Matematici Speciale - Curs Master SICPI UTCB / Facultatea de Geodezie / 2012-2013

1

ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE SFERICĂ Probleme propuse

1. Rezolvaţi aplicaţiile practice prezentate la cursul „Elemente de Trigonometrie

Sferică” folosind programele de calcul MathSoft MathCad sau Microsoft Office

Excel.

2. Într-un triunghi sferic dreptunghic ABC 90C se cunosc următoarele

elementele:

a) 45 , 60A c

b) 60 , 60A B

c) 30 , 60a b

d) 60 , 30a B

e) 60 , 45A B

f) 45 , 60a c .

Se cere să se calculeze celelalte componente ale triunghiului sferic.

3. Să se calculeze componentele unui triunghi sferic echilateral ABC pentru

care se cunoaşte:

a) 60a

b) 120A .

4. Să se arate că dacă într-un triunghi sferic ABC avem 3cos

5a ,

5cos

13b şi 60C , atunci triunghiul este isoscel.

Mariana Zamfir / Elemente de Trigonometrie Sferică - Probleme Propuse

2

5. Să se calculeze excesul sferic al unui triunghi sferic rectilater şi isoscel, care

are două laturi egale cu 60 .

Indicaţie: Excesul sferic ale triunghiul sferic ABC: 180A B C (exprimat

in grade); un triunghi sferic rectilater are o latură de 90 .

6. Să se arate că într-un triunghi sferic echilateral ABC au loc relaţiile:

i) 2tg 1 2cos2

aA

ii) 2ctg 1 2cos2

Aa

.

7. Să se arate că într-un triunghi sferic dreptunghic ABC 90A au loc

relaţiile:

a) 2 2 2 2 2sin sin cos cos sin2 2 2 2 2

a b c b c

b) 2tg tg tg2 2 2

a c a c b

c) 2sin tg sin2

Ca b a b

d) sin sin cos tg2

Ba c b c

e) sin tg cos tg .2

Ba c b a

8. Dacă într-un triunghi sferic ABC avem b c , arătaţi că:

sin 2 sin 2 0B C .

9. Într-un triunghi sferic ABC arătaţi că are loc relaţia:

sin sin cos cos cos sin sin cos cos cosb c b c A B C B C a .

10. Dacă D este un punct oarecare pe latura BC a unui triunghi sferic ABC ,

atunci:

Matematici Speciale - Curs Master SICPI UTCB / Facultatea de Geodezie / 2012-2013

3

cos sin cos sin cos sinAD BC AB DC AC BD .

11. Dacă într-un triunghi sferic ABC se cunosc măsurile unghiurilor 5

A

,

3B

şi

2C

, atunci

2a b c

.

12. Într-un triunghi sferic ABC , dacă 2

C

şi D este mijlocul arcului (laturii)

AB , atunci:

2 2 2 24cos sin sin sin2

cCD a b

.

13. Într-un triunghi sferic ABC , dacă 2A B C , atunci:

i) 2 38sin sin cos sin2 2 2

c c ca a

ii) 2 2 38sin sin cos sin2 2 2

C c ca

.

14. Să se determine distanţa dintre următoarele oraşe:

i) Londra (Marea Britanie) şi Bagdad (Irak), dacă se ştie că Londra are

Latitudine 51,30 N , Longitudine 0,10 V şi Bagdad are Latitudine 33,20 N ,

Longitudine 44,26 E

ii) Amsterdam (Olanda) şi Bucureşti (România), dacă se ştie că Amsterdam

are Latitudine 55,22 N , Longitudine 4,53 E şi Bucureşti are Latitudine

44,27 N , Longitudine 26,10 E

iii) Madrid (Spania) şi Rio de Janeiro (Brazilia), dacă se ştie că Madrid are

Latitudine 40,26 N , Longitudine 3,42 V şi Rio de Janeiro are Latitudine

22,57 S , Longitudine 43,12 V

iv) Dublin (Irlanda) şi Melbourne (Australia), dacă se ştie că Dublin are

Latitudine 53,20 N , Longitudine 6,15 W şi Melbourne are Latitudine

37,47 S , Longitudine 144,58 E .

Mariana Zamfir / Elemente de Trigonometrie Sferică - Probleme Propuse

4

Răspuns: i) 4089Km ; ii) 1960Km ; iii) 8114Km ; iv) 17188Km .

15. Să se rezolve un triunghi sferic dreptunghic ABC pentru care se cunosc:

a) 37 48'12 '', 59 44 '16 '', 90a b C ( . . .LU L )

b) 23 30', 90 , 52 01'a B c ( . . .LU L )

c) 113 23', 112 3', 90B a C ( . . .U LU )

d) 55 32 '45'', 90 , 98 14 '24 ''A C c ( . . .U U L )

e) 42 18'45'', 46 15'25'', 90a A C ( . . .UU L )

f) 31 48', 90 , 66 00'B C c ( . . .U U L )

g) 60 40', 80 32', 90a c C ( . . .L LU )

h) 92 00', 51 55', 90b c B ( . . .L LU )

i) 73 05', 90 , 79 12'A B C ( . . .UUU )

j) 64 , 90 , 90A B C ( . . .UUU ).

16. Să se rezolve un triunghi sferic rectilater ABC pentru care se cunosc:

a) 90 , 69 47 ', 52 11'a B b ( . . .LU L )

b) 73 12', 85 18', 90b C c ( . . .L LU )

c) 69 09', 117 11', 90a C c ( . . .L LU )

d) 90 , 119 07 ', 81 50'b A C ( . . .U LU )

e) 64 36 ', 76 47 ', 90A B b ( . . .U U L )

f) 73 05', 90 , 79 12'a b c ( . . .L L L )

g) 90 , 90 , 64a b c ( . . .L L L ).

17. Să se rezolve un triunghi sferic oblic ABC pentru care se cunosc:

a) 70 14'20 '', 49 24'10 '', 38 46'10''a b c ( . . .L L L )

b) 87 10', 63 37 ', 100 10'a b c ( . . .L L L )

Matematici Speciale - Curs Master SICPI UTCB / Facultatea de Geodezie / 2012-2013

5

c) 66 41', 104 10', 54 56'a b c ( . . .L L L )

d) 57 09', 83 12', 71 08'a b c ( . . .L L L )

e) 68 20'25'', 52 18'15'', 117 12'20 ''a b C ( . . .LU L )

f) 100 35', 102 48', 94 34 'A b c ( . . .LU L )

g) 64 18', 85 47 ', 93 36 'a b C ( . . .LU L )

h) 85 30', 99 58', 49 34'A b c ( . . .LU L )

i) 50 45'20 '', 69 12'40 '', 44 22'10 ''a b A ( . . .L LU )

j) 63 37', 100 10', 87 10'A B C ( . . .U U U )

k) 104 10', 66 41', 54 56'A B C ( . . .UUU )

l) 57 09', 71 08', 83 12'A B C ( . . .U U U ).

Tema 1 constă în rezolvarea următoarelor aplicaţii:

Problema 1 (rezolvarea la alegere a 2 aplicaţii cu MathCad sau

Excel); Problema 2 (un subpunct la alegere); Problema 7 (un subpunct la

alegere); Problemele 8 sau 9; Problemele 11 sau 12; Problema 14 (un

subpunct la alegere).

Termenul limită pentru predarea temei este 7 Noiembrie 2012.