Transformata Laplace

Definiţie. Se numeşte funcţie original, o funcţie , care satisface condiţiile:

-- f este derivabilă pe porţiuni.

- există , astfel încât

se numeşte indicele de creştere al funcţiei f.

Observaţie. Funcţia treaptă unitate, definită prin

este funcţie original cu indicele de creştere

Se notează cu spaţiul liniar al funcţiilor original.

Definiţie. Operatorul , unde , definit prin

, se numeşte operatorul lui

Laplace, iar se numeşte transformata Laplace a funcţiei

Reguli de calcul cu Transformata Laplace

Fie cu indicele de creştere şi .

1. , teorema întârzierii.

2. , teorema deplasării.

3. , teorema de derivare a originalului.

4. , teorema de derivare a imaginii.

5. , teorema de integrare a originalului.6. Produsul de convoluţie

Fie funcţiile . Se numeşte produsul de convoluţie al funcţiilor f şi g , funcţia

, unde şi

7. Teoreme de dezvoltare

a) Dacă şi este o funcţie raţională, în care gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, iar numitorul

are numai rădăcini simple, acestea fiind , atunci funcţia

original corespunzătoare este

b) Dacă şi , atunci funcţia original

corespunzătoare este Proprietăţi

1.

2.