Unde electromagnetice
1
Transformata Laplace Arsene Ramona-Georgiana 17 Martie 2015 1 Introducere ˆ In ramura matematicii numit˘ a analiz˘ a funct ¸ional˘ a, transformata Laplace este un operator liniar asupra unei funct ¸ii f(t), numit˘ a funct ¸ie original, de argument real t (t 0). Acest operator transform˘ a originalul ˆ ıntr-o alt˘ a funct ¸ie F(s) de ar- gument complex s, numit˘ a funct ¸ie imagine. Aceast˘ a transformare este bijectiv˘ a ˆ ın majoritatea cazurilor practice; perechile corespunztoare de f(t) i F(s) sunt grupate ˆ ın tabele de transformate Laplace. Transformata Laplace are o propri- etate foarte util˘ a, ¸ si anume aceea c˘ a multe relat ¸ii i operat ¸ii ce se efectueaz˘ aˆ ın mod curent asupra originalului f(t) corespund unor relat ¸ii ¸ si operat ¸ii mai simplu de efectuat asupra imaginii F(s). Transformata Laplace are multe aplicactii importante ˆ ın matematic˘ a, fizic˘ a, optic˘ a, inginerie electric˘ a, automatic˘ a, prelucrarea semnalelor ¸ si teoria proba- bilit˘ at ¸ilor. ˆ In matematic˘ a, este folosit˘ a la rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale ¸ si integrale. ˆ In fizic˘ a, este folosit˘ a la analiza sistemelor liniare invariante ˆ ın timp cum ar fi circuite electrice, oscilatori armonici, dispozitive optice ¸ si sisteme mecanice. ˆ In aceste analize, transformata Laplace este adesea interpretat˘ a ca o transformare din domeniul timp, i ¸n care intr˘ arile ¸ si ie¸ sirile sunt funct ¸ii de timp, ˆ ın domeniul frecvent ¸˘ a, unde acelea¸ si intr˘ ari ¸ si ie¸ siri sunt funct ¸ii de frecvent ¸a unghiular˘ a complex˘ a, sau radiani pe unitatea de timp. Dat˘ a fiind o descriere matematic˘ a sau funct ¸ionalua simpl˘ a a unei intrıari sau a unei ie¸ airi a unui sis- tem, transformata Laplace ofer˘ a o descriere funct ¸ional˘ a alternativ˘ a care adesea simplific˘ a procesul analizei comportamentului acelui sistem, sau pe cel de sinte- tizare a unui sistem pe baza unui set de specificat ¸ii. Analiza complex˘ a se ocup˘ a ˆ ın special cu funct ¸iile analitice de variabil˘ a complex˘ a. Deoarece p˘ art ¸ile reale ¸ si imaginare ale funct ¸iei analitice trebuie s˘ a satisfac˘ a ecuat ¸ia Laplace, analiza complex˘ a este aplicat˘ a pe larg ˆ ın probleme bidimensionale din fizic˘ a. Transformata Laplace este numit˘ a astfel ˆ ın onoarea matematicianului ¸ si as- tronomului Pierre-Simon Laplace, care a utilizat aceast˘ a transformare ˆ ın lu- crarea sa despre teoria probabilit˘ at ¸ilor. 1
-
Upload
ramona-arsene -
Category
Documents
-
view
212 -
download
0
description
unde electromagnetice
Transcript of Unde electromagnetice
Transformata Laplace
Arsene Ramona-Georgiana
17 Martie 2015
1 Introducere
In ramura matematicii numita analiza functionala, transformata Laplace esteun operator liniar asupra unei functii f(t), numita functie original, de argumentreal t (t 0). Acest operator transforma originalul ıntr-o alta functie F(s) de ar-gument complex s, numita functie imagine. Aceasta transformare este bijectivaın majoritatea cazurilor practice; perechile corespunztoare de f(t) i F(s) suntgrupate ın tabele de transformate Laplace. Transformata Laplace are o propri-etate foarte utila, si anume aceea ca multe relatii i operatii ce se efectueaza ınmod curent asupra originalului f(t) corespund unor relatii si operatii mai simplude efectuat asupra imaginii F(s).
Transformata Laplace are multe aplicactii importante ın matematica, fizica,optica, inginerie electrica, automatica, prelucrarea semnalelor si teoria proba-bilitatilor. In matematica, este folosita la rezolvarea ecuatiilor diferentiale siintegrale. In fizica, este folosita la analiza sistemelor liniare invariante ın timpcum ar fi circuite electrice, oscilatori armonici, dispozitive optice si sistememecanice.In aceste analize, transformata Laplace este adesea interpretata ca otransformare din domeniul timp, in care intrarile si iesirile sunt functii de timp,ın domeniul frecventa, unde aceleasi intrari si iesiri sunt functii de frecventaunghiulara complexa, sau radiani pe unitatea de timp. Data fiind o descrierematematica sau functionalua simpla a unei intrıari sau a unei ieairi a unui sis-tem, transformata Laplace ofera o descriere functionala alternativa care adeseasimplifica procesul analizei comportamentului acelui sistem, sau pe cel de sinte-tizare a unui sistem pe baza unui set de specificatii. Analiza complexa se ocupaın special cu functiile analitice de variabila complexa. Deoarece partile realesi imaginare ale functiei analitice trebuie sa satisfaca ecuatia Laplace, analizacomplexa este aplicata pe larg ın probleme bidimensionale din fizica.
Transformata Laplace este numita astfel ın onoarea matematicianului si as-tronomului Pierre-Simon Laplace, care a utilizat aceasta transformare ın lu-crarea sa despre teoria probabilitatilor.
1
