CAPITOLUL III

FUNCII CONTINUE

1. Funcii de o variabil real

Funciile definite pe mulimi abstracte , cu :X Y f X Y au n general puine proprieti i din acest motiv, puine aplicaii n rezolvarea

unor probleme concrete. Proprietile generale i operaiile cu funcii

depind n primul rnd de structura algebric a mulimilor X i Y.

n cazul , :R,X Y f X Y se numete funcie real de o variabil real i aceast funcie este destul de general; de aceea n liceu

s-au studiat funciile reale concrete de o variabil real, adic funcii

pentru care legea de asociere a lui xX cu yY este dat printr-o expresie analitic precizat i graficul lui f, Gf ={(x, y)R2| xX, yY; y = f (x)} cu X Y R2 =R R. Clasa funciilor de la R la R cuprinde urmtoarele funcii reale concrete: funcii polinomiale, funcii trigonometrice

directe, funcii trigonometrice inverse, funcia putere, funcia

exponenial, funcia logaritmic, funciile etajate .a.

Vom nota cu trig una dintre funciile trigonometrice: sinus,

cosinus, tangent, cotangent i cu arctrig una dintre funciile

trigonometrice inverse: arcsinus, arccosinus, arctangent, arccotangent.

Considerm urmtoarea clasa de funcii reale de o variabil real:

(III.1) E0 ( ){ }const;1 ; exp ; ; log ; trig; arctrigR aa a= unde sunt incluse: funciile constante, funcia identitate pe R i pe X R, funcia exponenial de baza a (a > 0; a 1); funcia logaritmic de baz 158

a (a > 0; a 1); funcia putere de exponent a (aR) funciile trigonometrice directe i funciile trigonometrice inverse.

Mulimea R fiind un corp comutativ ordonat i complet ne permite

s definim operaii algebrice cu funcii reale de o variabil real i alte

proprieti.

159

Definiia III.1. 1] O funcie se numete funcie elementar dac f poate fi obint din E

: cu , Rf X Y X Y0 aplicnd de un numr

finit de ori cele patru operaii aritmetice: adunarea, scderea, nmulirea,

mprirea, ct i operaia de compunere a dou funcii. Notm cu E

mulimea funciilor elementare.

2] Funciile f E0 se numesc funcii elementare de baz. Observaii:

1. Exemple: 1 ( ): , cuR R Nnf f x x n f = E . ( ) ( )( ) ( )

n ori

1 1 1 cu 1 ,R R R R Rdef

nf x x x x x x= = = L1 44 2 4 43

2o ( ) ( ) [ ]: cu iR R P P Rn nf f x x X f = E funcia polinomial.

3o ( ) , 0nf x n x f= E (funcia radical de ordin n). 4o shsh , ch , th

2 2 ch

x x x x x xdef

x

e e e e x e ex x x xx e e

+= = = = +

)

E

( 2 2ch sh 1x x = funciile trigonometrice hiperbolice 2. Orice funcie elementar poate fi dat printr-o formul, adic printr-un

numr finit de simboluri matematice aplicate funciilor elementare de baz

din E0.

3. O funcie elementar se noteaz i prin: : cu , Rf X Y X Y

y = f(x) cu x X n loc de f : X Y 4. Dac mulimea de definiie a lui f nu este precizat se subnelege c ea

este mulimea Df ={x R | f(x) R}, a punctelor x din R pentru care are sens f(x) n R. Mulimea Df se numete mpropriu domeniu maxim de

definiie al funciei f.

5. Dac avem relaia , atunci exist o mulime maxim

a.. relaia

2RX X A X RA este o funcie f care se numete funcia natural asociat relaiei binare . Cnd se spune fie funcia elementar

este vorba de funcia natural asociat relaiei binare de la R la R.

( )y f x=

Definiia III.2. Fie , cu : , :Rf g f A g B R E , atunci definim:

( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ){ }( ) ( )( )

0 0

0

: cu ;

: cu ;

III.2 : i | 0 cu

;

R

R

R

f g A B f g x f x g x x A B

f g A B f g x f x g x x A Bf A B B t B g t Bg

f xf x x A Bg g x

= = = =

g g g

numite: suma algebric, produsul i ctul funciilor f i g.

Vom preciza n continuare unele funcii particulare remarcabile

care se folosesc n studiul unor probleme teoretice i n aplicaii.

(F1) Fie A R, cu proprietatea c exist , prin definiie f este funcia constant i o

notm f = c. Pentru c = 0, funcia f este funcia identic nul pe A sau

funcia nul pe A, notat f =0.

: Rf A( )a.. ,c f x c x = R A

160

(F2) Fie ( ) ; 0: ,0 ; 0

R Rx xxf f x

x

= =

y

x O y=-1

y=1

funcia signum, notat sign ( )x f x= .

(F3) Fie f: RR funcie definit astfel: f(x) este cel mai mare ntreg n cu proprietatea n x, adic y

0 x -3 -2 -1 2 3 1

( ) { }sup |f x n n= Z x numit funcia partea ntreag notat prin [ ] sau []* sau E sau * i numarul [x] = f (x), xR se numete partea ntreag a lui x. Funcia

( ) [ ]: ,g g x x = R R x se numete y

0 x

funcia partea zecimal i numrul

[ ],x x x R se numete partea zecimal a lui x.

161

(F4) Fie

cu f(x) distana de la

x la cel mai apropiat

ntreg, adic

:f R R y

0 x

y= 12

(2, 0) (1, 0) ,0) ( 12 ,0) 12(-

(-1,0)

{ }( ) inf ( , ) | | | ;f x d x n x n n x= = Z R . (F5) Funcia f : R {0, 1} dat prin se numete

funcia lui Dirichlet.

1;( )

0;QR - Q

xf x

x=

(F6) Funcia f : R (-1, 1) cu ( ) 1xf x

x= + se numete funcia lui

Hahn.

(F7) Funcia f : R R cu

1 ; dac cu i

( ) ( , ) 1; 10; dac

*

*

Q

R - Q

px xq q

f x p q qx

== =

se

numete funcia lui Riemann.

(F8) Fie A R o mulime nevid y=1

O

y

A y=0

A=[-1, 3] 3-1

y=0 i f :R{0, 1} definit prin:

1; A

( )0; AR -

xf x

x=

se numete funcia caracteristic a mulimii A notat prin A sau cA sau 1A.

Funcia caracteristic a mulimii A = R *+R y

162

O

se numete funcia lui Heaviside y=1 y=0 notat cu H = *

+R .

x

(F9) Fie I R interval i f : I R. Prin definiie, f este o funcie etajat sau n scar dac exist o partiie finit ( ) 1,Ik k n= a intervalului I i {1, 2, ..., n} R astfel nct I

1k

n

kk

f=

= unde Ik este funcia caracterisit a intervalului Ik, cu k =1, ...n.

Din definiia

funciei etajate i a

funciei caracteristice

a unei submulimi ( ) ( )

( ) ( )

O

A R se deduc urmtoarele condiii

de caracterizare

pentru funcii etajate:

(i) f : I R este funcie etajat (n scar) ( ) 1,Ik k n= o partiie finit a lui I a.. f este constant pe fiecare interval Ik cu 1,k n= .

(ii) f : I R este funcie etajat (n scar) exista o diviziune a lui I a. . f este constant pe interiorul fiecrui interval parial al diviziunii

. Conceptul de funcie etajat (n scar) poate fi generalizat astfel:

Fie X o mulime oarecare i s: X [0, ) se numete funcie simpl dac s(X) [0, ) este o mulime finit, adic s are doar un numr finit de valori pozitive; notm s(X) = {1, ..., n} cu k R+ pentru 1,k = n . n

aceste condiii, avem A1

k

n

kk

s=

= unde Ak = {xX | s(x) = k}i este funcia caracteristic a lui A

Ak

k ( ). 1

X An

kk=

=U

(F10) I] Fie f : A R cu A R. Funcia f este izometric sau f este o izometrie pe A, dac:

(III.3) [ ] ( )( ), ( ) ( ) ( ) , , , Ad f x f y f x f y d x y x y x y= = = II] Dac exist > 0 a. .

163

(III.4) ( ) ( ) , , Af x f y x y x y fucia f satisface condiia lui Lipschitz sau f este o funcie - lipschitzian.

III] O f funcie - lipschitzian cu 0 < < 1 se numete contracie sau - contracie. IV] O funcie f : A R este o funcie local lipschitzian dac xA exist V V(x) astfel nct A Vf s fie o funcie lipschitzian. V] O funcie f : A R pentru care exist p(0,1) i exist M >0 astfel nct:

(III.5) ( ) ( ) M , , Apf x f y x y x y se spune c f satisface condiia Hlder sau c f este funcie p

hlderian.

Observaii:

1. Orice funcie izometric este funcie lipschitzian ( = 1). Reciproca nu este numaidect adevrat. Exemplu: f(x) = sinx, xR este 1 lipschitzian, dar nu este izometric, avem:

( )sin sin sin cos 2 1

2 2 2sin , cos 1R;

x y x y x yx y x

t t t t

y =

=

2. Orice funcie lipschitzian este local lipschitzian. Reciproca nu este n

general adevrat.

Definiia III.3. Fie f : A R cu A R. 1] Funcia f este monoton cresctoare pe A, dac x1, x2 A, cu x1 x2, avem 1 2

1 2

( ) ( ) 0f x f xx x x1, x2 A, cu x1 x2, avem:

164

(III.6) [ ]( )1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x . Funcia f este monoton strict cresctoare pe A, dac x1, x2 A, cu x1 x2, avem:

(III.6') 1 21 2

( ) ( ) 0f x f xx x > .

2] Funcia f este monoton descresctoare pe A, dac x1, x2 A, cu x1 x2, avem 1 2

1 2

( ) ( ) 0f x f xx x x1, x2 A, cu x1 x2, avem:

(III.7) [ ]( )1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x . Funcia f este monoton strict descresctoare pe A, dac x1, x2 A, cu x1 x2, avem: (III.7') 1 2

1 2

( ) ( ) 0f x f xx x

Se va nota Da(I) mulimea funciilor f: I R care au proprietatea Darboux pe I.

Observaii:

1] Se pot da formulri echivalente ale acestei definiii:

I. f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b, mulimea valorilor funciei f pe [a, b] adic mulimea f([a, b]), conine

toate numerele reale cuprinse ntre f(a) i f(b).

II. f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b i oricare ar fi (0,1) exist c (a, b) astfel nct f(c) = (1- ) f(a) + f(b).

III. 1] f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b i oricare ar fi cuprins ntre f(a) i f(b), paralela la axa Ox care trece prin punctul (0, ) intersecteaz graficul lui f ntr-un punct (x, f(x)) cu x[a, b]. 2] Fie I R interval, f: I R o funcie cu proprietatea: a, b I cu a < b i oricare ar fi cuprins ntre f(a) i f(b) exist c I astfel nct f(c) = , nu rezult c f are proprietatea Darboux ci doar faptul c f(I) este interval.

3] Punctul c din definiia lui f cu proprietatea Darboux nu este totdeauna

unic determinat; pot exista o infinitate de puncte c din (a, b) astfel nct

f(c) = . Exemple: 1. f(x) = sign x, xR nu are proprietatea Darboux.

2. f nu are proprietatea Darboux. ;( );

QR - Q

x xf x

x x=

3. ( ) sin ( ) cos,R R

f x x f xx x

= = x

au proprietatea Darboux.

166

Teorema III.1. Fie I R interval, f: I R o funcie, atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

(i) f are proprietatea lui Darboux;

(ii) J I interval f(J) este interval; (iii) a, b I cu a < b f([a, b]) este interval; (iv) A I mulime convex f(A) este convex. Demonstraie: (i) (ii) Fie J I interval; se consider f(J) i y1, y2 f(J) cu y1< y2, iar R cu y1

Definiia III.5. 1] O mulime A R se numete mulime simetric n raport cu originea sau mulime simetric dac x A -x A echivalent cu A = - A. 2] Fie A R o mulime simetric i f: A R. Funcia f este funcie par dac: f (- x) = f(x), xA. Funcia f este funcie impar dac: f (- x) = = - f(x), xA.. Exemple: 1 Funciile trigonometrice cos i ctg sunt pare, iar sin i tg sunt impare.

2 Funcia Dirichlet este par. Funcia Hahn este impar. Teorema III.3. Fie A, B R cu A mulime simetric i f :A B o funcie impar bijectiv, atunci B este mulime simetric i 1f :B A este funcie impar.

Demonstraie: Fie B = 1f (A) i s artm c B este mulime

simetric, adic B = - B i 1f impar, adic 1f (-y) = - 1f (y), yB. Pentru yB fixat, exist xA a. . f(x) = y i deci: - y =- f(x)= f(-x)f(A) = = f(A) = B i 1f (-y)= f [ 1f (-x)] = - x = - 1f (y).

Exemplu. Funciile arcsin i arctg sunt impare deoarece sin i tg

sunt impare (conform teoremei III.3).

Definiia III.6. Fie A R i f :A R. Funcia f este periodic pe A, dac exist T > 0 astfel nct: x + T A i f( x+ T) = f(x), xA. Numrul T se numete perioad a funciei f; cel mai mic numar pozitiv

care este perioad pentru f se numete perioad minim.

Exemple: 1 Funciile trigonomerice sin i cos au perioada 2 (minim).

2 Funcie f(x) = [x] are perioad minim 1.

168

3 Funcia Dirichlet are perioad orice r , dar nu are o perioad minim.

*+Q

Definiia III.7. 1] O funcie f :A R cu A R este funcie mrginit pe A dac mulimea f(A) R este mrginit. O funcie care nu este mrginit se numete funcie nemrginit.

2] Dac f este mrginit pe A, prin definiie marginea superioar a mulimii

f(A), sup f(A), se numete marginea superioar a funciei f pe A, notat

prin A

sup ( )x

f x

; marginea inferioar a mulimii f(A), inf f(A), se numete

marginea inferioar a funciei f pe A, notat prin A

inf ( )x

f x

.

3] Funcia f este majorat pe A, dac mulimea f(A) este majorat; funcia

f minorat pe A dac mulimea f(A) este minorat.

Definiia III.8. Fie A R i f: A R. 1] Funcia f i atinge maximul pe A, dac multimea f(A) admite maxim,

adic exist x0A a. . f(x0) f(x), xA. Funcia f i atinge minimul pe A, dac multimea f(A) admite un minim, adic exist x0A a. . f(x0) f(x), xA. 2] Elementul f(x0) se numete maximul global i se noteaz

Amax ( )

xf x

sau

max f(x), respectiv f(x0) se numete minimul global i se noteaz

Amin ( )x

f x sau min f(x).

3] Punctul x0A se numete punct de maxim global, respectiv de minim global i maximul, minimul lui f n x0 se numesc extreme globale ale lui f

pe A.

Observaii:

1. Funcia f: A R este mrginit |f | este mrginit |f | este majorat (|f | 0 pe A). 169

2. Fie f: A R, f atinge marginea superioar, respectiv f atinge marginea inferioar, dac sup f(A) f(A), respectiv inf f(A) f(A). 3. Orice funcie f: A R care are un numr finit de valori este o funcie mrginit.

Definiia III.9. Fie A R i f: A R. 1] Punctul x0A este punct de maxim local pentru f, dac exist VV(x0) a. . f(x0) f(x), xA V { x0}. Punctul x0A este punct de minim local pentru f, dac exist VV(x0) a. . f(x0) f(x), x(V { x0}) A. 2] Punctele de maxim local i minim local se numesc puncte de extrem

local ale lui f.

3] Avem: x0 punct de maxim local n sens strict def VV(x0) a. .

f(x0) > f(x), xA V { x0} i respectiv x0 este punct de minim local n sens strict VV(x0) a. . f(x0) < f(x), xA V {x0}. n aceste cazuri x0 este punct de extrem local n sens strict al lui f.

Observaie:

Un punct de maxim global, respectiv de minim global este i punct de

maxim local, respectiv punct de minim local. Reciproca, n general, nu este

adevrat.

Exemple: 1. sin : R R este mrginit: |sin x| 1, xR. Punctele 2

2k + sunt puncte de maxim absolut i punctele 3 2

2k +

sunt puncte de minim absolut.

2. Funcia tg nu este marginit i nu are puncte de extrem local; pentru f(x) = tg x, avem

Ainf ( )x

f x = - i Asup ( )x f x = + unde A = ,2 2 R.

170

3. Funcia lui Dirichlet este mrginit, dar nu admite puncte de extrem local, fiecare x0Q este este punct de maxim global i fiecare x0R - Q este punct de minim local.

4. Funcia lui Hahn, ( )1

xf xx

= + , xR i f(R) = (-1, 1) este mrginit, nu

are extreme locale i nu-i atinge marginile pe R.

5. Orice funcie monoton f: A R este mrginit dac A este submulime mrginit a lui R care i conine marginile.

Teorema III.4. Fie A R i f: A R o funcie, urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

(i) f este mrginit;

(ii) exist , R a. . f(x) , xA; (iii) M > 0 a. . | f(x)| M, xA; (iv)

Asup ( )x

f x

< + .

Demonstraia este direct folosind definiiile precedente care se

aplic mulimii f(A) R. Teorema III.5. Fie A R i f, g: A R dou funcii mrginite,

atunci f g, fg sunt funcii mrginite. Demonstraie: Funciile f i g fiind mrginite dup (iii) din

teorema precedent exist M1, M2 > 0 a. . | f(x)| M1 i | g(x)| M2. xA i atunci | f(x) g(x)| M1 + M2, xA f g mrginit.

La fel | f(x) g(x)| = | f(x) | |g(x)| M1 M2, xA fg este mrginit.

Teorema III.6. Fie A R o mulime mrginit i f: A R o funcie lipschtzian, atunci f este mrginit.

171

Demonstraie: Mulime A R mrginit M >0 a. . |x| M, xA i f funcie lipschitzian, deci exist >0 a. . | f(x) - g(x)| | x- y|, x, yA. Fixm x0A i avem: | f(x) | | f(x) - f(x0)| + | f(x0)| | x- x0| + | f(x0)| |x| + | x0| + | f(x0)| 2M + | f(x0)|, xA

Asup ( )x

f x

2M + | f(x0)| < + f este

mrginit pe A.

Teorema III.7. Fie A R i f, g: A R dou funcii atunci au loc afirmaiile:

(i) dac f g pe A A AA A

1 sup ( ) sup ( )

2 inf ( ) inf ( )x x

x x

f x g x

f x g

o

o x

Ax

(ii) ( )

[ ][ ]

A A A A A

A A AA

A A A

A

3 inf ( ) sup ( ) sup ( ) ( ) sup ( ) sup ( )

4 inf ( ) sup ( ) inf ( ) ( ) inf ( ) inf ( )

III.8 5 sup ( ) ( ) sup ( ) sup ( ) dac 0, 0

16 sup

x x x x x

x x xx

x x x

x

f x g x f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g

f x g x f x g x f g

f

+ + ++ + +

o

o

o

o

x

AA

A AA

1 dac inf ( ) 0 i ( ) 0,( ) inf ( )

1 17 inf dac sup ( ) 0 i ( ) 0,( ) sup ( )

xx

x xx

f x f x x Ax f x

f x f x x Af x f x

= > = > o

Demonstraiile relaiilor 1 - 7 sunt directe aplicnd definiiile i teoremele deja demonstrate.

Definiia III.10. Fie A R mulime arbitrar i funcia f: A R. Numrul

Asup ( )x

f x

R {+ } se numete norma uniform a funciei

f notat prin:

172

(III.9.)A

sup ( )not not

ux

f x f f= = .

Teorema III.8. Fie AR mulime oarecare i f, g: A R funcii, atunci au loc urmtoarele proprieti ale normei uniforme:

I. 0 ( ) 0,f f x x = = A, adic f = 0 (funcia nul); II. M ( ) M, f f x x A; III. f < + f mrginit pe A; IV. dac R, f f f = < + ; V. f g f g + + . Demonstraiile pentru afirmaiile I, II i IV sunt evidente; III

rezult din II. Pentru a dovedi V, considerm:

( )( ) ( ) ( ) ,f g x f x g x f g x + + + A, deci: ( )( )

Asupx

f g f g x f + = + + g .

Definiia III.11. O funcie f: R R se numete: - aditiv dac ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y+ = + ; - subaditiv dac ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y+ + ; - omogen dac ( ) ( ),f x f x = R i xR; - liniar dac f este aditiv i omogen;

- multiplicativ dac ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y = ; - submultiplicativ dac ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y ; - afin dac exist I R interval i f: I R pentru care exist a, bR a. .

. ( ) ,f x ax b x I= + - convex (concav), i f: I R dac 1 2,x x I i (0, 1):

173

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f x x f x f x + + respectiv ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f x x f x f x + + Exemple: 1 f: R R cu ( )( ) *Rf x ax a= este funcie liniar. 2 f: R R cu ( )

1x

f xx

= + este subaditiv.

3 f: R R cu ( )f x ax b= + afin este aditiv b = 0 i este omogen b = 0 f este funcie liniar pentru b = 0. 4 Funciile modul, signum, identitate pe R sunt funcii multiplicative. 5 Funcia modul i funciile etajate sunt afine pe poriuni pe R. 6 este strict convex pe R( ) 3,f x x x= R + i strict concav pe R - . Teorema III.9. O funcie f: R R este funcie liniar, dac i numai dac exist c R a. . f(x) = cx, xR. Demonstraie: Avem f(x) = f(x 1) = x f(1), xR i c = f(1), deci f(x) = cx, xR . Teorema III.10. Orice funcie aditiv f: R R este Q omogen. Demonstraia se face prin inducie ([41] pag. 126; [30]).

Consecina III.2. O funcie f: R R aditiv i monoton este funcie liniar.

Demonstraia n bibliografie ([41] pag. 126; [30]).

Teorema III.11. Fie I R i f: I R o funcie, atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

(i) f este funcie afin;

(ii) f f(0) este restricia la I a unei funcii liniare;

(iii) f[(1- )x + y] = (1- ) f(x) + f(x) ; x, yI i [0, 1].

174

Demonstraie: (i) (ii) f este afin deci a, bR a. . f(x) = ax+b; xI f(x) + f(0) = ax, xI adic f - f(0) este restricia la I a unei funcii liniare: xax cu xR.

(ii) (iii) este evident. (iii)(i) Fie a, bI fixai cu a < b i s demonstrm c are loc

egalitatea: (III.10) ( )( ) ( )( ) ( ) ,f b f af x f a x a xb a= + I.

I. Dac x[a, b], avem x = (1 - )a + b cu = x ab a i din (ii)

rezult: f(x) = f(a) (1- ) + f(b) = f(a) + [f(b) - f(a)] (III.10), x[a, b].

II. Dac x I - [a, b] i presupunem x > b, avem b[a, x], deci aplicnd (III.10) pentru b = x i x = b rezult:

(( ) ( )( ) ( ) f x f a )f b f a b ax a= + (III.10) i deci f este funcie afin.

Consecina III.3. Au loc urmtoarele afirmaii pentru f: RR: () f este funcie afin f f(0) este funcie liniar; () dac f este aditiv i multiplicativ f = 0 sau f = 1R; () f este izomorfism de la R la R f = 1R. Definiia III.12. Fie A R o mulime arbitrar. Funcia f: A A

are x0 A punct fix dac f(x0) = x0. Observaii:

1. O funcie f poate s nu aib puncte fixe, poate avea un singur punct fix,

poate avea un numr finit de puncte fixe, poate avea o infinitate de pumcte

fixe.

2. Fie A R i f: A A; f are cel puin un punct fix, dac i numai dac graficul lui f intersecteaz prima bisectoare. 175

3.Exemple: 1 Funciile sin i cos au fiecare un singur punct fix. 2. Funciile tg i ctg au fiecare cte o infinitate de puncte fixe. 3 2( )f x ax bx c= + + cu xR, a 0 i a, b R are cel puin un punct fix, dac i numai dac, . ( )21 4b a c Teorema III.12. (Teorema lui Knaster) Fie A R o mulime cu proprietatea c orice submulime a lui A are margini care aparin lui A i

f: A A o funcie monoton, atunci exist x0 A a. . f(x0) = x0. Demonstraie: Presupunem f monoton cresctoare i fie a = minA,

b = maxA i B = {xA| f(x) x}. Cum f(a) A, avem f(a) a, deci aB i B . Fie c = sup B, deoarece c x, xB i f monoton cresctoare, rezult f(c) f(x), xB, deci f(c) x xB i atunci f(c) sup B = c. n aceste condiii din f(x) c f[f(c)] f(c) i f(c) B, deci f(c) c. n consecin, avem f(c) = c i x0 = c = sup B.

Consecinta III.4. Fie f : [a, b] [a, b] o funcie monoton, atunci exist x0[a, b] a. . f(x0) = x0. Definiia III.13. Fie PR[X] un polinom de grad n, P = = ( )

0

0n

kk n

ka X a

= .

1] Funcia p: R R cu p(x) = se numete funcie polinomial

asociat polinomului P R[X]. 0

nk

kk

a x=

2] Un element x0R se numete rdcin sau soluie a lui P dac P(x0)=0 i rdcina de ordin p dac exist P1 R[X] a. . P(x) = (x - x0)p P1(x), xR i P1(x0) 0.

176

3] Elementul x0R se numete numr algebric, dac x0 este rdcina unui polinom cu coeficieni ntregi de grad nenul i numr transcendent dac

nu este algebric.

Teorema III.13. Fie P, QR[X] cu Q 0 (polinomul nul), atunci au loc urmtoarele afirmaii ([17], [30], [41]):

(i) Exist C, RR[X] a. . P = CQ + R i grad R < grad Q; (ii) Fie aR, atunci exist CR[X] unic i exist rR unic a. . P = (X - a) C + r.

(iii) Elementul aR este rdcin a lui P, dac i numai dac, P se divide exact la X - a.

(iv) Fie PR[X], elementul a + ibC este o rdcin a lui P, dac i numai dac, a - ib este rdcin a lui P.

(ivv) Fie PR[X] cu grad P = n (n N*) i aR, atunci are loc formula lui Taylor pentru polinoame:

( ) ( )P( ) P( ) P ( ) ... P ( ),1! !

Rn

nx ax ax a x x xn = + + + .

Definiia III.14. Se numete funcie raional cu coeficieni n R,

ctul a dou polinoame cu coficeni n R, adic exist P, QR[X] a. . R = P

Q. Dac P i Q nu au rdcini comune, avem P( )R( )

Q( )xxx

= ,

xR-ZQ unde ZQ este mulimea rdcinilor (zerourilor) lui Q. Dac P i Q au o rdcin comun x = a, atunci R = P

Q se identific cu 1

1

PQ

unde, P1,

Q1R[X] i P = (X - a) P1, Q = (X - a)Q1.

177

Teorema III.14. ([41] pag. 130 - 132)

Fie R = PQ

cu P, Q R[X] o funcie raional cu R: DR RR,

atunci au loc afirmaiile:

1] R este funcie par, dac i numai dac, exist o funcie

raional R1 a. . R(x) = R1(x2), xDR. R este funcie impar, dac i numai dac, exist o funcie raional R2 a. . R(x) = xR2(x2), xDR.

2] Fie x0R fixat, R este o funcie par n raport cu x0, dac i numai dac, exist R1 funcie raionl a. . R(x) = R1[(x - x0)2], xDR. R este funcie impar n raport cu x0, dac i numai dac, exist R2 funcie

raional a. . R(x) = (x - x0)R2[(x - x0)2], xDR. 3] Fie R = P

Q funcie raional cu grad P < grad Q.

I] Dac Q are numai rdcini reale distincte, adic:

Q = ( )( ) ( ) ( )1 2 .... , 1,Rn jc x x x x x x x j n = atunci R admite o descompunere unic n fracii simple de forma:

(III.11) ( )1 21 2

AA AP( ) ... A , 1,Q( )

Rn jn

x j nx x x x x x x= + + + = .

II] Dac Q are rdcini reale distincte i multiple, adic:

Q = ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 .... , , 1,R Nkk i ic x x x x x x x i k = atunci R admite o descompunere unic n fracii simple de forma:

(III.12) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 1

1 21

11 1

1 21

A AP( ) ... ...Q( )

L... k

k kkk k

Axx xx x x x

L Lx xx x x x

x

= + + + + + + +

+ + .

III] Dac Q are rdcini complexe simple i multiple, adic:

178

( ) ( ) ( )12 2 21 1 1 .... , , , , 4 0R Nkk k k i i i i i i iQ a x b x c a x b x c a b c b a c = + + + + < atunci R admite o descompunere unic n fracii simple de forma:

( )( ) ( )

1 1

1

1 122

1 1 11 1 1

1 122

A BA BP( ) ...Q( )

(III.13)L ML M... ... A ,B ,...,L ,M ; 1,k k

k i i i i kk k kk k k

xxxx a x b x ca x b x c

xx ia x b x ca x b x c

+ += + + + + ++ + ++ + + + + ++ +=

IV] Dac Q are rdcini reale i rdcini complexe simple i multiple,

atunci R admite o descompunere n fracii simple unic de forma (III.12)

plus de forma (III.13).

4] Fie R o funcie raional oarecare cu P( )R( )Q( )

xxx

= , P, Q R[X].

Funcia R admite descompunere unic ntr-un numr finit de fracii

simple de forma:

( ) ( )2

20

A L M(III.14)A ; ; unde , , , A, L,M , , 4 0R Nn xx a b cx x ax bx c

b ac+