Topo-Onose.doc

7/30/2019 Topo-Onose.doc

http://slidepdf.com/reader/full/topo-onosedoc 1/174

Topografie

Cuprins1. UTILIZAREA HĂRŢILOR ŞI PLANURILOR TOPOGRAFICE...............................................................3

1.1. ELEMENTELE TOPOGRAFICE ALE TERENULUI.................................................................................................31.2. HĂRŢI ŞI PLANURI..........................................................................................................................................91.3. CLASIFICAREA HĂRŢILOR ŞI PLANURILOR ...................................................................................................121.4. CITIREA HĂRŢILOR ŞI PLANURILOR ..............................................................................................................121.5. PROBLEME CE POT FI REZOLVATE PE HĂRŢI ŞI PE PLANURI ........................................................................14

1.5.1. Determinarea unor elemente de planimetrie......................................................................................141.5.2. Determinarea unor elemente de altimetrie.........................................................................................17 1.5.3. Exemple...............................................................................................................................................21

2. REŢELE DE SPRIJIN......................................................................................................................................25

2.1. R EŢELE DE TRIANGULAŢIE LOCALĂ.............................................................................................................25

2.1.1. Operaţii preliminare...........................................................................................................................252.1.2. Operaţii de teren.................................................................................................................................312.1.3. Operaţii de calcul (Compensarea măsurătorilor)..............................................................................32

3. ÎNDESIREA REŢELELOR DE TRIANGULAŢIE......................................................................................34

3.1. PRINCIPIILE INTERSECŢIILOR ........................................................................................................................343.2. I NTERSECŢIA ÎNAINTE..................................................................................................................................36

3.2.1. Procedeul analitic...............................................................................................................................37 3.2.2. Procedeul trigonometric.....................................................................................................................38

3.3. I NTERSECŢIA ÎNAPOI....................................................................................................................................533.3.1. Procedeul Delambre...........................................................................................................................533.3.2. Procedeul Kästner...............................................................................................................................623.3.3. Procedeul Collins ...............................................................................................................................64

3.3.4. Procedeul Hansen...............................................................................................................................653.3.5. Procedeul Cassini - Martinian............................................................................................................713.3.6. Rezolvarea Marek...............................................................................................................................77 3.3.7. Procedeul intersecţiei generalizate înapoi..........................................................................................78

3.4. I NTERSECŢIA LATERALĂ..............................................................................................................................803.5. I NTERSECŢIA LINIARĂ..................................................................................................................................823.6. CÂTEVA ASPECTE PRIVIND PRECIZIA INTERIOARĂ ŞI EXTERIOARĂ ÎN REŢELELE DE SPRIJIN.......................83

4. TRANSMITEREA LA SOL A PUNCTELOR DE TRIANGULAŢIE ŞI ÎNDESIRE...............................88

4.1. CAZUL CÂND PUNCTUAL TRANSMIS LA SOL ESTE STAŢIONABIL..................................................................884.1.1. Exemplu...............................................................................................................................................90

4.2. CAZUL CÂND PUNCTUL TRANSMIS LA SOL ESTE NESTAŢIONABIL................................................................934.2.1. Exemplu...............................................................................................................................................95

5. TRANSCALCULAREA COORDONATELOR............................................................................................98

5.1. TRANSCALCULAREA GEOMETRICĂ...............................................................................................................985.1.1. Exemplu...............................................................................................................................................99

5.2. TRANSCALCULAREA TOPOGRAFICĂ...........................................................................................................1015.2.1. Exemplu.............................................................................................................................................104

5.3. TRANSCALCULAREA DIN SISTEM TOPOGRAFIC ÎN SISTEM GEODEZIC PRIN UTILIZAREA TEORIEI CELOR MAI MICI PĂTRATE....................................................................................................................................................106

5.3.1. Exemplu.............................................................................................................................................109

6. REŢELE DE RIDICARE.............................................................................................................................. .115

6.1. R EŢELE DE RIDICARE PLANIMETRICĂ.........................................................................................................1156.1.1. Generalităţi.......................................................................................................................................1156.1.2. Drumuiri planimetrice.......................................................................................................................121

- C.1 -



Topografie

6.1.3. Ridicarea planimetrică a detaliilor topografice...............................................................................1556.1.4. Găsirea greşelilor la o drumuire planimetrică.................................................................................158

6.2. 6.2 R EŢELE DE RIDICARE ALTIMETRICĂ.....................................................................................................1606.2.1. Drumuirea de nivelment geometric sprijinită la capete....................................................................1606.2.2. Drumuirea cu punct nodal................................................................................................................164

6.2.3. Drumuirea de nivelment trigonometric sprijinită la capete pe puncte de cote cunoscute................1727. BIBLIOGRAFIE.............................................................................................................................................174

- C.2 -



Topografie

1.1. Utilizarea hărţilor şi planurilor topograficeUtilizarea hărţilor şi planurilor topografice

1.1. Elementele topografice ale terenului Definiţii

a) PUNCTE TOPOGRAFICE : Sunt puncte din teren, materializate sau nu,care caracterizează poziţia şi forma detaliilor topografice (obiectenaturale sau artificiale din teren), sau concură la determinarea poziţiei

altor puncte topografice.b) GEOMETRIZAREA LINIILOR ŞI SUPRAFEŢELOR DIN TEREN: Esteoperaţia de selectare judicioasă a unui număr minim de puncte topograficecare să aproximeze cu suficientă fidelitate liniile în cea mai mare parte

sinuoase din teren, atât în plan orizontal cât si în plan vertical, cu o linie poligonală, respectiv suprafeţele ondulate ale terenului cu o suprafaţă poliedrică (figura 1.1).

616

20

f>0.2mm

19

21

7 9

8

22

18

f<0.2mm

2

1 17

34

5

15

10 11

14

13 12

Figura 1.1 – Geometrizarea liniilor în plan orizontal.Geometrizare corectă pentru punctele 1-15; necorespunzătoare pentru punctele 16-22

Densitatea punctelor de detaliu este cu atât mai mare cu cât scara planului, accidentaţia şi sinuozitatea terenului sunt mai mari. Condiţiacare se impune este ca abaterea maximă f a liniei poligonale de la linia dinteren să fie mai mică de 0,2 mm la scara planului.

În plan vertical, pentru redarea reliefului, în funcţie şi de accidentaţia- C.3 -



Topografie

terenului, se aleg puncte la cel mult 3 - 4 cm la scara planului.

c) ALINIAMENT: Este urma intersecţiei suprafeţei terenului cu un planvertical ce trece prin două puncte topografice A şi B. Dacă punctele A şi B

sunt apropiate (prin geometrizare în plan vertical), aliniamentul se poateaproxima cu dreapta ce uneşte aceste două puncte.

d) DISTANŢA ÎNCLINATĂ: Este lungimea dreptei din spaţiu care uneştedouă puncte topografice A şi B; AB L

AB =

e) PROFIL TOPOGRAFIC: Este reprezentarea grafică în plan a liniei deintersecţie între suprafaţa terenului şi o suprafaţă verticală ce trece prindouă sau mai multe puncte date. Se poate obţine din măsurători în teren

sau de pe plan.

f) SUPRAFAŢA DE NIVEL: Este o suprafaţă normală în orice punct al ei la

direcţia gravităţii. Suprafaţa de nivel zero este aproximativ suprafaţa deechilibru a mărilor şi oceanelor; se foloseşte ca suprafaţă de referinţă aaltitudinilor (cotelor) în nivelment (figura 1.2).

a punctului

Suprafata denivel

B

nivel zeroSuprafata de

a punctuluiSuprafata denivel

A

Figura 1.2 – Elemente topografice în plan vertical În topografie, pe întinderi limitate, suprafeţele de nivel pot fi considerate plane paralele orizontale; pe suprafeţe mai mari se vor aproxima cu suprafete sferice concentrice.

g) ALTITUDINE (COTA): Este distanţa verticală între suprafaţa de referinţă şi suprafaţa de nivel a punctului considerat (figura 1.2).

B B H

A A H

O B

O A

=

=

h) DIFERENŢA DE NIVEL: Este distanţa verticală între suprafeţele de nivel - C.4 -



Topografie

a două puncte A şi B (figura 1.2): A B AB H H B B H −=′=∆

Poate fi pozitivă sau negativă, în funcţie de altitudinea punctelor si sensul considerat. Dacă

0H-HH 0

BABA <=∆>−=∆⇒> A B AB A B H H H H H

Cu ∆ H se notează de regulă diferenţa de nivel determinată din valorilecotelor; diferenţele de nivel măsurate se notează δ H.

i) UNGHI VERTICAL: Este unghiul care măsoară înclinarea dreptei ce trece prin punctele A şi B faţă de orizontală ( α AB – unghiul de pantă) sau faţă deverticală (z AB – unghiul zenital) (figura 1.2) .

Diferă ca mărime sau semn în funcţie de sensul considerat:

AB

G

BA

AB BA

z z −=−=200α α

Relaţia între cele două tipuri de unghiuri este:G

BA BA AB AB z z 100=+=+ α α

j) DISTANŢA ORIZONTALĂ: Este lungimea proiecţiei ortogonale a dreptei AB din spaţiu pe un plan orizontal (figura 1.2): B A B A D OO AB

′==

Se poate măsura direct sau determina prin calcul dacă se cunosc (prinmăsurare) lungimea înclinată şi unghiul vertical sau lungimea înclinată şidiferenţa de nivel:

22

AB AB AB

AB AB AB AB AB

H L D

z L L D

δ

α

−=

∗=∗= sincos

k) PANTA TERENULUI: Este înclinarea dreptei ce uneşte două puncte A şi B faţă de orizontală, exprimată prin raportul între diferenţa de nivel şidistanţa orizontală a celor două puncte.

AB

AB AB

D

H

B A

B B p

∆=

′′

=

De regulă, panta se mai exprimă în procente şi la mie:

AB AB

AB AB

p p

p p

∗=°∗=°

1000

100

/

/

De fapt, panta este tangenta trigonometrică a unghiului vertical α :

AB

AB

AB

AB tg D

H p α =

∆=

l) UNGHI ORIZONTAL: Este unghiul format de proiecţiile ortogonale a douădrepte din teren SA şi SB într-un plan orizontal; aşadar unghiul diedru al

planelor verticale ce trec prin SA şi SB (figura 1.3).

Directiile sunt tot unghiuri orizontale care au toate o aceeaşi origine.- C.5 -



Topografie

Unghiurile orizontale se pot exprima ca diferenţe a câte două direcţii: A B AB β β ω −=

Plan orizontal

Figura 1.3 – Unghi orizontal. Direcţie.

m) ORIENTARE : Pentru două puncte A şi B orientarea laturii este unghiul orizontal format între acea axă a sistemului de coordonate care are

direcţia spre nord şi latura AB, măsurat în sens topografic (orar) (figura1.4).

Pe suprafeţe limitate ca întindere, direcţiile nord ale diverselor puncte sunt practic paralele între ele, unghiul de convergenţă al meridianelor putând fineglijat.Unghiul orizontal θ BA se numeşte orientarea inversă a direcţiei AB şi:

G

AB BA 200+= θ θ

Punctele A şi B din figură sunt de fapt proiecţiile într-un plan orizontal ale punctelor respective din spaţiu.

n) COORDONATE RECTANGULARE : Individualizează poziţia în plan or-izontal a punctelor topografice prin abscisa Y şi ordonata X a proiecţiei

punctelor în planul de referinţă. Orientarea axei OX din suprafaţa dereferinţă este de regulă direcţia nord.

- C.6 -



Topografie

A

B

Figura 1.4 – Orientare directă. Orientare inversă.

B2

A B

X

Y

A

A A2

B1

A1

1

A0

A

ABDAB

D

B0

2

A B L

B

AB

AB

AB

B'AB

Figura 1.5 – Coordonate rectangulare. Coordonate relative.Coordonatele rectangulare X A şi Y A se mai numesc şi coordonate absolute

plane.

201

102

OA A AY

OA A A X

A

A

==

==

o) COORDONATE RELATIVE : Sunt lungimile proiecţiilor pe axele Ox şi Oya distanţei orizontale între două puncte.

2ABAY

1ABAX

O22AB

O11AB

==∆

==∆

- C.7 -



Topografie

Se pot calcula din elemente măsurate, când se notează δ X, δ Y, sau dincoordonate absolute şi se notează ∆ X, ∆Y:

A B AB

AB AB AB

X X X

D X

−=∆

∗= θ δ cos

A B AB

AB AB AB

Y Y Y

DY

−=∆

∗= θ δ sin

Cu ajutorul coordonatelor relative se pot calcula coordonatelerectangulare ale unui punct dacă se cunosc coordonatele altui punct:

AB AB A AB A B

AB AB A AB A B

DY Y Y Y

D X X X X

θ δ

θ δ

sin

cos

∗+=+=∗+=+=

p) COORDONATE POLARE : Sunt o distanţă orizontală DSP numită raza pola-ră şi un unghi orizontal ω P numit unghiul polar care definesc poziţia unui

punct P faţă de un alt punct S şi o direcţie de referinţă (SA) date (figura1.6).

SA

P

S P D

S

P

A

Figura 1.6 – Coordonate polare

Cunoscând orientarea de referinţă θ SA şi coordonatele rectangulare ale punctului S, se pot calcula coordonatele absolute ale lui P:

SP SP S P

SP SP S P

P SASP

DY Y

D X X

θ

θ

ω θ θ

sin

cos

∗+=∗+=

+=

q) COORDONATE ECHERICE : Sunt coordonate rectangulare într-un sistemlocal în care axa absciselor este materializată în teren (de regulă este olatură de drumuire). Elementele care individualizează poziţia punctelor semăsoară direct în valoare orizontală, ordonata fiind lungimea

perpendicularei, iar abscisa distanţa de la un capăt al axei până la piciorul perpendicularei.

Dacă este necesar, coordonatele rectangulare ale punctelor echerice se

vor calcula cu relaţiile:- C.8 -



Topografie

)cos(

cosG

iii

ii

x X X

y X X

100202201

202201201

−∗+′=

∗+=′

−

−

θ

θ

)sin(

sinG

iii

ii

xY Y

yY Y

100202201

202201201

−∗+′=

∗+=′

−

−

θ

θ

1

x

3 y 2 y 1 y

x

x

2

3

203

202

201

Figura 1.7 – Coordonate echerice

1.2. Hărţi şi planuri Definiţii

a) PLANUL TOPOGRAFIC : Este o reprezentare grafică convenţională a unor porţiuni restrânse ale suprafeţei topografice, proiectate pe un planorizontal, micşorată la o anumită scară şi care prin detaliile pe care leconţine redă în mod fidel suprafaţa topografică respectivă. La întocmirea

planurilor nu se ţine cont de curbura pământului.

b) HARTA: Este o reprezentare grafică convenţională, micşorată la o anumită scară, în care este reprezentată întreaga suprafaţă a Pământului saunumai porţiuni din ea şi în construcţia căreia se ţine seama de curbura

pământului.

SCARA HĂRŢILOR ŞI PLANURILORc) SCARA NUMERICĂ : Scara numerică a unui plan sau a unei hărţi esteraportul constant dintre distanţa „d” de pe plan sau hartă şi omoloaga eidin teren, „D”, ambele fiind exprimate în aceleaşi unităţi de măsură.

Forma de exprimare a scării numerice este 1/n sau 1:n. Formula scării numerice este:

T

P

n D

d Sc ===

1

Cu această formulă se pot rezolva următoarele probleme:1.

se dă distanţa „d” de pe plan şi scara 1:n a planului, şi se cere „D”,- C.9 -



Topografie

distanţa corespunzătoare din teren nd D ∗=Se foloseşte în lucrările pe hărţi şi planuri, la extragerea unor elementedin conţinutul acestora.

2. se dă distanţa „D” din teren şi scara 1:n a planului şi se cere distanţa„d” de pe plan

n

Dd =

3. se dă distanţa „d” de pe plan şi „D”, omoloaga sa din teren şi se cere scara numerică 1:n

d

Dn =

Se foloseşte în cazul în care se vrea să determinăm scara la care s-aexecutat o reprezentare grafică.

Pe hărţi şi planuri, distanţa „d” se măsoară de regulă în milimetri, iar distanţa corespunzătoare din teren, „D”, se exprimă în metri.

Regula n/1000

La scara 1:n,m

nmm

10001 =

,

de exemplu, la scara 1:25000,mmm 25

1000

250001 ==

.

D = 1123 mBaza = 1 cm

AB

Figura 1.8 – Scara grafică liniară (simplă)

d) SCARA GRAFICĂ : Fiecărei scări numerice îi corespunde o scară grafică,

ce constituie o reprezentare grafică a scării numerice. După felul deconstruire a scării grafice, se deosebesc:

1. scara grafică simplă sau liniară2. scara grafică transversală sau compusă

Scara grafică simplă (figura 1.8) asigură o precizie de 1/10 din bază. Mod de utilizare: se ia în compas distanţa de pe hartă, între două puncte A şi B şi se aşează pe scara grafică, astfel încât un vârf al compasului săcorespundă cu un număr întreg de baze, iar celălalt vârf să cadă îninteriorul talonului. Distanţa este egală cu numărul întreg de baze la care

se adaugă partea fracţionară citită pe talon.- C.10 -



Topografie

Scara grafică transversală (figura 1.9) asigură o precizie de 1/100 dinbază, deoarece talonul este împărţit în 10 unităţi pe orizontală şi în zece

părţi egale pe verticală, astfel că o unitate de pe orizontală reprezintă 1/10

din bază, iar o unitate pe verticală reprezintă 1/10 dintr-o unitate peorizontală.

D = 1123 mBaza = 2 cm

AB

20

100

8

200

4

2

0

6

18

14

12

10

16

0 200 400 1200600 800 1000 1400

Figura 1.9 – Scara grafică transversală (compusă)

Mod de utilizare: se ia în compas distanţa de pe hartă, între două puncte A şi B şi se aşază pe scara grafică, astfel încât un vârf al compasului săcorespundă cu o diviziune întreagă din bază , iar celălalt vârf să cadă îninteriorul talonului scării transversale. Se deplasează compasul astfel caun vârf să rămână tot timpul pe o valoare întreagă din bază, iar celălalt să

fie în talon, până când vârful din talon atinge o intersecţie a două linii cemarchează diviziunile lui. Mişcarea compasului se face astfel încât vârfurile lui să fie tot timpul pe aceeaşi linie orizontală.Distanţa este egalăcu numărul întreg de baze la care se adaugă partea fracţionară citită pe

talon.Scările grafice se folosesc atât pentru determinarea distanţei de pe hărţi şi planuri, cât şi în transpunerea unor distanţe măsurate pe plan sau hartă.

e) PRECIZIA GRAFICĂ A SCĂRII : Când se măsoară o distanţă pe plan sauhartă, sau când se raportează un punct sau o distanţă pe plan sau hartă secomit erori din cauza ochiului omenesc, care fără mijloace optice nu poateasigura o precizie mai mare de 0,1 - 0,2 mm. Se consideră că eroareamedie de citire sau raportare a unei distanţe pe plan sau hartă este de 0,2

– 0,3 mm. Această eroare, la transpunerea sau extragerea anumitor

elemente liniare de pe plan sau hartă, duce la denaturarea lungimilor - C.11 -



Topografie

reale din teren, care este cu atât mai mare cu cât scara planului sau hărţiieste mai mică.

Precizia grafică reprezintă deci valoarea corespondentă din teren a valorii

erorii de raportare sau citire de pe plan. Se exprimă prin relaţia:

1,ne P

n P

e g

g

∗=⇒=

unde: e= eroarea grafică; Pg = precizia grafică; N = numitorul scării Precizia grafică este un parametru care permite stabilirea scării la caretrebuie întocmit un plan, în funcţie de mărimea detaliilor care trebuiereprezentate.

1.3. Clasificarea hărţilor şi planurilor

În funcţie de scară şi conţinut, planurile şi hărţile se pot clasifica astfel:PLANURI TOPOGRAFICE Planul topografic de bază al ţării , reprezentat prin planurile topografice la

scările 1:2000, 1:5000 şi 1:10000, tipărit în trei culori şi realizat într-unsingur sistem de proiecţie;

Planul topografic special , care este întocmit pentru anumite scopurieconomice. Scara sa poate varia de la 1:100 până la 1:1000, conţinutul luifiind foarte variat, în funcţie de scopul pentru care se întocmeşte.

HĂRŢI – toate reprezentările grafice întocmite la scara 1:25000 şi maimici

Hărţi topografice la scări mari – 1:25000 până la 1:100000 servesc pentrustudii de detaliu şi o serie de măsurători şi calcule. Scara lor esteconsiderată constantă pentru fiecare foaie de hartă.

Hărţi topografice de ansamblu – sunt hărţi la scări medii 1:200000 pânăla 1:1000000. Datorită gradului mare de generalizare şi a variaţiei scăriiele servesc pentru studii generale şi nu sunt folosite pentru măsurători şicalcule.

Hărţi geografice – sunt hărţi la scări mici peste 1:1000000 şi servesc pentru studierea generală a unei ţări sau zone geografice.

1.4. Citirea hărţilor şi planurilor Definiţii

a) CAROIAJUL GEOGRAFIC : Fiecare foaie de hartă sau plan este mărginităde meridiane şi paralele, care formează caroiajul geografic al secţiuniirespective. În colţurile caroiajului geografic ce mărgineşte o secţiune dehartă sau plan sunt trecute valorile coordonatelor geografice ϕ şi λ , carereprezintă valoarea paralelelor începând de la Ecuator, respectiv valoarea

- C.12 -



Topografie

meridianelor începând de la meridianul de origine Greenwich caredelimitează foaia de hartă.

Intervalele dintre meridianele şi paralelele care delimitează foaia de hartă

sunt împărţite pe verticală în minute de latitudine şi pe orizontală înminute de longitudine. Baza pentru cadrulgeografic este o linie de 0,1 mm grosime, care se îngroaşă spre exterior până la 0,5 mm pentru minuteleimpare.

b) CAROIAJUL RECTANGULAR: Caroiajul rectangular este format dindrepte trasate paralel la axele de coordonate rectangulare plane ale

sistemului de coordonate adoptat. Aceste paralele formează o reţea de pătrate cu latura de 1 km sau un număr rotund de kilometri, denumită şireţeaua kilometrică. Pe planurile cu scara mai mare de 1:10000 această

reţea de pătrate se trasează cu laturile de 10 cm la scara planului. Pe un plan sau hartă, liniile caroiajului rectangular nu sunt paralele culiniile caroiajului geografic.

c) SEMNE CONVENŢIONALE : Semnele convenţionale sunt semne grafice, simple, generalizate, alese astfel încât să sugereze imaginea detaliului dinteren. Se pot clasifica astfel:

semne convenţionale pentru planimetrie, care pot fi: Semne convenţionale de scară – se folosesc pentru reprezentarea pe hărţi

sau planuri a unor detalii importante din teren, dar care datorită

dimensiunii lor reduse nu pot fi reprezentate la scara respectivă. Acestesemne indică precis poziţia detaliului pe care îl reprezintă prin centrul lor sau al axei lor de simetrie. (De exemplu, reprezentarea punctelor geodezice, a căilor ferate, a stâlpilor, fântânilor, etc.)

Semne convenţionale de contur – se folosesc pentru reprezentarea pehărţi sau planuri a detaliilor ce pot fi desenate la scara hărţii (păduri,mlaştini, lacuri, grădini, etc.). Ele nu redau poziţia reală a unui anumitdetaliu din interiorul conturului.

Semne convenţionale explicative – sunt notările convenţionale care se

folosesc pentru a da o caracteristică cât mai deplină detaliilor topografice.Se folosesc totdeauna combinat cu celelalte două categorii de semne

pentru planimetrie (inscripţiile de pe un pod, în interiorul conturului unei păduri, la căminele reţelelor edilitare, etc.).

semne convenţionale pentru relief (altimetrie). Relieful, ca un element principal din conţinutul hărţilor şi al planurilor se reprezintă de asemeneaconvenţional. Se reprezintă în general prin: Curbe de nivel – reprezintă poziţia în plan a liniilor care unesc puncte de

aceeaşi cotă de pe suprafaţa topografică. Se împart în următoarele

categorii:- C.13 -



Topografie

Curbe de nivel normale – se trasează la echidistanţa normală „E”, aleasăîn funcţie de scara hărţii sau a planului şi în funcţie de accidentaţiaterenului. Se reprezintă printr-o linie subţire şi continuă;

Curbe de nivel principale – sunt curbe de nivel normale îngroşate care setrasează la cote rotunde. Pe ele se fac inscripţiile care indică valoareacurbei de nivel;

Curbe de nivel ajutătoare – se trasează prin linii întrerupte la echidistanţaE/2, între curbele normale;

Curbe de nivel accidentale – se trasează cu linie punctată la echidistanţaE/4, între curbele normale.

Ultimele două categorii de curbe de nivel se folosesc la reprezentareareliefului, în teren plan, cu variaţii altimetrice reduse ale suprafeţeitopografice.Haşuri – se folosesc la reprezentarea terenurilor accidentate, cu panta

peste 35°, care nu pot fi reprezentate prin curbe de nivel. Aceste zone auindicat conturul, cotele lor la creastă şi la bază, iar în interiorul conturuluiapar haşuri care sunt linii trasate pe direcţia de cea mai mare pantă, care

prin lungime, densitate şi grosime indică gradul de accidentaţie alterenului. (Exemple: râpa, viroaga, ravena, movila, groapa, mal abrupt).Semnele convenţionale pentru planimetrie şi relief sunt cuprinse în

atlasele de semne convenţionale pentru diverse scări, ele fiind în general identiceca formă pentru diferite scări, deosebindu-se numai prin dimensiuni.

1.5. Probleme ce pot fi rezolvate pe hărţi şi pe planuri

1.5.1. Determinarea unor elemente de planimetrie1.5.1.a. Determinarea coordonatelor geografice

Coordonatele geografice ale punctelor se determină pe hartă folosindcaroiajul geografic al foii de hartă.

- Se duc din punctul respectiv paralele la cadrul geografic până ce acestea

intersectează linia cadrului.- Se stabileşte valoarea minutului de latitudine şi longitudine unde paralelele au intersectat cadrul geografic, în funcţie de valorile arcelor de paralel şi de meridian care delimitează foaia de hartă, înscrise în coltul deS –V al hărţii.

- Prin interpolare liniară se calculează secundele care trebuie adăugate lavalorile mai sus stabilite.

1.5.1.b. Determinarea coordonatelor rectangulareCoordonatele rectangulare ale punctelor se determină pe hartă folosind

caroiajul rectangular al foii de hartă.- C.14 -



Topografie

- Se determină coordonatele rectangulare X,Y ale unui colţ de pătrat undese află punctul respectiv, folosind valorile înscrise în km pe cadrul hărţii.

- Se coboară perpendiculare pe laturile alăturate colţului căruia i-au fost

determinate coordonatele.- Se citesc în milimetri distanţele de la colţul determinat până la piciorul perpendicularelor şi se transformă folosind scara numerică a hărţii. Seobţin astfel creşterile de coordonate ale punctului faţă de colţul cunoscut.

- Se calculează coordonatele punctului prin adunarea sau scăderea, înfuncţie de sensul de creştere al coordonatelor, a creşterilor de coordonatecalculate.

Datorită unor condiţii atmosferice (umiditate şi temperatură), hârtia pecare sunt întocmite hărţile şi planurile suferă deformaţii (contracţii sau dilatări).Pentru determinarea cât mai exactă a unei mărimi de pe hartă (în speciallungimi), se recomandă folosirea unui coeficient care să anuleze diferenţa.

Acest coeficient se poate determina folosind caroiajul rectangular alhărţii. Cunoscându-se dimensiunea teoretică la care a fost trasat caroiajulrectangular, se poate verifica prin măsurarea pe hartă dacă acest caroiaj

corespunde sau nu şi se poate calcula un coeficient k după relaţia:reala

teoretica

l

l k =

Întrucât deformaţia hârtiei este neuniformă pe anumite direcţii se vor calcula coeficienţi de deformaţie atât pe direcţia axei X, cât şi pe direcţia axei Y.De asemenea, deformaţia hârtiei are valori diferite în anumite porţiuni ale foii de

hartă. Din acest motiv se va stabili deformaţia hârtiei în zona hărţii în care selucrează.1.5.1.c. Determinarea distanţei

Distanţa se poate determina:

- folosind scara numerică a hărţii [ ] [ ]1000

nmmd m D AB ∗= ;

- folosind scara grafică a hărţii (simplă şi transversală);- din coordonate: ( ) ( ) 22

A B A B AB Y Y X X D −+−= .Precizia grafică pentru o eroare e=+/-2 mm este:

[ ]

m D Dm D

mn

m P

e

n

ne P

AB

pe

AB

teren

AB

plan pe

g

g

22

21000

20

20

1000

plan +<<−

±=∗±=⇒

=

=

∗±=

,

,

1.5.1.d. Determinarea orientării şi a unghiurilor orizontaleOrientarea unei direcţii reprezintă unghiul format de direcţia nordului

geografic cu direcţia respectivă, măsurat în sens orar. Unghiul de orientare al- C.15 -



Topografie

unei direcţii se poate determina pe hartă prin două procedee:- folosind coordonatele rectangulare care definesc direcţia respectivă:

A B

A B AB

X X

Y Y tg

−

−=θ

- folosind raportorul circular gradat în grade centesimale.Pentru răspunde necesităţilor topografiei, cercul trigonometric s-a

adaptat astfel:- axa Ox este verticală, Oy este orizontală (vezi figura)- originea unghiurilor este axa Ox, iar sensul pozitiv, numit sens direct

topografic, este cel orar.Definiţiile şi proprietăţile funcţiilor trigonometrice se păstrează neschim-

bate dacă se construieşte cercul topografic conform figurii 1.10.+X

+Y

-X

+Y

1

2

3

4

4

3

2

1

θ2

=ω2

+100

θ1

=ω1

θ4

=ω4+300

θ3

=ω3+200

y

yy

x

x x

x

IV

I

II

III

y

Figura 1.10 – Cerc topografic. Reprezentarea funcţiilor trigonometrice.

În vederea aflării valorii şi a semnului funcţiilor trigonometrice când sedau unghiuri în diferite cadrane sau calculului unghiurilor din întreg cercul cândcunoaştem semnul şi valoarea funcţiilor, este necesar să aplicăm reducerea

unghiurilor la primul cadran.(vezi tabelul 1.1).

Funcţiitrigonometrice

CADRANI

CADRANII

CADRANIII

CADRANIV

0g<θ<100g 100g<θ<200g 200g<θ<300g 300g<θ<400g

ω1=θ1 ω2=θ2-100g ω3=θ3-200g ω4=θ4-300g

sinθ +sin ω1 +cos ω2 -sin ω3 -cos ω4

cosθ +cos ω1 -sin ω2 -cos ω3 +sin ω4

tgθ +tg ω1 -ctg ω2 +tg ω3 -ctg ω4

ctgθ +ctg ω1 -tg ω2 +ctg ω3 -tg ω4

- C.16 -



Topografie

Tabelul 1.1 – Reducerea unghiurilor la primul cadranCadranul în care se află orientarea calculată depinde de semnele ambelor

creşteri de coordonate, conform tabelului şi figurii.

Mod de lucru cu raportorul:- Se duce o paralelă din punctul A la direcţia geografică nord şi se aşazăcentrul raportorului în A, astfel ca valoarea zero să coincidă cu direcţianordului. Se măsoară direct pe raportor valoarea orientării direcţiei AB.

- Cunoscând orientările mai multor direcţii cu originea în acelaşi punct, se poate determina unghiul orizontal dintre direcţii ca diferenţă de orientări.

1.5.2. Determinarea unor elemente de altimetrie1.5.2.a. Determinarea altitudinii unui punct

Altitudinea (cota) unui punct de pe plan sau hartă se determină folosindcurbele de nivel ale hărţii sau planului. Când un punct căruia dorim să-i aflămcota, se află chiar pe o curbă de nivel, cota punctului corespunde cu valoareacurbei de nivel. În cazul în care punctul se află între două curbe de nivel, cota sase determină ducând prin punct linia de cea mai mare pantă (linia care este

perpendiculară pe ambele curbe). Din triunghiul de pantă se determină:

[ ] [ ][ ]

[ ]m E mm D

mmd mh ∗=δ

Cota unui punct poate fi determinată mult mai expeditiv, dar cu o precizie mai scăzută folosind o riglă gradată (metoda zecimilor). Se aşază riglaastfel încât muchia gradată să fie tangentă la punct şi se roteşte în jurul punctului

până când zero al riglei atinge o curbă de nivel, iar valoarea de 1 cm de pe riglăatinge cealaltă curbă. Cunoscându-se echidistanţa curbelor de nivel, fiecăruimilimetru de pe riglă îi va corespunde 1/10 din E.1.5.2.b. Determinarea diferenţei de nivel între două puncte

Cunoscându-se cotele a două puncte A şi B determinate ca mai sus, se poate determina diferenţa de nivel între cele două puncte:

A B AB H H H −=∆

- C.17 -



Topografie

D

d

h

A

D d

A

Figura 1.11 – Determinarea cotei unui punct

1.5.2.c. Determinarea unghiului vertical (de înclinare) al unei drepte de peplan

Cunoscându-se distanţa orizontală determinată prin una din metodelearătate anterior şi diferenţa de nivel, se poate calcula unghiul vertical (deînclinare) al dreptei respective:

AB

AB

D

H tg

∆=α

BA

AB ABD

L A B

B

A B'

Figura 1.12 – Determinarea unghiului de pantă

1.5.2.d. Determinarea pantei liniei între două puncte de pe plan

Tangenta unghiului de înclinare α reprezintă chiar panta liniei ce uneştecele două puncte de pe plan:

AB

AB

D

H tg p

∆== α

Poate fi exprimată în procente (la sută) şi la mie:α α tg ptg p ∗=°∗=° 1000100 /;/

- C.18 -



Topografie

sau se mai poate exprima în grade sexa sau cente.

Panta se mai poate exprima şi pe cale grafică, folosind graficul de pantă.Graficul de pantă este o scară care permite determinarea grafică pe un plan sau

hartă a pantei unei linii numai între două curbe de nivel. Graficul de pantă sedesenează pe marginea foii de plan sau hartă, în funcţie de echidistanţa E acurbelor de nivel şi a numitorului scării.

În construcţia graficului de pantă se pleacă de la formula pantei, luându-se un sistem de axe rectangulare, apoi pe una din axe la intervale arbitrare senotează valorile pantei sau ale unghiului de pantă α. Din aceste puncte se ridică

perpendiculare de lungime

p

E D

n

Dd

∗=⇒=

100

ale căror extreme se unesc, obţinându-se graficul de pantă.

di

0 1.51

d

2.5 32 654 10987 2015 p%

Figura 1.13 – Graficul de pantă

Folosirea graficului de pantă se face astfel: se ia între vârfurilecompasului sau distanţierului segmentul „di” între două curbe de nivel pedirecţia liniei căreia dorim să-i aflăm panta. Această distanţă d i se transpune pegraficul de pantă astfel ca o gheară a compasului să fie aşezată pe axa pantei, iar

celălalt vârf să fie pe grafic (vezi figura), citindu-se prin aproximare pantaacestei linii pe axa pantei.Graficul de pantă se poate construi pentru orice formă de exprimare a

pantei unei linii ( ooo p , p o

o,α ), folosind una din axele sistemului rectangular pentru forma de exprimare a pantei, iar cealaltă axă pentru distanţe.1.5.2.e. Trasarea pe plan a unei linii de pantă dată

Trasarea pe plan a unei linii de pantă constantă (dată), apare de regulă înlucrările de studii, pentru trasarea axei unei căi de comunicaţie, a axei unuicanal, etc.. Pentru trasarea unei linii de pantă constantă între două puncte se

folosesc curbele de nivel. În esenţă, această problemă se reduce la găsirea unor - C.19 -



Topografie

distanţe „di” pe plan, astfel ca omoloagele lor Di din teren să aibă panta p%egală cu cea impusă.

Când punctele A şi B se află între două curbe de nivel, se vor calcula

distanţele d1şi d3 de la punctul respectiv până la prima curbă de nivel, iar întrecurbele de nivel se va calcula o distanţă d2, numită şi pas de proiectare, toatecorespunzând pantei p% impuse.

Se calculează d1, d2, d3 după formulele de mai jos, având semnificaţia:- d1 - distanţa de la punctul A la prima curbă de nivel;- d2 - pasul de proiectare (distanţa între două curbe de nivel consecutive);- d3 - distanţa de la ultima curbă de nivel la punctul B.

n p

H d

n p

E d

n p

H d

oo

BC

oo

oo

C A 11001100110021

321∗

∆∗=∗

∗=∗

∆∗= −−

;;

Pentru a trasa linia de pantă constantă pe plan, se ia în compas distanţad1, şi, cu vârful compasului în A se descrie un arc de cerc care va intersecta

prima curbă de nivel în două puncte. Aceste puncte unite cu punctul A daudirecţii care respectă condiţia de pantă impusă.

Cu vârful compasului în aceste puncte şi cu distanţa d2 se descriu douăarce de cerc care intersectează curba de nivel următoare în patru puncte,obţinându-se patru variante care respectă condiţia dată. Mergând în continuarecu d2 în compas, variantele se dublează mereu, până la ultima curbă, din care, cud3 în compas se face închiderea pe punctul B.

În funcţie de condiţiile de proiectare se alege din aceste trasee variantadefinitivă. Pentru a elimina încă de la început unele variante care devinneeconomice (se îndepărtează mult de aliniamentul AB), este bine ca proiectarealiniei de pantă constantă impusă să se pornească din ambele puncte A şi B,făcându-se joncţiunea lor pe traseul dintre A şi B.1.5.2.f. Construirea profilului topografic al terenului pe o anumită direcţie

De multe ori, în lucrările de studiu pe hartă, se ridică problemareproducerii configuraţiei naturale a terenului pe un anumit aliniament. Pe

planuri sau hărţi cu curbe de nivel, această problemă se rezolvă construind profilul topografic al terenului pe o anumită direcţie dorită.

Pentru a reprezenta cât mai sugestiv terenul dintre două puncte, se ia deregulă scara înălţimilor de 10, 20, 25 de ori mai mare decât scara lungimilor.

- Se unesc punctele A şi B cu o linie dreaptă şi se numerotează toate punctele unde linia taie curbele de nivel;

- Se consideră scara lungimilor egală cu scara planului, iar scara înălţimilor de 10 ori mai mare;

- Pe axa orizontală se alege o origine care se atribuie punctului A;- Se iau în compas distanţele între punctul A şi punctele de intersecţie ale

dreptei AB cu curbele de nivel şi se transpun pe axa orizontală, din aceste- C.20 -



Topografie

puncte ridicându-se verticale;- Pe axa verticală a profilului se aşează cotele punctelor la scara înălţimilor,

pornind de la un plan de referinţă care să permită reprezentarea punctului

de cea mai mică cotă;- Având pe aliniamentul AB toate punctele de cotă cunoscută, se duc drepteorizontale din aceste valori reprezentate pe scara verticală, până ce acesteaintersectează verticalele ridicate din punctele corespondente;

- Unind punctele de intersecţie obţinute, rezultă profilul topografic alterenului pe direcţia AB.

În general, la întocmirea profilului topografic nu se mai construieştescara înălţimilor, valoarea cotelor raportându-se direct pe verticalele ridicate din

punctele caracteristice, eliminându-se astfel încărcarea nejustificată a graficului.

1.5.3. ExemplePe o hartă la scara 1:25000 au fost amplasate două puncte A şi B. Pe

porţiunea de hartă anexată se pot rezolva următoarele probleme:1.5.3.a. Determinarea distanţei orizontale dintre punctele A şi B folosind

scara grafică simplă a hărţii, cu baza b=1cm

Baza = 1 cm

D = 2345 mAB

Figura 1.14 – Utilizarea scării grafice liniare

1.5.3.b. Determinarea distanţei orizontale dintre punctele A şi B folosindscara numerică a hărţii:DAB (m) = d (mm) . n / 1000 = 93.9mm . 25000/1000 = 2345.0 m

Pg = e . n = 0.3 mm . 25000 / 1000 = 7.5 m

- C.21 -



Topografie

1.5.3.c. Determinarea distanţei orizontale dintre punctele A şi B folosindscara grafică transversală a hărţii, cu baza b=2cm:

D = 2345 mBaza = 2 cm

AB

Precizia = 1/ 100 x baza = 5m50

250

20

500

10

50

15

45

35

30

25

40

0 500 1000 30001500 2000 2500 3500

Figura 1.15 – Utilizarea scării grafice transversale

1.5.3.d. Determinarea coordonatelor geografice ale punctelor A şi BPentru punctul A:

φA = φ0 + Δ φ = 45056’ + (29.2mm . 60”/74 mm) = 45056’ +23,”7 ≈ 45056’24”

λA = λ0 + Δ λ = 24028’ + (12.3mm . 60”/52 mm) = 24028’ +14,”2 ≈ 24028’14”

Pentru punctul B:φB = φ0 + Δ φ = 45055’ + (27.0mm . 60”/74 mm) = 45055’ +21,”9 ≈ 45055’22”

λB = λ0 + Δ λ = 24027’ + (10.2mm . 60”/52 mm) = 24027’ +11,”8 ≈ 24027’12”

1.5.3.e. Determinarea coordonatelor rectangulare ale punctelor A şi B:Pentru punctul A:

X NE = 5093 kmY NE = 5304 km

XA = X NE – ΔX = 5093 km – (15.2mm . 25000 / 1000) == 5093 km – 380 m = 5092620 m

YA = Y NE – ΔY = 5304 km – (6.1mm

.

25000 / 1000) == 5304 km – 152.5 m = 5303847.5 mPentru punctul B:

X NV = 5091 kmY NV = 5302 km

XB = X NV – ΔX = 5091 km – (10.2mm . 25000 / 1000) == 5091 km – 255 m = 5090745 m

YB = Y NV + ΔY = 5302 km + (17.9mm . 25000 / 1000) == 5302 km – 447.5 m = 5302447.5 m

Ţinând seama de contracţia hârtiei hărţii:Pentru A: Pentru B:

- C.22 -



Topografie

K x = 40/40.1 = 0.997506 K x = 1K y = 40/40.2 = 0.995025 K y = 40/40.3 = 0.992556

ΔXA = 379.05 m; XA = 5092620.95 m

ΔYA = 151.74 m; YA = 5303848.26 mΔXB = 255.00 m; XB = 5090745.00 mΔYB = 444.17m; YB = 5302444.17 m

1.5.3.f. Determinarea distanţei orizontale dintre punctele A şi B folosindcoordonatele rectangulare:

( ) ( ) 22

A B A B AB Y Y X X D −+−= = 2343.22 m

1.5.3.g. Determinarea orientării dintre punctele A şi B:

A B

A B AB

X X

Y Y arctg

−−

=θ = 240g90c41cc

1.5.3.h. Determinarea cotelor punctelor A şi B şi a diferenţei de nivel dintreacestea:

HA = 655 m + (0.8mm.5 m / 1.5 mm) = 655 m + 2.67 m = 657.67 mHB = 515 m + (0.9mm.5 m / 1.8 mm) = 515 m + 2.50 m = 517.50 m

A B AB H H H −=∆ = -140.17 m1.5.3.i. Determinarea pantei liniei dintre punctele A şi B:

AB

AB

D

H tg p

∆== α = - 0.059819

α∗=° tg100/ p

= -5.9819%, α tg p ∗=° 1000/ = - 59.819 %o

AB

AB

D

Htg

∆=α ; αg = -3g80c37cc; αo = -3o25’24’’

1.5.3.j. Trasarea pe hartă a unei linii de pantă dată (constantă) întrepunctele A şi B:

mmm

d 1625000

1

5

677100

001 ..

=⋅⋅

=

mmm

d 02025000

1

5

25100

0

02 .=⋅

⋅=

mmm

d 0625000

1

5

57100

003 ..

=⋅⋅

=

1.5.3.k. Construirea profilului topografic al terenului pe direcţia punctelorA şi B:

- C.23 -



Topografie

SC : 1:25000SC : 1:2500

D

H

Figura 1.16 – Profilul topografic al terenului

Figura 1.17 – Harta la scara 1:25 000. Zona de lucru- C.24 -



Topografie

2.2. Reţele de sprijinReţele de sprijin

2.1. Reţele de triangulaţie localăAceste reţele se proiectează şi se execută în cazuri de excepţie ca de

exemplu:

- când triangulaţia geodezică nu există pe suprafaţa de ridicat;- când condiţiile de precizie asigurate de reţeaua geodezică de stat nu sunt

îndeplinite;- când se necesită o densitate de puncte de sprijin mai mare, determinate cu

o precizie ridicată.Triangulaţia locală poate fi privită ca o triangulaţie geodezică pe o

întindere redusă (laturi de lungime maximă de 3 km).

Realizarea unei reţele de triangulaţie locală comportă în principal 3etape:

- operaţii preliminare- operaţii de teren

- operaţii de calcul

2.1.1. Operaţii preliminare- întocmirea formalităţilor pentru începerea lucrării;- procurarea instrumentelor, materialelor şi datelor necesare lucrării;- proiectarea pe hartă a triangulaţiei locale.

2.1.1.a. Proiectarea pe hartă a triangulaţiei locale:a) Pe o hartă la scară mică, se delimitează suprafaţa care constituie

obiectul măsurătorilor geodezice. Această suprafaţă este necesară pentru

probleme de organizare, precum şi pentru un antecalcul privind costul lucrării; b) Se aleg amplasamentele punctelor de triangulaţie, funcţie de

densitatea dorită şi asigurarea vizibilităţii între puncte. Când vizibilitatea între puncte este incertă se întocmesc profile topografice ale terenului, pe bazacurbelor de nivel ale hărţii. În cazul când pe aliniamentul dintre două punctesunt obstacole (păduri, clădiri, etc.) se va căuta situaţia ca viza să treacă laminimum trei metri deasupra obstacolelor.

c) Se va prevedea modul de semnalizare a punctelor şi condiţiile de

acces la aceste puncte.- C.25 -



Topografie

d) Prin proiectare se va căuta ca triunghiurile să fie bine conformate, săfie pe cât posibil echilaterale. În acest caz, transmiterea erorilor de la un triunghila altul va fi minimă. Concomitent se va studia posibilitatea măsurării unei laturi

care să constituie baza reţelei de triangulaţie topografică locală sau eventual aunei baze auxiliare.

Semnal

S

d > 3m

topograficObstacol

A

B

Instrumentde masurarea lungimilor

Suprafatafizica a terenului

Figura 2.1 – Asigurarea vizibilităţii între punctele reţelei de triangulaţie

Importanţa care revine conformaţiei optime a triunghiurilor va fi ilustratăîn cele ce urmează (figura 2.2)

Figura 2.2 – Analiza propagării erorilor

1.1.1.a.1. A, B, C – notaţia pentru unghiurile triunghiurilor

a, b, c – notaţia pentru laturile triunghiuluiα, β, γ – erorile de măsurare a ungiurilor A,B,C

x, y, z – erorile corespunzătoare laturilor Pentru a analiza propagarea erorilor vom considera două cazuri:

I. Unghiuri neeronate şi baza eronată cu eroarea x (α = β = γ = 0; x ≠ 0).- C.26 -



Topografie

Eroarea x va genera un triunghi de eroare ∆A1’2’, în care putem scrie:

C

z

B

y

A

x

sinsinsin== => ;sin

sinB

A

x y = C

A

x z sin

sin= .

Triunghiurile ΔABC şi ΔA1’2’ fiind asemenea putem scrie mai departe:

c

z

b

y

a

x== , de unde: ;b

a

x y = c

a

x z = .

Se remarcă din ambele relaţii necesitatea ca a = b = c şi sinA = sinB =sinC pentru ca erorile x,y,z să fie egale.

Dacă b = 2a => y = 2x sau c = 3a => z = 3x, ş.a.m.d.

Laturile b şi c constituind baze pentru triunghiurile alăturate se remarcăo amplificare a erorii bazei iniţiale, dacă triunghiurile sunt rău conformate.

II. Când baza este neeronată, iar unghiurile sunt afectate de erori: x = 0, α ≠ 0, β≠ 0, γ ≠ 0.

.)sin()sin()sin( γ β α +

+=

++

=+ C

z c

B

yb

A

a

)sin()()sin( α β ++=+ A yb Ba

a sinB cosβ + a cosB sinβ == b sinA cosα + b cosA sinα + y sinAcosα + y cosA sinα,

α şi β – valori mici de regulă de ordinul secundelor =>sinα = αcc sin1cc, cosα ≈ 1; sinβ = βcc sin1cc, cosβ ≈ 1

=> a sinB + a cosB βcc sin1cc = b sinA + b cosA αcc sin1cc + y sinA + y cosA αcc sin1ccînsă: a sinB = b sinA, iar ultimul termen se neglijează fiind foarte mic. Rezultă:

A

Ab Ba y

cccccccc

sin

sincossincos 11 ⋅⋅−⋅⋅=

α β

Măsurându-se cu acelaşi instrument se poate considera α = β = γ ca ordinde mărime.

Însă α = +β sau α = -β1. Cazul când α = +β =>

)cossincossin(sin A A

b

B A

a

ycccc

−⋅= 1β

Din teorema sinusului ştim că: A B

ba sin

sin= şi rezultă:

)(sin

)cossin

cossinsin

sin(sin

ctgActgBb

A A

b B

A B

Ab y

cccc

cccc

−⋅⋅=

=−⋅

⋅=

1

1

β

β

se observă că y = 0 numai când B = A şi asemănător şi pentru C2. Cazul când α = -β =>

)cossin

cossin

(sin A A

b B

A

a y cccc +⋅= 1β , dar A

B

ba sin

sin=

- C.27 -



Topografie

)cossin

cossin

(sin A A

b B

A

a y cccc +⋅= 1β ,

)(sin ctgActgBb ycccc +⋅⋅= 1β

Eroarea y poate deveni zero numai dacă se anulează paranteza.

)]cos()[cos(

)sin(

sinsin

cossincossin

sin

cos

sin

cos

B A B A

B A

B A

A B B A

A

A

B

BctgActgB

+−−

+=

+=+=+=Σ

2

1

dar A+B = 200g – C =>C B A

C

cos)cos(

sin

+−=Σ

2

Valoarea minimă pentru ∑ se obţine atunci când numitorul este maxim,adică cos(A-B) → 1 şi aceasta numai când A = B.

Se admit ca unghiuri normale în triunghiuri, unghiurile cuprinse între 40

g

– 80g; Minim 30g.e) Proiectarea punctelor de îndesire a reţelei de triangulaţie locală;Se vor stabili punctele care vor fi determinate prin intersecţie înainte

(antene, coşuri de fum, cruci de biserici, etc.), intersecţie înapoi sau intersecţiecombinată.

f) Recunoaşterea terenului şi definitivarea proiectului:- definitivarea proiectului de marcare şi semnalizare a punctelor;- să fie asigurat accesul la puncte cu materiale şi instrumente;- terenul din jurul punctelor să fie stabil;- terenul să nu fie cu vegetaţie înaltă care să împiedice vizibilitatea între

puncte, eventual defrişarea şi curăţirea terenului din jurul punctelor şi de pe traseul bazei.

În funcţie de forma terenului şi de obstacolele pe care trebuie să leevităm şi în funcţie de relieful terenului se aleg tipuri de reţele de triangulaţielocală. În principiu, punctele de triangulaţie se aleg pe locuri dominante ca să seasigure o cât mai bună vizibilitate în tur de orizont, la cât mai multe puncte detriangulaţie vecine.

Tipurile principale de reţele de triangulaţie locală sunt:

poligon cu punct central – cu baza normală şi baza scurtă (figura 2.3)Reţeaua de triunghiuri care formează un poligon cu punct central se

aplică în cazul terenurilor întinse în toate direcţiile şi cu suficientă vizibilitate.Se va măsura o latură a unui triunghi care va fi considerat triunghiul I şi apoi însensul acelor de ceasornic se numerotează celelalte triunghiuri cu II, III, IV şi V.

Poligonul va trebui să aibă un număr de 5, cel mult 7 triunghiuri.Din fiecare punct de triangulaţie se vor măsura toate unghiurile

triunghiurilor şi se vor nota cu αi, βi, γi ca în figura 2.3.a).Când nu se poate măsura o latură a triunghiului se va măsura o aşa-

numită “bază scurtă”, care se va dezvolta printr-un patrulater pe latura- C.28 -



Topografie

triunghiului, ca în figura 2.3.b).a) b)

b = baza normală b = baza scurtă

Figura 2.3 – Poligon cu punct central

lanţ de poligoane cu punct central (figura 2.4).

Figura 2.4 – Lanţ de poligoane cu punct central

Se aplică în cazul suprafeţelor alungite, dar destul de late. Poligoanele

vor cuprinde câte 5-7 triunghiuri, cu laturile aproximativ egale, după cumimpune terenul, astfel ca triunghiurile să fie cât mai aproape de formaechilaterală.

patrulater cu diagonalele observate – cu bază normală şi bază scurtă(figura 2.5).

Se aplică în cazul terenurilor cu suprafaţă mică. Se măsoară o latură şitoate unghiurile formate de direcţiile diagonalelor şi laturilor. În cazuri specialese poate recurge la baze scurte.

Notarea triunghiurilor şi a unghiurilor se poate face considerând tri-nghiurile suprapuse în parte: 1-2-3, 2-3-4, 3-4-1 şi 4-1-2.

- C.29 -



Topografie

bS = bază scurtă b = bază normală

Figura 2.5 – Patrulatere cu ambele diagonale observatelanţ de patrulatere (figura 2.6).

Figura 2.6 – Lanţ de patrulatere

Se aplică tot pentru măsurarea suprafeţelor alungite. Elementele care semăsoară sunt: toate unghiurile, două laturi la extremităţile lanţului sau două bazescurte şi orientările acestor baze.

lanţ de triunghiuri (figura 2.7).

- C.30 -



Topografie

Figura 2.7 – Lanţ de triunghiuri

Se aplică în cazul suprafeţelor alungite, în special al văilor înguste. Se

măsoară toate unghiurile din fiecare punct, două laturi (una în primul triunghi şia doua în ultimul triunghi) sau două baze scurte, sau o latură şi o bază scurtă,

precum şi orientările acestor baze.În cazul când numărul triunghiurilor lanţului este mai mare de zece, se

vor măsura baze de control după fiecare zece triunghiuri.

2.1.2. Operaţii de teren2.1.2.a. Marcarea şi semnalizarea punctelor din reţeaua de triangulaţie

locală a punctelor de îndesire;

Marcarea în sol cu borne şi în suprasol prin semnale se va face în punctenoi prin borne din piatră naturală sau din beton armat şi respectiv prin semnalesimple cu fluture sau prin semnale cu picioare.2.1.2.b. Efectuarea măsurătorilor unghiulare:

- unghiurile orizontale vor fi măsurate între orele 600 – 1100; 1630 – 1930;- unghiurile verticale vor fi măsurate între orele 1100 – 1500;- se vor măsura dimineaţa punctele din partea de răsărit şi după-amiaza cele

de apus pentru a avea tot timpul soarele în spate;- se va întocmi la început un tur de orizont informativ în puncte, pentru a

evita mişcări suplimentare în căutarea punctelor;- se vor măsura unghiurile prin metoda seriilor, respectând toate

recomandările şi restricţiile prevăzute.- se va stabili numărul de serii complete de măsurare în fiecare punct şi pe

baza acestora se va stabili intervalul dintre originile seriilor:

t q I

g

⋅=

400q – numărul microscoapelor de citire (= 2)

t – numărul seriilor

t I

g 200=

- C.31 -



Topografie

Pentru a se diminua erorile de perioada scurtă ale gradaţiilor limbului, semodifică intervalele calculate cu 10c.

Exemplu: pentru un WILD T2 – cu q = 2 şi pentru t = 4 rezultă originile

pentru cele 4 serii: g

g

I 504

200==

1. 0g 00c

2. 0g 00c + I + 10c = 50g 10c

3. 0g 00c + 2(I + 10c) = 100g 20c

4. 0g 00c + 3(I + 10c) = 150g 30c

Direcţiile în punctele reţelei vor fi măsurate cu teodolite de precizie(Wild T2, Theo 010A sau B, Wild T3).

La fiecare direcţie se va măsura cu două coincidenţe la micrometruloptic. Diferenţa între două coincidenţe nu trebuie să depăşească 4cc.

Închiderea unui tur de orizont să nu depăşească scc6 , unde s =numărul de puncte vizate;

Variaţia între diferitele direcţii reduse la origine să nu depăşească 15 – 20 cc

Seriile fiind cicluri de observaţii independente, este permisă refacereacalării instrumentului între serii dacă este nevoie.

Într-o serie se admit maximum 8 vize.Dacă trebuie măsurate mai mult de 8 direcţii dintr-o staţie se vor forma

două grupe care să conţină 2 – 3 direcţii comune, de preferinţă direcţia deorigine să fie comună pentru cele 2 – 3 grupe.

Compensarea seriilor şi stabilirea direcţiilor ce vor intra în compensare.2.1.2.c. Efectuarea măsurătorilor liniare asupra bazei reţelei de

triangulaţie.Determinarea mărimii liniare a bazei reţelei de triangulaţie se poate face

prin:- măsurarea directă;- măsurarea cu aparatură electrooptică;

- nivelmentul bazei;- determinarea lungimii bazei.

2.1.3. Operaţii de calcul (Compensarea măsurătorilor)În esenţă se urmăreşte o geometrizare a reţelei de triangulaţie, astfel

încât figurile geometrice create să satisfacă următoarele condiţii:- suma unghiurilor în triunghiuri să fie 200g;- suma unghiurilor în jurul unui punct să fie 400g;- între laturi şi sinusurile unghiurilor opuse să existe raporturi de perfectă

egalitate.- C.32 -



Topografie

Primele două asigură condiţii geometrice de bază, iar ultima asigurăcondiţia de scară în reţeaua creată. Ştiut fiind că măsurătorile noastre unghiulareşi liniare sunt afectate de erori, condiţiile amintite mai sus, vor fi satisfăcute

numai aproximativ, ceea ce impune efectuarea unor calcule de compensare.Uzual sunt folosite două metode de compensare a măsurătorilor:- metoda măsurătorilor condiţionate- metoda măsurătorilor indirecte

- C.33 -



Topografie

3.3. Îndesirea reţelelor de triangulaţieÎndesirea reţelelor de triangulaţie

3.1. Principiile intersecţiilorMetoda de determinare a punctelor geodezice de ordin inferior este aceea

a intersecţiilor.Acestea sunt de trei feluri:

- intersecţii înainte (directe)- intersecţii înapoi (retrointersecţii)

- intersecţii laterale (combinate)Toate aceste trei feluri de intersecţii utilizate pentru determinarea

punctelor de ordinul IV şi V sunt intersecţii analitice obişnuite, adaptate la treisituaţii diferite care se pot prezenta în teren.

Se ştie din geometria analitică că având ecuaţiile a două drepte deorientare cunoscută θ1 şi θ2, trecând fiecare din ele prin câte un punct dat A şi B(deci cu coordonate cunoscute) se găsesc coordonatele punctului nou P laintersecţia celor două drepte date, rezolvând sistemul de ecuaţii dat.

În practica topografică nu ne mulţumim cu coordonatele găsite pentru P

numai dintr-o singură combinaţie de două drepte şi două puncte date, ci se vaaplica pentru control şi asigurarea preciziei, aceeaşi problemă la 2 – 3combinaţii de câte două drepte şi două puncte date.

Figura 3.1 – Triunghiul de eroare al intersecţiei topografice

Din cauza erorilor inerente făcute în determinările coordonatelor

punctelor A, B, C şi în aceea a orientărilor θ1, θ2, şi θ3 nu va rezulta un punct- C.34 -



Topografie

unic de intersecţie P al direcţiilor AP, BP şi CP ci trei puncte P 1, P2 şi P3 careîmpreună formează aşa-zisul triunghi de eroare al intersecţiei. Aria acestuitriunghi este cu atât mai mică cu cât determinările sunt mai îngrijite şi mai

precise, dar niciodată nulă.Dacă valorile coordonatelor punctelor P1, P2 şi P3 sunt sensibil apropiatese va lua o valoare medie între ele şi acestea vor constitui drept coordonatefinale ale punctului căutat P.

Aceasta aste prima caracteristică generală a intersecţiilor topografice.Ele se mai caracterizează şi prin aceea că se împart în:

a) intersecţii înainte, dacă au fost staţionate numai punctele vechi A, B, C şi s-audat vize din ele spre punctul nou P necunoscându-se unghiurile α, β, γ (figura3.2);

b) intersecţii înapoi, dacă nu a fost staţionat decât punctul nou P din care s-audat vize spre punctele vechi A, B, C măsurându-se unghiurile α1, β1, γ1. (figura3.3).c) intersecţii laterale dacă a fost staţionat punctul nou P şi încă cel puţin unulintre punctele vechi, de pildă B, măsurându-se unghiurile α2, β2, γ2 şi unghiul δ(figura 3.4).

Oricare din cele trei variante se tratează teoretic la fel ca principiu derezolvare, căci din punct de vedere matematic problema este aceeaşi indiferentde felul cum s-au obţinut orientările θ1, θ2 şi θ3.

Figura 3.2 – Intersecţia înainte

- C.35 -



Topografie

Figura 3.3 – Intersecţia înapoi

Figura 3.4 – Intersecţia laterală

3.2. Intersecţia înainte

P

(X ,Y )

N

1

X

(X ,Y )

O

A 1

N

1

1'

''

'

C

'

(X ,Y )

(X,Y)

'

13

'

'

B''

'

2 2

N

2'

Y

Figura 3.5 – Intersecţia înainte. Elemente. Procedeul analitic- C.36 -



Topografie

Fiind date punctele vechi de ordin superior sau inferior A(X1,Y1);B(X2,Y2) şi C(X3,Y3), ele se vor staţiona cu teodolitul de precizie şi se vor măsura respectiv unghiurile α, β, γ.

3.2.1. Procedeul analiticPutem scrie:

12

121

12

12

12

121

X

Y arctg

X X

Y Y

X

Y tg

∆∆

=⇒−−

=∆∆

= '' θ θ

23

23

1

23

23

23

23

2 X

Y arctg

X X

Y Y

X

Y tg

∆∆

=⇒−−

=∆∆

= '' θ θ

13

131

13

13

13

133

X

Y arctg

X X

Y Y

X

Y tg

∆∆

=⇒−−

=∆∆

= '' θ θ

Se vede că: θAP = θ1' + α = θ1

θBP = θ2' + β = θ2

θCP = θ3' + γ = θ3

Ecuaţiile analitice a dreptelor (în cazul nostru a vizelor orientate) AP, BPşi CP sunt:

(AP) Y – Y1 = tgθ1 (X – X1)(BP) Y – Y2 = tgθ2 (X – X2)(CP) Y – Y3 = tgθ3 (X – X3)

Luând primele două ecuaţii din sistemul de mai sus avem un sistem dedouă ecuaţii cu două necunoscute X şi Y care reprezintă coordonatele punctuluiP.

Y – Y1 = tgθ1 (X – X1)Y – Y2 = tgθ2 (X – X2)

Se scad cele două ecuaţii şi rezultă:Y2 – Y1 = X(tgθ1 – tgθ2) + (X2 tgθ2 – X1 tgθ1)

21

112212

θ θ

θ θ

tg tg

tg X tg X Y Y X

−+−−

= (99)

Introducând valoarea obţinută în relaţia de mai sus obţinem:Y = Y1 + tgθ1 (X – X1)Y = Y2 + tgθ2 (X – X2)

Ecuaţiile (99) şi (100) dau tocmai coordonatele punctului P (de fapt P1).Luând, în continuare, ecuaţiile 2 şi 3 din relaţia (97), apoi ecuaţiile 3 şi 1

şi procedând ca mai sus se vor găsi încă alte două perechi de coordonate pentruP (de fapt pentru P2 şi P3).

Dacă cele trei rânduri de coordonate alcătuiesc un ecart maxim de ± 15cm atunci media aritmetică a valorilor obţinute se consideră ca şi coordonatedefinitive pentru punctul P:

- C.37 -



Topografie

3

'''''' X X X X

++=

3

'''''' Y Y Y Y

++=

3.2.2. Procedeul trigonometricProblema se reduce la metoda radierii.

Figura 3.6 – Intersecţia înainte3.2.2.a. Etape de rezolvare:a) Calculul orientării θ1-2 din coordonatele punctelor vechi

12

1221

12

1221

X

Y arctg

X X

Y Y tg

∆∆

=⇒−−

= −− θ θ

b) Calculul orientărilor θ1-P şi θ2-P

θ1-P = θ1-2 – α; θ2-P = θ1-2 ± 200g + β;c) Calculul distanţei d1-2 din coordonate:

2

12

2

1221 )()( Y Y X X d −+−=−

d) Calculul distanţelor d1-P şi d2-P din teorema sinusurilor:γ = 200g – (α + β)

β γ α β γ

sinsinsinsinsin

211

2121 −−

−−− =⇒==d

d d d d

P

P P ;

α γ

sinsin

212

−− =

d d P ; ;sin β ⋅=− M d P 1 α sin⋅=− M d P 2

γ sin12d

M = şi se numeşte modul

e) Calculul coordonatelor punctului P prin radiere:- C.38 -



Topografie

XP’=d1-P cosθ1 + X1 = X1 + ΔX1-P

XP’’=d2-P cosθ2 + X2 = X2 + ΔX2-P

YP’=d1-P sinθ1 + Y1 = Y1 + ΔY1-P

YP’’=d2-P sinθ2 + Y2 = Y2 + ΔY2-P

dacăToleranta X X

Toleranta X X

P P

P P

≤−

≤−

'''

'''

, atunci

;'''

2

P P

P

X X X

+= ;

'''

2

P P P

Y Y Y

+=

3.2.2.b. Condiţii de aplicare în producţieDin punct de vedere practic sunt de adăugat câteva reguli de lucru pentru

ca rezultatele să fie cât mai bune.- se vor folosi în calcul, pentru determinarea punctelor, vize cât mai scurte

şi în orice caz cât se poate mai egale ca lungime;- se vor folosi cel puţin trei vize venite din puncte vechi, luându-se douăcâte două în toate combinaţiile posibile;

- unghiurile optime sub care trebuie să se intersecteze vizele în punctul nousunt între 30g – 100g. Se exclud cu desăvârşire unghiurile obtuze sau preaascuţite.

Distribuţie corectă a Distribuţie la limită a

vizelor la intersecţia înainte vizelor la intersecţia înainte

Figura 3.7.

- cele 3 - 4 vize din care se calculează un punct nou trebuie să fie răspânditecât mai uniform pe întregul tur de orizont. Sunt slabe determinările făcutedin vize care se grupează în două cadrane şi sunt excluse cele ce segrupează într-un singur cadran.

- C.39 -



Topografie

Figura 3.8 - Distribuţie defectuoasă a vizelor

3.2.2.c. Organizarea calculelor pentru intersecţia înainte:

Pct. X tgθ Y Orientarea

A 1 8953,380,34943

420210,6

1221g40c13cc

P 5130,2118874,6

621

112212

θ θ

θ θ

tg tg

tg X tg X Y Y X

−⋅+⋅−−

=

121 θ tg X X Y Y )( −+=

121 θ tg X X Y Y )( −+=

B 2 3544,17

-

0,910018

20317,99 352g99c69cc

3.2.2.d. ExempleDETERMINAREA COORDONATELOR PUNCTELOR DE ÎNDESIRE 913 ŞI 926 PRIN

METODA INTERSECŢIEI ÎNAINTEStaţia 55

a. Coordonatele punctelor vechi 55, 59, 63, 85, 56

Pct X Y

55 10133.111 6959.12159 9507.900 8704.78063 7794.871 7807.48985 7536.629 6177.88156 9648.995 5916.022

b. Direcţiile orizontale compensate în staţia 55PS PV Direcţii măsurate

55 59 382.7289- C.40 -



Topografie

913 16.976463 38.676885 79.4409

56 133.1700c. Schiţa vizelor

55

59

63

56

N

913

z e r o l i m b

55

θ55-59θ

55-63θ55-85θ

55-56

85

θ55-913

dir 85

dir 56

dir 63

dir 59

dir 913

Figura 3.9 – Schiţa vizelor în staţia 55

1. Calculul orientărilor către punctele vechi:

x

yarctg ij ∆

∆=θ

8423177

8945121

6355

5955

.

.

==

−

−

θ

θ

60632188555 .=−θ

33712725655 .=−θ

2. Calculul distanţelor de la punctul 55 la punctele vechiDi j= ( ) ( )2

i j

2

i j yyxx −+−

5955

D− = 2421854.

9671149

4672711

3872487

5655

8555

6355

.

.

.

===

−

−

−

D

D

D

3. Calculul unghiului 55α

16561397289382400894512140059595555 ... =−+=+−= −G I dir θ α

1655139676838842317763635555 ... =−=−= − dir II θ α

1654139440979606321885855555 ... =−=−= − dir III θ α

16711391700133337127256565555 ... =−=−= − dir IV θ α

4. Calculul mediei ponderatemediu

55α- C.41 -



Topografie

pi = Dij(km) p1 = D55-59 = 1.854 km p2 =D55-63 = 2.487 km p3 = D55-85 = 2.711 km

p4 = D55-56 = 1.149 km1657139

4321

554553552551

55 .=+++

+++=

p p p p

p p p pIV III II I

mediu α α α α α

5. Calculul orientării 91355−θ

14211569135591355 .===− dir med α θ

STAŢIA 59a) Cordonatele punctelor vechi 59,77,63,55

Pct X Y

59 9507.900 8704.78077 7006.267 8873.49563 7794.871 7807.48955 10133.111 6959.121

b) Schiţa vizelor

55

59

63

N

913

z e r o l i m b

59

θ55-913

θ59-77

θ59-63

θ59-55

77

θ55-926

dir 55

926

dir 77

dir 63


c) Direcţiile orizontale compensate în staţia 59

PS PV Dir. măsurate

59 926 274.323377 309.9136

913 333.817563 344.9188

- C.42 -



Topografie

55 36.0940

1. Calculul orientărilor către punctele vechi

8945321

7175230

7130195

5559

6359

7759

.

.

.

==

=

−

−

−

θ

θ

θ

2. Calculul distanţelor de la pct. 59 la punctele vechi

( ) ( )

( ) ( ) 2421854780870412169599950711110133

804193378087044897807995078717794

3152507

22

5559

22

6359

7759

.....

.....

.

=++−=

=++−=

= =

−

−

−

D

D

D

3. Calculul unghiului 59α (valori provizorii)

4. Calculul mediei ponderate med

59α

km D p

km D pkm D p

8541

93315072

55593

63592

77591

.

.

.

======

−

−

−

80052850940368945321

79872854009188344175230400

799428540091363097130195400

5555595559

6363596359

7777597759

...

...

...

=−=−==+−=+−=

=+−=+−=

−−

−−

−−

dir

dir

dir

θ α

θ α

θ α

7995285321

59359259159 .=

++

+==

p p p

p p pIII II I

med α α α α

5. Calculul orientării 9265991359 −− θ θ ,

1228160400

617219400

9265992659

9135991359

.

.

=−+=

=−+=

−

−

dir

dir

med

med

α θ

α θ

STAŢIA 63a) Coordonatele punctelor vechi 63, 55, 59, 77

Pct X Y

63 7794.871 7807.48955 10133.111 6359.121

59 9507.900 8704.780

77 7006.267 8873.495

b) Direcţiile orizontale compensate în staţia 63

PS PV Direcţii măsurate

55 284.0989

59 336.9735- C.43 -



Topografie

63

913 351.9322926 389.767177 46.8040

c) Schiţa vizelor 55

59

63

N

913

zero limb

63

77

926

dir 77

dir 55

dir 59

θ63-55

θ63-77

θ63-59

θ63-913

θ63-926


1. Calculul orientărilor către punctele vechi:

5479140

717530

8423377

7763

5963

5563

.

.

.

===

−

−

−

θ

θ

θ

2. Calculul distanţelor de la pct. 63 la punctele vechi

9961325

8041933

3872487

7763

5963

5563

.

.

.

===

−

−

−

D

D

D

3. Calculul unghiului 63α (valori provizorii)

7439938040465479140

744934009735336717530400

74349309892848423377

77776363

59596363

55556363

...

...

...

=−=−==+−=+−=

=−=−=

−

−

−

dir

dir

dir

III

II

I

θ α

θ α

θ α

4. Calculul mediei ponderate med

63α

km p

km p

km p

3251

9331

4872

3

2

1

.

.

.

===

743793321

633632631

63.=

++++⋅

= p p p

p p pIII II I

med α α α α

5. Calculul orientărilor 91363−θ

92663−θ

- C.44 -



Topografie

5108837671389743793

6759459322351743793

9266392663

9136391363

...

...

=+=+=

=+=+=

−

−

dir

dir

med

med

α θ

α θ

STAŢIA 77a) Coordonatele punctelor vechi 77, 92, 63, 59

Pct X Y

77 7006.267 8873.49592 6058.081 7560.91263 7794.871 7807.48959 9507.900 8704.780

b) Direcţiile orizontale compensate în staţia 77

PS PV Direcţii măsurate

77

92 334.503063 14.8771

913 52.359059 70.0422

926 107.5675

c) Schiţa vizelor 59

N

913

77

926

63

92

z e r o l i mb

θ63-913

θ63-913

63

dir

dir

dir

θ63-77

θ63-77

θ63-77

92

59

63


1. Calculul orientărilor către punctele vechi

7130395

5479340

1737260

5977

6377

9277

.

.

.

===

−

−

−

θ

θ

θ

2. Calculul distanţelor de la punctul 63 la punctele vechi

- C.45 -



Topografie

3152507

9961325

2381619

5977

6377

9277

.

.

.

===

−

−

−

D

D

D

3. Calculul unghiului77

α

(valori provizorii)

67083250422707130395

67083258771145479340

670732540050303341737260400

59597777

63637777

92927777

...

...

...

=−=−=

=−=−=

=+−=+−=

−

−

−

dir

dir

dir

III

II

I

θ α

θ α

θ α

4. Calculul mediei ponderatemed

77α

km p

km p

km p

5072

3251

6191

3

2

1

.

.

.

===

6708325321

773772771

77 .=++

++

= p p p

p p pIII II I

med α α α

α

5. Calculul orientărilor 91377−θ 92677−θ

23833356751076708325

02983783590526708325

9267792677

9137791377

...

...

=+=+=

=+=+=

−

−

dir

dir

med

med

α θ

α θ

A. Procedeul analitic . Intersecţie înainte cu orientăriElemente necesare rezolvării problemei

a. Coordonatele punctelor vechi 59, 63, 77, 55

Pct X Y

55 10133.111 6959.12159 9507.900 8704.78063 7794.871 7807.48977 7006.267 8873.495

b. Orientările din punctele staţionate către punctul nou 913

675945

1421156

91363

91355

.

.

==

−

−

θ

θ

0298378

617219

91377

91359

.

.

==

−

−

θ

θ

- C.46 -



Topografie

c. Schiţa vizelor

55

59

77

63

913

N

N

N

N

θ55-913

θ59-913

θ77-913

θ63-913

I

IV

III

II

Figura 3.13 – Intersecţia înainte cu orientări

1.Calculul coordonatelor punctului nou 913, folosind relaţiilePct X tg Y59 9507.900 0.3182813 8704.780 219.617

913 8429.966 -694.8361

694.8361 -

55 10133.111 -0.8235191 6959.121 156.1421

63 7794.871 0.872611043 7807.489 45.6759

913 8429.97 -68370.8361

68377.8361 -

77 7006.267 -0.359493472 8873.495 378.0298

9135991355

913595991355555559913

−−

−−

−−+−

=θ θ

θ θ

tg tg

tg X tg X Y Y X

Triunghiul 1( )

913595991359913 −⋅−+= θ tg X X Y Y

( )913555591355913 −⋅−+= tg X X Y Y

9136391377

913636391377777763913

−−

−−

−−+−

=tg tg

tg X tg X Y Y X

θ

Triunghiul 2( ) 913636391363913 −−+= θ tg X X Y Y

( ) 913777791377913 −−+= θ tg X X Y Y

913 X = 8429.96 913

X = 8429.97698361913 .=Y 6838361913 .=Y

698361913 .=Y 6838361913 .=Y

Calculul valorilor medii ale coordonatelor pct. 913

2

9784299668429

2913

.. +=

+= III I

X X X = 8429.968

- C.47 -



Topografie

=+++

=4

913 III III I I Y Y Y Y

Y 8361.69

X913 = 8429.968 Y913 = 8361.69

B. Procedeul analitic. Intersecţie înainte cu unghiuri ( )iiβ α

Elemente necesare rezolvării problemei

a) Schiţa vizelor

55

59

77

63

913

N

N

N

N

θ55-913

θ 59-913

θ77-913

θ63-913

I

IV

III

II

β1α

4

α1

β2

α2

β3

α3

β4

Figura 3.14 – Intersecţia înainte cu unghiuri

b) Coordonatele punctelor vechiPct X Y59 9507.900 8704.78077 7006.267 8873.49555 10133.111 6959.12163 7794.871 7807.489

c) Unghiurile orizontale măsurate în punctele cunoscute iiβα90392391363098175333779132 ... =−=−= dir dir β

683217359052042270913592 ... =−=−= dir dir α

83336709892849322351559134 ... =−=−= dir dir β

700421976416676838913634 ... =−=−= dir dir α

Calculul coordonatelor punctului nou 913Pct X i

ictg

α

β Y ii ,βα

59 9507.900 2.53689 8704.780 23.9039

913 8429.949 - 8361.690 -- C.48 -



Topografie

77 7006.267 3.50707 8873.495 17.683255 10133.111 2.81916 6959.121 21.7004

913 8429.983 - 8361.689 -

63 7794.871 0.553169 7807.489 67.8333Triunghiul 2.

( )

( )22

25977597759913

22

25977775959913

β

β

β α

β

ctg ctg

ctg Y Y X X Y Y

ctg ctg

ctg X X Y Y X X

+−+−

==

+−+−

+=

9498429913 .= X

69048361913 .=Y

Triunghiul 4.( )

( )44

46355635563913

44

46355556363913

β α

β

β α

β

ctg ctg

ctg Y Y X X Y Y

ctg ctg

ctg X X Y Y X X

+−+−

+=

+−+−

+=

6898361

9838429

913

913

.

.

==

Y

X

Calculul valorilor medii

X913 = 8429.966 Y913 = 8361.690Calculul coordonatelor punctului 913

X 913 = 8429.967 m Y 913 = 8361.690 m

C. Procedeul trigonometric – prin metoda radierii

Calculul coordonatelor punctului de îndesire 926 Elementele necesare rezolvării problemei

Coordonatele punctelor vechi 59, 63, 77 Pct X Y

59 9507.900 8704.78063 7794.871 7807.48977 7006.267 8873.495

- C.49 -



Topografie

Schiţa vizelor

59

77

63

926

N

N

N

θ59-926

θ77-926

θ63-926

α1 α

3

β3

β2

α2

β1

γ 1

γ 2γ

3

Figura 3.15 – Intersecţia înainte. Procedeul trigonometric

Unghiurile orizontale ii ,βα calculate din direcţiile compensate în staţiile59,63,77

PS PV Dir. măs. PS PV Dir. măs. PS PV Dir. măs.926 274.3233 59 336.9735 63 14.8771

59 77 309.91360 63 926 389.7671 77 59 70.042263 344.9188 77 46.8040 926 107.5675

1α = dir 63 – dir 926 = 344.9188 – 309.9136 = 70.59551β = dir 926 – dir 59 = 389.7671 – 336.9735 = 52.7936

2α = dir 77 – dir 926 = 46.8040 – 389.7671 = -342.3631 + 400 = 57.03692

β = dir 926 – dir 63 = 107.5675 – 14.8771 =92.69043α = dir 77 – dir 926 = 309.9136 – 274.3233 = 35.59033β = dir 926 – dir 59 = 107.5675 – 70.0422 = 37.5253

Triunghiul 1Etape de calcul


71752305963

59636359 .=

−−=− X X Y Y arctg θ

2. Calculul distanţei 6359− D

( ) ( ) 80419332

5963

2

59636359 .=−−−=− Y Y X X D

3. Calculul orientărilor 9266392659 −− θ θ ,

( )511183

4007936522007175230400200

1221605955707175230

1635992663

1635992659

.

..

...

=

=−++=−++=

=−=−=

−−

−−

β θ θ

ε θ θ

4. Calculul 1γ

610976793652595570200200 111 ... =−−=−−= β α γ

- C.50 -



Topografie

5. Calculul distanţelor 9266392659 −− r r ,

1

92663

1

92659

1

63591

α β γ sinsinsin−−− ===

r r D M , 0822072

610976

80419331 .

.sin

.== M

95718540471528

1192663

1192659

.sin .sin == ==−

−α

β

M r M r

6. Calculul coordonatelor pct. 926 prin dublă radiere din pct. 59 şi 63

5739600

9658269

926599265959926

926599265959926

.sin

.cos'

'

=⋅+=

=⋅+=

−−

−−

θ

θ

r Y Y

r X X

926639266363926

926639266363926

sin

cos

"

"

⋅+= ⋅+=−−

−−

θ θ

r Y Y

r X X

Triunghiul 2Etape de calcul


54791406377

63777763 .=

−−

=− X X

Y Y arctg θ


( ) ( ) 99613252

6377

2

63777763 .=−+−=− Y Y X X D 3. Calculul orientărilor 9267792663 −− θ θ ,

( ) 238333400200

51183

2776392677

2776392663

.

.

=−++=

=−=

−−

−−

β θ θ

α θ θ

4. Calculul unghiului 2γ

( ) 272750690492036957200200 222 ... =−−=+−= β α γ G


26218672

92677

2

92663

2

77632 .

sinsinsin==== −−−

α β γ

r r D M

9431457

9651854

2292677

2292663

.sin

.sin

====

−

−

α

β

M r

M r

6. Calculul coordonatelor punctului 926 prin dublă radiere din punctele 63 şi 77

5809600

9698269

926639266363926

926639266363926

.sin

.cos'

'

=⋅+=

=⋅+=

−−

−−

θ

θ

r Y Y

r X X

926779267777926

926779267777926

sin

cos

"

"

⋅+= ⋅+=

−− −−

θ θ

r Y Y

r X X

Triunghiul 3Etape de calcul1. Calculul orientării 7759−θ

71319590095072677006

78087044958873

5977

5977

7759 ...

..=

−−

=−−

=− arctg X X

Y Y arctg θ


( ) ( ) 31625072

5977

2

59777759 .=−+−=− Y Y X X D

- C.51 -



Topografie


( ) 238333400200

1227160

3775992677

3775992659

.

.

=−++=

=−=

−−

−−

β θ θ

α θ θ

4. Calculul unghiului 3γ ( ) 8844126200 333 .=+−= β α γ G


80127483

770926

3

92659

3

77593 .

sinsinsin=== −−

α β γ

r r D M

9151457

0601582

3392677

3392659

.sin

.sin

====

−

−

α

β

M r

M r

6. Calculul coordonatelor punctului 926 prin dublă radiere din punctele 59, 77

5679600

9458269

926599265959926

926599265959926

.sin

.cos'

'

=+=

=+=

−−

−−

θ

θ

r Y Y

r X X

926779267777926

926779267777926

cos

cos

"

"

⋅+= ⋅+=

−− −−

θ θ

r Y Y

r X X

Calculul coordonatelor finale punctului 926

m

Y

m

X

5739000

6567960056796005819600580960057396005739600

9598269

6

945826994582699698269969826996482699658269

926

926

.

......

.

......

=

=+++++=

==

=+++++=

=

- C.52 -



Topografie

3.3. Intersecţia înapoi

3.3.1. Procedeul Delambre

1

N

1

N

P(x,y)13

1

1

N

N

12

PA

A(x y ) y )

y )

B(x2 2

C(x3 3

Figura 3.16 – Procedeul Delambre

Principial, problema este de a găsi coordonatele unui punct nou P (x,y) prin vize date exclusiv din acest punct nou P spre trei puncte vechi A (x 1,y1), B

(x2,y2) şi C (x3,y3) - date prin coordonatele lor. Din măsurătorile de teren sedetermină unghiurile α ş β folosind metode precise de măsurare.Soluţia acestei probleme a fost dată de Snellius în 1624 şi perfectată de

Pothenot în 1692. Se mai numeşte “Problema Pothenot” sau “Problema hărţii”.Sunt cunoscute mai multe soluţii:Soluţia analiticăPentru a rezolva problema sunt de parcurs două etape:În prima etapă, specifică retrointersecţiilor, se vor găsi orientările θ1, θ2,

θ3 ale vizelor AP, BP, CP.În a doua etapă având trei drepte de orientare cunoscută şi trecând

fiecare prin câte un punct dat, se vor rezolva nişte intersecţii obişnuite (înainte).Deci, doar prima parte a problemei este nouă pentru a cărei rezolvare se

vor scrie cele trei ecuaţii analitice, teoretice ale celor trei drepte care trec prin punctul P şi respectiv A(x1,y1), B (x2,y2) şi C (x3,y3)

y – y1 = (x – x1) tgθ1

y – y2 = (x – x2) tgθ2 (1)y – y3 = (x – x3) tgθ3

Se observă că dacă θAP = θ1 atunciθBP = θ1 + α = θ2 (2)

θCP = θ1 + β =θ3

- C.53 -



Topografie

Se introduc relaţiile (1) şi (2) şi obţinem:y – y1 = (x – x1) tgθ1

y – y2 = (x – x2) tg(θ1 + α) (3)

y – y3 = (x – x3) tg(θ1 + β)Sistemul (3) este un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute tgθ, x şi y

α θ

α θ α θ

tg tg

tg tg tg

1

11

1 −+

=+ )( (4)

Se iau primele 2 ecuaţii din (3) şi avem:y – y1 = (x – x1) tgθ1

(y – y2)(1-tgθ1tgα) = (x – x2) (tgθ1 + tgα) (5)un sistem de 2 ecuaţii cu 2 necunoscute; din prima ecuaţie rezultă

y = y1 + (x – x1) tgθ1 (6) pe care o înlocuim în ecuaţia a doua din sistemul (5)

(y1 + x tgθ1 – x1 tgθ1 – y2)(1 – tgθ1 tgα) = (x – x2)(tgθ1 + tgα)y1 + x tgθ1 – x1 tgθ1 – y2 – y1 tgθ1 tgα - x tgθ1

2tgα + x1 tgθ12tgα + y2 tgθ1 tgα =

= x tgθ1 – x2 tgθ1 + xtgα – x2 tgαx(1+tg2θ1)tgα = y1 – y2 – (y1 – y2)tgθ1 tgα + (x2 – x1)tgθ1 (x2 + x1tg2θ1)tgα (7)

Se face şi în ecuaţia a treia aceeaşi substituţie:

β θ

β θ β θ

tg tg

tg tg tg

1

11

1 −+

=+ )( (8)

Şi apoi se iau ecuaţia I şi a III-a şi se face substituţia de mai sus varezulta o ecuaţie de acelaşi tip cu ecuaţia (7)

x(1+tg2θ1)tgβ = y1 – y3 – (y1 – y3)tgθ1tgβ + (x3 – x1)tgθ1 + (x3 + x1tg2θ1)tgβ (9)Se împarte ecuaţia (7) la (9) rezultă:

β θ θ β θ

α θ θ α θ

β θ

α θ

tg tg x xtg x xtg tg y y y y

tg tg x xtg x xtg tg y y y y

tg tg x

tg tg x

)()()(

)()()(

)(

)(

1

2

1311313131

1

2

1211212121

1

2

1

2

1

1

++−+−−−++−+−−−

=

=++

(10)

α α θ α ctg tg tg y yctg y ya ⋅⋅+−−= 12121 )()(

α α θ α θ ctg tg tg x xctg tg x xb ⋅−+⋅−= )()( 1

2

12112

)()()()( 1

2

1311313131 θ β θ θ β tg x xctg tg x xtg y yctg y yc ++⋅−++−−=

c

ba +=1 (11)

grupând termenii după tgθ1 vom avea)()()()(

1

2

1311313131 θ β θ θ β tg x xctg tg x xtg y yctg y y ++⋅−++−− == )()()()( 1

2

1211212121 θ α θ θ α tg x xctg tg x xtg y yctg y y −+⋅−++−−α θ β θ θ θ ctg tg x xctg tg x xtg y ytg y y 112113131121 )()()()( −−⋅−+−−− =

= 323121x xctg y yctg y y −++−− β α )()( (12)

- C.54 -



Topografie

231321

3213211

y yctg x xctg x x

x xctg y yctg y ytg

−+−+−−+−+−

=β α

β α θ

)()(

)()((13)

din relaţia (13) se determină θ1 şi apoi θ2 şi θ3.

Urmează determinarea orientărilor inverse θAP, θBP şi θCP cu care se vaintra în calculele unor intersecţii înainte normale găsind astfel coordonatele punctului nou P.

Caz particular de intersecţie înapoi Dacă unghiul α este aproximativ 100g şi unghiul β este aproximativ 200g

nu se poate aplica cu succes formula analitică de determinare a orientării θ 1-P

deoarece una dintre funcţiuni tgα sau ctgα (tgβ sau ctgβ) → ∞.Pentru a rezolva această problemă se va nota cu β unghiul făcut de

direcţiile P-2, P-3.

α = ∠1P2, β = ∠2P3În acest caz se notează cu θ orientarea θ2P

θ1P = θ – α; θ3P = θ + βCu aceste notaţii, dezvoltând, simplificând şi grupând găsim:

133221

133221

x xctg y yctg y y

y yctg x xctg x xtg

+−−−−+−−−−

=β α

β α θ

)()(

)()((14)

Figura 3.17 – Caz particular al intersecţiei înapoi

3.3.1.a. Cazuri de nedeterminare la intersecţia înapoia) Cazul când patrulaterul ABCP este inscriptibil

- C.55 -



Topografie

Figura 3.18 – Caz de nedeterminare la intersecţia înapoi

Din figura de mai sus rezultă că:α + β + γ + δ + ε = 400g (15)

Din ΔABP şi ΔBPC rezultă:

α δ sinsin

a BP = ; β ε sinsin

b BP = (16)

împărţim cele două relaţii :

β

α

ε

δ

sin

sin

sin

sin

a

b= (17)

β α

β α

ε δ

ε δ

sinsin

sinsin

sinsin

sinsin

ab

ab

+−

=+−

=>

α

β α

β

ε δ

ε δ

sin

sinsin

sin

b

ab

a

tg

tg

+

−=

+

−

1

1

2

2 (18)

ϕ

ϕ ε δ

α

β α

β

ε δ ε δ

tg

tg tg

b

a

b

a

tg tg +−

⋅+

=+

−⋅

+=

−1

1

21

1

22

sin

sinsin

sin

(19)

unde ϕ α

β tg

b

a=

sin

sin(20)

Într-un patrulater inscriptibil avem:α + β + γ = 200g => δ + ε = 200g (21)

sinδ = sin(200 – ε) = sinε (22)

din relaţia (17) => 11

1 ==== ϕ ϕ β

α tg

tg a

b

sin

sin(23)

011

11

2

200

2⋅∞=

+−

⋅=−

tg tg ε δ

(24) =>caz de nedeterminare

Din cele arătate rezultă că dacă pe teren se măsoară în P două unghiuri αşi β care însumate la unghiul γ dintre direcţiile vechi AB şi BC totalizează 200 g,

patrulaterul ABCP este inscriptibil şi problema este nedeterminată.Unghiurile α şi β sunt măsurate în punctul P.

- C.56 -



Topografie

Unghiul γ se află din coordonatele punctelor vechi ABC din diferenţaorientărilor. Deci nu se pot determina coordonate pentru punctul P până când nuse schimbă poziţia punctului astfel ca α’ + β’ + γ’ = 200g.

b) Cazul când unghiurile α şi β sunt prea mariDacă unul dintre cele două unghiuri măsurate în punctul nou P are ovaloare apropiată de 200g (între 180g şi 210g) ctgα şi ctgβ variază prin salturimari şi bruşte pentru variaţii mici ale unghiurilor α şi β. Aceasta înseamnă că ofoarte mică eroare (inevitabilă) la măsurarea unghiurilor se traduce printr-o marediferenţă în valoarea ctg.

Se observă că imprecizia ε a lui θ se traduce printr-o imprecizie Δ în de-terminarea lui P care se măreşte artificial numai din cauza variaţiei ctg unuiunghi de cca. 200g.

cc

cc

D Dtg ρ

ε

ε =∆=∆ (25)Formulele de mai sus arată că ecartul liniar Δ (eroarea în coordonate) a

punctului nou P este funcţie de mărimea lui ε care este eroarea de orientare adirecţiei D.

Figura 3.19 - Eroarea de orientare ε şi ecartul liniar Δ

- C.57 -



Topografie

Figura 3.20 – Schimbarea referinţei orientărilor la intersecţia înapoi

În cazul acesta se va schimba direcţia de referinţă a orientătilor retro-intersecţiei şi se vor măsura în P unghiurile α şi β la care din cauză că unghiuleste ≈ 200g nu se va mai lua ca referinţă a orientărilor prima direcţie AP, cidirecţia din BP (de exemplu).

În relaţia (13) în locul lui θ1 se va trece θ2, iar în locul valorilor α şi β se

vor lua α' şi β' care vor trebui măsurate.Se va ţine seama de acest lucru la calculul orientărilor pentru a se

transforma intersecţia înapoi în intersecţie înainte.

3.3.1.b. ExempluPROCEDEUL DELAMBRE

Calculul coordonatelor punctului 101Cazul I

Elemente necesare rezolvării problemeia) coordonatele punctelor vechi

Pct X Y55 10133.111 6959.12159 9507.9 8704.78077 7006.267 8873.49563 7794.871 7807.489

- C.58 -



Topografie

85 7536.629 6177.881

b) Unghiurile orizontale ii ,βα

calculate din direcţiile măsurate şi compensate în staţia 101

PS PV Dir. măs

101

55 48.352359 139.042977 254.869063 293.428785 347.6241

55973886902544287293

826111504291398690254

77631

59771

...

...

=−=−==−=−=

dir dir

dir dir

β

α

72821006241347352348

19545442872936242347

85552

63852

...

...

=−=−==−=−=

dir dir

dir dir

β

α

c) Schiţa vizelor

55

59

77

63

101 N

N

N

N

θ55-101

θ59-101

θ77-101

85

Nθ

63-101 θ85-101

α1

α2

β1

β2

Figura 3.21– Schiţa vizelor în punctul 101. Cazul I.

Etape de calcul:


( ) ( )( ) ( )

59631637717759

59631637717759

10177Y Y X X ctg X X

X X ctg Y Y ctg Y Y arctg

−+−−−+−−−−=−

β α

β α θ

( ) ( )( ) ( )

63552558538563

635528528563

10185

55

Y Y ctg X X ctg X X


−+−−−+−−−−

=−β α

β α θ

977.16710177 =θ − 738.26010185 =θ −

2. Calculul orientărilor 101551016310159 −−− θ θ θ ,,

- C.59 -



Topografie

46623617282100738260

5426206195454738260

5367206559738977167400

1509528261115977167

21018510155

21018510163

11017710163

11017710159

...

...

...

...

=+=+=

=−=−=

=+=−+==−=−=

−−

−−

−−

−−

β θ θ

α θ θ

β θ θ

α θ θ

53972062

5426206536720610163 .

..=

+=−

med θ

3. Calculul coordonatelor punctului 101 prin intersecţie înainnte cu orientăriPct X tgθ Y θ

59 9507.9 1.06996 8704.780 52.1509

101 8762.511 _

241.7907

241.7907 _

63 7794.871 0.103088 7807.489 206.5397

85 7536.629 1.410481 6177.881 260.738

101 8762.755 _

309.7907

309.7907 _

55 10133.111 - 0.691927 6959.121 361.4662

5585

101

6359

101

−=

−=

t

Y Y X

t

Y Y X

"

'

7558762

5118762

101

101

.

.

"

'

=

=

X

X m X 6338762101 .=

( )( ) 101636310163101

101595910159101

"

'

−+=

−+=

−

−

θ

θ

tg X X Y Y

tg X X Y Y

(

(55101

85101

"'

=

=

Y Y

Y Y

iv

mY 367907101 .= Cazul II

Elemente necesare rezolvării problemei- C.60 -



Topografie

a) Coordonatele punctelor vechi 55, 59, 77 Pct X Y55 10133.111 6959.121

59 9507.9 8704.7877 7006.267 8873.495

b) Unghiurile α şi calculate din direcţii compensatePS PV Dir. măs

10155 48.352359 139.042977 254.8690

516720635234886902545577

69069035234804291395559

...

...

=−=−==−=−=

dir dir

dir dir

β

α

c) Schiţa vizelor

55

59

63

101

N

N

N

θ55-101

θ59-101

θ63-101

α

β

Figura 3.22– Schiţa vizelor în punctul 101. Cazul II.

Etape de calcul1. Calculul orientării 10155−θ

( ) ( )( ) ( )

467236110155

597777555559

597777555559

10155

.=

+−−+−−+−+−

=

−

−

θ

β α

β α θ

Y Y ctg X X ctg X X



983916751672064672361

1578526906904672361

1015510177

1015510159

...

...

=+=+==+=+=

−−

−−

β θ θ

α θ θ

3. Calculul coordonatelor punctului 101 prin intersecţie înainte cu orientări

( )

( ) 101595910159101

101555510155101

1015510159

101555510159595955101

−

−

−−

−−

−+=

−+=−

−+−=

θ

θ

θ θ

θ θ

tg X X Y Y

tg X X Y Y

tg tg

tg X tg X Y Y X

'

'

'

- C.61 -



Topografie

2977907

2977907

7258762

101

101

101

.

.

.

"

'

'

=

=

=

Y

Y

X

101

101

5101

Y Y Y X iv

'''

"

790

790

876

101

101

101

'''

"

ivY

Y

X

4. Calculul coordonatelor pct. 101

296579074

2296790722977907

724587622

7487627258762

101

101

...

...

=⋅+⋅

=

=+

=

Y

X

5. Calculul coordonatelor finale ale pct.101

32879072

29657907367907

67987622

724587626338762

101

101

...

...

=+=

=+=

Y

X

⇒ m X 6798762101 .= mY 3287907101 .=

3.3.2. Procedeul KästnerAvând date punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) se pot calcula orientările

şi distanţele: θBA şi θBC; a = DAB şi b = DBC, apoi unghiul γ = θBA - θBC.Punctul nou este punctul P. În triunghiurile ABP şi BCP se vor calcula

unghiurile φ şi ψ astfel:

(α + β + γ) + (φ + ψ) = 400g

22

400

2

)( γ β α ψ ϕ ++−=

+

α

ϕ

α ϕ sin

sin

sinsin

ad

ad =⇒=

2

2

β

ψ

β ψ sin

sin

sinsin

ad

bd =⇒= 2

2

- C.62 -



Topografie

Figura 3.23 – Procedeul Kästner

Egalând cele două relaţii ale lui d2 obţinemβ

ψ ϕ

α sin

sinsin

sin

ba= sau

2

1

p

p

a

b==

β

α

ψ

ϕ

sin

sin

sin

sin

p1 = b sinα; p2 = a sinβ

21

21

p p

p p

+−

=+−

ψ ϕ

ψ ϕ

sinsin

sinsin

21

21

222

222

p p

p p

+−

=−+

+−

ψ ϕ ψ ϕ

ψ ϕ ψ ϕ

cossin

cossin

21

21

22 p p

p pctg tg

+−

=+− ψ ϕ ψ ϕ

Btg p p

p ptg =

−⇒

+⋅

+−

=−

222 21

21 ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ (cunoscut)

Dacă2

ψ ϕ += A , A + B = φ

2

ψ ϕ −= B , A – B = ψ

Cunoscându-se unghiurile φ şi ψ se calculează unghiurile γ1 şi γ2

γ1 = 200 – (α + φ); γ2 = 200 – (β + ψ)În final se calculează orientările

θ1 = θBA ± 200 + φ; θ2 = θBA – γ1 = θBC + γ2; θ3 = θBC ± 200 – ψCalculul distanţelor d1, d2 şi d3 se face astfel:

α

γ

α γ sin

sin

sinsin

1

1

1

1 ad

ad =⇒=

α

ϕ

α ϕ sin

sin

sinsin

ad

ad =⇒= 2

2

- C.63 -



Topografie

β

γ

β γ sin

sin

sinsin

2

3

2

3 bd

bd =⇒=

Având orientările θ1, θ2 şi θ3 şi valorile lungimilor d1, d2 şi d3 se vor

calcula coordonatele relative ale punctului P faţă de punctele A, B, C, deci vomavea trei rânduri de astfel de coordonate:ΔXi = di cosθi; ΔYi = di sinθi

şi apoi vom obţine 3 rânduri de coordonate absolute pentru punctul P.Valoarea finală va fi media aritmetică a valorilor obţinute dacă acestea

sunt sensibil egale.

3.3.3. Procedeul CollinsPrintre metodele de rezolvare a retrointersecţiilor este şi aceea datorată lui

Collins (1671) cunoscută sub numele de metoda punctului ajutător.Această metodă se adaptează procedeului analitic.

Figura 3.23 – Procedeul Collins

Pe teren (figura 3.23) se măsoară α şi β din punctul P. Q este punctulajutător al lui Collins.

Din coordonatele punctelor A şi C se calculează θAC

AC

AC

AC

AC

AC

AC X

Y

arctg X X

Y Y

X

Y

tg ∆∆

=⇒−−

=∆∆

= θ θ 13

13

Apoi,θAQ = θAC – β

θCQ = θAC ± 200g + αDin coordonatele punctelor vechi A şi C şi cu orientările θAQ şi θCQ se vor

calcula prin intersecţie înainte coordonatele punctului ajutător Q(XQ,YQ).Apoi din coordonatele punctelor B şi Q se determină θQB

X

Y arctg

X X

Y Y

X

Y tg QB

Q B

Q B

QB ∆∆

=⇒−

−=

∆∆

= θ θ

θAP = θQB – α ± 200g

- C.64 -



Topografie

θCP = θQB + β ± 200g

Cu coordonatele date pentru punctele vechi A(X1,Y1) şi C(X3,Y3) şi cuorientările calculate mai sus se poate calcula prin intersecţie înainte punctul nou

P.3.3.4. Procedeul Hansen

În cazul când din punctul nou P nu se văd trei puncte vechi A, B, C cinumai două puncte A şi B, dar în schimb se vede un punct auxiliar Q ((figura3.24) care nu are coordonate, dar din care se văd aceleaşi puncte vechi A şi B sevor măsura în staţiile P şi Q respectiv unghiurile α, β şi α1, β1.

Din figură se vede că în Δ PABγ + δ + (β – α) = 200g

21002

α β δ γ −−=

+=

g

A .

Figura 3.24 – Procedeul Hansen

δ

γ

δ γ sin

sin

sinsin=⇒=

PA

PB PA PB

În Δ PAQ:)sin()](sin[sin α α α α α −

=−−

=111 200

PQ PQ PA

)sin(sin

α α α −=

1

1 PQ PA

În Δ PBQ:)sin()](sin[sin β β β β β −

=−−

=111 200

PQ PQ PB

)sin(

sin

β β

β

−=

1

1 PQ PB

11

11

α β β

α α β

sin)sin(

)sin(sin

⋅−−⋅

= PA

PB

Membrul al doilea al ecuaţiei de mai sus este format numai din valori

cunoscute şi va fi considerat ca tg a unei cantităţi auxiliare cunoscute:- C.65 -



Topografie

)sin(sin

)sin(sin

β β α

α α β µ

−⋅−⋅

=11

11tg

Egalând relaţiile (137) şi (134’) vom avea:

δ γ µ sinsin=1

tg

1

1

+−

=+−

µ

µ

δ γ

δ γ

tg

tg

sinsin

sinsin

g

g

tg tg

tg tg

50

50

222

222

+−

=−+

+−

µ

µ

δ γ δ γ

δ γ δ γ

cossin

cossin

)( g tg ctg tg 50

22−=

+− µ

δ γ δ γ

2502

δ γ

µ

δ γ +

⋅−=

−tg tg tg

g

)(

În ecuaţia (139) se introduce valoarea (134) pentru2

δ γ +şi se va obţine

valoarea2

δ γ −tg care este numai în funcţie de valori cunoscute.

)(][ g g tg tg tg 50

2100

2−⋅

−−=

− µ

α β δ γ (140)

2

δ γ −=⇒ B

Se va putea scrie că:

22δ γ δ γ γ −++=+= B A

22

δ γ δ γ δ

−−

+=+= B A

Valorile din (141) introduse în (139) şi (140) dau pe δ şi γ. Cu ajutorul lor se vor calcula θAP, θBP şi θQP cu care se poate calcula o intersecţie înainte pentru adetermina pe P.3.3.4.a. Exemplu

PROCEDEUL HANSEN

(intersectie cu puncte duble)Calculul coordonatelor punctului de îndesire 666 Rezolvarea analitică – prin reducerea problemei la intersecţie inainteElemente necesare rezolvării problemei:

a) Coordonatele punctelor vechi 56,85:

PCT X [m] Y [m]

56 9648.995 5916.02285 7536.629 6177.881

b) Schiţa vizelor - C.66 -



Topografie

D

666

56

'φ

φ

α

1226666-1226

β

d

γ

5 6 - 85

δ

ε '

ε

85

Figura 3.25 – Procedeul Hansen. Rezolvarea analitică

c) Unghiurile α , β , γ şi δ măsurate pe teren din punctele 666 şi 1226:

P.S. P.V. DIRECŢII

522 56 73.180885 204.9303

1226

251.4979

1226

666 325.236656 338.924385 53.3259

St 666: α = dir 85 – dir 56 =131.7495β = dir 1226 – dir 85=46.5676

St 1226: γ = dir 56 – dir 666=13.6877

δ = dir 85 – dir 56=114.4016Etape de calcul:

1) Calculul distanţei D56-85 şi a orientării θ56-85:( ) ( ) 53521286856858556 .=−+−=−

2

5

2

5 Y Y X X D

14821925685

5685

8556 .=−−

=− X X

Y Y arctg θ

2) Calculul unghiurilor ϕ şi ε:

- C.67 -



Topografie

12765302

22

.

;

=+

=

−=

+=

γ β

ε ϕ ε ϕ

A

B A

ε ϕ ε

ϕ

ε ϕ ψ ϕ

δ γ β γ α

γ β α β δ

si245528

009832

8821021

22

0726336680

0815375040

21

21

21

21

2

1

unghiurile B A

B A

tgA p p

p parctg B

tg p p

p ptg

p

p

⇒

=−=

=+=

=+−

=

++−

=−

=++==++=

.

.

.*

*

.)sin(*sin*sin

.)sin(*sin*sin

3) Calculul unghiurilor ϕ’ şi ε’

343125200

99527200

.)('

.)('

=++−=

=++−=

δ γ β ε

γ β α ϕ G

G

4) Calculul orientărilor θ56-666, θ56-1226, θ85-666, θ85-1226

338.5596200

9027363200

1580224

1532232

8556122685

855666685

8556122656

855666656

=−−+=

=−+=

=+=

=++=

−−

−−

−−

−−

'

.

.

.'

ε ε θ θ

ε θ θ

ϕ θ θ

ϕ ϕ θ θ

5) Calculul coordonatelor punctelor 666 şi 1226 prin intersecţie înainte cuorientări:

PCT X [m] tg Θ Y [m] Θ

56 9648.995 0.552892574

5916.022 232.1532

666 8738.462 - 5412.595 -85 7536.629 -0.63676531 6177.881 363.9027

56 9648.995 0.39880175 5916.022 224.15801226 8135.870 - 5312.585 -85 7536.629 1.44398739

26177.881 338.5596

6) Verificarea calculelor:mascoord d D 12266661226666 −− =

Rezolvarea trigonometrică – prin metoda radierii

Elemente necesare rezolvării problemei:- C.68 -



Topografie

a) Coordonatele punctelor vechi 56, 85:

PCT X [m] Y [m]

56 9648.995 5916.022

85 7536.629 6177.881

b) Unghiurile α , β , γ şi δ măsurate pe teren din punctele 666 şi 1226:

P.S. P.V. DIRECŢII

52256 73.180885 204.9303

1226 251.4979

1226

666 325.2366

56 338.924385 53.3259

St 666: α = dir 85 - dir 56 =131.7495; β = dir 1226 - dir 85=46.5676St 1226: γ = dir 56 - dir 666=13.6877; δ = dir 85 - dir 56=114.4016

c) Schiţa vizelor

666

D

56

φ'

φ

r

r 1 α

2

1226666-1226

β

d

γ

5 6 - 85

r 3

4r

δ

'ε

ε

85

Figura 3.27 – Procedeul Hansen. Rezolvarea trigonimetrică

Etape de calcul:1) Calculul distanţei D56-85 şi a orientării θ56-85:

( ) ( ) 53521286856858556 .=−+−=−2

5

2

5 Y Y X X D

14821925685

5685

8556 .=−−

=− X X

Y Y arctg θ

- C.69 -



Topografie

2) Calculul unghiurilor ϕ şi ε:

12765302

22

.

;

=+

=

−=

+=

γ β

ε ϕ ε ϕ

A

B A

ε ϕ ε

ϕ

ε ϕ ψ ϕ

δ γ β γ α

γ β α β δ

si245528

009832

8821021

22

0726336680

0815375040

21

21

21

21

2

1

unghiurile B A

B A

tgA p p

p parctg B

tg p p

p ptg

p

p

⇒

=−=

=+=

=+−

=

++−

=−

=++=

=++=

.

.

.*

*

.)sin(*sin*sin

.)sin(*sin*sin

3) Calculul unghiurilor ϕ’ şi ε’

343125200

99527200

.)('

.)('

=++−=

=++−=

δ γ β ε

γ β α ϕ G

G

4) Calculul orientărilor θ56-666, θ56-1226, θ85-666, θ85-1226

338.5596200

9027363200

1580224

1532232

8556122685

855666685

8556122656

855666656

=−−+=

=−+=

=+=

=++=

−−

−−

−−

−−

'

.

.

.'

ε ε θ θ

ε θ θ

ϕ θ θ

ϕ ϕ θ θ

14821925685

5685

8556 .=−−

=− X X

Y Y arctg θ

5) Calculul distanţelor r 1, r 2, r 3, r 4

436104085561 .sin*

sin== − ε

α

Dr

013162985562 .)'sin(*

sin=+= − ε ε

δ

Dr

80414248556

3 .)'sin(*sin

=+= − ϕ ϕ α

Dr

53410528556

4 .sin*sin

== − ϕ δ

Dr

6) Calculul coordonatelor punctelor 666 şi 1226 prin radiere din punctele 56 şi85:

4638738

4638738

66685385666

66656156666

.cos

.cos

=+=

=+=

−

−

θ

θ

r X X

r X X

II

I

5955412

5965412

66685385666

66656156666

.sin

.sin

=+=

=+=

−

−

θ

θ

r Y Y

r Y Y

II

I

- C.70 -



Topografie

878135

878135

1226854851226

1226562561226

.cos

.cos

=+=

=+=

−

−

θ

θ

r X X

r X X

II

I

5855312

5855312

1226854851226

1226562561226

.sin

.sin

=+=

=+=

−

−

θ

θ

r Y Y

r Y Y

II

I

5855312Y;8135.87X

5965412Y;8738.463X

:finaleoordonate

med

12261226

med

666666

.

.

==

==med

med

C

7) Verificarea calculelor:mascoord d D 12266661226666 −− =

3.3.5. Procedeul Cassini - Martinian

Figura 3.28 – Procedeul Cassini - Martinian

Se dau: Punctele 1, 2 şi 3 prin coordonatele lor Xi şi Yi

Se măsoară unghiurile α şi β din punctul PSe cer coordonatele punctului P.Demonstraţie:Construim prin punctele 1, 2, P cercul C1; prin punctele 2, 3, N cercul C2

∠MP2 = 900 (subîntinde ½ din cerc şi este cu vârful pe cerc)∠2PN = 900 (subîntinde ½ din cerc şi este cu vârful pe cerc)

∠MPN = 1800 M, P, N sunt coliniareDreapta MN P ⊥2

Coordonatele punctului P pot fi determinate ca intersecţie a dreptei 2P cudreapta MN.

Din M şi N se duc paralele la axele de coordonate => QIdem din 2 şi P => R

Notaţii:P – 2 = d; MN = D; NQ = Y N – YM = ΔY; QM = X N – XM = ΔX

PR = Y2 - YP; R2 = X2 - XP; X2 – XM = δx; Y2 – YM = δy

De două ori aria Δ M2N = 2S = d D- C.71 -



Topografie

Calcule Δ MQN ~ Δ PR2

22 P

MN

R

QN

PR

QM == ;

r d

D

X X

Y Y

Y Y

X X

P

M N

P

N M 1

22

==−−

=−−

r d

D

X X

Y

Y Y

X

P P

1

22==−∆=−∆

r (XM – X N) = Y2 - YP; YP =Y2 - r (XM – X N) = Y2 + r (X N – XM)r ΔX = Y2 – YP => YP = Y2 + r ΔXr ΔY = X2 – XP => XP = X2 + r ΔY

(Y N – YM) r = X2 – XP => XP = X2 – r (Y N – YM)XP = X2 - r ΔYMN cunoscut X2, Y2

YP = Y2 + r ΔXMN necunoscut r, ΔYMN, ΔXMN

Calculul diferenţelor ΔXMN, ΔYMN

În Δ M12: M12 = 900

12

1 M ctg =α

În Δ N23: N32 = 900

23

3 N ctg =β

AB este paralelă cu axa OX; 2B şi MA sunt paralele cu axa OY

Δ 1AM ~ Δ 1B2 => α ctg M

B

AM

B

A===

12

1

12

1

α ctg X X

Y Y

Y Y

X X M M =−−

=−

−

12

1

12

1

X1 – XM = (Y2 – Y1) ctgα; YM – Y1 = (X2 – X1) ctgαXM = X1 – (Y2 – Y1) ctgα; YM = Y1 + (X2 – X1) ctgα

Construim dreaptele ce trec prin punctele:C3D - paralelă cu axa OX; B1A - paralelă cu axa OXMQ - paralelă cu axa OX; QND- paralelă cu axa OYB2C - paralelă cu axa OY AMR- paralelă cu axa OY

Δ 2C3 ~ Δ 3DN =>C

D

C

ND N ctg

2

3

323

3===α

23

3

32

3

Y Y

X X

X X

Y Y ctg N N

−

−=

−

−=α

Y3 – Y N = ctgβ (X2 – X3); X3 – X N = ctgβ (Y3 – Y2)X N = X3 – (Y3 – Y2) ctgβ; Y N = Y3 + (X3 – X2) ctgα

Calculul ΔX şi ΔYΔXMN = X N – XM = X3 – (Y3 – Y2) ctgβ – X1 + (Y2 – Y1) ctgαΔYMN = Y N – YM = Y3 + (X3 – X2) ctgβ – Y1 - (X2 – X1) ctgα

Calculul raportului r

D

d r =

Dar 2S = d D- C.72 -



Topografie

2

2

D

S r =⇒

D

S d

2=

S = suprafaţa Δ M2N

)()()( N M M N N M N N

M M

Y Y X Y Y X Y Y X

Y X

Y X

Y X

S −+−+−== 222

22 1

1

1

2

222 )()( M N M N MN Y Y X X D −+−=

22

222

)()(

)()()(

M N M N

M N N M N M

Y Y X X

Y Y X Y Y X Y Y X r

−+−−+−+−

=

Y Y Y

X X X

M N

M N

∆=−∆=−

=∆+∆

−+−+−+−=

22

2222

Y X

Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X r M M M M M N N N M M N M

=∆+∆

−−−+−−−=

22

22

Y X

X X Y Y Y X Y Y X X X Y M N M M N M M N M N )()()()(

=∆+∆

−−+−−=

22

22

Y X

X X Y Y Y Y X X M M N M M N ))(())((

22

22

Y X

X X Y Y Y X M M

∆+∆−∆+−∆−

=)()(

Notăm:

M

M

Y Y Y

X X X

−=−=

2

2

δ

δ 22

Y X

Y X Y X r

∆+∆∆⋅−⋅∆−

=δ δ

Nu se cunosc valorile δX şi δY

α δ

α δ

ctg X X Y Y Y Y Y

ctg Y Y X X X X X

M

M

⋅−+−=−=

⋅−+−=−=

)(

)(

12122

12122

Revenim:=−+⋅−−=∆ 22233 X X ctg Y Y X X MN α )(

=⋅−−−+⋅−+−= β α ctg Y Y X X ctg Y Y X X )()( 23231212

β δ ctg Y Y X X X ⋅−−−+= )( 2323

=−+⋅−−−⋅−++=−=∆

2212123

3

Y Y ctg X X Y ctg X X

Y Y Y Y M N MN

α β )()(

=⋅−+−+⋅−−−= β α ctg X X Y Y ctg X X Y Y )()( 23231212

β δ ctg X X Y Y Y ⋅−−−+= )( 2323

Calculul coordonatelor punctului P

2

2

Y X r Y

Y r X X

P

P

+∆⋅=∆⋅−=

Ordinea calculelor este următoarea:- se calculează δX şi ΔX şi δY şi ΔY

- se calculează r - C.73 -



Topografie

- se calculează XP şi YP

3.3.5.a. Controlul operaţiilor de calculExistă două posibilităţi de control:

a) Folosind o a patra viză b) Controlul calculului executatControlul constă în: razele unui cerc sunt egale

C1P = C12 = C11C2P = C22 = C33

222

1

2

1 1111)()()()( P C P C C C

Y Y X X Y Y X X −+−=−+−

1C X şi 1C

Y sunt coordonatele punctului C1

022

22

1111

1111

2222

1

2

1

2

1

2

1

2

=+−−+−−

−−++−+

P C P C P C P C

C C C C

Y Y Y Y X X X X

Y Y Y Y X X X X

0211

22

1

22

1 11

=−+−−−+− )}()({PC PC P PY Y Y X X X Y Y X X

Figura 3.29 – Procedeul Cassini – Martinian. Control de calcul

22

22

2 11 X X X X X X

C C δ δ −=⇒−=

2

2

2

22 11

Y Y Y

Y Y Y

C C

δ δ −=⇒−=

022 1212

22

1

22

1 =−⋅−+−⋅−−−+− )]()()()[()()(P P P P Y Y Y Y X X X X Y Y X X δ δ

Notăm:K = 2X2 – δX; L = 2Y2 – δY

01

22

11

22

1=−⋅−−+−⋅−− )()()()(

P P P P Y Y LY Y X X K X X

În cercul 2 vom avea:

03

22

33

22

3 =−⋅−−+−⋅−− )(')()(')( P P P P Y Y LY Y X X K X X

- C.74 -



Topografie

K’ = 2X2 – δX + ΔX = K + ΔXL’ = 2Y2 – δY + ΔY = L + ΔY

Obs.

1. Dacă ΔX şi ΔY → 0 punctul P se află pe cercul vicios2. Dacă numai ΔX → 0 sau numai ΔY → 0 atunci dreapta P2 este paralelăcu una din axele de coordonate.3.3.5.b. Exemplu

PROCEDEUL CASSINI – MARTINIANCalculul coordonatelor punctului de îndesire 202

Elemente necesare rezolvării problemeia) Coordonatele punctelor vechi 63, 77, 92, 73

Pct X Y

63 7794.871 7807.48977 7006.267 8873.49592 6058.081 7560.91273 5902.607 5663.156

b) Unghiurile orizontale γ β α ,, măsurate pe terenPS PV Dir. măsurate202 63 227.8989

77 314.9047

92 53.045273 105.5005

595819090473145005105

14051389047314045253

00588789892279047314

7773

7792

6377

...

...

...

=−=−==−=−=

=−=−=

dir dir

dir dir

dir dir

γ

β

α

c) Schiţa vizelor

77

β

92γ

101

77α

63

Figura 3.30 – Procedeul Cassini – Martinian. Schiţa vizelor în punctul 202

Etape de calcul:Combinaţia 1 - folosind unghiurile α şi şi coordonatele pct. 63, 77, 92

1) Calculul valorilor y x y x ∆∆ .,,δ δ

- C.75 -



Topografie

946053567

2677006871779400588748978074958873

776363

.

...)..(

)(

−==+−−=

=+−−=ctg

X X ctg Y Y x n α δ

2431111229

4958873489780700588726770068717794

77637763

.

...)..()(

==+−−= =+−−=

ctg Y Y ctg X X y α δ

β δ

β δ

ctg X X Y Y y y

ctg Y Y X X x x

)(

)(

77929277

92779277

−++−=∆−++−=∆

4036522412140513891275604958873

08160582677005946053567

..)..(

...

−=−+++−−=∆

ctg

X

1103543564140513826770060816058

912756049588732431111229

..)..(

...

=−+++−=∆

ctg

Y

2. Calculul raportului r

( ) ( )43093580

110354315644036522412

24311112294036522412946053567110354356422

22

...

....=

+⋅+⋅

=

=∆+∆∆−∆= y x

y x x yr

δ δ

3. Calculul coordonatelor punctului 202

90478334036522412430935808873

17267631103543564430935802677006

77202

77202

...

....

=⋅−=∆+==⋅−=∆−=

xr Y Y

yr X X

Combinaţia 2–folosind unghiurile α şiβ şi coordonatele punctelor 63, 77,731. Calculul valorilor y x y x ∆∆ ,,,δ δ

( )( ) 77637763

77636377

Y Y ctg X X y

X X ctg Y Y x

+−−=

+−−=

α δ

α δ

( )( ) γ δ

γ δ

ctg X X Y Y y y

ctg Y Y X X x x

77737377

73777377

−++−=∆

−++−=∆

( )

( )2431111229

4958873489780700588726770068717794

946053567

2677006871779400588748978074958873

......

.

.....

= =+−−=

−==+−−=

ctg y

ctg x

δ

δ

( )

( ) 7355275435595819026770066075902

156566349588732431111229

771242345595819015656634958873

60759027006267946053567

....

...

....

..

=−+

++−=∆

−=−+

++−−=∆

ctg

y

ctg

x

2. Calculul raportului r

- C.76 -



Topografie

( ) ( )0447217290

73552754357712423245

243111122977124232455946053567735527543522

22

.

..

....

=

=+

⋅+⋅−=

=∆+∆∆−∆

= y x

y x x yr

δ δ

3. Calculul coordonatelor punctului 202

9047833771242324504472172904958873

1726763735527435044721729502677006

77

2

202

77

2

202

....

....

=⋅−=∆+=

=+=∆−=

xr Y Y

yr X X

Calculul coordonatelor finale ale punctului 202Comb. 1 + Comb. 2

mY

m X

9047833

1726763

202

202

.

.

=

=

3.3.6. Rezolvarea Marek În zonă sunt două puncte inaccesibile 1 şi 2 de coordonate cunoscute

spre care există vizibilitate din punctul R pe care vrem să-l determinăm.În apropiere se poate găsi un punct S (necunoscut) care să aibă

vizibilitate reciprocă cu R şi spre punctele cunoscute 3 şi 4.Se măsoară: α; β; γ şi δ.

Figura 3.31 – Procedeul Marek

Calculăm:α’ = 200g – α; β’ = 200g – β; γ’ = 200g – γ; δ’ = 200g – δ

Se observă că∠A21 = α’; ∠A12 = β’; ∠34B = γ’; ∠43B = δ’

Calculul orientărilor:θ1-2 = din coordonate; θ1-A = θ1-2 + β’; θ2-A = θ2-1 – α’;θ3-4 = din coordonate; θ3-B = θ3-1 – δ’; θ4-B = θ4-3 + γ’

Se calculează coordonatele punctelor A şi B prin intersecţie înainte din 1

- C.77 -



Topografie

şi 2, respectiv din 3 şi 4.Se obţin XA, YA; XB, YB.Se determină θAB din coordonate: θAB = θRS

θR1 = θRS – α; θS-3 = θR-S ± 200g

+ γθR2 = θRS – β; θS-4 = θR-S ± 200g – δPunctele R şi S se determină prin intersecţie înainte respectiv din 1 şi 2;

3 şi 4Se obţin XR , YR ; XS , YS

Verificare:- Se calculează suprafaţa închisă ARSB care trebuie să fie zero.- Se calculează coordonatele punctului R prin intersecţie înainte din 1 şi S

obţinându-se aceleaşi coordonate.

3.3.7. Procedeul intersecţiei generalizate înapoi

Figura 3.32 – Procedeul intersecţiei generalizate înapoi

A, B, C – puncte vechi de coordonate cunoscute (X i,Yi)P, Q, R – puncte noi de coordonate necunoscute (X i,Yi)αi, βi – se măsoarăCalcule:

A B

A B

AB

AB AB

X X Y Y

X Y arctg

−−=∆∆=θ

BC

BC

BC

BC

BC X X

Y Y

X

Y arctg

−−

=∆∆

=θ

22

AB AB Y X a ∆+∆=22

BC BC Y X b ∆+∆=

γ = θBA – θBC; φ = ?; ψ = ?φ + ψ = (n-2) 200 – (∑αi + ∑βi +∑γi)

A=+

2

ψ ϕ

- C.78 -



Topografie

ϕ α sinsin

pa

P

= ; P Q

q p

β α sinsin=

Q R

r q

β α sinsin= ;

R

b p

β ψ sinsin=

Înmulţim termen cu termen:

RQ P RQ P

ba

β β β ϕ ψ α α α sinsinsinsinsinsinsinsin ⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅

2

1

P

P

a

b

RQ P

RQ P =⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

β β β

α α α

ψ

ϕ

sinsinsin

sinsinsin

sin

sin

2

1

P

P =

ψ

ϕ

sin

sin;

21

21

P P

P P

+−

=+−

ψ ϕ

ψ ϕ

sinsin

sinsin

21

21

222

222

P P

P P

+

−

=−+

+−

ψ ϕ ψ ϕ

ψ ϕ ψ ϕ

cossin

cossin

21

21

2

2

P P

P P

tg

tg

+−

=+

−

ψ ϕ

ψ ϕ

;21

21

22 P P

P P tg tg

+−

⋅+

=− ψ ϕ ψ ϕ

B=−2

ψ ϕ ; φ = A + B; A=

+2

ψ ϕ ; ψ = A – B

4) Calculul orientărilor θAP = θAB + φ

θPQ = θAP ± 200g + αP + βP; θQR = θPQ ± 200g + αQ + βQ;θRC = θQR ± 200g + αR + βR ; θCB = θRC ± 200g + ψ (control)

θBP = θBA – γ1

θBQ = θBA – (γ1 + γ2); θBR = θBA – (γ1 + γ2 + γ3);5) Determinarea coordonatelor folosind procedeul analitic

Figura 3.33 – Determinarea punctelor P, Q, R

Control : ecart max 15 – 20 cm- C.79 -



Topografie

6) Determinarea coordonatelor prin procedeul trigonometricSe determină p, q, r, d1, d2, d3 cu teorema sinusului aplicată în fiecare

triunghi.

P dublu radiat din B şi AQ dublu radiat din P şi B Ecart ≤ 15 –20 cmR triplu radiat din B, Q şi C

3.4. Intersecţia lateralăIntersecţia laterală este o metodă de îndesire a punctelor combinată din

intersecţii înainte şi înapoi. Metoda foloseşte atât vize orientate de la punctevechi de coordonate cunoscute, ca la intersecţia înainte, cât şi vize duse de la

punctul nou de determinat spre puncte vechi de coordonate cunoscute, ca la

intersecţia înapoi.

Figura 3.34 – Intersecţia laterală

Din 1 şi 2 se vizează punctul P.Din P se vizează 1, 3, 4 (punctul 2 nu se vede).Coordonatele punctului P s-ar putea determina prin:

- intersecţie înainte a vizelor orientate 1 – P şi 2 – P, dar determinarea dintr-o singură intersecţie nu este suficientă (nu este nici convenabilă).

- intersecţie înapoi folosind vizele P – 1, P – 4, P – 3; ca verificare avem θP-

2 egală cu θ2-P ± 200g. Acesta nu se utilizează deoarece nu ia în considerareşi viza 2 – P.

Pentru a înlătura aceste inconveniente se procedează astfel:- se determină θP-1 = θ1-P ± 200g

- se calculează θP-3 = θP-1 + α; θP-4 = θP-1 – β- se calculează θ3-P = θP-3 ± 200g; θ4-P = θP-4 ± 200g

- Se obţin toate cele patru direcţii orientate θ1-P; θ4-P; θ3-P; θ2-P

- se grupează direcţiile astfel orientate două câte două încât să formeze

unghiuri optime pentru intersecţiile înainte.- C.80 -



Topografie

- se efectuează apoi din aceste vize calculul a două, trei intersecţii înainte.Observaţie: dacă se doreşte o precizie mai mare se foloseşte intersecţia

laterală. În acest caz avem nevoie de mai multe vize orientate din exterior spre

punctul nou.3.4.1 Orientarea vizelor în staţie.

Figura 3.35 – Orientarea vizelor în staţii de coordonate cunoscute

- se măsoară direcţiile V1, V2, …,V6;

- se calculează θ5-1 şi θ5-6 (din coordonate);- se determină: Z5’ = θ5-1 – V1; Z5’’ = θ5-6 – V6

65

6555m

PP

P''ZP'ZZ

++

= ; Pi = distanţa;

- - se calculează orientările vizelor: θ5-2 = Zm + V2

θ5-3 = Zm + V3; θ5-4 = Zm + V4

- C.81 -



Topografie

3.5. Intersecţia liniară

Figura 3.36 – Intersecţia liniară

Puncte de coordonate cunoscute: A(XA,YA); B(XB,YB)Măsurat în teren: DAP; DBP

Distanţele pot fi măsurate din punctele vechi spre punctul nou sau din punctul nou spre punctele vechi.

Se consideră un cerc circumscris triunghiului ABP cu diametrul AB. De preferinţă unghiul γ = 100g. Procedeul devine tot mai inexact cu cât punctul P seaflă mai aproape de baza AB. Din figură se remarcă că punctul P poate fi în

stânga sau în dreapta bazei AB, rezolvarea matematică fiind acceaşi.Calcule:

22 )()( A B A B AB Y Y X X D −+−=

AB

AB

AB

A B

A B

AB X

Y arctg

X X

Y Y tg

∆∆

=⇒−−

= θ θ

Determinarea unghiului α aplicând teorema lui Pitagora generalizată:

)()(

)()()(arccos

masurat AP calculat AB

masurat BP masurat AP calculat AB

D D

D D D

⋅⋅

−+=

2

222

α

În funcţie de sensul de rotaţie unghiul α trebuie să primească semnul +sau –

θAP = θAB + αrezultă:

XP = XA + DAP cosθAP; YP = YA + DAP sinθAP

Pentru control trebuie să fie îndeplinite relaţiile22 )()( B P B P BP Y Y X X D −+−=

PB

PB

BP

B P

B P

BP X

Y arctg

X X

Y Y tg

∆∆

=⇒−−

= θ θ

Se poate verifica acum, funcţie de semnul unghiului β, dacă punctul este- C.82 -



Topografie

în stânga sau în dreapta bazei.β = θBP - θBA

În cazul în care s-a măsurat suplimentar şi distanţa DAB între punctele

vechi, se poate calcula factorul de scară:

)(

)(

masurat AB

calculat AB

D

Dq =

Urmând acelaşi algoritm prezentat înainte se calculează coordonatele punctului nou cu relaţiile:

XP = XA + (q DAP) cosθAP; YP = YA + (q DAP) sinθAP

Un control suplimentar faţă de cel prezentat mai înainte este:

q

D D

calculat BP

masurat BP

)(

)( =

3.6. Câteva aspecte privind precizia interioară şiexterioară în reţelele de sprijin

După cum este cunoscut eroarea medie a punctului22

y x P mmm +±=

este o măsură a preciziei care este cel mai adesea preferată pentru reţelele desprijin. Ea descrie, printr-o cifră precizia determinării unui punct şi este univocdeterminată, ea nemodificându-şi valoarea în cazul transformărilor spredeosebire de erorile medii mx şi my ale coordonatelor.

În compensările reţelelor prin metoda observaţiilor indirecte aceste erorise calculează relativ uşor pentru fiecare punct, coeficienţii de pondere Qxx şi Qyy

pentru punctele noi se găsesc pe diagonala principală a matricei de cofactori.ii H Qmm

i 0= pentru punctele reţelei nivelitice xx x Qmm

0= pentru punctele reţelei planimetrice

yy y Qmm 0= pentru punctele reţelei planimetrice yy xx P QQmm +±= 0

De regulă, în multe domenii, reţelele de sprijin locale sunt prelucrate ca

reţele libere. Aici nu sunt date puncte de sprijin vechi, neeronate, care să deter-mine originea, orientarea şi factorul de scară.Fiecare punct din reţea este considerat ca punct nou. Înlăturarea singula-

rităţii matricei de ecuaţii normale care apare la compensarea prin metoda măsu-rătorilor indirecte se face fie prin adăugarea unor ecuaţii de condiţii suplimen-tare fie utilizând pseudo-inversa Moore-Penrose.

În reţelele libere se pot calcula erorile medii pentru toate punctele reţelei(nu sunt puncte vechi fără erori).

Se remarcă faptul că erorile medii de determinare ale punctelor în acestereţele sunt semnificativ mai mici decât într-o reţea constrânsă cu aceeaşi confi-guraţie.

- C.83 -



Topografie

Este interesant de urmărit faptul că erorile medii ale punctelor crescatunci când se reduce numărul punctelor de constrângere, iar când aceste con-strângeri dispar în reţea, erorile punctelor devin brusc semnificativ mai mici.

Explicaţia acestui fenomen conduce la întrebarea: care este semnificaţiageometrică a erorilor medii ale punctelor în reţelele constrânse şi în reţelelelibere?

a) Semnificaţia geometrică a erorii medii a unui punct nou într-o reţeaconstrânsă

În reţelele constrânse, pentru eroarea unui punct nou mP se pot da douăexplicaţii:

1. Prima rezultă din diferenţa coordonatelor dintre un punct vechi (oare-care) şi punctul nou.

Notăm:XA, YA şi HA – coordonatele fără erori ale punctului vechi

Xi, Yi şi Hi – coordonatele cu erori ale punctului nouRezultă:

ΔXAi = Xi – XA; ΔYAi = Yi – YA; ΔHAi = Hi – HA

Conform legii de propagare a erorilor:

Xi X mm Ai

=∆ ; YiY mm Ai

=∆ ; Hi H mm Ai

=∆

cu:2222

Ai Ai Y X Yi Xi Pi mmmmm ∆∆ +=+±= ; Ai H Hi mm ∆±=

Observaţie: Eroarea medie mPi a unui punct nou este egală cu radicalulsumei erorilor medii pătratice a diferenţelor de coordonate dintre punctul nou P i

şi un punct vechi oarecare.

Figura 3.37 – Coordonate polare

2. Cea de-a doua semnificaţie rezultă din legătura dintre un punct vechişi punctul nou considerat exprimată prin coordonate polare DAi şi θAi unde:

2222 )()( Ai Ai Ai Ai AiY Y X X Y X D −+−=∆+∆=

- C.84 -



Topografie

Ai

Ai

Ai X X

Y Y arctg

−−

=θ

Aplicând legea de propagare a erorilor obţinem:

22222

2

2

2

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2

iiii

ii

ii Ai

Y X Y

Ai

Ai

X

Ai

Ai

Y

Ai Ai

Ai

X

Ai Ai

Ai

Y

i

Ai X

i

Ai D

mmm D

Y Y m

D

X X

mY Y X X

Y Y m

Y Y X X

X X

mY Dm

X Dm

⋅+⋅=⋅

−+⋅

−

=⋅

−+−

−+⋅

−+−

−

=

∂∂+⋅

∂∂=

θ θ sincos

)()(

)(

)()(

)(

( )2222

2

22

22

2

2

2

2

2

1i Aii Ai

ii

i

i

i

i

Ai

Y X

Ai

Y

Ai

Ai

X

Ai

Ai

Y

Y

Ai

X

X

Ai

mm D

m D

X X m

D

Y Y

mmm

⋅+⋅

=⋅

−+⋅

−

=⋅

∂∂

+⋅

∂∂

=

θ θ

θ

θ θ

cossin

Este ştiut că influenţa erorii orientării acţionează ca o eroare transversalăcorespunzătoare distanţei DAi.

222

ii Ai Ai Y AiY Ai

Ai

Ai

Aiqmm

D

Dm Dm ⋅+⋅±=⋅= θ θ θ cossin

Deci, eroarea medie totală va fi:

( ) ( )

iii

ii

Ai Aii

P Y X

Y Ai Ai X Ai Ai

q D P

mmm

mm

mmm

=+

=⋅++⋅+±=

=+±=

22

222222

22

θ θ θ θ cossinsincos

Observaţie: Eroarea medie totală i P m este obţinută ca fiind radical din

suma erorilor distanţei şi orientării dintre punctul nou i un punct vechi oarecare. b) Semnificaţia geometrică a erorii medii a unui punct într-o reţea liberăSemnificaţia geometrică de la punctul a) nu se mai poate folosi aici

neavând puncte vechi.

Dacă se calculează însă diferenţa de nivel dintre un punct nou şi centrulde greutate al altitudinilor unei reţele cu n p puncte noi obţinem:

( )∑

=− −

−=

+++−=∆

p

p

n

j

j

p p

i p

p

n

i BiH

nn

H n

n

H H H H H

2

21 11...

pn pn pn

pn piiipiBiBiB

H H

p

H H

p

H H

p

H H

p

p

H H

p

p

H H

p

P H H

qn

qn

qn

qn

nq

n

nq

n

nq

⋅+⋅−+⋅+

+⋅−

−−⋅−

−⋅

−= ∆∆∆∆

222

22

2

121

12

121

221...

...

Grupând convenabil termenii:

- C.85 -



Topografie

( )

( ) ......

...

++++⋅+

++++⋅−

−=∆∆

22221

121111111

2

2

1

12

H H H H H H

p

H H H H H H

p

p

H H H H

pn

pn B B

qqq

n

qqqn

nqq

În cazul reţelelor libere parantezele sunt egale cu zero:iiii H H H H qq =∆∆ ; iii H H H

mm =∆∆

Observaţie: Eroarea medie a altitudinii unui punct nou i H m într-o reţealiberă este egală cu eroarea medie a diferenţei de nivel între punctul respectiv şicentrul de greutate (cota medie) a tuturor punctelor din reţea.

Reţele planimetriceUrmărind raţionamentul de mai sus se obţine asemănător:

iiiBiB X X X X qq =∆∆ ; iiiBiB Y Y yY qq =∆∆

şi deciiiB X X

mm =∆ ; iBi Y Y mm ∆=2222

Y X Y X Pi mmmmmiBiB ∆∆∆∆ +±=+±=

Folosindu-ne de coordonate polare:

( ) ( )

iiii

iiiiiiii

ii

Y Y X X

Y Y X X

q D Pi

QQm

QQm

mmm

+±=

=⋅++⋅+=

=+±=

0

2222

0

22

θ θ θ θ

θ

sincossincos

Observaţie: Într-o reţea planimetrică liberă, eroarea medie Pim a unui punct este egală cu radical din suma pătratelor erorilor medii a creşterilor decoordonate dintre punctul considerat şi centrul de greutate al reţelei sau curadical din suma pătratelor erorilor distanţei şi a orientării dintre punctulconsiderat Pi şi centrul de greutate.Concluzii:

- eroarea medie totală a unui punctii Hi Qmm

0=

iiii Y Y X X Pi QQmm += 0

are semnificaţii total diferite în reţele constrânse şi în reţele libere deşi forma deexprimare este aceeaşi;

- în reţele cu aceeaşi configuraţie prelucrate ca reţea constrânsă şi liberă,comparaţii între erorile medii totale nu au sens, ele au semnificaţiigeometrice diferite;

- pentru a scoate în evidenţă această deosebire m p este denumită în reţeleleconstrânse “eroare medie exterioară a punctelor”, iar în reţelele libere“eroare medie interioară a punctelor”;

- pe lângă preciziile punctelor, în reţelele locale adesea se mai prezintă şi precizia întregii reţele, pentru aceasta se foloseşte media pătratică a

tuturor erorilor punctelor n p din reţea:- C.86 -



Topografie

( )∑∑==

+±=±= p p

i

n

i

i

YY

i

XX

p

n

i

p

p

R QQn

mmn

m1

01

2 11 )()(

- În reţelele constrânse aceasta se numeşte “eroare medie exterioară a

reţelei”, iar în reţelele libere “eroare medie interioară a reţelei”.- Comparaţii între aceste două mărimi nu au sens, ele au semnificaţii

geometrice total diferite.

- C.87 -



Topografie

4.4. Transmiterea la sol a punctelor deTransmiterea la sol a punctelor de triangulaţie şi îndesiretriangulaţie şi îndesire

În cazul în care nu există vizibilitate (în oraşe, pe şantiere, în terenuri cuacoperire mare şi obstacole multe şi înalte) şi suntem siliţi să ne urcăm peedificii înalte (terasele clădirilor, turnuri, etc.) ca să putem da vizele necesaretriangulaţiei sau îndesirii punctelor, legarea drumuirilor de aceste puncte situatela înălţime nu se mai poate face pe calea normală cunoscută.

Este necesar în acest caz, ca prin măsurători şi calcule suplimentare să se

determine pe sol în apropierea punctului înalt, de pe clădire, câteva puncte (ex.1, 2, 3,…) prin coordonatele lor de care se vor lega apoi drumuirile.Se întâlnesc frecvent în practică două cazuri, după cum punctele sunt

staţionabile sau nestaţionabile.

4.1. Cazul când punctual transmis la sol este staţionabil

Figura 4.1 – Transmiterea la sol. Cazul când punctul este staţionabil

Să presupunem că avem un punct de triangulaţie P de coordonatecunoscute situat pe terasa unei clădiri. Avem astfel posibilitatea să facem staţiecu teodolitul în acest punct. Din acest punct P se observă încă cel puţin 1-2

puncte de triangulaţie mai îndepărtate.Pentru ca acest punct să servească la închiderea drumuirilor, el trebuie

- C.88 -



Topografie

transmis la sol. În acest scop efectuăm următoarele operaţii de teren:- se aleg la nivelul terenului punctele 1, 2, 3 astfel încât ele să formeze cu

punctul P două triunghiuri aproximativ echilaterale şi se bornează aceste

puncte;- se staţionează cu teodolitul în punctul P, în punctele 1, 2, 3, şi se măsoarăcu precizia corespunzătoare îndesirii triangulaţiei, unghiurile α1, β1, γ1, δ1

şi α2, β2, γ2, δ2;- se măsoară cu precizia corespunzătoare laturile d1 şi d2 ale celor două

triunghiuri;La birou efectuăm următoarele operaţii:

- se determină în valorile lor orizontale, distanţele d1 şi d2 prin aplicareatuturor corecţiilor (tensiune, etalonare, temperatură şi reducere la orizont).Dacă se lucrează în sistemul de coordonate geodezice se vor mai aplica ladistanţele d1 şi d2 şi corecţiile de reducere la nivelul mării, precum şicorecţiile prin care să se ţină seama de deformaţiile cauzate de sistemul de

proiecţie adoptat.- se compensează unghiurile αi, βi, γi în cele două triunghiuri astfel:

În triunghiul I: α1' + β1' + γ1' – 200g = w1, unde α1', β1', γ1' suntungiurile măsurate

3

111

w+= 'α α ;

3

111

w+= 'β β ;

3

1

11

w+= 'γ γ

În triunghiul II: α2' + β2' + γ2' – 200g = w2

3

222

w+= 'α α ;

3

222

w+= 'β β ;

32

22

w+= 'γ γ

pentru controlαi + βi + γi = 200g

- se calculează orientările 1 PT θ şi 2 PT θ din coordonatele punctelor vechi(P, T1 şi T2)

- se calculează orientările de la punctul P spre cele trei puncte de la solastfel:

111δ θ θ += PT P

' =>21

21 11

1 nn

nn P P

P ++=

''' θ θ θ

)('

12221γ γ δ θ θ ++−=

PT P

)('1112

γ δ θ θ ++= PT P =>21

21 22

2 nn

nn P P

P +

+=

'''θ θ

θ

)(''2222

γ δ θ θ +−=PT P

- C.89 -



Topografie

)('

21113γ γ δ θ θ +++= PT P =>

21

21 33

3 nn

nn P P

P +

+=

'''θ θ

θ

223

δ θ θ −= PT P

''

- cu teorema sinusului se calculează lungimile laturilor, adică r 1, r 2 şi r 3

1

1

2

1

1

1

1 M r r d

===α β γ sinsinsin

'

;

r 1 = M1 sinβ1; r 2’ = M1 sinα1

2

2

3

2

2

2

2 M r r d

===α β γ sinsinsin

''

;

r 2’’ = M2 sinβ2; r 3 = M2 sinα2

Dacă r 2’- r 2’’< toleranţa, se face media celor două valori.- se calculează coordonatele punctelor 1,2 şi 3 prin radiere din P’(x, y)

- ca verificare trebuie să găsim din coordonatele calculate aceleaşi distanţed1 şi d2.

Coordonatele punctelor 1, 2 şi 3 transmise la sol se mai pot calcula şi prin drumuire plecând din punctul P’, pe traseul P’ – 1 – 2 – 3 – P’ la care în prealabil s-au transmis orientările θP’1, θ12; θ23 şi θ3P’ făcându-se compensarearespectivă pe orientări şi pe coordonate.

Punctelor 1, 2 şi 3 li se pot determina şi cote prin nivelment geometric,

de la un reper de nivelment sau prin nivelment trigonometric din punctul P înfuncţie de altitudinea punctului P, de unghiurile verticale şi de distanţele respective.

4.1.1. ExempluTRANSMITEREA LA SOL A COORDONATELOR

PUNCTULUI DE TRIANGULAŢIE SITUAT LA ÎNĂLŢIMEA) Cazul când punctul este accesibil


a) Coordonatele punctului ce urmează să fie transmis la sol (59) şi ale punctelor de orientare (77 şi 55)

Pct X Y

59 9507,900 8704,78077 7006,267 8873,49555 10133,121 6959,121

b) Schiţa vizelor

- C.90 -



Topografie

55

59

77

I

II

1

3

2

N

N

N

θ1-2

θ2-3

θ3-59

α1

β1

β2

α2

δ2

γ 2

γ 1

δ1

d1

r 2

d2

r 3

r 1

Figura 4.2 – Transmiterea la sol a coordonatelor punctului staţionabil 59

c) Unghiurile orizontale măsurate în punctul 59 şi în punctele de la sol 1, 2, 3.


59 77 309,913655 36,09401 80,3550

2 127,91933 191,2111

1 59 123,05802 36,6585

2 3 34,993559 97,86301 163,8996

3 59 0,0000

2 73,83831: 39958665853605801232591 ...' =−=−= dir dir α

2: 03666686309789961635911 ...' =−=−= dir dir β

59: 5643473550809193127121 ...' =−=−= dir dir γ

2: 8695629935348630973592 ...' =−=−= dir dir α

3: 838373000008383735922 ...' =−=−= dir dir β

59: 29186391931272111191232 ...' =−=−= dir dir γ

59:702511821111919136309

26144094036355080

3772

5511

...

...

=−=−==−=−=

dir dir

dir dir

δ

δ

- C.91 -



Topografie

d)Distanţele orizontale pe teren între punctele de la sol

m Dd

m Dd

981121

75592

322

211

.

.

====

−

−

Etape de calcul1. Compensarea unghiurilor iii γ β α ,, în triunghiurule 1 şi 2

00040200291863838373869562200

00040200564347036666399586200

2222

2111

....

....'''

'''

−=−++==−++

=−++==−++

W

W

G

G

γ β α

γ β α

56424700010

03656600010

39938600020

11

11

11

..

..

..

'

'

'

=−=

=−=

=−=

γ γ

β β

α α

29196300010

83857300020

86966200010

21

22

22

..

..

..

'

'

'

=+=

=+=

=+=

γ γ

β β

α α

2. Calculul lungimilor laturilor 321r r r ,,

Triunghiul 1

39313339938649656136

52811703656649656136

4965613136564247

75592

112

111

1

2

1

1

1

11

..sin.sin

..sin.sin

..sin

.

sinsinsin

=⋅===⋅==

=====

α

β

α β γ

M r

M r

r r d M

Triunghiul 2

45212186966250719145

39313383857350719145

5071971145291963

981121

223

222

2

3

2

2

2

2

2

..sin.sin

..sin.sin

..sin

.

sinsinsin

=⋅==

=⋅==

=====

α

β

α β γ

M r

M r

r r d M

3.Calculul orientărilor de sprijin

8945321900950711110133

78087041216959

71319590095072677006

78087044958873

5559

7759

...

..

...

..

=−

−

=

=−−=

−

−

arctg

arctg

θ

θ

4. Calculul orientărilor laturilor triunghiurilor

( ) 1544366400

1555366

1227759159

15559159

.

.

=+++−=

=+=

−−

−−

γ γ δ θ θ

δ θ θ II

I

155366159 .=−med θ

01052772004007025118713195200400

8496150869662036566200755779200

755779399386200155366400200

27759593

212132

115921

...

....

...

=−+−=−+−==−−−=−−−=

=−−=+−−=

−−

−−

−−

δ θ θ

α β θ θ

α θ θ

- C.92 -



Topografie

5. Calculul coordonatelor punctelor

Dela

la D(m) θCoord.relative Coord.absolute

Pct. X δ Y δ X Y

59 - - - - - 9507.9 8704.78 59

59 1 117.528 366.155 101.307 -59.580 9609.207 8645.2 1

1 2 92.755 79.7557 29.001 88.105 9638.208 8733.305 2

2 3 121.981 150.8496 -87.397 85.095 9550.811 8818.4 3

3 59 121.453 277.0105 -42.911 -113.619 9507.9 8704.781 59

6. Controlul calculelor :calcmas Dd 211 −= ; calcmas

Dd 322 −=

( ) ( )

( ) ( ) m D

m D

98112120896388119550305873348818

7559220796092089638286453058733

22

32

22

21

.....

.....

=−+−=

=−+−=

−

−

Coordonatele punctelor 1, 2, 3.X1 = 9609.207 m; Y1 = 8645.200 mX2 = 9638.208 m; Y2 = 8733.305 mX3 = 9550.811 m; Y3 = 8818.400 m

4.2. Cazul când punctul transmis la sol este nestaţionabilElemente cunoscute: coordonatele punctelor P, T1, T2.

Elemente măsurate:a) αi, βi; ε1 şi ε2

b) a, b.Rezolvare:

1) Calculul unghiurilor γi :γ1 = 200g – (α1 + β1);γ2 = 200g – (α2 + β2)

2) Calculul lungimii laturilor triunghiurilor:

1

2

1

1

1 α β γ sinsinsin

'r r a

== =>1

1

1 β γ sinsin

a

r = => 1

1

2 α γ sinsin

a

r =

2

3

2

2

2 α β γ sinsinsin

r r b== => 2

2

2 β γ

sinsin

br = => 2

2

3 α γ

sinsin

br =

- C.93 -



Topografie

Figura 4.3 – Transmiterea la sol. Cazul când punctul este nestaţionabil

3) Calculul distanţelor PT1 şi PT2 din coordonate:22

111)()( P T P T T P Y Y X X D −+−=−

22

222)()( P T P T T P Y Y X X D −+−=−

4) Calculul unghiurilor δ1 şi δ2

1

12

1

T P D

r

−

⋅=

ε δ

sinarcsin ;

2

22

2

T P D

r

−

⋅=

ε δ

sinarcsin

5) Calculul orientărilor spre punctele noi:

1

1

1

T P

T P

T P X

Y arctg

−

−− ∆

∆=θ ;

2

2

2

T P

T P

T P X

Y arctg

−

−− ∆

∆=θ

12 1ϕ θ θ +=

PT P

' ; )(111 200 δ ε ϕ +−= g

22 2ϕ θ θ +=

PT P

'' ; )( 222200 δ ε ϕ +−= g

21

21

2

T P T P

T P T P

P D D

D D

−−

−−− +

⋅+⋅=

''' θ θ θ

121 γ θ θ −= −− P P

223 γ θ θ += −− P P

6) Calculul coordonatelor punctelor 1, 2, 3.X1 = XP + P1 cosθP-1; X2 = XP + P2 cosθP-2; X3 = XP + P3 cosθP-3

Y1 = YP + P1 sinθP-1; Y2 = YP + P2 sinθP-2; Y3 = YP + P3 sinθP-3

7) ControlaY X D ≈∆+∆= −−=

2

21

2

2121 ; bY X D ≈∆+∆= −−−2

32

2

3232

(în limita a câţiva cm)

- C.94 -



Topografie

4.2.1. ExempluB) Cazul când punctul este inaccesibil


a) Coordonatele punctului ce urmează să fie transmis la sol (85)Pct X Y85 7536.629 6177.88163 7794.871 7807.48977 5902.607 5663.156

b) Unghiurile orizontale măsurate în punctele de la sol 4, 5, 6.


4 5 119.3733

85 194.57925 6 371.4386

85 35.35814 96.2594

63 183.173273 327.2589

6 85 190.35275 269.0543

5: 9013608541 .=−= dir dir α

4: 2059755851 .=−= dir dir β

6: 7016788552 .=−= dir dir α

5: 9195636852 .=−= dir dir β

5: 815114785631 .=−= dir dir δ

5: 099210873852 .=−= dir dir δ

c)Distanţele orizontale pe teren între punctele staţionate

m Dd m Dd 526186853204 652541 .;. ==== −−

d) Schiţa vizelor

- C.95 -



Topografie

73

δ

βr 1

r

6IV

φ2

D2

3

δ2

d2

α2

II

β2

α1

2

1

λ2 γ

85 λI

2r

γ 1

1

N

4

63D1

5

1

d1

φ1

III

Figura 4.4 – Transmiterea la sol a coordonatelor punctului nestaţionabil 85

1. Calculul unghiurilor iδ

378957200

892863200

222

111

.

.

=−+=

=−+=G

G

β α δ

β α δ

2. Calculul lungimilor laturilor 321r r r ,,

694224

497198

882242

112

111

1

1

1

.sin

.sin

.

sin

==

==

==

β

α γ

M r

M r

d M

692242 .=r

682200

685224

874237

223

222

2

2

2

.sin

.sin

.sin

==

==

==

β

α

γ

M r

M r

d M

3. Calculul distanţelor D1 şi D2

1751713

9431649

73851

63851

.

.

====

−

−

D D

D D

4. Calculul unghiurilor 21,ϕϕ

347561

1

21

1

563

1

2

1

1

.sinarcsin

sinsinsin

=

=

== −

δ ϕ

λ ϕ δ

D

r

Dr D

305682

2

2

2

2

573

2

2

2

2

.sinarcsin

sinsinsin

=

=

== −

δ ϕ

λ ϕ δ

D

r

Dr D

5. Calculul unghiurilor 21,λλ- C.96 -



Topografie

595283200

837445200

222

111

.

.

=−+=

=−+=G

G

δ ϕ λ

δ ϕ λ

6. Calculul orientărilor de sprijin

4274219994889 73856385 .;. == −− θ θ 7. Calculul orientărilor laturilor triunghiurilor

939471400

939471

127385485

116385485

.

.

=+−−=

=−+=

−−

−−

γ λ θ θ

γ λ θ θ II

I

8322135

8322135400

27385585

16385585

.

.

=−=

=−+=

−−

−−

λ θ θ

λ θ θ

II

I

2111193

2111193

227385485

216385485

.

.

=+−=

=++=

−−

−−

γ λ θ θ

γ λ θ θ

II

I

8. Calculul coordonatelor punctelor 4, 5, 6 de la sol prin metoda radieriiDela la D(m) θ

Coord. relative Coord. absolutePct

X δ Y δ X Y

85

- - - - - 7536.629 6177.881 854 198.497 71.9394 84.6878 179.525 7621.316 6357.406 45 224.690 135.8322 -119.894 190.029 7416.735 6367.910 56 200.682 193.2111 -199.542 21.360 7337.087 6199.241 6

9. Controlul calculelor: m Dd calcmas 850204541 .== −

- C.97 -



Topografie

5.5. Transcalcularea coordonatelorTranscalcularea coordonatelorDeseori în regiunea unde se efectuează măsurători lipseşte reţeaua geo-

dezică. În acest caz lucrările topografice se sprijină pe puncte ce au fost deter-minate:

- printr-o triangulaţie topografică locală- prin intersecţie- prin drumuire

toate determinate într-un sistem local.

Pentru ca aceste măsurători să fie reprezentate în acelaşi sistem unic alţării este necesar să se facă transcalcularea coordonatelor din sistem local însistemul general.

Transcalcularea are două aspecte:Aspectul geodezic atunci când este vorba de puncte situate la distanţe

mari la determinarea cărora s-a ţinut seama de forma curbă a Pământului – cazultriangulaţiilor geodezice de ordin superior.

Transcalcularea punctelor geodezice de ordin superior dintr-un sistem de proiecţie într-altul se face trecându-se punctele de pe primul plan pe elipsoid şiapoi pe cel de-al doilea plan.

Aceste transcalculări se vor studia la Cartografie.Aspectul topografic atunci când este vorba de puncte care s-au calculat

topografic adică în a căror determinare nu s-a ţinut seama de forma curbă aPământului – este cazul punctelor de triangulaţie geodezică de ordin inferior

precum şi a punctelor determinate într-un sistem topografic local.La acest aspect deosebim:

5.1. Transcalcularea geometrică

Când avem puncte de drumuire pentru care se cunosc coordonatele într-un sistem oarecare, iar pe laturile de drumuire s-au făcut ridicări echerice.Se doreşte ca punctele de detaliu ridicate echeric să obţină coordonate

rectangulare în acelaşi sistem cu drumuirea.Avem două sisteme de axe de coordonate XOY şi xoy.Pentru punctul 101 şi 102 se cunosc coordonate din calculul şi

compensarea drumuirii A…B.Pentru punctul P1 se cunosc coordonatele echerice x şi y.Se cer coordonatele X1 şi Y1 în sistemul în care a fost calculată

drumuirea.- C.98 -



Topografie

Α = 100g – θ101-102

Figura 5.1 – Transcalcularea geometrică

Din figura de mai sus rezultă:X1 = X0 + y1 sinα + x1 cosα; Y1 = Y0 + y1 cosα - x1 sinα;

X0, Y0 – coordonatele originiiα – unghiul de rotaţie a axelor de coordonatex1, y1 – coordonatele echerice ale punctului P1

X1, Y1 – coordonatele topografice ale punctului P1 în sistemul drumuirii

5.1.1. ExempluTRANSCALCULAREA GEOMETRICĂ A COORDONATELOR Elemente necesare rezolvării problemei:

a) coordonatele punctelor 2 şi 3determinate la transmiterea la sol a coordonatelor unui punct accesibil:

Nr. pct.

Coordonate topograficeX Y

2 9368.208 8733.3053 9550.811 8814.400

b) coordonatele echerice (abscise şi ordonate)ale punctelor 10, 20 şi 30 care urmează să fie transcalculate:

Nr. pct.

Coordonate echericex y

10 21.87 32.7520 21.87 40.43

30 9.04 52.17- C.99 -



Topografie

c) schiţa reţelei topografice locale:

Figura 5.2 – Transcalcularea geometrică a coordonatelor. ExempluEtape de calcul:

1) Calculul unghiului de rotaţie a sistemului local (α):1504349100 .=−=−=

T

G

T Lθ θ θ α

850015032 .=∆∆

== − X

Y arctg T θ θ - orientarea axului de operaţie

2) Transcalcularea propriu-zisă - punct cu punct:

20

20

Y Y

X X

=

=

Pentru punctul 10:999629xsinαXX 1010010 .cos =++= α y

7218771xcosαYY1010010 .sin =−+= α y

Pentru punctul 20:4979624xsinαXX 2020020 .cos =++= α y

1798777xcosαYY 2020020.sin =−+= α y

Pentru punctul 30:5239594xsinαXX 3030030.cos =−+= α y

2228763xcosαYY 3030030 .sin =++= α y

Nr. pct.

Coordonate echerice s i n α

c o s α

Coordonate topograficex y X Y

2 0 0

0 . 7

1 6 4 8 0 2

0 . 6

9 7 6 0 7 0 9638.208 8733.305

10 21.87 32.75 9629.999 8771.72120 21.87 40.43 9624.497 8777.17930 9.04 52.17 9594.523 8763.222

2b) Transcalcularea propriu-zisă - în serie:Se va parcurge traseul: 2-10-20-30-3

Pentru 2-10-20:- C.100 -



Topografie

α cos)(( 1i1-i1-ii x)sinαy-XX −−++=ii x y

α sin)(( 1i1-i1-ii x)cosαy-YY −−−+= ii x y

Pentru 20-30:α cos)((

1i1-i1-ii

x)sinαy-XX−+−+= ii

x y

α sin)((1i1-i1-ii

x)cosαy-YY −+−+=iix y

Pentru 30-3:α cos)((

1i1-i1-iix)sinαy-XX −+++=

iix y

α sin)(( 1i1-i1-ii x)cosαy-YY −+−+= ii x y

Nr.Pct.

Coordonate echerice s i n α

c o s α

Coordonate topografice

x y X Y2 0 0

- 0 . 7 1

6 4 8

0 . 6

9 7 6 0 7 9638.208 8733.305

10 21.87 32.75 9629.999 8771.821Δ 21.87 32.75 --- ---10 21.87 32.75 9629.999 8771.82120 21.87 40.43 9624.496 8777.179Δ 0 7.68 --- ---20 21.87 40.43 9624.696 8777.17930 9.04 52.17 9594.521 8763.223Δ - 11.74 --- ---

Σ 30.91 - --- ---30 9.04 52.17 9594.521 8763.223

2 0coord

D 32−

(121.981)9550.809(control)

8818.401(control)

Δ - 69.811 --- ---Σ 9.04 - --- ---

5.2. Transcalcularea topograficăÎn această situaţie punctul P1 este determinat în sistemul xoy şi dorim

coordonatele în sistemul XOY.Sistemul de axe de coordonate pentru o lucrare topografică locală diferă

de sistemul de axe rectangulare al unui sistem geodezic atât în ce priveşteoriginea axelor de coordonate cât şi în ceea ce priveşte orientarea lor.

Între coordonatele X, Y şi x, y ale punctului P1 există relaţia de mai suscare scrisă în general pentru punctul i are forma:

Xi = X0 + xi cosα + yi sinα; Yi = Y0 + yi cosα – xi sinαTranscalcularea din sistem local în sistem geodezic presupune

următoarele faze de teren şi de birou:- C.101 -



Topografie

a) Se determină prin operaţiuni de teren şi birou un număr de puncte detriangulaţie locală în sistem geodezic. Deci un număr de puncte vor aveacoordonate duble în sistem local şi în sistem geodezic.

b) Se calculează unghiul mediu de rotaţie al axelor

Figura 5.3 – Transcalcularea topografică

Pentru două puncte:12

12

X X

Y Y arctg

G −−

=θ ;12

12

x x

y yarctg T −

−=θ

Unghiul de rotaţie a axelor va fi: GT θ θ α −= .În cazul mai multor puncte vom avea α1…αi şi se va lua media acestor

valori egală cu unghiul mediu de rotaţie a axelor.c) Se calculează coeficientul mediu de deformaţie. Calculând distanţa

din coordonatele topografice şi geodezice între aceleaşi puncte vom avea: )(iT D

şi )(iG D .

Perechile de distanţe nu sunt egale deşi pe teren avem aceeaşi distanţă, pentru că:

- punctele au fost determinate cu precizii diferite în cele două sisteme deaxe de coordonate

- datorită deformaţiilor specifice sistemelor de proiecţieVa trebui să corectăm coordonatele locale în aşa fel încât să obţinem

distanţe egale cu cele obţinute din coordonate geodezice.Această corectare se face prin calcularea unui coeficient mediu de

deformaţie cu care se înmulţesc distanţele din coordonatele sistemului local(punerea în scară).

Calculul coeficientului K: DG = K . DT, DG = distanţa din coordonategeodezice, DT = distanţa din coordonate topografice.

Se calculează mai mulţi coeficienţi K i obţinându-se un coeficient K mediu.Astfel coordonatele relative xi şi yi ale punctelor determinate în sistem

local se înmulţesc cu K mediu pentru a obţine coordonatele Xi şi Yi din sistemgeodezic.

d) Calculul coordonatelor geodezice ale originii o a sistemului local- C.102 -



Topografie

Coordonatele locale se înmulţesc cu K (K mediu)Xi = X0 + (xi

.K) cosα + (yi.K) sinα; Yi = Y0 + (yi

.K) cosα – (xi.K) sinα

X0 = Xi - (xi.K) cosα - (yi

.K) sinα; Y0 = Yi - (yi.K) cosα + (xi

.K) sinα

Pentru fiecare punct cu coordonate duble va corespunde o pereche decoordonate X0, Y0 (geodezice) ale originii sistemului local.Se va lua media pentru aceste coordonate )(mediu X 0 şi )(mediuY 0

e) Calculul coordonatelor geodezice ale punctelor din sistemul localPresupunem că avem 2 puncte:

X1 = X0 + x1 (K cosα) + y1 (K sinα)Y1 = Y0 + y1 (K cosα) – x1 (K sinα)X2 = X0 + x2 (K cosα) + y2 (K sinα)Y2 = Y0 + y2 (K cosα) – x2 (K sinα)

Scădem relaţiile de mai sus:X2 – X1 = X0 – X0 + (x2 – x1) (K cosα) + (y2 – y1) (K sinα)Y2 – Y1 = Y0 – Y0 + (y2 – y1) (K cosα) – (x2 – x1) (K sinα)

sau:X2 = X1 + (x2 – x1) (K cosα) + (y2 – y1) (K sinα)Y2 = Y1 + (y2 – y1) (K cosα) – (x2 – x1) (K sinα)

Se poate face calculul în serie din punct în punctf) Calculul simplificat al coeficienţilor K sinα şi K cosαDin prima relaţie de sus obţinem:

(X2 – X1) - (x2 – x1) K cosα = (y2 – y1) K sinα =>

a))(

cos)()(sin

12

1212

y y

K x x X X K

−⋅−−−= α

α

Din a doua relaţie obţinem:(Y2 – Y1) - (y2 – y1) K cosα = - (x2 – x1) K sinα =>

b))(

cos)()(sin

12

1212

x x

K y yY Y K

−⋅−+−−

=α

α

egalăm a) = b) =>

)(

cos)()(

12

1212

y y

K x x X X

−⋅−−− α

=)(

cos)()(

12

1212

x x

K y yY Y

−⋅−+−− α

(X2 – X1)(x2 – x1) - (x2 – x1)2 K cosα = - (Y2 – Y1)(y2 – y1) + (y2 – y1)2 K cosαK cosα [(y2 – y1)2 + (x2 – x1)2] = (X2 – X1)(x2 – x1) + (Y2 – Y1)(y2 – y1)

2

12

2

12

12121212

)()(

))(())((cos

x x y y

y yY Y x x X X K

−+−−−+−−

=α

Notăm:X2 – X1 = ΔX; Y2 – Y1 = ΔY; y2 – y1 = δy; x2 – x1 = δx

22 y x

yY x X K

δ δ

δ δ α

+⋅∆+⋅∆

=cos

- C.103 -



Topografie

y

y x

yY x X x X

K δ

δ δ

δ δ δ

α 22 +

⋅∆+⋅∆−∆

=sin =

)( 22

222

y x y

y xY x X y X x X

δ δ δ

δ δ δ δ δ

+⋅⋅∆−⋅∆−⋅∆+⋅∆

=22 y x

xY y X

δ δ

δ δ

+⋅∆−⋅∆

Pentru fiecare pereche de puncte cu coordonate duble se obţin valoriapropiate pentru coeficienţii K sinα şi K cosα, iar pentru transcalculare se iamedia acestora.

5.2.1. ExempluTRANSCALCULAREA TOPOGRAFICĂ A COORDONATELOR

1. Tratare clasicăElemente necesare rezolvării problemei:

a) coordonatele punctelor comune ambelor sisteme (56, 59, 73, 77): Nr. pct.

Coordonate topografice Coordonate geodezice

x y X Y

56 5916.022 9648.995 335687.920 588531.500

59 8704.780 9507.900 335653.629 591323.587

73 5663.156 5902.607 339442.755 588514.371

77 8873.495 7006.267 338139.707 591649.045

b) coordonatele punctelor din reţeaua topografică localăcare urmează să fie transcalculate (55, 63, 85, 92):

Nr. pct.

Coordonate topografice

x y

55 6959.121 10133.111

63 7807.489 7794.871

85 6177.881 7536.629

92 7560.912 6058.081

- C.104 -



Topografie


59

73

92

85

56

63

77

55

Figura 5.4 – Transcalcularea topografică. Tratare clasică. Exemplu

Etape de calcul:1) Calculul coeficienţilor ksinα şi kcosα:

22 y x

xY y X k

δ δ

δ δ α

+∆−∆

=sin

22 y x

yY x X k

δ δ

δ δ α

+∆+∆

=cos

Nr. pct.

Coordonate geodezice Coordonate topografice

k s i n α

k c

o s α

X Y x y

59 335653.629 591323.587 8704.780 9507.900

- 0 . 9

9 8 0 1 6 7 8

- 0 . 0

6 2 7 8 9 8

73 339442.755 588514.371 5663.156 5902.607

∆ 3789.126 -2809.216 -3041.624 -3605.293

56 335687.920 588531.500 5916.022 9648.995

- 0 . 9

9 8 0 1 6 8 3

- 0 . 0

6 2 7 9 0 1 0

77 338139.707 591649.045 8873.495 7006.267

∆ 2451.787 3117.545 2957.473 -2642.728

Medii

- 0 . 9

9 8 0 1 6 8 0

- 0 . 0

6 2 7 8 9 9 7

2) Transcalcularea coordonatelor punctelor din sistemul local în sistemulgeodezic

- C.105 -



Topografie

- în serieksinαδykcosαδxXX

1ii ++= −

kcosαδyksinαδxYY 1ii +−= −

unde:1−−=

iix x xδ

1−−= ii y y yδ

Se parcurge traseul: 59-55-63-92-85-73 (control)

Pct. Coordonate topografice K

s i n α

K

c o s α

Coordonate geodezice Pct.

x y X Y

1 2 3 4 5 6 7 859 8704.780 9507.900

- 0 . 9

9 8 0 1 6

8 0 5

- 0 . 0

6 2 7 8 9

9 7 2 335653.629 591323.587 59

55 6959.121 10133.111 335139.268 589542.133 55Δ -1745.659 625.211 --- ---55 6959.121 10133.111 335139.268 589542.133 5563 7807.489 7794.871 337419.602 590535.637 63Δ 848.368 -2338.24 --- ---63 7807.489 7794.871 337419.602 590535.637 6392 7560.912 6058.081 339168.438 590398.602 92Δ -246.577 -1736.79 --- ---

92 7560.912 6058.081 339168.438 590398.602 9285 6177.881 7536.629 337779.655 588925.475 85Δ -1383.031 1478.548 --- ---85 6177.881 7536.629 337779.655 588925.475 8573 5663.156 5902.607 339442.755 588514.371 73Δ -514.725 -1634.022 --- ---

5.3. Transcalcularea din sistem topografic în sistemgeodezic prin utilizarea teoriei celor mai mici pătrate

Considerăm n puncte de coordonate cunoscute în ambele sisteme XOYşi xoy.

Presupunem că mai avem j puncte care au coordonate numai în sistemulxoy şi dorim să determinăm coordonatele acestor puncte în sistemul XOY.

Pornim de la coordonatele de transcalcul cunoscute:X = X0 + x K cosα + y K sinα; Y = Y0 + y K cosα – x K sinα(2)Formulele (2) pun în evidenţă rototranslaţia şi coeficientul de scară.

Notăm:- C.106 -



Topografie

K cosα = a; K sinα = b; X0 = c; Y0 = dŞi obţinem:

X = ax + by + c; Y = - bx + ay + d (3)

În sistemul (3) avem 4 necunoscute deci la limită este nevoie de două puncte comune care generează 4 ecuaţii. Dacă avem mai mult de 2 punctecomune atunci valorile a, b, c, d se deduc prin metoda celor mai mici pătrate.

Sistemul (3) devine:axi + byi + c – Xi = vxi; -bxi + ayi + d – Yi = vyi i = 1,2,n;

unde n – numărul de puncte comune; vom avea 2n ecuaţii pe care le vom scrie.Tratare matriceală

+

−

=

0

0

Y

X

y

x s

Y

X

α α

α α

cossin

sincos

Determinantul are valoarea 1 => transformare afină=+= 22

ii y x vvS minim

∑ ∑= =

=−++−+−++=n

i

i

n

i

iiiii Y d aybx X cbyaxS 1

2

1

2 )()( minim

Condiţia de minim:

0=a

s

δ

δ ; 0=b

s

δ

δ ; 0=c

s

δ

δ ; .0

d

s=

δ

δ

∑ ∑= = =−++−+−++=

n

iii

n

iiiiiii yY d aybx x X cbyaxa

s

1 1 022 )()(δ

δ

∑ ∑= =

=−−++−+−++=n

i

ii

n

i

iiiiii xY d aybx y X cbyaxb

s

1 1

022 ))(()(δ

δ

∑=

=−++=n

i

iii X cbyaxc

s

1

02 )(δ

δ

∑=

=−++−=n

i

iii Y d aybxd

s

1

02 )(δ

δ

∑∑∑∑∑=====

=−−+++−++ n

i

iiii

n

i

i

n

i

i

n

i

iiii

n

i

ii yY x X yd xc y x y xb y xa11111

22 0)()()(

∑ ∑∑∑ ∑= === =

=+−+−++++−n

i

n

i

iiiii

n

i

i

n

i

n

i

iiiiii xY y X xd yc x yb y x y xa1 111 1

22 0)()()()(

∑∑∑ ∑=== =

=−+++n

i

i

n

i

n

i

n

i

ii xc yb xa111 1

01 )(

∑∑∑ ∑=== =

=−−+−+n

i

i

n

i

n

i

n

i

ii yd xb ya111 1

01 )()(

- C.107 -



Topografie

Sistemul este simetric, iar scris sub forma matriceală este:

−

−+−

−+

∑∑

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

==

==

====

====

n x y

n y x

x y y x y x y x

y x y x y x y x

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

iiii

n

i

i

n

i

i

n

i

iiii

n

i

ii

0

0

11

11

111

22

1

1111

22

)(

)()()(

)()(

.

d

c

b

a

=

+

+

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

n

1i

i

n

1i

i

n

1i

iiii

n

1i

iiii

)Y(

)X(

)xYyX(

)yYxX(

Prin rezolvare se determină necunoscutele a, b, c, d. În unele cazuri se pot face simplificări pentru determinarea coeficienţilor a, b, c, d dacă se

calculează centrul de greutate al punctelor comune şi apoi valorile x i’ şi yi’ cadiferenţe dintre coordonatele punctelor rspective şi coordonatele centrului degreutate:

Coordonatele centrului de greutate:

n

x

x

n

i

i∑== 1

_

; n

y

y

n

i

i∑== 1

_

_

' x x x ii −=

Coordonate baricentrice: _

' y y y ii −=

În acest caz ∑ xi’ = 0; ∑ yi’ = 0 şi deci matricea coeficienţilor sistemuluinormal va avea forma:

N =

+

+

∑

∑

=

=

n

n

y x

y x

n

i

ii

n

i

ii

000

000

000

000

1

22

1

22

)(

)(

.

Rezultând valorile estimate ale parametrilor a, b, c, d:

∑

∑

=

=

+

+=

n

i

ii

ii

n

i

ii

y x

yY x X

a

1

22

1

)''(

)''(^

;

∑

∑

=

=

+

−=

n

i

ii

ii

n

i

ii

y x

xY y X

b

1

22

1

)''(

)''(^

- C.108 -



Topografie

n

X

c

n

i

i∑== 1

^ ;

n

Y

d

n

i

i∑== 1

^

Pentru parametrii a, b, c, d se pot determina şi erorile cu care aceştia suntdeterminaţi.

Matricea de covarianţă este de forma:

N-1 =

+

+

−

−=

−

=

−

∑

∑

1

11

122

1

122

000

000

000

000

n

n

y x

y x

n

i

ii

n

i

ii

)(

)(

.

∑=

+==

n

i

ii

aaa

y x

Q

1

2200

1

)''(

σ σ σ

∑=

+==

n

i

ii

bbb

y x

Q

1

2200

1

)''(

σ σ σ

nQccc

1

00 σ σ σ ==

nQdd d

100 σ σ σ ==

420 −

⋅=

n

vvii x x ][

σ , 2n = numărul total de ecuaţii

redundanţa 4 = numărul necesar de ecuaţii

5.3.1. ExempluTRANSCALCULAREA TOPOGRAFICĂ A COORDONATELOR

2. Tratare matricealăElemente necesare rezolvării problemei:

a) coordonatele punctelor comune ambelor sisteme (56, 59, 73, 77): Nr. pct.

Coordonate topografice Coordonate geodezice

x y X Y

56 5916.022 9648.995 335687.920 588531.500

59 8704.780 9507.900 335653.629 591323.587

73 5663.156 5902.607 339442.755 588514.371- C.109 -



Topografie

77 8873.495 7006.267 338139.707 591649.045

b) coordonatele punctelor din reţeaua topografică localăcare urmează să fie transcalculate (55, 63, 85, 92):

Nr. pct.

Coordonate topograficex y

55 6959.121 10133.11163 7807.489 7794.87185 6177.881 7536.62992 7560.912 6058.081


59

73

92

85

56

63

77

55

Figura 5.5 – Transcalcularea topografică. Tratare matriceală. Exemplu

Etape de calcul:1) Calculul coordonatelor centrului de greutate al punctelor comune:

3637289.

_

=

Σ

= n

x

x

i

;xi, yi - coordonatele topografice ale punctelor comune ambelor sisteme;

4428016. _

=Σ

=n

x y i ;

_

y,

_

x - coordonatele centrului de greutate;n- numărul punctelor comune (n = 4).

2) Calculul coordonatelor reduse la centrul de greutate: _ _

x x xii −= ;

- C.110 -



Topografie _ _

y y y ii−= ;

_

iy, _

i x - coordonatele punctelor comune reduse la centrul de greutate;

Control:.;

_ _

0 0i =Σ=Σy x i

3) Calculul coeficienţilor a, b şi al constantelor c, d (necunoscute):Sistemul normal scris sub formă matriceală este:

−

+

=+

+

iYΣ

iXΣ

iY

_

ix

iXi

_

yΣ

iY

_

iy

iX

i

_

xΣ

d

c

b

a

n 0 0 0

0 n 0 0

0 0 2i

_

y2i

_

xΣ 0

0 0 0 2i

_

y2i

_

xΣ

unde: a = kcosα; b = ksinα;- C.111 -



Topografie

c = X0; d = Y0

)););2

_ 2

_ _ _ _ _

yx(xy(yx(iiiiiibiiiia S Y X S Y X S +Σ=−Σ=+Σ=

S

S a a =

;

S

S b b =

;

n

X c iΣ

= ;

n

Y d i

Σ=

N r . P c t .

Coordonategeodezice

Coordonatetopografice

C o o r d .

c e n t r u l u i

d e g r e u t a t e

Coordonatereduse lacentrul degreutate

S ,

S a ,

S b

a ,

b ,

c ,

d

Xi Yi xi yi _

x _

yi x

_

i y _

56 335687.920

588531.500

5916.022

9648.995

7 2 8 9

. 3 6 3

8 0 1 6

. 4 4 2

-1373.342

1632.553

1 9 4 2 1 9

2 2 . 3

9 ,

- 1 9 3 8 3 4 0 4 . 7

3 ,

- 1 2 1 9 5 0 1 . 4

4 5

- 0 . 0

6 2 7 8 9 9 4 5 ,

- 0 . 9

9 8 0 1 6 7 9 5 ,

3 3 7 2 3 1 . 0 ,

5

9 0 0 0 4 . 6

2 5 8

59 335653.629

591323.587

8704.780

9507.900

1415.417

1491.458

73 339442.755 588514.371 5663.156 5902.607 -1626.207 -2113.835

77 338139.707

591649.045

8873.495

7006.267

1584.132

-1010.176

Σ 1348924.011

2360018.503

0 0

4) Transcalcularea coordonatelor punctelor din sistemul topografic în sistemulgeodezic.

- - punct cu punct

- C.112 -



Topografie

d

c

y

x

a b-

b a

_

i

_

i

i

i

Y

X

dyax bY

i

_

i

_

i ++−=

++= c yb xa X iii

_ _

N r

. P c t . Coordonate

topografice C o o r d .

c e n t r u l u i

d e

g r e u t a t e

Coordonatereduse lacentrul de

greutate a

, b ,

c

, d

Coordonategeodezice

xi yi _

x _

y

_

x i _

y i Xi Yi

55 6959.121

10133.111

7 2 8 9 . 3

6 3

8 0 1 6 . 4

4 2 -167.

2292252.438

335139.265

589542.132

637807.489

7794.871

681.138

-85.802

337419.595

590535.636

85 6177.881

7536.629

-948.470

-344.044

337779.651

588925.475

- C.113 -



Topografie

- 0 . 0

6 2 7 8 9 9 , - 0 . 9

9 8 0 1 6 9 ,

3 3 7 2 3 1 . 0 ,

5 9 0 0 0 4 . 6

2 692

7560.912

6058.081

434.561

-1822.59

339168.427

590398.601

- C.114 -



Topografie

6.6. Reţele de ridicareReţele de ridicare

6.1. Reţele de ridicare planimetrică

6.1.1. Generalităţi6.1.1.a. Clasificări

Metoda drumuirii este un procedeu de îndesire a reţelei geodezice învederea ridicării detaliilor topografice din teren.

Drumuirea este o linie poligonală frântă, în care poziţia reciprocă a punctelor este determinată prin măsurători de distanţe între punctele de frângereşi măsurători unghiulare în punctele de frângere ale traseului poligonal.

Când în teren s-au efectuat doar măsurători pentru stabilirea poziţieireciproce a punctelor din traseul poligonal, vorbim despre drumuire liberă.

De cele mai multe ori însă, traseul poligonal se sprijină la capete pe puncte de coordonate cunoscute – drumuiri constrânse sau drumuiri sprijinite – care permit ca punctele de drumuire să fie determinate într-un anumit sistemde coordonate. În această situaţie, ultima latură a traseului poligonal reprezintă osupradeterminare, care permite un control al elementelor măsurate în teren.Controlul elementelor măsurate devine şi mai concludent dacă în punctele decoordonate cunoscute pe care se sprijină drumuirea, se măsoară suplimentar direcţii spre alte puncte de coordonate cunoscute, care fiecare reprezintă un altelement de control.

În funcţie de elementele de constrângere de care se dispune în teren, dar şi a obiectivelor topografice care trebuie ridicate se pot face următoareleclasificări ale drumuirilor:

CLASIFICAREA DRUMUIRILOR ÎN FUNCŢIE DE ELEMENTELE DE SPRIJIN drumuire liberă (neconstrânsă) – figura 6.1, drumuire sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute – figura

6.2, drumuire sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute şi

orientări cunoscute (pe laturi cunoscute) – figura 6.3, drumuire cu punct nodal – figura 6.4;

- C.115 -



Topografie

202

A (X,Y,H)

201 203

204

Figura 6.1 – Drumuire liberă

202

A (X,Y,H)

201 203

B (X,Y,H)

Figura 6.2 – Drumuire sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute

B' (X,Y)

θ201 202 203

i

A (X,Y,H)

A' (X,Y) N

θ

B (X,Y,H)

f

N

Figura 6.3 – Drumuire sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute şi laturicunoscute

C (X,Y,H)

232

230

231

202

201

A' (X,Y)

A (X,Y,H)

N 221

220

B (X,Y,H)

C' (X,Y)

222B' (X,Y)

Figura 6.4 – Drumuire cu punct nodal- C.116 -



Topografie

În multe situaţii, drumuirile se pot sprijini la capete pe puncte din altedrumuiri, constituindu-se în aşa-numite reţele poligonale.

A (X,Y,H)B (X,Y,H)

A' (X,Y)

B' (X,Y)201

C (X,Y,H)

C' (X,Y)

202203 204

205206

301

302303

403

402 401

304

Figura 6.5 – Reţea poligonală

În această situaţie este justificată introducerea noţiunii de „ordinul drumuirii” , şi anume:

- Traseul A-201-…-206-B – drumuire principală- Traseul 202-301-…-304-C – drumuire secundară- Traseul 205-401-…-403-303 – drumuire terţiară

Ordine inferioare drumuirii terţiare nu sunt admise în instrucţiuni.

CLASIFICAREA DRUMUIRILOR DUPĂ FORMA TRASEULUI POLIGONAL drumuiri întinse – figura 6.6,

drumuiri închise – figura 6.7;

A (X,Y,H)

B (X,Y,H)

A' (X,Y)

B' (X,Y)

Figura 6.6 – Drumuire întinsă

A' (X,Y)

A (X,Y,H)

Figura 6.7 – Drumuire închisă- C.117 -



Topografie

După modul de constituire a traseelor poligonale se remarcă faptul cămetoda drumuirii este o metodă deosebit de flexibilă în determinarea poziţiilor

punctelor din teren, fără să necesite cheltuieli mari pentru marcarea şi

semnalizarea punctelor.6.1.1.b. Proiectarea reţelelor de drumuiri

201

302

5(X,Y,H)

202

301

203

220

303

222

221

223

Y

60(X,Y,H)

X

204

6(X,Y,H)

5053(X,Y,H)

Figura 6.8 – Modul de proiectare a reţelelor de drumuiri

• Traseul drumuirilor se proiectează de regulă de-a lungul arterelor decirculaţie, cursurilor de apă, etc., întrucât laturile şi punctele drumuiriitrebuie să fie uşor accesibile.

• Punctele de drumuire se amplasează în locuri ferite de distrugere, în careinstalarea instrumentelor topografice se face cu uşurinţă.

• Între punctele de drumuire învecinate trebuie să existe vizibilitate perfectă pentru ca direcţiile şi lungimile să se măsoare fără dificultate.

• Punctele de drumuire se aleg în apropierea detaliilor care urmează să fieridicate.

Distanţa între punctele de drumuire este determinată de condiţiile

concrete din teren, de gradul de acoperire cu vegetaţie sau cu construcţii, descopul ridicării topografice şi de aparatura topografică avută în dotare. În situaţiaîn care se dispune de aparatură clasică (teodolite, mire, panglici) se recomandăca lungime medie latura de 100 - 150 m, lungimea minimă de 40 – 50 m, iar ceamaximă 2000 – 3000 m (pentru aparatura clasică).

Atât lungimea laturilor cât şi lungimea traseului poligonal suntdependente de situaţia concretă din teren. Astfel, în zone construite, lungimealaturilor cât şi lungimea drumuirii vor fi mai reduse decât în zone de extravilan.

- C.118 -



Topografie

6.1.1.c. Operaţii de teren

• Marcarea punctelor de drumuire – se face de regulă cu ţăruşi, în localităţicu ţăruşi metalici cherneruiţi, iar în afara localităţilor cu ţăruşi de lemn.

• Întocmirea schiţelor de reperaj şi descrierea topografică a punctelor.

Nr.

Pct.

Coordonate(m)

X / Y

Materializare

in terenSchita de reperaj

Figura 6.9 – Schiţa de reperaj

• Măsurarea lungimii laturilor:- cu panglica se măsoară laturile dus-întors, fiind admisă o toleranţă între

cele două determinări de LT 0030,±= ;- cu aparatură electro – optică distanţele se măsoară dus – întors, eroarea

de măsurare admisă fiind în funcţie de precizia instrumentului folosit(de regulă nu trebuie să depăşească 2-3pe, unde pe = precizia demăsurare a instrumentului);

2

jiij

ij

L L L

+=

• Măsurarea unghiurilor verticale:Unghiurile verticale se măsoară în fiecare punct de staţie în ambele poziţii ale lunetei, atât spre punctul din spate, cât şi spre punctul din faţă altraseului poligonal.

Când vizarea se face la înălţimea instrumentului în ambele sensuri, se vaface media determinărilor, luându-se sensul unghiului vertical în sensul de

parcurgere al drumuirii.

2

BA AB α α α

+= , cu semnul lui αAB

- C.119 -



Topografie

Figura 6.10 – Măsurarea unghiurilor verticale. Axa de vizare paralelă cu linia terenuluiCând vizarea se face la înălţimi diferite (situaţie destul de frecvent

întâlnită în teren), medierea se poate realiza numai la diferenţele de niveldeterminate în ambele sensuri.

Figura 6.11 – Măsurarea unghiurilor verticale. Axa de vizare nu este paralelă cu linia

terenului

2

BA AB

AB

A B BA BA

B A AB AB

hhh

descendent sitg d h

ascendent sitg d h

δ δ δ

α δ

α δ

+=

+−′∗=

−+′∗=

,

,

dându-se semnul lui δhAB de la dus.• Măsurarea unghiurilor orizontale (de frângere):

Unghiurile orizontale se determină din direcţiile măsurate în fiecare punct de staţie. Direcţiile se măsoară în punctele de staţie prin metoda seriilor.

- C.120 -



Topografie

201

0

1c

1c

Ι

2010

1c

1c

2c

ΙΙ

2022

c

Figura 6.12 – Modul de măsurare a unghiurilor orizontale

6.1.2. Drumuiri planimetrice6.1.2.a. Drumuire sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute şi

laturi cunoscute A - Prelucrarea prin metoda clasică

A (X,Y)

X

n-1

B Y

θ

NθN

B=1 (X,Y,H)

1-2l

0

1

2-3

1-2y

l

1θ

2

2

N

N

3

2-3y

3-4y

N

3

2 4

3θ

n-1

4

4θ

N

C Y

n

C=n (X,Y,H)θ

n-1,ny

n-1

N

n

θ

Y

D (X,Y)

Figura 6.13 – Drumuire sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute şi laturi cunoscute. Prelucrare prin metoda clasică

Elemente măsurate pe teren:

• ωi – unghiurile orizontale

• αi – media unghiurilor de pantă

• li – lungimile înclinate medii ale laturilor de drumuire- C.121 -



Topografie

Etape de calcul:I - Calculul distanţelor orizontale şi a diferenţelor de nivel

ijijij

ijijij

tg d h

l d

α δ

α

∗=

∗= cos

1. Calculul orientărilor a) Calculul orientărilor laturilor de sprijin

AB

AB

x

yarctg

Δ

ΔAB =Θ

CD

CD

x

yarctg

Δ

ΔCD =Θ

b) Calculul orientărilor provizorii ale laturilor de drumuire(transmiterea orientărilor)

g n

i

n

g

nnn

g

nnn

g

g

n 200ΘΘ

200ωΘΘ200ωΘΘ

200ωΘΘ

200ωΘΘ

1

i0

1

121

212

101

∗±+=′

±+′=′±+′=′

−−−−−−−−−−−−−

±+′=′

±+=′

∑=

−

−−−

ω

c) Calculul neînchiderii pe orientări

θ θ θ θ

θ

θ ω

evvccorectiacalculeaza seT edaca

ncT

nvve

e j

n

n

i

g

inn je

−=−=≤

===

Θ−∗±+Θ=Θ−Θ′=−= ∑=

:,

,

)(

statiidenumaruln

luiteodolituacitiredeaaproximatic

2001

0

d) Calculul corecţiei unitare

statiidenr nunden

cq ., == Θ

Θ

e) Calculul orientărilor definitive

Θ

Θ11

Θ22

Θ11

ΘΘ

1ΘΘ

2ΘΘ

ΘΘ

nq

qn

q

q

nn

nn

+′=

−+′=

−−−−−−−−−−−−−+′=

+′=

−− )(

- C.122 -



Topografie

CONTROL: coordonatedincalculat compensat nn Θ≡Θ

2. Calculul coordonatelor relativea) Calculul coordonatelor relative provizorii

∑ ∑ Θ=′

=′−−−−−−−−−−−−−−−−

=′=′

−−−

iijij

nnnnn

d x

d x

d x

d x

cos

cos

cos

cos

,,

,,

,,

δ

111

23232

12121

Θδ

Θδ

Θδ

∑ ∑ Θ=′

=′−−−−−−−−−−−−−−−−

=′=′

−−−

iijij

nnnnn

d y

sd y

sd

sd

sin

,,

,,

,,

δ

111

23232

12121

inΘδ

inΘyδ

inΘyδ

BC hi

BC yi

BC xi

H ch

Y c y

X c x

∆=+

∆=+

∆=+

∑∑∑

'

'

'

δ

δ

δ

b) Calculul corecţiilor de închidere pe coordonate

Rezultă corecţiile de închidere pe coordonate:( )

( )

( )

[ ]

hh

kmh

y x

ij BC h

ij BC y

ij BC x

T c

T c

se

DT

pentru

D

DT

pentru D

DT

Toleranta

cctotalac

h H H c

yY Y c

x X X c

≤≤

=>

+±=

<

+±=

+=

′−−=

′−−=

′−−=

∑∑

∑

:dacaverifica

20

5 pantacuterenurisiextravilan173300450

5 pantacuterenurisiintravilan5000

0030

:este

c:orectia

g

g

22

,

,,

,,

δ

δ

δ

c) Calculul corecţiilor unitare

[ ]

[ ][ ]mmm

d c

k

mmmd

c

k

mmmd

ck

ij

hh

ij

y

y

ij

x x

/

/

/

∑

∑

∑

=

=

=

d) Calculul coordonatelor relative compensate

- C.123 -



Topografie

∑ ∑ =∗==

−−−−−−−−−−−−−−

=

=

−−

xij x x

nn x x

x x

x x

cd k q

d k q

d k q

d k q

ij

nn ,

,

,

*

*

*

,

,

,

1

32

21

1

32

21

∑ ∑ =∗==

−−−−−−−−−−−−−−

=

=

−−

yij y y

nn y y

y y

y y

cd k q

d k q

d k q

d k q

ij

nn ,

,

,

*

*

*

,

,

,

1

32

21

1

32

21

∑ ∑ =∗=

=

−−−−−−−−−−−−−−

=

=

−−

hijhh

nnhh

hh

hh

cd k q

d k q

d k q

d k q

ij

nn ,

,

,

*

*

*

,

,

,

1

32

21

1

32

21

∑ ∑ −=+=

+′=−−−−−−−−−−−−−−

+′=

+′=

−−−

BC xiij

xnnnn

x

x

X X c x x

q x x

q x x

q x x

nn

'

,

,

,

,,

,,

,,

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

1

32

21

11

3232

2121

∑ ∑ −=+=

+=

−−−−−−−−−−−−−−

+=

+=

−−−

BC yiij

ynnnn

y

y

Y Y c y y

q y y

q y y

q y y

nn

'

'

'

'

,

,

,

,,

,,

,,

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

1

32

21

11

3232

2121

∑ ∑ −=+=

+=−−−−−−−−−−−−−− +=

+=

−−−

BC hiij

hnnnn

h

h

H H chh

qhh

qhh

qhh

nn

'

'

'

'

,

,

,

,,

,,

,,

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

1

32

21

11

3232

2121

3. Calculul coordonatelor absolute ale punctelor de drumuire

nnnn x X X

x X X

x X X

,

,

,

11

3223

2112

−− +=−−−−−−−−−−−−

+=

+=

δ

δ

δ

nnnn yY Y

yY Y

yY Y

,

,

,

11

3223

2112

−− +=−−−−−−−−−−−−

+=

+=

δ

δ

δ

nnnn h H H

h H H h H H

,

,

,

11

3223

2112

−− +=−−−−−−−−−−−−

+= +=

δ

δ δ

• Acest mod de abordare conduce la modificarea geometriei traseului princompensarea orientărilor.

• Unghiurile şi orientările din punctele de sprijin influenţează cu imprecizia lor tot calculul de compensare.

II - Prelucrarea prin metoda rotaţiei şi a punerii în scară

- C.124 -



Topografie

X

Y

i

B-201

A

Bθ

B

θN

201

201

202

202

C

C'

E

QL

DD

Figura 6.14 - Drumuire sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscuteşi laturi cunoscute. Prelucrare prin metoda rotaţiei şi a punerii în scară

Etape de calcul:1. Calculul orientărilor a) Calculul orientării de sprijin

A B

A B A B x

yarctg

−

−− ==Θ

Δ

ΔΘi

b) Calculul orientărilor provizorii (transmiterea orientărilor)

E C DC

C

B

B A B B

ω200ΘΘ

200ΘΘ

ω200ΘΘ

ωΘΘ

202

202202201202

201201202201

201

+−′=′

+−′=′

+−′=′

+=′

−−

−−

−−

−−

ω

2. Calculul distanţelor reduse la orizont ijijij L D θ cos=

3. Calculul coordonatelor relative provizorii

∑∑′=′′=′ ′=′ ′=′−−−

−−−

−−−

ijijij

C C C

B B B

D x

D x

D x

D x

cos

cos

cos

cos

δ

202202202

202201202201202201

201201201

Θδ

Θδ

Θδ

∑∑

′=′ ′=′ ′=′ ′=′

−−− −−− −−−

ijijij

C C C

B B B

D y

D

D

D

sin

sin

sin

sin

δ

202202202

202201202201202201

201201201

Θyδ

Θyδ

Θyδ

∑′=′

′=′

′=′

′=′

−−− −−− −−−

ijijij

C C C

B B B

tg Dh

tg D

tg D

tg D

δ

202202202

202201202201202201

201201201

αhδ

αhδ

αhδ

4. Calculul coordonatelor absolute provizorii ale punctului CSe calculează coordonatele punctului final C’, care, datorită erorilor de

măsurare şi a erorilor punctelor de sprijin nu vor corespunde cu coordonatelecunoscute.

- C.125 -



Topografie

−′=

−′=

−′=

⇒

′+=′

′+=′

′+=′

∑∑

∑

C C

C C

C C

ij BC

ij BC

ij BC

H H

Y Y

X X

h H H

yY Y

x X X

h

y

x

e

e

e

δ

δ

δ

[ ]kmh DT

pentru

D

DT

pentru D

DT

Toleranta

20

5 pantacuterenurisiextravilan173300450

5 pantacuterenurisiintravilan5000

0030

:este

g

g

,

,,

,,

=>

+±=

<

+±=

hh

y x

T e

T e

se

eee

≤

≤

+=

:dacaverifica

22

5. Calculul distanţelor DBC, DB-C’ şi al orientărilor θB-C, θB-C’ din coordonate( ) ( )

( ) ( )

'

''

'''

C B

C BC B

C B

C BC B

BC BC C B

BC BC C B

x

y

x

y

arctg

arctg

Y Y X X D

Y Y X X D

−

−−

−

−−

−

−

=

=−+−=

−+−=

ΔΔ

ΔΔ

Θ

Θ

22

22

6. Calculul factorului de scară şi al unghiului de rotaţie

cal plan vertiinrotatiedeunghi

orizontal planinrotatiedeunghi

===

∆=

−=

=

−

−

−−

−

−

ϕ

ε

ϕ

θ θ ε

scarade factor q D

H arctg

D

Dq

C B

C C

C BC B

C B

C B

'

'

'

'

7. Calculul coordonatelor relative compensate

( )

( )ϕ α δ

ε θ δ

ε θ δ

+′=

+′=

+′=

ijijij

ijijij

ijijij

tg Dqh

Dq y

Dq x

*

sin*

cos*

8. Calculul coordonatelor absolute

- C.126 -



Topografie

C C

B B

x X X

x X X

x X X

−

−

−

+=+=

+=

202202

202201201202

201201

δ

δ

δ

C C

B B

yY Y

yY Y

yY Y

−

−

−

+=+=

+=

202202

202201201202

201201

δ

δ

δ

C C

B B

h H H

h H H h H H

−

−

−

+=+=

+=

202202

202201201202

201201

δ

δ δ

9. Calculul abaterii longitudinale L, transversale Q şi totale e

22 Q Le

DQ

D D L

C B

C BC B

+=

=−=

−

−−

ε

ε

sin

cos '

L şi Q arată cât de bine se încadrează reţeaua poligonală între punctelevechi B şi C şi reprezintă un control al calităţii măsurătorilor, dar şi al calităţii

coordonatelor pe care se sprijină drumuirea.Când punctele de sprijin sunt de calitate şi avem o drumuire alungită,atunci L indică în principal calitatea măsurătorilor de distanţe, iar Q aratăcalitatea măsurării unghiurilor de frângere ωi.

Prin acest mod de prelucrare, imprecizia unghiurilor măsurate în punctuliniţial şi final nu influenţează prelucrarea. Aceasta este influenţată doar delungimile şi unghiurile “interne” ale drumuirii, precizia lor fiind hotărâtoare.

Imprecizia orientărilor şi unghiurilor în punctul iniţial şi finalinfluenţează doar unghiul ε şi în consecinţă L şi Q.

6.1.2.b. ExempleMetoda clasică

X

785-63

784

50150562

783500

503

62-783

θ

θ62-8

N

8

502

783-784

Nθ

N

784

784-785θ

N θ

504

Y

63

4

63-4

N

θ

Figura 6.15 – Exemplu de drumuire sprijinită la capete pe puncte de coordonate- C.127 -



Topografie

cunoscute şi laturi cunoscute. Rezolvarea clasică

Tema drumuirii:Date:

• unghiurile ωi măsurate pe teren prin metoda seriilor • lungimile laturilor Lij măsurate cu panglica dus-întors• unghiurile verticale αi

• coordonatele punctelor de sprijin 4, 8, 62, 63

PCT COORDONATE LOCALE X[m] Y[m] H[m]

8 5343.18 3926.00 -62 3745.60 3838.07 404.98

63 3863.84 4348.32 429.374 5750.36 5988.76 -

• direcţiile măsurate şi compensate din staţia 784

PCT.ST. PCT.VIZAT DIRECŢII784 783 354.1100

785 211.0700500 294.3800501 350.2600

502 382.4300503 74.2700504 164.8200505 252.5600

1. Calculul orientărilor a) Calculul orientărilor de sprijin

50043Θ862

862862i Δ

Δ.===Θ

−

−− x

yarctg

565445Θ463

463463f Δ

Δ.===Θ

−

−− x

yarctg


579845ω200ΘΘ

203578ω200ΘΘ

159792200ΘΘ

199735ω200ΘΘ

2997143ωΘΘ

6363785463

78578578463785

784784783785784

78378362784783

6286278362

.

.

.

.

.

=+−′=′=+−′=′=+−′=′

=+−′=′=+=′

−−

−−

−−

−−

−−

ω

c) Calculul corecţiei pe orientări

- C.128 -



Topografie

( ) ( )

ccce j

ccc

CC CC

ccc

f f je

vvcecorectiacalculeaza seT cdaca

T adica

TheonT TheonT

vve

441

333

10050200150

441463463

−=−=⇒≤

=

==

=Θ−Θ′=Θ−Θ′=−= −−

θ θ θ θ

θ

θ θ

θ

:

:

.;.

d) Calculul corecţiei unitare

5 828ΘΘ ==−== statiidenr nunde

n

cq cc .,,

e) Calculul orientărilor definitive

)(.

.

.

.

.

CONTROLq

q

q

q

q

5654455ΘΘ

1920784ΘΘ

1510923ΘΘ

1939352ΘΘ

2967143ΘΘ

Θ463463f

Θ6378563785

Θ785784785784

Θ784783784783

Θ7836278362

=+′==Θ

=+′=

=+′=

=+′=

=+′=

−−

−−

−−

−−

−−

.

2. Calculul coordonatelor relativea) Calculul coordonatelor relative provizorii

∑ ∑ Θ=′=′=′=′

=′

−−−

−−−

−−−

−−−

ijijij D x

D x

D x

D x

D x

cos

cos

cos

cos

cos

δ

637856378563785

785784785784785784

784783784783784783

783627836278362

Θδ

Θδ

Θδ

Θδ

∑ ∑ Θ=′=′=′=′

=′

−−−

−−−

−−−

−−−

ijijij D y

D

D

D

D

sin

sin

sin

sin

sin

δ

637856378563785

785784785784785784

784783784783784783

783627836278362

Θyδ

Θyδ

Θyδ

Θyδ

∑ ∑=′=′=′=′ =′

−−−

−−−

−−−

−−−

ijijij tg Dh

tg D

tg D

tg Dtg D

α δ

637856378563785

785784785784785784

784783784783784783

783627836278362

αhδ

αhδ

αhδαhδ

b) Calculul erorilor de neînchidere( )

( )

( )

[ ]

hh

kmh

y x

ijh

ij y

ij x

T e

T e

se

DT

D DT

eeetotalaeroarea

h H H e

yY Y e

x X X e

≤≤

=

+±=

+=

−=′−−=

−=′−−=

−=′−−=

∑∑

∑

:dacaverifica

20

173300450

:

1260

0440

2810

22

6263

6263

6263

,

,

.

.

.

δ

δ

δ

c) Calculul corecţiilor unitare

- C.129 -



Topografie

[ ]

[ ]

[ ]mmm D

ck

mmm D

ck

mmm D

ck

hh

y y

x x

/.

/.

/.

0002010

0000700

0004490

==

==

==

d) Calculul coordonatelor relative compensate

∑−=

+′=

+′=

+′=

+′=

−−−

−−−

−−−

−−−

6263

637856378563785

785784785784785784

784783784783784783

783627836278362

X X x

Dk x x

Dk x x

Dk x x

Dk x x

x

x

x

x

δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

*

*

*

*

∑−=

+′=

+′=

+′=

+′=

−−−

−−−

−−−

−−−

6263

637856378563785

785784785784785784

784783784783784783

783627836278362

Y Y y

Dk y y

Dk y y

Dk y y

Dk y y

y

y

y

y

δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

*

*

*

*

∑ −=

+′=

+′=

+′=

+′=

−−−

−−−

−−−

−−−

6263

637856378563785

785784785784785784

784783784783784783

783627836278362

H H h

Dk hh

Dk hh

Dk hh

Dk hh

h

h

h

h

δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

*

*

*

*


8403863

51938045943785

4663655

6378578563

785784784785

784783783784

7836262783

.

.

.

.

=+=

=+==+=

=+=

−

−

−

−

x X X

x X X x X X

x X X

δ

δ δ

δ

3204348

18541828574029

5863949

6378578563

785784784785

784783783784

7836262783

.

.

.

.

=+=

=+==+=

=+=

−

−

−

−

yY Y

yY Y yY Y

yY Y

δ

δ

δ

δ

370429

818443

194454

039442

6378578563

785784784785

784783783784

7836262783

.

.

.

.

=+=

=+==+=

=+=

−

−

−

−

h H H

h H H

h H H

h H H

δ

δ

δ

δ

4. Calculul coordonatelor punctelor radiate folosind unghiul de orientare alstaţiei

i

i

i

H Y

X

Se

x

er Se

p

k D p

k D p

−

−

−

−

−

−

−

−′′

−′

78i 784i

78i

784

784

784

i-784

i-784

1

1

7857842

7837841

785784

783784

H Y

X

ccalculeaza

δh

δy

δ

D

dcalculeazaSe

astrezultavor

p*

mindet

- C.130 -



Topografie

CALCULUL COORDONATELOR PUNCTELOR DE DRUMUIRI SI RADIERI(tabel 1)

S T A T

I A

P U N C T E

V I Z A T E

DISTANTE

INCLINATE

UNGHIURI

VERTICALE α

SinαCosαUNGHIURI

ORIZONTALE ω

ORIENTARI θ S i n θ

Cos2αCALCULATE

CORECTII

C o s θ

COMPENSATE

m cm G C CC Tgα G C CC G C CC

1 2 3 4 5 6 7 8

62

8 3 50 04

783 148 13 +16 09 00 139 79 93143 29 97

- 03143 29 94

783784 153 32 +5 04 00 91 90 00

35 19 97- 06

35 19 91

784

785 153 83 -4 31 00 256 96 0092 15 97

- 0992 15 88

500 56 70 -1 03 00 83 31 00 175 46 89501 41 53 -2 01 00 139 19 00 231 34 89502 42 39 1 22 00 171 36 00 263 51 89503 37 37 -3 15 00 263 20 00 355 35 89504 55 91 -4 39 00 353 75 00 45 90 89505 62 66 6 12 00 41 49 00 133 64 89

78563 176 97 -5 22 00 186 04 38

78 20 35-1 15

78 19 20

634 167 37 63

45 57 98-1 44

45 56 54V j=45.5654Ve=45.5798Cθ=-1c44cc

K θ=-0.00288


Distanţeorizontale

COORDONATE RELATIVE COORDONATE ABSOLUTE

N R . P

U N C T

O B S E R V A T

I I

± ∆X ± ∆Y ± ∆HX Y H

Calculate Calculate Calculate

Corecţii Corecţii Corecţii

Compensate Compensate Compensate

M cm m cm m cm m cm m cm m cm m cm

9 10 11 12 13 14 15 16 17

3745 60 3838 07 404 98 62

143 42

-90 198 111 506 37 040

3655 466 3949 586 442 039783

0 064 0 010 0 029

-90 134 111 516 37 069

152 83 130 059 80 260 12 125 378 594 402 857 454 194 78

- C.131 -



Topografie

5 9 40 069 0 011 0 031

130 128 80 271 12 155

153 48

18 856 152 317 -10 407

3804 519 4182 185 443 818 7850 069 0 011 0 03118 925 152 328 -10 376

56 69 -52 53 21 81 -0 91 3733 06 4051 17 453 28500

41 50 -36 58 -19 62 -1 31 3749 01 4010 24 452 88501

42 38 -22 98 -35 60 0 81 3762 61 3994 26 455 00502

37 32 28 51 24 08 -1 84 3814 10 4005 73 452 35503

55 77 41 89 36 82 -3 85 3827 48 4086 68 450 34504

62 37 -31 44 53 86 6 01 3754 15 4083 72 460 2050

5

176 37

59 242 166 123 -14 494

3863 840 4348 320 429 370 630 079 0 012 0 035

59 321 166 135 -14 458

3863 840 4348 320 429 370

V j=X63-X62==118.240Ve=Σδx’==117.959ex=-0.281

cx=0.281 mmkx=0.000449

V j=Y63-Y62==510.250Ve=Σδy’==510.206ey=-0.044

cy=0.044 mmky=0.000070

V j=H63-H62==24.39

Ve=Σδh’==24.26

eh=-0.126ch=0.126 mmkh=0.000201

III - Metoda rotaţiei şi a punerii în scară1. Calculul orientărilor

a) Calculul orientării de sprijin

862

862862i Δ

ΔΘ

−

−− ==Θ

x

yarctg


50043Θ862

862862i Δ

Δ.===Θ

−

−− x

yarctg

565445Θ463

463463f Δ

Δ .===Θ−

−− x

yarctg

579845ω200ΘΘ

203578ω200ΘΘ

159792200ΘΘ

199735ω200ΘΘ

2997143ωΘΘ

6363785463

78578578463785

784784783785784

78378362784783

6286278362

.

.

.

.

.

=+−′=′=+−′=′=+−′=′

=+−′=′=+=′

−−

−−

−−

−−

−−

ω

2. Calculul distanţelor reduse la orizont ijijij L D θ cos=

3. Calculul coordonatelor relative provizorii- C.132 -



Topografie

=′

=′

′

′

=′

−−

−−

−−

−−

ij ij ij D x

D x

D x

D x

D x

cos

cos

cos

cos

cos

δ

6378563785

785784785784

784783784783

7836278362

Θδ

δ

δ

Θδ

=′

=′

′

′

=′

−−

−−

−−

−−

ij ij ij D y

D

D

D

D

sin

sin

sin

sin

sin

δ

6378563785

785784785784

784783784783

7836278362

Θyδ

yδ

yδ

Θyδ

′

′

′

′

′

−−−

−−

−−

−−−

ij ij ij tg Dh

tg D

tg D

tg D

tg D

δ

7856378563785

7785784785784

7784783784783

627836278362

αhδαhδ αhδ αhδ

4. Calculul coordonatelor absolute provizorii ale punctului 63

−=−′=

−=−′=

−=−′=

⇒

=′+=′

=′+=′

=′+=′

∑∑

∑

1250e

0200e

3070e

245429

3004348

5333863

6363h

6363y

6363x

6263

6263

6263

.

.

.

.

.

.

H H

Y Y

X X

h H H

yY Y

x X X

ij

ij

ij

δ

δ

δ

[ ]

[ ]

[ ]

hh

kmh

y x

T eT e se

DmmT

m D

DT

meee

≤≤

=

±=

+±=

=+=

;

.,

.

:dacaverifica

20

47401733

00450

308022

5. Calculul distanţelor D62-63, D62-63’ şi al orientărilor θ62-63, θ62-63’ din coordonate( ) ( )

( ) ( )

539385Θ

503585Θ

682523

771523

3662

36623662

6362

63626362

2

6236

2

62363662

2

6263

2

62636362

ΔΔ

Δ

Δ

.

.

.

.

==

==

=−+−=

=−+−=

′−

′−′−

−

−−

′′′−

−

x

y

x

y

arctg

arctg

Y Y X X D

Y Y X X D

6. Calculul factorului de scară şi al unghiului de rotaţie

cal plan vertiinrotatiedeunghi

orizontal planinrotatiedeunghi

01520

03580

000169951

3662

3663

36626362

3662

6362

===

=∆

=

−=−=

==

′−

′−

′−−

′−

−

ϕ

ε

ϕ

θ θ ε

scarade factor q

D

H arctg

D Dq

.

.

.

7. Calculul coordonatelor relative compensate

- C.133 -



Topografie

( )

( )ϕ α δ

ε θ δ

ε θ δ

+′=

+′=

+′=

ijijij

ijijij

ijijij

tg Dqh

Dq y

Dq x

*

sin*

cos*


6378578563

785784784785

784783783784

7836262783

−

−

−

−

+=+=+=

+=

x X X

x X X

x X X

x X X

δ

δ

δ

δ

6378578563

785784784785

784783783784

7836262783

−

−

−

−

+=+=+=

+=

yY Y

yY Y

yY Y

yY Y

δ

δ

δ

δ

6378578563

785784784785

784783783784

7836262783

−

−

−

−

+=+=+=

+=

h H H

h H H

h H H

h H H

δ

δ

δ

δ

9. Calculul abaterii longitudinale L, transversale Q şi totale e[ ]

[ ]

[ ]mQ Le

m DQ

m D D L

3080

2950

0890

22

6362

36626362

.

.sin

.cos

=+=

−===−=

−

′−−

ε

ε


S T A T I A

P U N C T E

V I Z A T E

Distanţeînclinate

Unghiuriverticale α

SinαCosαUnghiuri

orizontale ω

ORIENTARI θ S i n θ

Cos2αCALCULATE

CORECTII

C o s θ

COMPENSATE


1 2 3 4 5 6 7 8

62

8 35

004

783 148 13 +1609

00 13979

93143

29

97

783784 153 32 +5

04

00 9190

0035

19

97

784785 153 83 -4

3

1

00 2569

6

0092

15

97

78563 176 97 -5

22

00 18604

3878

20

35

634 167

37

6345

57

98

CALCULUL COORDONATELOR PUNCTELOR DE DRUMUIRI SI RADIERI

(tabel 2)- C.134 -



Topografie

D i s t a n ţ e

o r i z o n t a l e

COORDONATE RELATIVE COORDONATE ABSOLUTE

N R . P

U N C T

O B S E R V A T I I

± ∆X ± ∆Y ± ∆H

X Y HCalculate Calculate Calculate

Corecţii Corecţii Corecţii

Compensate Compensate Compensatem cm m cm m cm m cm m cm m cm m cm

9 10 11 12 13 14 15 16 173745

603838

07 404

98 62

143

424

-90 201 111 509 37 0413655

447

3949

649

442

06 4

783

-90 153 111 579 37 084

152

840

130 066 80 267 12 1253785

581

4029

857

454

228

784

130 134 80 208 12 164

153

478

18 854 152 316 -10 407 3804

524

4182

188

443

856

785

18 943 152 331 -10 372

176

375

59 214 166 138 -14 494386 3

840

4348

320

429

37 0

6359 318 166 133 -14 485

386 3

840

4348

320

429

37 0

Σδx’ij=117.933

Σδy’ij=510.230

Σδh’ij=24.265

X63’=

3863.533

Y63’=

4348.300

H63’=

429.245q=1.00016995

ε=-0.0358φ=0.0152

- C.135 -



Topografie

6.1.2.c. Drumuirea cu punct nodal

A' (X,Y)B' (X,Y)

X

Y

A (X,Y,H)

1

B (X,Y,H)

n-1

1

1

1 2

2

n

n

n-1

n-1n-1

N

C (X,Y,H)C

2

1

C' (X,Y)

n-1

n-1

n

2

2

2

1

1

SB

Figura 6.16 – Drumuirea cu punct nodal

Elemente cunoscute:• Coordonatele punctelor A, A’, B, B’, C, C’• Elemente măsurate: li, αi, ωi

Etape de calcul:


'

''

A A

A A A A x

yarctg

−

−− =

ΔΔ

Θ

'

''

B B

B B B B x

yarctg

−

−− =

Δ

ΔΘ

'

''

C C

C C C C x

yarctg

−

−− =

Δ

ΔΘ

b) Calculul orientărilor provizorii ( transmiterea orientărilor )

- C.136 -



Topografie

( )

( )

( ) g

n N n

g

C C C C

g

n N n

g

B B B B

g

n N n

g

A A A A

200''ω'ΘΘ

200ωΘΘ

200'ω'ΘΘ

200ωΘΘ

200ω'ΘΘ

200ωΘΘ

1

3

S- N

1

1

2

S- N

1

1

1

S- N

1

±+′=′

−−−−−−−−−−−−−−−±+=′

±+′=′

−−−−−−−−−−−−−−−±+=′

±+′=′

−−−−−−−−−−−−−−−±+=′

−

−−

−

−−

−

−−

,

'

,

'

,

'

d) Calculul orientării θ N-S folosind media ponderată( ) ( ) ( )

3

3

2

2

1

1

321

3

3

S- N2

2

S- N1

1

S- N

111

ΘΘΘΘ

n p

n p

n p

p p p

p p pO

S N

===

++

′+′+′=−

;;

***

unde:n1=numărul de staţii al drumuirii 1n2=numărul de staţii al drumuirii 2n3=numărul de staţii al drumuirii 3

e) Calculul corecţiilor pe orientări( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )33

Θ

22

Θ

11

Θ

ΘΘ

ΘΘ

ΘΘ

S N

O

S N

S N

O

S N

S N

O

S N

c

c

c

−−

−−

−−

−=

−=

−=

f) Calculul corecţiilor unitare( )

( )

( )( )

( )( )

3

3

Θ3

Θ

2

2

Θ2

Θ

1

1

Θ1

Θ

n

ck

n

ck

n

ck

=

=

=

g) Calculul orientărilor definitive pe fiecare drumuire

- C.137 -



Topografie( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )3

Θ3

33

3

Θ11

2

Θ2

22

2

Θ11

1

Θ1

11

1

Θ11

ΘΘ

ΘΘ

ΘΘ

ΘΘ

ΘΘ

ΘΘ

k n

k

k n

k

k n

k

S N S N

C C

S N S N

B B

S N S N

A A

+′=

−−−−−−−−−−−−

+′=

+′=

−−−−−−−−−−−−

+′=

+′=

−−−−−−−−−−−−

+′=

−−

−−

−−

−−

−−

−−

( ) ( ) ( ) O

S N S N S N S N

CONTROL

−−−− === ΘΘΘΘ321

:

2. Calculul coordonatelor relative

a) Calculul coordonatelor relative provizorii si calculul coordonatelor absolute provizorii ale punctului N

( )

( ) ( )∑

∑ ∑−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

−−−−−−−−−−−−−−−

=′

11

1

111

111

δ

Θδ

Θδ

Θδ

ji A N

ji ji ji

N n N n N n

A A A

x X X

D x

D x

D x

cos

cos

cos

,,, ( )

( ) ( )∑∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

−−−−−−−−−−−−−−−−

=′

11

1

111

111

yδ

Θyδ

Θyδ

Θyδ

ji A N

ji ji ji

N n N n N n

A A A

Y Y

D

D

D

sin

sin

sin

,,,

( )

( ) ( )∑

∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

−−−−−−−−−−−−−−−

=′

11

1

111

111

hδ

αhδ

αhδ

αhδ

ji A N

ji ji ji

N n N n N n

A A A

H H

tg D

tg D

tg D

,,,

( )

( ) ( )∑∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′−−−−−−−−−−−−−−−

=′

22

2

111

111

δ

Θδ

Θδ

Θδ

ji B N

ji ji ji

N n N n N n

B B B

x X X

D x

D x

D x

cos

cos

cos

,,, ( )

( ) ( )∑

∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

−−−−−−−−−−−−−−−−

=′

22

2

111

111

yδ

Θyδ

Θyδ

Θyδ

ji B N

ji ji ji

N n N n N n

B B B

Y Y

D

D

D

sin

sin

sin

,,,

- C.138 -



Topografie

( )

( ) ( )∑

∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

−−−−−−−−−−−−−−−

=′

22

2111

111

hδ

αhδ

αhδ

αhδ

ji B N

ji ji ji

N n N n N n

B B B

H H

tg D

tg D

tg D

,,,

( )

( ) ( )∑∑ ∑−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

−−−−−−−−−−−−−−−

=′

33

3

111

111

δ

Θδ

Θδ

Θδ

jiC N

ji ji ji

N n N n N n

C C C

x X X

D x

D x

D x

cos

cos

cos

,,, ( )

( ) ( )∑∑ ∑−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

−−−−−−−−−−−−−−−−

=′

33

3

111

111

yδ

Θyδ

Θyδ

Θyδ

jiC N

ji ji ji

N n N n N n

C C C

Y Y

D

D

D

sin

sin

sin

,,,

( )

( ) ( )

∑

∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

−−−−−−−−−−−−−−−

=′

33

3

111

111

hδ

αhδ

αhδ

αhδ

jiC N

ji ji ji

N n N n N n

C C C

H H

tg D

tg D

tg D

,,,

b) Calculul coordonatelor absolute ale punctului N

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )∑

∑

∑

−

−

−

==

==

==

33

33

22

22

11

11

1

1

1

ji

ji

ji

D D D

p

D D D

p

D D D

p

;

;

;

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

321

3

3

2

2

1

1

321

3

3

2

2

1

1

321

3

3

2

2

1

1

p p p

p H p H p H H

p p p

pY pY pY Y

p p p

p X p X p X X

N N N

N

N N N

N

N N N

N

++++

=

++++

=

++++

=

***

***

***

c) Calculul corecţiilor pe creşterile de coordonate( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )11

11

11

N N h

N N y

N N x

H H c

Y Y c

X X c

−=

−=

−=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )22

22

22

N N h

N N y

N N x

H H c

Y Y c

X X c

−=

−=

−=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )33

33

33

N N h

N N y

N N x

H H c

Y Y c

X X c

−=

−=

−=

d) Calculul corecţiilor unitare

- C.139 -



Topografie

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )1

11

1

11

1

11

D

ck

D

c

k

D

ck

hh

y

y

x x

=

=

=

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )2

22

2

22

2

22

D

ck

D

c

k

D

ck

hh

y

y

x x

=

=

=

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )3

33

3

33

3

33

D

ck

D

c

k

D

ck

hh

y

y

x x

=

=

=

e) Calculul coordonatelor relative compensate( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )∑

∑

∑

−=

+′=

+′=

−=

+′=

+′=

−=

+′=

+′=

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

C N

N n x N n N n

C xC C

B N

N n x N n N n

B x B B

A N

N n x N n N n

A x A A

X X x

Dk x x

Dk x x

X X x

Dk x x

Dk x x

X X x

Dk x x

Dk x x

3

1

3

11

1

3

11

2

1

2

11

1

2

11

1

1

1

11

1

1

11

δ

δ δ

δ δ

δ

δ δ

δ δ

δ

δ δ

δ δ

,,,

,,,

,,,

*

....................................

*

*

...................................

*

*

..................................

*

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )∑

∑

∑

−=

+′=

+′=

−=

+′=

+′=

−=

+′=

+′=

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

C N

N n y N n N n

C yC C

B N

N n y N n N n

B y B B

A N

N n y N n N n

A y A A

Y Y y

Dk y y

Dk y y

Y Y y

Dk y y

Dk y y

Y Y y

Dk y y

Dk y y

3

1

3

11

1

3

11

2

1

2

11

1

2

11

1

1

1

11

1

1

11

δ

δ δ

δ δ

δ

δ δ

δ δ

δ

δ δ

δ δ

,,,

,,,

,,,

*

.....................................

*

*

....................................

*

*

...................................

*

( )

( )

( )

( )

( )

( )∑

∑

−=

+′=

+′=

−=

+′=

+′=

−−−

−−−

−−−

−−−

B N

N nh N n N n

Bh B B

A N

N nh N n N n

Ah A A

H H h

Dk hh

Dk hh

H H h

Dk hh

Dk hh

2

1

2

11

1

2

11

1

1

1

11

11

11

δ

δ δ

δ δ

δ

δ δ

δ δ

,,,

,,,

*

.....................................

*

*

.....................................

*

( )

( )

( )∑ −=

+′=

+′=

−−−

−−−

C N

N nh N n N n

C hC C

H H h

Dk hh

Dk hh

3

1

3

11

1

3

11

δ

δ δ

δ δ

,,, *

......................................*


N nn N

A A

x X X

x X X

DRUMUIREA

,

......................

11

11

1

−−

−

+=

+=

δ

δ

N nn N

B B

x X X

x X X

DRUMUIREA

,

.........................

11

11

2

−−

−

+=

+=

δ

δ

N nn N

C C

x X X

x X X

DRUMUIREA

,

....................

11

11

3

−−

−

+=

+=

δ

δ

- C.140 -



Topografie

N nn N

C C

N nn N

B B

N nn N

A A

yY Y

yY Y

yY Y

yY Y

yY Y

yY Y

,

,

,

11

11

11

11

11

11

−−

−

−−

−

−−

−

+=−−−−−−−−−−−

+=

+=−−−−−−−−−−−

+=

+=−−−−−−−−−−−

+=

δ

δ

δ

δ

δ

δ

N nn N

C C

N nn N

B B

N nn N

A A

h H H

h H H

h H H

h H H

h H H

h H H

,

,

,

11

11

11

11

11

11

−−

−

−−

−

−−

−

+=−−−−−−−−−−−−

+=

+=−−−−−−−−−−−−

+=

+=−−−−−−−−−−−−

+=

δ

δ

δ

δ

δ

δ

6.1.2.d. ExempluDate:

• unghiurile ωi măsurate pe teren prin metoda seriilor

• lungimile laturilor Lij măsurate cu panglica dus-întors• unghiurile verticale αi

• schiţa drumuirii• coordonatele punctelor de sprijin

INVENTAR DE COORDONATE - PUNCTE DE SPRIJIN

PCT X[m] Y[m] H[m]

33 6412,212 7760,974 367,68334 8220,403 6991,00159 6256,013 8441,777 362,64373 4326,920 7720,11078 6182,462 7692,945 365,16089 5128,036 10068,70374 4783,321 6822,31690 8256,100 8701,13577 6629,941 6106,383

UNGHIURI ORIZONTALE

(G,C,CC)

ω101 299,9381ωN1 221,2438

ω201 169,2323ω N2 65,1670ω301 228,4993ω302 290,1707ωN3 151,4716

DIRECŢII ORIZONTALE

(G,C,CC)

33-34 224,3582

33-101 25,4124- C.141 -



Topografie

59-89 210,998759-90 80,621059-201 361,056178-77 20,657078-73 302,211278-74 338,585678-301 227,5262

UNGHIURI VERTICALE DEPANTĂ

(G,C,CC)

α 33-101 -1,3071α101-N -2,0703

α 59-201 -2,9782α201-N 0,4159

α 78-301 1,0238α301-302 -2,2179α302-N -1,5585

DISTANŢE INCLINATE

[m]

L 33-101 188,694L 101-N 202,252L 59-201 155,714L 201-N 282,419L 78-301 152,999

L 301-302 169,112L 302-N 177,831

- C.142 -



Topografie

90 (X,Y)

89 (X,Y)X

73 (X,Y)

74 (X,Y)

201

33 (X,Y,H)

101

34(X,Y)

201

S

59 (X,Y,H)

33

N

n

n

n

78 (X,Y,H)

101

301

301

302

302

77 (X,Y)

Y

Figura 6.17 – Exemplu de drumuire cu punct nodal


3717374Θ3433

34333433 Δ

Δ.==

−

−− x

yarctg

5936138Θ8959

89598959 Δ

Δ.==

−

−− x

yarctg

20958Θ 9059

9059

9059 Δ

Δ

.== −

−

− x

y

arctg

5008317Θ7478

74787478 Δ

Δ.==

−

−− x

yarctg

4359235Θ7378

73787378 Δ

Δ.==

−

−− x

yarctg

0681199Θ7778

77787778 Δ

Δ.==

−

−− x

yarctg

b) Calculul unghiului de orientare a staţiei[ ]

[ ]5917327

ααα

Θα

Θα

21

290591895959

9059290905959

8959189895959

.

;

;

=+

∗′′+∗′=

=−=′′

=−=′

−−

−−

−−

p p

p p

km D pdir

km D pdir

[ ]

[ ][ ]

8506296ααα

α

Θα

Θα

Θα

321

37827817878

7778377777878

7378273737878

7478174747878

.

;

;

;

=++

∗′′′+∗′′+∗′=

=−=′′′=−=′′=−=′

−−

−−

−−

p p p

p p p

km D pdir

km D pdir

km D pdir

c) Calculul orientarilor provizorii (transmiterea orientărilor)- C.143 -



Topografie

( )

( )

( ) 235254ω200ΘΘ

70685ω200ΘΘ

877595ω200ΘΘ

3768124αΘ

248554ω200ΘΘ

4155319ω400200ΘΘ

6478288αΘ

244054ω200ΘΘ

487875ω200ΘΘ

4259175ωωΘΘ

3

2

1

3023

302302301302

30130178302301

3017830178

201

2

20120159201

2015920159

101

1

S- N

10110133101

101343333343310133

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.;

=−+′=′

=−+′=′=−+′=′

=+=′

=−−′=′

=−+−′=′=+=′

=−+′=′

=−+′=′=−=−=′

−−

−−

−−

−

−−

−−

−

−

−−

−−

N N S N

N

N N S N

N

N N

N

dir

dir

dir dir

Se verifica daca:ncc50ΘΘΔΘ ≤′−′= minmax , n=numărul de staţii

d) Calculul orientării θ N-S folosind media ponderată( ) ( ) ( )

3

3

2

2

1

1

321

3

3

S- N2

2

S- N1

1

S- N

111

243254ΘΘΘ

Θ

n

p

n

p

n

p

p p p

p p pO

S N

===

=++

′+′+′=−

;;

.***

unde: p1=numărul de staţii al drumuirii 1 p2=numărul de staţii al drumuirii 2 p3=numărul de staţii al drumuirii 3

e) Calculul corecţiilor pe orientări( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 00800ΘΘ

00530ΘΘ

00080ΘΘ

33

Θ

22

Θ

11

Θ

.

.

.

=−=

−=−=

−=−=

−−

−−

−−

S N

O

S N

S N

O

S N

S N

O

S N

c

c

c

f) Calculul corecţiilor unitare( )

( )

( )( )

( )( )

1

3

Θ3

Θ

1

2

Θ2

Θ

1

1

Θ1

Θ

n

ck

n

ck

n

ck

=

=

=

g) Calculul orientărilor definitive pe fiecare drumuire

- C.144 -



Topografie( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) 2432544ΘΘ

712853ΘΘ

8815952ΘΘ

3788124ΘΘ

2432543ΘΘ

41203192ΘΘ

6460288ΘΘ

2432543ΘΘ

4873752ΘΘ

4256175ΘΘ

3Θ33

3

Θ302302

3

Θ302301302301

3

Θ3017830178

2

Θ

22

2

Θ201201

2

Θ2015920159

1

Θ

11

1

Θ101101

1

Θ1013310133

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

=+′=

=+′=

=+′=

=+′=

=+′=

=+′=

=+′= =+′

=

=+′=

=+′=

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

S N S N

N N

S N S N

N N

S N S N

N N

( ) ( ) ( ) O

S N S N S N S N

CONTROL

−−−− === ΘΘΘΘ321

:

2. Calculul coordonatelor relativea) Calculul coordonatelor relative provizorii si calculul coordonatelor absolute

provizorii ale punctului N

( )

( ) ( )∑

∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

=′

133

1

1

101101101

101331013310133

δ

Θδ

Θδ

Θδ

ji N

ji ji ji

N N N

x X X

D x

D x

D x

cos

cos

cos

( )

( ) ( )∑

∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

=′

133

1

1

101101101

101331013310133

yδ

Θyδ

Θyδ

Θyδ

ji N

ji ji ji

N N N

Y Y

D

D

D

sin

sin

sin

( )

( ) ( )∑∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′=′

1

33

1

1

101101101

101331013310133

hδ

αhδ

αhδ

αhδ

ji N

ji ji ji

N N N

H H

tg D

tg D

tg D

( )

( ) ( )∑

∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

=′

2

59

2

2

201201201

201592015920159

δ

Θδ

Θδ

Θδ

ji N

ji ji ji

N N N

x X X

D x

D x

D x

cos

cos

cos

( )

( ) ( )∑

∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

=′

2

59

2

2

201201201

201592015920159

yδ

Θyδ

Θyδ

Θyδ

ji N

ji ji ji

N N N

Y Y

D

D

D

sin

sin

sin

- C.145 -



Topografie

( )

( ) ( )∑∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+==′

=′=′

2

59

2

2

201201201

201592015920159

hδ

αhδ

αhδ

αhδ

ji N

ji ji ji

N N N

H H

tg D

tg D

tg D

( )

( ) ( )∑

∑ ∑−

−−−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′=′

=′

378

3

3

302302302

302301302301302301

301783017830178

δ

Θδ

Θδ

Θδ

Θδ

ji N

ji ji ji

N N N

x X X

D x

D x

D x

D x

cos

cos

cos

cos

( )

( ) ( )

∑

∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′

=′

3

78

3

3

302301302301302301

301783017830178

yδ

Θyδ

Θyδ

Θyδ

ji N

ji ji ji

Y Y

D

D

D

sin

sin

sin

( )

( ) ( )∑∑ ∑

−

−−−

−−−

−−−

′+=

=′

=′=′

3

78

3

3

302301302301302301

301783017830178

hδ

αhδ

αhδ

αhδ

ji N

ji ji ji

H H

tg D

tg D

tg D

b) Calculul coordonatelor absolute ale punctului N

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )∑

∑∑

−

−

−

==

==

==

33

33

22

22

1111

400

400

400

ji

ji

ji

D D D

p

D D D

p

D D D

p

;

;

;

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

266357

3618019

2906313

321

3

3

2

2

1

1

321

3

3

2

2

1

1

321

3

3

2

2

1

1

.***

.***

.***

=++

++=

=

++

++=

=++

++=

p p p

p H p H p H H

p p p

pY pY pY Y

p p p

p X p X p X X

N N N

N

N N N

N

N N N

N

c) Calculul corecţiilor pe creşterile de coordonate( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )11

11

11

N N h

N N y

N N x

H H c

Y Y c

X X c

−=

−=

−=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )22

22

22

N N h

N N y

N N x

H H c

Y Y c

X X c

−=

−=

−=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )33

33

33

N N h

N N y

N N x

H H c

Y Y c

X X c

−=

−=

−=

d) Calculul corecţiilor unitare

- C.146 -



Topografie

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )1

11

1

11

1

11

D

ck

D

c

k

D

ck

hh

y

y

x x

=

=

=

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )2

22

2

22

2

22

D

ck

D

c

k

D

ck

hh

y

y

x x

=

=

=

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )3

33

3

33

3

33

D

ck

D

c

k

D

ck

hh

y

y

x x

=

=

=

e) Calculul coordonatelor relative compensate( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )∑

∑

∑

−=

+′=

+′=

+′=

−=+′=

+′=

−=

+′=

+′=

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

78

3

302

3

302302

302301

3

302301302301

30178

3

3017830178

59

2

201

2

201201

20159

2

2015920159

33

1

101

1

101101

10133

1

1013310133

X X x

Dk x x

Dk x x

Dk x x

X X x

Dk x x

Dk x x

X X x

Dk x x

Dk x x

N

N x N N

x

x

N

N x N N

x

N

N x N N

x

δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ δ

δ δ

δ

δ δ

δ δ

*

*

*

*

*

*

*

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )∑

∑

∑

−=

+′=

+′=

+′=

−=+′=

+′=

−=

+′=

+′=

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

78

3

302

3

302302

302301

3

302301302301

30178

3

3017830178

59

2

201

2

201201

20159

2

2015920159

33

1

101

1

101101

10133

1

1013310133

Y Y y

Dk y y

Dk y y

Dk y y

Y Y y

Dk y y

Dk y y

Y Y y

Dk y y

Dk y y

N

N y N N

y

y

N

N y N N

y

N

N y N N

y

δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ

δ δ

δ δ

δ

δ δ

δ δ

*

*

*

*

*

*

*

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∑

∑

∑

−=

+′=

+′=

+′=

−=

+′=

+′=−=

+′=

+′=

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

78

3

302

3

302302

302301

3

302301302301

30178

3

3017830178

59

2

201

2

201201

20159

2

2015920159

331

101

1

101101

10133

1

1013310133

H H h

Dk hh

Dk hh

Dk hh

H H h

Dk hh

Dk hh

H H h

Dk hh

Dk hh

N

N h N N

h

h

N

N h N N

h

N

N h N N

h

δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ

δ δ

δ δ

δ

δ δ

δ δ

*

*

*

*

*

*

*


N N

N N

N N

x X X

x X X

x X X

x X X

x X X

x X X

x X X

−

−

−

−

−

−

−

+=

+=+=

+=+=

+=

+=

302302

302301301302

3017878301

201201

2015959201

101101

1013333101

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

N N

N N

N N

yY Y

yY Y

yY Y

yY Y

yY Y

yY Y

yY Y

−

−

−

−

−

−

−

+=+=

+=+=+=+=+=

302302

302301301302

3017878301

201201

2015959201

101101

1013333101

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

N N

N N

N N

h H H

h H H

h H H

h H H

h H H

h H H

h H H

−

−

−

−

−

−

−

+=+=

+=+=+=+=+=

302302

302301301302

3017878301

201201

2015959201

101101

1013333101

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

- C.147 -



Topografie


(tabel 1)

S T A T I A

P U N C T E

V I Z A T E

Distanţeînclinate

Unghiuriverticale α

SinαCosαUnghiuri

orizontale ω

Orientări θ Sinθ

Cos2αCALCULATE

CORECTII

CosθCOMPENSATE


1 2 3 4 5 6 7 8

33101 188

694

-130

71

17542

59

-0 03

17542

56

101N 202

252

-207

03 29993

81

7548

78

-0 05

7548

73

NS 221

24

38

5424

40

-0 08T θ1=87 cc

5424

32

59201 155

714

-297

82

288 64 78

-0 18

288 64

60

201N 282

419

041

59 16923

23

31941

55

-0 35

31941

20

N S 65 16 70

5424

85

-0 53T θ2=87 cc

5424

32

78301 152

999

102

38

12437

68

0 20

12437

88

301302 169 11

2-2 2

179 228 4

993

9587

75

0 40

95 8 15

- C.148 -



Topografie

8

302N 177

831

-155

85 29017

07

570

68

0 60

5 71

28

NS 151

47

16

5423

52

0 80T θ3=100cc

5424

32

- C.149 -



Topografie


(tabel 2)

D i s t a n ţ e

o r i z o n t a l e COORDONATE RELATIVE COORDONATE ABSOLUTE

N R . P

U N C T

O b s e r v a ţ i i± ∆X ± ∆Y ± ∆H

X Y HCalculate Calculate CalculateCorecţii Corecţii Corecţii

Compensate Compensate Compensatem cm m cm m cm m cm m cm m cm m cm

9 10 11 12 13 14 15 16 17

188 65

4

-174 773 71 028 -3 8746237

403

7832

009

36 3

825 101-0 036 0 007 0 016

-174 809 71 035 -3 858

202 145

75 926 187 344 -6 5766313 290 8019 36 1 357 26 6 N-0 039 0 008 0 017

75 887 187 352 -6 559

ex = 0.076cx = -0.076

ey = -0.015cy = 0.015

eh = -0.033ch = 0.033Th1 = 0.125T1=0.314

155 54

4

-27 594 -153 076 -7 2826228

449

8288

717

355

382

2010 030 0 016 0 021-27 564 -153 060 -7 261

282 41

3

84 786 -269 385 1 845631

3

29

0

801

9

36

1

35

7

26

6 N0 055 0 029 0 039

84 841 -269 356 1 884

ex = -0.085cx = 0.085

ey = -0.045cy = 0.045

eh = -0.060ch = 0.060Th2 = 0.132T2=0.347

152 97

9

-57 161 141 899 2 4606125

301

7834

823

36 7

586 3010 000 -0 022 -0 034

-57 161 141 877 2 426

169 00

9

10 926 168 656 -5 890613

6 22

7 800

3454

36 1

659 3020 000 -0 024 -0 038

10 926 168 632 -5 928

177 77

8

177 062 15 932 -4 3536313

290

8019

36 1

357

26 6 N0 000 -0 025 -0 039

177 062 15 907 -4 392

ex = 0.000cx = 0.000

ey = 0.071cy = -0.071

eh = 0.111ch = -0.111Th3 = 0.141T3=0.389

- C.150 -



Topografie

6.1.2.e. Drumuirea închisă pe punctul de plecare

Y

C

B

C

A

A n-1

n-1

n-1

θB

A

i

3

2 2

3

3

1

1

1

2

X

N

Figura 6.18 – Drumuire închisă pe punctul de plecare

Elemente cunoscute: coordonatele punctelor A, B, CElemente măsurate pe teren:• ωi – unghiurile orizontale exterioare• ϕi – unghiurile orizontale interioare• αi – media unghiurilor de pantă

• li – lungimile înclinate medii ale laturilor de drumuireEtape de calcul:

1. Calculul distanţelor orizontale şi a diferenţelor de nivel

ijijij

ijijij

tg d h

l d

α δ

α

∗=

∗= cos

2. Calculul şi compensarea orientărilor a) Pe unghiuri

Folosim unghiurile interioare Folosim unghiurile exterioare( )

( )

numaruln k

2200

'

2200

21i

==

−−∗=

++=

−∗=

∑∑

,

...''

n

c

nc

n

g

g

i

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ( )

( )

numaruln k

2200

'

2200

21i

==

−+∗=

++=

+∗=

∑∑

,

...''

n

c

nc

n

g

g

i

ω

ω

ω

ω ω ω

ω

- C.151 -



Topografie

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

k

k

k

k

A A

nn

+=

+=

−−−−−−−

+=

+=

−−

'

'

'

'

11

22

11

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

k

k

k

k

A A

nn

+=+=−−−−−−−

+=+=

−−'

'

'

'

11

22

11

Se calculează unghiul de orientare a staţiei A

21

21

p

p p

p

ccc

M c

M c A A

A

A

A

C AC

B AB

+

∗+∗=⇒

−Θ=

−Θ=θ θ

θ

θ

θ '''

''

'

Se calculează orientările compensate

g

A An An

g

g

A

AM c

A

200

200

200

11

23232

1121

11

+−Θ=Θ

−−−−−−−−−−−−−−

+−Θ=Θ+−Θ=Θ

+=Θ

−− ϕ

ϕ ϕ

θ

,,

,,

,,

,

g

A An An

g

g

A

A M c A

200

200

200

11

23232

1121

11

−+Θ=Θ

−−−−−−−−−−−−−−

−+Θ=Θ−+Θ=Θ

+=Θ

−− ω

ω ω

θ

,,

,,

,,

,

g

A An An

g

g

A

nn A

A

M c

M c

A

A

200

200

200

11

23232

1121

11

11

+−Θ=Θ−−−−−−−−−−−−−−

+−Θ=Θ

+−Θ=Θ

+=Θ

+=Θ

−−

−−

''

''

''

,,

,,

,,

,

,

ϕ

ϕ

ϕ

θ

θ

a) Pe orientări

+Θ=Θ

−−−−−−−−−−

+Θ=Θ

+Θ=Θ

⇒

=

Θ−Θ=−=

−−

−−

θ

θ

θ

θ

θ

θ

nk

k

k

n

c

k

vvc

An An

n An Ae j

,,

,,

,,

,,

'

'

''

11

3232

2121

112

Calculul coordonatelor relativea) Proporţional cu distanţab) Proporţional cu creşterile de coordonate

Se procedează analog cu drumuirea sprijinită la capete pe puncte decoordonate cunoscute şi pe direcţii duble, aplicând condiţia matematică:

∑∑∑ === 000 h y x δ δ δ ;;

- C.152 -



Topografie

6.1.2.f. Drumuirea cu orientări măsurate direct pe teren

X

1

A-CθA

2

A-1C θ

N

N

1-2θ

θD

n-1,B

n-1

B

Y

N

N

B-Dθ

Figura 6.19 – Drumuirea cu orientări măsurate direct pe teren

Elemente cunoscute: coordonatele punctelor A, B, C, DElemente măsurate pe teren:

• θ’i – orientările

• αi – media unghiurilor de pantă• li – lungimile înclinate medii ale laturilor de drumuireEtape de calcul:

• Descrierea operaţiilor în teren pentru măsurarea directă a orientărilor θi• Compensările ca la o drumuire obişnuită

A

X

Y

lε

y

ABθ

*l

ABθ

N

1 n-1E

B (B*)

l

y'

xEx'

Figura 6.20 – Drumuirea sprijinită la capete numai pe puncte de coordonate cunoscute- C.153 -



Topografie

6.1.2.g. Drumuirea sprijinită la capete numai pe puncte de coordonatecunoscute

Se staţionează în punctele 1, 2, …, n-1 (figura 6.20).

Se cunosc coordonatele punctelor A, B (Xi, Yi, Hi)Elemente măsurate pe teren:• ωi – unghiurile orizontale• αi – media unghiurilor de pantă• li – lungimile înclinate medii ale laturilor de drumuire

Etape de calcul:1. Calculul distanţelor orizontale

ijijij l d α cos∗=

2. Calculul orientărilor Se consideră orientarea primei laturi θA-1=0g, şi se transmite:

g

nnn Bn

g

A

g

A

200ω*Θ*Θ

200ω*Θ*Θ

localsisteminxaxa 0*Θ

1121

1121

1

++=−−−−−−−−−−−−−

++=

=

−−−−

−−

−

,,

,

3. Se calculează creşterile de coordonate:

∑ ∑ Θ∗=

Θ∗=−−−−−−−−−−−−−−−−

Θ∗=Θ∗=

−−−

−−−

−−−

ijijij

Bn Bn Bn

A A A

d x

d x

d x

d x

*cos*

*cos*

*cos*

*cos*

,,,

δ

δ

δ

δ

111

212121

111

∑ ∑ Θ∗=

Θ∗=−−−−−−−−−−−−−−−−

Θ∗=Θ∗=

−−−

−−−

−−−

ijijij

Bn Bn Bn

A A A

d y

d y

d y

d y

*sin*

*sin*

*sin*

*sin*

,,,

δ

δ

δ

δ

111

212121

111

∑ ∑ ∗=

∗=−−−−−−−−−−−−−−−−

∗=∗=

−−−

−−−

−−−

ijijij

Bn Bn Bn

A A A

tg d h

tg d h

tg d htg d h

α δ

α δ

α δ α δ

'

'

''

,,, 111

212121

111

4. Se calculează coordonatele:

Bij A B

Bij A B

Y yY Y

X x X X

≠+=

≠+=

∑∑

**

**

δ

δ

5. Se calculează orientările:- C.154 -



Topografie

A B

A B

A B

A B

X X

Y Y arctg

X X

Y Y arctg

−

−=Θ

−−

=Θ

*

**AB

AB

6. Se calculează unghiul ε:

* B A B A −− Θ−Θ=ε

7. Se calculează orientările definitive:

ε

ε

ε

+=−−−−−−−−−−−−−

+=+=

−−

−−

−−

Bn Bn

A A

,, 11

2121

11

*Θ*Θ

*Θ*Θ

*Θ*Θ

Calculul şi compensarea creşterilor de coordonate şi calculul

coordonatelor absolute se face ca în cazurile precedente.

6.1.3. Ridicarea planimetrică a detaliilor topografice6.1.3.a. Metoda radierii (metoda coordonatelor polare)

502501

200201

500

202

Figura 6.20 – Metoda coordonatelor polare (radierii)

Elemente cunoscute:- Coordonatele punctelor 201,202 (X, Y)

- Orientările θ201-200, θ201-202

1. Se calculează:

2202202201

200200201 '''

''

' aaa

M a

M a +=⇒

−Θ=

−Θ=

−

−

2. Calculul orientărilor pentru punctele radiate:ii

M a +=Θ −201

3. Calculul coordonatelor relative:

- C.155 -



Topografie

iii

iii

iii

tg d h

d y

d x

−−−

−−−

−−−

∗=Θ∗=

Θ∗=

201201201

201201201

201201201

α δ

δ

δ

sin

cos

4. Calculul coordonatelor absolute:

ii

ii

ii

h H H

yY Y

x X X

−

−

−

+=+=

+=

201201

201201

201201

δ

δ

δ

6.1.3.b. Metoda coordonatelor rectangulare (în terenuri cu panta α ≤ 5g)

201200 202

P'

P

d1

d2

N

θ201-202

Figura 6.21 – Metoda coordonatelor rectangulare

Elemente cunoscute:

- Coordonatele punctelor 201,202 (X, Y)- Orientarea θ201-202

1. Se calculează:

''

''

'

'

sin

cos

P P

P P

P

P

yY Y

x X X

d y

d x

−

−

−−

−−

+=

+=Θ∗=Θ∗=

201201

201201

2022011201

2022011201

δ

δ

δ

δ

2. Calculul coordonatelor punctului P: g

P P 100202201 −Θ=Θ −− '

+=+=⇒

Θ∗=Θ∗=

−

−

−−

−−

P P P P

P P P P

P P P P

P P P P

yY Y

x X X

d y

d x

''

''

''

''

sin

cos

δ

δ

δ

δ

2

2

- C.156 -



Topografie

6.1.3.c. Ridicarea detaliilor prin intersecţie liniară

200201

D

1d

P

202

2d

Figura 6.22 – Metoda intersecţiei liniareElemente cunoscute:

- Coordonatele punctelor 201,202 (X, Y)- Distanţele d1, d2 măsurate

1. Se calculează:

ϕ ϕ

ω ω

⇒∗∗∗−+=

⇒∗∗∗−+=

cos

cos

Dd Dd d

Dd Dd d

2

22

2

2

1

1

22

1

2

2

2

2

2. Calculul orientărilor:

ϕ

ω

+Θ=Θ−Θ=Θ

−−

−−

201202202

202201201

P

P

3. Se calculează creşterile de coordonate, iar apoi coordonatele absolute ale punctului P.

6.1.3.d. Ridicarea detaliilor prin intersecţie unghiulară

200201 202

P

Figura 6.23 – Metoda intersecţiei unghiulare

Elemente cunoscute:- C.157 -



Topografie

- Coordonatele punctelor 201,202 (X, Y)- Unghiurile ω şi ϕ măsurate

1. Calculul orientărilor:

ϕ ω

+Θ=Θ −Θ=Θ−−

−−

201202202

202201201

P

P

2. Se poate scrie:

)(

)(

)(

)(

202202202

201201201

202201

202201201201202

202202202

201201201

s

X X tg Y Y

X X tg Y Y

tg tg

X tg X Y Y X

X X X tg Y Y

X X tg Y Y

P P P

P P P

P P

P

P

P

P P P

P P P

−∗Θ+=

−∗Θ+=

Θ−Θ

−Θ∗+−=

⇒

−∗Θ=−

−∗Θ=−

−

−

−−

−

−

−

6.1.4. Găsirea greşelilor la o drumuire planimetricăDacă neînchiderile pe coordonate ex şi ey şi deci şi eroarea totală

22

y xT eee +±= nu se înscrie în toleranţele admise cu erori mari, rezultă că s-acomis o greşeală la măsurarea unghiurilor sau a laturilor. Identificarea greşelilor se poate face doar dacă un singur unghi sau o singură latură a fost greşită. Dacăs-au comis mai multe erori, drumuirea trebuie refăcută.6.1.4.a. Identificarea unei greşeli de unghi

X

A'

2A

A

1

2

2 3

1A''

1 2

1

3

3

3

B

B''

B

B

Y

B'

Figura 6.24 – Identificarea greşelii de unghi la o drumuire planimetrică

GRAFIC• Se raportează la o anumită scară coordonatele punctelor A, A’, B, B’• Se raportează cu raportorul polar ω i şi li în direcţia de la A la B,

ajungându-se în B’’ datorită erorii de unghi din punctul 2- C.158 -



Topografie

• Se raportează în sens invers de la B spre A tot polar, ω i şi li, ajungându-se în punctul A’’

• La intersecţia celor două trasee se găseşte greşeala de unghi

ANALITIC• Se calculează orientările laturilor de drumuire de la A la B• Cu orientările necompensate se calculează coordonatele relative şi

absolute ale punctelor de drumuire• Se calculează orientările laturilor pornind de la B spre A• Cu aceste orientări necompensate se calculează din nou creşterile de

coordonate şi apoi coordonatele absolute ale punctelor de drumuire• Se compară coordonatele provizorii din cele două drumuiri calculate• În punctul în care coordonatele coincid sau sunt foarte apropiate, vom

avea eroarea de măsurare a unghiului ce necesită remăsurat6.1.4.b. Identificarea unei greşeli de măsurare a lungimilor

O eroare în măsurarea lungimii laturilor poate fi depistată doar cândavem o singură latură greşit măsurată.

Se presupun unghiurile ωi corect măsurate.

X

A'

A

A

N

B-B''

e

3

θ

2D1

D

1

1

3D

2

De

1-2

23

3D

2

2'

3'

3

4D

4D

B

N

B

θ

D

B''

Y

B'

Figura 6.25 – Identificarea unei greşeli de măsurare a lungimilor la o drumuire planimetrică

DEPISTARE• Se calculează orientările θi şi se compensează• Se calculează cu orientările compensate şi cu distanţele reduse la orizont

creşterile de coordonate• Se compară ∑ ∑ ijij y x ',' δ δ cu AB AB

Y X ∆∆ , , stabilind neînchiderile ex,ey, constatând neînchideri mari

• Se calculează orientarea

- C.159 -



Topografie

x

y

B B B Be

e=ΘΘ −− '''' tg:astfel

θ

B

N

B-B''

ye

xe

B''

Figura 6.26 – Calculul orientării în funcţie de neînchiderile ex, ey

6.2. 6.2 Reţele de ridicare altimetrică

6.2.1. Drumuirea de nivelment geometric sprijinită la capete

St1

niveleu

A

A

p o r t e e

St1

a

M1

1

St21

p o r t e e

1

St2

St n

2

2

St n

B

B

bb

2

1

a

M2

M1

2b

n

Figura 6.27 – Drumuirea de nivelment geometric sprijinită la capete

Date:- cotele punctelor A şi B- citirile pe miră ai, bi

Etape de calcul:1. Calculul diferenţelor de nivel provizorii între punctele drumuirii, cu ajutorul

citirilor efectuate pe mire

- C.160 -



Topografie

)(

,

CONTROLbah

ba

ba

ba

iiij

nnh

h

h

Bn

A

∑ ∑ ∑−=

−=′

−−−−−−−−

−=′

−=′

−

−

−

δ

δ

δ

δ

1

21

1

22

11

2. Efectuarea controlului foii de nivelment, verificându-se fiecare pagină∑ ∑∑ ′δ=− iii h ba , acest control se trece în josul fiecărei foi de nivelment

3. Calculul neînchiderii pe diferenţe de nivel( )

[ ]

hh

hkmiih

A Bijh

T e

km DmmT d T

H H he

≤

−==

−−′=

∑∑

][,* 2083 σ

δ

I=abaterea standard pe un kilometru de dublu nivelment, în funcţie de aparat3. Calculul corecţiei totale şi al corecţiei unitare

∑=

−=

i

hh

hh

d c

k

ec

sau:∑

=

−=

ij

hh

hh

h

ck

ec

'δ 0

4. Compensarea diferenţelor de nivel provizorii proporţional cu distanţa d i

)(

'*

'*

'*

,,,

CONTROL H H h

hk hh

hk hh

hk hh

A Bij

Bnh Bn Bn

h

Ah A A

∑ −=

+′= −−−−−−−−−−−−−−−−−

+′=

+′=

−−−

−−−

−−−

δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

1

0

11

21

0

2121

1

0

11

sau:

5. Compensarea diferenţelor de nivel provizorii proporţional cu creşterile dealtitudini

)(

*

*

*

,,,

CONTROL H H h

d k hh

d k hh

d k hh

A Bij

Bnh Bn Bn

h

Ah A A

∑ −=

+′=

−−−−−−−−−−−−−−−−−+′=

+′=

−−−

−−−

−−−

δ

δ δ

δ δ

δ δ

111

212121

111

6. Calculul cotelor punctelor drumuirii

)(, CONTROLh H H

h H H

h H H

Bnn B

A A

11

2112

11

−−

−

−

+=

−−−−−−−−−−

+=

+=

δ

δ

δ

- Se compară orientarea obţinută cu orientările laturilor - Unde orientarea '' B B−Θ corespunde sau este foarte apropiată de orientarea

unei laturi, acea latură a fost măsurată greşit, urmând a fi remăsurată (în

acest caz, latura l1-2)- C.161 -



Topografie

6.2.1.a. ExempluTema drumuirii:Date:

- cotele reperilor de referinţă RN1 si RN2, HRN1=232.127 şi HRN2=232.427- citirile a si b efectuate pe mirele instalate în punctele drumuiriiSe cer:

- cotele punctelor drumuirii 30 si 31- cotele punctelor radiate 101 si 102

St1

niveleu

RN1

=232,127)

RN1

RN1(H

d h 1

p o r t e e

St1

M1

256028593160

18920699

RN2

101

St230

p o r t e e

102

30 d h 2

1 5 4 3

1 5 8 9

St2

St3

31

31

d h 3

St3(H

RN2

=232,427)

RN2

191321632413

142817292030

09491200

M2

M1

227025212772

21442396

M2

Figura 6.28 – Exemplu de drumuire de nivelment geometric sprijinită la capete

Etape de calcul:1. Calculul diferenţelor de nivel provizorii între punctele drumuirii, cu ajutorul

citirilor efectuate pe mire

=−=δ ′

−=−=δ ′

=−=δ ′

358.0 ba

195.1 ba

130.1 ba

33h

22h

11h

3

2

1

se trec în coloanele corespunzătoare “+” sau “-“ în funcţie de semn2. Efectuarea controlului foii de nivelment, verificându-se fiecare pagină

29302930

35801951130103663296

..

.....

=+−=−

′=− ∑ ∑∑ iii hba δ

,

acest control se trece în josul fiecărei foi de nivelment3. Calculul neînchiderii pe diferenţe de nivel

- C.162 -



Topografie

( )

[ ]

hh

h

kmiih

h

RN RN ijh

T e

mmmmT

d T

mme

H H he

≤±==

=

−=

−−′=

∑

∑

583209053

3

0070

12

..*

*

.

σ

δ

,

I=abaterea standard pe un kilometru de dublu nivelment4. Calculul corecţiei totale şi al corecţiei unitare

mmd

ck

mmec

i

hh

hh

1813652

0070

.

.

==

=−=

∑5. Compensarea diferenţelor de nivel provizorii proporţional cu distanţa d i

)(

.*

.*

.*

control H H h

d k hh

d k hh

d k hh

RN RN

h

h

h

∑ −=

=+′=

−=+′=

=+′=

12

333

222

111

3600

1931

1331

δ

δ δ

δ δ

δ δ

6. Calculul cotelor punctelor drumuirii

427232

067232

260233

3302

23031

1130

.

.

.

=+==+==+=

h H H

h H H

h H H

RN

RN

δ

δ

δ

7. Calculul cotelor punctelor radiate 101 şi 102 folosind altitudinea planului de

vizare

619232

665232

2082342

102102

101101

231

230

2

2

22

2

2

2

.

.

.

=−=

=−=

=′′+′

=⇒

+=′′

+=′

c H H

c H H

H H H

b H H

a H H

S

S

S S

S

S

S

V

V

V V

V

V

V

- C.163 -



Topografie

CARNET DE NIVELMENTOperator…………………….. Verificat de……………….

Data…………………

N r . s t a t i e i

P c t . v i z a t CITIRI PE MIRA Diferenţe

de nivel A l t i t u d i n e a

p l a n u l u i

d e v i z a r e

A l t i t u d i n i

a b s o l u t e

O b s e r v a ţ i i

Inregistrate Medii

InapoiInter-

mediareInainte Inapoi Inainte + -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

S1

RN1

31602859

1130+3

1133232.127

d1==120.2m

28592560

302030

17291729

1428

S2

301200

09491195

+21193

HV==234.208

233.260d2=

=100.5m09490699

312396

214421441892

101 1543232.66

5

102 1589232.61

9

S3

31 2772 2521 358+2360

232.067 d3==100.4m

25212270

RN2

24132163 232.4272163

1913

Σa = 6329 Σb = 6036

eh = -7 mm Th = ±8.5 mm

ch = +7 mm qh = 2.181365

6.2.2. Drumuirea cu punct nodalDate:

- cotele punctelor A, B şi C- citirile pe miră ai, bi

Etape de calcul:

1. Calculul diferenţelor de nivel provizorii între punctele drumuirii, cu ajutorulcitirilor efectuate pe mire }iii bah −=′δ

2. Efectuarea controlului foii de nivelment, verificându-se fiecare pagină

∑ ∑∑ ′δ=− iii h ba , acest control se trece în josul fiecărei foi de nivelment- C.164 -



Topografie

3. Determinarea altitudinii absolute provizorii a punctului nodal N

[ ]∑∑∑

∑

±=

′+=′′′′+=′′

′+=′

km DmmT

h H H

h H H

h H H

ijh

ijC N

ij B N

ij A N

20

3

2

1

,

δ

δ

δ

Figura 6.29 – Drumuirea de nivelment geometric cu punct nodal4. Determinarea altitudinii absolute a punctului nodal N

∑∑∑===

++′′′+′′+′

=

332211

321

321

111

iii

N N N

N

D p

D p

D p

p p p

p H p H p H H

;;

***

5. Calculul neînchiderilor pe fiecare drumuire

N N h

N N h

N N h

H H e

H H e

H H e

−′′′=

−′′=

−′=

3

2

1

, sau

( )

( )

( )C N ijh

B N ijh

A N ijh

H H he

H H he

H H he

−−′=

−−′=

−−′=

∑∑∑

33

22

11

δ

δ

δ

, [ ] hhkmiih T ed T ≤= ∑ ;*σ 3

I=abaterea standard pe un kilometru de dublu nivelment

6. Calculul corecţiei totale şi al corecţiei unitare

33

22

11

hh

hh

hh

ec

ec

ec

−=

−=

−=

- C.165 -



Topografie

[ ]

[ ]

[ ]mmm D

ck

mmm D

c

k

mmm D

ck

i

hh

i

hh

i

hh

/

/

/

∑

∑

∑

=

=

=

3

33

2

22

1

11

7. Compensarea diferenţelor de nivel provizorii proporţional cu distanţa D i

ijhijij Dk hh *+′= δ δ

Se tratează fiecare drumuire în mod independent ca o drumuire sprijinită lacapete pe puncte de altitudini cunoscute.8. Calculul cotelor punctelor drumuirii

iiii h H H ,11 −− += δ

6.2.2.a. Exemplu

32dr+16

st+22

st+11+33

dr+25

dr+14

30

S1

+77

S2+19

st+12

st+24

S10

S3a

P3

31

+26 S3 +69

S5

S11

S4

+67

+30

+50 +25+70

S6

S7

RN2

R5

P1

S8

S9

P2

R2

R1

R4

R3

dr+48

dr+33

RN3

RN1

Figura 6.30

Tema drumuirii:Date:

- cotele reperilor de referinţă RN1, RN2 şi RN3 :HRN1=232.127,HRN2=233.823 şi HRN3=232.848

- citirile a si b efectuate pe mirele instalate în punctele drumuirii- schiţa generală a drumuirii de nivelment geometric cu punct nodal- schiţele drumuirilor 1, 2, 3

Se cer:- să se completeze carnetele de nivelment cu citirile efectuate în teren- să se efectueze controlul foii de nivelment- să se calculeze si să se compenseze drumuirea de nivelment geometric cu

punct nodal- C.166 -



Topografie

- să se calculeze cotele punctelor intermediare, ale punctelor situate pe profilele transversale (30+77 si 31+69) şi ale punctelor radiate R1...R5

3160

(H

+19

=229,127)

30

+77 31+26

154325602859

14281729

2030

06990949

1200

214423961589 2270

2521

2772

1892

2460

+69

2002

1913

21632413

RN1

Schita drumuirii 1

Figura 6.31

Schita profilului in punctul 30+77

30+77

st+12

1428 1711 1589

dr+14

dr+25

2119 2996

st+24

Figura 6.32

dr+48

st+22

Schita profilului in punctul 31+69

2002

31+69st+11

21121631

dr+16

dr+33

1215 2924

2436

3691

Figura 6.33

- C.167 -



Topografie

3005

32+33

19441692

2196 1998

2123

+30+67 33

291026582406

2433

284025892338

+50

1491

34+25

285726082358

179015411290

2663

+70

35

237221201870

213228922779

Schita drumuirii 2

2435

=230.823)RN2(H

23182200

Figura 6.34

1915

2194

2474

P1

=229.848)

RN3

RN3(H

1702

20022302

2286

25862886

(1414)R1

(1314)

R2

R3

1 2 0 7

P2

(1042)

P3

(0733)

R4

R5

Schita drumuirii 3

1714

1536

1892

2208

2030

1598

1693

1789

2385

13091402

1495

2268

2550

2833

32

0 6 9 0

Figura 6.35

- C.168 -



Topografie


Data…………………

N r . s t a t i e i

P c t . v i z a t

CITIRI PE MIRĂ Diferenţede nivel

A l t i t u d i n e a

p l a n u l u i

d e v i z a r e

Altitudiniabsolute


Inregistrate Medii

InapoiInter-


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

S1

RN1

31602859

1130+1

1131232.1272859

2560

302030

172917291428

S2

301200

09491195

+11194

HV=234.207

233.25809490699

312396

214421441892

+19 1543 232.664

St+12 1711 232.496

St+24 1428 232.979Dr+14 2119 232.088

Dr+25 2996 231.211

+77 1589 232.618

S3

312772

2521358+0

358

HV=234.584

232.06425212270

322413

2163 232.42221631913

+26 2460 232.124

St+11 2112 232.472

St+22 1631 232.953

Dr+16 2436 232.148

+69 2002 232.582

S3a

Dr+16 1215HV=233.363

232.148

Dr+36 2924 230.439

Dr+48 3691 229.672

Control foaie nivelmentΣai-Σbi = Σδh’ = 6.329-6.036=0.293

eh = -1.3 mm Th = ±11.3 mm

ch = +1.3 mm qh = 0.003997

- C.169 -



Topografie


Data…………………

N r . s t a t i e i

P c t . v i z a t

CITIRI PE MIRĂ Diferenţede nivel


p l a n u l u i

d e v i z a r e

Altitudiniabsolute


Inregistrate Medii

InapoiInter-


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

S7

RN2

24352318

5740

574233.8232318

2200

353005

289228922779

S6

352372

2120488

-1489

HV=235.367

233.24921201870

342857

260826082358

+70 2132 233.235

+25 2662 232.705

S5

341790

15411048

-2

1050

HV=234.298

232.76015411290

332840

258925892338

+50 1491 232.807

+30 2123 232.175

S4

332910

2658714

-2712

HV=234.366

231.71026582406

322196

1944 232.42219441892

+67 2433 231.933

+33 1998 232.368

Control foaie nivelmentΣai-Σbi = Σδh’ = 8637-10033 = -1.396

eh = +6 mm Th = ±11.8 mm

ch = -6 mm qh = -0.01647

- C.170 -



Topografie


Data…………………

N r . s t a t i e i

P c t . v i z a t CITIRI PE MIRĂ Diferenţe

de nivel


p l a n u l u i

d e v i z a r e

Altitudiniabsolute


Inregistrate Medii

InapoiInter-


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

S8

RN3

23022002

584+1

583232.8482002

1702

P1

288625862586

2286

S9

P1

18921714

494+1

493

HV=233.979

232.26517141536

P2

238522082208

2030R 1 1414 232.565

R 2 1314 232.665

R 3 1207 232.772

S10

P2

17891693

291+1

292

HV=233.466

231.7731693

1598

P3

149514021402

1309R 3 0690 232.776

R 4 0733 232.733

R 5R 1 1042 232.424

S11

P3

28332550

3562

358232.0642550

2268

322474

2194 232.4222194

1915Control foaie nivelment

Σai-Σbi= Σδh’ = 7959-8390 =-0.431

eh= -4 mm Th= ±11.7 mm

1. Calculul diferenţelor de nivel provizorii între punctele drumuirii, cu ajutorulcitirilor efectuate pe mire }iii

bah −=′δ se trece în coloanele corespunzătoare“+” sau “-“ în funcţie de semn,

2. Efectuarea controlului foii de nivelment, verificându-se fiecare pagină∑ ∑∑ ′δ=− iii h ba , acest control se trece în josul fiecărei foi de nivelment

3. Determinarea altitudinii absolute provizorii a punctului nodal 32- C.171 -



Topografie

[ ]∑∑∑∑

±=

=′+=′′′

=′+=′′

=′+=′

km DmmT

h H H

h H H

h H H

ih

i RN

i RN

i RN

20

417232

427232

420232

3

332

2

232

1

132

,

.

.

.

δ

δ

δ

4. Determinarea altitudinii absolute a punctului nodal 32

∑∑∑===

=++

′′′+′′+′=

332211

321

332232132

32

111

242232

iii D p

D p

D p

m p p p

p H p H p H H

;;

.***

5. Calculul neînchiderilor pe fiecare drumuire

mm H H e

mm H H e

mm H H e

h

h

h

5

5

2

3232

3

3232

2

3232

1

−=−′′′=

=−′′=

−=−′=

sau( )( )

( ) hh RN ijh

RN ijh

RN ijh

T e H H he

H H he

H H he

≤−−′=

−−′=−−′=

∑∑∑

;332

33

232

22

13211

δ

δ

δ

6. Calculul corecţiei totale şi al corecţiei unitare

mmec

mmec

mmec

hh

hh

hh

5

5

2

33

22

11

=−=

−=−=

=−=

,

[ ]

[ ]

[ ]mmm D

ck

mmm

D

ck

mmm D

ck

i

hh

i

hh

i

hh

/

/

/

∑

∑

∑

=

=

=

3

33

2

22

1

11

7. Compensarea diferenţelor de nivel provizorii proporţional cu distanţa D ij

ijhijij Dk hh *+′δ=δ

8. Calculul cotelor punctelor drumuirii iiii h H H ,11 −− += δ

9. Calculul cotelor punctelor de pe profile, al punctelor intermediare si al punctelor radiate folosind altitudinea planului de vizare

24101

231

230

2

22

2

2

2

2

+−=

′′+′=⇒

+=′′

+=′

st V

V V

V

V

V

c H H

H H H

b H H

a H H

S

S S

S

S

S

6.2.3. Drumuirea de nivelment trigonometric sprijinită la capetepe puncte de cote cunoscute

Între punctele A şi D s-a executat o drumuire de nivelment trigonometric- C.172 -



Topografie

măsurându-se pe teren următoarele elemente topografice:a) lungimile înclinate (Li-j) s-au măsurat cu panglica de oţel dus-întors;

b) unghiurile zenitale (Zi-j) s-au măsurat în fiecare staţie în ambele poziţii ale

lunetei; Cotele punctelor A şi D sunt:HA = 202.181 + 1.5 N [cm]; HD = 208.930 + 1.5 N [cm];

Pentru punctele radiate 116 şi 121 lungimile înclinate s-au măsurat osingură dată, iar unghiurile zenitale în poziţia I a lunetei.

SCHIŢA DRUMUIRII

A

B

1

2

3

4

5

D

C

116

121

Figura 6.36 – Drumuirea de nivelment trigonometric sprijinită la capete pe puncte decoordonate cunoscute

Etape de calcul:

1. Calculul unghiurilor verticale (de pantă):1100 C I

ji −=−α , 3002 −=− C II

jiα

2

II

ji

I

jimed

ji

−−−

+=

α α α

; 2

II

i j

I

i jmed

i j

−−−

+=

α α α

; 2

med

i j

med

ji

ji

−−−

+=

α α α

2. Reducerea distanţelor la orizont: ji ji ji L D −−− = α cos

3. Calculul diferenţelor de nivel provizorii:∑ −−−−− =∆−=−= ji ji ji D A ji jeh tg D H V V e α δ δ ;

4. Calculul neînchiderii şi al corecţiei unitare:

hh ce −= ; ]/[ mmm D

c

q ji

h

H

−Σ=

5. Compensarea diferenţelor de nivel: jih ji ji Dq −−− += 'δ δ

6. Calculul cotelor punctelor de drumuire: iiii h H H ,11 −− += δ

7. Calculul cotelor punctelor radiate:11633116 −+= h H H δ , 12144121 −+= h H H δ

- C.173 -



Topografie

7.7. BIBLIOGRAFIEBIBLIOGRAFIE1. M. NEAMŢU, E. ULEA, ş.a. – Instrumente topografice şi

geodezice - Editura Tehnică, Bucureşti, 19822. M. NEAMŢU, M. TAUB – Topografie I, II - Institutul de

Construcţii Bucureşti, 19793. A. RUSU, ş.a. – Topografie – Geodezie - Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 19824. E. ULEA, ş.a. – Îndrumător pentru lucrări practice şi practică de

topografie - Institutul de Construcţii Bucureşti, 19845. ***** - Manualul inginerului geodez – Editura Tehnică -Bucureşti, 1971

Topo-Onose.doc

Documents

Transcript of Topo-Onose.doc