Transformata Laplace

Arsene Ramona-Georgiana

17 Martie 2015

1 Introducere

In ramura matematicii numita analiza functionala, transformata Laplace esteun operator liniar asupra unei functii f(t), numita functie original, de argumentreal t (t 0). Acest operator transforma originalul ıntr-o alta functie F(s) de ar-gument complex s, numita functie imagine. Aceasta transformare este bijectivaın majoritatea cazurilor practice; perechile corespunztoare de f(t) i F(s) suntgrupate ın tabele de transformate Laplace. Transformata Laplace are o propri-etate foarte utila, si anume aceea ca multe relatii i operatii ce se efectueaza ınmod curent asupra originalului f(t) corespund unor relatii si operatii mai simplude efectuat asupra imaginii F(s).

Transformata Laplace are multe aplicactii importante ın matematica, fizica,optica, inginerie electrica, automatica, prelucrarea semnalelor si teoria proba-bilitatilor. In matematica, este folosita la rezolvarea ecuatiilor diferentiale siintegrale. In fizica, este folosita la analiza sistemelor liniare invariante ın timpcum ar fi circuite electrice, oscilatori armonici, dispozitive optice si sistememecanice.In aceste analize, transformata Laplace este adesea interpretata ca otransformare din domeniul timp, in care intrarile si iesirile sunt functii de timp,ın domeniul frecventa, unde aceleasi intrari si iesiri sunt functii de frecventaunghiulara complexa, sau radiani pe unitatea de timp. Data fiind o descrierematematica sau functionalua simpla a unei intrıari sau a unei ieairi a unui sis-tem, transformata Laplace ofera o descriere functionala alternativa care adeseasimplifica procesul analizei comportamentului acelui sistem, sau pe cel de sinte-tizare a unui sistem pe baza unui set de specificatii. Analiza complexa se ocupaın special cu functiile analitice de variabila complexa. Deoarece partile realesi imaginare ale functiei analitice trebuie sa satisfaca ecuatia Laplace, analizacomplexa este aplicata pe larg ın probleme bidimensionale din fizica.

Transformata Laplace este numita astfel ın onoarea matematicianului si as-tronomului Pierre-Simon Laplace, care a utilizat aceasta transformare ın lu-crarea sa despre teoria probabilitatilor.

1