Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului

Universitatea “OVIDIUS” Constanța

Facultatea de Matematică și Informatică

Teză de doctorat Rezumat

Conducător științific:

Prof.univ.dr. Mirela ȘTEFĂNESCU

Doctorand:

Alexandru BOBE

Constanța 2007

Studiul unor algoritmi de algebrasi geometrie computationala

Alexandru BOBE1

1Lucrare partial sustinuta din Programul CEEX al Ministerului Educatiei siCercetarii, contract CEX 05-D11-11/2005

Cuprins

1 Algoritm pentru determinarea regiunii Groebner a unui ideal 21.1 Ideale monomiale. Ordonari monomiale . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Regiunea Groebner a unui ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Interpretari geometrice si algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Implementarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Testarea algoritmului pe cazuri atipice . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Anexa: Codul ın Singular al algoritmului de determinare a

regiunii Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Aplicatii ale algoritmului de determinare a regiunii Groebner 302.1 Poliedru. Con. Fata a unui poliedru . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Insumarea poliedrelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Determinarea fanului normal al unui poliedru . . . . . . . . . . . 362.4 Fanul Groebner si politopul de stare al unui ideal . . . . . . . . . 39

3 Invarianti pre-Titeica 443.1 Relatii liniare pentru curbe de pe suprafete ın deformare . . . . . 443.2 Raport pre-Titeica pentru curbele de pe suprafetele ın deformare 50

4 Invarianti de tip Titeica 544.1 Functia Titeica pentru curbe ın R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Suprafete Titeica si ecuatii Monge-Ampere . . . . . . . . . . . . 564.3 Functia Titeica pentru suprafata Euler . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Invarianti tip Titeica pentru cuplul curba-suprafata . . . . . . . . 60

5 Lantul Clifford al configuratiei Titeica pentru elipse egale 655.1 Istoria problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Configuratia Titeica-Johnson pentru elipse egale . . . . . . . . . 665.3 Lant Clifford pentru elipse egale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4 Implementarea ın Mathematica a lantului Clifford . . . . . . . . 70

6 Curbe si suprafate Titeica ın Mathematica 746.1 Exemplu de suprafata Titeica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2 Aplicarea unei transformari centro-afine . . . . . . . . . . . . . . 766.3 Rolul liniilor asimptotice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

i

6.4 Algoritmul de test Titeica implementat ın Mathematica . . . . . 78

Lista de figuri 79

Bibliografie 81

1

Introducere

In ultimii ani, ın algebra si geometrie, ca si ın alte ramuri ale matematicii, sepoate observa un interes sporit fata de metodele algoritmice de rezolvare a unorprobleme concrete. Acesta este justificat de faptul ca progresele spectaculoaseın tehnica de calcul permit efectuarea de calcule complet netriviale cu ajutorulcomputerului, care nu erau posibile ınainte. Un alt motiv este faptul ca algorit-mii contribuie la o mai buna ıntelegere a unei probleme.

Tot ın ultimii ani s-au dezvoltat noi metode de cercetare ın algebra. Acesteaau la baza idei din diverse domenii: geometrie poliedrala, teoria grafurilor,programare ıntreaga, calcul simbolic etc. Legatura cu probleme ale matematiciidiscrete si ale metodelor numerice sau ale cercetarilor operationale a devenit dince ın ce mai stansa. Astfel de metode si probleme cer, pur si simplu, abordareacu ajutorul calculatorului.

Teoria bazelor Groebner este un minunat exemplu cum o idee folosita pen-tru rezolvarea unei probleme devine cheia rezolvarii unei varietati de alte pro-bleme din diferite arii ale matematicii si chiar din afara matematicii (vedeti[Robbiano si Kreuzer, 2000]).

De aceea, teoria bazelor Groebner a devenit un subiect important de cercetareın algebra computationala, generand un interes constant datorita utilitatii unel-telor computationale create, care se aplica unor largi clase de probleme dinmatematica, inginerie si informatica.

Bazele Groebner1 au fost introduse ın 1965 de Bruno Buchberger2 ın teza sade doctorat [Buchberger, 1965]. Ideea de baza din spatele acestei teorii poatefi descrisa ca o generalizare a teoriei polinoamelor ıntr-o variabila. In inelulpolinomial k[X ], unde k este un corp, orice ideal I poate fi generat de unsingur element, si anume de cel mai mare divizor comun al elementelor dinI. Fiind data o multime de generatori {f1, ..., fs} ⊆ k[X ] pentru I, se poatecalcula un polinom d = cmmdc (f1, ..., fs) astfel ıncat I = (f1, ..., fs) = (d).Atunci un polinom f ⊆ k[X ] se afla ın I, daca si numai daca restul ımpartiriilui f la d este zero. Bazele Groebner sunt analoagele cmmdc-urilor ın inelelepolinomiale de mai multe variabile, ın urmatorul sens: o baza Groebner pen-tru un ideal I ⊆ k[X1, ..., Xn] genereaza I si un polinom f ⊆ k[X1, ..., Xn]este ın I, daca si numai daca restul ımpartirii lui f la polinoamele din baza

1Voi folosi acesta scriere a numelui ın locul scrierii Grobner2Doctorandul lui Wolfgang Grobner

2

Groebner este zero. Daca sintetizam, teoria bazelor Groebner rezolva prob-leme de tipul urmator: avand dat sistem de ecuatii polinomiale peste un corparbitrar f1 (x1, ...xn) = 0,...,fs (x1, ...xn) = 0 si o noua ecuatie polinomialaf (x1, ...xn) = 0, vrem sa aflam daca solutiile sistemului initial sunt si solutiilenoii ecuatii. Desigur, aceasta problema depinde de corpul unde cautam o ast-fel de solutie. In oricare din cazuri, o parte importanta a problemei consta ına decide daca f apartine idealului I generat de f1, ...fs, adica sa existe poli-noamele g1, ..., gs astfel ıncat f = g1f1 + ... + gsfs. Daca f ∈ I, atunci oricesolutie a sistemului f1 = ... = fs = 0 este si solutie pentru f = 0. Deci, o bazaGroebner poate fi vazuta ca un sistem special de generatori pentru idealul Icu proprietatea ca problema apartenentei lui f la idealul I se rezolva printr-osimplu proces de ımpartire cu rest.

Aceasta caracterizare abstracta a bazelor Groebner este numai o fata ateoriei. De fapt, ideile din spatele acestei caracterizari au existat si ınaintede lucrarea lui Buchberger. De exemplu, Macaulay a folosit ın [Macaulay, 1927]astfel de idei pentru a detrmina anumiti invarianti ai idealelor din inelele poli-nomiale si Hironaka ın lucrarea [Hironaka, 1964] a folosit idei similare pentru astudia inelele de serii de puteri.

Adevarata importanta a bazelor Groebner este de fapt ca acestea se potcalcula si algoritmul lui Buchberger a facut din bazele Groebner un subiect cudrepturi depline ın algebra3.

Algoritmii de natura geometrica s-au format ca o stiinta de sine statatoare(geometria computationala), oferind solutii pentru multe dintre problemele prac-tice de natura geometrica din diverse domenii — design arhitectural, ingineriecivila si militara, transporturi, ecografie, ecologie, etc. Geometria computationalaeste, de asemenea, activitatea de a demonstra teoreme de geometrie folosind cal-culatorul, rezultatele ın acest domeniu fiind ınsa doar ale geometriei.

Studiul sistematic al algoritmilor si a structurilor de date pentru obiectele ge-ometrice poate fi facut daca obiectelor geometrice li s-au identificat proprietatile(de obicei altele decat cele caracterizarile geometrice clasice). Astfel de pro-prietati vom ıncerca sa gasim ın lucrarea de fata.

3pentru mai multe detalii puteti consulta [Robbiano si Kreuzer, 2000]

3

Multumiri

Doresc sa adresez multumirile cuvenite tuturor celor care, direct sau indirect,prin sugestiile oferite au contribuit la slefuirea acestui demers stiintific si m-ausustinut ın finalizarea lui.

Pe tot parcursul efectuarii acestei lucrari am beneficiat de sprijinul per-manent al doamnei profesoare Mirela Stefanescu, conducatorul stiintific al tezeimele de doctorat, careia ıi aduc, pe aceasta cale, cele mai sincere multumiri pen-tru ındrumarea activitatii mele stiintifice si pentru exigenta manifestata fata delucrare.

Multumesc doamnei profesoare Viviana Ene pentru sugestiile oferite la parteade algebra, idei ce mi-au fost de un real folos ın elaborarea acestei teze.

Multumesc domnului profesor Wladimir Boskoff, care cu generozitate, rabdaresi profesionalism, a ıncurajat permanent continutul ideatic si stiintific al cercetariimele si pentru sprijinul personal si ıncrederea pe care mi le acorda ın viata simai ales ın cariera.

De asemenea tin sa le multumesc domnilor profesori Bogdan Suceava, Al-fonso Agnew si Laurentiu Homentcovschi, pentru exactitatea sugestiilor si pu-terea de sinteza ce-au manifestat-o de-a lungul articolelor scrise ımpreuna.

In cele din urma as dori sa exprim recunostiinta si multumire mamei, sotieisi fiicei mele, pentru sustinerea, ıntelegerea si linistea pe care mi-au acordat-ope parcursul acestor ani de studiu.

4

Rezumat

Teza este structurata ın 6 capitole.

Folosind ın cadrul teoriei bazelor Groebner tehnici din combinatorica, geome-trie poliedrala si geometrie computationala, se poate crea conceptul de regiuneGroebner pentru un ideal al unui inel de polinoame. In Capitolul 1 am con-struit un algoritm care sa calculeze ın O(nlogn) regiunea Groebner a unui idealprincipal ın doua nedeterminate, am implementat acest algoritm ın Singularsi am vizualizat obiectul creat folosind Mathematica. Acest algoritm asociazaunui obiect algebric un obiect geometric, care se poate vizualiza si folosi cu omai mare usurinta ın aplicatii. O parte din rezultatele acestui capitol le-amcomunicat ın cadrul a doua prelegeri la Scoala Nationala de Algebra - Editia aXIV-a, Septembrie 2005.

Dupa ce ın Sectiunea 1.1 am prezentat cateva dintre proprietatile ide-alelor monomiale si ordonarilor monomiale ce ne sunt folositoare ın capitoleleurmatoare, ın Sectiunea 1.2 am folosit legatura dintre idealele initiale (inω) sibazele Groebner pentru a defini regiunea Groebner:

GR(I) = {ω ∈ Rn | inω(I) = inω′(I) pentru ω′ ≥ 0} .

Aceste doua sectiuni contin multe exemple originale, care permit o maibuna ıntelegere a notiunilor discutate. In Sectiunea 1.3, care este origi-nala, am construit algoritmul de determinare a regiunii Groebner pe urmatorulschelet: considerand polinomul f ∈ k[X, Y ] de forma:

f = c1Xa1Y b1 + c2X

a2Y b2 + ... + cnXanY bn ,

c1, c2, ..., cn �= 0, fiecare vector vi = (ai, bi) determina ın plan punctul Ai(ai, bi).Pentru a calcula GR(I) suntem interesati de acele directii ω ∈ R2 astfel ıncatinω(I) = inω′(I) pentru ω′ ∈ R2

+, adica vrem sa gasim reuniunea tuturormultimilor cu elemente ω ∈ R2 astfel ıncat sa fie ındeplinita conditia inω(I) =inω′(I), pentru ω′ ∈ R2

+. Conditia inω(I) = inω′(I) ınseamna de fapt sa gasimacele directii ω ∈ R2 astfel ıncat ωvi sa fie maxim, i = 1, n. Valoarea optima afunctiei liniare ωv se obtine pe frontiera politopului Newton New(f) si, mai ex-act, ıntr-un varf al frontierei H a lui New(f). Folosind acest rezultat, problemanoastra se reduce la a afla, pentru fiecare varf din H , directiile ω = (ω1, ω2) ∈ R2

astfel ıncat problema {max(ω1x + ω2y)

v = (x, y) ∈ New(f)

5

sa-si realizeze solutia ın varful considerat. In acest mod, vom determina de faptmultimile

Sωj =

{ω ∈ R2 | ωv ısi atinge maximumul ın punctul Aj , v ∈ New(f)

},

j = 1, m, unde m = este numarul de varfuri ale frontierei H . Atunci, algoritmulva determina regiunea Grobner astfel:

GR(I) =m⋃

j=1

(Sωj ∩ R2

+).

Rezultatele din acest paragraf au fost publicate ın [Bobe, 2006]. Aici ma simtdator sa amintesc discutiile avute pe aceasta tema cu domnul profesor GerhardPfister, la Workshop-ul “Cohen-Macaulay Rings and Related Structures” dinaprilie 2005 si cu doamna profesoara Viviana Ene ın cadrul pregatirii pentruSNA 2005. Aceste discutii au motivat scrierea unui astfel de algoritm, ca unpas important al unui algoritm ce calculeaza politopul de stare al unui ideal depolinoame.

Exemplul 1.2.15 Pentru idealul I = (f), unde f este polinomul din Exem-plul 1.2.4

f (X1, X2) = 4X61X2

2 + 5X51X3

2 − X41 + 3X2

1X42 + X2

1 + X1X2 + X32 + 7,

vom calcula GR(I).

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

� �

�

�

�

�

�

�

A8

A5

A6

A3

A1

A2

A4

A7

d1

d2

d3d4

d5

d6

Fig. 1.a: Politopul Newton pentru Exemplul 1.2.15

Fiecare vector exponent vi din scrierea f =∑

v∈Nn

avXv ∈ k[X ], cu avi �= 0 de-

termina un punct Ai ın plan, asa cum se poate vedea ın Fig. 1.a. Infasuratoareaconvexa a acestor puncte este hexagonul A1A2A4A7A8A3.

Pentru a calcula GR(I), suntem interesati sa cautam acei vectori ω ∈ R2

astfel ıncat inω(I) = inω′(I) pentru ω′ ∈ R2+, adica vrem sa gasim, pentru

6

fiecare element (varf sau muchie) al ınfasuratoarei convexe, toate directiile ω =(ω1, ω2) ∈ R2 astfel ıncat ele sa maximizeze ω ·vi pe acoperirea convexa. In plus,regiunile asociate fiecarui varf sau muchii trebuie sa aiba intersectia nevida cuprimul cadran al lui R2.

Deci, trebuie sa gasim acele directii care se situeaza ıntre vectorii normali aidreptelor d1 si d4. In Figura 2 avem toate directiile posibile divizate ın clase.Factorizarea directiilor se face prin varurile si muchiile ınfasuratoarei convexe.Astfel, regiunea Groebner este zona marcata cu sageata circulara, adica:

GR(I) ={(ω1, ω2) ∈ R2 | ω1 + ω2 > 0 si 2ω1 + ω2 > 0

}.

Celelalte zone (nemarcate) maximizeaza produsul ω · vi, dar intersectia cuprimul cadran este vida.

1 2 3 4 5−1−2−3

1

2

3

4

−1

−2

GR(I) = {(ω1, ω2) : ω1 + ω2 > 0 ∧ 2ω1 + ω2 > 0}

Fig. 1.b: Regiunea Groebner pentru idealul din Exemplul 1.2.15

Exemplul 1.3.1 Pentru a putea construi un algoritm sa observam mai ıntaicum se poate calcula Sω

2 pentru I = (f), f din Exemplul 1.2.4. Politopul Newtonal lui f este dat de acoperirea convexa a punctelor Ai, i = 1, 8, adica hexagonulce are ca laturi dj , j = 1, 6 (vedeti Figura 1). Asa cum am descris mai sus, Sω

2

ınseamna multimea tuturor acelor ω = (ω1, ω2) ∈ R2 astfel ıncat ωv ısi atingemaximumul ın punctul A2. Asadar avem de rezolvat urmatoarea problema:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

max(ω1x + ω2y) = 5ω1 + 3ω2

y ≥ x − 4y ≤ −x + 8y ≤ − 1

3x + 143

y ≤ 12x + 3

x ≥ 0y ≥ 0

7

Daca consideram dreapta d : ω1x + ω2y = t, atunci nd = (ω1, ω2) estevectorul normal al acestei drepte. Deci, vectorul normal al dreptei de stareω1x + ω2y = t ce satisface conditiile problemei se afla ıntre nd2 = (1, 1) sind3 = (1, 3) asa cum putem observa si din Figura 1.b. Deci,

Sω2 = {(ω1, ω2) : −ω1 + ω2 ≥ 0 ∧ 3ω1 − ω2 ≥ 0} .

Iata, algoritmul nostru pentru determinarea regiunii Groebner:

Algoritm: Regiunea GroebnerInput : I = (f), f = c1X

a1Y b1 + ... + cnXanY bn , c1, c2, ..., cn �= 0.Output : GR(I).1. Pentru fiecare monom al lui f : vi := (ai, bi), i = 1, n.2. Daca n < 2, atunci: GR(I) = R2; afiseaza GR(I).3. Daca n = 2, atunci:Calculeaza vectorul normal exterior ne = (a, b), a > 0. Daca b > 0, atunci:

3.1. GR(I) = R2; afiseaza GR(I).3.2. Altfel: GR(I) =

{(ω1, ω2) ∈ R2 | − bω1 + aω2 > 0

}; afiseaza GR(I).

4. Determina H :=Infasuratoarea convexa(v1, ..., vn) = {A1, ..., Am}, m =numarul de varfuri din ınfasuratoarea convexa.

5. Determina vectorii normali exteriori ai lui H : V := {ne1, ..., n

em}.

6. Pastram din V doar vectorii ce au ambele componente pozitive:{ne

i , nei+1..., n

ej

}.

7. Fie nei−1 = (ai−1, bi−1) si ne

j+1 = (aj+1, bj+1) vectorii directori ai dreptelorce ne dau regiunea Groebner GR(I). Atunci,

GR(I) ={(ω1, ω2) ∈ R2 | − bi−1ω1 + ai−1ω2 > 0 or bj+1ω1 − aj+1ω2 > 0

}8. Afiseaza GR(I).

In Sectiunea 1.4 am discutat detaliile de implementare ale fiecarui obiectdin algoritmul de determinare a regiunii Groebner aflat ın Anexa 1.6 si alesirurilor de caractere din Singular ce permit vizualizarea politopului Newtonsi a regiunii Groebner ın Mathematica. Sirurile de caractere contin de asemeneasi instructiuni de manipulare ın Mathematica. Tot ın aceasta sectiune am regasit(cu ajutorul algoritmului implementat) politopul Newton si regiunea Groebnerdin exemplul rezolvat teoretic ın Sectiunea 1.2.

Vom vedea cum lucreaza acest program pentru determinarea regiunii Groeb-ner a polinomului din Exemplul 1.2.4. Urmarind pasii din algoritm, programulva afisa fiecare obiect important pentru constructia sirului final de caractere.

The EXPONENT VECTORS are:6 25 32 44 00 3

8

2 01 10 0

The NUMBER of the points is:8

The POSITION of the RIGHTMOST LOWEST POINT is:4

The MATRIX before the sorting procedure is:4 05 32 46 20 32 01 10 0

The MATRIX with the POINTS SORTED angulary is:4 06 25 32 40 31 12 00 0

The CIRCULAR LIST of the points is:4 06 25 32 40 31 12 00 04 0

ELIMINATE the point from the POSITION7ELIMINATE the point from the POSITION6

9

THE NEWTON POLYTOPE is:4 06 25 32 40 30 04 0

THE EXTERIOR NORMAL VECTORS are:2 -21 11 3

-1 2-3 00 -4

The POSITIONS of the FRONTIER HALF LINESof the Groebner region are:14

THE GROEBNER REGION is:GR(I)={(w1,w2) in R^2 | 2*w1+2*w2>0 or 2*w1+1*w2>0}

Putem observa ca regiunea Groebner determinata cu acest program esteaceeasi cu cea dedusa teoretic ın Sectiunea 1.2.

Rulajul programului ın Singular ne furnizeza sirurile de caractere si, urmandinstructiunile din ultimele randuri, vom transporta aceste siruri ıntr-un Note-book din Mathematica.

Show[Graphics[{RGBColor[0,1,0],PointSize[.03],Map[Point,{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{1,1},{2,0},{0,0}}],RGBColor[0,0,1],Map[Point,{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{0,0},{4,0}}],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line[{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{0,0},{4,0}}]},AspectRatio->Automatic,Axes->True]];Show[Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[.01],Map[Line[{{0, 0},#}]&,{{2,-2},{1,1},{1,3},{-1,2},{-3,0},{0,-4}}],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line[{{0,0},{2,-2}}],Line[{{0,0},{-1,2}}]},AspectRatio->Automatic,Axes -> True]];

Executand instructiunile de mai sus ın Mathematica, vom obtine reprezentarea

10

grafica a obiectelor dorite (politopul Newton si regiunea Groebner), la fel ca ınFigura 1.a si Figura 1.b din Sectiunea 1.2. Politopul Newton al punctelor initialese poate vedea ın figura de mai jos:

Fig. 1: Vizualizarea politopului Newton cu Mathematica

Regiunea Groebner este data de sectorul circular infinit din primul cadrance se afla ıntre cele doua semidrepte rosii suport:

Fig. 2: Reprezentarea regiunii Groebner ın Mathematica

In Sectiunea 1.5 am testat algoritmul de determinare a regiunii Groebnerpe cateva cazuri atipice, pentru a observa cum functioneaza algoritmul ın situatiiın care datele de intrare nu sunt conventionale si pentru a putea fi uzitat si ınalte aplicatii din capitolul urmator.

Scopul Capitolului 2 este de a aplica algoritmul de determinare a regiuniiGroebner la construirea, pentru un ideal I ⊂ k[X ], a unei corespondente bijec-

11

tive ıntre diferitele ideale initiale si varfurile unui obiect geometric. Acest obiectva fi numit politopul de stare pentru I si ıl vom nota cu State(I).

In Sectiunea 2.1 am utilizat algoritmul de determinare a regiu-nii Groebner pentru a afla regiunea Groebner a fiecarei fete a unuipoliedru, folosindu-ma si de identitatea

faceω′(faceω(P )) = faceω+εω′(P ), ∀ω, ω′ ∈ Rn, ε > 0,

astfel: am gasit regiunea Groebner a fetei faceω(P ) (pe care o putem notacu GRω) si apoi am calculat regiunea Groebner a fetei faceω′(P ) (pe care amnotat-o cu GRω′). Daca vom intersecta cele doua regiuni GRω ∩ GRω′ vomobtine ca rezultat tocmai regiunea Grobner a fetei faceω+εω′(P ).

Pentru a putea aplica procedura de determinare a politopului New-ton folosita ın algoritmul din Capitolul 1, la calcularea sumei Minkowskia doua poliedre, ın Sectiunea 2.2 am exprimat poliedrele ca polinoame ınk[X ]. Dupa ce am facut aceasta transformare, am folosit rezultatul care leagasuma Minkowski de polinoamele obtinute, rezultat ce este o consecinta a iden-titatii faceω(New(f)) = New(inω(f)), ∀ω ∈ Rn si ∀f ∈ k[X ] si care afirma casuma Minkowski este tocmai politopul Newton al produsului polinoamelor.

In Sectiunea 2.3 am aplicat o rutina a algoritmului de determinarea regiunii Groebner pentru a construi fanul normal al unui poliedru.Conul normal al fiecarui varf al unui poliedru, precum si al fiecarei muchii sepoate gasi cu usurinta folosind algoritmul de determinare a regiunii Groebner,unde va trebui eliminata conditia de intersectie cu Rn

+ (pasul 6 din algorimul dedeterminare a regiunii Groebner). Reunind regiunile Groebner ale fetelor se vaobtine fanul normal al poliedrului.

Fig. 3: Politopul caruia ıi calculam fanul normal.

Definitia 2.1.9. Fie P un poliedru ın Rn si ω ∈ Rn vazut ca o funtionalaliniara. Definim o fata a lui P , ca fiind:

faceω(P ) = {u ∈ P |ω · u ≥ ω · v, ∀v ∈ P}.

Definitia 2.3.1. Fie P ⊂ Rn un poliedru si F o fata a lui P . Definim conul

12

Fig. 4: Ilustratea conurilor normale pentru fiecare fata a politopului.

normal al lui F ın P :

NP (F ) = {ω ∈ Rn : faceω(P ) = F}.

Definitia 2.3.7. Colectia de conuri normale NP (F ), unde F parcurgemultimea fetelor lui P :

N (P ) =⋃

F∈P

NP (F )

se numete fanul normal al lui P .Scopul Sectiunii 2.4 este de a construi politopul de stare pentru un ideal I ⊆

k[X ]. Constatand ca ordonarile monomiale formeaza o multime nenumarabila,pentru un ideal fixat I le-am putea grupa totusi ıntr-un numar finit de clase deechivalenta. Daca vom nota clasa de echivalenta cu C[ω], atunci fanul Groebnerva fi dat de GF (I) = {C [ω] | ω ∈ Rn} ∪ ∅. In cazul particular ın care f este unpolinom omogen, politopul de stare ın putem calcula cu algoritmul dedeterminare a regiunii Groebner, deoarece este politopul Newton al lui f .

13

La sfarsitul secolului al XIX-lea, cateva dintre problemele importante dingeometria diferentiala au fost rezolvate datorita faimosului Program de la Erlan-gen al lui F. Klein ce a oferit ideea de a studia geometria prin anumite grupuride transformari. Urmand ideile lui F. Klein, Gh. Titeica a studiat curbe sisuprafete obtinand importante proprietati afine, centro-afine si proiective aleobiectelor supuse transformarilor, descoperind ın 1907 o clasa de suprafete dinspatiul 3-dimensional (suprafetele S), ce sunt astazi exemple de sfere afine. Dinpunct de vedere istoric, Gh. Titeica a fost primul geometru ce a studiat sfer-ele afine folosind invarianti euclidieni. Aceste rezultate au fost generalizate lanotiuni precum hipersuprafete Titeica ıntr-o dimensiune arbitrara sau sfere afinepropriu-zise. O notiune geometrica importanta direct legata de hipersuprafeteleTiteica este functia distanta afina, cunoscuta de asemenea si ca functia suportafina [Nomizu si Sasaki, 1994]. O hipersuprafata Titeica poate fi caracterizataca locul geometric al punctelor care se afla la o distanta afina fixata fata de unpunct centru (considerat ca fiind originea) — de unde si terminologia de “sfereafine”.

Pornind de la ideea lui Titeica, ce afirma ca: “avand data o clasa de obiecte,pentru a le studia proprietatile ce sunt invariante fata de un anumit grup detransformari, trebuie sa consideram un element arbitrar al clasei de obiecte sisa vedem ce relatii satisface aceasta astfel ıncat aceste relatii sa fie invariantepentru ıntreaga clasa, la actiunea acelui grup”, ın Capitolul 3 am cautat relatiiıntre marimile caracteristice curbelor si suprafetelor ce se pastreaza sub actiuneatransformarilor centro-afine, idee ce ne va conduce la notiunea de suprafeteTiteica si am dat astfel un alt raspuns la ıntrebarea: “Cum si de ce au aparutsuprafetele Titeica?”.

In Sectiunea 3.1, pentru a ajunge la suprafete Titetica, am cautat mai ıntairelatii asemanatoare la curbe pe suprafete. Relatiile pe care le-am cautat suntıntre curbura curbelor si distanta de la origine la planul rectificant asociat. Amcercetat si daca aceste relatii sunt invariante la centro-afinitati. Acest studiul-am facut pe doua clase de suprafete: suprafetele tetraedrale ın deformare ST

(xm

m+1 +ym

m+1 +zm

m+1 = 1, m ∈ Z\{−1, 0}) si sferele astroidale ın deformare SA,anume cele date de ecuatia: x

22m+1 + y

22m+1 + z

22m+1 = 1, m ∈ N. Pentru ambele

clase de suprafete studiate (ST ) si (SA) am obtinut ca produsul K1 (x) · d (0, π)este constant doar ın cazul sferei uzuale si a celei astroidale, ce sunt singurelesuprafete din ST ∪ SA (singurele solutii ale ecuatiei m

m+1 = 22k+1 , m ∈ Z −

{−1}, k ∈ N sunt numai m = ±2, deoarece relatia se scrie k = m+22m ∈ N).

Obtinand ca relatia K1 (x) · d(0, π) = ct nu este invarianta pentru clasele deobiecte de mai sus, a trebuit sa cautam alta relatie ıntre aceste doua marimi.Relatia pe care am cercetat-o ın Sectiunea 3.2 este K1(x)

d3(0,π) = ct, inspirata dinforma expresiilor celor doua marimi.

Pentru ambele clase de suprafete studiate (ST ) si (SA) am obtinut ca ra-portul K1(x)

d3(0,π) este constant doar ın cazul sferei uzuale. Putem observa ca, desiaceasta relatie este un invariant centro-afin pentru curbele de intersectie dintresfera si un plan, ın momentul cand am trecut la alte clase de suprafete, relatia

14

Fig. 5: Suprafata tetraedrala pentru m = 3

Fig. 6: Suprafata tetraedrala pentru m = 9

nu ne ofera decat sfera. Cu alte cuvinte relatia K1(x)d3(0,π) este destul de greu de

ındeplinit. Am fi putin descurajati la acest pas de strictetea relatiilor de tipK

dn+1 , dar am insistat si ın momentul cand am trecut de la curbe pe suprafetela suprafete (adica am verificat K

d4 ), am constatat ca o ıntreaga clasa verificarelatia: clasa suprafetelor S (numite astazi suprafete Titeica).

In Capitolul 4, am considerat geometria curbelor asimptotice asociatesuprafetelor Titeica, ceea ce ne-a condus la un nou invariant asociat cu-plului curba-suprafata Titeica. Rezultatele au fost sintetizate ın lucrarea[Agnew, Bobe si Boskoff, 2006] si au fost obtinute ın 2006.

In Sectiunea 4.1 am considerat functia Titeica pentru curbe ın R3, stabilindinvariantul pentru curbe si relatia care exista ıntre functia Titeica pentruo curba si transformata centro-afina a acesteia. Totodata am obtinut, ca siconsecinta, rezultatul lui Titeica referitor la curbe Titeica.

Lema 4.1.1 Fie c : I ⊂ R −→ R3, c(t) = (x(t), y(t), z(t)) o curba ın spatiul

15

Fig. 7: Sferele astroidale ın deformare pentru m ∈ {1, 2}

Fig. 8: Sferele astroidale ın deformare pentru m ∈ {3, 4}

3-dimensional. Atunci avem relatia:

K2(c)(t) = d2c(t) · Ic(t),

unde Ic(t) = det(·c(t),

··c(t),

···c (t))(

det(c(t),·c(t),

··c(t))

)2 este o functie de variabila t.

Definitia 4.1.2. Vom numi cantitatea Ic(t) din Lema 4.1.1 functia Titeicapentru curba c : I ⊂ R −→ R3.

Definitia 4.1.3. Transformata centro-afina a curbei c : I ⊂ R −→ R3,c(t) = (x(t), y(t), z(t)) este o curba h : I ⊂ R −→ R3, h(t) = c(t) · M , undeM ∈ M3(R), det M �= 0.

Rezultatul important al acestei sectiuni este urmatoarea teorema ce sta-bileste invariantul pentru curbe si relatia care exista ıntre functiile Titeica pen-tru o curba si transformata centro-afina a acesteia.

Teorema 4.1.4. Fie h : I ⊂ R −→ R3 transformata centro-afina a curbeic : I ⊂ R −→ R3, c(t) = (x(t), y(t), z(t)). Atunci functia Titeica pentru curbe

16

I·(t) = K2(·)(t)d2· (t)

este un invariant centro-afin si, ın plus, satisface relatia:

Ih(t) =1

detM· Ic(t).

Definitia 4.1.5. O curba c : I ⊂ R −→ R3 se numete curba Titeica dacafunctia Titeica Ic(t) este constanta.

Rezultatul lui Titeica referitor la invarianta functiei pentru curbe Titeicadevine corolarul Teoremei 4.1.4:

Corolarul 4.1.6.(Titeica) Transformata centro-afina a unei curbe Titeicaeste tot o curba Titeica. In plus, relatia pe care o satisfac cele doua curbe este:

Ih =1

detM· Ic.

Legand conceptul de suprafete Titeica de ecuatia Monge-Ampere, ın Sectiunea4.2 am definit functia Titeica pentru suprafete si am aratat invarianta acesteiapentru suprafete, obtinand ca rezultat particular cazul suprafetelor Titeica. Inplus, am determinat si relatia ın care se afla functia Titeica pentru o suprafatasi transformata ei centro-afina.

Sa consideram ecuatia Monge-Ampere neomogena ın dimensiune 2, adica oecuatie cu derivate partiale de ordinul doi de forma:(

∂2u

∂x∂y

)2

− ∂2u

∂x2· ∂2u

∂y2= F (x, y), (0.0.1)

avand ca solutie u = u(x, y).

Definitia 4.2.1. Numim o suprafata f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3, cu conditia

caf(x, y) = (x, y, u(x, y)),

suprafata generata de ecuatia Monge-Ampere neomogena, unde u =u(x, y) este o solutie pentru ecuatia 4.2.1

Lema 4.2.2. Suprafata generata de ecuatia Monge-Ampere 4.2.1 satisfacerelatia:

K (f) (p) = d4f (p) · Jf (p) ,

unde

Jf (p) =−F (x, y)(

u (x, y) − x∂u∂x − y ∂u

∂y

)4 .

Definitia 4.2.3. Numim cantitatea Jf (p) din Lema 4.2.2 functia Titeica

pentru suprafata f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 .

Definitia 4.2.4. Transformata centro-afina a suprafetei f este o

suprafata g : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 data de:

g(x, y) = f(x, y) · M.

17

Urmatoarea teorema evidentiaza invarianta functiei Titeica pentru suprafetesi relatia ın care se afla functiile Titeica pentru o suprafata si transformata eicentro-afina.

Teorema 4.2.5. Fie f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 o suprafata generata de ecuatia

Monge-Ampere 4.2.1 si g transformata centro-afina a suprafetei f . Atunci,functia Titeica pentru suprafete J·(p) = K(·)(p)

d4· (p) este un invariant al transformariisi, ın plus, satisface relatia:

Jg(p) =1

(detM)2· Jf (p) .

Definitia 4.2.6. O suprafata f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 se numeste suprafata

Titeica daca functia Titeica Jf (p) este constana.Corolarul 4.2.7.(Titeica) Transformata centro-afina a unei suprafete Titeica

este tot o suprafata Titeica. Mai mult, invariantul centro-afin satisface relatia:

Jg =1

(detM)2· Jf .

Unul dintre rezultatele clasice de geometrie diferentiala afina afirma ca liniileasimptotice ale unei suprafete Titeica sunt curbe Titeica. In Capitolul Invariantide tip Titeica am demonstrat acest rezultat ca un caz particular al unei teoremeenuntate ıntr-un caz mult mai general. In Sectiunea 4.3 am definit functiaTiteica pentru suprafata Euler si am oferit un contraexemplu rezultatuluiinvers, adica am sa gasit o curba Titeica pe o suprafata Titeica care nu estecurba asimptotica. Din cate stim, rezultatele acestei sectiuni nu au maifost discutate ın literatura de specialitate.

In Sectiunea 4.4 am tratat legatura dintre suprafetele Titeica si curbeleTiteica de pe aceste suprafete. Notiunea centrala a acestui studiu este cea decurbe asimptotice. Acesta analiza conduce la introducerea unui nou invari-ant asociat cuplului curba-suprafata Titeica, completand rezultatele dinsectiunile anterioare. Din ceea ce stim, acest rezultat nu a mai fost abordatın literatura de specialitate.

Lema 4.4.6. Fie f : U −→ R3 o suprafata si c = f ◦ α : I −→ R3 o curbape f . Atunci:

Jf (p) = I2c (t) · Qf,c(p, t),

unde Qf,c(p, t) este o functie reala.Definitia 4.4.7. Qf,c(p, t) din Lema 4.4.6 se numeste functia Titeica

pentru cuplul (f, c).

Corolarul 4.4.8. Fie f : U =◦U ⊆ R2 −→ R3 o suprafata de curbura

negativa si c = f ◦ α : I ⊂ R −→ R3 o linie asimptotica pe aceasta suprafata.Atunci

Qf,c(t) = −1 = Qf,c.

18

Corolarul 4.4.9.(Titeica) Liniile asimptotice ale unei suprafete Titeica suntcurbe Titeica.

Teorema 4.4.10 Fie (f, c) un cuplu constand dintr-o suprafata f si o curbac pe aceasta suprafata, si fie (g, h) transformata centro-afina a cuplului (f, c).Atunci functia Titeica Q·,·(p, t) = J·(p)

I2· (t) este un invariant centro-afin pentruaceasta transformare. Mai mult, relatia pe care cuplurile o satisfac este:

Qg,h(p, t) = Qf,c(p, t).

Propozitia 4.4.11 Transformata centro-afina a unei linii asimptotice de peo suprafata este o linie asimptotica pentru transformata centro-afina a suprafetei.

Corolarul 4.4.12. Functia Titeica Q = JI este un invariant centro-afin pen-

tru cuplul transfomat centro-afin (g, h) al cuplului (f, c), unde f este o suprafatasi c este o linie asimptotica pe f . Mai mult, avem si relatia:

Qg,h = Qf,c.

Corolarul 4.4.13 Functia Titeica Q = JI este un invariant centro-afin al

cuplului format din suprafata Titeica si linie asimptotica pe aceasta suprafata.

DeliaIn Capitol 5 am extins configuratia Titeica pentru cercuri de raze egale

prezentata pe scurt ın Sectiunea 5.1 la elipse egale si am aratat ca problemaare sens pentru n elipse egale, generand astfel un lant Clifford. Aceste rezultatese gasesc ın lucrarea [Bobe si Boskoff, 2007].

In Sectiunea 5.2 am demonstrat doua rezultate ajutatoare pentru a puteaextinde configuratia si la elipse de semiaxe egale si paralele cu axele de co-ordonate.

Teorema 5.2.5 Daca 3 elipse egale Ei (Oi, a, b) , i = 1, 3 au un punct comunP , atunci celelalte 3 puncte de intersectie Pij , i, j = 1, 3, i < j apartin uneielipse egala cu cele initiale.

Teorema 5.3.1 Fie Ei (Oi, a, b) , i = 1, 4 4 elipse egale, toate trecand printr-un punct P si fie Pij , i, j = 1, 4, i < j punctele de intersetie ale elipselor Ei siEj . Atunci cele 4 elipse (conform Teoremei 5.2.5) Eijk (Oijk, a, b) , i, j = 1, 4, i <j < k ce trec prin punctele Pij , Pik, si Pjk au un punct comun P1234.

×

×

×

×O

O

O

O

P

P

P

P

¹

²

³

¹²³

¹²

²³

¹³

O×

4

×P1234

19

Teorema 5.3.1 afirma existenta unui punct comun P1234 de intersectie a 4elipse determinate de Teorema 5.2.5 ıntr-o configuratie cu patru elipse egaleavand un punct comun P . Este natural sa ne punem problema configuratiei decinci elipse egale ce au un punct comun P . Conform Teoremei 5.3.1, fiecare 4determina un punct. Cele 5 puncte obtinute din intersectii apartin unei elipseegale cu cele initiale? Daca raspunsul este afirmativ, putem continua? Dacavom considera o configuratie formata din 6 elipse egale avand un punct comunP , fiecare 5 vor produce o elipsa egala cu cele initiale. Cele 6 elipse produse sevor ıntalni ıntru-un punct comun P123456? Putem gasi generalizarea rezultatelordin Teorema 5.2.5 si Teorema 5.3.1?

In Sectiunea 5.3 am introdus notiunea de lant Clifford pentru elipseegale si am enuntat si demonstrat doua rezultate ce generalizeaza configuratiainitiala.

Teorema 5.3.3 Avand 2n+1 elipse egale Ei (Oi, a, b) , i = 1, 2n + 1, n ∈ N∗,toate avand un punct comun P , atunci cele 2n + 1 puncte P1...i...2n+1, i =1, 2n + 1, fiecare dat de intersectia a 2n elipse E12...i...j...2n+1, j = 1, 2n + 1, j �= i,apartin unei elipse egala cu cele initiale. (unde i ınseamna omiterea lui i)

Teorema 5.3.4 Fiind date 2n+2 elipse egale Ei (Oi, a, b) , i = 1, 2n + 2, n ∈N∗, toate intersectandu-se ıntr-un punct P , atunci cele 2n + 2 elipse

E1...i...2n+2

(O1...i...2n+2, a, b

),

i = 1, 2n + 2, fiecare determinata (conform Teoremei 5.3.3) de cate 2n+1 puncteP1...i...j...2n+2, j = 1, 2n + 2, j �= i, au un punct comun P1...2n+2.

Folosind programul Mathematica, ın Sectiunea 5.4 am implementat algo-ritmul de constructie al lantului Clifford pentru elipse egale si am vizualizatobiectele noi create.

In Capitolul 6 am discutat invariantii Titeica cu ajutorul programuluiMathematica. Suprafetele Titeica constituie un subiect excelent pentru a folosicapabilitatile de calcul simbolic ale programului Mathematica. Din acest motiv,acest capitol este ca un complement al capitolelor anterioare, oferind o imag-ine a discursului matematic si chiar o vizualizare a obiectelor implicate. Maimult, folosindu-ne de rezultatele teoretice obtinute ın Capitolul 5 Invarianti detip Titeica, am dezvoltat un algoritm de verificare a apartenentei uneisuprafete la clasa suprafetelor Titeica. Acest algoritm se poate aplica nunumai pentru testarea proprietatii Titeica, dar si pentru verificarea invarianteiunei suprafete. Rezultatele acestui capitol au fost publicate ın[Agnew, Bobe, Boskoff si Suceava, 2006].

Utilizand metodele standard de determinare a liniilor asimptotice (vedetiCapitolul 18 din [Grey, 1998]), vom gasi ca aceste linii asimptotice sunt (imag-inile) spirale logaritmice de forma:

θ = v ±√

3 Log[ρ],

ρ[θ] → u e±θ√

3 ,

20

Fig. 9: Suprafata z = 1x2+y2 .

unde u si v sunt noii parametrii. Vom figura una dintre aceste spirale pentru omai buna vizualizare:

Fig. 10: Linie asimptotica pentru z = 1x2+y2 .

Testul Titeica

x =y =z =r = {x, y, z}ru = D[r, u]

21

Fig. 11: Curbele asimptotice/Titeica pentru z = 1x2+y2 .

rv = D[r, v]e = ru.ruf = ru.rvg = rv.rvnormal = Cross[ru, rv] / Sqrt[Cross[ru, rv].Cross[ru, rv]] // Simplifyruu = D[ru, u]ruv = D[ru, v]rvv = D[rv, v];l = normal.ruu // Simplifym = normal.ruv // Simplifyn = normal.rvv // Simplifyk = (l * n - m ^2) / (e * g - f^2) // Simplifyd = (normal.r) / (Sqrt[normal.normal]) // Simplifyd^4 // Simplify;k / d^4 // Simplify

22

Bibliografie

[Adams, Loustaunau, 1994] Adams, W.W., Loustaunau, P., An Introduction toGrobner Bases, AMS, 1994.

[Agnew, Bobe, Boskoff si Suceava, 2007] Agnew, A.F., Bobe, A., Boskoff, W.G.,Suceava, B.D., Gheorghe Tzitzeica and the Origins of Affine Differential Ge-ometry, Hist. Math., Manuscript number: HM-06-24R2 (ın curs de publicare).

[Agnew, Bobe si Boskoff, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A., Boskoff, W.G., Tzitzeica-Type Invariants, Rocky Mt. J. Math. (trimis spre publicare).

[Agnew, Bobe, Boskoff, Homentcovschi si Suceava, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A.,Boskoff, W.G., Homentcovschi, L., Suceava, B.D., The Equation of Euler’s LineYields a Tzitzeica Surface, Elem. Math. (trimis spre publicare).

[Agnew, Bobe, Boskoff si Suceava, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A., Boskoff, W.G.,Suceava, B.D., Tzitzeica Curves and Surfaces, The Math. J., WR-675289, 2006.

[Alexander, 1995] Alexander, A., Gaston Darboux and the history of complex dynam-ics, Hist. Math., 22(2) (1995), 179-185.

[Andonie, 1965] Andonie, G.S., Istoria matematicii ın Romania, vol. I, EdituraStiintifica, Bucuresti, 1965.

[Barbilian, 2000] Barbilian, D., Ion Barbu - Opere, vol. II, Proza, Academia Romana,Univers Enciclopedic, Bucuresti, 2000.

[Baues si Cortes, 2003] Baues, O., Cortes, V., Proper Affine Hyperspheres which Fiberover Projective Special Kaehler Manifolds, Asian J. Math., 7 (2003), 115-132.

[Bianchi, 1894] Bianchi, L., Lezioni di geometria differenziale, Ed. Spoerri, Pisa, 1894.

[Blaschke, 1930] Blaschke, W., Vorlesungen uber differential Geometrie unde ge-ometrische Grundlagen von Einsteins Relativitatstheorie, Berlin, 1930.

[Bobe, 2006] Bobe, A., Algorithm for the Groebner region of a principal ideal, An.Stiint. Univ. Ovidius Constanta, 14(1) (2006), 23-44.

[Bobe si Boskoff, 2007] Bobe, A., Boskoff, W.G., Tzitzica-Johnson Theorem Revis-ited, Aust. Math. Soc. Gaz., (trimis spre publicare).

[Boskoff si Suceava, 2004] Boskoff, W.G., Suceava, B.D., When Is Euler’s Line Par-allel to a Side of a Triangle?, College Math. J., 35 (2004), 292-296.

23

[Brınzanescu si Stanasila, 1998] Brnzanescu, V., Stanasila, O., Matematici speciale,Ed. All, Bucuresti, 1998.

[Buchberger, 1965] Buchberger, B., Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselementedes Restklassenringes nach einem nulldimensionalen Polynomideal, Ph.D. Thesis,Inst. University of Innsbuck, Austria, 1965.

[Buchin, 1983] Buchin, S., Affine Differential Geometry, Science Press, Beijing, Chinaand Gordon and Breach, Science Publishers, Inc., New York, 1983.

[Calabi, 1972] Calabi, E., Complete Affine Hypersurfaces, I. Symposia Mathematica,10 (1972), 19-38.

[Calabi, 1990] Calabi, E., Affine differential geometry and holomorphic curves. Com-plex Geometry and Analysis, Lecture Notes in Mathematics, 1422, Springer-Verlag, 1990, 15-21.

[Chen, 2000] Chen, B.-Y., Riemannian submanifolds. Handbook of Differential Ge-ometry, vol. I, Editors F.J.E. Dillen and L.C.A. Verstraelen, Elsevier, 2000, pp.187-418.

[Cheng si Yau, 1986] Cheng, S.-Y and Yau, S.-T., Complete Affine Hyperspheres. PartI. The completeness of affine metrics, Comm. on Pure and Appl. Math., 39(6)(1986), 839-866.

[Cox, Little si O’Shea, 1992] Cox, D., Little, J., O’Shea, D., Ideals, Varieties and Al-gorithms, Springer-Verlag, 1992.

[Coxeter si Greitzer, 1967] Coxeter, H.S.M., Greitzer, S.L., Geometry Revisited, YaleUniv. Press., 1976.

[Cruceanu, 2005] Cruceanu, V., Research works of Romanian mathematicians onCentro-Affine Geometry, Balkan J. Geom. Appl., 10(1) (2005), 1-5.

[Dantzing, 2003] Dantzing, G.B., Thapa, M.N., Linear Programming, Springer, 2003.

[Darboux, 1894] Darboux, G., Lecons sur la theorie generale des surfaces et les ap-plications geometriques du calcul infinitesimal, Vol. I-IV, Third edition, Chelsea,New York, 1972.

[Demoulin, 1911a] Demoulin, A., Sur les surfaces R et les surfaces Ω, C.R. Acad. Sci.Paris, 153 (1911), 590-593.

[Demoulin, 1911b] Demoulin, A., Sur les surfaces R, C.R. Acad. Sci. Paris, 153(1911), 797-799.

[Dillen si Vrancken, 1994] Dillen, F., Vrancken, L., Calabi Type composition of affinespheres, Diff. Geom. and Its Appl., 4 (1994), 303-328.

[Dillen, 1996] Dillen, F., Komrakov, B., Simon, U., Verstraelen, L., Van De Woestyne,I., Geometry and Topology of Submanifolds VIII, World Scientific, 1996.

[Dumitru, 1981] Dumitru, N.C., Gh. Titeica, Gazeta matematica, 6 (1981), Electronicedition, Softwin, Bucharest, 2005.

24

[Eisenhart, 1909] Eisenhart, L.P., A treatise on the differential geometry of curves andsurfaces, Dover Publications, Inc. New York, new edition published in 1960.

[Eisenhart, 1917/1918] Eisenhart, L.P., Darboux’s contribution to geometry, Bull.Amer. Math. Soc. 24 (1917/18), 227-237.

[Eisenhart, 1921] Eisenhart, L.P., Conjugate nets R and their transformations, Ann.Math. 22(2) (1921), 161-181.

[Ene, 2002] Ene, V., Capitole de algebra asistata de calculator, Ex Ponto, Constanta,2002.

[Euler, 1765] Euler, L., Solutio facilis problematum quorundam geometricorum diffi-cillimorum, Novii Comm. Acad. Sci. Petropolitanae 11 (1765), 103-123 (in Operaomnia, 26(1), 139-157).

[Fubini, 1924] Fubini, G., Su alcune classi di congruenze di rette e sulle trasformazionidelle R, Ann. di Mat., 1(4) (1924), 241-257.

[Fubini, 1926] Fubini, G., Proprieta proiettive delle superficie a curvature metricacostante, Rend. Accad. Roma, 4(6) (1926), 167-171.

[Fubini, 1928] Fubini, G., Riassunto di alcune ricerche di geometria proiettivo-differenziale, Proc. Congress Toronto 1, 1928, pp. 831-834.

[Gheorghiev si Popa, 1960] Gheorghiev, G., Popa, I., Geometrie projectivedifferentielle des varietes de cones, C.R. Acad. Sci. Paris, 251 (1960),1208-1210.

[Gheorghiev si Popa, 1961] Gheorghiev, G., Popa, I., Geometrie des reseaux d’unesurface, C.R. Acad. Sci. Paris, 252 (1961), 2499-2501.

[Gheorghiev si Popa, 1962] Gheorghiev, G., Popa, I., Corespondenta ıntre varietati deconuri, An. Stiint. Univ. Al. I. Cuza Iasi, sectia I, mat., fiz., chim., 8(1) (1962),97-103.

[Gheorghiu, 1939] Gheorghiu, G.T., George Titeica, Gazeta matematica, 4 (1939),Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Gheorghiu, 1956] Gheorghiu, G.T., Les courbes Tzitzeica dans la geometrie projec-tive, Rev. Roum. Math. Pures Appl., 1 (1956), 133-150.

[Gheorghiu, 1959] Gheorghiu, G.T., Hipersuprafete Titeica, Lucrarile stiint. Inst.pedag. Timisoara, mat., fiz., 1959, 45-60.

[Gheorghiu si Popa, 1959] Gheorghiu, G.T., Popa, C., O proprietate afina caracteris-tica suprafetelor Titeica, Lucrarile stiint. Inst. pedag. Timisoara, mat., fiz., 1959,65-71.

[Gheorghiu, 1962] Gheorghiu, G.T., Asupra varietatilor neolonome Titeica, StudiaUniversitatis Babes-Bolyai, series math.-phys., 7(1) (1962), 45-60.

[Godeaux, 1932] Godeaux, L., Les quadriques de Tzitzeica et la theorie des surfaces,Ann. Soc. Polon. Math. 10 (1932), 21-24.

25

[Grey, 1998] Grey, A., Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces withMathematica, CRC Press, Boca Raton, 1998.

[Gross si Siebert, 2003] Gross, M., Siebert, B., Affine manifolds, Log structures, andmirror symmetry, Turkish J. Math. 27 (2003), 33-60.

[Guggenheimer, 1963] Guggenheimer, H.W., Differential geometry, McGraw-Hill,New York, 1963.

[Hironaka, 1964] Hironaka, H., Resolution on singularities of an algebraic variety overa field of characteristic zero, Ann. Math. 79 (1964), 109-326.

[Ianus, 1995] Ianus, S., Gheorghe Titeica (1873-1939) - fondatorul scolii de geometriedin tara noastra, Gazeta matematica, 100 (1995), 399-401.

[Johnson, 1916] Johnson, R.A., A Circle Theorem, Amer. Math. Monthly, 23(1916),161-162.

[Kimberling, 2007] Kimberling, C., Gossard Perspector, 2007,http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html

[Lauritzen, 2002] Lauritzen, N., Convex analysis, 2002,http://home.imf.au.dk/niels/Topics/convexanalysis.pdf

[Lauritzen, 2002a] Lauritzen, N., Sturmfels expanded, 2002,http://home.imf.au.dk/niels/Topics/chapter1.pdf

[Lauritzen, 2002] Lauritzen, N., Groebner bases, 2002,http://home.imf.au.dk/niels/Topics/statepoly.pdf

[Loftin, 2002] Loftin, J., Affine spheres and Kahler-Einstein metrics, Math. Res. Lett.,9 (2002), 425-432.

[Loftin, 2005] Loftin, L, Yau, S.-T., Zaslow, E., Affine manifolds, SYZ geometry andthe ”Y” vertex, J. Diff. Geom., 71 (2005), 129-158.

[Li si Simon, 1993] Li, A.M., Simon, U., Zhao, G., Global affine differetnial geometryof hypersurfaces, W. De Gruyter, Berlin-New York, 1993.

[Liu, 1996] Liu, H., Magid, M., Scharlach, Ch., Simon, U., Recent developments inaffine differential geometry, in Geometry and topology of submanifolds VIII, (F.Dillen et al., eds.), World Scientific, 1996.

[Macaulay, 1927] Macauly, F.S., Some properties of enumeration in the theory of mod-ular systems, Proc. London Math. Soc. 26 (1927), 531-555.

[Mayer, 1927] Mayer, O., Sur les surfaces reglees a lignes flecnodales planes, Ann.Scient. Univ. Iassy, 15(1-2) (1927), 25-55.

[Mayer, 1928] Mayer, O., Etudes sur les surfaces reglees, Bul. Fac Stiinte, Cernauti,1(2) (1928), 1-33.

[Mayer si Myller, 1933] Mayer, O., Myller, A., Geometrie centro-affine differentielledes courbes planes, Ann. Scient. Univ. Iassy, 18(3-4) (1933), 234-280.

26

[Mayer, 1934] Mayer, O., Geometrie centro-affine differentielle des surfaces, Ann. Sci-ent. Univ. Iassy, 21 (1934), 1-77.

[Mayer, 1938] Mayer, O., Etude des reseaux plans en geometrie centro-affine, Ann.Scient. Univ. Iassy, 24(1) (1938), 57-71.

[Mayer, 1940a] Mayer, O., Sur les surfaces reglees, III, Ann. Scient. Univ. Iassy, 26(1940), 299-308.

[Mayer, 1940b] Mayer, O., Sur les surfaces reglees, IV, Ann. Scient. Univ. Iassy, 26(1940), 626-632.

[Mignotte, 1991] Mignotte, M., Mathematics for Computer Algebra, Springer-Verlag,1991.

[Mihaileanu, 1955] Mihaileanu, N., Gheorghe Titeica, Gazeta matematica, 8 (1955),Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Mihaileanu, 1972] Mihaileanu, N., Geometrie Analitica Proiectiva si Diferentiala.Complemente, Ed. Did. si Ped., Bucuresti, 1972.

[Mihaileanu, 1976] Mihaileanu, N., Lectii complementare de geometrie, Ed. Did. siPed., Bucuresti, 1976.

[Mora si Robbiano, 1988] Mora, T., Robbiano, L., The Groebner fan of an ideal, J.Symb. Comp., 6 (1988), 183-208.

[Nicolescu, 1945] Nicolescu, A., Sur les courbes spheriques de Tzitzeica, Bull. Sci. Ec.Polyt. Timisoara, 12(1-2) (1945), 37-44.

[Nicolescu, 1956] Nicolescu, A., Cateva proprietati ale suprafetelor Titeica, Com.Acad. R.P.R., 6(9) (1956), 1065-1071.

[Nicolescu, 1962] Nicolescu, A., Constructia invariantilor geometriei centro-afine, Ed.Acad., 1962, pp. 139-141.

[Nomizu si Sasaki, 1991] Nomizu, K., Sasaki, T., A new model of unimodular-affinelyhomogeneous surfaces, Manuscr. Math., 73 (1991), 39-44.

[Nomizu si Sasaki, 1994] Nomizu, K., Sasaki, T., Affine differential geometry, Geom-etry of affine immersions, Cambridge University Press, 1994.

[Oliker si Simon, 1992] Oliker, V., Simon, U., Affine geometry and polar hypersur-faces. Analysis and Geometry: Trends in Research and Teaching, (B. Fuchssteinerand W. A. J. Luxemburg, eds.), BI-Mannheim-Zurich, 1992, pp. 87-112.

[O’Neill, 1966] O’Neill, B., Elementary Differential Geometry, Academic Press, SanDiego, 1966.

[Pambuccian, 2005] Pambuccian, V., Euclidean geometry problems rephrased in termsof midpoints and point-reflections, Elem. Math., 60 (2005), 19-24.

[Papuc si Munteanu, 1960] Papuc, D., Munteanu, E., Asupra geometriei diferentialea unui grup particular de transformari proiective, An. St. Univ. Iasi, mat., fiz.,chim., 6(3) (1960), 655-663.

27

[Papuc, 1963a] Papuc, D., Sur les varietes des espaces kleineens a groupe lineairecompletement reductible, C.R. Acad. Sci. Paris, 256(1) (1963), 62-64.

[Papuc, 1963b] Papuc, D., Sur la theorie des varietes des espaces kleineens a groupelineaire completement reductible, C.R. Acad. Sci. Paris, 257(3) (1963), 589-591.

[Pfister, 2001] Pfister, G., Greuel, G.M., Schonemann, H., Singular 3.0. A ComputerAlgebra System for Polynomial Computations, Centre for Computer Algebra, Uni-versity of Kaiserslautern, http://www.singular.uni-kl.de, 2001.

[Polyamin si Zaitsev, 2004] Polyamin, N., Zaitsev, V., Handbook of Nonlinear PartialDifferential Equations, CRC Press, 2004.

[Popa, 1934a] Popa, I., Geometrie centro-affine hyperbolique des courbes gauches,Ph.D. thesis., Ann. Sci. Univ. Iassy, 21, 78-181.

[Popa, 1934b] Popa, I., Geometrie centro-affine parabolique des courbes et des sur-faces, Ann. Sci. Univ. Iassy, 21 (1934), 141-181.

[Preparata, 1985] Preparata, F.P., Shamos, M.I., Computational Geometry. An Intro-duction, Springer, 1985.

[Pripoae si Gogu, 2005] Pripoae, G.T., Gogu, R., Gheorghe Tzitzeica - an incompletebibliography, Balkan J. Geom. Appl., 10 (2005), 32-56.

[Robbiano si Kreuzer, 2000] Robbiano, L., Kreuzer, M., Computational CommutativeAlgebra I, Springer, 2000.

[Rodriguez, 2006] Rodriguez, J., Manuel, P., Simiao, P., A conic associated with Eulerlines, Forum Geom., 6 (2006), 17-23.

[Scharlach, 1997] Scharlach, Ch., Simon, U., Verstraelen, L., Vrancken, L., A newintrinsic curvature invariant for centroaffine hypersurfaces, Contrib. Alg. Geom.,38 (1997), 437-458.

[Scharlach si Vrancken, 1996] Scharlach, Ch., Vrancken, L., A curvature invariant forcentroaffine hypersurfaces, Part II. Geometry and Topology of Submanifolds, 8,(ed. by F. Dillen et al.), World Scientific, Singapore, 1996, pp. 341-350.

[Schrijver, 1998] Schrijver, A., Theory of Linear and Integer Programming, J. Wiley,New-York, 1998.

[Simon, 1991] Simon, U., Schwenk-Schellschmidt, A., Viesel, H., Introduction to theaffine differential geometry of hypersurfaces, Science University of Tokyo, 1991.

[Simon, 2000] Simon, U., Affine differential geometry. Handbook of Differential Ge-ometry, vol. I, (Editors F.J.E. Dillen and L.C.A. Verstraelen), Elsevier, 2000, pp.905-962.

[Slebodzinski, 1937] Slebodzinski, W., Sur la realization d’une variete et connexionaffine par une surface plongee dans un espace affine, C. R. Acad. Sci. Paris, 7(2)(1937), 31-40.

[Slebodzinski, 1939] Slebodzinski, W., Sur quelques problemes de la theorie des sur-faces de l’espace affine, Prace Mat. Fiz. 46 (1939), 81-88.

28

[Soare, 2005] Soare, N., Gheorghe Titeica An Affine Differential Geometry, Balkan J.Geom. Appl., 10 (1) (2005), 21-23.

[Sturmfels, 1996] Sturmfels, B., Grobner Basis and Convex Polytopes, AMS, 1996.

[Teleman, 2005] Teleman, K., On the mathematical work of Gheorghe Titeica, BalkanJ. Geom. Appl., 10(1), 59-64.

[Titeica, 1895] Titeica, G., Relatiuni ıntre elementele unui tetraedru, Gazeta matem-atica, 3 (1895), Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Titeica, 1903] Titeica, G., Geometria ın ınvatamantul secundar, Gazeta matematica,Part 1, 1 (1903); Part 2, 3 (1903), Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Titeica, 1906] Titeica, G., Sur la deformation de certaines surfaces tetraedrales, C.R. Acad. Sci. Paris, 142 (1906), 1493-1494.

[Titeica, 1907] Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, C. R. Acad. Sci. Paris,144 (1907), 1257-1259.

[Titeica, 1908a] Titeica, G., Sur une classe de surfaces. C. R. Acad. Sci. Paris, 146(1908), 165-166.

[Titeica, 1908b] Titeica, G., Sur les surfaces reglees, C. R. Acad. Sci. Paris, 147(1908), 173-174.

[Titeica, 1908c] Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, I, Rend. Circ. Mat.Palermo, 25 (1908), 180-187.

[Titeica, 1908d] G. Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, Atti del IV Con-gresso Internazionale dei Matematici, Roma, vol. 2, 1908, pp. 304-308.

[Titeica, 1909] Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, II, Rend. Circ. Mat.Palermo, 28 (1909), 210-216.

[Titeica, 1910a] Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, C. R. Acad. Sci.Paris, 150 (1910), 955-956.

[Titeica, 1910b] Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, C. R. Acad. Sci.Paris, 150 (1910), 1227-1229.

[Titeica, 1913a] Titeica, G., Sur une generalization des surfaces minima non-euclidiennes, C. R. Acad. Sci. Paris, 156 (1913), 1136- 1138.

[Titeica, 1913b] Titeica, G., Sur une generalisation des surfaces minima, Bull. Sect.Sci. Acad. Roumaine, 2(1) (1913), 11-15.

[Titeica, 1915a] Titeica, G., Sur une classe speciale de surfaces, Bull. Sect. Sci. Acad.Roumaine, 3 (1915), 200-204.

[Titeica, 1915b] Titeica, G., Sur une classe speciale de surfaces, II, Bull. Sect. Sci.Acad. Roumaine, 3 (1915), 205-210.

[Titeica, 1916] Titeica, G., Deformarea unei clase de suprafette tetraedrale, An. Acad.Romana, Mem. Sectiei St., 2(38) (1916), 241-259.

29

[Titeica, 1924] Titeica, G., Geometrie differentielle projective des reseaux, CulturaNationala, Bucharest and Gauthier-Villars, Paris, 1924.

[Titeica, 1926] Titeica, G., Sur la deformation de certaines surfaces tetraedales, lessurfaces S et les reseaux R, Appendix of Geometria proettiva differenziale, (G,Fubini - E. Cech), Bologna, 1926, vol.II, 663-669.

[Titeica, 1931] Titeica, G., Introduction a la geometrie differentielle projective descourbes, Mem. Sci. Math. Paris, 47 (1931), 61 pag.

[Titeica, 1935] Titeica, G., Sur quelques proprietes affines, C. R. Acad. Sci. Paris, 200(1935), 1563-1565.

[Titeica, 1956] Titeica, G., Geometrie diferentiala proiectiva a retelelor, Edit. Acad.R.P.R., 1956.

[Titeica, 1962] Titeica, G., Probleme de geometrie, Editia a sasea, Ed. Tehnica, 1962.

[Transon, 1841] Transon, A., Recherches sur la courbure des lignes et des surfaces, J.Math. Pures et Appl., 6 (1841), 191-208.

[Vrancken, 1991] Vrancken, L., Li, A.M., Simon, U., Affine spheres with constantaffine sectional curvature, Math. Z., 206 (1991), 651-658.

[Vranceanu, 1972] Vranceanu, Gh., Invariants centro-affines d’une surface, Rev.Roum. Math. Pures Appl., 24 (1972), 979-982.

[Vranceanu, 1977] Vranceanu, Gh., Surfaces Tzitzeica, An. Univ. Craiova, Ser. Mat.Fiz.-Chim., 5 (1977), 5-10.

[Vranceanu, 1979a] Vranceanu, Gh., Tzitzeica fondateur de la geometrie centro-affine,Rev. Roum. Math. Pures Appl., 24 (1979), 983-988.

[Vranceanu, 1979b] Vranceanu, Gh., Sur les surfaces de Tzitzeica, Bul. Stiint. Univ.Teh. Constr. Bucuresti, 40(1) (1979), 63-64.

[Wilczynski, 1907] Wilczynski, E.J., Projective differential geometry of curved surfaces(First Memoir), Trans. Amer. Math. Soc., 8 (1907), 233-260.

[Wilczynski, 1908a] Wilczynski, E.J., Projective differential geometry of curved sur-faces (Second Memoir), Trans. Amer. Math. Soc., 9 (1908), 79-120.

[Wilczynski, 1908b] Wilczynski, E.J., Projective differential geometry of curved sur-faces. III, Trans. Amer. Math. Soc., 9 (1908), 293-315.

[Wolfram, 2007] Wolfram Reasearch, Mathematica 6.0, http://www.wolfram.com,2007.

[Ye si Wu, 2002] Ye, Z.H., Wu W.C., Problem 10980, Am. Math. Mon., p.921 (2002),solution pp. 823-824 (2004).

[Ziegler, 1995] Ziegler, G.M., Lectures on Polytopes, Springer-Verlag, 1995.

30