscut un salt calitativ semnificativ
odată cu definirea şi implementarea noţiunii de model numeric al unui obiect, implementare la
care o contribuţie însemnată a fost adusă de perfecţionarea aparatului matematic în general şi al
analizei numerice în special.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 43
Scopul interpolării şi definirea conceptului de interpolare
Cele mai importante probleme ale geodeziei fizice se rezolvă cu ajutorul calculului
integral în care domeniul de definiţie este extins la întreaga suprafaţă a Pământului, în fapt,
necunoscută.
Strict riguros, rezolvarea acestor integrale ar implica cunoaşterea valorilor gravităţii g în
fiecare punct P de pe suprafaţa fizică a Pământului, ceea ce practic este imposibil. Chiar şi în
cele mai dense reţele gravimetrice gravitatea g se măsoară doar într-un număr limitat de puncte
(i = 1,..., n). iP
Suplimentarea acestor valori se poate realiza pentru un număr oarecare de puncte cu
ajutorul unui procedeu de calcul estimativ care poartă denumirea de predicţie (prin care se
înţelege aplicarea concomitentă sau separată a operaţiunilor de interpolare şi extrapolare). În
cazul în care punctul P pentru care se realizează predicţia se află în interiorul reţelei
gravimetrice, acest procedeu se numeşte interpolare, iar atunci când punctul se află în
exteriorul reţelei gravimetrice, procedeul poartă denumirea de extrapolare.
kP
k
Mărimile gravimetrice folosite pentru interpolare
Anomaliile gravimetrice cele mai utilizate în geodezia fizică sunt anomaliile Faye
deoarece au efect indirect mic – însă dependenţa lor pronunţată în raport de relief creează
variaţii mari chiar pe zone mici, conducând la dificultăţi de reprezentare şi interpolare a
acestora.
De aceea, pentru interpolare se apelează la anomaliile Bouguer perfecţionate (simple),
care au efect indirect mare, astfel că nu sunt recomandate pentru scopuri geodezice, în schimb
au variaţii mici şi uniforme pe zone întinse, pretându-se foarte bine pentru interpolare.
În consecinţă, pentru obţinerea anomaliei Faye într-unul din punctele , de care am
vorbit în prealabil, se procedează astfel:
kP
• se calculează anomalia Bouguer perfecţionată în toate punctele ale reţelei
gravimetrice – folosind relaţia (3.43);
iP
iPBPg∆
• pentru punctul de interpolat se determină valorile:
− anomaliei Bouguer perfecţionate – ∆ prin interpolare, folosind una din
metodele prezentate în cadrul acestui capitol;
kPBPg
− reducerii de strat intermediar – ; kPHG2 ρπ
− corecţiei de relief , folosind una din relaţiile (3.44) sau (3.50); KPrc
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 44
• se procedează la calculul anomaliei Faye cu relaţia:
. (4.5) kkkk Pr
PPBP
PF cHG2gg −ρπ+∆=∆
Observaţii
a. Nu este recomandabil ca interpolarea să se efectueze asupra anomaliilor Bouguer
perfecţionate propriu-zise (GHIŢĂU 1989), ci asupra valorilor reduse (centrate) ale acestora
(din valorile individuale se scade valoarea medie kPBPg∆ BPg∆ a acestora). Aceste valori vor fi
numite anomalii Bouguer perfecţionate reduse şi vor fi notate ; kPrg∆
b. Analog se procedează şi cu coordonatele planimetrice , care se reduc în
raport de centrul de greutate al punctelor folosite în procesul de interpolare, notate
kk PP y,x
kk Pr
Pr y,x ;
c. După obţinerea valorilor interpolate se adaugă valoarea mediekPrg∆ BPg∆ , rezultând
anomaliile Bouguer perfecţionate interpolate în punctele respective:
BPPr
PBP ggg kk ∆+∆=∆ . (4.6)
Pentru simplificarea scrierii, pe parcursul acestui capitol anomaliile Bouguer perfec-
ţionate reduse vor fi denumite simplu anomalii Bouguer şi vor fi notate – în loc de .
Din acelaşi motiv se va proceda la fel şi cu coordonatele reduse care vor fi denumite
generic coordonate ale unui punct şi vor fi notate simplu x, y.
∆g r∆g
rr y,x
Posibilităţi de reprezentare a câmpului anomaliilor Bouguer folosind metoda elementelor finite
În practică, câmpul anomaliilor Bouguer poate fi asimilat cu o suprafaţă parametrică de
forma:
) , (4.7) p(gp ∆→
p fiind un punct care variază pe o suprafaţă, iar ∆g(p) o funcţie oarecare. Semnificaţia acestei
corespondenţe depinde de sistemul de referinţă. Astfel:
• în cazul unui sistem tridimensional de coordonate – Oxyz, ale cărui axe formează
un triedru rectangular drept de dispunere pozitivă în spaţiul euclidian (Fig. 4.2), p
este un punct care aparţine planului Oxy, iar ∆g(p) reprezintă valoarea anomaliei
Bouguer a punctului situat pe suprafaţa fizică a Pământului care se proiectează pe
planul Oxy în p; referitor la punctul P se poate scrie:
k)p(gOpOP ∆+= , (4.8)
unde kj , ,i sunt versorii corespunzători axelor de coordonate x, y respectiv z;
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 45
Fig. 4.2 Semnificaţia corespondenţei )p(gp ∆→ în cazul unui sistem tridimensional de coordonate.
• în cazul unei reprezentări cartografice, p reprezintă imaginea punctului P în planul
de proiecţie, iar ∆g(p) valoarea anomaliei Bouguer în punctul respectiv.
Modalităţi de definire a funcţiei ∆g
Funcţia ∆g se poate defini cu ajutorul unei combinaţii de funcţii liniar independente
astfel: t1 u,,u K
. (4.9) ∑ ≤≤∆=∆
tj1 jj )p(ug)p(g
Un caz particular de alegere al acestei funcţii este următorul:
∑ ≤≤−∆=∆
tj1 jj )pp(ug)p(g , (4.10)
unde jpp − reprezintă distanţa dintre punctele p şi p . j
Exemple de suprafeţe cu ajutorul cărora se poate aproxima forma câmpului anomaliilor Bouguer
Metoda elementelor finite constă în partiţionarea (discretizarea) unui domeniu dat în
subdomenii disjuncte (de dimensiuni finite), numite elemente finite şi în specificarea funcţiei de
interpolare nu pentru întreg domeniul, ci pentru fiecare element în parte.
Punctele de interconectare ale elementelor finite se numesc noduri.
Dispunerea punctelor p sub forma unei reţele compusă din elemente finite rectangulare
(dreptunghiuri sau pătrate) de mărimi egale poartă denumirea de grid.
Dimensiunile unui astfel de element finit rectangular pe direcţiile x respectiv y se
numesc paşi ai gridului pe cele două direcţii ale sale (x respectiv y).
Aşa cum s-a arătat anterior, câmpul anomaliilor Bouguer poate fi asimilat cu o suprafaţă
parametrică care, funcţie de forma funcţiei ∆g, poate avea proprietăţi diferite.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 46
Exemplul 1. Suprafaţa rectangulară biliniară
Fie pc,l o familie de puncte ce formează un grid într-un sistem de referinţă (c, l reprezintă
coloana respectiv linia pe care se găseşte punctul p, iar h, k – paşii gridului pe cele două direcţii
ale sale):
) , (4.11) k,ch(p ,c ll =
unde c = 1,…, N şi l = 1,…, M.
Pentru un punct p(x, y) situat în interiorul gridului, funcţia ∆g este dată de relaţia:
) (4.12) k/y(Q)ch/x(Qg)p(g,c
g,c l
l l −−∆=∆ ∑unde reprezintă valoarea anomaliei Bouguer corespunzătoare fiecărui punct din grid, iar
Q(t) o funcţie de forma următoare:
g,cg l∆
. (4.13) ≤≤−−
=altfel0
1t1dacă|t|1)t(Q
Din analiza relaţiei (3.2), rezultă că există două numere întregi c, l astfel încât:
şi , (4.14) rch/x += sh/y += l
unde r, s∈ [0, 1).
Acest lucru conduce la afirmaţia că funcţia ∆g scrisă sub forma:
) (4.15) s'(Q)r'cc(Qg)p(g1 , '1c,c'c
','cg
','c +−+−∆=∆ ∑+∈+∈
lll l
lll
are cel mult patru termeni nenuli.
Factorul Q − din relaţia de mai sus este explicitat în Tabelul 4.1. )s'(Q)r'cc( +−+ ll
Tabelul 4.1 Explicitarea coeficientului )s'(Q)r'cc(Q +−+− ll din relaţia (3.5).
)s'(Q)r'cc(Q +−+− ll c' = c c' = c + 1
ll =' Q(r)Q(s) Q(r – 1)Q(s)
1+= ll ' Q(r)Q(s – 1) Q(r – 1)Q(s – 1)
Astfel, relaţia (3.5) devine:
. (4.16) rsgs)r1(g)s1(rg)s1)(r1(g)p(g g1,1c
g1,c
g,1c
g,c ++++ ∆+−∆+−∆+−−∆=∆ llll
Relaţia de mai sus reprezintă formula de calcul pentru interpolarea biliniară. Această
formulă poate fi scrisă şi altfel:
)p(gr)p(g)r1()p(gs)p(g)s1()p(g 4321 ∆+∆−=∆+∆−=∆ , (4.17)
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 47
unde: , rg)r1(g)p(g g,1c
g,c1 ll +∆+−∆=∆ rg)r1(g)p(g g
1,1cg
1,c2 +++ ∆+−∆=∆ ll ,
, , sg)s1(g)p(g g1,c
g,c3 +∆+−∆=∆ ll sg)s1(g)p(g g
1,1cg
,1c4 +++ ∆+−∆=∆ ll
sunt valorile funcţiei ∆g în punctele:
)y,h)1c((pşi)y,ch(p),k)1(,x(p),k,x(p 4321 +==+== ll .
Cu alte cuvinte, ∆g(p) se poate calcula şi prin interpolare liniară între p şi sau între
şi (Fig. 4.3).
1 2p
3p 4p
În particular, pentru ( rezultă ∆)k,ch()y,x l= g,c,c g)k,ch(g)p(g l∆=∆= ll .
Fig. 4.3 Interpolarea biliniară.
Proprietate. Suprafaţa generată de o funcţie de interpolare biliniară, cum este Q, este
continuă şi nederivabilă (Fig. 4.4).
Fig. 4.4 Exemplu de suprafaţă rectangulară biliniară.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 48
Exemplul 2. Suprafaţa rectangulară bicubică
Pentru ilustrarea acestui exemplu se pleacă de la aceeaşi ipoteză folosită la exemplul
precedent.
Prin similitudine cu (3.2), pentru un punct p(x, y), funcţia ∆g este dată de relaţia:
) , (4.18) k/y(U)ch/x(Ug)p(g,c
g,c l
l l −−∆=∆ ∑unde reprezintă valoarea anomaliei Bouguer corespunzătoare fiecărui punct din grid, iar
U(t) o funcţie pară (U(– t) = U(t)) definită pentru astfel:
g,cg l∆
0t ≥
. (4.19)
≥≤≤+−+−≤≤+−
=2tdacă0
2t1dacă2t4t2/5t2/11t0dacă1t2/5t2/3
)t(U 23
23
Grafic, funcţia U(t) se reprezintă astfel:
Fig. 4.5 Graficul funcţiei U(t).
Din analiza relaţiei (3.13), asemănătoare ca formă cu (3.2), rezultă că şi în acest caz
există două numere întregi c, l astfel încât:
şi , (4.14) rch/x += sh/y += l
unde r, s∈ [0, 1).
Acest lucru conduce la afirmaţia că funcţia ∆g scrisă sub forma:
) (4.20) s'(U)r'cc(Ug)p(g2 ,1 ,,1 '2c,1c,c,1c'c
','cg
','c +−+−∆=∆ ∑++−∈++−∈
lll l
lllll
are cel mult şaisprezece coeficienţi nenuli.
Factorul cU − din relaţia de mai sus este explicitat în Tabelul 4.2. )s'(U)r'c( +−+ ll
Tabelul 4.2 Explicitarea coeficientului )s'(U)r'cc(U +−+− ll din relaţia (3.19).
)s'(U)r'cc(U +−+− ll c' = c – 1 c' = c c' = c + 1 c' = c + 2
1−= ll ' U(r + 1)U(s + 1) U(r)U(s + 1) U(r – 1)U(s + 1) U(r – 2)U(s + 1)
ll =' U(r + 1)U(s) U(r)U(s) U(r – 1)U(s) U(r – 2)U(s)
1+= ll ' U(r + 1)U(s – 1) U(r)U(s – 1) U(r – 1)U(s – 1) U(r – 2)U(s – 1)
2+= ll ' U(r + 1)U(s – 2) U(r)U(s – 2) U(r – 1)U(s – 2) U(r – 2)U(s – 2)
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 49
Ca şi în exemplul anterior, şi această formulă de interpolare bicubică poate fi scrisă
altfel: ∆g(p) = U(r + 1) + U(r))p(g 1∆ )p(g 2∆ + U(r – 1) )p(g 3∆ + U(r – 2) = )p(g 4∆
= U(s + 1) + U(s))p(g 5∆ )p(g 6∆ + U(s – 1) )p(g 7∆ + U(s – 2) , (4.21) )p(g 8∆
Fig. 4.6 Interpolarea bicubică.
unde: … ∆ se pot calcula prin interpolare folosind o funcţie spline cubică scrisă
pe coloane, iar … folosind o funcţie spline cubică scrisă pe linii.
)p(g 1∆ )p(g 4
)p(g 5∆ )p(g 8∆
În particular, pentru ( rezultă ∆ (U(0) = 1). )k,ch()y,x l= g,cc g)k,ch(g)p( l∆=∆= ll
A. Proprietăţile funcţiei U
Proprietatea 1. Funcţia U este derivabilă şi are derivata continuă. Aceasta este o funcţie
impară (U'(– t) = – U'(t)). Pentru se defineşte astfel: 0t ≥
. (4.22)
≥≤≤−+−≤≤−
=2tdacă0
2t1dacă4t5t2/31t0dacăt5t2/9
)t('U 2
2
În particular: U'(0) = 0, U'(–1) = 1/2, U'(1) = –1/2, U'(–2) = U(2) = 0.
Proprietatea 2. Dacă f este o funcţie de forma: f(x) = ∑ −∆c
gc )cx(Ug , iar c un număr
întreg, atunci:
)gg(21)c(f g
1cg
1c'
−+ ∆−∆= (4.23)
pentru orice abscisă întreagă c (Fig. 4.7).
Fig. 4.7 Interpretarea fizică a proprietăţii de derivabilitate a funcţiei U.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 50
Proprietatea 3. Formula de interpolare (sau reconstruire) a unei funcţii f pornind de la
un eşantion f(c) cu c - număr întreg:
(sumă finită) (4.24) ∑ −=∆cf )cx(U)c(fg
este exactă pentru polinoame de grad mai mic sau egal cu doi; asta înseamnă că dacă
, atunci: rqxpx)x(P 2 ++=
. )x(P)cx(U)c(P)x(gcp =−=∆ ∑
Această proprietate se poate proba uşor. Deoarece fg∆ depinde liniar de f, este suficient
ca ea să se verifice pentru polinoamele 1, x şi 2x .
Dacă notăm t = x – c (c ≤ x ≤ c + 1) şi considerăm o funcţie oarecare f, rezultă:
f(c – 1)(– 1/2 – 1/2t) + f(c)(3/2 – 5/2 + 1) + =∆ )x(gf3t + 2t 3t 2t
+ f(c + 1)(– 3/2 + 2 + 1/2t) + f(c + 2)(1/2 – 1/2 ). 3t 2t 3t 2t
Relaţia de mai sus se poate scrie şi astfel:
1/2 [– f(c – 1) + 3f(c) – 3f(c + 1) + f(c + 2)] + =∆ )x(gf3)cx( −
+ 1/2 [2f(c – 1) – 5f(c) + 4f(c + 1) – f(c + 2)] + 2)cx( −
+ 1/2 [– f(c – 1) + f(c + 1)](x – c) + f(c).
În această ultimă relaţie se verifică că fg f =∆ numai când f = 1, x sau 2x .
Observaţii
a. Egalitatea ∆ nu este valabilă pentru polinoame de grad mai mare ca doi. De
exemplu, pentru funcţia , se obţine . Eroarea e(x) =
este cuprinsă între – 0.096 şi + 0.096.
fgf =
)x(f =
x3 23 +−
)1x0(x 3 ≤≤
x
xx3x3)x(g 23f =−=∆
x2)x(f)x(gf =−∆=
b. Prin construcţie, funcţia U îndeplineşte următoarele condiţii:
• este de forma unui polinom de gradul trei pe intervalele [0, 1] şi [1, 2];
• este pară;
• este nulă în afara intervalului [–2, 2];
• are derivata continuă;
• U(0) = 1 şi U(1) = 0.
Prin urmare, se poate arăta că U este de forma:
= (a+2)xaV 3 – (a+3)x2 + 1 pe intervalul [0, 1]
= axaV 3 – 5ax2 + 8ax – 4a pe intervalul [1, 2].
Dacă în particular se pune şi condiţia ca fgf =∆ să fie adevărată pentru f(x) = x
, se obţine: )1x0( ≤≤
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 51
x = ∑ = = – V≤≤−
−2c1
)cx(cU ∑ ≤≤−−
2c1 a )cx(cV a(x + 1) + Va(x – 1) + 2Va(x – 2).
Derivând relaţia de mai sus, pentru x = 0 avem:
1 = – V (1) + V (–1) + 2 (–2). 'a
'a
'aV
Înlocuind – (1) = (–1) = – a şi (–2) = 0 rezultă a = – 1/2. 'aV '
aV 'aV
c. Funcţiile V de mai sus (în particular a 2/1VU −= ) verifică relaţia: . ∫ = 1dx)x(Va
B. Proprietăţile suprafeţei rectangulare bicubice
Aceste proprietăţi decurg din proprietăţile funcţiei U.
Proprietatea 1. Suprafaţa generată de o funcţie de interpolare bicubică este continuă şi
derivabilă (asemănător funcţiei U – Fig. 4.8).
Fig. 4.8 Suprafaţa rectangulară bicubică.
Proprietatea 2.
, (4.25) ∫ ∑ ∆=l l,c
g,cgkhdxdy)y,x(∆g
unde h, k reprezintă paşii gridului pe cele două direcţii ale sale.
Proprietatea 3. Derivatele funcţiei ∆g în nodurile ale gridului se pot calcula relativ
simplu, cu ajutorul relaţiilor:
l,cp
)gg(h21)p(∆g g
,1cg
,1cc'x lll −+ ∆−∆= , )gg(
k21)p(∆g g
1,cg
1,cc'y −+ ∆−∆= lll . (4.26)
Proprietatea 4. Dacă P şi Q sunt două polinoame de grad mai mic sau egal cu doi,
atunci:
; (4.27) ∑ =−−l,c
)y(Q)x(P)y(U)cx(U)(Q)c(P ll
altfel spus, o funcţie de forma ∆g(x, y) = P(x)Q(y) se poate reconstitui exact plecând de la un
eşantion . gcg l∆
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 52
Consideraţii privind corelaţia spaţială a anomaliilor Bouguer
Pentru a interpola anomalia Bouguer într-un punct P nu trebuie să cunoaştem doar
forma funcţiei ∆g ci şi informaţii statistice cu privire la continuitatea spaţială a anomaliilor
Bouguer (modul de distribuţie al acestora).
Simpla analiză a elementelor a două eşantioane oarecare folosind doar indicatori
statistici care exprimă tendinţa centrală de grupare a datelor (cum ar fi media), împrăştierea
datelor (cum ar fi dispersia), sau forma distribuţiei (cum ar fi coeficientul de variaţie) poate
genera confuzii privind reprezentarea spaţială a acestora. Spre exemplificare, în figura de mai
jos se prezintă două eşantioane care au acelaşi număr de elemente – 252, aceeaşi medie – 28.54,
aceeaşi dispersie – 58.04 şi acelaşi coeficient de variaţie – 2.03.
Fig. 4.9 Importanţa analizei continuităţii spaţiale a datelor. Pentru evitarea unor astfel de situaţii se apelează la geostatistică.
În cele ce urmează se vor face referiri la două modalităţi de corelaţie statistică:
autocorelaţia – corelaţia dintre anomalia gravimetrică într-un punct cu cea existentă în fiecare
din celelalte puncte şi corelaţia anomaliilor gravimetrice cu înălţimea.
A. Autocorelaţia – poate fi analizată folosind metode grafice sau numerice (indicatori
statistici).
Metode grafice
s-graficul
Pentru înţelegerea modului de realizare al unui s-grafic se introduce convenţia de notaţie
început – sfârşit (DEUTSCH 1998). Această convenţie este prezentată sugestiv în figura
următoare:
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 53
Fig. 4.10 Convenţia început – sfârşit (după DEUTSCH 1998).
În Fig. 4.10, reprezintă valoarea anomaliei Bouguer în punctul de început, –
valoarea anomaliei Bouguer în punctul de sfârşit sau în punctul pereche, iar s – distanţa dintre
cele două puncte.
tg∆ hg∆
Un s-grafic se realizează prin raportarea în abscisă a valorilor şi în ordonată a
valorilor , unde i reprezintă numărul perechii de puncte separate prin distanţa s.
tig∆
hig∆
Fig. 4.11 Modul de realizare al unui s-grafic.
Cu cât anomaliile Bouguer sunt mai corelate, cu atât ele se vor situa, în s-grafic, mai
aproape de dreapta de 45° ce trece prin origine. În general, se poate afirma că, cu cât distanţa s
este mai mică cu atât anomaliile Bouguer corespondente sunt mai corelate.
Cu ajutorul unui s-grafic se pot detecta şi pune în evidenţă:
• posibilele puncte cere nu aparţin populaţiei considerate (care vor apare ca puncte
total izolate);
• existenţa unor posibile populaţii distincte (ce vor apare sub forma unor nori de
puncte) (ROSSI 1992);
• tendinţele mediilor şi abaterilor standard locale.
Dezavantajul unui s-grafic este că nu poate să prezinte de o manieră precisă şi succintă
dependenţa spaţială a datelor de analiză. Pentru aceasta se apelează la semi-variograma
experimentală care, aşa cum vom vedea în continuare (Fig. 4.12), este o reprezentare sumară a
informaţiei oferite de mai multe s-grafice.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 54
Metode numerice (indicatori statistici)
Cei mai utilizaţi indicatori statistici pentru descrierea corelaţiei spaţiale sunt următoarele
funcţii: variograma (semi-variograma), covarianţa (care se mai numeşte şi covariogramă), şi
corelograma.
1. Variograma (semi-variograma) – 2γ (γ)
Pentru un câmp de anomalii Bouguer, semi-variograma se calculează cu relaţia:
2hi
)s(n
1i
ti )gg(
)s(n21)s( ∆−∆=γ ∑
=
, (4.28)
în care , şi s sunt definite conform convenţiei început – sfârşit prezentată anterior, iar
n(s) reprezintă numărul de perechi de puncte care se formează pe baza aceleiaşi convenţii.
tig∆ h
ig∆
Schematic, modalitatea de calcul a semi-variogramei experimentale este prezentată în
figura de mai jos:
Fig. 4.12 Modul de obţinere al semi-variogramei experimentale.
Observaţii
a. În cazul unui câmp de anomalii Bouguer cu o spaţiere neregulată ca cel din
Fig. 4.11, există puţine perechi de puncte ale căror valori se găsesc la distanţa s una de cealaltă.
De aceea, pentru calculul semi-variogramei, se defineşte un interval de toleranţă a cărui
mărime poate ajunge până la 0.5s, care se adaugă distanţei s;
b. În practică, s-a constatat că pentru obţinerea unor semi-variograme corecte este
indicat să se respecte două reguli:
• fiecare interval s să fie reprezentat de cel puţin 30-50 de perechi de puncte;
• să se folosească punctele situate pe o distanţă egală cu aproximativ jumătate din
lăţimea regiunii din care a fost selectat eşantionul (nu contează direcţia).
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 55
Parametrii care caracterizează o semi-variogramă sunt:
• – efectul de discontinuitate în origine (nugget effect, în engleză) – reprezintă
valoarea din semi-variogramă la care semi-variograma model intersectează
ordonata. Acesta provine din două surse, şi anume:
0C
– neconsiderarea tuturor perechilor de puncte mai mici decât distanţa s;
– eroarea experimentală, adesea numită şi discontinuitate umană (human nugget,
în engleză);
• – pragul semi-variogramei (sill, în engleză) – reprezintă scara verticală
totală a semi-variogramei. Acesta se obţine prin însumarea discontinuităţii la
origine cu scara componentei structurate a semi-variogramei, care se mai notează
cu C. Unele dintre modele, cum ar fi: modelele putere – Fig. 4.18, modelul liniar –
Fig. 4.19 şi modelul logaritmic – Fig. 4.22 nu au prag;
CC0 +
• A – distanţa maximă de corelaţie (lungimea semi-variogramei) (range sau length, în
engleză) – reprezintă distanţa dincolo de care oricare două perechi de valori pot fi
considerate independente una în raport cu cealaltă.
Aceşti parametri sunt prezentaţi în figura următoare:
Fig. 4.13 Parametrii semi-variogramei.
Tipuri de semi-variograme
a. Semi-variograma izotropică (omnidirecţională) – este acea semi-variogramă creată
pe baza perechilor de puncte selectate doar pe criteriul distanţei plane dintre acestea (fără
componentă direcţională). Distanţa plană s se calculează cu relaţia bine cunoscută:
2th
2th )yy()xx(s −+−= , (4.29)
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 56
unde , reprezintă coordonatele carteziene ale punctului de început respectiv
ale punctului de sfârşit;
)y,x( tt )y,x( hh
b. Semi-variograma standardizată – se obţine prin împărţirea tuturor valorilor
semi-variogramei la abaterea standard totală a eşantionului cu scopul de a permite compararea a
diferite seturi de date care aparţin aceleiaşi populaţii. Matematic, acest lucru se exprimă cu
relaţia:
(s)γs
ss
s)s()s(+− σσ
γ=γ , (4.30)
unde γ(s) reprezintă semi-variograma, s−σ – abaterea standard a anomaliilor Bouguer în
punctele de început, iar s+σ – abaterea standard a anomaliilor Bouguer în punctele de sfârşit.
Dispersiile corespunzătoare abaterilor standard anterioare se calculează cu relaţiile:
∑=
−− −∆=σ)s(n
1i
2s
2ti
2s m)g(
)s(n1 , (4.31)
∑=
++ −∆=σ)s(n
1i
2s
2hi
2s m)g(
)s(n1 , (4.32)
în care reprezintă media valorilor anomaliilor Bouguer în punctele de început, –
media valorilor anomaliilor Bouguer în punctele de sfârşit, iar n(s) – numărul de perechi de
puncte. Cele două medii se calculează cu relaţiile:
sm− sm+
∑=
− ∆=)s(n
1i
tis g
)s(n1m , (4.33)
∑=
+ ∆=)s(n
1i
his g
)s(n1m . (4.34)
c. Semi-variograma anizotropică – este acea semi-variogramă în care perechile de
puncte sunt selectate pe criteriul direcţiei (unghiului de anizotropie) şi distanţei. Unghiul de
anizotropie se calculează cu relaţia:
th
th
xxyy
arctg−−
=θ . (4.35)
d. Semi-variograma indicator – se calculează după ce datele au fost transformate într-o
formă binară (0 sau 1), cu scopul de a indica prezenţa sau absenţa anumitor variabile sau valori
care au depăşit o anumită valoare de prag.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 57
Pentru ca sistemele (3.6) şi (3.35) să aibă soluţii unice şi stabile, trebuie ca matricele C
respectiv D să fie pozitiv definite. Această condiţie poate fi satisfăcută dacă pentru covarianţă,
respectiv semi-variogramă se utilizează doar modele de funcţii pozitiv definite. Chiar dacă acest
lucru pare restrictiv la prima vedere, prin compunerea de funcţii pozitive elementare se pot
forma funcţii pozitive complexe.
Cel mai simplu model de funcţie elementară pozitiv definită este modelul efectului de
discontinuitate în origine (ISAAKS 1989), care se exprimă prin ecuaţia:
. (4.36) =
=γaltfel 1
0s dacă 0)s(
Alte modele de funcţii pozitive elementare sunt prezentate în figurile următoare:
Fig. 4.14 Modelul exponenţial Fig. 4.15 Modelul gaussian
(după CRESSIE 1991) (după PANNATIER 1996)
)e1(C)s( s−−=γ )e1(C)s(2s−−=γ
Fig. 4.16 Modelul pătratic Fig. 4.17 Modelul pătratic raţional
(după ALFARO 1980) (după CRESSIE 1991)
=γ≥
<−
1sC
1s)ss 2(C 2
)s(
+
=γ2
2
s1
sC)s(
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 58
0 < s < 1 1 < s < 2
Fig. 4.18 Modelele putere
(după PANNATIER 1996) 2n0s C)s( n <<=γ
Fig. 4.19 Modelul liniar Fig. 4.20 Modelul undă
(după KITANIDIS 1997) (după CRESSIE 1991)
s C)s( =γ
−=γs
s sin1C)s(
Fig. 4.21 Modelul sferic Fig. 4.22 Modelul logaritmic
(după PANNATIER 1996) (după KITANIDIS 1997)
≥
<−=γ
1sC
1s)s 5.0s 5.1(C)s(
3
0ssln C)s( >=γ
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 59
După determinarea gradului de autocorelaţie al anomaliilor Bouguer pentru punctele din
eşentionul considerat, semi-variograma experimentală se utilizează pentru determinarea
vectorului ponderilor w din sistemele (3.6) şi (3.35). Cu alte cuvinte, aceasta se foloseşte pentru
a aloca fiecărui punct din eşantion o pondere în funcţie de poziţia ocupată de acesta în spaţiu
faţă de punctul de interpolat. Prin urmare, prima etapă în kriging constă din găsirea unei ecuaţii,
semi-variograma model, cu ajutorul căreia să se modeleze semi-variograma experimentală.
Semi-variograma este un indicator statistic ergodic deoarece acordă ponderi egale
tuturor perechilor de puncte. Dacă generalizăm pentru cazul unei populaţii formată din mai
multe eşantioane de puncte, înseamnă că tuturor eşantioanelor li se acordă ponderi egale, ceea
ce ar duce la concluzia că un eşantion oarecare este reprezentativ pentru întreaga populaţie. În
realitate însă nu se întâmplă aşa ceva, deoarece mediile şi abaterile standard locale ale
eşantioanelor sunt diferite. Acest aspect este sugestiv reprezentat în figura următoare:
Fig. 4.23 Profiluri ipotetice de valori care ilustrează relaţiile dintre media locală şi abaterea standard locală. În fig. (a), media locală, reprezentată printr-o linie dreaptă/curbă şi abaterea standard sunt constante. În fig. (b), media este caracterizată de o anumită tendinţă, în timp ce abaterea standard rămâne constantă. În fig. (c), media este constantă, în timp ce abaterea standard este caracterizată de o anumită tendinţă, iar în fig. (d), atât media cât şi abaterea standard sunt caracterizate de o anumită tendinţă (după ISAAKS 1989).
Datorită acestui fapt, s-au dezvoltat indicatori statistici non-ergodici cum ar fi
covarianţa (care ia în calcul mediile eşantioanelor) şi corelograma (care ia în calcul atât
mediile cât şi abaterile standard ale eşantioanelor).
Observaţie
O altă modalitate de definire a variogramei este următoarea: fiind date două puncte p şi
q în care se cunosc valorile anomaliilor Bouguer ∆g(p) respectiv ∆g(q), se poate defini
variograma ca fiind σ2[∆g(p) – ∆g(q)].
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 60
2. Covarianţa – C(s)
Pentru un câmp de anomalii Bouguer, funcţia de covarianţă se calculează cu relaţia:
sshi
)s(n
1i
ti mmgg
)s(n1)s(C +−
=
−∆∆= ∑ . (4.37)
Mărimile care intervin în relaţia de mai sus au fost definite anterior de relaţiile (4.33) şi
(4.34).
Pentru anumite scopuri, printre care şi acela de interpolare locală, este necesară
cunoaşterea locală a funcţiei de covarianţă.
Fiind date două puncte p şi q în care se cunosc valorile anomaliilor Bouguer ∆g(p)
respectiv ∆g(q), covarianţa caracterizează corelaţia statistică a acestor anomalii (covarianţa
pozitivă semnifică faptul că ∆g(p) şi ∆g(q) tind să aibă aceeaşi mărime şi acelaşi semn;
covarianţa negativă semnifică că ∆g(p) şi ∆g(q) tind să aibă aceeaşi mărime dar semne opuse;
covarianţa zero arată că ∆g(p) şi ∆g(q) sunt independente).
Dacă se consideră că funcţia de covarianţă depinde de distanţa s dintre p şi q, se poate
scrie:
cov[∆g(p), ∆g(q)] = C( qp − ) = C(s). (4.38)
Dacă s = 0, avem:
cov[∆g(p), ∆g(q)] = var[∆g(p)]2 = C(0). (4.39)
Determinarea practică a funcţiei de covarianţă reprezintă o problemă dificil de rezolvat
riguros, deoarece pentru determinarea ei ar trebui cunoscută valoarea gravitaţiei în fiecare punct
de pe suprafaţa fizică a Pământului.
Conform (MORITZ 1989), cea mai cunoscută funcţie de covarianţă utilizată în plan este
funcţia lui Gauss (funcţia densitate de probabilitate), definită astfel:
, (4.40) 2ij
2sc0ijji eC)s(C)pp(C
−==
unde C şi c sunt două constante. 0 0≥
Această funcţie este pozitiv definită şi este singura care se bucură de proprietatea că
transformata sa Hankel este tot o funcţie Gauss.
Din păcate, funcţia Gauss nu are o extensie armonică simplă în semispaţiul superior
(z > 0), motiv pentru care nu este indicat să fie folosită ca funcţie de covarianţă spaţială.
Specialiştii şi-au îndreptat atenţia şi către alte modele analitice ale funcţiei de
covarianţă, cum ar fi:
m22ij
0ijji )d/s1(
C)s(C)pp(C
+== , (4.41)
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 61
unde este o constantă , iar 0C ))0(CC( 0 = 2ji
2jiij )yy()xx( −+−=s .
Relaţia (4.41) este valabilă pentru s km100ij < , caz în care distanţa d – distanţa maximă
de corelaţie (Fig. 4.24) se consideră egală cu 40 km, iar C . 20 mgal337=
Pentru cazul reţelei gravimetrice din PGGC unde s km1ij < , am considerat d = 400 m.
Se observă că pentru m = 1, C este identică cu funcţia de covarianţă a lui
Hirvonen (HEISKANEN 1967).
)pp( ji
Moritz demonstrează că funcţia dată de (4.41) admite o extensie armonică simplă în
semispaţiul superior doar pentru m = 1/2 şi m = 3/2:
2/12ji
2ij
0ijji ])dzz(s[
dC)s(C)pp(C
+++== , (4.42)
2/32ji
2ij
30
ijji ])dzz(s[dC
)s(C)pp(C+++
== . (4.43)
Deoarece nu se va lua în calcul corelaţia cu înălţimea (vezi "Consideraţii privind
corelaţia spaţială a anomaliilor Bouguer" punctul B), în cazul 0zz ji == relaţiile de mai sus
devin:
2/122ij
0ijji )d/s1(
C)s(C)pp(C
+== , (4.44)
2/322ij
0ijji )d/s1(
C)s(C)pp(C
+== . (4.45)
Datorită faptului că spectrul transformării Hankel al celor două funcţii de mai sus este
pozitiv, rezultă că funcţiile sunt pozitiv definite.
Grafic, forma tipică a funcţiei C(s) se poate reprezenta astfel:
Fig. 4.24 Reprezentarea grafică a funcţiei de covarianţă.
Conform (MORITZ 1978) se pot folosi şi alte funcţii de covarianţă, cum ar fi funcţiile
de covarianţă de ordin superior derivate din modelul Markov, date de relaţiile:
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 62
, (4.46) d/s
ij0ijije)]d/s(1[C)s(C
−+=
. (4.47) d/s22
ijij0ijije)]d3/s()d/s(1[C)s(C
−++=
Observaţie
Legătura dintre semi-variogramă şi covarianţă se exprimă prin relaţia:
γ(s) = C(0) – C(s). (4.48)
Din relaţia de mai sus se observă că semi-variograma se poate deduce din covarianţă, în
timp ce operaţia inversă nu este posibilă.
3. Corelograma – ρ(s)
Pentru un câmp de anomalii Bouguer, corelograma se calculează cu relaţia:
ss
)s(C)s(+− σσ
=ρ . (4.49)
Mărimile care intervin în relaţia de mai sus au fost definite anterior de relaţiile (4.31),
(4.32) şi (4.37).
Observaţie
Între corelogramă şi covarianţă există relaţia:
ρ(s) = C(s)/C(0). (4.50)
O bună cunoaştere a autocorelaţiei spaţiale a anomaliilor Bouguer reprezintă un pas
important în analiza heteroscedasticităţii acestora. Acest fapt implică definirea unor regiuni în
care anomaliile Bouguer să aibă un comportament statistic omogen. În acest caz, pentru studiul
continuităţii spaţiale al anomaliilor Bouguer se recomandă folosirea cu caracter local a
indicatorilor statistici menţionaţi anterior: variograma, covarianţa şi covariograma.
B. Corelaţia anomaliilor gravimetrice cu înălţimea – nu se ia în calcul în cazul
anomaliilor Bouguer, deoarece se consideră că reducerile aplicate acestora (vezi 4.1 –
"Mărimile gravimetrice folosite pentru interpolare") le determină la nivelul geoidului. Mai
multe detalii pot fi găsite în (HEISKANEN 1967).
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 63
4.2 METODE DE CONSTRUIRE A GRIDULUI ANOMALIILOR
BOUGUER
Importanţă. Scop. Utilitate
Substituirea valorilor anomaliilor Bouguer cunoscute în punctele unei reţele
gravimetrice cu un grid de paşi cunoscuţi a devenit o practică curentă în geodezia fizică,
practică ce a fost impusă în special de procedurile de automatizare a calculelor. Această
substituire oferă următoarele avantaje:
• memorarea unei singure date: ; gg∆
• posibilitatea filtrării erorilor accidentale;
• diminuarea timpului de calcul;
• posibilitatea impunerii cu uşurinţă a condiţiilor ce asigură continuitatea suprafeţei
care descrie câmpul anomaliilor Bouguer;
• rezolvarea fără dificultate a problemelor de racordare între suprafeţe diferite.
Stabilirea dimensiunilor paşilor gridului
Mărimile paşilor gridului pe direcţiile x respectiv y pot diferi sau pot fi egale. Stabilirea
dimensiunilor paşilor gridului este o operaţiune foarte importantă şi foarte delicată, deoarece
trebuie făcută astfel încât să nu se producă pierderi semnificative de informaţie.
Pentru determinarea valorilor paşilor gridului se ţine în principal seama de legea lui
Shanon, conform căreia, frecvenţa optimă de eşantionare a unui semnal (care se mai numeşte şi
frecvenţa lui Nyquest) este direct proporţională cu cea mai înaltă frecvenţă conţinută de
semnalul respectiv, adică:
. (4.51) maxN f2f =
Dacă se trece din domeniul frecvenţelor în cel al lungimilor de undă, se poate scrie:
2min
Nλ
=λ . (4.52)
Valoarea lungimii de undă este ilustrată în Fig. 4.25:
Fig. 4.25 Lungimea de undă.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 64
Din păcate, este dificil de determinat din punct de vedere practic. De aceea, cei mai
mulţi dintre autori consideră că relaţia (3.14) nu constituie decât un indiciu cu privire la
stabilirea paşilor gridului şi recomandă ca pe lângă folosirea acesteia să se ţină seama atât de
natura fenomenului de modelat cât şi de sfatul unor specialişti cu experienţă în domeniu.
minλ
Formularea problemei
Pentru un eşantion de puncte Pi de pe suprafaţa fizică a Pământului care aparţin unei
reţele gravimetrice se cunosc coordonatele plane p )y,x( iii = şi anomaliile Bouguer
.
iPig∆
)n ,...,1i( =
Se caută o funcţie ∆g(p) care să descrie cel mai bine forma câmpului generat de
anomaliile Bouguer – formă asimilată cu o suprafaţă parametrică, a cărei imagine în planul de
proiecţie să fie un grid de M linii şi N coloane.
Chiar din enunţul problemei se vede că aceasta nu are o singură soluţie, deoarece:
• există mai multe moduri de alegere a formei funcţiei ∆g (cum ar fi de pildă cele
prezentate în exemplele 1 şi 2 din acest capitol);
• pentru o anumită formă dată a funcţiei ∆g, aceasta se poate ajusta în moduri diferite
folosind acelaşi eşantion de puncte;
• pentru un grad de ajustare dat, pot exista mai multe soluţii pentru ∆g.
În cazul în care funcţia ∆g este asemănătoare cu funcţia propusă prin relaţia (3.12):
∑ ≤≤−∆=∆
tj1 jgj )rp(ug)p(g , (4.53)
valorile ale celor t parametri se vor determina prin ajustarea funcţiei ∆g pentru eşantionul
de puncte considerat folosind metoda celor mai mici pătrate ( reprezintă punctele câmpului
anomaliilor Bouguer care participă la scrierea formulei de interpolare pentru punctul p). Cu alte
cuvinte, se caută astfel încât:
gjg∆
jr
)
0
g,,g( gt
g1 ∆∆= Kg∆g
→ minim, (4.54) ∑ ≤≤∆−=∆
ni12P
ii2i
g ]g)p(∆g[w)g(G i
în care coeficienţii de pondere redau gradul de netezire al funcţiei . iw )gG( g∆
Se demonstrează că dacă t > n (numărul de parametri este mai mare decât numărul de
puncte care aparţin eşantionului), există
astfel încât v
v
p
1
≠
= Mv 0v
v
)rp(u)rp(u
)rp(u)rp(u
p
1
nn1n
p111
==
−−
−−AvM
L
MOM
L
,
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 65
ceea ce implică că funcţia verifică (i = 1,…, n). Deci orice
funcţie de forma poate fi soluţie, deoarece:
∑ ≤≤−=
tj1 jj )rp(uv)p(V 0)p(V i =
V∆ggw α+
(4.55) gG(gG( gw
gw ∆=∆−=α+∆ ∑ ≤≤ ni1
2Piiw
2i ]g)p(∆g[w)V i )
este minimă.
În astfel de cazuri, pentru a obţine o soluţie unică, funcţiei ∆g trebuie să i se impună
condiţii suplimentare. Exemple de astfel de condiţii sunt prezentate în 4.2.1, 4.2.2 şi 4.2.3.
4.2.1 Realizarea gridului elastic
Se caută o suprafaţă rectangulară biliniară (V = Q în exemplul 1 prezentat anterior) sau
bicubică (V = U în exemplul 2 prezentat anterior) definită de funcţia:
, (4.56) ∑ ∑≤≤ ≤≤−−∆=∆
Nc1 M1g,c )k/y(V)ch/x(Vg)y,x(g l
l l
în care pentru simplificarea calculelor se consideră k = h.
Se revine astfel la situaţia prezentată în "Formularea problemei" cu notaţiile: ,
şi .
)y ,x(p =
)k ,ch(r l= )h/t(V)h/s(V) t,s(u)rp(u j ==−
Se ştie, de asemenea, că nu există un singur set de valori ∆ care să
minimizeze funcţia:
)g( cgl∆=gg
. (4.57) ∑ <≤∆−=∆
ni12P
ii2i
g ]g)p(∆g[w)g(G i
Pentru asigurarea unei soluţii unice de realizare a gridului elastic, oricare ar fi eşantionul
de puncte considerat, trebuie introdusă condiţia suplimentară:
g(G)g(K)g(E ggg ∆+∆= )∆ → minim, (4.58)
unde: ∑ ∑ ∑ ∑−
= = =
−
= +−+− ∆+∆−∆+∆+∆−∆=∆1N
2c
M
1
N
1c
1M
22g
1,cg,c
g1,c
2g,1c
g,c
g,1c
g )gg2g()gg2g()g(Kl llllll l
.
(4.59)
4.2.1.1 Interpretarea condiţiei de minim a funcţiei E )g( g∆
Interpretarea geometrică
) exprimă curbura medie pătratică a întregii suprafeţe. De fapt, suprafaţa care
aproximează forma câmpului anomaliilor Bouguer este cu atât mai curbată în punctul , adică
se depărtează mai mult de un plan, cu cât valorile şi
sunt mai mari.
g(K g∆
g,cg2∆− l
lcp
g,1c l+
2g,c
g,1c )gg2g( ll− ∆+∆−∆
2g1,c
g1,c )gg( +− ∆+∆ ll
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 66
Fig. 4.26 Interpretarea geometrică a condiţiei de minim a funcţiei . )g(K g∆
Interpretarea fizică
Suprafaţa modelată poate fi asemănată cu un grid format din segmente (tije) dispuse cap
la cap, două câte două legate prin articulaţii elastice care tind să le menţină aliniate;
aproximează energia de flexiune a întregului asamblaj. În acelaşi timp însă, gridul este legat
elastic de punctele reţelei gravimetrice pentru care se cunosc valorile anomaliilor Bouguer
(punctele eşantionului considerat); aproximează energia acestor legături. Suprafaţa
căutată este definită prin poziţia de echilibru a gridului.
)g(K g∆
)g(G g∆
Această interpretare este sugestiv ilustrată în figura următoare: :
Fig. 4.27 Interpretarea fizică a condiţiei de minim a funcţiei . )g(E g∆
Observaţie
Funcţia nu se poate înlocui cu o funcţie de o formă mai simplă deoarece se pot
induce erori mari în reprezentarea câmpului anomaliilor Bouguer. Figura 4.28 sugerează, în
cazul unei singure variabile, aspectul grafic al funcţiei ∆g corespunzător unor diferite criterii:
)g(K g∆
2∆g → minim 2'g∆ → minim )g(Kg g2'' ∆≅∆ → minim
Fig. 4.28 Aspectul grafic al funcţiei g∆ corespunzător unor diverse criterii de minimizare.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 67
Se observă că criteriul 2∆g → minim conduce la obţinerea unei forme de câmp anomal
Bouguer care nu se aseamănă deloc cu realitatea în timp ce criteriul 2'g∆ → minim conduce la
obţinerea unei forme de câmp anomal ceva mai apropiată de forma reală.
4.2.1.2 Expresia matriceală a funcţiilor K şi G )g( g∆ )g( g∆
Expresia matriceală a funcţiei K(∆gg)
Dacă se notează:
unde =∆ , ........, , (4.60)
=
g
g
g
∆g
∆g∆g
M
2
1
M
gg∆
∆
∆
g1N
g11
1
g
gMgg
∆
∆=
gNM
gM1
M
g
gMg∆g
relaţia (3.20) se poate scrie sub formă matriceală astfel:
, (4.61) ggggg gDDggCCggK ∆∆∆∆∆ TT)( TT +=
unde: (M blocuri), (N-2, N)
=
J
JJ
OC
−
−−
=
121
121121
OJ
[(M-2), N blocuri], I = matricea unitate (N, N).
−
−−
=
III
IIIIII
2
22
OD
Observaţie
Matricele C , precum şi suma acestora (necesară ulterior) pot fi calculate
separat, într-o etapă anterioară. Astfel:
CT DDT
cu şi
=JJ
JJ
T
T
T OCC
−−−
−−
−−−−
−
=
121254114641
146411452
121
T OOOOJJ
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 68
.
−−−
−−
−−−−
−
=
IIIIIIIIIIII
IIIIIIIII
III
2254
464
464452
2
T OOOODD
Expresia matriceală a funcţiei G(∆gg)
Relaţia (3.36) se poate scrie de asemenea sub formă matriceală:
) , (4.62) ()()( PgPgg gWgWBgWgWBgG ∆∆∆∆∆ −−= T
unde: , ,
=
n
1
w
wOW
∆
∆=
n
1
Pn
P1
g
gMPg∆
−−−−−−
−−−−−−=
)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u
)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u
NMnM1n2Nn12n1Nn11n
NM1M112N11211N1111
KLKK
MOMM
KLKK
B
(4.63)
şi . )h/t(V)h/s(V)t,s(u =
Observaţie
Linia i din matricea B corespunzătoare punctului ),y,x(p iii = este:
))Mh/y(V)Nh/x(V)Mh/y(V)1h/x(V)1h/y(V)Nh/x(V)1h/y(V)1h/x(V( iiiiiiii −−−−−−−− KLK
rch/x isau considerând += rh/yişi += l , (c, l – întregi şi 0 ≤ r, s < 1) rezultă:
)sM(V)rNc(V)sM(V)r1c(V)s1(V)rNc(V)s1(V)r1c(V +−+−+−+−+−+−+−+− llll KLK .
În cazul în care forma câmpului anomaliilor Bouguer este descrisă cu ajutorul unei
funcţii biliniare, linia i comportă 4 elemente. În cazul folosirii unei funcţii bicubice, linia i va
avea 16 elemente.
4.2.1.3 Minimizarea funcţionalei pătratice E )g()g()g( ggg ∆∆∆ GK +=
Definiţie. Fie A o matrice pătrată, simetrică şi pozitiv definită şi x, b, c trei vectori ale
căror elemente aparţin mulţimii nR . Se numeşte funcţională pătratică funcţia J(x) care
respectă egalitatea:
. c2 TT +−= xbAxxJ(x)
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 69
Observaţie
J verifică relaţia oricare ar fi elementele vectoru-
lui h care aparţin mulţimii
b)(AxhAhhJ(x)h)J(x −+=−+ TT 2nR .
Se observă că ) poate fi scrisă sub forma: ( ggE ∆
, (4.64) P2Pgggg gPggFgAg)gE( ∆∆∆∆∆∆ TTT 2 +−=
unde este o matrice simetrică şi . BPBDDCCA 2TTT ++= P∆gPBF 2T=
Se demonstrează că dacă există patru puncte p )y,x( iii = (i = 1,…, 4) în eşantionul
considerat care îndeplinesc condiţia:
0
1yxyx1yxyx1yxyx1yxyx
4444
3333
2222
1111
≠ , (4.65)
atunci matricea A este pozitiv definită. Ca atare, există un singur vector care minimizează
funcţia , dat de soluţia sistemului .
gg∆
)( ggE ∆ Fgg =Α∆
Dacă matricea A este pozitiv definită, înseamnă că 0 pentru orice şi
când ∆ .
T ≥gg gA∆g ∆ gg∆
0T >gg gA∆g ∆ 0≠gg
Pentru a arăta că matricea A este pozitiv definită, se va presupune că şi
se va arăta că în acest caz .
0T =gg gA∆g ∆
0=gg∆
Dacă ∑ <≤=+=
ni12
i2i
T 0)]p(∆g[p)gK(gA∆g ggg ∆∆ , atunci K şi 0)( =gg∆ 0)p(g i =∆
. )n ,,1i( K=
semnifică şi pentru
orice c, l de unde
0=)gK( g∆ 0gg2g g,1c
g,c
g,1c =∆+∆−∆ +− lll
)gg)(1c( ,1,2 ll
0gg2g g1,c
g,c
g1,c =∆+∆−∆ +− lll
gg ,1,c l ∆−∆−+ g ,c∆=l∆ şi )gg)(1(g 1,c2,c1,c ∆−∆−+∆=∆ ll pentru
orice c, l. După efectuarea calculelor, rezultă:
= ∆ + (c – 1)(l,cg∆ 11g 1121 gg ∆−∆ ) + (l – 1)( 1112 gg ∆−∆ ) +
+ (c – 1)(l – 1)( 22211211 gggg ∆+∆−∆−∆ ),
ceea ce este echivalent cu
. lll caacaag 3210,c +++=∆
În aceste condiţii:
)k/y(V)ch/x(V)ca a ca a()k/y(V)ch/x(Vg)p(g,c 3210,c
g,c llll
ll l −−+++=−−∆=∆ ∑∑ .
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 70
Dacă se aplică "Proprietatea 3" a funcţiei U, 1)ch/x(Vc
=−∑ şi h/x)ch/x(cVc
=−∑
pentru V = Q şi V = U, de unde:
. xybybxbb xy/ha y/h a x/h a ay)g(x, 32102
3210 +++=+++=∆
Relaţia de mai sus reprezintă ecuaţia paraboloidului hiperbolic.
Pentru toate punctele eşantionului:
0)p(gyxbybxbb iii3i2i10 =∆=+++
şi în particular pentru cele patru puncte amintite mai sus, se poate scrie:
, 0
bbbb
yxyx1yxyx1yxyx1yxyx1
3
2
1
0
4444
3333
2222
1111
=
ceea ce nu este posibil decât dacă 0)b ,b ,b ,b( 3210 = , adică dacă ∆g (p) = 0, deci ∆g = 0.
Rezultă deci, că matricea A este pozitiv definită.
Observaţie
Condiţia:
0
yxyx1yxyx1yxyx1yxyx1
1144
1133
1122
1111
= (4.66)
semnifică că există astfel încât b0)b ,b ,b ,b( 3210 ≠ 0yxbybxb ii3i2i10 =+++ (i = 1,…, 4),
adică se găsesc fie pe o dreaptă (dacă 0b4321 p ,p ,p ,p 3 = ) fie pe o hiperbolă.
Gridul elastic are deci o singură soluţie şi numai una dacă şi numai dacă există patru
puncte ale eşantionului care nu se află pe o dreaptă sau pe o hiperbolă.
4.2.1.4 Rezolvarea sistemului FΑ∆gg =
Vectorul necunoscutelor – este o matrice-coloană cu dimensiunea MN, iar matricea
aferentă A este pătratică de ordin MN. În cazul în care M = 100 şi N = 100, ceea ce semnifică
un grid relativ mic, se observă că matricea A va avea dimensiunile (10 000, 10 000).
gg∆
Pentru rezolvarea acestui sistem este indicat să se utilizeze o metodă iterativă. O astfel
de metodă este metoda gradientului conjugat prezentată în (POSTOLACHE 1994).
Folosind această metodă, soluţia sistemului (adică vectorul necunoscutelor – ) este
dată de limita şirului definit de astfel:
gg∆
g∆g k
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 71
oarecare g∆g 0
F∆ −== ggAdr 000
0T
00T
001 / dAddr−= gg ∆g∆g
şi pentru k ≥ 1:
F∆ −= ggAr kk
1k2
1k2
kkk / −−+= drrrd
kT
kkT
kk1k / dAddr−=+gg ∆g∆g .
Se demonstrează că soluţia sistemului se poate găsi în cel mult M x N iteraţii. Ea poate
fi găsită cu atât mai repede cu cât vectorul soluţiilor pentru prima iteraţie – este mai
apropiat de cel al soluţiilor finale – .
g∆g 0
gg∆
4.2.1.5 Stabilirea vectorului soluţiilor – pentru prima iteraţie g0∆g
Experienţa demonstrează că şirul converge lent când există zone mari pe care nu se
găsesc puncte din eşantion. Practic, în aceste zone gridul elastic nu este supus unor constrângeri
exterioare şi de aceea necesită timp pentru a se stabiliza.
g∆g k
În continuare se prezintă două cazuri de iniţializare a vectorului . g∆g 0
a. Punctele eşantionului (i = 1,…, n) au dispunere uniformă şi sunt situate în
vecinătatea punctelor ale gridului
ip
lc,p
În acest caz, pentru alegerea lui este indicat să se folosească o metodă simplă cum
ar fi de pildă:
g∆g 0
• = media ; dg∆g 0Pig∆ r)p,p( ci ≤l (Fig. 4.29a), sau
• = , unde p – este punctul cel mai apropiat de (Fig. 4.29b), g∆g 0Pig∆ i l,cp
deoarece metodele perfecţionate de alegere a soluţiilor iniţiale nu îmbunătăţesc semnificativ
numărul iteraţiilor.
Fig. 4.29 Stabilirea vectorului soluţiilor ∆ pentru prima iteraţie. gg 0
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 72
b. Numărul de puncte ale eşantionului este mult mai mic decât numărul e
noduri ale gridului (cel puţin 1 pentru 4)
ip lc,p d
În acest caz este indicat să se calculeze gridul elastic cu pas 2h asociat eşantionului
: )g,p( iPii ∆
(4.66) ∑ ∑≤≤ ≤≤−−∆=∆
2/Nc1 2/M1 22 ))h2/(y(V)c)h2/(x(V),c(g)y,x(g lll
şi să se ia:
) . (4.67) h,ch(g)p(g),c(g 2,c20 ll l ∆=∆=∆
Pentru a se iniţializa calculul gridului elastic , se poate utiliza de o manieră
asemănătoare gridul elastic etc.
2∆g
4∆g
Trebuie menţionat faptul că determinarea gridului presupune de patru ori mai
puţine necunoscute decât gridul ∆g iar determinarea gridului de 16 ori mai puţine
necunoscute decât acelaşi grid.
2∆g
4∆g
4.2.1.6 Netezire versus ajustare
Oricare ar fi matricea ponderilor W, să notăm cu ∆ vectorul care minimizează: Wg
) , (4.68) ()()( gW
ggW gGgKgE ∆∆∆ +=
unde: . (4.69) )()()( PgPggW gWgWBgWgWBgG ∆∆∆∆∆ −−= T
Fie a un scalar strict mai mare ca zero.
Ne propunem să comparăm regularitatea, mai precis curburile K şi
ale suprafeţelor definite de vectorii ∆ şi ∆ .
)( gW g∆ )( g
W gK ∆a
Wg Wg a
Se demonstrează (JULIEN 1994) că:
• dacă a > 1 atunci K , adică suprafaţa generată de este
mai puţin netedă decât cea generată de ∆ ;
)()( gW
gW gKg ∆∆ a≥
g
W∆g a
W
• dacă a < 1 atunci K , adică suprafaţa generată de este
mai netedă decât cea generată de .
)()( gW
gW gKg ∆∆ a≤
W∆g
W∆g a
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 73
4.2.2 Realizarea gridului de tip spline ''placă subţire'' şi a gridului
spline pseudo-cubic
Funcţiile spline, atât cele de tip ''placă subţire'' cât şi cele pseudo-cubice, generalizează
în plan funcţiile spline unidimensionale, care sunt funcţii de interpolare S ce minimizează E(S),
unde:
(4.70) ∫= .dt)]t(''S[)S(E 2
Pentru o funcţie S(p) definită în plan care este continuu derivabilă şi cu derivatele de
ordinul doi de pătrat integrabil, E(S) este dată de relaţia:
. (4.71) dp)]p(S[)]p(S[2)]p(S[)S(E 2''y
2''xyR
2''x 22 2 ++= ∫
S-a demonstrat că funcţia de interpolare a punctelor p (i = 1,…, n) care minimizează
E(S) este unică şi are forma:
i
(p = (x, y)) cu dycxb)pp(Ka)p(Si iii +++=∑ 0p,0pa
i ii ii == ∑∑ . (4.72)
Funcţiile K se numesc funcţii nucleu. )pp( ii
Dacă i2
iii pplnpp)pp( −−=K , funcţiile spline obţinute sunt de tip ''placă subţire''.
Dacă 3iii pp)pp( −=K , funcţiile spline obţinute sunt de tip pseudo-cubic.
S poartă denumirea de spline ''placă subţire'' pentru că E(S) reprezintă aproximativ
energia de flexiune a unei plăci infinit subţire de ecuaţie z = S(x, y).
Observaţie
În continuare se va trata doar modalitatea de obţinere a gridului spline de tip ''placă
subţire''. Gridul de tip pseudo-cubic se obţine în mod asemănător, folosindu-se funcţia nucleu
corespunzătoare.
4.2.2.1 Gridul spline de tip ''placă subţire'' de interpolare
Dacă funcţia ∆g(p) care generează gridul spline de tip ''placă subţire'':
dycxbpplnppa)p(g i2
i ii +++−−=∆ ∑ (p = (x, y)) cu 0p,0pai ii ii == ∑∑ (4.73)
respectă condiţia suplimentară:
(i = 1,…, n) (4.74) iPii g)p(g ∆=∆
atunci gridul spline rezultat este de tip ''placă subţire'' de interpolare.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 74
Altfel spus, cei n + 3 coeficienţi care definesc ∆g reprezintă soluţia
sistemului:
210n1 b,b,b,a,,a K
, (4.75)
∆
∆∆
=
000g
gg
bbba
aa
000yyy000xxx000111
yx10kk
yx1k0kyx1kk0
n
2
1
Pn
P2
P1
2
1
0
n
2
1
n21
n21
nn2n1n
22n221
11n112
MM
L
L
L
L
MMMMOMM
L
L
unde coeficienţii funcţiilor nucleu – k sunt de forma:ij ji
2
jiij pplnppk −−= , . )y,x(p iii =
Sistemul (4.75) se poate scrie şi astfel:
, (4.76)
=
0
∆gba
0FFK P
T
unde:
, , , şi .
=
0kk
k0kkk0
2n1n
n221
n112
L
MOMM
L
L
K
=
nn
22
11
yx1
yx1yx1
MMMF
=
n
2
1
a
aa
Ma
=
2
1
0
bbb
b
∆
∆∆
=
n
2
1
Pn
P2
P1
g
gg
M
P∆g
4.2.2.2 Gridul spline de tip "placă subţire" de ajustare
Dacă funcţia ∆g(p) care generează gridul spline de tip "placă subţire":
dycxbpplnppa)p(g i2
i ii +++−−=∆ ∑ (p = (x, y)) cu 0p,0pai ii ii == ∑∑
(4.77)
respectă condiţia suplimentară:
→ minim (w > 0 şi i = 1,…, n), (4.78) ∑ ∆−+∆i
Pii ]g)p(∆g[)g(wE i
atunci gridul spline rezultat este de tip ''placă subţire'' de ajustare.
Coeficientul de pondere w fixează gradul de netezire şi ajustare pe puncte al funcţiei ∆g.
Se demonstrează că soluţia condiţiei de minim este următoarea:
(i = 1,…, n), (4.79) iPiii g)p(gwa8 ∆=∆+π
altfel spus este soluţia sistemului: )b,b,b,a,,a( 210n1 K
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 75
. (4.80)
∆
∆∆
=
π
ππ
000g
gg
bbba
aa
000yyy000xxx000111yx1w8kk
yx1kw8kyx1kkw8
n
2
1
Pn
P2
P1
2
1
0
n
2
1
n21
n21
nn2n1n
22n221
11n112
MM
L
L
L
L
MMMMOMM
L
L
4.2.2.3 Gridul elastic – aproximare discretă a gridului spline ''placă subţire'' de ajustare
Se demonstrează că dacă se dezvoltă în serie Taylor funcţiile ∆g(x ± h, y), ∆g(x, y ± h)
şi ∆g(x ± h, y ± h) şi se calculează termenii care intră în componenţa relaţiei:
, (4.81) dp)]p(g[)]p(g[2)]p(g[)g(E 2''y
2''xyR
2''x 22 2 ∆+∆+∆=∆ ∫
atunci:
∑∑ +∆+∆−∆+∆+∆−∆≅∆ +−+− ll cg
1,cg,c
g1,c
2c
g,1c
g,c
g,1c
2 )gg2g(h/1)gg2g(h/1)g(E llllll
KK+∆+∆−∆−∆+ ∑ ++−++−−− 8/)gggg(h/1 2
cg
1,1cg
1,1cg
1,1cg
1,1c2
l llll (4.82)
Se observă astfel că funcţia K( definită pentru gridul elastic de relaţia (3.20) este o
aproximare discretă a funcţiei de mai sus.
)gg∆
4.2.3 Realizarea gridului prin kriging
Krigingul este una din metodele generale de estimare care foloseşte drept criteriu de
aproximare metoda pătratelor minime pentru semnale ale căror proprietăţi statistice sunt
cunoscute. Această metodă se mai întâlneşte sub denumirile:
• colocaţia prin cele mai mici pătrate;
• interpolarea optimă prin cele mai mici pătrate;
• predicţia inversă;
• filtrarea optimă a lui Wiener.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 76
Definiţie. Clasificare
Se presupune că anomaliile Bouguer )p(g∆ şi )q(g∆ a două puncte vecine p şi q
verifică următoarele proprietăţi statistice:
• sunt corelate, corelaţia fiind cu atât mai mare cu cât p şi q sunt mai apropiate;
• corelaţia este omogenă (nu depinde de poziţia cuplului (p, q));
• în fiecare punct corelaţia este izotropă (nu depinde decât de distanţa la punctul
vecin).
Aceste proprietăţi pot fi formulate şi astfel: într-un câmp de probabilitate Ω în care
anomaliile Bouguer sunt descrise de variabile aleatoare de forma )p(g∆ ))(p(g ω∆ , oricare ar fi
p şi q, covarianţa:
)]q(g[E)q(g)]q(g[E)p(gE)]q(g),p(gcov[ ∆−∆∆−∆=∆∆ (4.83)
nu depinde decât de qp− şi creşte când qp− scade:
)s(C)qp(C)]q(g),p(gcov[ =−=∆∆ , (4.84)
unde funcţia C(s) ( s ) este descrescătoare pe un interval [0, r] (0≥ rs ≤ ).
Definirea acestui cadru dă sens noţiunii de cea mai bună estimare liniară fără eroare
sistematică a anomaliei Bouguer – a lui )p(g∆ )p(g∆ în funcţie de valorile anomaliilor
Bouguer în punctele ale unei reţele gravimetrice. n1 p,,p K )p(g∆ este o variabilă aleatoare care
îndeplineşte următoarele condiţii:
(este o combinaţie liniară de valori ∑ ∆=∆i ii )p(g)p(w)p(g )p(g i∆ );
(estimare fără erori sistematice); )]p(g[E)]p(g[E ∆=∆
)]p(g[E)H(E,)p(ghH;)]p(gH[Einf)]p(g)p(g[Ei ii
22 ∆=∆=∆−=∆−∆ ∑
(estimare cu abatere pătratică minimă a erorilor). (4.85)
Observaţie
Funcţia C(s) nu poate fi aleasă arbitrar. Trebuie îndeplinită condiţia ca orice variabilă
aleatoare să satisfacă relaţia: ∑ ∆=i ii )p(ghH
∑ ∑ ≥=∆∆==σij ij jijiiiji
2 0)pp(Chh)]p(g),p(gcov[hh)H,Hcov()H( , (4.86)
oricare ar fi , . n1 p ,,p K n1 h ,,h K
Rezultă că funcţia ∆g care descrie forma câmpului anomaliilor Bouguer asociată prin
kriging pentru un eşantion de puncte ale unei reţele gravimetrice, se poate
defini ca fiind:
n ,1,i ;g ,p iPii K=∆
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 77
, (4.87) ∑ ∆=∆i
Pii
ig)p(wg
unde coeficienţii reprezintă ponderile furnizate de cea mai bună estimare liniară fără
eroare sistematică (dacă aceasta este unică):
)p(w i
)p(g∆
. (4.88) ∑ ∆=∆i ii )p(g)p(w)p(g
Proprietate. Funcţia ∆g interpolează punctele ( . )g,p iPii ∆
Pentru a defini complet , trebuie făcute ipoteze cu privire la funcţia . În
raport de condiţiile stabilite prin aceste ipoteze, krigingul poate fi simplu (ordinar) sau
universal.
)p(g∆ )]p(g[E ∆
a. Krigingul simplu – corespunde condiţiei )p(f)]p(g[E =∆ . Un exemplu de aplicare
în practică se găseşte în (ISAAKS 1989).
b. Krigingul universal – constă în impunerea condiţiilor ca:
• funcţia să fie o combinaţie liniară de funcţii date cu coefici-
enţi necunoscuţi :
)]p(g[E ∆
a
k21 f ,,f,f K
k21 a,a, K
)p(fa)p(fa)p(fa)]p(g[E kk2211 +++=∆ K ; (4.89)
• )]p(g[E)]p(g[E ∆=∆ să fie adevărată oricare ar fi coeficienţii a . k1 a,,K
În cel de-al doilea caz, calificativul "universal" se explică prin faptul că valoarea
estimată a anomaliei Bouguer – este independentă de coeficienţii . )p(g∆ ia
În cele ce urmează se va trata doar acest caz.
4.2.3.1 Krigingul universal
Cazul în care nu se iau în consideraţie erorile întâmplătoare care afectează anomaliile Bouguer corespunzătoare punctelor eşantionului
Valoarea estimată prin kriging universal a funcţiei este o variabilă
aleatoare care respectă condiţiile:
)p(g∆ )p(g∆
∑ ∆=∆i ii )p(g)p(w)p(g
)p(f)p(fh ji iji =∑ )p(f)p(fh),p(ghH;)]p(gH[Einf)]p(g)p(g[E ji i ijiii
22 =∆=∆−=∆−∆ ∑ ∑
(j = 1,…, k). (4.90)
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 78
Pentru formularea matriceală a krigingului universal se definesc următoarele matrice:
, , , ,
=
)0(C)pp(C)pp(C
)pp(C)0(C)pp(C)pp(C)pp(C)0(C
2n1n
n212
n121
L
MOMM
L
L
C
=
)pp(C
)pp(C
n
1
Mc(p)
∆
∆=
n
1
Pn
P1
g
gMPg∆
=
n
1
h
hMh
, , , şi .
=
)p(f)p(f
)p(f)p(f
nkn1
1k11
L
MOM
L
F
=
)p(f
)p(f
k
1
Mf(p)
=
)p(w
)p(w
n
1
Mw(p)
=
k
1
a
aMa
=
n
1
b
bMb
Se demonstrează că cea mai bună estimare liniară fără eroare sistematică –
, conduce la respectarea a două condiţii: ∑ ∆=∆i ii )p(g)p(w)p(g
şi (4.91) f(p)w(p)F =T
(4.92)
,
;2inf2 f(p)hFhc(p)Chhw(p)c(p)Cw(p)w(p) =−=− TTTTT
Funcţia ∆g(p) se poate defini prin kriging universal cu una din relaţiile:
• (4.93) P∆gw(p)T=∆ )p(g
• . (4.94) f(p)ac(p)b TT +=∆ )p(g
Dacă se foloseşte prima relaţie trebuie să se calculeze vectorul w(p), ceea ce implică
rezolvarea următorului sistem de ecuaţii:
(4.95)
=
f(p)c(p)
(p)w(p)
0FFC
T µ
pentru fiecare punct nou.
Se demonstrează că dacă matricea C este pozitiv definită şi matricea F are rang maxim,
soluţia w(p) este unică şi se determină cu relaţia:
(p)]F[c(p)Cw(p) 1 µ−= −
unde: şi . Gf(p)c(p)CGF(p) 1 −= −Tµ 11F)C(FG −−= T
Dacă se foloseşte cea de-a doua relaţie, trebuie să se rezolve doar un singur sistem de
ecuaţii pentru a se calcula coeficienţii a, b:
.
−=
=
−
−−−−
P
PP
gCGFgCFGFCC
0∆g
0FFC
ab
∆∆
1T
1T111
T
)(
Observaţii
a. Funcţiile f sunt în general monoame de forma: 1 . k1 f ,,K qp yx ,,xy ,y ,x , K
b. Dacă se doreşte utilizarea variogramei ca funcţie statistică, este necesară înlocuirea
matricelor C şi c(p) cu D şi d(p) de forma:
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 79
, .
γγ
γγγγ
=
0)pp()pp(
)pp(0)pp()pp()pp(0
2n1n
n212
n121
L
MOMM
L
L
D
γ
γ=
)pp(
)pp(
n
1
Md(p)
c. În (JULIEN 1994) se demonstrează că dacă una din funcţiile este 1, atunci
w(p) se determină prin rezolvarea sistemului:
k1 f,,f K
(4.96)
=
f(p)b(p)
(p)w(p)
0FFD
νT
în care . (p)(p) µν −=
Cazul în care se iau în consideraţie erorile întâmplătoare care afectează anomaliile Bouguer corespunzătoare punctelor eşantionului
Se presupune că anomaliile Bouguer calculate în punctele sunt de forma ip )p(g i∆ +
, unde reprezintă o eroare întâmplătoare survenită în timpul efectuării măsurăto-
rilor gravimetrice, care trebuie luată în consideraţie.
)p(e i+ )p(e i
Într-un câmp de probabilitate Ω, erorile întâmplătoare e(p) se pot descrie printr-o familie
de variabile aleatoare e(p)(ω), astfel încât:
0 (eroare nesistematică); )]p(e[E =
0 cu (erorile în p şi q sunt independente); )]q(e)p(e[E = qp ≠
0)]q(g)p(e[E =∆ (eroarea în p este independentă de valoarea anomaliei
Bouguer în punctul q). (4.97)
În acest caz se determină ∆g(p) cu ajutorul unei variabile aleatoare H de forma:
(4.98) ∑ +∆=i iii )]p(e)p(g[hH
(4.99) )]p(g[E)H(E ∆=
oricare ar fi coeficienţii utilizaţi: k1 a,,a K
)p(fa)p(fa)p(fa)]p(g[E kk2211 +++=∆ K . (4.100)
Deoarece E[e(pi)] = 0, variabila aleatoare H va avea forma:
şi ∑ +∆=i iii )]p(e)p(g[hH ∑ =
i jiji )p(f)p(fh (j = 1,…, k). (4.101)
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 80
Cea mai bună estimare liniară (p) a valorii ∆g(p) este definită prin condiţia: g∆
∑ +∆=∆i iii )]p(e)p(g)[p(w)p(g
)p(f)p(fh,)p(ghH;)]p(gH[Einf)]p(g)p(g[Ei jijii ii
22 ∑∑ =∆=∆−=∆−∆
(j = 1,…, k). (4.102)
După înlocuirea matricei C cu Ce:
, (4.103)
σ
σσ
=
)]p(e[)pp(C)pp(C
)pp(C)]p(e[)pp(C)pp(C)pp(C)]p(e[
n2
2n1n
n222
12
n12112
L
MOMM
L
L
eC
se procedează în acelaşi mod ca în cazul prezentat anterior.
4.2.3.2 Gridul spline de tip ''placă subţire'' – caz particular al krigingului universal
Dacă se aplică krigingul universal cu următoarele condiţii:
, , 1)y,x(f1 = x)y,x(f2 = y)y,x(f3 = şi
) sln(s)s( 2−=γ 0)s( ≥γ , pe intervalul [ (4.104) ]e,0 2/1−
se obţine:
i2
iijij pplnpp)s(D −−−=γ= şi , (4.105)
=
nn
22
11
yx1
yx1yx1
MMMF
iar rezolvarea sistemului:
, (4.106)
=
−
−
0∆g
ba
0FFD P
T
asemănător ca formă cu (3.37), conduce la găsirea funcţiei ∆g(p) care generează gridul spline
de tip "placă subţire":
ybxbbpplnppa)p(g 321i2
i ii +++−−−=∆ ∑ , (p = (x, y)). (4.107)
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 81
4.3 METODE DE ÎNDESIRE A GRIDULUI ANOMALIILOR
BOUGUER
În practică se pot întâlni cazuri în care, din motive obiective, este necesară îndesirea
unui grid de anomalii Bouguer deja existent.
Pentru a păstra precizia şi fidelitatea reprezentării câmpului anomaliilor Bouguer şi
pentru ca elementele finite rectangulare să poată descrie cât mai bine forma reală a acestui
câmp, este necesar ca funcţiile de interpolare să satisfacă anumite condiţii de conexiune în
structura modelului matematic de aproximare, condiţii date de continuitatea derivatelor parţiale
în raport cu fiecare variabilă.
În cele ce urmează vor fi prezentate două metode de îndesire a unui grid care prezintă
avantajul de a fi rapide în privinţa efectuării calculelor şi ale căror algoritmi sunt relativ uşor de
programat.
Înainte de aceasta însă, este necesară prezentarea unor definiţii suplimentare referitoare
la funcţiile spline bicubice.
Definiţia 1. Fie 2R⊂Ω
)y,x
un domeniu mărginit. Se notează cu mulţimea funcţiilor
, , ale căror derivate parţiale până la ordinul n, în raport cu fiecare
variabilă, nu mai mult de r ori, există şi sunt continue pe Ω.
)(Cnr Ω
R→Ω:f (f)y,x( →
Definiţia 2. Orice funcţie poate fi aproximată uniform printr-o funcţie
spline de grad m. De o manieră asemănătoare, derivatele acestei funcţii până la ordinul m pot fi
aproximate prin derivatele funcţiei spline până la ordinul m.
]b,a[f mC∈
Fie Ω un domeniu rectangular:
2R∈=Ω )y,x( dyc;bxa ≤≤≤≤
în care diviziunile ∆x şi ∆y unidimensionale sunt determinate de punctele
bxxxxa: N210x =<<<<=∆ K , dyyyyc: N210y =<<<<=∆ K ,
care generează o diviziune bidimensională a lui Ω notată yx ∆×∆=Π şi care este formată din
punctele
ijp=Π Mj0 ,Ni0 ),y,x(p iiij ≤≤≤≤= .
Diviziunea Π împarte pe Ω într-o familie de dreptunghiuri ijΩ definite astfel:
Ω∈=Ω )y,x(ij ;yyy,xxx i1ii1i ≤≤≤≤ −− i = 1, 2,…, N; j = 1, 2,…, M.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 82
Definiţia 3. O funcţie se numeşte funcţie spline cubică de două variabile
sau funcţie spline bicubică în raport cu diviziunea Π, dacă:
R→ΩΠ :S
a. Ω este un polinom de grad cel mult trei în variabilele x şi y; ΠS ij
b. . )(CS 42 Ω∈Π
Prin analogie cu definiţia funcţiei spline cubice se definesc şi funcţiile spline
polinomiale de grad oarecare m ∈ N.
Se notează cu ∞+<<<<−∞∆ N21 xxx: K , ∞−=0x( , )x 1N ∞+=+ .
Fie Ny , un vector dat. R∈ )y,,y,y( N21 K=y
Definiţia 4. Funcţia se numeşte funcţie spline polinomială de gradul m, cu
nodurile , dacă satisface următoarele două condiţii:
RR →:s
N21 xxx K<<
a. s i = 0, 1, 2,…, N, ),x,x(I),I(PI 1iiiimi +=∈ ,x( 0 ∞−= )x 1N ∞+=+ ;
b. . )(Cs 1m R−∈
Definiţia 5. Funcţia spline bicubică se numeşte de interpolare pe punctele diviziunii
Π pentru mulţimea de numere reale , i = 0, 1, 2,…, N; j = 0, 1, 2,…, M (care pot fi şi valorile
unei funcţii de două variabile pe nodurile ( date), dacă au loc egalităţile:
ΠS
y,x i
ijz
)i
, Ni0 ≤z)y,x(S ijii =Π ≤ ; 0 Mj ≤≤ .
Definiţia 6. Funcţia spline bicubică S se numeşte de tipul I dacă satisface următoarele
condiţii la frontiera lui Ω:
Π
)1(,c
'x,c t)y,x(g)p(
xS
ll =∆=∂
∂ Π ;
)2(,c
'y,c t)y,x(g)p(
yS
ll =∆=∂
∂ Π ;
)3(,c
''xy,c
2
t)y,x(g)p(yx
Sll =∆=
∂∂∂ Π ,
unde sunt date, iar c = 1,…, N şi l = 1,…, M. )3(,c
)2(,c
)1(,c t,t,t lll
Funcţia spline bicubică se numeşte de tipul II dacă satisface următoarele condiţii la
frontiera lui Ω:
ΠS
)4(,c
''xx,c2
2
t)y,x(g)p(xS
ll =∆=∂
∂ Π ;
)5(,c
''yy,c2
2
t)y,x(g)p(yS
ll =∆=∂
∂ Π ;
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 83
)6(,c
)4(xxyy,c22
4
t)y,x(g)p(yx
Sll =∆=
∂∂∂ Π ,
unde sunt date, iar c = 1,…, N şi l = 1,…, M. )6(c
)5(c
)4(c t,t,t lll
Condiţiile prezentate anterior se utilizează la constrângerea funcţiilor de aproximare
pentru ca acestea să coincidă pe limitele definite de marginile elementelor finite rectangulare
(Fig. 4.30). m,nΩ
Fig. 4.30 Elementele finite rectangulare din jurul punctului . m,nΩ l,cp
Semnificaţia fizică a acestor condiţii în punctul este următoarea: l,cp
• continuitatea anomaliei Bouguer:
; 1m,n,c
1m,1n,c
m,1n,c
m,n,c )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll
• continuitatea planului tangent la suprafaţa câmpului de anomalii generat de funcţie
pe direcţiile x şi y:
; 1m,n,c
'x
1m,1n,c
'x
m,1n,c
'x
m,n,c
'x )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll
; 1m,n,c
'y
1m,1n,c
'y
m,1n,c
'y
m,n,c
'y )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll
• continuitatea curburii pe direcţiile x şi y:
; 1m,n,c
''xx
1m,1n,c
''xx
m,1n,c
''xx
m,n,c
''xx )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll
; 1m,n,c
''yy
1m,1n,c
''yy
m,1n,c
''yy
m,n,c
''yy )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll
• netezimea suprafeţei:
; 1m,n,c
''xy
1m,1n,c
''xy
m,1n,c
''xy
m,n,c
''xy )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll
. 1m,n,c
)4(xxyy
1m,1n,c
)4(xxyy
m,1n,c
)4(xxyy
m,n,c
)4(xxyy )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 84
4.3.1 Folosirea funcţiei spline bicubice complete de tipul I
(Algoritmul Kubic-Botman)
Se consideră un sistem cartezian de coordonate plane în interiorul căruia se defineşte un
grid (Fig. 4.31a):
, , 0c Xx = Nc1c Xx ,Xx == K N10 X XX <<< K
şi
, , 0Yy =l M1 Yy ,Yy == ll K M10 Y YY <<< K . (4.108)
Gridul astfel definit acoperă dreptunghiul:
, Nc0 XxX ≤≤ N0 YyY ≤≤ l (4.109)
şi este compus din elemente finite rectangulare în nodurile căruia se cunosc valorile anomaliei
Bouguer – . l,cg )y,x(g∆
Se doreşte îndesirea tuturor elementelor finite ale acestui grid cu 5 puncte, aşa cum se
arată în Fig. 4.31b.
Fig. 4.31 Îndesirea gridului anomaliilor Bouguer.
Observaţie
În Fig. 4.31b s-a reprezentat un caz particular de îndesire (nodurile noului grid se găsesc
la jumătatea laturilor elementelor finite rectangulare), însă algoritmul ce urmează a fi descris
este prezentat pentru cazul general (nodurile interpolate pot ocupa orice poziţie în cadrul
elementului finit).
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 85
Pentru rezolvarea acestei probleme se consideră un element finit rectangular oarecare:
, (4.110) 1cc xxx +≤≤ 1yyy +≤≤ ll
şi o funcţie spline bicubică de tipul I de forma:
. (4.111) ∑ ∑= =−−=∆
3
0n
3
0mmn
cnm,cg )yy()xx(a)]y,x(g[ ll
Se observă că funcţia de mai sus este parametrizată cu ajutorul a şaisprezece coeficienţi
(n, m = 0,…, 3). nma
În continuare se doreşte:
• transformarea elementului finit arbitrar ales, cu dimensiunile )yy,xx( 1c1c ll −− ++ ,
într-un element finit pătratic cu latura egală cu unitatea (l = 1) – (Fig. 4.32):
, (4.112) 1r0 ≤≤ 1s0 ≤≤
ale cărui colţuri să fie identificate prin intermediul indicilor c + i, l + j, i, j∈ 0, 1;
• încadrarea elementului finit arbitrar ales într-un sistem local de coordonate cu
originea în colţul inferior din partea stângă, ale cărui axe (R, S) să aibă aceeaşi
direcţie cu cele ale sistemului cartezian de coordonate plane (X, Y) în care este
definit gridul (Fig. 4.32).
Fig. 4.32 Element finit pătratic de latură l = 1.
Pentru aceasta se fac următoarele schimbări de variabile:
c1c
c
xxxx
r−
−=
+
;
ll
l
yyyy
s1 −−
=+
.
(4.113)
Cu aceste notaţii, relaţia (3.26) devine:
. (4.114) ∑ ∑= =++ =∆3
0n
3
0mmn
nmj,icg srA)]s,r(g[ l
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 86
Legătura între elementele relaţiilor (3.26) şi (3.28) se poate face după cum urmează:
; j,icj,ic )]y,x(g[)]s,r(g[ ++++ ∆=∆ ll
; j,ic'xj,ic
'xc1cj,ic
'r ])y,x(g[h])y,x(g)[xx(])s,r(g[ +++++++ ∆=∆−=∆ lll
; j,ic'yj,ic
'y1j,ic
's ])y,x(g[k])y,x(g)[yy(])s,r(g[ +++++++ ∆=∆−=∆ lll ll
, j,ic''xyj,ic
''xy1c1cj,ic
''rs ])y,x(g[hk])y,x(g)[yy)(xx(])s,r(g[ ++++++++ ∆=∆−−=∆ lll ll
, m1
nc1cnmnm )yy()xx(aA ll −−= ++
(4.115)
unde h, k reprezintă paşii gridului pe direcţiile X, respectiv Y.
Matriceal, relaţia (3.28) se poate scrie astfel:
. (4.116)
==∆ ++
3
2
34333231
24232221
13121110
03020100
32j,ic
g
sss1
AAAAAAAAAAAAAAAA
)rrr1()]s,r(g[ TrAsl
Pentru determinarea coeficienţilor se folosesc derivatele funcţie de r şi s (pe
direcţiile X, Y) ale funcţiei spline [ scrise pentru fiecare nod al elementului finit
pătratic de latură l = 1.
nmA
,ic)] ++ l jg s,r(g∆
La scrierea acestor derivate se va ţine seama de derivatele vectorilor r şi s:
)
)
r3r210()'rrr1()'( 232 ==r
. s3s210()'sss1()'( 232 ==s
(4.117)
În contextul definit, (HOTTIER 1977 şi MEISSL 1982) arată că se poate scrie:
=
∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆
l,c11''rs
g11
's
g10
''rs
g10
's
g11
'r
g11
g10
'r
g10
g01
''rs
g01
's
g00
''rs
g00
's
g01
'r
g01
g00
'r
g00
g
])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[
. (4.118)
=
3100210011100101
AAAAAAAAAAAAAAAA
3210111100100001
33323130
23222120
13121110
03020100
În sistemul de mai sus, a doua matrice din membrul drept poartă denumirea de matricea
coeficienţilor geometrici sau matricea condiţiilor pe frontieră.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 87
Prescurtat, relaţia (3.40) poate fi scrisă astfel:
, (4.119) AUUH T=
unde: , iar H .
=
1110
0100
HHHH
Hij
''rs
g's
g
'r
gg
)s,r(g)s,r(g)s,r(g)s,r(g
∆∆∆∆
=ij
Derivatele funcţiei în punctele nodale pot fi calculate prin diverse
metode, dintre care se menţionează:
j,icg )]s,r(g[ ++∆ l
• metoda diferenţelor finite;
• metoda diferenţelor divizate;
• metoda dezvoltărilor în serie;
• metoda funcţiilor spline;
• metoda parabolelor de interpolare.
Coeficienţii A se determină cu relaţia: nm
, (4.120) 1T1 )( −−= HUUA
unde: .
−−
−−
=
=
−
−
1100230012102301
3100210011100101 1
1U
Coordonatele carteziene finale ale punctelor gridului îndesit se determină cu relaţiile:
; rhh)1c(XX 0 +−+=
, skk)1(YY 0 +−+= l
(4.121)
în timp ce pentru determinarea anomaliei Bouguer se foloseşte relaţia:
. (4.122) ∑ ∑= ==∆=∆
3
0n
3
0mmn
nm srA)]s,r(g[g
Observaţie
Dacă în locul funcţiei spline bicubice complete de tipul I se consideră o funcţie spline
polinomială, aceasta poate fi reparametrizată folosind ca parametri nodali şi alte valori, cum ar
fi de exemplu: [ , [ , [ (care reprezintă condiţiile
specifice funcţiilor spline bicubice de tipul II).
j,ic''rr
g ])s,r(g ++∆ l j,ic''ss
g ])s,r(g ++∆ l j,ic)4(
rrssg ])s,r(g ++∆ l
Rezultă că, matricea coeficienţilor geometrici poate fi adaptată astfel încât suprafaţa
căutată să satisfacă şi alte condiţii.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 88
4.3.2 Folosirea funcţiei spline bicubice incomplete de tipul I
Rezolvarea sistemului (3.40) se poate simplifica prin neglijarea coeficienţilor ,
ai funcţiei spline bicubice complete de tipul I. Acest fapt conduce la posibilita-tea
eliminării derivatelor de ordinul al doilea [ . Astfel, funcţia spline bicubică
completă devine incompletă.
22A 23A ,
32A , 33A
j,ic''rs
g ])s,r(g ++∆ l
Dacă derivatele funcţiei se calculează prin metoda parabolelor de
interpolare (IONESCU 1994), coeficienţii funcţiei spline – vor avea următoarele expresii:
j++∆ l,icg )]s,r(g[
nmA
= [ ; 00A l,cg )]s,r(g∆
= [ ; 10A l,c'r
g ])s,r(g∆
= [ ; 01A l,c's
g ])s,r(g∆
= ; 20A l,l,ll 1c'r
gc
'r
g,c
g,1c
g ])s,r(g[])s,r(g[2)]s,r(g[)]s,r(g[3 ++ ∆−∆−∆−∆
= ; 30A l,l,ll 1c'r
gc
'r
g,1c
g,c
g ])s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[)]s,r(g[2 ++ ∆+∆+∆−∆
= ; 02A 1c's
gc
's
g,c
g1,c
g ])s,r(g[])s,r(g[2)]s,r(g[)]s,r(g[3 ++ ∆−∆−∆−∆ l,l,ll
= ; 03A l,l,ll c's
g1c
's
g1,c
g,c
g ])s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[)]s,r(g[2 ∆+∆+∆−∆ ++
= ; 13A 0311c's
g1c
's
g1,1c
g,1c
g A])s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[)]s,r(g[2 −∆+∆+∆−∆ ++++++ l,l,ll
= ; 12A 0211c's
g1c
's
g,1c
g1,1c
g A])s,r(g[])s,r(g[2)]s,r(g[)]s,r(g[3 −∆−∆−∆−∆ ++++++ l,l,ll
= [ ; 11A 1312101,c'r
g AAA])s,r(g −−−∆ +l
= 21A −∆+∆−−∆−∆ ++++ l,l,ll 1c's
g11c
's
g11,c
's
g,1c
's ])s,r(g[])s,r(g[A])s,r(g[])s,r(g[3
– [ ; 1,c'r
g,c
'r
g ])s,r(g[])s,r(g +∆+∆ ll
= 31A +∆−∆++∆−∆ ++++ l,l,ll 1c's
g11c
's
g11,1c
's
g,c
's
g ])s,r(g[])s,r(g[A])s,r(g[])s,r(g[2
+ [ . 1,c'r
g,c
'r
g ])s,r(g[])s,r(g +∆−∆ ll
(4.123)
În relaţiile de mai sus, [ , [ reprezintă valorile de pantă ale
câmpului anomaliilor Bouguer pe direcţiile R (adică X) şi respectiv S (adică Y).
j,ic'r
g ])s,r(g ++∆ l j,ic's
g ])s,r(g ++∆ l
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 89
Corespunzător metodei parabolelor de interpolare, aceste pante se determină cu relaţiile:
a. )]s,r(g[)]s,r(g[21])s,r(g[ ,1c
g,1c
g,c
'r
glll −+ ∆−∆=∆ ;
– pentru c = 1 şi 1 se aplică relaţia: M≤≤ l
)]s,r(g[)]s,r(g[3)]s,r(g[421])s,r(g[ ,2c
g,c
g,1c
g,c
'r
gllll ++ ∆−∆−∆=∆ ;
– pentru c = N şi 1 se aplică relaţia: M≤≤ l
)s,r(g[)]s,r(g[4)]s,r(g[321])s,r(g[ ,2c
g,1c
g,c
g,c
'r
gllll −− ∆+∆−∆=∆ ;
(4.124)
b. )]s,r(g[)]s,r(g[21])s,r(g 1,c
g1,c
g,c
's
g−+ ∆−∆=∆ lll[ ;
– pentru l = 1 şi 1 se aplică relaţia: Nc ≤≤
)]s,r(g[)]s,r(g[3)]s,r(g[421])s,r(g[ 2,c
g,c
g1,c
g,c
's
g++ ∆−∆−∆=∆ llll ;
– pentru l = 1 şi 1 se aplică relaţia: Nc ≤≤
)]s,r(g[)]s,r(g[4)]s,r(g[321])s,r(g[ 2,c
g1,c
g,c
g,c
's
g−− ∆+∆−∆=∆ llll .
(4.125)
Coordonatele carteziene finale ale punctelor gridului îndesit se calculează cu relaţiile
(3.42), în timp ce pentru determinarea anomaliei Bouguer se foloseşte relaţia (3.4).
4.4 METODE DE INTERPOLARE ÎNTR-UN ELEMENT FINIT
RECTANGULAR AL GRIDULUI
Alegerea metodei de interpolare care se aplică pentru determinarea anomaliei Bouguer
într-un punct p situat în interiorul unui element finit rectangular al unui grid se face astfel încât
să se realizeze cel mai bun compromis posibil între precizia cu care se doreşte să se determine
valoarea anomaliei în punctul respectiv – pe de o parte şi viteza de efectuare a calculelor
aferente – pe de altă parte.
Un factor important care concură la îndeplinirea acestui obiectiv îl reprezintă stabilirea
dimensiunilor ferestrei de interpolare care pot fi:
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 90
a. egale cu dimensiunile elementului finit rectangular al gridului – caz în care se mai
spune că dimensiunea ferestrei de interpolare este 1;
b. mai mari decât dimensiunile elementului finit rectangular al gridului – caz în care
aceasta poate avea diverse dimensiuni, dintre care cele mai utilizate sunt: 3 x 3, 5 x 5, 7 x 7 şi
9 x 9 (Fig. 4.33).
Fereastră de interpolare Fereastră de interpolare
3 x 3 5 x 5 etc.
Fig. 4.33 Ferestre de interpolare cu diferite dimensiuni.
Observaţie
Polinoamele de interpolare Legendre, Laguere, Cebâşev, Newton, Taylor, polinoamele
ortogonale Hermite, sau polinoamele trigonometrice (seriile Fourier) prezintă dezavantajul de a
reţine "zgomotul" din datele măsurate şi deci nu pot fi utilizate pentru realizarea unei bune
aproximări.
4.4.1 Cazul în care se consideră o fereastră de interpolare cu
dimensiunile egale cu cele ale elementului finit rectangular al
gridului
4.4.1.1 Interpolarea biliniară
Problema se enunţă astfel: se consideră un element finit rectangular al unui grid
(Fig. 4.34) în ale cărui noduri se cunosc valorile anomaliilor Bouguer: g,cg l∆ , ,
g,1cg l+∆ g
1,cg +∆ l şi
şi un punct p de coordonate x, y situat în interiorul său. g1,1cg ++∆ l
Se cere să se determine valoarea anomaliei Bouguer în punctul p prin interpolare
biliniară.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 91
Fig. 4.34 Interpolarea biliniară într-un element finit rectangular.
Formula interpolării biliniare care rezolvă problema a fost prezentată în 4.1 – "Exem-
plul 1. Suprafaţa rectangulară biliniară" şi este dată de relaţia:
, (4.16) rsgs)r1(g)s1(rg)s1)(r1(g)p(g g1,1c
g1,c
g,1c
g,c ++++ ∆+−∆+−∆+−−∆=∆ llll
unde: şi s . ch/xr −= l−= k/y
4.4.2 Cazul în care se consideră o fereastră de interpolare cu
dimensiunile mai mari decât cele ale elementului finit
rectangular al gridului
4.4.2.1 Interpolarea folosind o funcţie spline cubică naturală (Algoritmul lamei flexibile)
Problema poate fi formulată astfel: se consideră o fereastră de interpolare de dimensiuni
3 x 3 (compusă din 9 elemente finite rectangulare), similară cu cea din figura de mai jos, în ale
căror noduri se cunosc valorile anomaliei Bouguer: şi un punct p situat în
interiorul elementului finit central al acestei ferestre de interpolare.
gl
gl 2,2c1,1c g,,g ++−− ∆∆ K
Fig. 4.35 Fereastră de interpolare de dimensiuni 3 x 3.
Se cere să se determine valoarea anomaliei Bouguer în punctul p prin interpolare
folosind o funcţie spline cubică naturală.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 92
Rezolvarea se poate face în două moduri:
a. fie se calculează )p(g,),p(g 41 ∆∆ K utilizând o funcţie spline scrisă pe coloane şi
apoi ∆g(p) folosind o funcţie spline scrisă pe linie;
b. fie se calculează )p(g,),p(g 85 ∆∆ K utilizând o funcţie spline scrisă pe linii şi apoi
∆g(p) folosind o funcţie spline scrisă pe coloană.
Observaţie
Problema se pune în mod asemănător şi în cazul unor ferestre de interpolare de alte
dimensiuni.
Definiţia 1. Fiind dată o funcţie f definită pe [a, b] şi o mulţime de puncte, sau noduri,
bxxxxa n210 =<<<= K , un interpolant spline cubic pentru f este o funcţie S, care
satisface următoarele condiţii:
a. [ este un polinom cubic pentru fiecare j = 0, 1,…, n – 1; SS j = ]x,x 1jj +
b. pentru fiecare j = 0, 1,…, n; )x(f)x(S jj =
c. pentru fiecare j = 0, 1,…, n – 2; )x(S)x(S 1jj1j1j +++ =
d. pentru fiecare j = 0, 1,…, n – 2; )x(S)x(S 1j'j1j
'1j +++ =
e. pentru fiecare j = 0, 1,…, n – 2; )x(S)x(S 1j''j1j
''1j +++ =
f. una din următoarele două condiţii pe frontieră este îndeplinită:
• (frontieră liberă); 0)x(S)x(S n"
0" ==
• şi S (frontieră impusă), )x(f)x(S 0'
0' = )x(f)x( n
'n
' =
unde cu S şi respectiv şi am s-au notat derivatele de ordinul I şi II ale funcţiei S şi
respectiv f.
' "S 'f "f
În cazul geodeziei fizice nu poate fi luată în calcul decât condiţia de frontieră liberă,
deoarece valorile derivatelor de ordinul I ale funcţiei f nu se pot determina.
Pentru a construi interpolantul spline cubic al unei funcţii date f într-un punct x
(Fig. 4.36), se utilizează condiţiile de definiţie pentru fiecare polinom cubic S care poate fi
scris astfel:
)x(j
, (4.126) 3j
2jjjj )xx(d)xx(c)xx(ba)x(S −+−+−+=
pentru j = 0, 1,…, n – 1.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 93
Fig. 4.36 Subintervalele de definire ale funcţiei spline.
Din analiza "condiţiei b" se observă că:
,a)x(f)x(S jjj == j = 0, 1,…, n – 1. (4.127)
Dacă se utilizează "condiţia c" din definiţia de mai sus:
(4.128) ,)xx(d)xx(c)xx(ba)x(S)x(Sa 3j1jj
2j1jjj1jjj1jj1j1j1j −+−+−+=== +++++++
pentru fiecare şi se defineşte 2-n ,1, ,0j K= )x(fa nn = , atunci folosind notaţia j1jj xxh −= + ,
se poate scrie: 1-n ,1, ,0j K=
(4.129) 3j
2jjj1j dhchbhaa +++=+
pentru fiecare . 1-n ,1, ,0j K=
Dacă în mod similar se defineşte şi se observă că: ),x(Sb n'
n =
, (4.130) 2jjjjj
'j )xx(d3)xx(c2b)x(S −+−+=
ceea ce implică pentru fiecare jj'j b)x(S = 1-n ,1, ,0j K= . Considerând şi "condiţia d" din defi-
niţia 1, rezultă:
(4.131) ,hd3hc2bb 2jjjjj1j ++=+
unde . 1-n ,1, ,0j K=
O altă relaţie între coeficienţii interpolantului S se obţine definind j 2)x(Sc n
''
n = şi
aplicând "condiţia e" din aceeaşi definiţie. În acest caz:
(4.132) jjj1j hd3cc +=+
pentru fiecare . 1-n ,1, ,0j K=
Înlocuind d dedus din relaţia (3.51) în relaţiile (4.129) şi (4.131), obţinem: j
)cc2(3
hhbaa 1jj
2j
jjj1j ++ +++= , (4.133)
) , (4.134) cc(hbb 1jjjj1j ++ ++=
pentru fiecare . 1-n ,1, ,0j K=
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 94
Dacă din ecuaţiile de mai sus se elimină , rezultă sistemul: jb
)aa(h
3)aa(h3chc)hh(2ch 1jj
1jj1j
j1jjjj1j1j1j −
−++−−− −−−=+++ , 1-n ,2, ,1j K= (4.135)
cu necunoscutele c ( ). j n ,1, ,0j K=
Valorile jh 1j( = şi )-n ,1, ,0 K ja n) ,1, ,0j( K= sunt date de distanţele dintre punctele
şi de valorile funcţiei f în aceste puncte. Se observă că, odată cunoscute
valorile , este simplu să se determine celelalte constante:
din (4.133) şi din (3.51) şi să se construiască polinoamele cubice
.
j
j( =
x n ,1, ,0j( K=
j j( =
1)-n ,1, ,0 K
)
c n1, ,0
j
) ,K
d 1)-n ,1, ,0j( K=
jb 1)-n ,1, ,0j( K=
jS
La construirea acestor polinoame cubice apare o problemă legată de sistemul (4.135) şi
anume dacă acesta e compatibil şi unic determinat. În (UDRIŞTE 1996) se demonstrează că
răspunsul este afirmativ.
Definiţia 2. Dacă f este o funcţie definită pe [a, b], atunci f are un interpolant spline unic
care satisface condiţiile de frontieră liberă 0S . El poartă denumirea de interpolant
natural.
)b(S)a( "" ==
Determinarea coeficienţilor interpolantului spline cubic natural se poate face cu
următorul algoritm (UDRIŞTE 1966):
Pasul 1. Fie:
)xx)(xx(
)]xx)(x(f)xx)(x(f)xx)(x(f[3
1iii1i
1i1i1i1i1ii1ii1ii
−+
−+−−+−+
−−−+−−−
=α ,
pentru fiecare i = 1, 2,…, n – 1.
Pasul 2. Fie l ,10 = ,00 =µ .0z0 =
Pasul 3. Fie i = 1.
Pasul 4. Fie 1i1ii1i1ii )xx()xx(2 −−−+ µ−−−=l
)xx(1i1i
ii −=µ +l
]z)xx([1z 1i1iiii
i −−−−α=l
.
Pasul 5. Se incrementează i.
Pasul 6. Dacă i < n, se sare la pasul 4, iar dacă i = n, se trece la pasul următor.
Pasul 7. Fie l ,1n = ,0zn = .zc nn =
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 95
Pasul 8. Fie j = n – 1.
Pasul 9. Fie 1jjjj czc +µ−=
3
)c2c)(xx(xx
)x(f)x(fb j1jj1j
j1j
j1jj
−−−
−
−= ++
+
+
)xx(3
ccd
j1j
j1jj −
−=
+
+ .
Pasul 10. Se decrementează j.
Pasul 11. Dacă 0 se sare la pasul 9, iar dacă j < 0 se trece la pasul următor. j ≥
Pasul 12. Interpolantul spline cubic natural pentru fiecare interval [ este: ],x,x 1jj +
, (4.136) 3jj
2jjjjjj )xx(d)xx(c)xx(b)x(f)x(S −+−+−+=
unde . 1-n ,1, ,0j K=
În (MORITZ 1978) se demonstrează că funcţia spline cubică se bucură de două
proprietăţi remarcabile: proprietatea de normă minimă şi proprietatea de cea mai bună
aproximare.
Înainte de prezentarea acestor proprietăţi, se reaminteşte noţiunea de normă a unei
funcţii f.
Definiţie. Norma unei funcţii este dată de relaţia: ]b,a[:f
2/1b
a
2'' dx)x(ff
= ∫ ,
unde reprezintă derivata de ordinul II a funcţiei f(x). )x(f ''
Proprietatea de normă minimă. Dintre toate funcţiile f(x) ale căror derivate de ordinul
doi sunt de pătrat integrabile şi pentru care jj x)x(f = , j = 0, 1,…, n, funcţia spline cubică S(x)
cu S minimizează norma 0)b(S)a( "" == f dată de relaţia de mai sus.
Cu alte cuvinte s-ar putea spune că dintre toate funcţiile de interpolare posibile, funcţiile
spline cubice sunt cele mai netede.
Proprietatea de cea mai bună aproximare. Dintre toate funcţiile spline, doar
interpolantul spline cubic îndeplineşte condiţia: =− Sf minim.
Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 96
4.4.2.2 Interpolarea folosind metoda celor mai mici pătrate
Problema se poate formula astfel: se consideră o fereastră de interpolare de dimensiuni
( k ) – (Fig. 4.37), în ale căror noduri se cunosc valorile
anomaliei Bouguer: şi un punct p situat în interiorul elementului finit central al
acestei ferestre de interpolare. De asemenea, se pot calcula covarianţele dintre punctul p şi
nodurile , precum şi matricea de varianţă-covarianţă corespunzătoare celor r
noduri.
)1k2( )1k2( −×−
1 pp K
5 4, 3, ,2∈
g1 g ,,g ∆∆ K
rk pK
2)k2(r =
gr
2
Fig. 4.37 Fereastră de interpolare de dimensiuni (2k – 1) x (2k – 1).
Se cere să se determine valoarea anomaliei Bouguer în punctul p prin interpolare
folosind metoda celor mai mici pătrate.
Valoarea anomaliei Bouguer în punctul p se poate calcula cu relaţia (HEISKANEN
1967 şi MORITZ 1962):
. ( )
∆
∆∆
=∆
−
)p(g
)p(g)p(g
)pp(C)pp(C)pp(C
)pp(C)pp(C)pp(C)pp(C)pp(C)pp(C
)pp(C)pp(C)pp(C)p(g
r
2
11
rr1r1r
r22212
r12111
r21M
L
MOMM
L
L
L
(4.137)
Toate funcţiile de covarianţă se calculează folosind unul din modelele prezentate în 4.1
"Consideraţii privind corelaţia spaţială a anomaliilor Bouguer (2. Covarianţa)".
În (MORITZ 1978) se demonstrează că interpolarea folosind metoda celor mai mici
pătrate se bucură de aceleaşi proprietăţi remarcabile ca şi funcţia spline cubică.
Proprietatea de normă minimă. Dintre toate funcţiile de interpolare posibile, funcţia
de interpolare care foloseşte metoda celor mai mici pătrate posedă cea mai mică normă
( g∆ = minim).
Proprietatea de cea mai bună aproximare. Dintre toate combinaţiile liniare posibile
care se referă la aceeaşi configuraţie de puncte , combinaţia folosită pentru
interpolare are norma
n21 p,,p,p K
===∆− − 2/1)(vgf vCv 1T minim, f fiind funcţia de aproximat.
Capitolul 5
CONTRIBUŢII ALE GEODEZIEI LA DELIMITAREA ZONELOR DE STRUCTURĂ DIN INTERIORUL
PĂMÂNTULUI
Reprezentarea cartografică a anomaliilor Bouguer perfecţionate (simple) dintr-o regiune
de studiu poartă denumirea de harta anomaliilor Bouguer numită pe scurt de geofizicieni şi
geologi – harta Bouguer sau harta gravimetrică. Această hartă oferă o imagine de ansamblu a
câmpului gravităţii din regiunea de studiu şi constituie materialul primar pe baza căruia
urmează să se descifreze atât structura solului cât şi delimitarea zonelor de structură din
interiorul acestuia.
Curbele de egală anomalie de pe harta Bouguer furnizează o imagine complexă, în care
se pot reflecta cauze diferite ca situare şi extindere spaţială. Ele pot reprezenta efectul cumulat –
fie al unor corpuri sursă (formaţiuni perturbante) situate la adâncimi şi dimensiuni diverse ca
ordine de mărime (efecte regionale şi locale) – fie al unor corpuri sursă de adâncimi şi
dimensiuni de acelaşi ordin de mărime (efecte locale cumulate).
Deşi în multe cazuri hărţile Bouguer pot sugera soluţii geologice, de multe ori formele
curbelor de egală anomalie nu corespund particularităţilor structurale ale unor formaţiuni de
acest tip.
În astfel de cazuri se apelează la date de observaţie seismice. Acestea conduc la
informaţii asupra poziţiei elementelor reflectatoare, spre deosebire de datele gravimetrice care –
prelucrate şi sintetizate în hărţi Bouguer – nu lasă să se recunoască imediat semnificaţia lor
geologică, deoarece anomaliile gravimetrice au relaţii mai subtile cu structura geologică.
Pentru stabilirea acestor relaţii şi pentru caracterizarea lor cantitativă, datele de
observaţie gravimetrice trebuie de cele mai multe ori supuse – înainte de interpretarea lor finală,
în termeni geologici – unei analize care să pună în evidenţă elementele determinante pentru
identificarea condiţiilor de reflectare a structurii geologice în distribuţia câmpului gravităţii,
adică pentru efectuarea corelării imagine geometrică – imagine structurală. O asemenea analiză
comportă printre altele, determinarea unor imagini suplimentare ale anomaliilor – imagini ce
reprezintă materialul gravimetric secundar.
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 98
Prin analiza cantitativă a datelor gravimetrice se urmăreşte transformarea materialului
gravimetric primar astfel încât să se obţină imagini ale anomaliilor în care să se poată distinge
unele sau altele din elementele ce determină efectele complexe. Rolul materialului gravimetric
secundar, la care se ajunge prin asemenea transformări, este acela de a realiza – în măsura în
care este posibil – o separare a efectelor cu grad diferit de regionalitate şi o rezolvare a
efectelor cumulate în elementele componente.
De asemenea, analiza cantitativă a datelor gravimetrice urmăreşte ca soluţia geologică
cea mai probabilă, compatibilă cu distribuţia observată a câmpului, să poată fi caracterizată şi
cantitativ, prin informaţii asupra amplasării geografice, adâncimii, formei, dimensiunilor şi
contrastului de masă al corpului sursă (formaţiunii perturbante) care produce anomalia
gravimetrică.
Procedeele care conduc la atingerea acestor obiective sunt variate. În cadrul acestui
capitol se prezintă sintetic principiile pe care se bazează cele mai cunoscute procedee,
posibilităţile, limitele şi descrierile lor, cu indicarea modalităţilor de aplicare practică.
5.1 ANOMALIA BOUGUER REGIONALĂ ŞI ANOMALIA BOUGUER
LOCALĂ
Ţinând seama de caracterul relativ al noţiunilor de ''regional'' şi ''local'', de ambiguitatea
legată de separarea anomaliilor corespunzătoare şi de modalitatea de obţinere a acestora, se pot
utiliza preferenţial termenii de anomalie nivelată / majoră pentru anomalia regională şi
anomalie reziduală / minoră pentru cea locală.
Cunoscând substratul fizico-geologic al componentelor regionale şi locale ale
anomaliilor Bouguer – notate pe tot parcursul acestui capitol cu ∆g – şi caracteristicile lor
morfologice, toate încercările de separare comportă două etape:
a. stabilirea câmpului nivelat căruia i se atribuie semnificaţia de câmp regional ; Rg∆
b. determinarea câmpului rezidual, adoptat convenţional drept câmp local . Lg∆
Principiul care stă la baza procedeului avut în vedere (CONSTANTINESCU 1964 şi
WOLF 1992) constă din eliminarea influenţelor regionale din anomaliile Bouguer perfecţi-
onate, operaţie care poate fi descrisă analitic de ecuaţia:
, i = 1, ..., n (5.1) Rii
Li ggg ∆−∆=∆
unde n reprezintă numărul de puncte din reţeaua gravimetrică considerată.
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 99
Având în vedere extinderea limitată a zonei acoperită de PGGC, pentru s-a folosit
următoarea expresie:
Rig∆
+∆+∆+∆∆+∆+∆+∆+∆+=∆ 3i03
3i30ii11
2i02
2i20i01i1000
Ri yaxayxayaxayaxaag
, (5.2) 2ii12i
2i21 yxayxa ∆∆+∆∆+
unde )y(My;)x(Mx;yyy;xxx i0i00ii0ii ==−=∆−=∆ .
Valorile ∆ şi respectiv ix iy∆ sunt cunoscute, iar M reprezintă operatorul mediei
aritmetice.
Prelucrarea se desfăşoară ţinând seama că:
• necunoscutele modelului funcţional sunt coeficienţii: a ,a,a,a,a,a,a, 30110220011000
122103 a,a,a ;
• termenii liberi ai ecuaţiilor de corecţii sunt reprezentaţi de anomaliile Bouguer
perfecţionate calculate cu relaţia (3.51);
• numărul ecuaţiilor este egal cu numărul punctelor din reţeaua gravimetrică – n;
• funcţia scop a prelucrării este: [ → minim. ]gg Li
Li ∆∆
Rezultatul prelucrării conduce la determinarea valorilor anomaliilor Bouguer locale în
punctele reţelei gravimetrice.
Interpretarea fizică a anomaliei Bouguer regionale şi a anomaliei Bouguer locale
Anomalia regională are cauze situate foarte adânc în interiorul crustei, care prezintă
variaţii regulate în spaţiu pe suprafeţe mari. Astfel de cauze pot fi determinate de:
eterogenitatea de compoziţie sau variaţia nivelului suprafeţei fundamentului cristalin sub un
strat gros de sedimente, efilarea foarte lentă a unei formaţiuni sedimentare care prezintă un
contrast de densitate faţă de celelalte sedimente, variaţia regulată de densitate ş.a.
Prin opoziţie, anomalia locală se datorează unor cauze superficiale, care prezintă variaţii
neregulate în spaţiu (ca geometrie sau contrast de densitate) pe suprafeţe relativ mici, cum ar fi:
existenţa unei falii, a unui dom de sare care se ridică până aproape de suprafaţă, a unui
zăcământ de magnetită, existenţa unei cutări a formaţiunilor superficiale, în general o structură
de dimensiuni reduse.
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 100
5.2 ANOMALIILE CONTINUATE ANALITIC ALE GRAVITĂŢII
Pentru un punct P situat pe suprafaţa fizică a Pământului, potenţialul câmpului gravific
W(P) poate fi descompus într-o o sumă de trei componente:
, (5.3) )P(T)P(T)P(U)P(W B++=
în care: U – reprezintă potenţialul normal al câmpului gravităţii datorat elipsoidului de
referinţă;
T – potenţialul perturbator datorat reliefului omogen dintre elipsoid şi suprafaţa
fizică a Pământului;
BT
– potenţialul perturbator datorat corpurilor sursă (neomogenităţii maselor din
interiorul Pământului).
Neomogenitatea maselor se referă la:
• densitatea folosită pentru obţinerea anomaliei Bouguer;
• densitatea din interiorul elipsoidului de referinţă.
Deoarece potenţialul este o funcţie armonică, care verifică ecuaţia lui Laplace, se poate
scrie:
, (5.4) 0TB =∆
unde 2
2
2
2
2
2
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆ (5.5)
poartă denumirea de operatorul lui Laplace sau laplacian.
Presupunând că altitudinea folosită pentru obţinerea anomaliei Bouguer în punctul P
este cea elipsoidală şi că atracţia maselor topografice este luată în calcul pentru întreg
Pământul, rezultă că potenţialului perturbator datorat corpurilor sursă – T i se poate asocia
anomalia Bouguer:
B
z
Tg B
∂∂
=∆ . (5.6)
Aplicând celor doi membri ai relaţiei de mai sus operatorul lui Laplace, schimbând
ordinea operaţiilor indicate de ∆ şi z∂∂ şi ţinând seama de (3.2), se constată că şi mărimea ∆g
satisface ecuaţia lui Laplace:
0z
gy
gx
g2
2
2
2
2
2
=∂
∆∂+
∂∆∂
+∂
∆∂ . (5.7)
Din relaţia de mai sus se observă că variaţia lui ∆g pe verticală (derivata 22 zg ∂∆∂ )
depinde de variaţia în plan orizontal (derivatele de ordin doi după x şi y).
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 101
Acest aspect sugerează posibilitatea găsirii câmpului anomaliilor gravimetrice la o
anumită altitudine / adâncime funcţie de valorile observate la cote inferioare / superioare.
Acest procedeu, numit continuare analitică în semispaţiul superior / inferior, se poate
aplica atât pentru date de observaţie repartizate pe un plan orizontal, cât şi în pentru măsurători
efectuate pe o suprafaţă topografică accidentată.
Mijloacele puse la dispoziţie de teoria potenţialului au fost utilizate pentru elaborarea
mai multor metode de determinare a anomaliilor continuate analitic ale gravităţii, dintre care, în
cele ce urmează, se vor prezenta două.
1. Metoda bazată pe formula flux-divergenţă şi pe funcţia Green pentru un semispaţiu
Plecând de la formula flux-divergenţă (Gauss-Ostrogradski):
∫∫ ∫∫∫=S V
dVvdivdSnv , (5.8)
în care S reprezintă o suprafaţă închisă care mărgineşte volumul V, n este normala la S, iar v
un câmp vectorial suficient de neted în (IVAN 1994) se demonstrează că în cazul unor date de
observaţie situate pe un plan orizontal, pentru un câmp ∆g oarecare, formula de continuare
analitică în semispaţiul superior – numită şi integrala Dirichlet este:
[ ] dxdy)zz()yy()xx(
z)0,y,x(g
21)z,y,x(g 23 2
02
02
0
0000 ∫∫
+
−
∞
∞ −+−+−∆
π=−∆ , (5.9)
unde – reprezintă coordonatele a două puncte amplasate simetric faţă de un
plan (xOy), aşa cum rezultă din figura următoare:
)z,y,x(),z,y,x( 000 −
Fig. 5.1 Amplasarea simetrică a punctelor şi faţă de planul (xOy). 0M *
0M
Metoda are o importanţă practică deosebită, conducând la o atenuare a erorilor
(zgomotului) şi a efectelor geometrice de relief date de poziţii particulare ale corpurilor sursă în
raport cu suprafaţa de observaţie.
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 102
2. Metoda Constantinescu – Botezatu
2.A Continuarea analitică în semispaţiul inferior
Demonstraţia completă a acestei metode se găseşte în (CONSTANTINESCU 1961) şi
se bazează pe următoarea formulă generală:
∑ ∑µ=−∆N
0
K
1k
nk
n
A!n
m)md(g , (5.10)
în care m este un multiplu al laturii reţelei – notată cu d (Fig. 5.2), – poartă denumirea de
coeficienţi de generalizare, şi se determină pe baza distribuţiei câmpului în planul z = 0, iar
– se numesc parametri de desfăşurare şi se determină punând condiţia la limită:
kA
kµ
0 , (5.11) )L(J k0 =µ
unde constanta L este o valoare mare a lui l (Fig. 5.2) pentru care mărimea ∆g din planul de
observaţie devine neglijabilă în comparaţie cu valoarea câmpului din punctul pentru care se
face calculul.
Relaţia (3.9) se obţine prin înlocuirea expresiilor derivatelor de diverse ordine ale
gravităţii, luate în raport cu verticala, în desfăşurarea în serie MacLaurin a acestei mărimi –
considerată ca o funcţie continuă şi derivabilă. Expresiile derivatelor se deduc din soluţia
ecuaţiei lui Laplace (în aproximaţia Fourier-Bessel) scrisă pentru ∆g în coordonate cilindrice.
Din motive de simplificare a calculelor numerice, respectând însă necesităţile de
satisfacere a exigenţelor de ordine de mărime, în lucrarea menţionată însumările din (3.9) s-au
limitat la N = 11 şi K = 3.
Formula finală de calcul este următoarea:
∑∑ ∆+∆+∆=−∆4
1im
4
1imm )d2(gc)d(gb)0(ga)md(g , (5.12)
în care şi sunt coeficienţi ai căror valori numerice depind atât de m cât şi de razele
cercurilor pe care sunt realizate valorile medii ale anomaliei ∆g.
mm b,a mc
Pentru cazul în care ∆g este cunoscută într-o reţea de pătrate de latură d, ca cea din
Fig. 5.2, valorile coeficienţilor numerici din relaţia (3.13) se găsesc în Tabelul 5.1.
Pentru m = 1, relaţia (3.13), devine:
∑ ∑= =
∆−∆+∆−=−∆4
1i
4
1iii )d2(g517417.4)d(g904104.6)0(g395745.8)d(g . (5.13)
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 103
Fig. 5.2 Configuraţia de puncte pentru reţeaua de pătrate.
Tabelul 5.1 Valorile coeficienţilor care intervin în relaţia (5.12).
m ma mb mc
1.0 -8.395745 6.904104 -4.517417
1.5 4.925253 1.813734 -2.738953
2.0 48.025922 -17.848485 6.166283
2.5 146.360253 -64.878762 28.632006
3.0 342.401945 -160.706552 75.471680
Prin încercări, autorii metodei au constatat că formula (3.13) conduce la aproximaţii
satisfăcătoare doar pentru valori ale lui d mai mici de 1000 m. De asemenea ei au ajuns la
concluzia că din punct de vedere practic este indicat să se facă continuarea la diverse adâncimi
pe baza aceleiaşi reţele, coeficienţii formulei de lucru fiind calculaţi pentru adâncimi exprimate
ca multipli ai laturii reţelei.
2.B Continuarea analitică în semispaţiul superior
Continuarea analitică în semispaţiul superior se bazează pe o formulă generală similară
cu cea dată de relaţia (3.9), şi anume:
∑ ∑µ−=+∆N
0
K
1k
nk
nn A
!nm)1()md(g . (5.14)
Pornind de la aceasta, prin calcule asemănătoare, aceiaşi autori au determinat şi formula
practică de calcul a continuării analitice în semispaţiul superior:
∑ ∑= =
∆+∆−∆=+∆4
1i
4
1iii )d2(g809928.5)d(g482929.10)0(g543508.19)d(g . (5.15)
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 104
Interpretarea fizică a anomaliilor continuate analitic ale gravităţii
Un material gravimetric secundar care se dovedeşte util la interpretarea fizică a
anomaliilor gravimetrice, este reprezentat de imaginile acestora în alte plane decât cel în care
s-a efectuat reducerea datelor de observaţie.
Imaginile continuate analitic ale anomaliilor gravimetrice pot fi folosite calitativ pentru
rezolvarea anomaliilor cumulate şi deci pentru o mai bună conturare şi localizare a surselor lor
şi cantitativ pentru estimări de adâncimi şi pentru calcule structurale.
Continuarea analitică în sus a anomaliilor gravimetrice se utilizează în urma realizării de
măsurători gradiometrice / aerogravimetrice, pentru a căror corelare cu anomaliile terestre este
necesară o continuare în sus a celor din urmă. Acest procedeu de continuare, destul de rar
utilizat până în anii 80 în geodezia fizică, a devenit din ce în ce mai întrebuinţat datorită
necesităţii calibrării măsurătorilor gravimetrice satelitale.
Continuarea analitică în jos prezintă o importanţă deosebită în gravimetrie. Rolul
acesteia este legat de faptul că reflectarea unui corp sursă în anomalia gravimetrică
corespunzătoare se face cu atât mai bine, cu cât planul în care este surprinsă imaginea este
situat mai aproape de sursa anomaliei. Deoarece în cazul unor corpuri sursă adânci planul de
observaţie este departe de sursă, rămâne ca obţinerea imaginii anomaliei într-un plan apropiat să
se realizeze prin calcul, adică prin continuare analitică în jos.
5.3 ANOMALIILE DERIVATELOR VERTICALE ALE GRAVITĂŢII
5.3.1 Anomalia gradientului vertical (anomalia derivatei verticale de
ordinul I)
Utilizarea în practică a gradientului vertical ca instrument de punere în evidenţă a
anomaliilor locale şi de rezolvare a anomaliilor cumulate a condus la elaborarea unor metode de
calcul pentru acest element gravimetric. În continuare se prezintă trei dintre aceste metode.
1. Metoda filtrării
Prin filtrarea unei anomalii gravimetrice se înţelege efectuarea unei succesiuni de
operaţii numerice (de filtrare) prin care anomalia dată (de intrare) se transformă într-una sau
mai multe anomalii (de ieşire) legate ''genetic'' de prima (IVAN 1994).
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 105
Filtrarea poate fi realizată:
a. în domeniul spaţial – când operaţiile numerice se aplică direct asupra anomaliei de
intrare;
b. în domeniul spectral – când operaţiile numerice se aplică asupra transformatei
Fourier a anomaliei date, iar rezultatului obţinut i se aplică transformata Fourier inversă.
A. Filtrarea în domeniul spaţial
Să considerăm anomalia ∆g cunoscută în nodurile unei reţele pătratice sub forma unei
matrice , – cu elementele , c = 1,..., N, l = 1,..., M – unde N reprezintă numărul de
coloane iar M numărul de linii.
∆g lc,∆g
Să considerăm o submatrice h , – cu elementele , i, j = 1,..., F – numită matricea
coeficienţilor filtrului sau matricea caracteristică de transfer a filtrului, unde F este un număr
impar mic (F = 3, 5, 7,... şi F < min N, M).
j,ih
Filtrarea în domeniul spaţial, cunoscută şi sub denumirea de metoda mediilor mobile sau
metoda ferestrei mobile, constă în:
• suprapunerea repetată, în toate poziţiile posibile, a matricei coeficienţilor filtrului h
peste matricea ∆g;
• înmulţirea valorilor cu coeficienţii suprapuşi; l,cg∆ j,ih
• adunarea rezultatelor înmulţirilor şi atribuirea valorii (ca poziţie în spaţiu) punctului
central al matricei h.
Iniţial, matricea h se suprapune peste colţul din stânga sus al matricei ∆g apoi se
coboară succesiv cu câte o linie, până când ultima linie a lui h se suprapune peste ultima linie a
lui ∆g. Apoi, matricea h se deplasează cu o coloană spre dreapta, revine cu prima linie pe prima
linie a lui ∆g şi reîncepe coborârea succesivă cu câte o linie. Procedând în acest mod, ultima
poziţie a lui h va fi în colţul din dreapta jos a lui ∆g.
Dacă notăm cu ∆ matricea de ieşire, se poate scrie: zg
. (5.16) gh∆g z ∆ =
În general, pentru un F impar oarecare, elementele matricei ∆ se calculează cu relaţia: zg
, (5.17) qp,z∆g = ∑ ∑−+
=
−+
=+−+−∆
1Fp
pc
1Fq
q1q,1pcc hg
lll
unde p = 1,..., N – F + 1, q = 1,..., M – F + 1, iar valoarea ∆ are aceeaşi poziţie în spaţiu ca
şi
qp,zg
2/)1F(q,2/)1F(p −+−+∆g .
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 106
Principala problemă a filtrării în domeniul spaţial o reprezintă determinarea expresiei
caracteristicii de transfer a filtrului astfel încât funcţia obţinută în final să reprezinte anomalia
filtrată dorită.
B. Filtrarea în domeniul spectral
Schema generală de filtrare în domeniul spectral este următoarea:
Fig. 5.3 Schema generală de filtrare în domeniul spectral (după IVAN 1994).
Pentru înţelegerea schemei generale de filtrare în domeniul spectral din figura de mai
sus, sunt necesare câteva informaţii suplimentare cu privire la transformata Fourier şi
proprietăţile acesteia, precum şi explicarea unor noţiuni cu care se operează curent: produs de
convoluţie, formulă de deplasare, funcţie de transfer a filtrului de continuare analitică şi funcţie
de transfer a filtrului pentru gradientul vertical.
B.1 Transformata Fourier. Proprietăţi
Fie funcţia:
f = f(x, y) (5.18)
care, în situaţia avută în vedere, reprezintă anomalia gravimetrică ∆g obţinută pe o suprafaţă
plană şi orizontală.
Se numeşte transformata Fourier (continuă) directă (TFD) a lui f, funcţia:
F(u, v) = , (5.19) ∫ ∫+
−
∞
∞
+− dxdy)]vyux(iexp[)y,x(f
unde i = 1− .
În practică, integrala (3.5) se evaluează pe un domeniu finit (domeniu de măsură).
Studiul condiţiilor matematice pe care trebuie să le îndeplinească funcţia f pentru ca această
integrală să existe nu este în general necesar, dar condiţionează stabilitatea numerică a
procedeelor ce utilizează acest tip de transformări integrale.
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 107
Dacă se cunoaşte transformata Fourier directă, funcţia iniţială f se poate reconstitui prin
transformata Fourier (continuă) inversă (TFI):
f(x, y) = . (5.20) ∫ ∫+
−
∞
∞
++ dudv)]vyux(iexp[)v,u(F
Deoarece, în practică, valorile funcţiei (3.51) se cunosc numai în anumite puncte,
integralele (3.5) şi (3.19) se aproximează prin sume, obţinându-se perechea de transformate
Fourier discrete (directă şi inversă). Evaluarea unei transformate Fourier discrete este o
operaţie laborioasă, deoarece necesită apelarea repetată a funcţiilor sinus şi cosinus. Dacă
numărul de puncte în care se cunoaşte funcţia f este o matrice cu 2N coloane şi 2M linii,
calculul transformatelor discrete se face folosind o subrutină specială numită transformata
Fourier rapidă (FFT) – Fast Fourier Transform, a cărei viteză de calcul este mult mai mare.
B.2 Produs de convoluţie
Fie
)y,x(f = ∫∫+
−
∞
∞
−− dxdy)yy,xx(h)y,x(g . (5.21)
Funcţia )y,x(f poartă denumirea de produsul de convoluţie al funcţiilor g şi h.
Transformata Fourier a acestei funcţii este:
F(u, v) = =+−∫∫+
−
∞
∞
dxdy)]yvxu(iexp[)y,x(f
= dxdyydxd)]yvxu(i[exp)yy,xx(h)y,x(g +−−−∫∫+
−
∞
∞
+
−
∞
∞∫∫ . (5.22)
Efectuând substituţia: ,Yyy,Xxx =−=− rezultă:
F(u, v) = G(u, v)*H(u, v), (5.23)
unde G şi H sunt transformatele Fourier ale funcţiilor g şi h din formula (3.14).
Aşadar, transformata Fourier a produsului de convoluţie este produsul transformatelor
Fourier ale factorilor componenţi.
B.3 Formula de deplasare
Fie funcţia f(x, y) cu transformata Fourier F(u, v) şi funcţia
g(x, y) = )y,xx( −f . (5.24)
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 108
Transformata Fourier a lui g este:
G(u, v) = =+−−∫∫+
−
∞
∞
dxdy)]vyux(iexp[)y,xx(f
= dXdy)]vyuX(i[exp)y,Xf)xiu +−− ∫∫+
−
∞
∞
(exp( . (5.25)
Deci transformata Fourier a funcţiei deplasate se obţine cu ajutorul transformatei
funcţiei nedeplasate, prin formula:
G(u, v) = )v,u(F)xiu−exp( . (5.26)
B.4 Funcţia de transfer a filtrului de continuare analitică
În [Ivan, 1994] se arată că expresia câmpului continuat analitic este dată de produsul de
convoluţie dintre câmpul observat pe planul de referinţă şi funcţia:
232220
)zyx(2z
)y,x(h++π
= . (5.27)
Utilizând produsul de convoluţie şi formula de deplasare, se poate obţine funcţia de
transfer a filtrului de continuare analitică în sus:
),vuzexp()v,u(H 220 +−=∧ 0 (5.28)z0 >
Prin simetrie, se admite că filtrul de continuare analitică în jos are caracteristica:
),vuzexp()v,u(H 220 +=∨ 0 (5.29) z0 >
cu rezerva existenţei transformatei Fourier inverse din schema generală de filtrare (Fig. 5.3).
B.5 Funcţia de transfer a filtrului pentru gradientul vertical
S-a stabilit că între transformata Fourier a câmpului anomaliilor de pe planul z şi
transformata câmpului anomaliilor de pe planul
0z−=
0z = există legătura:
)v,u(g)vuzexp()v,u(g 022
z ∆+=∆ . (5.30)
Derivând relaţia de mai sus în raport cu z, se obţine:
)v,u(g)vuzexp(vuz
)v,u(g0
2222z ∆++=∂
∆∂ , (5.31)
adică )v,u(gvuz
)v,u(gz
22z ∆+=∂
∆∂ . (5.32)
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 109
Planul z −= fiind arbitrar, filtrul pentru gradientul vertical (derivata de ordinul I
verticală) are caracteristica teoretică dată de relaţia:
0z
22 vu)v,u(H += . (5.33)
Datorită simetriei circulare, în figura de mai jos s-a reprezentat un singur cadran:
Fig. 5.4 Reprezentarea caracteristicii teoretice a filtrului pentru gradientul vertical.
Datorită aproximaţiilor pe care le implică, filtrarea în domeniul spectral nu furnizează
întotdeauna rezultate optime, dar prezintă totuşi avantajul vitezei de calcul.
Cea mai importantă aplicaţie practică a analizei spectrale este proiectarea unor filtre în
domeniul spaţial.
C. Proiectarea filtrului pentru calculul anomaliei gradientului vertical folosind analiza spectrală
Se consideră un filtru din domeniul spaţial caracterizat de matricea:
h =
2252522
52125
21012
52125
2252522
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
, (5.34)
Pentru simplificarea calculelor se admite că pasul de eşantionare este unitar (ceea ce
înseamnă că, în prealabil, valorile anomaliilor s-au normat cu valoarea pasului).
Indicii din (3.36) reprezintă distanţele faţă de punctul central.
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 110
Folosind relaţia (3.12), funcţia de transfer a acestui filtru este:
H*(u, v) = a +++++++++ −−−− )eeee(a)eeee(a iv2iv2iu2iu22
iviviuiu10
+++++++++ +−−−+−+−−−+− ]eeee[a]eeee[a )vu(i2)vu(i2)vu(i2)vu(i222
)vu(i)vu(i)vu(i)vu(i2
]eeeeeeee[a )v2u(i)v2u(i)v2u(i)v2u(i)vu2(i)vu2(i)vu2(i)vu2(i5
+−−−+−+−−−+− ++++++++ .
(5.35)
Dacă în relaţia de mai sus se efectuează substituţiile: respectiv
, aceasta devine:
iuiu eeucos2 += −
iviv eevcos2 += −
H*(u, v) = +++++ )v2cosu2(cosa2)vcosu(cosa2 210a
+−+++++−+ )]vu(2cos)vu(2[cosa2)]vucos()vu[cos(a2 222
)]v2ucos()v2ucos()vu2cos()vu2[cos(a2 5 −+++−+++ . (5.36)
Ţinând seama de grupul de relaţii de mai jos,
)4tcos(r2)tsint(cosrvu π+=−=−
)4tcos(r2)tsint(cosrvu π−=+=+
)21tanatcos(r5)tsintcos2(rvu2 −=+=+
)21tanatcos(r5)tsintcos2(rvu2 +=−=− (5.37)
)2tanatcos(r5)tsin2t(cosrv2u −=+=+
)2tanatcos(r5)tsin2t(cosrv2u +=−=−
)rrtanatcos(rrtsinrtcosr 1222
2121 −+=+
relaţia (3.20) se poate scrie în coordonate polare )tsinrv,tcosru( == , astfel:
H*(r, t) = +++++ )]tsinr2cos()tcosr2[cos(a2)]tsinrcos()tcosr[cos(a2a 210
+ +π−+π+ )]4tcos(r2cos()4tcos(r2[cos(a2 2
+ +π++π− )]4tcos(r22cos()4tcos(r22[cos(a2 22
+ +++− ))21tanatcos(5rcos())21tanatcos(5r[cos(a2 5
+ ))]2tanatcos(5rcos())2tanatcos(5rcos( ++− . (5.38)
S-a menţionat că funcţia de transfer pentru gradientul vertical este:
H(u, v) = rvu 22 =+ , π≤v,u pentru ∆ = pasul de eşantionare = 1. (5.33)
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 111
Determinarea celor 6 elemente necunoscute ale matricei (3.36) se realizează punând
condiţia ca abaterea, în sensul celor mai mici pătrate, dintre caracteristica (3.37) şi funcţia
(3.44) să fie minimă pe discul de rază unitară centrat în origine, adică:
. (5.39) ∫ ∫π
=
π
=
=
−
0r
2
0t
2* minrdrdt]r)t,r(H[
Dacă se utilizează coordonate polare (u = rcost, v = rsint) şi se consideră integrala pe un
cerc, condiţia de minim (3.26) devine:
∫ ∫π
=
π
=
=
∂∂
−π0r
2
0t p
** 0rdrdt
aH]r)t,r(H[
21 , (5.40)
pentru p = 0, 1, 2, 2 , 22 , 5 , unde:
1 aH
0
*
=∂∂
)]tsinrcos()tcosr[cos(2 aH
1
*
+=∂∂
)]tsinr2cos()tcosr2[cos(2 aH
2
*
+=∂∂
))]4tcos(r2cos())4tcos(r2[cos(2 aH
2
*
π−+π+=∂∂ (5.41)
))]4tcos(r22cos())4tcos(r22[cos(2 aH
22
*
π++π−=∂∂
+++−=∂∂ ))21tanatcos(r5cos())21tanatcos(r5[cos(2 aH
5
*
+ ))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5 ++−cos( .
Relaţia (3.28) generează un sistem de 6 ecuaţii cu 6 necunoscute – (3.40), ai căror
coeficienţi şi termeni liberi depind de funcţiile Bessel de ordin 0 şi 1:
∫π
+π
=2
000 ,dt)]ttcos(rcos[
21)r(J Rt 0 ∈ , iar J 1)0(0 = (5.42)
şi ∫π
π=π
001 dr)pr(rJp)p(J . (5.43)
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 112
Calculul coeficienţilor sistemului (3.40) se face prin recurenţă, aplicând relaţiile:
∑ ∑∞
=
∞
=
=
+−
=0n 0n
n
n2n1 T
21
2x
)!1n(!n)1(
21
x)x(J
, ( )n
2
1n1 T)2n)(1n(
2xT,1T++
−== + (5.44)
în timp ce pentru determinarea termenilor liberi, se va ţine seama de faptul că:
∑ ∫∫∫∫∞
=
ππππ
=
−
π=
π=
π=
π 0n
p
0
2n2
2
n
230
02
23
p
002
2
20
02
2 dtt2t
)!n()1(
p1dt)t(Jt
p1
pdt)t(J
pt1dr)pr(Jr1
∑∞
=
∞
=
π+
→
π
+−
π=+
−π 0n
n2
2
n
0n
p
0
3n2
n22
n
23 2p
3n21
)!n()1(
3n22)!n()1
p ∑=t1(1
∑∞
=
+−
0n2
n
23n2)!n()1(
π→
x1 , 31T0 = ,
n
2
2nn2
2n2
n
1n
1n T2x
)1n(1
5n23n2T
2x
2x
3n21
5n21
)!n()!n()1(
)!1n()!1n()1(
T
+++
−=
+
+−
++−
=
++
+ (5.45)
unde pr = t iar ∑∞
=
−
=0n
n2
2
n
0 2x
)!n()1()x(J .
În Anexa 3 sunt prezentate calculele care au condus la obţinerea ecuaţiilor acestui
sistem.
Soluţiile sistemului sunt prezentate în Tabelul 5.2:
Tabelul 5.2 Soluţiile sistemului generat de condiţia (3.28).
0a 1a 2a 2a 22a 5a
2.3460100 -0.3923450 0.0268937 -0.1067570 -0.0059066 0.0016794
(5.46)
12
a5
)5(J2a
22)22(J
a2
)2(Ja
2)2(J
a)(J
8a
51
221
21
21
110 π
=π
π+
π
π+
π
π+
ππ
+ππ
+
+
π
π+
π
π+
ππ
+π
π+
ππ
+π
π+
ππ
+
+
π
π+
ππ
+ππ
2211
211
2111
111
01 a
5)5(J
13)13(J
2a)(J
5)5(J
2a)(J
5)5(J
23
)3(Ja
21
2)2(J
22
)2(Ja
)(J
∫π
π=
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
00
225
1111 dr)r(Jr1a2
)2(J22
)22(J2
)2(J10
)10(J2
+
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
+
π
π+
ππ
+
ππ
+π
π+
ππ
+ππ
2211
211
211
1111
01 a
2)2(J
52)52(J
2a2
)2(J10
)10(J2a
21
22)22(J
24
)4(Ja
)(J5
)5(J2
3)3(J
a2
)2(J
∫π
π=
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
00
225
1111 dr)r2(Jr1a)(J
5)5(J
13)13(J
17)17(J
2
+
π
π+
π
π+
π
π+
+
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
ππ
+π
π+
π
π22
1112
112
111
110
1 a10
)10(J2
2)2(J
23)23(J
2a21
2)2(J
22)22(J
a2
)2(J2
10)10(J
2a)(J
5)5(J
2a2
)2(J
∫π
π=
ππ
+π
π+
π
π+
ππ
+0
02
251111 dr)r2(Jr1a
)(J13
)13(J5
)5(J3
)3(J2
+
π
π+
π
π+
π
π+
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
π
π2
1112
111
110
1 a10
)10(J2
2)2(J
23)23(J
a2
)2(J52
)52(J2a
5)5(J
13)13(J
2a22
)22(J
∫π
π=
ππ
+π
π+
ππ
+ππ
+
+
ππ
+π
π+
00
225
111122
11 dr)r22(Jr1a3
)3(J17
)17(J)(J5
)5(J2a
21
4)4(J
224
)24(J2
+
ππ
+π
π+
π
π+
ππ
+
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
π
π2
11112
11111
11110
1 a)(J
13)13(J
5)5(J
3)3(J
a)(J
5)5(J
13)13(J
17)17(J
a2
)2(J22
)22(J2
)2(J10
)10(Ja
5)5(J
∫π
π=
π
π+
π
π+
π
π+
ππ
+ππ
++π
π+
ππ
+π
π+
ππ
+ππ
+0
02
25111111
221111 dr)r5(Jr1a
10)10(J
22
)2(J23
)23(J2
)2(J4
)4(J21
52)52(J
a3
)3(J17
)17(J)(J5
)5(J
(5.47)
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 114
O altă posibilitate de determinare a celor 6 elemente ale matricei (3.36) este aceea ca pe
lângă condiţia (3.26) să fie satisfăcută condiţia suplimentară:
H*(0,0) = 0, (5.48)
care permite folosirea metodei multiplicatorilor Lagrange şi deci introducerea unei necunoscute
suplimentare – multiplicatorul Lagrange, notat cu λ.
În acest nou caz, prin trecerea în coordonate polare (u = rcost, v = rsint) şi integrând pe
cerc, rezultă o altă condiţie de minim:
∫ ∫π
=
π
=
=λ+
∂∂
−π0r
p
2
0t p
** 0krdrdt
aH]r)t,r(H[
21 , (5.49)
pentru p = 0, 1, 2, 2 , 22 , 5 , şi 8k,4kkkk,1k 5222210 ====== .
Coeficienţii 50 k,,k KK s-au calculat cu relaţia:
)]0,0(H[a
)]0,0(H)0,0(H[a
k *
p
*
pp ∂
∂=−
∂∂
= . (5.50)
Condiţia (3.42) generează 6 ecuaţii:
+ππ
+ 110 a)(J
8a
....................... 12π
=λ+
+ππ
01 a)(J .............................. =λ+4 ..........
+ππ
01 a2
)2(J ............................ =λ+ .......... 4
+π
π0
1 a2
)2(J.......................... =λ+4 ..........
+π
π0
1 a22
)22(J........................ =λ+4 ..........
+π
π0
1 a5
)5(J.......................... =λ+ .......... (5.51) 8
în timp ce condiţia (3.4) o furnizează pe cea de a 7-a:
4a8a4a4a4a4a 5222210 =+++++ . (5.52)
Se ajunge astfel la un sistem de 7 ecuaţii cu 7 necunoscute cu următoarele soluţii:
Tabelul 5.3 Soluţiile sistemului generat de condiţiile (3.4) şi (3.42).
0a 1a 2a 2a 22a 5a
2.3347600 -0.4151090 0.0107081 -0.1206720 -0.0251652 -0.0167253
(5.53)
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 115
Caracteristica de transfer a filtrului pentru calculul anomaliei gradientului vertical
folosind soluţiile din Tabelul 5.3 se poate reprezenta grafic astfel:
Fig. 5.5 Caracteristica de transfer a filtrului pentru calculul anomaliilor gradientului vertical.
Deoarece matricea filtrului are ordinul 5, pe fiecare latură a matricei anomaliilor
Bouguer se pierd câte 2 linii / coloane.
Presupunând că fiecare valoare a anomaliei Bouguer din matricea este afectată de o
eroare ± E, aceeaşi pentru toate valorile, eroarea cu care se obţine anomalia gradientului vertical
folosind soluţiile din Tabelul 5.1 este e = ± 2.484 E. Dacă se folosesc soluţiile din Tabelul 5.2,
aceeaşi eroare are valoarea e = ± 2.491 E.
∆g
2. Metoda Baranov
O altă posibilitate de determinare pe cale simplă a anomaliei gradientului vertical al
gravităţii o constituie formula Baranov (CONSTANTINESCU 1964):
−∆−∆−∆−∆=∆ ∑∑∑
===
)d5(g401.17)d2(g248.5)d(g975.170)0(g518.230d
100g8
1ii
4
1ii
4
1iiz
−∆−∆−∆− ∑∑∑===
)d5(g174.4)d17(g249.5)d10(g577.912
1ii
8
1ii
8
1ii
∆−∆+∆− ∑∑∑
===
)d10(g160.34)d68(g340.20)d40(g038.412
1ii
8
1ii
8
1ii . (5.54)
Ca mod de aplicare, relaţia de calcul de mai sus este similară unui filtru cu o matrice de
ordinul 21 care conduce la pierderea a 9 linii / coloane pe fiecare latură a matricei anomaliilor
Bouguer. De aceea ea se poate aplica doar pentru zone de studiu ale căror suprafaţe depăşesc ca
ordin de mărime zecile de kilometri pătraţi.
Această formulă exprimă valoarea gradientului vertical în Eötvösi [E] dacă ∆g este
exprimată în miligali [mgal] iar latura d a reţelei de pătrate în metri [m].
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 116
3. Metoda Constantinescu – Eldaiem
Datorită restricţiilor de utilizare a formulei Baranov, în (CONSTANTINESCU 1963) se
recomandă evaluarea gradientului vertical folosind o formulă aproximativă.
Principiul care stă la baza acestei metode este următorul: cunoscute fiind valorile
continuate analitic ale gravităţii, la distanţe egale în jos şi în sus, se poate aproxima gradientul
vertical, în planul de reducere a gravităţii observate, prin raportul dintre diferenţa celor două
valori continuate şi distanţa verticală ce separă planele de continuare:
d2
)d(g)d(gg z+∆−−∆
=∆ . (5.55)
Introducând (3.6) şi (3.35) în relaţia de mai sus, se deduce formula practică de calcul a
anomaliei gradientului vertical:
∆−∆+∆−=∆ ∑ ∑
= =
4
1i
4
1iiiz )d2(g163673.5)d(g693517.8)0(g969627.13
d1g . (5.56)
Interpretarea fizică a anomaliei gradientului vertical
Anomaliile gradientului vertical al gravităţii sunt utile pentru punerea în evidenţă a
particularităţilor unor structuri locale şi pentru definirea unor caracteristici majore ale bazinelor
sedimentare. Eficienţa lor se manifestă de asemenea şi la localizarea faliilor tectonice.
5.3.2 Anomalia derivatei verticale de ordinul II
Posibilităţile gradientului vertical al gravităţii de a pune în evidenţă particularităţile
locale ale anomaliilor gravimetrice, apar în principiu mai promiţătoare în cazul celui de-al
doilea gradient vertical al acestei mărimi, numit uzual derivata a doua.
Procedeele practice propuse pentru deducerea derivatei a doua din distribuţia în plan a
valorilor anomaliilor gravimetrice sunt numeroase şi, în aparenţă, variate. Ele se bazează însă
pe proprietatea anomaliei gravităţii de a avea laplacianul nul:
gyxz
gg 2
2
2
2
2
2
zz ∆
∂∂
+∂∂
−=∂
∆∂=∆ , (5.57)
de unde se vede că variaţia în plan a anomaliei gravimetrice determină rapiditatea variaţiei ei pe
verticală.
Atât obţinerea cât şi aplicarea acestor procedee, prezintă unele similarităţi cu gradientul
vertical. În continuare sunt prezentate două metode de calcul ale acestuia.
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 117
1. Metoda filtrării
Metoda filtrării constă în:
• suprapunerea repetată, în toate poziţiile posibile, a matricei coeficienţilor filtrului h
dat de relaţia (3.36) peste matricea ∆ ; zg
• înmulţirea valorilor cu coeficienţii suprapuşi; qp,z∆g j,ih
• adunarea rezultatelor înmulţirilor şi atribuirea valorii (ca poziţie în spaţiu) punctului
central al matricei h.
Dacă se notează cu ∆ matricea de ieşire, se poate scrie: zzg
. (5.58) zzz ∆gh∆g =
2. Metoda Baranov
Pentru determinarea anomaliei derivatei verticale de ordinul II, Baranov recomandă
următoarea formulă practică de calcul (CONSTANTINESCU 1964):
∆+∆+∆−∆=∆ ∑ ∑ ∑
= = =
4
1i
4
1i
8
1iiii2zz )d5(g)d2(g40)d(g185)0(g144
d251g . (5.59)
2.3.2 Interpretarea fizică a anomaliei derivatelor verticale de ordinul II
Importanţa derivatelor verticale de ordinul II pentru interpretarea fizică a datelor
gravimetrice este legată de faptul că dubla derivare în raport cu verticala tinde să scoată în
evidenţă anomaliile mici – provocate de cauze superficiale, în dauna caracteristicilor mari – de
ordin regional ale distribuţiei câmpului gravităţii.
Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 118
Capitolul 6
STUDIU DE CAZ
Lucrările prezentate în continuare au fost efectuate în PGGC, situat la aproximativ
55 km NE de Bucureşti între localităţile Gruiu şi Lipia.
6.1 POLIGONUL GEODINAMIC GRUIU – CĂLDĂRUŞANI
Poligonul a fost proiectat şi realizat în cadrul unei colaborări între INFP şi CGUTCB,
la doi ani după devastatorul cutremur din 4 martie 1977 cu epicentrul în regiunea Vrancea, cu
scopul de a se pune în evidenţă structurile geologice locale şi eventualele deplasări relative ale
acestora (mişcări orizontale sau verticale).
În acelaşi cadru se putea verifica şi ipoteza emisă de către prof. Airinei în anul 1977,
conform căreia în lungul faliei Intramoesice (denumită şi falia Ploieşti (Tinosu)-Fierbinţi-
Călăraşi sau falia Belciugatele) au loc deplasări relative ale microplăcilor Moesică şi respectiv
a Mării Negre (Fig. 6.1).
Fig. 6.1 Microplăcile tectonice pe teritoriul României (după AIRINEI 1977).
Capitolul 6 – Studiu de caz 120
Potrivit concluziilor prof. Airinei, mişcarea spre NV a acestor microplăci, în opoziţie cu
microplaca Intra-Alpină, constituie principala cauză de producere a cutremurelor vrâncene.
6.1.1 Consideraţii geonomice privind amplasarea
Alegerea efectivă a zonei Gruiu-Căldăruşani (Bm = 44°43'; Lm = 26°15'; Hm = 90m)
pentru amplasarea poligonului geodinamic a aparţinut INFP şi s-a bazat pe considerente de
natură geologică, geofizică şi seismologică, câteva dintre acestea fiind prezentate în continuare.
Localităţile Gruiu şi Lipia sunt situate pe zona marginală a Platformei Moesice şi sunt
traversate de aliniamentul corespunzător poziţiei extrapolate la suprafaţă a faliei Intramoesice.
Caracterul profund al acestei fracturi puternic înclinate, este atestat de amploarea mare a
saltului în cuvertura sedimentară anteterţiară între straturile din Cretacic şi Sarmaţian (datele de
foraj indică o cădere de aproximativ 700 de metri a compartimentului sud-vestic) precum şi de
dezvoltarea regională pe direcţie (peste 150 km pusă clar în evidenţă pe teritoriul României,
fiind posibilă chiar o extindere spre sud până zona Sabla din Bulgaria) (Fig. 6.2) (CORNEA
1980). După datele privind focarele cutremurelor intracrustale minore din zonă, extinderea în
adâncime a faliei atinge 25-28 km, dar deocamdată nu există indicaţii care să ateste clar
conservarea unui salt semnificativ al faliei până la baza crustei terestre.
Fig. 6.2 Consideraţii privind amplasarea Poligonului Geodinamic Gruiu – Căldăruşani (după CORNEA 1980).
Capitolul 6 – Studiu de caz 121
O altă premisă importantă care a dus la amplasarea poligonului în această zonă a fost
aceea că, în timpul prospectării unor zăcăminte de gaze în anul 1962, aici s-au produs mai multe
erupţii de gaze şi noroi prin cratere cu dimensiuni cuprinse între 50 şi 100 de metri, aflate în
aliniament cu sonda. Acest fenomen, soldat cu pagube materiale importante (distrugerea mai
multor case şi a unei porţiuni de şosea) a fost apreciat de către specialişti ca manifestarea la
suprafaţă a faliei Intramoesice.
De asemenea, analiza distribuţiei cutremurelor în această parte a Platformei Moesice
indică faptul că activitatea seismică (cutremure cu magnitudinea cuprinsă între 2.5 şi 5.0 grade
pe scara Mercalli) este situată în lungul acestei falii crustale de adâncime.
Având în vedere posibilitatea existenţei mai multor ramificaţii ale faliei principale, s-a
hotărât ca reţeaua geodezică să fie proiectată astfel încât să acopere cât mai complet teritoriul
respectiv, depăşind zona craterelor.
6.1.2 Reţeaua geodezică
Din motive organizatorice şi financiare, reţeaua propriu-zisă (Fig. 6.3) a fost realizată în
mai multe etape, pe parcursul a 17 ani (1978 – 1995), după cum urmează:
• punctele 1, ..., 12 – între anii 1978 – 1979;
• punctele 13, ..., 22 – între 1981 – 1982;
• punctele 34, 35 şi 36 – în 1984;
• punctele 50, ..., 56 – între 1986 – 1987;
• punctele 60, ..., 71 – în 1995.
Pentru materializarea punctelor reţelei geodezice s-au folosit repere de adâncime
(punctele 1, ..., 22) – forate la peste 30 m, repere de greutate (punctele 34, ..., 56) – blocuri de
beton de peste 3 tone şi borne de beton (punctele 60, ..., 71) aşa cum s-a arătat în Fig. 3.2.
Din motive financiare, reperele realizate în anul 1995 au fost prevăzute numai pentru
scopuri gravimetrice. Ele constau din borne de beton cu centru metalic care au următoarele
dimensiuni: 0.30 x 0.30 m la partea superioară, 0.40 x 0.40 m la partea inferioară şi 0.90 m
înălţime.
Capitolul 6 – Studiu de caz 122
Fig. 6.3 Reţeaua gravimetrică din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani.
6.1.3 Măsurători geodezice efectuate în poligon
Măsurătorile geodezice s-au efectuat, într-o mare parte, cu aparatura pusă la dispoziţie
de către FAvH într-o strânsă colaborare cu IGTUB precum şi cu IGUTK. Acestea au fost
analizate şi prezentate în cadrul mai multor manifestări ştiinţifice interne şi internaţionale
(BONATZ 1994; GHIŢĂU 1996b şi RĂDULESCU 1992).
Concepţia actuală de prelucrare a observaţiilor geodezice, în particular a celor repetate,
porneşte de la ideea tratării simultane a tuturor surselor de informaţii care contribuie la
determinarea parametrilor necunoscuţi, spre deosebire de abordarea mai veche, în care fiecare
sursă (categorie de măsurători, epocă de măsurare) era prelucrată separat. Totuşi, complexitatea
fenomenelor care concură la producerea deplasărilor crustei terestre, pe de o parte, şi
diversitatea factorilor care influenţează şi caracterizează diferitele tipuri de măsurători, pe de
altă parte, impun o anumită separare a componentelor sau o anumită etapizare a tratării, astfel
că de regulă, prelucrarea capătă un caracter iterativ prin care se asigură ''rafinarea'' treptată a
datelor şi a procedeelor utilizate. Acest mod de abordare este determinat şi de unele dificultăţi
practice de rezolvare, cum ar fi de exemplu, separarea deplasărilor locale (relative) de cele
globale (absolute), acestea din urmă fiind afectate de influenţa mişcărilor proprii ale stelelor,
modificarea câmpului gravific, modificarea mişcării de rotaţie a Pământului etc.
Capitolul 6 – Studiu de caz 123
6.1.4 Rezultate obţinute din măsurătorile geodezice de poziţie
În (BONATZ 1994 şi GHIŢĂU 1996), cercetători din INFP şi CGUTCB au prezentat
în amănunt PGGC şi anume: amplasamentul şi destinaţia acestuia, cauzele care au generat
realizarea sa, modalităţile de marcare a punctelor geodezice, măsurătorile efectuate în perioada
1979-1994, precum şi modelele de prelucrare folosite şi principalele rezultate obţinute.
Prelucrarea acestor măsurători s-a făcut în sisteme tridimensionale în două versiuni:
modelul static (reţea liberă în care toate măsurătorile s-au prelucrat simultan) şi modelul relativ
(punctele reţelei au fost separate în două blocuri: blocul stabil – compus din punctele 1, 5, 6 şi
blocul mobil – alcătuit din celelalte puncte: 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11 şi 12).
Astfel s-a constatat că punctele geodezice au suferit deplasări orizontale dinspre SE
către NV, valorile vitezelor vectorilor de mişcare orizontali fiind cuprinse între 0.85 mm/an
(punctul 3) şi 1.84 mm/an (punctul 12); viteza de deplasare a punctului 9 nu a fost luată în
calcul datorită valorii ei mari (4.24 mm/an), aceasta datorându-se probabil unor cauze locale
legate de amplasarea pilastrului. De asemenea, s-a constatat că vectorii deplasărilor orizontale
indică valori ale vitezelor mai mari pentru punctele situate în partea de NE a reţelei (7, 8, 9, 10,
11 şi 12) şi mai mici pentru punctele situate în partea de SV (2, 3 şi 4). O altă observaţie
importantă priveşte sectorul de NE al reţelei geodezice care indică o rotaţie unitară în sens
trigonometric a punctelor geodezice cu un unghi de 3cc.05, în comparaţie cu sectorul de SV care
indică o mişcare de translaţie către NV. Rotaţia s-a confirmat şi prin rezultatele obţinute din
măsurători foarte precise de azimute astronomice realizate în colaborare cu astronomii geodezi
militari.
În ceea ce priveşte deplasările verticale, se remarcă atât mişcări pozitive cât şi negative.
Cele mai mici mişcări pozitive apar în cazul punctelor 3 şi 4 (+ 0.43 mm/an, respectiv
+ 0.54 mm/an), iar cele mai mari mişcări (+ 1.81 mm/an) caracterizează punctul 8. Cele mai
mici mişcări negative apar în cazul punctelor 2 şi 12 (– 0.64 mm/an, respectiv – 0.47 mm/an),
iar cele mai mari mişcări (– 6.55 mm/an) caracterizează punctul 7; punctul 9 nu a fost luat în
calcul datorită valorii de deplasare negative mult prea mari (– 21.11 mm/an).
Este important de menţionat că cele două sectoare aparţin unor unităţi diferite din punct
de vedere geomorfologic şi anume: sectorul de NE, poziţionat pe terasa inferioară a râului
Ialomiţa (cu înălţimi de 91-94 m) şi sectorul de SV cu înălţimi mai mari (98-100 m); tranziţia
între cele două sectoare este făcută de o terasă depresionară de aproximativ 4 m înălţime.
Studiile geodezice realizate au indicat prezenţa deplasărilor orizontale şi verticale în
conformitate cu modelul geodinamic al prof. Airinei, însă dimensiunile reduse ale poligonului
conferă un caracter local măsurătorilor geodezice. Trebuie de asemenea subliniat faptul că a
Capitolul 6 – Studiu de caz 124
fost pentru prima dată când deplasările puse în evidenţă prin măsurători geodezice au avut
aceeaşi direcţie cu informaţiile preliminare puse la dispoziţie de specialiştii din INFP, adică din
direcţia SE spre direcţia NV.
6.2 MĂSURĂTORI EFECTUATE ŞI REZULTATELE OBŢINUTE
6.2.1 Măsurători efectuate
În prezenta teză de doctorat s-au folosit măsurătorile gravimetrice şi de nivelment
efectuate la epocile: 1993-toamnă (1993.8) şi 1995-toamnă (1995.8).
Autorul tezei de doctorat a participat la ambele campanii gravimetrice.
Aparatura şi metodele folosite în operaţiunile de teren precum şi metodele de prelucrare
ale măsurătorilor au fost prezentate detaliat în mai multe lucrări (BONATZ 1995; GHIŢĂU
1996a şi KORDI 1992).
6.2.2 Rezultatele obţinute
Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC necesare efectuării
calculelor pentru determinarea anomaliilor Faye şi Bouguer au fost organizate în două
documente EXCEL corespunzătoare epocilor de realizare a măsurătorilor (1993.8 respectiv
1995.8), în cadrul cărora au fost grupate în şase foi de lucru cu următoarele denumiri generice:
DESCRIERE POLIGON, DATE COMPLETE, DATE REDUSE, ALTITUDINI, CORECŢII DE RELIEF şi ANOMALII. Extrase din acestea se găsesc în Anexele 1 şi 2.
Programe de calcul
Pentru rezolvarea următoarelor probleme din cuprinsul tezei de doctorat, s-au realizat
programe de calcul folosind mediul de programare Delphi 6.0 – mod consolă:
• determinarea valorilor gradientului vertical al gravităţii în toate punctele reţelei
gravimetrice;
• implementarea procedeului de separare a anomaliilor Bouguer perfecţionate în
anomalii Bouguer regionale şi anomalii Bouguer locale;
• calculul anomaliilor gradientului vertical al gravităţii;
• calculul derivatelor verticale de ordinul II ale gravităţii.
Capitolul 6 – Studiu de caz 125
Reprezentări grafice
În continuare se prezintă separat, pentru fiecare epocă de măsurare în parte,
reprezentările plane şi tridimensionale ale:
• anomaliilor Faye;
• anomaliilor Bouguer (incomplete, complete şi perfecţionate);
• anomaliilor Bouger regionale şi locale;
• anomaliilor gradientului vertical (derivatelor verticale de ordinul I) al(e) gravităţii;
• anomaliilor derivatelor verticale de ordinul II ale gravităţii.
Acestea sunt precedate de variogramele experimentale şi model care au condus la obţinerea
gridurilor pentru anomaliile enumerate mai sus.
EPOCA 1993.8
Fig. 6.4 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru:
(a) anomaliile Faye. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer incomplete. Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 126
Fig. 6.5 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru:
(a) anomaliile Bouguer complete. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer perfecţionate (simple). Epoca 1993.8
Fig. 6.6 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru:
(a) anomaliile Bouguer regionale. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer locale. Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 127
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-42.49
-42.69
-42.94
-42.58
-42.79
-42.95 -43.44
-43.12-43.47
-43.83
-43.59
-44.00
-42.06
-45.03
-41.68
-42.45
-44.01
-42.07
-42.36
-43.36-43.02
-43.97
-44.17
-42.071
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
Fig. 6.7 Anomalia Faye (reprezentare 2D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 128
-44.60 mgal
-44.10 mgal
-43.60 mgal
-43.10 mgal
-42.60 mgal
-42.10 mgal
Fig. 6.8 Anomalia Faye (reprezentare 3D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 130
Capitolul 6 – Studiu de caz 131
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-78.80
-79.24
-79.53
-78.95
-78.97
-79.39 -77.66
-79.41-78.02
-78.44
-78.01
-78.45
-78.68
-79.46
-78.42
-79.16
-78.12
-78.25
-78.52
-77.31-79.66
-78.41
-79.08
-78.701
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
Fig. 6.9 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 2D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 132
-79.60 mgal
-79.10 mgal
-78.60 mgal
-78.10 mgal
-77.60 mgal
Fig. 6.10 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 3D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 134
Capitolul 6 – Studiu de caz 135
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-52.22
-52.49
-52.76
-52.32
-52.48
-52.71 -52.63
-52.83-52.74
-53.11
-52.82
-53.24
-51.88
-54.28
-51.52
-52.28
-53.15
-51.76
-52.03
-52.44-52.82
-53.21
-53.51
-51.871
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
Fig. 6.11 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 2D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 136
-54.00 mgal
-53.50 mgal
-53.00 mgal
-52.50 mgal
-52.00 mgal
Fig. 6.12 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 3D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 138
Capitolul 6 – Studiu de caz 139
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-51.95
-52.15
-52.43
-51.75
-52.09
-52.28 -52.58
-51.92-52.55
-52.98
-52.75
-53.19
-51.66
-54.16
-51.20
-52.12
-53.13
-51.70
-51.16
-52.33-52.27
-53.16
-53.10
-51.491
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
Fig. 6.13 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 2D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 140
-53.80 mgal
-53.30 mgal
-52.80 mgal
-52.30 mgal
-51.80 mgal
Fig. 6.14 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 3D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 142
Capitolul 6 – Studiu de caz 143
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-51.89
-52.00
-52.18
-51.93
-52.01
-52.12 -52.27
-52.19-52.51
-52.81
-52.84
-53.32
-51.75
-54.13
-51.21
-52.16
-53.13
-51.53
-51.48
-52.20-52.41
-52.71
-53.47
-51.831
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
Fig. 6.15 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 2D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 144
-53.80 mgal
-53.30 mgal
-52.80 mgal
-52.30 mgal
-51.80 mgal
Fig. 6.16 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 3D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 146
Capitolul 6 – Studiu de caz 147
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-0.06
-0.14
-0.25
0.18
-0.08
-0.16 -0.31
0.27-0.04
-0.17
0.09
0.13
0.10
-0.03
0.00
0.04
-0.00
-0.17
0.32
-0.130.15
-0.45
0.37
0.341
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
Fig. 6.17 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 2D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 148
-0.40 mgal
-0.20 mgal
0.00 mgal
0.20 mgal
Fig. 6.18 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 3D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 150
Capitolul 6 – Studiu de caz 151
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 11000
Fig. 6.19 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 152
-30.00 E
-10.00 E
10.00 E
30.00 E
Fig. 6.20 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 154
Capitolul 6 – Studiu de caz 155
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 11000
1
2
3
4
5
6 7
89
1011
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
1
2
3
4
5
6 7
89
1011
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
Fig. 6.21 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 156
-0.35 E/m
-0.15 E/m
0.05 E/m
0.25 E/m
Fig. 6.22 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 158
Capitolul 6 – Studiu de caz 159
EPOCA 1995.8
Fig. 6.23 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru:
(a) anomaliile Faye. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer incomplete. Epoca 1995.8
Fig. 6.24 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru:
(a) anomaliile Bouguer complete. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer perfecţionate (simple). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 160
Fig. 6.25 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru:
(a) anomaliile Bouguer regionale. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer locale. Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 161
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-42.48
-42.67
-42.92
-42.57
-42.78
-42.95 -43.43
-43.12-43.44
-43.82
-43.57
-43.97
-42.04
-44.94
-41.65
-42.42
-43.96
-42.05
-42.35
-43.46-43.04
-43.93
-44.14
-42.07
-42.79
-43.18-43.23
-42.74
-43.69
-44.05-44.03
-42.30
-41.37
-40.89-41.06
-41.64
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
6162
63
64
6566
67
68
6970
71
Fig. 6.26 Anomalia Faye (reprezentare 2D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 162
-45.00 mgal
-44.00 mgal
-43.00 mgal
-42.00 mgal
Fig. 6.27 Anomalia Faye (reprezentare 3D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 164
Capitolul 6 – Studiu de caz 165
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-78.79
-79.22
-79.51
-78.94
-78.97
-79.38 -77.65
-79.41-78.00
-78.43
-77.98
-78.43
-78.65
-79.38
-78.41
-79.13
-78.07
-78.23
-78.51
-77.43-79.67
-78.36
-79.06
-78.70
-79.07
-80.01-78.87
-79.58
-78.40
-79.42-79.45
-76.26
-77.82
-77.56-77.26
-78.22
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
6162
63
64
6566
67
68
6970
71
Fig. 6.28 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 2D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 166
-79.80 mgal
-78.80 mgal
-77.80 mgal
-76.80 mgal
Fig. 6.29 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 3D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 168
Capitolul 6 – Studiu de caz 169
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-52.21
-52.46
-52.74
-52.31
-52.47
-52.71 -52.62
-52.83-52.72
-53.10
-52.79
-53.21
-51.85
-54.19
-51.50
-52.25
-53.10
-51.74
-52.02
-52.54-52.83
-53.17
-53.48
-51.86
-52.48
-53.01-52.74
-52.57
-52.95
-53.49-53.48
-51.37
-51.10
-50.67-50.72
-51.41
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
6162
63
64
6566
67
68
6970
71
Fig. 6.30 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 2D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 170
-54.20 mgal
-53.20 mgal
-52.20 mgal
-51.20 mgal
Fig. 6.31 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 3D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 172
Capitolul 6 – Studiu de caz 173
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-51.94
-52.12
-52.41
-51.74
-52.08
-52.28 -52.57
-51.92-52.52
-52.97
-52.72
-53.16
-51.63
-54.07
-51.18
-52.09
-53.08
-51.68
-51.15
-52.43-52.28
-53.12
-53.07
-51.48
-52.46
-52.47-52.67
-52.15
-52.89
-53.24-52.94
-50.98
-50.84
-50.66-50.69
-51.07
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
6162
63
64
6566
67
68
6970
71
Fig. 6.32 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 2D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 174
-53.80 mgal
-53.30 mgal
-52.80 mgal
-52.30 mgal
-51.80 mgal
-51.30 mgal
Fig. 6.33 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 3D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 176
Capitolul 6 – Studiu de caz 177
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-51.85
-52.03
-52.19
-51.89
-52.08
-52.23 -52.16
-52.45-52.39
-52.74
-52.63
-53.04
-51.77
-54.09
-51.25
-52.15
-53.07
-51.26
-51.68
-52.46-52.42
-52.76
-53.39
-51.65
-52.48
-52.59-52.53
-52.33
-52.67
-52.88-53.10
-51.47
-50.73
-50.64-51.11
-50.60
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
6162
63
64
6566
67
68
6970
71
Fig. 6.34 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 2D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 178
-54.00 mgal
-53.00 mgal
-52.00 mgal
-51.00 mgal
Fig. 6.35 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 3D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 180
Capitolul 6 – Studiu de caz 181
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
-0.08
-0.09
-0.22
0.15
-0.00
-0.05 -0.41
0.53-0.14
-0.22
-0.09
-0.12
0.14
0.02
0.07
0.06
-0.01
-0.42
0.53
0.020.14
-0.35
0.33
0.17
0.02
0.12-0.14
0.19
-0.22
-0.360.16
0.49
-0.12
-0.010.42
-0.47
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
6162
63
64
6566
67
68
6970
71
Fig. 6.36 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 2D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 182
-0.40 mgal
-0.20 mgal
0.00 mgal
0.20 mgal
0.40 mgal
Fig. 6.37 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 3D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 184
Capitolul 6 – Studiu de caz 185
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
61 62
63
64
6566
67
68
6970
71
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
61 62
63
64
6566
67
68
6970
71
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 11000
Fig. 6.38 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 186
-30.00 E
-10.00 E
10.00 E
30.00 E
Fig. 6.39 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 188
Capitolul 6 – Studiu de caz 189
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 11000
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
61 62
63
64
6566
67
68
6970
71
1
2
3
4
5
6 7
89
10
11
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
61 62
63
64
6566
67
68
6970
71
Fig. 6.40 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 190
-0.30 E/m
-0.10 E/m
0.10 E/m
0.30 E/m
Fig. 6.41 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 192
Capitolul 6 – Studiu de caz 193
6.3 COMENTARII
Reprezentarea anomaliilor Bouguer locale (Fig. 6.17 şi 6.36) sugerează existenţa unei
falii orientată pe direcţia NV-SE care trece prin apropierea punctelor geodezice 65, 8, 7 şi 51. În
aceste puncte, anomaliile Bouguer locale se disting prin valori pronunţate – aproximativ duble
faţă de cele ale punctelor din jur – atât pozitive cât şi negative, aspect care se poate observa şi
din Fig. 6.42.
Fig. 6.42 Profilul anomaliilor gravităţii pe direcţia NV-SE.
Pe schiţa derivatelor de ordinul I ale anomaliilor Bouguer (Fig. 6.19 şi 6.38) se regăsesc
zonele de anomalie punctuale puse în evidenţă pe schiţa anomaliilor Bouguer locale; chiar şi
alternanţa lor se păstrează: o valoare negativă în punctul 65, urmată de una pozitivă în punctul
8, şi aşa mai departe (Fig. 6.42).
Schiţa derivatelor de ordinul II ale anomaliilor Bouguer (Fig. 6.21 şi 6.40) indică practic
acelaşi lucru, cu singura deosebire că zonele de anomalie din jurul punctelor situate central (8
şi 7) sunt mai bine conturate comparativ cu cele din punctele extreme (65 şi 51).
Falia în cauză a fost pusă în evidenţă şi cu ajutorul metodei ferestrei mobile, astfel:
• gridurile anomaliilor gradientului vertical corespunzătoare celor două epoci de
măsurare s-au împărţit fictiv în ferestre de dimensiuni 5 x 5. Datorită ariei restrânse
a zonei de studiu, s-a luat în calcul suprapunerea acestor ferestre pe o distanţă egală
cu de două ori mărimea pasului gridului, ca în figura următoare:
Capitolul 6 – Studiu de caz 194
Fig. 6.43 Împărţirea fictivă a gridului anomaliilor gradientului vertical în ferestre de dimensiuni 5 x 5 cu suprapu-nere pe o distanţă egală cu de două ori mărimea pasului gridului.
• pentru fiecare din ferestrele considerate s-a calculat un indice V cu relaţia:
10/)]1ln(*m[V 2 +σ= , (6.1)
în care media – m, respectiv dispersia – s-au determinat astfel: 2σ
∑=
∆=25
1iiz )g(
251m ; (6.2)
∑=
−∆=σ25
1i
2iz
2 ]m)g[(251 ; (6.3)
• în final s-a procedat la reprezentarea plană a indicelui V, reprezentare ce conturează
zonele de anomalie existente (Fig. 6.44 şi 6.45).
Punerea în evidenţă a acestei falii prin metode gravimetrice confirmă ipotezele şi
determinările specialiştilor geologi şi respectiv seismologi, potrivit cărora PGGC este traversat
de falia Intramoesică, care separă subplaca Moesică de cea a Mării Negre (CORNEA 1980).
Capitolul 6 – Studiu de caz 195
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
1
2
3
4
5
6 7
89
1011
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
1
2
3
4
5
6 7
89
1011
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
Fig. 6.44 Indicele V (reprezentare 2D). Epoca 1993.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 196
Capitolul 6 – Studiu de caz 197
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
1
2
3
4
5
6 7
89
1011
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
61 62
63
64
6566
67
68
6970
71
1
2
3
4
5
6 7
89
1011
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
61 62
63
64
6566
67
68
6970
71
Fig. 6.45 Indicele V (reprezentare 2D). Epoca 1995.8
Capitolul 6 – Studiu de caz 198
Capitolul 7
CONCLUZII
Lucrarea reprezintă o modestă contribuţie a autorului la problematica complexă a
determinării structurii părţii superioare a crustei terestre.
În capitolul 2 al tezei de doctorat se prezintă aspecte cu privire la structura internă a
Globului terestru. Un rol important în definirea acestui cadru îl reprezintă evidenţierea
dinamicii părţii superioare a planetei (crusta terestră şi litosfera).
După cum se ştie, litosfera este rigidă şi se compune din plăci de mari dimensiuni, care
cuprind pe lângă zonele continentale şi pe cele oceanice. Aceste plăci se deplasează. În
mişcarea lor, ele se freacă, se ating sau se ciocnesc cu forţe şi viteze variabile, dând naştere
unor fenomene naturale nedorite cum ar fi cutremurele de pământ sau erupţiile vulcanice.
Monitorizarea deplasărilor plăcilor tectonice reprezintă una din preocupările majore ale
geofizicienilor şi geodezilor. Aceştia au elaborat o serie de modele cinematice ale plăcilor
tectonice cu ajutorul cărora se pot determina vitezele de deplasare ale punctelor situate pe
suprafaţa fizică a Pământului datorită mişcărilor plăcilor tectonice. Aceste modele sunt
prezentate în detaliu în cadrul acestui capitol.
În continuare se prezintă ipoteza emisă de prof. Airinei în anul 1977 cu privire la
delimitarea pe teritoriul ţării noastre a plăcilor litosferice precum şi raporturile geodinamice
dintre acestea.
Capitolul se încheie cu o expunere privind importanţa deosebită a utilizării anomaliilor
Bouguer în cadrul problematicii abordate. Prin cele două exemple descrise se subliniază rolul
esenţial pe care îl au acestea pentru punerea în evidenţă a structurilor geologice.
În capitolul 3 se prezintă modul de calcul al anomaliilor gravităţii în conformitate cu
prevederile BGI, punându-se accent pe particularizările care intervin în determinarea acestora
în cazul punctelor reţelei gravimetrice din PGGC – locul de efectuare a măsurătorilor
gravimetrice care fac obiectul studiului de caz. În cadrul acestui capitol, o contribuţie personală
o reprezintă elaborarea unui program de calcul folosind mediul de programare Delphi 6.0 –
mod consolă pentru implementarea metodei de calcul a gradientului vertical al gravităţii
deasupra solului pentru fiecare punct din reţeaua gravimetrică.
Capitolul 7 – Concluzii 200
Contribuţii personale sunt conţinute în mod deosebit în capitolele 4, 5 şi 6.
Astfel, în cadrul capitolului 4 un loc aparte îl ocupă abordarea problematicii deosebit de
complexe a continuităţii spaţiale a datelor gravimetrice, cu referiri concrete la două modalităţi
de corelaţie statistică a anomaliilor: autocorelaţia şi corelaţia cu înălţimea.
În literatura de specialitate de la noi din ţară nu există o descriere a modului de calcul al
unor indicatori statistici care pun în evidenţă corelaţia spaţială a datelor geografice, cum ar fi
semi-variograma γ(s) sau corelograma ρ(s).
În acest capitol se prezintă în detaliu atât modul de calcul cât şi cel de interpretare al
celor două funcţii mai sus menţionate. În plus, se aduc o serie de precizări privind modalitatea
de folosire cu caracter local a covarianţei C(s).
O scurtă concluzie a celor arătate anterior este că nu se poate vorbi de realizarea unei
interpolări corecte fără folosirea unor indicatori statistici adecvaţi.
O notă distinctă a acestui capitol constă în prezentarea în detaliu a trei metode de
construire a gridului anomaliilor Bouguer utilizând valorile cunoscute ale acestora în punctele
unei reţele gravimetrice şi anume:
• realizarea gridului elastic;
• realizarea gridului de tip spline ''placă subţire'' şi a gridului spline pseudo-cubic;
• realizarea gridului prin kriging.
Primele două metode nu au mai fost prezentate în literatura de specialitate de la noi din
ţară, cea de-a treia fiind descrisă doar principial.
Elaborarea acestui capitol a necesitat un volum foarte mare de muncă din partea
autorului care a constat în consultarea unui număr însemnat de lucrări de geostatistică şi analiză
numerică – majoritatea în limbile engleză şi franceză.
În capitolul 5 se descrie procedeul de separare a anomaliilor Bouguer perfecţionate în
anomalii Bouguer locale şi anomalii Bouguer regionale pentru implementarea căruia am
conceput şi realizat, de asemenea, un program în Delphi 6.0 – mod consolă.
Utilizarea gradientului vertical şi a derivatelor verticale de ordinul II ca elemente de
evidenţiere al anomaliilor locale a condus la elaborarea mai multor metode de calcul pentru
aceste mărimi gravimetrice. Dintre acestea, în cuprinsul acestui capitol, am acordat o atenţie
deosebită metodei filtrării, în special proiectării filtrului pentru calculul anomaliei gradientului
vertical folosind analiza spectrală. Proiectarea unui astfel de filtru reprezintă o operaţiune
deosebit de laborioasă care necesită o bună cunoaştere a analizei Fourier.
Toate metodele prezentate în acest capitol sunt rezolvate prin intermediul unui program
propriu scris folosind tot mediul de programare Delphi 6.0.
Capitolul 7 – Concluzii 201
În capitolul 6 se prezintă un studiu de caz care a constat din:
• prelucrarea măsurătorilor gravimetrice şi de nivelment efectuate la epocile: 1993-
toamnă (1993.8) şi 1995-toamnă (1995.8) în PGGC (autorul tezei de doctorat a
participat la ambele campanii gravimetrice);
• aplicarea tuturor procedeelor şi metodelor prezentate în capitolele 3, 4 şi 5 în scopul
punerii în evidenţă, prin metode gravimetrice, a faliei Intramoesice care traversează
poligonul menţionat.
Suplimentar, în acest capitol se prezintă şi o metodă statistică care se bazează pe
principiul metodei ferestrei mobile şi care, după ştiinţa autorului, este aplicată pentru prima dată
pe un grid cu anomalii ale gradientului vertical pentru determinarea poziţiei extrapolate la
suprafaţă a unei falii tectonice.
Punerea în evidenţă a acestei falii prin metode gravimetrice confirmă ipotezele şi
determinările specialiştilor geologi şi respectiv seismologi, potrivit cărora PGGC este traversat
pe direcţia NV-SE de falia Intramoesică, care separă subplaca Moesică de cea a Mării Negre
(CORNEA 1980).
Autorul îşi exprimă convingerea că nu peste foarte mult timp, când se va dispune de
măsurători gravimetrice cu o densitate asemănătoare celei din PGGC pentru toată ţara, se va
putea determina structura părţii superioare a crustei terestre pentru întreg teritoriul României
prin metode gravimetrice.
Bibliografia conţine un număr de peste 90 de referinţe citate o singură dată. Acestea au
fost organizate în ordine alfabetică, pe capitole.
Un rol foarte important în documentarea privind elaborarea acestei lucrări au avut-o:
• stagiul de pregătire CETEL din perioada 5 octombrie 1996 – 10 iulie 1997 desfăşu-
rat la Toulouse, Franţa, pe parcursul căruia am avut acces la Biblioteca BGI;
• vizita la fratele meu în Columbus, S.U.A. din perioada august – septembrie 1999,
ocazie de care am profitat pentru a studia o serie de lucrări la Biblioteca de Ştiinţe şi
Inginerie (Science and Engineering Library) a Universităţii Statului Ohio.
Capitolul 7 – Concluzii 202
Anexa 1
ATRIBUTELE PRINCIPALE ALE PUNCTELOR REŢELEI GRAVIMETRICE DIN
POLIGONUL GEODINAMIC GRUIU-CĂLDĂRUŞANI LA EPOCA 1993.8
Anexa 1 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1993.8 204
Anexa 1 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1993.8 205
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
1
2
3
4
5
6 7
89
1011
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
1
2
3
4
5
6 7
89
1011
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
LEGENDA - Reper de adâncime (construit între anii 1978-1979)
- Reper de adâncime (construit între anii 1981-1982)
- Reper de greutate (construit în anul 1984) - Reper de greutate (construit între anii 1986-1987)
Fig. A1.1 Schiţa reţelei gravimetrice din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani la Epoca 1993.8
Anexa 1 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1993.8 206
Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – DESCRIERE POLIGON
Nr. crt. Den. punct Tip reper Cod reper Cod simbol/an Explicaţii 1 1 Reper de adâncime A 1 1 = 1,…, 12 = 1978-1979 2 2 Reper de adâncime A 1 2 = 13, 18 = 1981-1982 3 3 Reper de adâncime A 1 3 = 34, 35, 36 = 1984 4 4 Reper de adâncime A 1 4 =
50,…, 56 = 1986-1987
5 5 Reper de adâncime A 1 6 6 Reper de adâncime A 1 7 7 Reper de adâncime A 1 8 8 Reper de adâncime A 1 9 9 Reper de adâncime A 1 10 10 Reper de adâncime A 1 11 11 Reper de adâncime A 1 12 12 Reper de adâncime A 1 13 13 Reper de adâncime A 2 14 18 Reper de adâncime A 2 15 34 Reper de greutate G 3 16 35 Reper de greutate G 3 17 36 Reper de greutate G 3 18 50 Reper de greutate G 4 19 51 Reper de greutate G 4 20 52 Reper de greutate G 4 21 53 Reper de greutate G 4 22 54 Reper de greutate G 4 23 55 Reper de greutate G 4 24 56 Reper de greutate G 4
Anexa 1 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1993.8 208
Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – DATE COMPLETE
Nr. crt. Den. punct Cod BWGS-84 [°.fr] LWGS-84 [°.fr] Xstereo [m] Ystereo [m] Hd (RN) [m] g [mgal] 1 1 1 44.718156 26.244556 358356.17 598714.93 88.6986 980525.38202 2 1 44.719562 26.243486 358511.06 598627.59 89.3528 980525.14003 3 1 44.720939 26.242448 358622.69 598542.82 89.7813 980524.96604 4 1 44.719447 26.247916 358504.09 598978.70 88.7745 980525.36705 5 1 44.720851 26.246800 358658.54 598887.76 88.2769 980525.41506 6 1 44.722124 26.245625 358798.49 598792.30 89.0572 980525.19007 7 1 44.722253 26.250399 358819.02 599170.29 84.1648 980526.35608 8 1 44.724349 26.248597 359049.62 599023.66 88.2729 980525.31209 9 1 44.723701 26.254069 358984.78 599458.26 84.7902 980526.211010 10 1 44.726253 26.252790 359266.56 599352.26 84.7763 980526.032011 11 1 44.725216 26.257947 359158.21 599762.68 84.2096 980526.315012 12 1 44.728191 26.257059 359487.53 599686.84 84.4367 980526.150013 13 2 44.714150 26.237597 357902.13 598170.95 89.4867 980525.224014 18 2 44.734603 26.263350 360208.20 600173.22 84.8148 980525.737015 34 3 44.711988 26.242515 357668.27 598564.45 89.4174 980525.315016 35 3 44.717252 26.236750 358245.62 598098.22 89.6574 980525.055017 36 3 44.729244 26.266833 359617.47 600459.05 83.1391 980526.477018 50 4 44.715309 26.241609 358036.04 598486.66 88.1217 980525.639019 51 4 44.718843 26.252495 358442.91 599342.55 87.7718 980525.666020 52 4 44.723718 26.261508 358996.48 600047.52 82.5370 980526.728021 53 4 44.723701 26.243701 358971.19 598637.07 88.8794 980525.091022 54 4 44.726489 26.250941 359290.45 599205.40 84.4899 980526.038023 55 4 44.731039 26.256208 359802.83 599614.16 84.9201 980525.882024 56 4 44.717070 26.247103 358238.89 598918.67 88.9113 980525.4490
Anexa 1 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1993.8 210
Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – DATE REDUSE
Nr. crt. Den. punct Cod rBWGS-84 [°.fr] rLWGS-84 [°.fr] Xstereo [m] Ystereo [m] Hd (RN) [m] rg [mgal]1 1 1 0.718156 0.244556 8356.17 8714.93 88.6986 25.38202 2 1 0.719562 0.243486 8511.06 8627.59 89.3528 25.14003 1 3 0.720939 0.242448 8622.69 8542.82 89.7813 24.96604 4 1 0.719447 0.247916 8504.09 8978.70 88.7745 25.36705 5 1 0.720851 0.246800 8658.54 8887.76 88.2769 25.41506 6 1 0.722124 0.245625 8798.49 8792.30 89.0572 25.19007 7 1 0.722253 0.250399 8819.02 9170.29 84.1648 26.3560 8 8 1 0.724349 0.248597 9049.62 9023.66 88.2729 25.31209 8984.78 9458.26 9 1 0.723701 0.254069 84.7902 26.2110 10 10 1 0.726253 0.252790 9266.56 9352.26 84.7763 26.032011 11 1 0.725216 0.257947 9158.21 9762.68 84.2096 26.315012 12 1 0.728191 0.257059 9487.53 9686.84 84.4367 26.150013 13 2 0.714150 0.237597 7902.13 8170.95 89.4867 25.224014 18 2 0.734603 0.263350 10208.20 10173.22 84.8148 25.737015 34 3 0.711988 0.242515 7668.27 8564.45 89.4174 25.315016 35 3 0.717252 0.236750 8245.62 8098.22 89.6574 25.055017 36 3 0.729244 0.266833 9617.47 10459.05 83.1391 26.477018 50 4 0.715309 0.241609 8036.04 8486.66 88.1217 25.639019 51 4 0.718843 0.252495 8442.91 9342.55 87.7718 25.666020 52 4 0.723718 0.261508 8996.48 10047.52 82.5370 26.728021 53 4 0.723701 0.243701 8971.19 8637.07 88.8794 25.091022 54 4 0.726489 0.250941 9290.45 9205.40 84.4899 26.038023 55 4 0.731039 0.256208 9802.83 9614.16 84.9201 25.882024 56 4 0.717070 0.247103 8238.89 8918.67 88.9113 25.4490
Anexa 1 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1993.8 212
Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – ALTITUDINI
Nr. crt. Den. punct Hd (RN) [m] δHp = Hd – Hp [m] δHp = Hd – Ht [m] Hp [m] Ht [m] 1 1 88.6986 -0.6743 -1.76 88.0243 86.93862 2 89.3528 -0.7065 -1.82 88.6463 87.53283 3 89.7813 -0.7039 -2.01 89.0774 87.77134 4 88.7745 -0.7144 -1.74 88.0601 87.03455 5 88.2769 -0.6719 -1.69 87.6050 86.58696 6 89.0572 -0.7323 -1.83 88.3249 87.22727 7 84.1648 -0.7032 -2.04 83.4616 82.12488 8 88.2729 -0.6547 -1.53 87.6182 86.74299 9 84.7902 -0.6826 -1.91 84.1076 82.880210 10 84.7763 -0.6594 -1.84 84.1169 82.936311 11 84.2096 -0.7053 -1.78 83.5043 82.429612 12 84.4367 -0.7397 -1.87 83.6970 82.566713 13 89.4867 -0.6421 -1.79 88.8446 87.696714 18 84.8148 -0.7619 -2.13 84.0529 82.684815 34 89.4174 -0.4797 -1.47 88.9377 87.947416 35 89.6574 -0.6050 -1.74 89.0524 87.917417 36 83.1391 -0.4828 -1.48 82.6563 81.659118 50 88.1217 -0.6135 -1.55 87.5082 86.571719 51 87.7718 -0.5489 -1.35 87.2229 86.421820 52 82.5370 -0.6168 -1.39 81.9202 81.147021 53 88.8794 -0.5920 -1.34 88.2874 87.539422 54 84.4899 -0.6725 -1.93 83.8174 82.559923 55 84.9201 -0.5757 -1.42 84.3444 83.500124 56 88.9113 -0.5937 -1.39 88.3176 87.5213
Anexa 1 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1993.8 214
Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – CORECŢII DE RELIEF
Nr. crt. Den. punct BWGS-84 [°.fr] LWGS-84 [°.fr] Hd (RN) [m] Ht [m] Nr. de sect. Suma cr [mgal]1 1 44.718156 26.244556 88.6986 86.9386 48 4116.85 0.2726 2 2 44.719562 26.243486 89.3528 87.5328 48 4130.86 0.34293 3 44.720939 26.242448 89.7813 87.7713 48 4144.77 0.33104 4 44.719447 26.247916 88.7745 87.0345 48 4060.34 0.56905 5 44.720851 26.246800 88.2769 86.5869 48 4075.06 0.39346 6 44.722124 26.245625 89.0572 87.2272 48 4098.91 0.42687 7 44.722253 26.250399 84.1648 82.1248 48 3952.90 0.05298 8 44.724349 26.248597 88.2729 86.7429 48 3975.61 0.91209 9 44.723701 26.254069 84.7902 82.8802 48 3938.03 0.1951
10 10 44.726253 26.252790 84.7763 82.9363 48 3953.36 0.133811 11 44.725216 26.257947 84.2096 82.4296 48 3941.87 0.071512 12 44.728191 26.257059 84.4367 82.5667 48 3952.52 0.051813 48 13 44.714150 26.237597 89.4867 87.6967 4164.21 0.219414 18 44.734603 26.263350 84.8148 82.6848 48 3944.44 0.118515 34 44.711988 26.242515 89.4174 87.9474 48 4157.11 0.3122 16 35 44.717252 26.236750 89.6574 87.9174 48 4186.68 0.161817 36 44.729244 26.266833 83.1391 81.6591 48 3915.84 0.018418 50 44.715309 26.241609 88.1217 86.5717 48 4143.25 0.059119 51 44.718843 26.252495 87.7718 86.4218 48 3968.19 0.873220 52 44.723718 26.261508 82.5370 81.1470 48 3872.29 0.110421 53 44.723701 26.243701 88.8794 87.5394 48 4087.96 0.552522 54 44.726489 26.250941 84.4899 82.5599 48 3952.80 0.048923 55 44.731039 26.256208 84.9201 83.5001 48 3922.94 0.412524 56 44.717070 26.247103 88.9113 87.5213 48 4123.37 0.3766
Anexa 1 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1993.8 216
Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – ANOMALII
Nr. crt. Den. punct B [rad] g [mgal] γ AIG [mgal] δg/δh Hp [m] Ht [m] ∆gF [mgal] ∆g BI ∆gBC cr anBP ∆gL [mgal] ∆gR 1 1 0.78048340 980525.3820 980594.4566 -0.2298 88.0243 86.9386 -42.4948 -78.8030 -52.2232 0.2726 -51.9507 -0.0572 -51.8934 2 2 0.78050794 980525.1400 980594.5838 -0.2358 88.6463 87.5328 -42.6937 -79.2387 -52.4887 0.3429 -52.1457 -0.1410 -52.0048 3 3 0.78052568 980524.9660 980594.6758 -0.2390 89.0774 87.7713 -42.9357 -79.5314 -52.7573 0.3310 -52.4263 -0.2466 -52.1797 4 4 0.78050599 980525.3670 980594.5737 -0.2286 88.0601 87.0345 -42.5823 -78.9458 -52.3214 0.5690 -51.7525 0.1775 -51.9300 5 5 0.78053047 980525.4150 980594.7006 -0.2233 87.6050 86.5869 -42.7922 -78.9747 -52.4813 0.3934 -52.0879 -0.0808 -52.0071 6 6 0.78055268 980525.1900 980594.8158 -0.2197 88.3249 87.2272 -42.9486 -79.3865 -52.7094 0.4268 -52.2826 -0.1591 -52.1235 7 7 0.78055498 980526.3560 980594.8277 -0.2366 83.4616 82.1248 -43.4443 -77.6615 -52.6341 0.0529 -52.5812 -0.3119 -52.2693 8 8 0.78059156 980525.3120 980595.0174 -0.2151 87.6182 86.7429 -43.1248 -79.4119 -52.8313 0.9120 -51.9193 0.2731 -52.1925 9 -0.2427 9 0.78058031 980526.2110 980594.9591 84.1076 82.8802 -43.4691 -78.0224 -52.7434 0.1951 -52.5484 -0.0376 -52.5107 10 10 0.78062482 980526.0320 980595.1899 -0.2251 84.1169 82.9363 -43.8295 -78.4385 -53.1101 0.1338 -52.9763 -0.1686 -52.8077 11 -52.745511 0.78060680 980526.3150 980595.0964 -0.2322 83.5043 82.4296 -43.5932 -78.0053 -52.8171 0.0715 0.0900 -52.8356 12 -53.188612 0.78065871 980526.1500 980595.3656 -0.2351 83.6970 82.5667 -44.0012 -78.4548 -53.2404 0.0518 0.1316 -53.3202 13 13 0.78041342 980525.2240 980594.0936 -0.2237 88.8446 87.6967 -42.0632 -78.6829 -51.8765 0.2194 -51.6571 0.0963 -51.7534 14 -45.0302 -79.461718 0.78077069 980525.7370 980595.9463 -0.2467 84.0529 82.6848 -54.2827 0.1185 -54.1642 -0.0346 -54.1296 15 34 0.78037574 980525.3150 980593.8982 -0.2353 87.9474 -78.4246 -51.204988.9377 -41.6757 -51.5170 0.3122 0.0017 -51.2066 16 -52.122635 0.78046754 980525.0550 980594.3743 -0.2277 89.0524 87.9174 -42.4464 -79.1572 -52.2844 0.1618 0.0408 -52.1634 17 36 0.78067721 980526.4770 980595.4615 -0.2271 82.6563 81.6591 -44.0110 -78.1222 -53.1486 0.0184 -53.1302 -0.0036 -53.1266 18 50 0.78043368 980525.6390 980594.1987 -0.2434 87.5082 86.5717 -42.0716 -78.2471 -51.7590 0.0591 -51.6999 -0.1654 -51.5345 19 51 0.78049550 980525.6660 980594.5193 -0.2253 87.2229 86.4218 -42.3640 -78.5239 -52.0346 0.8732 -51.1613 0.3218 -51.4831 20 52 0.78058070 980526.7280 980594.9611 -0.2227 81.9202 81.1470 -43.3633 -77.3134 -52.4437 0.1104 -52.3333 -0.1295 -52.2038 21 -43.0233 -79.663053 0.78058018 980525.0910 980594.9584 -0.2280 88.2874 87.5394 -52.8189 0.5525 -52.2664 0.1474 -52.4138 22 54 0.78062894 980526.0380 980595.2112 -0.2180 83.8174 82.5599 -43.9693 -78.4116 -53.2078 0.0489 -53.1589 -0.4513 -52.7077 23 55 0.78070840 980525.8820 980595.6233 -0.2299 84.3444 83.5001 -44.1672 -79.0849 -53.5109 0.4125 -53.0984 0.3669 -53.4653 24 980594.3585 -51.8296 56 0.78046449 980525.4490 -0.2162 88.3176 87.5213 -42.0726 -78.7031 -51.8662 0.3766 -51.4896 0.3400
Anexa 1 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1993.8 218
Anexa 2
ATRIBUTELE PRINCIPALE ALE PUNCTELOR REŢELEI GRAVIMETRICE DIN
LA EPOCA 1995.8
POLIGONUL GEODINAMIC GRUIU-CĂLDĂRUŞANI
Anexa 2 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1995.8 220
Anexa 2 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1995.8 221
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
1
2
3
4
5
6 7
89
1011
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
61 62
63
64
6566
67
68
6970
71
1
2
3
4
5
6 7
89
1011
12
13
18
34
35
36
50
51
5253
54
55
56
60
61 62
63
64
6566
67
68
6970
71
LEGENDA - Reper de adâncime (construit între anii 1978-1979)
- Reper de adâncime (construit între anii 1981-1982)
- Reper de greutate (construit în anul 1984) - Reper de greutate (construit între anii 1986-1987)
- Reper de nivelment (construit în anul 1995)
Fig. A2.1 Schiţa reţelei gravimetrice din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani la Epoca 1995.8
Anexa 2 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1995.8 222
Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – DESCRIERE POLIGON
Nr. crt. Den. punct Explicaţii Tip reper Cod reper Cod simbol/an1 Reper de adâncime A 1 1 = 1,…, 12 = 1978-1979
2 2 Reper de adâncime A 1 2 = 13,…, 18 = 1981-1982 3 3 Reper de adâncime A 1 3 = 34, 35, 36 = 1984 4 4 Reper de adâncime A 1 4 =
50,…, 56 = 1986-1987 5 5 Reper de adâncime A 1 5 = 60,..., 71 = 1995 6 6 Reper de adâncime A 1 7 7 Reper de adâncime A 1 8 8 Reper de adâncime A 1 9 9 Reper de adâncime A 1 10 10 Reper de adâncime A 1 11 11 Reper de adâncime A 1 12 12 Reper de adâncime A 1 13 13 Reper de adâncime A 2 14 18 Reper de adâncime A 2 15 34 Reper de greutate G 3 16 35 Reper de greutate G 3 17 36 Reper de greutate G 3 18 50 Reper de greutate G 4 19 51 Reper de greutate G 4 20 52 Reper de greutate G 4 21 53 Reper de greutate G 4 22 54 Reper de greutate G 4 23 55 Reper de greutate G 4 24 56 Reper de greutate G 4 25 60 Bornă de beton B 5 26 61 Bornă de beton B 5 27 62 Bornă de beton B 5 28 63 Bornă de beton B 5 29 64 Bornă de beton B 5 30 65 Bornă de beton B 5 31 66 Bornă de beton B 5 32 67 Bornă de beton B 5 33 68 Bornă de beton B 5 34 69 Bornă de beton B 5 35 70 Bornă de beton B 5 36 71 Bornă de beton B 5
1
Anexa 2 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1995.8 224
Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – DATE COMPLETE
Nr. crt. Den. punct Cod B [°.fr]WGS-84 LWGS-84 [°.fr] Xstereo [m] g [mgal] Y [m]stereo H (RN) [m] d1 1 1 44.718156 26.244556 358356.17 598714.93 88.6986 980525.39112 26.243486 2 1 44.719562 358511.06 598627.59 89.3528 980525.16083 3 1 44.720939 26.242448 358622.69 598542.82 89.7813 980524.98274 4 1 44.719447 26.247916 358504.09 598978.70 88.7745 980525.37555 5 1 44.720851 26.246800 358658.54 598887.76 88.2769 980525.42316 6 1 44.722124 26.245625 358798.49 598792.30 89.0572 980525.19237 7 1 44.722253 26.250399 358819.02 599170.29 84.1648 980526.37038 8 1 44.724349 26.248597 359049.62 599023.66 88.2729 980525.31789 9 44.723701 1 26.254069 358984.78 599458.26 84.7902 980526.230910 10 44.7262531 26.252790 359266.56 599352.26 84.7763 980526.040811 11 1 44.725216 26.257947 359158.21 599762.68 84.2096 980526.337112 12 1 44.728191 26.257059 359487.53 599686.84 84.4367 980526.175613 13 2 44.714150 26.237597 357902.13 598170.95 89.4867 980525.256214 18 2 44.734603 26.263350 360208.20 600173.22 84.8148 980525.814615 34 3 44.711988 26.242515 357668.27 598564.45 89.4174 980525.330816 598098.22 35 3 44.717252 26.236750 358245.62 89.6574 980525.084717 36 3 44.729244 26.266833 359617.47 600459.05 83.1391 980526.524518 50 4 44.715309 26.241609 358036.04 598486.66 88.1217 980525.652519 51 4 44.718843 26.252495 358442.91 599342.55 87.7718 980525.676820 52 4 44.723718 26.261508 358996.48 600047.52 82.5370 980526.610121 53 4 44.723701 26.243701 358971.19 598637.07 88.8794 980525.080022 54 4 44.726489 26.250941 359290.45 599205.40 84.4899 980526.086523 55 4 44.731039 26.256208 359802.83 599614.16 84.9201 980525.908224 56 4 44.717070 26.247103 358238.89 598918.67 88.9113 980525.452325 60 5 44.721356 26.234165 358698.27 597885.98 86.9792 980525.363626 61 5 44.725062 26.236020 359112.38 598026.15 88.2432 980524.905927 62 5 44.724646 26.240130 359071.52 598352.47 85.3473 980525.683828 63 5 44.722251 26.241109 358806.65 598434.38 88.3279 980525.079529 64 5 44.726612 26.242510 359293.04 598537.39 83.1909 980526.088930 65 5 44.730021 26.241754 359670.85 598471.30 84.7363 980525.556731 66 5 44.730798 26.248872 359766.40 599033.64 84.8962 980525.606932 67 5 44.716920 26.257180 358235.44 599717.26 81.4182 980527.154033 68 5 44.713951 26.261674 357911.44 600078.72 87.3465 980525.987834 69 5 44.708468 26.255096 357293.67 599567.73 87.8050 980525.808635 70 5 44.708517 26.246147 357287.37 598858.61 86.6870 980525.990436 71 5 44.714553 26.249594 357962.54 599120.59 87.5750 980525.6699
Anexa 2 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1995.8 226
Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – DATE REDUSE
Nr. crt. Den. punct Cod rBWGS-84 [°.fr] rLWGS-84 [°.fr] Xstereo [m] rg [mgal]Ystereo [m] Hd (RN) [m] 1 1 1 0.718156 0.244556 8356.17 8714.93 88.6986 25.39112 2 1 0.719562 0.243486 8511.06 8627.59 89.3528 25.16083 3 1 0.720939 0.242448 8622.69 8542.82 89.7813 24.98274 4 1 0.719447 0.247916 8504.09 8978.70 88.7745 25.37555 5 1 0.720851 0.246800 8658.54 8887.76 88.2769 25.42316 6 1 0.722124 0.245625 8798.49 8792.30 89.0572 25.19237 7 1 0.722253 0.250399 8819.02 9170.29 84.1648 26.37038 8 1 0.724349 0.248597 9049.62 9023.66 88.2729 25.31789 9 1 0.723701 0.254069 8984.78 9458.26 84.7902 26.230910 10 1 0.726253 0.252790 9266.56 9352.26 84.7763 26.040811 11 1 0.725216 0.257947 9158.21 9762.68 84.2096 26.337112 12 1 0.728191 0.257059 9487.53 9686.84 84.4367 26.175613 13 2 0.714150 0.237597 7902.13 8170.95 89.4867 25.256214 18 2 0.734603 0.263350 10208.20 10173.22 84.8148 25.814615 34 3 0.711988 0.242515 7668.27 8564.45 89.4174 25.330816 35 3 0.717252 0.236750 8245.62 8098.22 89.6574 25.084717 36 3 0.729244 0.266833 9617.47 10459.05 83.1391 26.524518 50 4 0.715309 0.241609 8036.04 8486.66 88.1217 25.652519 51 4 0.718843 0.252495 8442.91 9342.55 87.7718 25.676820 52 4 0.723718 0.261508 8996.48 10047.52 82.5370 26.610121 53 4 0.723701 0.243701 8971.19 8637.07 88.8794 25.080022 54 4 0.726489 0.250941 9290.45 9205.40 84.4899 26.086523 55 4 0.731039 0.256208 9802.83 9614.16 84.9201 25.908224 56 4 0.717070 0.247103 8238.89 8918.67 88.9113 25.452325 60 5 0.721356 0.234165 8698.27 7885.98 86.9792 25.363626 61 5 0.725062 0.236020 9112.38 8026.15 88.2432 24.905927 62 5 0.724646 0.240130 9071.52 8352.47 85.3473 25.683828 63 5 0.722251 0.241109 8806.65 8434.38 88.3279 25.079529 64 5 0.726612 0.242510 9293.04 8537.39 83.1909 26.088930 65 5 0.730021 0.241754 9670.85 8471.30 84.7363 25.556731 66 5 0.730798 0.248872 9766.40 9033.64 84.8962 25.606932 67 5 0.716920 0.257180 8235.44 9717.26 81.4182 27.154033 68 5 0.713951 0.261674 7911.44 10078.72 87.3465 25.987834 69 5 0.708468 0.255096 7293.67 9567.73 87.8050 25.808635 70 5 0.708517 0.246147 7287.37 8858.61 86.6870 25.990436 71 5 0.714553 0.249594 7962.54 9120.59 87.5750 25.6699
Anexa 2 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1995.8 228
Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – ALTITUDINI
Nr. crt. Den. punct Hd (RN) [m] δHp = Hd – Hp [m] δH = H – H [m]p d t Hp [m] Ht [m] 1 1 88.6986 -0.6743 -1.76 88.0243 86.93862 2 89.3528 -0.7065 -1.82 88.6463 87.53283 3 89.7813 -0.7039 -2.01 89.0774 87.77134 4 88.7745 -0.7144 -1.74 88.0601 87.03455 5 88.2769 -0.6719 -1.69 87.6050 86.58696 6 89.0572 -0.7323 -1.83 88.3249 87.22727 -0.7032 7 84.1648 -2.04 83.4616 82.12488 8 88.2729 -0.6547 -1.53 87.6182 86.74299 9 84.7902 -0.6826 -1.91 84.1076 82.880210 10 84.7763 -0.6594 -1.84 84.1169 82.936311 11 84.2096 -0.7053 -1.78 83.5043 82.429612 12 84.4367 -0.7397 -1.87 83.6970 82.566713 13 89.4867 -0.6421 -1.79 88.8446 87.696714 18 84.8148 -0.7619 -2.13 84.0529 82.684815 34 89.4174 -0.4797 -1.47 88.9377 87.947416 35 89.6574 -0.6050 -1.74 89.0524 87.917417 36 83.1391 -0.4828 -1.48 82.6563 81.659118 50 88.1217 -0.6135 -1.55 87.5082 86.571719 51 87.7718 -0.5489 -1.35 87.2229 86.421820 52 82.5370 -0.6168 -1.39 81.9202 81.147021 53 88.8794 -0.5920 -1.34 88.2874 87.539422 54 84.4899 -0.6725 -1.93 83.8174 82.559923 55 84.9201 -0.5757 -1.42 84.3444 83.500124 56 88.9113 -0.5937 -1.39 88.3176 87.521325 60 86.9792 0.1100 -0.42 87.0892 86.559226 61 88.2432 0.1000 -0.39 88.3432 87.853227 62 85.3473 0.0650 -0.35 85.4123 84.997328 63 88.3279 0.0850 -0.42 88.4129 87.907929 64 83.1909 0.1450 -0.36 83.3359 82.830930 65 84.7363 0.1350 -0.36 84.8713 84.376331 66 84.8962 0.0900 -0.39 84.9862 84.506232 67 81.4182 0.1550 -0.35 81.5732 81.068233 68 87.3465 0.1250 -0.39 87.4715 86.956534 69 87.8050 0.0600 -0.37 87.8650 87.435035 70 86.6870 0.1300 -0.35 86.8170 86.337036 71 87.5750 0.1700 -0.32 87.7450 87.2550
Anexa 2 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1995.8 230
Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – CORECŢII DE RELIEF
Nr. crt. Den. punct BWGS-84 [°.fr] LWGS-84 [°.fr] Hd (RN) [m] Ht [m] Nr. de sect. Suma cr [mgal]1 1 44.718156 26.244556 88.6986 86.9386 48 4116.85 0.27262 2 44.719562 26.243486 89.3528 87.5328 48 4130.86 0.34293 3 44.720939 26.242448 89.7813 87.7713 48 4144.77 0.33104 4 44.719447 26.247916 88.7745 87.0345 48 4060.34 0.56905 5 44.720851 26.246800 88.2769 86.5869 48 4075.06 0.39346 6 44.722124 26.245625 89.0572 87.2272 48 4098.91 0.42687 7 44.722253 26.250399 84.1648 82.1248 48 3952.90 0.05298 8 44.724349 26.248597 88.2729 86.7429 48 3975.61 0.91209 9 44.723701 26.254069 84.7902 82.8802 48 3938.03 0.1951
10 10 44.726253 26.252790 84.7763 82.9363 48 3953.36 0.133811 11 44.725216 26.257947 84.2096 82.4296 48 3941.87 0.071512 12 44.728191 26.257059 84.4367 82.5667 48 3952.52 0.051813 13 44.714150 26.237597 89.4867 87.6967 48 4164.21 0.219414 26.263350 84.8148 18 44.734603 82.6848 48 3944.44 0.118515 34 44.711988 26.242515 89.4174 87.9474 48 4157.11 0.312216 35 44.717252 26.236750 89.6574 87.9174 48 4186.68 0.161817 36 44.729244 26.266833 83.1391 81.6591 48 3915.84 0.018418 50 44.715309 26.241609 88.1217 86.5717 48 4143.25 0.059119 51 44.718843 26.252495 87.7718 86.4218 48 3968.19 0.873220 52 44.723718 26.261508 82.5370 81.1470 48 3872.29 0.110421 53 44.723701 26.243701 88.8794 87.5394 48 4087.96 0.552522 54 44.726489 26.250941 84.4899 82.5599 48 3952.80 0.048923 55 44.731039 26.256208 84.9201 83.5001 48 3922.94 0.412524 56 44.717070 26.247103 88.9113 87.5213 48 4123.37 0.376625 60 44.721356 26.234165 86.9792 86.5592 48 4158.55 0.018026 48 61 44.725062 26.236020 88.2432 87.8532 4106.75 0.5345 27 62 44.724646 26.240130 85.3473 84.9973 48 4066.80 0.063428 63 44.722251 26.241109 88.3279 87.9079 48 4131.95 0.425029 64 44.726612 26.242510 83.1909 82.8309 48 3989.55 0.0663 30 65 44.730021 26.241754 84.7363 84.3763 48 3998.85 0.248431 48 66 44.730798 26.248872 84.8962 84.5062 3943.85 0.545332 67 44.716920 26.257180 81.4182 81.0682 48 3970.65 0.385033 68 44.713951 26.261674 87.3465 86.9565 38 3252.30 0.252434 69 44.708468 26.255096 87.8050 87.4350 4 346.30 0.016735 70 44.708517 26.246147 86.6870 86.3370 18 1548.30 0.028036 71 44.714553 26.249594 87.5750 87.2550 48 4117.90 0.3411
Anexa 2 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1995.8 232
Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – ANOMALII
Nr. crt. Den. punct B [rad] g [mgal] γ AIG [mgal] δg/δh H [m] Hp [m] t ∆gF [mgal] ∆gBI ∆gBC cr anBP ∆gL [mgal] ∆gR 1 1 0. 07804834 980525.3911 980594.4566 -0.2263 88.0243 86.9386 -42.4819 -78.7939 -52.2103 0.2726 -51.9378 -0.0832 -51.85452 2 0.78050794 980525.1608 980594.5838 -0.2308 88.6463 87.5328 -42.6674 -79.2179 -52.4623 0.3429 -52.1194 -0.0919 -52.02743 3 0.78052568 980524.9827 980594.6758 -0.2378 89.0774 87.7713 -42.9174 -79.5147 -52.7391 0.3310 -52.4080 -0.2219 -52.18614 4 0.78050599 980525.3755 980594.5737 -0.2257 88.0601 87.0345 -42.5708 -78.9373 -52.3100 0.5690 -51.7410 0.1536 -51.89465 5 0.78053047 980525.4231 980594.7006 -0.2218 87.6050 86.5869 -42.7826 -78.9666 -52.4717 0.3934 -52.0783 -0.0021 -52.07636 6 0.78055268 980525.1923 980594.8158 -0.2220 88.3249 87.2272 -42.9489 -79.3842 -52.7096 0.4268 -52.2829 -0.0484 -52.23457 7 0.78055498 980526.3703 980594.8277 -0.2367 83.4616 82.1248 -43.4302 -77.6472 -52.6200 0.0529 -52.5671 -0.4086 -52.15848 8 0.78059156 980525.3178 980595.0174 -0.2185 87.6182 86.7429 -43.1220 -79.4061 -52.8285 0.9120 -51.9165 0.5323 -52.44889 9 0.78058031 980526.2309 980594.9591 -0.2382 84.1076 82.8802 -43.4437 -78.0025 -52.7180 0.1951 -52.5229 -0.1351 -52.387810 980595.1899 10 0.78062482 980526.0408 -0.2233 84.1169 82.9363 -43.8186 -78.4297 -53.0991 0.1338 -52.9654 -0.2215 -52.743911 11 0.78060680 980526.3371 980595.0964 -0.2306 83.5043 82.4296 -43.5693 -77.9832 -52.7932 0.0715 -52.7217 -0.0889 -52.632812 0.0518 12 0.78065871 980526.1756 980595.3656 -0.2290 83.6970 82.5667 -43.9687 -78.4292 -53.2079 -53.1561 -0.1196 -53.036513 13 0.78041342 980525.2562 980594.0936 -0.2276 88.8446 87.6967 -42.0355 0.2194-78.6507 -51.8487 -51.6294 0.1390 -51.768414 18 0.78077069 980525.8146 980595.9463 -0.2357 84.0529 82.6848 -44.9376 -79.3841 -54.1900 0.1185 -54.0716 0.0207 -54.092215 34 0.78037574 980525.3308 980593.8982 -0.2297 88.9377 87.9474 -41.6544 -78.4088 -51.4957 0.3122 -51.1835 0.0682 -51.251716 35 0.78046754 980525.0847 980594.3743 89.0524 -42.4165 0.1618 -0.2275 87.9174 -79.1275 -52.2544 -52.0927 0.0617 -52.154417 0.0184 - 36 0.78067721 980526.5245 980595.4615 -0.2264 82.6563 81.6591 -43.9628 -78.0747 -53.1004 -53.0820 0.0099 -53.072118 50 0.78043368 980525.6525 980594.1987 -0.2378 87.5082 86.5717 -42.0529 -78.2336 -51.7403 0.0591 -51.6812 -0.4196 -51.261619 51 0.78049550 980525.6768 980594.5193 -0.2200 87.2229 86.4218 -42.3489 -78.5131 -52.0195 0.8732 -51.1463 0.5339 -51.680220 52 0.78058070 980526.6101 980594.9611 -0.1993 81.9202 81.1470 -43.4631 -77.4313 -52.5435 0.1104 -52.4330 0.0236 -52.456621 53 0.78058018 980525.0800 980594.9584 -0.2317 88.2874 87.5394 -43.0371 -79.6740 -52.8327 0.5525 -52.2802 0.1366 -52.416822 - 54 0.78062894 980526.0865 980595.2112 -0.2243 83.8174 82.5599 -43.9288 -78.3631 -53.1672 0.0489 -53.1184 0.3536 -52.764723 55 0.78070840 980525.9082 980595.6233 -0.2248 84.3444 83.5001 -44.1367 -79.0587 -53.4804 0.4125 -53.0678 0.3269 -53.394724 56 0.78046449 980525.4523 980594.3585 -0.2133 88.3176 87.5213 -42.0670 -78.6998 -51.8606 0.3766 -51.4840 0.1705 -51.654525 980525.3636 0.0245 60 0.78053914 980594.7455 -0.2312 87.0892 86.5592 -42.7923 -79.0679 -52.4783 0.0180 -52.4603 -52.484826 61 0.78060383 980524.9059 980595.0810 -0.2293 88.3432 87.8532 -43.1760 -80.0059 -53.0068 0.5345 -52.4723 0.1212 -52.593527 - 62 0.78059663 980525.6838 980595.0437 -0.2310 85.4123 84.9973 -43.2256 -78.8711 -52.7368 0.0634 -52.6734 0.1429 -52.530528 63 0.78055483 980525.0795 980594.8269 -0.2296 88.4129 87.9079 -42.7350 -79.5843 -52.5719 0.4250 -52.1469 0.1850 -52.332029 -52.9545 64 0.78063097 980526.0889 980595.2217 -0.2267 83.3359 82.8309 -43.6857 -78.4016 0.0663 -52.8882 -0.2196 -52.668630 65 0.78069046 980525.5567 980595.5302 -0.2233 84.8713 84.3763 -44.0456 -79.4153 -53.4873 0.2484 -53.2389 -0.3613 -52.877631 66 0.78070410 980525.6069 980595.6010 -0.2286 84.9862 84.5062 -44.0252 -79.4503 -53.4814 0.5453 -52.9361 0.1613 -53.097432 67 0.78046200 980527.1540 980594.3455 -0.2423 81.5732 81.0682 -42.2963 -76.2631 -51.3678 0.3850 -50.9829 0.4900 -51.472833 -51.0974 -50.728368 0.78041022 980525.9878 980594.0771 -0.2183 87.4715 86.9565 -41.3669 -77.8197 0.2524 -50.8450 -0.116634 69 0.78031446 980525.8086 980593.5805 -0.2318 87.8650 87.4350 -40.8891 -77.5559 -50.6731 0.0167 -50.6564 -0.0140 -50.642535 70 0.78031520 980525.9904 980593.5844 -0.2202 86.8170 86.3370 -41.0560 -77.2551 -50.7172 0.0280 -50.6892 0.4194 -51.108636 - 71 0.78042060 980525.6699 980594.1309 -0.2262 87.7450 87.2550 -41.6449 -78.2248 -51.4088 0.3411 -51.0676 0.4720 -50.5956
Anexa 2 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1995.8 234
Anexa 3
MODALITATEA DE OBŢINERE A ECUAŢIILOR SISTEMULUI (5.47)
Anexa 3 – Modalitatea de obţinere a ecuaţiilor sistemului (5.47) 236
Ecuaţia 1 ( a )0
)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ
=
)]4tcos(r2cos()4tcos(r2[cos(a2)]tsinr2cos()tcosr2[cos(a2)]tsinrcos()tcosr[cos(a2a21[ 221
2
00
0r
+++−+π++π−+ ))21tanatcos(r5cos())21tanatcos(r5[cos(a2)]4tcos(r22cos()4tcos(r22[cos(a2 522
0rdr]dtr))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =−++−+
0rdr]r)r5(J2a2)r22(J2a2)r2(J2a2)r2(J2a2)r(J2a2a[ 0502202020r
010 =−+++++∫π
=
03
)5(5
Ja8)22(22
Ja4)2(2
Ja4)2(J2
a4)(Ja4a2
3
151221212110
2
=π
−ππ
+ππ
+ππ
+ππ
+ππ+π
32)5(Ja
516)22(Ja22)2(Ja24)2(Ja4)(Ja8a
2
151221212110π
=π+π+π+π+π+π
Ecuaţia 2 ( ) 1a
)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ
=
)]4tcos(r2cos()4tcos(r2[cos(a2)]tsinr2cos()tcosr2[cos(a2)]tsinrcos()tcosr[cos(a2a21[ 221
2
00
0r
+++−+π++π−+ ))21tanatcos(r5cos())21tanatcos(r5[cos(a2)]4tcos(r22cos()4tcos(r22[cos(a2 522
0rdr]dt)]tsinrcos()tcosr[cos(*r))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =+−++−+
+++++++++−∫π
=
)]r(J)r5(J2)r3(J[a2]21)r2(J21)r2(J221)r2(J21[a2)r(J2)ra( 00020r
000100
0rdr)]r2(J)r22(J)r2(J)r10(J[a4)]r5(J)r13(J[a4)]r(J21)r5(J21)r(J21)r5(J21[a2 00005002200002 =++++++++++
+++++++++++−∫π
=
)]r5(J)r13(J[a2)]r(J)r5(J[a2)]r(J)r5(J2)r3(J[a]1)r2(J2)r2(J[a)r(J)ra( 002200200020r
00100
0rdr)]r2(J)r22(J)r2(J)r10(J[a2 00005 =++++
+++++++++ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ππππππ πππ
]dr)r(Jrdr)r5(Jr[a2]dr)r(Jrdr)r5(Jr2dr)r3(Jr[a]rdrdr)r2(Jr2dr)r2(Jr[adr)r(rJa 00
00
200
00
00
20 0
00
00
100
∫∫∫∫∫∫∫πππππππ
=++++++0
02
00
00
00
00
500
00
22 dr)r(Jr]dr)r2(Jrdr)r22(Jrdr)r2(Jrdr)r10(Jr[a2]dr)r5(Jrdr)r13(Jr[a2
+
ππ+π
π+
ππ+π
π+π
π+
π+π
π+π
π+ππ )(J)5(J
5a2)(J)5(J
52)3(J
3a
2)2(J
22)2(J
2a)(Ja 1121112
2
11110
∫π
=
π
π+π
π+π
π+π
π+
π
π+π
π+
00
2111151122 dr)r(Jr)2(J
2)22(J
22)2(J
2)10(J
10a2)5(J
5)13(J
13a2
+
π
π+
π
π+
ππ
+π
π+
ππ
+π
π+
ππ
+
+
π
π+
ππ
+ππ
5)5(J
13)13(J
a2)(J
5)5(J
a2)(J
5)5(J
23
)3(Ja
21
2)2(J
22
)2(Ja
)(Ja 11
2211
2111
211
11
0
∫π
π=
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
00
22
11115 dr)r(Jr1
2)2(J
22)22(J
2)2(J
10)10(J
a2
Ecuaţia 3 ( ) 2a
)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ
=
)]4tcos(r2cos()4tcos(r2[cos(a2)]tsinr2cos()tcosr2[cos(a2)]tsinrcos()tcosr[cos(a2a21[ 221
2
00
0r
+++−+π++π−+ ))21tanatcos(r5cos())21tanatcos(r5[cos(a2)]4tcos(r22cos()4tcos(r22[cos(a2 522
0rdr]dt)]tsinr2cos()tcosr2[cos(*r))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =+−++−+
+++++++++−+−∫π
=
)]r2(J)r52(J[a4)]r2(J)r10(J[a4)]r22(J2)r4(J[a2)]r5(J2)r(J)r3(J[a2)r2(J2)ra( 00220020020r
000100
0rdr)]r5(J)r13(J)r(J)r17(J[a4 00005 =++++
+
π
π+π
π+
π
π+
π+π
π+
π
π+ππ+π
π+π
π )2(J2
)10(J10
a2)22(J22
22
)4(J4
a)5(J5
2)(J)3(J3
a)2(J2
a 1121
2
12111110
∫π
=
π
π+π
π+ππ+π
π+
π
π+π
π+
00
2111151122 dr)r2(Jr)5(J
5)13(J
13)(J)17(J
17a2)2(J
2)52(J
52a2
+
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
+
π
π+
ππ
+
ππ
+π
π+
ππ
+ππ
2)2(J
52)52(J
a22
)2(J10
)10(Ja2
21
22)22(J
24
)4(Ja
)(J5
)5(J2
3)3(J
a2
)2(Ja 11
2211
211
2111
11
0
∫π
π=
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
00
22
11115 dr)r2(Jr1)(J
5)5(J
13)13(J
17)17(J
a2
Ecuaţia 4 2a ) (
)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ
=
)]4tcos(r2cos()4tcos(r2[cos(a2)]tsinr2cos()tcosr2[cos(a2)]tsinrcos()tcosr[cos(a2a21[ 221
2
00
0r
+++−+π++π−+ ))21tanatcos(r5cos())21tanatcos(r5[cos(a2)]4tcos(r22cos()4tcos(r22[cos(a2 522
0rdr]dt))]4tcos(r2cos())4tcos(r2[cos(*r))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =π−+π+−++−+
+++++++++++−∫π
=
]r10J2)r2(J)r23(J[a2]1)r2(J2)r22(J[a4)]r2(J)r10(J[a4)]r(J)r5(J[a4)r2(J2)ra( 000220020020r
00100
0rdr)]r(J)r13(J)r5(J)r3(J[a4 00005 =++++
++++++++ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ππππππ ππ
]drrdr)r2(Jr2dr)r22(Jr[a]dr)r2(Jrdr)r10(Jr[a]dr)r(Jrdr)r5(Jr[a2dr)2r(rJa0
00
00
200
00
20
00
00
100
∫∫∫∫∫∫∫∫ππππππππ
=+++++++0
02
00
00
00
00
500
00
00
22 dr)r2(Jr]dr)r(Jrdr)r13(Jrdr)r5(Jrdr)r3(Jr[a2]dr)r10(Jr2dr)r2(Jrdr)r23(Jr[a
+
π+π
π+π
π+
π
π+π
π+
ππ+π
π+π
π2
)2(J2
2)22(J22
a)2(J2
)10(J10
a2)(J)5(J5
a2)2(J2
a2
11211211110
∫π
=
ππ+π
π+π
π+π
π+
π
π+π
π+π
π+
00
21111511122 dr)r2(Jr)(J)13(J
13)5(J
5)3(J
3a2)10(J
102)2(J
2)23(J
23a2
+
π
π+
π
π+
π
π+
+
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
ππ
+π
π+
π
π
10)10(J
22
)2(J23
)23(Ja2
21
2)2(J
22)22(J
a2
)2(J2
10)10(J
a2)(J
5)5(J
a22
)2(Ja 111
2211
211
211
11
0
∫π
π=
ππ
+π
π+
π
π+
ππ
+0
02
21111
5 dr)r2(Jr1)(J13
)13(J5
)5(J3
)3(Ja2
Ecuaţia 5 ( 22a )
)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ
=
)]4tcos(r2cos()4tcos(r2[cos(a2)]tsinr2cos()tcosr2[cos(a2)]tsinrcos()tcosr[cos(a2a21[ 221
2
00
0r
+++−+π++π−+ ))21tanatcos(r5cos())21tanatcos(r5[cos(a2)]4tcos(r22cos()4tcos(r22[cos(a2 522
0rdr]dt))]4tcos(r22cos())4tcos(r22[cos(*r))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =π++π−−++−+
++++++++−∫π
=
]r10J2)r2(J)r23(J[a2)]r2(J)r52(J[a4)]r5(J)r13(J[a4)r22(J2)ra( 00020020r
00100
0rdr)]r3(J)r17(J)r(J)r5(J[a4)]r4(J21)r24(J[a2 000050022 =+++++++
+
π
π+π
π+π
π+
π
π+π
π+
π
π+π
π+π
π )10(J10
2)2(J2
)23(J23
a)2(J2
)5(J52
a2)5(J5
)13(J13
a2)22(J22
a 111211211110
∫π
=
π
π+π
π+ππ++π
π+
π+π
π+π
π+
00
211115
2
1122 dr)r22(Jr)3(J3
)17(J17
)(J)5(J5
a2)2
)4(J4
2)24(J24
a
+
π
π+
π
π+
π
π+
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
π
π
10)10(J
22
)2(J23
)23(Ja
2)2(J
52)52(J
a25
)5(J13
)13(Ja2
22)22(J
a 1112
112
111
10
∫π
π=
ππ
+π
π+
ππ
+ππ
+
+
ππ
+π
π+
00
22
11115
1122 dr)r22(Jr1
3)3(J
17)17(J)(J
5)5(J
a221
4)4(J
224
)24(Ja2
Ecuaţia 6 ( 5a )
)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ
=
)]4tcos(r2cos()4tcos(r2[cos(a2)]tsinr2cos()tcosr2[cos(a2)]tsinrcos()tcosr[cos(a2a21[ 221
2
00
0r
+++−+π++π−+ ))21tanatcos(5rcos())21tanatcos(5r[cos(a2)]4tcos(r22cos()4tcos(r22[cos(a2 522
+++−−++−+ ))21tanatcos(r5cos())21tanatcos(r5[cos(*r))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( 0rdr]dt]))2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =+++−+
+++++++++−∫π
=
))]r5(Jr13(J)r(J)r17(J[a4)]r2(J)r22(J)r2(J)r10(J[a4)r5(J4)ra( 000020r
0000100
+++++++++ )]r3(Jr17J)r(J)r5(J[a4)]r(J)r13(J)r5(J)r3(J[a4 00002200002
0dr)]r10(J2)r2(J)r23(J)r2(J)r4(J1)r52(J[a4 0000005 =+++++++
+
ππ+π
π+π
π+π
π+
π
π+π
π+π
π+π
π+π
π )(J)5(J5
)13(J13
)17(J17
a)2(J2
)22(J22
)2(J2
)10(J10
a)5(J5
a 111121111110
+
π
π+π
π+ππ+π
π+
ππ+π
π+π
π+π
π+ )3(J
3)17(J
17)(J)5(J
5a)(J)13(J
13)5(J
5)3(J
3a 11112211112
∫π
=
π
π+π
π+π
π+π
π+π
π+
π+π
π+
00
211111
2
15 dr)r5(Jr)10(J10
2)2(J2
)23(J23
)2(J2
)4(J42
)52(J52
a
+
ππ
+π
π+
π
π+
ππ
+
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
ππ
+π
π+
π
π+
π
π+
π
π )(J13
)13(J5
)5(J3
)3(Ja
)(J5
)5(J13
)13(J17
)17(Ja
2)2(J
22)22(J
2)2(J
10)10(J
aa5
)5(J 11112
11112
111110
1
∫π
π=
π
π+
π
π+
π
π+
ππ
+ππ
++π
π+
ππ
+π
π+
ππ
+ππ
+0
02
2111111
51111
22 dr)r5(Jr110
)10(J2
2)2(J
23)23(J
2)2(J
4)4(J
21
52)52(J
a3
)3(J17
)17(J)(J5
)5(Ja
Integralele de tipul ∫π
++π
2
02211 dt))ttcos(rcos())ttcos(rcos(
21 care intervin în ecuaţiile anterioare se evaluează astfel:
=+−+++++π
=++π ∫∫
ππ
dt)]ttcos(rcos()ttcos(rcos[dt)]ttcos(rcos()ttcos(r[cos21
21dt))ttcos(rcos())ttcos(rcos(
21
2211
2
02211
2
02211
dttcosrtcosrtsinrtsinr
tanatcos)ttcos(rr2rrcos21
21dt
tcosrtcosrtsinrtsinr
tanatcos)ttcos(rr2rrcos21
21
2211
22111221
21
21
2
0
2
0 2211
22111221
21
21
−−
+−−+π
+
++
+−++π
= ∫∫ππ
.
În calculele de mai sus s-a ţinut seama că:
[ ])BAcos()BAcos(21BcosAcos −++=
=+−+=−+−=+++ tsin)tsinrtsinr(tcos)tcosrtcosr()tsintsintcost(cosr)tsintsintcost(cosr)ttcos(r)ttcos(r 221122112221112211
++
+−++=2211
22111221
21
21 tcosrtcosr
tsinrtsinrtanatcos)ttcos(rr2rr
=+++=−−−=+−+ tsin)tsinrtsinr(tcos)tcosrtcosr()tsintsintcost(cosr)tsintsintcost(cosr)ttcos(r)ttcos(r 221122112221112211
−−
+−−+=2211
22111221
21
21 tcosrtcosr
tsinrtsinrtanatcos)ttcos(rr2rr .
Folosind funcţia Bessel de ordin 0, se poate scrie: 2π
)ttcos(rr2rrJ21)ttcos(rr2rrJ
21dt))ttcos(rcos())ttcos(rcos(
21
12212
12
1012212
12
100
2211 −−++−++=++π ∫ .
Calculată pentru toate cazurile posibile din ecuaţiile 1 – 6, relaţia de mai sus devine: π π2 2
∫ ∫ +=π
=π 0 0
0 21)r2(J
21dt)tsinrcos()tsinrcos(
21dt)tcosrcos()tcosrcos(
21
∫π
=π
2
00 )r2(Jdt)tsinrcos()tcosrcos(
21
∫ ∫π π
+=
π
±π
=
π
±π
2
00
2
00 )r(J
21)r5(J
21dt
4tcosr2cos)tsinrcos(
21dt
4tcosr2cos)tcosrcos(
21
∫ ∫π π
+=π
=π
2
00
2
00 )r(J
21)r3(J
21dt)tsinr2cos()tsinrcos(
21dt)tcosr2cos()tcosrcos(
21
∫ ∫π π
=π
=π
2
0
2
00 )r5(Jdt)tcosr2cos()tsinrcos(
21dt)tsinr2cos()tcosrcos(
21
∫ ∫π π
+=±π
=
±
π
2
00
2
00 )r2(J
21)r10(J
21dt))2tanatcos(r5cos()tsinrcos(
21dt
21tanatcosr5cos)tcosrcos(
21
∫ ∫π π
+=±π
=
±
π
2
00
2
00 )r2(J
21)r22(J
21dt))2tanatcos(r5cos()tcosrcos(
21dt
21tanatcosr5cos)tsinrcos(
21
∫ ∫π π
+=
π
±π
=
π
±π
2
00
2
00 )r5(J
21)r13(J
21dt
4tcosr22cos)tsinrcos(
21dt
4tcosr22cos)tcosrcos(
21
∫π
+=
π
±
π
±π
2
00 2
1)r22(J21dt
4tcosr2cos
4tcosr2cos
21
∫π
=
π
+
π
−π
2
00 )r2(Jdt
4tcosr2cos
4tcosr2cos
21
∫ ∫π π
+=
π
±π
=
π
±π
2
00
2
00 )r2(J
21)r10(J
21dt
4tcosr2cos)tsinr2cos(
21dt
4tcosr2cos)tcosr2cos(
21
∫ ∫π π
+=
π
±±π
=
π
±
±
π
2
0
2
000 )r(J
21)r13(J
21dt
4tcosr2cos))2tanatcos(r5cos(
21dt
4tcosr2cos
21tanatcosr5cos
21
∫ ∫π π
+=
π
±π
=
π
±
π
2
0
2
000 )r5(J
21)r3(J
21dt
4tcosr2cos))2tanatcos(r5cos(
21dt
4tcosr2cos
21tanatcosr5cos
21
mm
)r2(J21)r23(J
21dt
4tcosr2cos
4tcosr22cos
21
0
2
00 +=
π
±
π
±π ∫
π
∫π
=
π
±
π
π
2
00 )r10(Jdt
4tcosr2cos
4tcosr22cos
21
m
∫ ∫π π
+=π
=π
2
0
2
00 2
1)r4(J21dt)tsinr2cos()tsinr2cos(
21dt)tcosr2cos()tcosr2cos(
21
∫π
=π
2
00 )r22(Jdt)tsinr2cos()tcosr2cos(
21
∫ ∫π π
+=±π
=
±
π
2
00
2
00 )r(J
21)r17(J
21dt))2tanatcos(r5cos()tsinr2cos(
21dt
21tanatcosr5cos)tcosr2cos(
21
∫ ∫π π
+=±π
=
±
π
2
00
2
00 )r5(J
21)r13(J
21dt))2tanatcos(r5cos()tcosr2cos(
21dt
21tanatcosr5cos)tsinr2cos(
21
∫ ∫π π
+=
π
±π
=
π
±π
2
00
2
00 )r2(J
21)r52(J
21dt
4tcosr22cos)tsinr2cos(
21dt
4tcosr22cos)tcosr2cos(
21
)r(J21)r5(J
21dt))2tanatcos(r5cos(
4tcosr22cos
21dt
21tanatcosr5cos
4tcosr22cos
21
0
2
0
2
00∫ ∫
π π
+=±
π
±π
=
±
π
±π
)r3(J21)r17(J
21dt))2tanatcos(r5cos(
4tcosr22cos
21dt
21tanatcosr5cos
4tcosr22cos
21
0
2
0
2
00∫ ∫
π π
+=
π
±π
=
π
±π
mm
∫π
+=
π
±
π
±π
2
00 2
1)r24(J21dt
4tcosr22cos
4tcosr22cos
21
∫π
=
π
±
π
π
2
00 )r4(Jdt
4tcosr22cos
4tcosr22cos
21
m
Anexa 3 – Modalitatea de obţinere a ecuaţiilor sistemului (5.47) 246
Bibliografie
CAPITOLUL 2
AIRINEI, ŞT., 1977:
Microplăci litosferice pe teritoriul României, reflectate în anomalii gravimetrice
regionale. Studii şi Cercetări de Geologie, Geofizică, Geografie, seria Geofizică, tom
15, p. 19 – 30
BURCEA, C., CORNEA, I. şi al.:
Contribuţii seismice la crearea unei imagini tectonice asupra marginii nordice a
Platformei Moesice între Olt şi Buzău. Studii şi Cercetări de Geologie, Geofizică,
Geografie, seria Geofizică, tom 3, nr.1, 1965, p. 129 – 139
CAZENAVE, A. şi FEIGL, K., 1994:
Formes et mouvements de la terre. Satellites et géodésie. Paris: CNRS Editions.
Capitolul 2, La Terre: une dynamique complexe en évolution permanente, Capitolul 3,
Le champ de gravité terrestre, p. 21 – 62 şi Capitolul 6, Déformations dans les régions
actives, p. 97 – 116
CONSTANTINESCU, L., BOTEZATU, R. şi al., 1964:
Prospecţiuni geofizice. Volumul 1: Metodele câmpurilor naturale. Bucureşti: Editura
Tehnică. Partea întâi, Prospecţiunea gravimetrică, p. 51 – 286
DRAGOMIR, V., GHIŢĂU, D., MIHĂILESCU, M. şi ROTARU, M.:
GHIŢĂU, D., 1983:
Teoria figurii Pământului. Bucureşti: Editura Tehnică, 1977. Partea întâi, Capitolul 1,
Originea, structura şi forma Pământului, p. 21 – 29
Geodezie şi gravimetrie geodezică. Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică. Partea
întâi, Capitolul 1, subcapitolul 1.1, Câmpul gravităţii, p. 11 – 16
GRASU, C., 1997:
Geologie structurală. Bucureşti: Editura Tehnică. Capitolul 2, Consideraţii privind
scoarţa Pământului, p. 16 – 24 şi Capitolul 12, Teritoriul românesc şi tectonica plăcilor,
p. 214 – 225
Bibliografie 248
KORDI, M. A.:
Utilizarea măsurătorilor gravimetrice şi de nivelment pentru determinarea deplasărilor
crustale verticale recente. Teză de doctorat. Bucureşti: Universitatea Tehnică de
Construcţii Bucureşti, 1992. Capitolul 2, subcapitolul 2.1, Noţiuni privind structura
globului terestru, p. 10 – 18
RĂDULESCU, F.:
RĂDULESCU, F.:
Geological Structure and Seismicity of Romania. In The Gruiu-Căldăruşani Test
Polygon Romania, nr. 82, Bonn: Mitteilungen aus den Geodätischen Instituten der
Rheinischen Friedrich – Wilhelms – Universität Bonn, 1994, p. 10 – 19
MARTY, J.-C., 2000:
Space Geodesy. In Space Cartography Course [CD-ROM]. Version 1.0. Toulouse:
GDTA, 2 May – 16 June.
PETRESCU, G. şi RADU, C.:
Seismicitatea teritoriului R. P. Române în perioada anterioară anului 1900. In Probleme
de geofizică. Volumul 2. Bucureşti: Editura Academiei Republicii Populare Române,
1963, p. 79 – 85
PETRESCU, G. şi RADU, C.:
Structura scoarţei terestre în România. Studii şi Cercetări de Geologie, Geofizică,
Geografie, seria Geofizică, tom 3, nr. 1, 1965, p. 49 – 53
POSEA, GR. şi al., 1976:
Geomorfologie. Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică. Partea a doua, Capitolul 1,
Structura Pământului, Capitolul 2, Forma Pământului, p. 30 – 36 şi Partea a treia,
Capitolul 2, Elementele structurale şi morfologice ale continentelor, p. 51 – 69 şi
Capitolul 4, Tectonica plăcilor şi relieful, p. 71 – 85
Crustal Seismic Studies in Romania. Revue Roumaine de Géologie, Géophysique et
Géographie – Série de Géophysique, tome 25, 1981, p. 57 – 74
Seismic Models of Crustal Structure in Romania. Revue Roumaine de Géologie,
Géophysique et Géographie – Série de Géophysique, tome 32, 1988, p. 13 – 17
RĂDULESCU, F., BITER, M., DIACONESCU, C. şi NACU, V.:
RĂDULESCU, F., NACU, V. şi DIACONESCU, C.:
Geodetic Contributions to the Geodinamic Studies. In The Gruiu-Căldăruşani Test
Polygon Romania, nr. 82, Bonn: Mitteilungen aus den Geodätischen Instituten der
Rheinischen Friedrich – Wilhelms – Universität Bonn, 1994, p. 4 – 9
Bibliografie 249
SAÏDOU, L. Y., 1979:
Etude gravimétrique de l’Ardar Des Inforas (Nord-Est Mali). Teză de doctorat.
Montpellier: Université des Sciences et Techniques du Languedoc, p. 97 – 100
SOCOLESCU, M., POPOVICI, D. şi VISARION, M.:
Prospecţiuni geofizice. Volumul 1: Metodele câmpurilor naturale. Bucureşti: Editura
Tehnică. Partea întâi, Prospecţiunea gravimetrică, p. 51 – 286
Mohorovičič Surface in the Eastern Carpathians and the Transylvanian Bassin Inferred
from Gravimetric Data. Studii şi Cercetări de Geologie, Geofizică, Geografie, seria
Geofizică, anul 1, nr.1, 1963, p. 35 – 49
CAPITOLUL 3
BALMINO, G. şi al.:
Cours de géodésie dynamique et spatiale. [Paris]: Ecole Nationale Supérieure des
Techniques Avancées, 1982. Capitolul 10, Utilisation des mesures de pesanteur.
Déviation de la verticale. Utilisation des mesures d'altimétrie par satellite, p. 205 – 256
BONATZ, M., DANCHIV, D., GHIŢĂU, D. şi al.:
Hypotheses on the Earth Crust Structure in the Gruiu-Căldăruşani Polygon Zone.
In The Gruiu-Căldăruşani Test Polygon Romania, nr. 82, Bonn: Mitteilungen aus den
Geodätischen Instituten der Rheinischen Friedrich – Wilhelms – Universität Bonn,
1994, p. 10 – 19
CHANET, A.:
Apport de la gravimétrie à la télédétection dans le cadre de l’étude structurale du
Languedoc à partir d’une image Landsat Thematic Mapper. Curs DEA, Institut
Français du Pétrole. [Paris]: Université de Paris VI, 1985. 59 p.
CONSTANTINESCU, L., BOTEZATU, R. şi al., 1964:
COULOMB, J. şi JOBERT, G.:
Traité de géophysique interne. Volumul 1: Sismologie et pesanteur. Paris: Masson &
Cie, 1973. Capitolul 10, Champ de pesanteur et la forme de la Terre, p. 421 – 471
DRAGOMIR, V., GHIŢĂU, D., MIHĂILESCU, M. şi ROTARU, M.:
Teoria figurii Pământului. Bucureşti: Editura Tehnică, 1977. Capitolul 5, Determinarea
geoidului prin metode gravimetrice, p. 116 – 144
FAVRE, B., 1958:
Cours de géophysique. Volumul 1. Paris: Société des Edition Technip. Capitolul 2,
Gravimétrie, p. 30 – 171
Bibliografie 250
FORSBERG, R.:
A Study of Terrain Reductions, Density Anomalies and Geophisycal Inversion Methods
in Gravity Field Modelling. Report nr. 355. Ohio, Columbus: The Ohio State
University, 1984. 129 p.
FRANŢA, BUREAU GRAVIMETRIQUE INTERNATIONAL, 1996:
Gravimetrie geodezică. Îndrumător pentru lucrări practice. Bucureşti: Universitatea
Tehnică de Construcţii, 1989. Lucrarea nr. 5: Calculul anomaliilor gravităţii, p. 46 – 53
LEVALOIS, J.-J.:
Formulas Used In Computing Free-Air and Bouguer Anomalies. Bulletin d’information,
iunie, nr. 78, p. 11 – 14
GHIŢĂU, D., 1983:
Geodezie şi gravimetrie geodezică. Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică.
Capitolul 3, Anomaliile câmpului gravităţii, p. 56 – 66
GHIŢĂU, D., 1996:
Prelucrarea măsurătorilor geodezice (GPS, de nivelment şi gravimetrice) efectuate în
anul 1995 în Poligonul Geodinamic Gruiu-Căldăruşani. Contract de lucrări nr. 146,
Bucureşti: Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti. Capitolul 3, subcapitolul 3.3,
Prelucrarea măsurătorilor gravimetrice, p. 12 – 20
GHIŢĂU, D. şi ŞOMÂRDOLEA, I.:
GROTEN, E., 2000:
Die Fundamentalkonstanten in der Geodäsie. Zeitschrift für Vermessungswesen, nr. 1,
p. 1 – 8
HEISKANEN, W. şi MORITZ, H.:
Physical Geodesy. Paris şi Londra: W. H. Freeman and Company, 1967. Capitolul 3,
Gravimetric Methods, p. 126 – 159
KORDI, M. A.:
Utilizarea măsurătorilor gravimetrice şi de nivelment pentru determinarea deplasărilor
crustale verticale recente. Teză de doctorat. Bucureşti: Universitatea Tehnică de
Construcţii Bucureşti, 1992. Capitolul 5, subcapitolul 5.1, Determinarea gradientului
mediu al gravităţii în zona Poligonului Geodinamic Gruiu-Căldăruşani, p. 87 – 95
Géodésie générale. Volumul 1: Le champ de la pesanteur. Paris: Editions Eyrolles,
1970. Capitolul 10, Le champ potentiel de la Terre réelle, p. 126 – 159
LEWI, E.:
Modelling and Inversion of High Precision Gravity Data. Dizertaţie. München: Verlag
der Bazerischen Akademie der Wissenschaften, 1997. 146 p.
Bibliografie 251
MARINESCU, M.:
Proiect de diplomă. Bucureşti: Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti,
Facultatea de Geodezie, 1994. 95 p.
MORITZ, H., 1989:
Advanced Physical Geodesy. Second Edition. Karlsruhe: Wichmann. Partea D,
subcapitolul 48, Use of the Terrain Correction, p. 414 – 419
RUS, T., SCHWIEGER, V. şi NEUNER, J.:
Local Geoid in Vrancea Region – Comparative Study Between Gravimetric Geoid and
GPS Geoid. In GPS Technology Applications – Proceedings, International Symposium
and Exhibition. Bucureşti, 26 – 29 septembrie, 1995, vol. 20, nr. 2, p. 97 – 105
SAÏDOU, L. Y.:
Etude gravimétrique de l’Ardar Des Inforas (Nord-Est Mali). Teză de doctorat.
Montpellier: Université des Sciences et Techniques du Languedoc, 1979. 107 p.
SIDERIS, M. G. şi SHE, B. B., 1995:
A New, High-Resolution Geoid for Canada and Part of the U.S. by the 1D-FFT Method.
Bulletin Géodesique, vol. 69, nr. 2, p. 92 – 108
U.S.A., NATIONAL IMAGERY AND MAPPING AGENCY:
World Geodetic System 1984. Its Definition and Relationships with Local Geodetic
Systems. Technical Report nr. TR8350.2, Third Edition, iulie, 1997. 170 p.
CAPITOLUL 4
ALFARO, M., 1980:
The Random Coin Method: Solution of the Problem of the Simulation of a Random
Function in the Plane. Mathematical Geology, vol. 12, nr. 1, p. 25 – 32
ATKINSON, K.:
An Introduction to Numerical Analysis. Second Edition. New York: John Wiley & Sons,
1989. Capitolul 3, subcapitolul 3.7, Piecewise Polynomial Interpolation, p. 163 – 176
BERBENTE, C., MITRAN, S. şi ZANCU, S.:
Metode numerice. Bucureşti: Editura Tehnică, 1997. Capitolul 1, Aproximarea funcţiilor
de o variabilă, p. 1 – 48
CHILES, J.-P. şi DELFINER P.:
Reconstitution par krigeage de la surface topographique à partir de divers schémas
d'échantillonnage photogrammétrique. Bulletin de la Société Française de
Photogrammétrie et de Télédétection, ianuarie 1975, nr. 57, p. 42 – 50
Bibliografie 252
CRESSIE, N., 1993:
Statistics for Spatial Data. Revised Edition. New York: Wiley-Interscience. Capitolul 2,
Stationary Processes.
DEUTSCH, C. şi JOURNEL, A., 1998:
Geostatistical Software Library and User’s Guide. Second Edition. New York: Oxford
University Press. Capitolul 2, Getting Started, p. 9 – 41 şi Capitolul 3, Variograms,
p. 43 – 62
Programare numerică. Bucureşti: Teora, 1996. Capitolul 4, subcapitolul 4.8, Interpolare
cu funcţii spline în clasă C1, p. 86 – 87 şi subcapitolul 4.9, Funcţii spline în clasă C2,
p. 87 – 89
GHIŢĂU, D.:
Geodezie şi gravimetrie geodezică. Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică, 1983.
Capitolul 3, subcapitolul 3.9, Interpolarea numerică a anomaliilor câmpului gravităţii,
p. 64 – 66
GHIŢĂU, D. şi ŞOMÂRDOLEA, I., 1989:
Gravimetrie geodezică. Îndrumător pentru lucrări practice. Bucureşti: Universitatea
Tehnică de Construcţii Bucureşti. Lucrarea nr. 6, Interpolarea anomaliilor gravităţii,
p. 54 – 62
HEISKANEN, W. şi MORITZ, H., 1967:
Physical Geodesy. Paris şi Londra: W. H. Freeman and Company. Capitolul 3,
Gravimetric Methods, p. 126 – 133, Capitolul 7, subcapitolul 7.1, Introduction,
p. 251 – 255 şi subcapitolul 7.5, Interpolation and Extrapolation of Gravity Anomalies,
p. 264 – 270
IORGA, V., JORA, B. şi al.:
HOTTIER, PH., 1977:
Etude mathématique des Modèles Numériques du Terrain. Conséquences pratiques.
Bulletin de la Société Française de Photogrammétrie et de Télédétection, nr. 66,
p. 9 – 28
IONESCU, I., 1994:
Fotogrammetrie inginerească. Note de curs. Bucureşti: Universitatea Tehnică de
Construcţii Bucureşti. Cursurile 8 – 19, Modelul digital al terenului.
Bibliografie 253
ISAAKS, E. şi SRIVASTAVA, M., 1989:
An Introduction to Applied Geostatistics. New York: Oxford University Press.
Capitolul 4, Spatial Description, p. 40 – 66, Capitolul 7, The Sample Data Set: Spatial
Continuity, p. 140 – 183, Capitolul 12, Ordinary Kriging, 279 – 322, Capitolul 13,
Block Kriging, p. 323 – 327 şi Capitolul 16, Modeling the Sample Variogram,
p. 369 – 399
JULIEN, P., 1994:
KITANIDIS, P., 1997:
Introduction to Geostatistics - Applications in Hydrogeology. New York: Cambridge
University Press, New York, 249 p.
MARI, J. – L.:
Interpolation et transformation de cartes. Teză de doctorat. [Paris]: Universitatea Paris
VI, 1982. Partea a doua, Interpolation, p. 7 – 102
MASSON D'AUTUME de, G.:
L'interpolation par une règle flexible (spline) et ses applications en photogrammétrie
numérique. In Lucrările Congresului al XIII – lea al Societăţii Internaţionale de
Fotogrammetrie. Comisia a treia. Helsinki, 1976. 16 p.
MICULA, GH.:
Funcţii spline şi aplicaţii. Bucureşti: Editura Tehnică, 1978. Introducere, Capitolul 1,
Funcţii spline cubice, Capitolul2, Funcţii spline polinomiale, p. 13 – 78, Capitolul 5,
Funcţii spline de două variabile şi Capitolul 6, Aproximarea optimală a funcţionalelor
liniare, p. 123 – 163
MASSON D'AUTUME de, G.:
Construction du modèle numérique d'une surface par approximations successives.
Application aux Modèles Numériques de Terrain (M.N.T.). Bulletin de la Société
Française de Photogrammétrie et de Télédétection, nr. 71 – 72, 1978, p. 33 – 41
MEISSL, P., 1982:
Traitements altimétriques (Modèles Numériques de Terrain). Curs DEA SIG. [Paris]:
IGN, Laboratoire Matis. Capitolul 1, Définition d'un Modèle Numérique de Terrain et
exemples şi Capitolul 2, Constitution d'un MNT à partir d'un échantillon, p. 2 – 41
Least Squares Adjustment. A Modern Approach. Graz: Institute der Technischen
Universität Graz. Subcapitolele: One dimentional Cubic Spline Interpolation şi Two-
dimentional Spline Interpolation, p. D.4.1 – D.5.5
Bibliografie 254
MOLDOVEANU, F. şi al.:
Grafica pe calculator. Bucureşti: Teora, 1996. Capitolul 7, subcapitolul 7.3, Suprafeţe
de interpolare – aproximare, p. 309 – 329
MORITZ, H., 1962:
Interpolation and Prediction of Gravity and Their Accuracy. Report nr. 24. Ohio,
Columbus: The Ohio State University – Research Foundation. 69 p.
MORITZ, H.:
MORITZ, H., 1978:
Least-Squares Collocation. Reviews of Geophysics and Space Physics, august 1978,
vol. 16, nr. 3, p. 421 – 430
MORITZ, H., 1989:
Advanced Physical Geodesy. Second Edition. Karlsruhe: Wichmann. Partea B,
subcapitolul 9, Least-Square Prediction, p. 76 – 81 şi subcapitolul 22, Local Structure
of Covariance Function, p. 169 – 181
PANNATIER, Y., 1996:
VarioWin - Software for Spatial Data Analysis in 2D. New York: Springer-Verlag. 91 p.
Validation de Modeles Numeriques de Terrain. (Application à la cartographie des
risques géologiques). Teză de doctorat. [Paris]: Universitatea Paris 7, 1991. Capitolul 3,
Grilles régulières et irrégulières pour les Modèles Numériques de Terrain: une étude
comparative orientée vers le contrôle de qualité, p. 35 – 46
POSTOLACHE, M., 1994:
Metode numerice. Ediţia a doua. Bucureşti: Sirius. Capitolul 3, subcapitolul 2, Metoda
celei mai rapide coborâri (a gradientului), p. 83 – 92
PRESS, W. şi al.:
Numerical Recipes in C. Second Edition. Cambridge: Cambridge University Press.
Capitolul 3, Interpolation and Extrapolation, p. 105 – 128
RAPP, R.:
Correlation Coefficients and Their Use in the Prediction of Mean Anomalies. Report
nr. 20. Ohio, Columbus: The Ohio State University – Research Foundation, 1962. 38 p.
MORITZ, H.:
Approximation Methods in Geodesy. Karlsruhe: Wichmann, 1978. 45 p.
Integral Formulas and Collocation. Report nr. 234. Ohio, Columbus: The Ohio State
University – Research Foundation, 1975. Capitolul 1, Some Simple Configurations in
Least-Squares Interpolation, p. 3 – 18
POLIDORI, L.:
Bibliografie 255
ROSSI, R. E. şi al. 1994:
Kriging in the Shadows: Geostatistical Intepolation for Remote Sensing. Remote
Sensing of Environment, p. 32 – 40.
Analiză numerică. Bucureşti: Editura Universităţii din Bucureşti, 1999. Capitolul 2,
subcapitolul 4, Metode de interpolare, p. 309 – 328
RUSU, I.:
Metode numerice în electronică. Aplicaţii în limbaj C. Bucureşti: Editura Tehnică, 1997.
Capitolul 6, Interpolarea, p. 123 – 147
SEREDIUC, C.:
Determinarea înălţimii geoidului utilizând metoda elementelor finite (MEF). Revista de
Geodezie, Cartografie şi Cadastru, septembrie 1993, vol. 4, nr. 2, p. 34 – 42
SEREDIUC, C.:
Teoria erorilor de măsurare. Bucureşti: Editura Academiei Tehnice Militare, 1997.
Capitolul 5, subcapitolul 5.6 Introducere în interpolarea, filtrarea şi colocaţia prin cele
mai mici pătrate, p. 277 – 313
SIMIONESCU, I., DRANGA, M. şi MOISE, V.:
Metode numerice în tehnică. Bucureşti: Editura Tehnică, 1995. Capitolul 7,
Aproximarea şi interpolarea funcţiilor, p. 97 – 130
Cardinal Interpolation. Report nr. 312. Ohio, Columbus: The Ohio State University –
Research Foundation, 1981. 95 p.
ŞABAC, I. GH., COCÂRLAN, P., STĂNĂŞILĂ, O. şi TOPALĂ, A.:
Matematici speciale. Volumul 2. Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică, 1983.
Capitolul 3, subcapitolul 2, Interpolarea, p. 197 – 216
UDRIŞTE, C., IFTODE, V. şi POSTOLACHE, M., 1996:
Metode numerice de calcul. Algoritmi şi programe Turbo Pascal. Bucureşti: Editura
Tehnică. Capitolul 1, Interpolare şi polinoame de aproximare, şi Capitolul 2, Teoria
aproximării prin cele mai mici pătrate, p. 31 – 49
VLADISLAV, T. şi RAŞA, I.:
Analiză numerică. Elemente introductive. Bucureşti: Editura Tehnică, 1997.
Capitolul 7, Funcţii spline şi curbe Bézier, p. 160 – 190
ROŞCA, I.:
SÜNKEL, H.:
Bibliografie 256
CAPITOLUL 5
A Generalized Method of Computing Second Derivative of Gravity Field.
Geophysical Prospecting, iunie, 1972, vol. 20, nr. 2, p. 385 – 394
Contribuţii la interpretarea fizică a anomaliilor câmpurilor potenţiale. I. Continuarea
analitică în semispaţiul inferior. In Probleme de geofizică. Volumul 1. Bucureşti:
Editura Academiei Republicii Populare Române, p. 97 – 138
Prospecţiuni geofizice. Volumul 1: Metodele câmpurilor naturale. Bucureşti: Editura
Tehnică, 1964. Partea întâi, Prospecţiunea gravimetrică, p. 51 – 286
AGARWAL, B. N. P. şi LAL, T.:
AGARWAL, B. N. P. şi LAL, T.:
Calculation of the Vertical Gradient of the Gravity Field Using the Fourier Transform.
Geophysical Prospecting, iunie, 1972, vol. 20, nr. 2, p. 448 – 459
BONATZ, M., DANCHIV, D., GHIŢĂU, D. şi al.:
Hypotheses on the Earth Crust Structure in the Gruiu-Căldăruşani Polygon Zone.
In The Gruiu-Căldăruşani Test Polygon Romania, nr. 82, Bonn: Mitteilungen aus den
Geodätischen Instituten der Rheinischen Friedrich – Wilhelms – Universität Bonn,
1994, p. 10 – 19
CONSTANTINESCU, L. şi BOTEZATU, R.:
CONSTANTINESCU, L. şi BOTEZATU, R., 1961:
CONSTANTINESCU, L., BOTEZATU, R. şi al., 1964:
CONSTANTINESCU, L. şi ELDAIEM, M. M., 1963:
O formulă practică de aproximare a gradientului vertical. In Probleme de geofizică.
Volumul 2. Bucureşti: Editura Academiei Republicii Populare Române, p. 27 – 44
COULOMB, J. şi JOBERT, G.:
Traité de géophysique interne. Volumul 1: Sismologie et pesanteur. Paris: Masson &
Cie, 1973. Capitolul 24, Prospection gravimétrique, p. 613 – 621
Introduction to Geophysical Prospecting. Third Edition. USA: McGraw-Hill, 1976.
Capitolul 13, The Interpretation of Gravity Data, p. 435 – 475
Contribuţii la interpretarea fizică a anomaliilor câmpurilor potenţiale. II. Condiţii de
aplicare a continuităţii analitice. In Probleme de geofizică. Volumul 1. Bucureşti:
Editura Academiei Republicii Populare Române, 1961, p. 139 – 162
DOBRIN, B. M.:
Bibliografie 257
FAVRE, B.:
GHIŢĂU, D.:
Prelucrarea măsurătorilor geodezice (GPS, de nivelment şi gravimetrice) efectuate în
anul 1995 în Poligonul Geodinamic Gruiu-Căldăruşani. Bucureşti: Universitatea
Tehnică de Construcţii Bucureşti – Facultatea de Geodezie – Colectivul de Geodezie,
1996. 65 p.
GRASU, C.:
Geologie structurală. Bucureşti: Editura Tehnică, 1997. Capitolul 12, Teritoriul
românesc şi tectonica plăcilor, p. 214 – 225
IVAN, M., 1994:
Prospecţiuni magnetice. Bucureşti: Editura Universităţii Bucureşti. Capitolul 6,
Filtrarea datelor magnetice, p. 92 – 127
Local Quasi-geoid and Downward Continuation by Integrated Harmonic Series.
Application to Dobrudja Area - Romania. In Second Continental Workshop on the
Geoid in Europe, Budapest, 10 – 14 martie, 1998, p. 129 – 136
Utilizarea măsurătorilor gravimetrice şi de nivelment pentru determinarea deplasărilor
crustale verticale recente. Teză de doctorat. Bucureşti: Universitatea Tehnică de
Construcţii Bucureşti, 1992. Capitolul 2, subcapitolul 2.3, Poligonul Geodinamic
Gruiu-Căldăruşani, p. 30 – 37
WOLF, H., 1992:
Cours de géophysique. Volumul 1. Paris: Société des Edition Technip, 1958.
Capitolul 2, Gravimétrie, p. 30 – 171
IVAN, M. şi SEVILLA, M. J.:
KORDI, M. A.:
LEWI, E.:
Modelling and Inversion of High Precision Gravity Data. Dizertaţie. München: Verlag
der Bazerischen Akademie der Wissenschaften, 1997. 146 p.
MECHLER, P.:
Les métodes de la géophysique. Paris: Bordas, 1982. Capitolul 1, Gravimétrie, p. 1 – 52
Gravimetria. Udine: Del Bianco Editore, 1968. Capitolul 4, Riduzione delle misure di
gravità, p. 169 – 315
Separarea anomaliilor gravimetrice. Scrisoare către: GHIŢĂU, D., Comunicare
personală.
MORELLI, C.:
Bibliografie 258
CAPITOLUL 6
AIRINEI, ŞT., 1977: Microplăci litosferice pe teritoriul României, reflectate în anomalii gravimetrice regionale. Studii şi Cercetări de Geologie, Geofizică, Geografie, seria Geofizică, tom 15, p. 19 – 30
BONATZ, M., DANCHIV, D.,GHIŢĂU, D. şi al., 1995:
BONATZ, M., GHIŢĂU, D. şi RĂDULESCU, F., 1994: The Gruiu-Căldăruşani Test Polygon Romania. Bonn: Mitteilungen aus den Geodätischen Instituten der Rheinischen Friedrich – Wilhelms – Universität Bonn. 83 p.
Prelucrarea măsurătorilor geodezice (GPS, de nivelment şi gravimetrice) efectuate în anul 1995 în Poligonul Geodinamic Gruiu-Căldăruşani. Contract de lucrări nr. 146, Bucureşti: Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti. Capitolul 3, subcapitolul 3.3, Prelucrarea măsurătorilor gravimetrice, p. 12 – 20
Contribuţii ale geodeziei la programele de geodinamică. Unele realizări obţinute în ţara noastră. In Lucrările simpozionului cu tema “Lucrări de interes planetar integrate sinergetic de geodezie şi geofizică”, octombrie, p. 8 – 18
CORNEA, I., ZUGRĂVESCU, D., GHIŢĂU, D., POPESCU, M. şi RĂDULESCU, F., 1980: The Căldăruşani-Gruiu Geodinamic Polygon. Revue Roumaine de Géologie, Géophysique et Géographie – Série de Géophysique, tome 24, nr. 2, p. 171 – 191
GHIŢĂU, D., 1996a:
GHIŢĂU, D., MARCU, C. şi PĂUNESCU, C., 1996b:
GRIGORE, M., BITER, M., RĂDULESCU, F. şi NACU, V.:
KORDI, M. A., 1992: Utilizarea măsurătorilor gravimetrice şi de nivelment pentru determinarea deplasărilor crustale verticale recente. Teză de doctorat. Bucureşti: Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti. Capitolul 2, subcapitolul 2.3, Poligonul Geodinamic Gruiu-Căldăruşani, p. 30 – 37
RĂDULESCU, F., GHIŢĂU, D., NACU, V. şi STIOPOL, D., 1992: Study of Recent Crustal Movements in Romania (Gruiu-Caldarusani Polygon). Tectonophysics, nr. 202, p. 141 – 144
Caracteristici ale crustei terestre în zona Poligonului Gruiu-Căldăruşani estimate din măsurători gravimetrice geodezice. Revista de Geodezie, Cartografie şi Cadastru, volumul 4, nr. 1, p. 3 – 16
Mişcări crustale recente în platforma Moesică. In Lucrările simpozionului cu tema “Lucrări de interes planetar integrate sinergetic de geodezie şi geofizică”, octombrie, 1996, p. 60 – 69
Index
A
Anomalie a derivatei verticale de ordinul II a gravităţii, 116 a gradientului vertical al gravităţii, 104 Bouguer completă, 34 Bouguer incompletă, 32
Bouguer perfecţionată redusă, 44
Autocorelaţie, 52
gravităţii, 6
Corecţie de relief, 36
Covarianţa, 60
Bouguer perfecţionată, 35
continuată analitic a gravităţii, 100 Faye, 26 gravimetrică, 25 locală, 98 nivelată / majoră, 98 regională, 98 reziduală / minoră, 98
C
Câmpul gravific, 6
Compresiune, 12 Continuare analitică, 101
Corelaţie spaţială, 52 Corelograma, 62 Corp sursă, 97
Crusta terestră, 7, 8 Cutremur de pământ, 19
D
Discontinuitate de ordinul I, 7 de ordinul II, 7
Distanţa maximă de corelaţie, 55 Distensiune, 12
E
Efect de discontinuitate în origine, 55, 57 Element finit, 45 Extrapolare, 43
F
Falie tectonică, 17 Fereastră de interpolare, 89 Filtrare, 104
în domeniul spaţial, 105 în domeniul spectral, 106
Formaţiune perturbantă, 97 Funcţie spline
bicubică, 82 bicubică de interpolare, 82 bicubică de tipul I, 82 bicubică de tipul II, 82 cubică naturală, 94 polinomială, 82
Funcţională pătratică, 68
G
Geomorfologie planetară, 5 tectono-structurală, 11
Gradient normal al gravităţii, 29 vertical al gravităţii deasupra solului, 30
Gravitate, 6 Grid, 45
elastic, 65 spline "placă subţire", 73 spline "placă subţire" de ajustare, 74 spline "placă subţire" de interpolare, 73 spline "pseudo-cubic", 73
H
Harta anomaliilor Bouguer, 97 Bouguer, 97 gravimetrică, 97
I
Indicator statistic, 54 ergodic, 59 non-ergodic, 59
Interpolant spline cubic, 92
Index 260
Interpolant spline cubic natural, 94 Interpolare, 43
Î
de elevaţie, 35
Înveliş de ordinul I, 7 de ordinul II, 7
K
Kriging, 75 simplu, 77 universal, 77
L
Legea lui Shanon, 63
M
Manta, 7, 9 Mase topografice, 25 Material gravimetric
primar, 97 secundar, 97
Matricea caracteristică de transfer a filtrului, 105 coeficienţilor filtrului, 105 coeficienţilor geometrici, 86 condiţiilor pe frontieră, 86
Metoda ferestrei mobile, 105 mediilor mobile, 105
Microplacă tectonică, 18
N
Nucleu, 7, 10
P
Placă tectonică, 11 Pol eulerian, 11 Pragul semi-variogramei, 55 Predicţie, 43
R
Reducere Bouguer completă, 35 Bouguer de placă, 32 Bouguer incompletă, 32
de strat intermediar, 32 Faye, 27 gravimetrică, 25 în aer liber, 27 topografică, 35
S
Scara componentei structurate a semi-variogramei, 55 Scoarţa terestră, 7 Semi-variograma, 54
anizotropică, 56 experimentală, 54 indicator, 56 izotropică, 55 model, 55 standardizată, 56
Suprafaţă parametrică, 44 rectangulară bicubică, 48 rectangulară biliniară, 46
T
Tectonica globală, 11 Tensiune tectonică, 12
Acronime
APKiM – Modelul cinematic de deplasare a plăcilor tectonice APKiM (în engleză,
Actual Plate Kinematic Model);
FAvH – Fundaţia Alexander von Humboldt;
CETEL – Curs de perfecţionare în teledetecţie (în franceză, Cycle d’Enseignement
de la Télédétection);
CGUTCB – Colectivul de Geodezie din Universitatea Tehnică de Construcţii
Bucureşti;
GPS – Sistem Global de Poziţionare (în engleză, Global Positioning System);
IGTUB – Institutul de Geodezie Teoretică al Universităţii din Bonn;
IGUTK – Institutul de Geodezie al Universităţii Tehnice din Karlsruhe;
INFP – Institutul Naţional pentru Fizica Pământului;
NUVEL – Modelul cinematic de deplasare a plăcilor tectonice NUVEL (în engleză,
Northwerstern University Velocity);
PGGC – Poligonul Geodinamic Gruiu Căldăruşani;
SLR – Telemetrie laser cu sateliţi (în engleză, Satellite Laser Ranging);
VLBI – Interferometrie cu baze foarte lungi (în engleză, Very Long Base
Interferometry);