1

Ultima adiabat

O cantitate dat de gaz ideal parcurge ciclul termodinamic din figur. Determinai randamentul unui motor termic care ar funciona dup ciclul dat. (Admitere U.P.B. 2013) Rezolvare. Vom folosi expresia randamentului:

Unde reprezint suma cldurilor absorbite (convenional pozitive) n decursul transformrii, iar reprezint lucrul mecanic total efectuat de motor, a crui expresie este dat de aria cuprins n interiorul graficului:

12 2 2 12 Pentru transformarea izobar 2 3, energia schimbat sub form de cldur are expresia:

2 0 Pentru transformarea izocor 3 1, energia schimbat sub form de cldur are expresia:

! ! 2 " 0 constituind aadar o parte a cldurii absorbite.

! 32 n decursul transformrii 1 2 sistemul absoarbe cldur pn n starea B corespunztoare tangenei cu cea mai deprtat adiabat faa de centrul sistemului (p, V). (vezi graficul de mai jos) De remarcat faptul ca pe poriunea # $, unde A reprezint starea de temperatur maxim, sistemul primete caldur, dar temperatura lui scade. Acest lucru ar corespunde formal unei clduri molare negative.

Starea B satisface, din punct de vedere matematic dou condiii: 1. Starea B aparine simultan unei transformri liniare % & i unei adiabate ' (, unde ) reprezint exponentul adiabatic al gazului, ) *+*, -./0123./455555555556) *,7*, 8.

1

2

V

p

3

2V0 V0

p0

2p0

1

B

2

A

V

p

# 9%: " 1; TA " TB " T2

Adiabata cea mai deprtat care

mai atinge graficul transformrii

Adiabata cea mai apropiat care

mai atinge graficul transformrii

2p0

p0

2V0 V0

pB

VB

2

n consecin cele dou funcii de volum: ? @! % & @ BC ( 1' D au aceeai valoare n starea B. 2. Starea B este starea n care panta tangentei la graficul adiabatei este egal cu panta graficului transformrii

liniare, altfel spus i derivatele celor dou funcii de volum de mai sus: E F @F! &

@ BCF ( ) 1'1!D

sunt egale. Parametrii a i b se pot exprima n funcie de datele problemei astfel: Strile 1 i 2 satisfac ecuaia transformrii liniare din enun, aadar:

H2 = % & = % & 2 D rezolvnd acest sistem de ecuaii obinem pentru % i & expresiile:

E% = 3& = D Pentru comoditatea calculelor vom pstra a i b ca atare, urmnd a le introduce atunci cand devine convenabil. nlocuind condiiile 1 i 2 pentru = I obinem:

?% & I = ( I1'& = ( ) I1'1! D J% & I = ( I1'& = ( ) I1'I

D J% & I = ( I1'& I) = ( I1' % & I =& I) D

Volumul strii B va avea expresia:

I = )) + 1 %& =5383

3-- =158

Presiunea strii B va avea expresia:

I = % &I = 3 158 = 98 Cldura absorbit pe transformarea 1 $ poate fi aflat din ecuaia primului principiu: !I = P!I + !I Unde

P!I = I ! = 32 II 2 = 32 13564 2 = 21128 Iar lucrul mecanic, din aria graficului transformrii 1 $:

!I = 12 2 + II = 12 2 + 98158 1 = 175128 Aadar cldura absorbit pe transformarea 1 $ are expresia: !I = 196128 Cldura total absorbit de gaz pe durata unui ciclu are expresia: = ! + !I = 32 + 196128 = 9732 Randamentul are expresia:

= =129732 =

1697