Unitatea 4_Integrale Definite

Integrale definite

1 Analiză matematică II – Curs şi aplicaţii

Unitatea de învăţare nr. 4

Integrale definite Cuprins Pagina

Obiectivele unităţii de învăţare nr. 4 2

4.1 Integrabilitate Riemann 2

4.2 Metode de calcul a integralelor definite 5

Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr.4 6

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 7

Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 4 9

Integrale definite


OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 4

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 4 sunt: • Înţelegerea noţiunilor de sumă Riemann, integrală

definită • Aplicarea cu succes a formulelor de integrare • Familiarizarea cu metodele de calcul a integralelor

definite

4.1 Integrabilitate Riemann

Definiţia 4.1: Fie [ ]ba, , a < b, un interval închis şi mărginit. O mulţime de puncte ( ) bxxxaxxxx nn =<<<==∆ ... unde,,...,,, 10210 , se numeşte diviziune a intervalului [a, b].

Definiţia 4.2: Vom numi normă a diviziunii ( )nxxx ,...,, 10=∆ numărul ( )11max −≤≤

−=∆ kknkxx ,

adică lungimea celui mai mare dintre intervalele care formează diviziunea. Definiţia 4.3. (suma Riemann ): Fie funcţia [ ] Rbaf →,: , diviziunea ( )nxxx ,...,, 10=∆ a

intervalului [a, b] şi punctele intermediare ( ) [ ]kkkn xx , unde,,...,, 121 −∈= ξξξξξ , nk ,1= .

Numărul real ( ) ( )( )∑=

−∆ −=n

kkkk xxff

11, ξξσ se numeşte sumă Riemann asociată funcţiei f,

diviziunii ∆ şi sistemului de puncte intermediare ξ . Definiţia 4.4. (a integrabilităţii Riemann ): O funcţie [ ] Rbaf →,: se numeşte integrabilă Riemann dacă există numărul real I cu proprietatea: ( ) ( ) 0,0 >∃>∀ εηε astfel încât pentru

orice diviziune ( )nxxx ,...,, 10=∆ a intervalului [a, b] cu norma εη<∆ şi oricare ar fi sistemul

de puncte intermediare ( )nξξξξ ,...,, 21= , cu [ ] ,,1,,1 nkxx kkk =∈ −ξ are loc inegalitatea

( ) εξσ <−∆ If , .

Observaţii: i) Pentru o funcţie [ ] Rbaf →,: integrabilă Riemann numărul I este unic. Acest număr

reprezintă integrala definită a funcţiei f şi se notează prin ( )∫=b

a

dxxfI .

ii) Orice funcţie [ ] Rbaf →,: integrabilă Riemann este mărginită. În consecinţă, dacă funcţia f nu este mărginită pe [a, b], ea nu este integrabilă pe acest interval.

Integrale definite


Proprietăţi ale funcţiilor integrabile Riemann Teorema 4.1: Funcţia [ ] Rbaf →,: este integrabilă Riemann dacă şi numai dacă pentru

orice şir de diviziuni ( ) ( )bxxxa nk

nnnn n

=<<<==∆∆ ..., 10 cu 0lim =∆∞→ nn

şi oricare ar fi sistemul

de puncte intermediare ( )nk

nnnn

ξξξξ ,...,, 21= , atunci şirul corespunzător de sume Riemann

( )( )1

,≥∆ nnf

nξσ este convergent către acelaşi număr I. Putem scrie că :

( ) ( )∫=∆∞→

b

a

n

ndxxff

nξσ ,lim

Teorema 4.2. (Newton-Leibniz ): Fie funcţia [ ] Rbaf →,: . Dacă f este integrabilă şi admite

primitive, atunci ( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a

−=∫ , unde F este o primitivă a sa.

Propoziţia 4.1: Dacă [ ] Rbagf →,:, sunt integrabile şi ∗∈Rλ , atunci fgf ⋅+ λ si sunt integrabile pe [a, b] şi

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ =+=+b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxfdxxfdxxgdxxfdxxgxf λλ, .

Propoziţia 4.2: Dacă [ ] Rbagf →,:, sunt integrabile şi ( ) ( ) ( ) [ ]baxxgxf ,, ∈∀≤ , atunci

( ) ( )∫∫ ≤b

a

b

a

dxxgdxxf .

Propoziţia 4.3: Fie [ ] Rbaf →,: , integrabilă. Atunci

( )∫ =a

a

dxxf 0 , ( ) ( )∫∫ −=a

b

b

a

dxxfdxxf .

Propoziţia 4.4: Fie [ ] ( )bacRbaf , si ,: ∈→ . Dacă f este integrabilă pe [a, c] şi pe [c, b], atunci

f este integrabilă pe [a, b] şi ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf .

Propoziţia 4.5: Fie [ ] Rbagf →,:, funcţii astfel încât : a ) f este integrabilă pe [a, b] ; b ) ( ) ( ) ( ) [ ] AAbaxxgxf ,,, −∈∀= mulţime finită.

Atunci g este integrabilă pe [a, b] şi ( ) ( )∫∫ =b

a

b

a

dxxgdxxf .

Teorema 4.3: Orice funcţie monotonă [ ] Rbaf →,: este integrabilă. Teorema 4.4: Orice funcţie continuă [ ] Rbaf →,: este integrabilă. Teorema 4.5 (de medie): Dacă [ ] Rbaf →,: este o funcţie continuă, atunci există [ ]bac ,∈

astfel încât ( ) ( ) ( )cfabdxxfb

a

−=∫ .

Integrale definite


Teorema 4.6 (de existenţă a primitivelor unei funcţii continue): Fie [ ] Rbaf →,: o funcţie

continuă. Atunci funcţia [ ] ( ) ( ) [ ]baxdttfxFRbaFx

x

,,,,: 0

0

∈=→ ∫ , este o primitivă a funcţiei f

care se anulează în 0x . Aplicaţii: 1. Să se calculeze următoarea limită de şiruri cu ajutorul integralei definite:

+++

++

+=

∞→ 33331 ...8

21

1limnn

nnn

Ln

Rezolvare:

Termenul general al şirului se scrie sub forma echivalentă ( )∑∑

== +=

+

n

k nk

nkn

k nknk

13

133 1

1 . Fie

şirul de diviziuni

=∆

nn

nnn ,...,2,1,0 al intervalului [0, 1], cu norma ∞→

→∆n

n 0 , şi punctele

intermediare nknk

nk

nk

k ,1,,1=

−

∈=ξ . Fie funcţia [ ] ( ) 31,1,0:

xxxfRf+

=→ .

Deoarece f este continuă, deci integrabilă, în baza teoremei 4.1. putem scrie :

( )( ) ( ) ( )∫∑∑ ===

+= ∆∞→

=∞→

=∞→

1

01131 ,lim1lim

11lim dxxfff

nnL n

n

n

kkn

n

k nk

nk

n nξσξ .

Notând txx = şi observând că dtdxx =23 , rezultă că :

( ) ( )21ln3211ln

32

132

1

1

0

21

02

1

031 +=++=

+=

+= ∫∫ t

t

dtdxx

xL .

Test de autoevaluare 4.1 1. Să se calculeze următoarea limită de şiruri cu ajutorul integralei

definite: ( )( ) ( )n

nn nnanananL +⋅⋅++

=∞→

..21lim

2. Enunţaţi teorema Newton-Leibniz.

Integrale definite


4.2 Metode de calcul a integralelor definite

Teorema 4.7 (integrarea prin părţi): Dacă [ ] Rbagf →,:, sunt funcţii derivabile şi cu derivate continue, atunci :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −=b

a

b

a

b

a

dxxgxfxgxfdxxgxf '' .

Teorema 4.8 (schimbarea de variabilă): Fie [ ] Rbaf →,: continuă şi [ ]baI ,: →ϕ , bijectivă, derivabilă şi cu derivata continuă. Atunci :

( ) ( )( )( )

( )

( ) dtttfdxxfb

a

b

a

'1

1

ϕϕϕ

ϕ∫∫−

−

= .

Aplicaţii:

1. Să se calculeze: ∫− +

−=

0

12

2

11arccos dx

xxI

Rezolvare:

=+

+=

+−

⋅

+−

−

−⋅−

+−

= ∫∫−−−

0

12

0

1

'

2

2

2

2

2

0

12

2

12

211

111

111arccos dx

xxdx

xx

xx

xxxxI π

2ln2

1ln(2

0

1

2 −=++=−

ππ x .

2. Să se calculeze ( )∫

++=

31

022 112 xx

dxxI

Rezolvare:

32,

31;1,0,

1,1

2

2 =====+

=+ txtxdtx

dxxtx .

( )22356411ln

42

212

1

ln42

212

112

32

1

32

12

2

32

12 −

−=

+

−=

−

=−

= ∫∫t

t

t

dttdtI

Integrale definite


Test de autoevaluare 4.2

1. Să se calculeze: dxxeI x∫=2

0

2 cosπ

.

2. Să se calculeze: ∫ +−

=4

0

2

2sin1cossinsin

π

dxx

xxxI

De reţinut! • Suma Riemann • Proprietăţile funcţiilor integrabile Riemann • Formula de integrare prin părţi • Schimbarea de variabilă

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare nr. 4 1. Să se calculeze următoarea limită de şiruri cu ajutorul integralei

definite: ∑=

∞→=

n

k

nk

n nk

nke

nL

1

22 cossin1lim πππ

2. Să se calculeze: ( )∫ −5

3

2 4arcsin dxxx

3. Să se calculeze: ( ) dxxx

xe

∫+1

3ln1

ln

Integrale definite


Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Test de autoevaluare 4.1

1. Notăm ( )( )n

nn nnanananx )(...21 +⋅⋅++

= şi observăm că:

++

++

+=

+

⋅⋅+

⋅+

= ...2ln1ln1...21ln1lnn

an

ann

nann

ann

ann

xn

∑=

+=

++

n

k nka

nnna

1ln1ln .

−+=+

−+=+= ∫∫∞→)1ln()ln()ln(lnlim

1

0

1

0

1

0

adxax

xxaxdxxaxnn

=++−+=

+⋅−− ∫

1

0

1

0

1

0

)ln()1ln(11 axaxadxax

a

a

a

aeaaaaaa

1)1(lnln)1ln(1)1ln(++

=−++−+=

Rezultă că a

a

aeaL

1)1( ++= .

2. Fie funcţia [ ] Rbaf →,: . Dacă f este integrabilă şi admite primitive,

atunci ( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a

−=∫ , unde F este o primitivă a sa.

Test de autoevaluare 4.2

1. =+=

= ∫∫

2

0

22

0

2'

2

0

2

sin2

cos2

cos2

πππ

dxxexedxxeIxxx

∫ =

+−=

2

0

'2

sin42

1π

dxxe x

IeIxe x

41

21

441sin

421 2

0

2

−−=−

+−

ππ

.

Rezultă ( )251

−= πeI .

Integrale definite


2. =+

−=

++−

=+−

222

2

)cos(sincos(sinsin

cossin2cossin)cos(sinsin

2sin1cossinsin

xxxxx

xxxxxxx

xxxx

( )2)1(1

+−

=xtg

xtgxtg .

1,4

;0,0;1

,, 2 ====+

=== txtxt

dtdxtarctgxtxtg π .

( ) ( )∫ ∫ =

+−

++

++

−=++

−=

1

02222 12

1)1(

1)1(2

11)1(

)1( dttt

ttdt

ttttI

( )84

2ln21

211ln

41

11)1ln(

21

1

0

2 π−−=

−++

+−+−= tarctgt

tt .

Recapitulare • Funcţia [ ] Rbaf →,: este integrabilă Riemann dacă şi numai dacă

pentru orice şir de diviziuni ( ) ( )bxxxa nk

nnnn n

=<<<==∆∆ ..., 10 cu

0lim =∆∞→ nn

şi oricare ar fi sistemul de puncte intermediare

( )nk

nnnn

ξξξξ ,...,, 21= , atunci şirul corespunzător de sume Riemann

( )( )1

,≥∆ nnf

nξσ este convergent către acelaşi număr I. Putem scrie că :

( ) ( )∫=∆∞→

b

a

n

ndxxff

nξσ ,lim

• Dacă [ ] Rbagf →,:, sunt funcţii derivabile şi cu derivate continue,

atunci : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −=b

a

b

a

b

a

dxxgxfxgxfdxxgxf '' .

• Fie [ ] Rbaf →,: continuă şi [ ]baI ,: →ϕ , bijectivă, derivabilă şi cu derivata continuă. Atunci :

( ) ( )( )( )

( )

( ) dtttfdxxfb

a

b

a

'1

1

ϕϕϕ

ϕ∫∫−

−

= .

Integrale definite


Bibliografie 1. Constantinescu E, Deleanu D, I.M. Popovici, Analiză matematică II. Note de seminar, Editura Crizon, Constanţa, 2007 2. Chiriţă S., Probleme de matematici superioare, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1994. 3. Roşculeţ N.M., Culegere de probleme de analiză matematică, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1988. 4. Roşculeţ N.M., Analiză matematică, vol I, II, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1996.

Unitatea 4_Integrale Definite

Documents

Transcript of Unitatea 4_Integrale Definite