Capitolul 1CLASE DE FUNCTII CU PROPRIETATEA LUI DARBOUX1.1 Functii continue 1.2 Functii cu proprietatea lui Darboux1.3 Functii derivate

1.1 Functii continueDefinitia 1.1.1 Fie I ⊃ R si f:I→R o functie reala definite pe I si x0∈ I.Functia f se numeste continua in punctual x0 ,daca pentru orice eventuvecinatate V a punctului f(x0 ¿ exista o vecinatate U a punctului x0astfel incat din x∈U I I sa rezulte f(x0 ¿∈V.Remarca 1.1.1 Daca f nu este continua pe punctual x0 , ea se numeste discontinua in acep punct.Definitia 1.1.2 Daca functia f:I→R este continua in fiecare punct al multimii I, atunci ea este continua pe IFie f:I→R si D(f) multimea punctelor de discontinuitate ale lui f.Definitia 1.1.3 Un punct x0∈D(f) se zice punc de discontinuitatei) De speta intai (si notam x0∈D1(f) daca f are limitele laterale finite in x0;ii) De speta a doua (si notam x0∈D2(f) daca f nu este de speta intai.Remarca 1.1.2 Evident D(f)= D1(f) Y D2(f) si D1I D2(f)= ∅Teorema 1.1.1 (de caracterizare a comunitatii intr-un punct)Fie f:I→R si x0∈R. Sunt echivalente urmatoarele afirmatii:1. Functia f este continua in punctual x0 .2. Pentru orice sir xn→x0, xn∈I, n≥0 avem lim

n→∞f (xn¿)¿=f (x0 ¿3. Pentru orice 𝜺>0 exista 𝜹>0 (depinzand de 𝜺) astfel incat din faptul ca x0∈ I si |x-x0|<𝜹 rezulta |f(x)=f(x0)|<𝜺

Teorema 1.1.2 (De legatura intre limita si continuitate)Fie I ⊂ R si f:I → R o functie, atunci:i) Daca x0∈I punct izolat, rezulta f continua in x0;ii) Daca x0∈II I` rezulta f continua in x0 ⇔ exista limx→x0

f (x¿)¿ si este egala f (x0)Demonstratiei) Daca x0∈I punct izolat ⇒ ∃ V ∈ V x0 astfel incat II V={x0} si fie xn∈I, xn→x0 fixat. Atunci ∃ n0≥1, cu xn∈V, (∀)n≥n0, deci xn=xn0 ∀ n≥n0 si ceci f(xn)=f(x0), de unde rezulta f(xn)→f(x0). Prin urmare f este continua in x0.ii) Daca x0∈I I I`. Atunci f continua in x0⇔∀ xn∈I, xn→x0 rezulta ca f(xn)=f(x0) ⇔ limn→0

f (x¿)¿=f (x0 ¿Remarca 1.1.3 Functia f:I→R, x0∈I I I` f continua in x0⇔ls(x0)=ld(x0)=f(x0)

Propozitia 1.1.1 Daca f:I→R este monotona, I interval, atunci:i) f are limite laterale in orice punct de acumulare al lui I;ii) f are limite laterale finite in orice x0∈Imita laterala la dreapta inDemonstratie Presupunem ca f este crescatoare (analog se procedeaza in cazuri in care f este descrescatoare), sa aratam ca daca x0 nu este extremitate stanga a lui I atunci f are limita la stanga in x0 si f(x0-0)=sup{f(x):x∈I si x<x0}Pentru simplificarea scrierii notam cu M membrul drept al egalitatii precedente, daca x0∈I atunci evident M≤f(x0). Cazul I. M<∞. Din caracterizarea in limbaj 𝜺>0 exista x1∈I cu x1<x0 si M-𝜺<f(x1). Atunci pentru orice x ∈(x1,x0) avem ca M-𝜺<f(x1)≤f(x)≤M≤M+𝜺si deci |f(x)-M|<𝜺 pentru orice x∈(x1,x0), ceea ce demonstreaza ca M=f(x0-0).Cazul II. M=∞. Atunci x0∈I`\I si pentru orice n∈N exista x∈I cu xn<x0 si f(xn)>n.Fie 𝜺>0. Din principiul lui Arhimede exista n0∈N cu 𝜺<n0. Atunci pentru orice x∈I cu x∈(xn0,x0) avem ca f(x)≥f(xn0)>n0>𝜺si deci exista f(x0-0)=∞=M.Analog se arata ca x0∈I` nu este extremitate dreapta a lui I atunci functia crescatoare f:I→R are limita laterala in dreapta in x0 sif(x0+0)=inf{f(x):x∈I si x>x0}.Pentru cazul particular x0∈I avem in plus f(x0)≤f(x0+0)∈R.Corolarul 1.1.1 Orice f:I→R monotona si marginita are limite laterale finite in orice x0∈I.Demonstratie Presupunem ca f este crescatoare. Din demonstratia Propozitiei 1.1.1 rezulta ca i) daca x0 nu este extremitate stanga a lui I atunci f are limita la stanga finite in x0 daca si numai daca f este marginita superior pe Is={x∈I:x>x0};ii) daca x0 nu este extremitatea dreapta a lui I atunci f are limita la dreapta finite in x0 daca si numai daca f este marginita inferior pe Id={x∈I:x>x0}.Din aceste doua observatii rezulta imediat afirmatia din enunt.Corolarul 1.1.2 Daca f:I→R este crescatoare atunci pentru orice x1,x2 ∈ I cu x1<x2 avem caf(x1)≤f(x1+0)≤f(x2-0)≤f(x2)In plus, daca x1,x2 ∈ I si x1<x2 atunci f(x1+0)=inf{f(x):x∈I si x>x1}≤inf{f(x):x∈(x1,x2)}≤sup{f(x):x∈(x1,x2)}≤sup{f(x):x∈I si x<x2}=f(x2-0).Definitia 1.1.3 Functia f:I→R se zige riglata (si notam f ∈ R1) daca nu are puncte de discontinuitate de speta a doua. Cu alte cuvinte,f∈R1⇔D2(f)= ∅are loc. Corolarul 1.1.3 Orice functie monotona este riglata (adica M1# ⊂ R1).Demonstratia rezulta imediat din Propozitia 1.1.2Relativ la continuitatea functiilor monotone are locTeorema 1.1.3 Multimea punctelor de discontinuitate ale unei functii monotone este cel mai numarabila.

Demonstratie, Fie f:IR crescatoare. Din Corolarul 1.1.3 este suficient sacard(D1(f) I I0) ≤x0Fie x D1(f) I I0. Atunci din Corolarul 1.1.2 rezulta ca intervalul Jxd=(f(x-0),f(x+0))≠ ∅. In plus daca x1,x2 D1(f) I I0 cu x1≠x2 atunci Jx1 D Jx2=∅.Intradevar, daca x1<x2 atunci din Corolarul 1.1.2 avem ca f(x1-0)<f(x2+0)≤f(x2-0)<f(x2+0) si deci Jx1 I Jx2=∅.Deoarece J1≠∅ rezukta ca exista rxJx I Q. Atunci este posibila definirea unei functiig:D1(f) I I0 Q, g(x)d=rxSe observa ca daca x1,x2 D1(f) I I0 cu x1≠x2 atunci g(x1)Jx1, g(x2)Jx2 si cum Jx1 I Jx2=∅ rezulta ca g(x1)≠g(x2). In consecinta g este injectiva si decicard(D1(f) I I0)≤card Q≤x0,ceea ce trebuie demonstrat.Teorema 1.1.4 (teorema lui Froda). Muktunea oybctekir de duscontinuitate de prima speta a oricarei functii f:IR este cel mult numarabila.Demonstratie. Este suficient sa demonstram ca card(D1(f) I I0)≤x0,Fie deci x D1(f) I I0. Atunci f este discontinua in x si exista f(x-0), f(x+0)R, in plus avem ca D1(f) I I0=A1 Y A2 Y A3 Y A4+,A1={xI0:f(x-0)=f(x+0)<f(x)}A2={xI0:f(x-0)=f(x+0)>f(x)}A3={xI0:f(x-0)<f(x+0)}A4={xI0:f(x+0)<f(x-0)}Este suficient sa demonstram ca multimile A1, A2, A3, A4 sunt cel mult numarabile.Fie deci xA1. Atunci f(x-0)=f(x+0)<f(x) si in consecinta exista axQ I (f(x-0), f(x) ). Deoarece f(x-0)<ax rezulta ca exista bxQ I I0: cu f(s)<ax pentru orice s(bx,x).Analog, din f (x+0)<ax rezulta ca exista cxQ I I0 cu f(s)<ax pentru orice s(x,cx). Consideram aplicatia h1:A1Q3,h1(x)=(ax,bx,cx).Sa aratam ca h1 este injectiva. Intradevar, daca x`,x``A1 cu x`≠x`` (de exemplu x`<x``) si presupunem ca h(x`)=h(x``) (adica ax`=ax``, bx`=bx``, cx`=cx``) atunci dinbx``=bx`<x`<x``<cx``=cx`obtinem ca f(x`)<ax``=ax`<f(x`), absurdIn consecinta h1 este injectiva si decicard A1 <card Q3=x0.

Analog se demonstreaza ca si card A2<x0. Daca xA3 atunci existaaxQ I (f(x-0), f(x+0))Din f(x-0)<ax<f(x+0) rezulta ca exista bx,cxQ I I cuf(u)<ax<f(v) pentru orice u(bx,x) si orice v(x,cx).Consideram aplicatia h3:A3Q3, h3(x)=(ax,bx,cx)Sa aratam ca si h3 este injectiva. Procedam prin reducere la absurd. Presupunem deci ca exista x`,x``A3 cu x`<x`` si x`<x`` si h3(x`)=h3(x``). Atunci bx``=bx`<x`<x``<ct``<ct`, rezulta ca f(s)<ax``=ax`<f(s) pentru orice x(x`,x``), ceea ce este absurd. In consecinta h3 este injectiva si deci card A3≤x0. Analog se arata ca si A4 este cel mult numarabila.Corolarul 1.1.4 Multimea punctelor de disontinuitate ale oricarei functii riglate este cel mult numarabila.Demonstratie Daca f:IR este riglata atunci D(f)=D1(f) si din teorema lui Frodacard D(f)=card D1(f)≤x0Am vazut ca multimea D(f) a punctelor de discontinuitate ale unei functii monotone f este cel mult numarabila.1.2 Functii cu proprietatea lui Darboux 1.2.1 Proprietatea lui Darboux Fie IR un interval si f:IRDefinitia 1.2.1 Spunem ca f are proprietatea lui Darboux pe I (sau pe scurt ca este o functie Darboux pe I) si notam fDI, daca pentru orice a,bI cu a<b si orice λ cuprins intre f(a) si f(b) exista c(a,b) cu λ=f(c).Interpretarea geometrica a proprietatii lui Darboux este data in Remarca 1.2.1 Functia f:IR are proprietatea lui Darboux (pe scurt P.D.) pe I daca si numai daca pentru orice a,bI cu a<b si orice λ, cuprins intre f(a) si f(b), paralela cu Ox dusa prin punctul de coordonate O,λ intersecteaza graficul restrictiei lui f la (a,b) in cel putin un punct. Caracterizari ale functiilor Darboux sunt puse in evidenta dePeopozitia 1.2.1 Pentru orice f:IR urmatoarele afirmatii sunt echivalentei) f are proprietatea lui Darboux pe I;ii) Daca Jeste un interval cu J⊂I atunci f(J) este interval (adica f transforma orice interval al lui I intr-un interval)iii) Daca a,bI cu a<b atunci f([a,b]) este un interval.Demonstratie

i)⇒ ii) daca f:IR este o functie Darboux si J⊂I este un interval atunci orice y1=f(x1), y2=f(x1)f(J) (presupunem de exemplu y1<y2) si orice λ(y1,y2) exista c cuprins intre x1 si x2 cu λ=f(c). Deoarece J este interval, iar x1,x2J rezulta ii) ⇒ iii) este evidenta.iii)⇒i). Fie a,bI cu a<b si λ cuprins intre f(a) si f(b). Atunci λf([a,b]) si din iii) rezulta ca exista c[a,b] cu λ=f(a). Se observa imediat (prin reducere la absurd) ca c∉{a,b} si deci c(a,b) cu λ=f(c). In consecinta f este o functie Darboux pe I.Corolarul 1.2.1 Daca f:IR si g:f(I)R sunt functii Darboux atunci si g∘f este o functie Darboux (adica compusa din doua functii Darvoux este o functie Darboux).Demonstratie Daca f si g sunt functii Darboux si J este un subinterval al lui I atunci (g∘f)(J)=g(f(J)) este un interval si deci g∘f este o functie Darboux (via Propozitia 1.2.1)Corolarul 1.2.2 Daca f:IR este o functie Darboux a carei multime de valori f(I) este cel mult numarabila atunci f este constanta.Demonstratie Daca f:IR are proprietatea lui Darboux atunci f(I) este un interval nevid care prin ipoteza este o multime cel mult numarabila. Acest fenomen este posibil numai daca card f(I)=1, adica f este constanta.Corolarul 1.2.3 Fie f:IR o functie Darboux. Atunci f este injectiva daca si numai daca este strict monotona.Demonstratie. Necesitatea. Fie f:IR o functie darboux injectiva. Sa aratam ca este strict monotona. Presupunand contrariul rezulta ca exista x1<x2<x3 cu f(x1)<f(x2)>f(x3) sau f(x1)>f(x2)<f(x3). Presupunem, de exemplu ca f(x1)<f(x2)>f(x3) analog procedandu-se in cealalta situatie. Avem posibile doua cazuri.Cazul I: f(x1)<f(x3)<f(x3). Din faptul ca f este o functie Darboux rezulta ca exista (x1,x2) (si deci c≠x3) cu f(c)=f(x3), imposibil caci f este injectiva.Cazul II: f(x3)<f(x1)<f(x2). Analog, deoarece f are proprietatea lui Darboux rezulta ca exista c(x2,x3) cu f(c)=f(x1), ce contrazice injectivitatea lui f.Suficienta este evidenta.Corolarul 1.2.4 (Ereditatea proprietatii lui Darboux) Daca f:IR are proprietatea lui Darboux pe I atunci f are aceasta proprietate pe orice subinterbal I0⊂I.Demonstratia este evidenta din propozitia 1.2.1, ii)Am vazut in Corolarul 1.2.1 ca compusa a doua functii Darboux este o functie Darboux. Cu ajutorul acestui rezultat demonstramPropozitia 1.2.2 Daca f:IR este o functie Darboux atuncii) |f|, f2, √¿ f∨¿¿ sunt functii Darboux;ii) Daca f(x)≠0 pentru oricare xI atunci si 1

f este o functie Darboux.

Demonstratie Se aplica pe rand Corolarul 1.2.1 pentru functia f si functiile g1(x)=|x|, g2(x)=x2, g3(x)=√¿ x∨¿¿, g4(x)=1

xRelativ la operatii algebrice cu functii Darboux facem remarca D1 nu este spatiu vectorial (in raport cu operatiile obisnuite de adunare si respective de inmultire cu un scalar real al functiilor reale).1.2.2 Continuitatea functiilor cu proprietatea lui Darboux Teorema 1.2.1 Daca f:IR are proprietatea lui Darboux si daca exista una din limitele laterale intr-un punct x0I atunci aceasta imita este egala cu f(x0).Demonstratie Presupunem ca exista f(x0-0)<f(x0)⇒ exista α astfel incat f(x0-0)<α<f(x0);⇒ exista V o vecinatate a lui x0 astfel incat oricare ar fi x<x0, oricare ar fi xV I I⇒f(x0)<α. Fie aV I I cu α<x0 ⇒ f(a)<α<f(x0), decu pentru oricare ar fi x(a,x0)⊂V avem f(x)<α, ceea ce arata ca f nu ia valoarea α in nici un punct cuprins intre a si x0, fals, deoarece f are proprietatea lui Darboux. ⇒ f(x0-0)=f(x0)Corolarul 1.2.5i) Daca f:IR are proprietatea lui Darboux atunci f nu are discontinuitati de speta I;ii) Daca f:IR are puncte de discontinuitate de speta I atunci f nu are proprietatea lui Darboux.Remarca 1.2.2 Daca f:IR monotona (deci nu are discontinuitati de speta a II-a si f are prorpietatea lui Darboux (nu are discontinuitati de speta I) atunci f este continuaMI#I DI⊂CIO prima implicatie intre prorprietatile de continuitate si proprietatea lui Darboux a fost pusa in evidenta de Bolzano in 1817 si Cauchy in 1821.Teorema 1.2.2 Daca f:IR este continua atunci f are proprietatea lui Darboux pe I.Demonstratie Fie f:IR o functie continua, a,bI cu a<b si f(a)<λ<f(b).Deoarece multimea Ad={x[a,b]:f(x)≤λ}Este marginita superior, rezulta ca exista c=sup A[a,b]. Cum cA, exista cnA cu cnc. Atunci f(cn)≤λ si din teorema lui Heine pentru continuitate rezulta f(c)≤λ. Remarcam ca c<b, caci in caz contrar ar rezulta f(b)≤λ, imposibil caci prin ipoteza λ<f(b).Atunci pentru orice t(c,b) avem ca t∉A si deci f(t)≤λ. De aici pentru tc obtinem ca f(c)≥λ. Caci si inegalitatea f(c)<λ, o demonstrasem mai sus, rezulta f(c)=λ. Evident, c≠a

(si deci c(a,b)) caci daca c=a atunci f(c)=f(a)=λ, absurd. In concluzie f(c)=λ cu c(a,b) si deci f este o functie Darboux pe I.Corolarul 1.2.6 Daca f:[a,b]R este o functie continua si f(a)⋅f(b)<0 atunci exista cel putin un punct x0(a,b) astfel incat f(x0)=0.Demontratie Din f(a)⋅f(b)<0 ⇒ f(a)<0 si f(b)>0 sau f(a)>0 si f(b)<0. Cum f este continua, are priprietatea lui Darboux, deci pentru λ=0 strict intre f(a) si f(b) exista x0(a,b) astfel incat f(x0)=0.Teorema 1.2.3 (Gleason) O functie Darboux f:IR este continua daca si numai daca pentru orice bR Multimea f-1({b}) este o multime inchisa relativ la I.Demonstratie Necesitatea rezulta imediat din teorema de continuitate globala, caci {b} este o multime inchisa si atunci din continuitatea lui f rezulta f-1({b}) este inchisa relativ la I. Suficienta se demonstreaza prin reducere la absurd. Presupunem deci ca exita x0I astfel incat functia f sa fie discontinua in x0I desi verifica conditia ca imaginea inversa a oricarui singleton este o multime inchisa relativ la I. Din teorema lui Heine pentru continuitate exista xnI cu xnx0 si l≠f(x0) cu f(xn)l.Presupunem, de exemplu l<f(x0). Atunci pentru orice λ(l,f(x0)) exista n astfel incat f(xn)<λ<f(x0)pentru orice n>n0. Cum f are P.D. exista cn cuprins intre xn si x0 astfel ca f(cn)=λ. Atunci cnx0 cu cnf-1({b}), adica f(x0)=λ absurd.1.3 Functii derivabile 1.3.1 Derivate de ordinul intai La orice f:IR si x0I asociem functia rf:I\{x0}R

rf(x)= f ( x )−f (x0)x−x0Definitia 1.3.1 Spunem ca functia f:IRi) Are derivata la stanga in x0I (diferit de extremitatea stanga a lui I), daca functia rf are limita la stanga in x0; prin definitie, numarul (din R)

f`s(x0)d=limx x0x< x0

rf (x)

se numeste derivata la stanga a functiei f in punctul x0.ii) Are derivata la dreapta in x0I (diferit de extremitatea dreapta a lui I), daca functia rf are limita la dreapta in x0; prin definitie, numarul (din R)f`d(x0)d=limx x0

x> x0

rf (x)

se numeste derivata la dreapta e functiei f in punctul x0.

iii) Are derivata in x0I, daca functia rf are limita in x0; prin definitie, numarul (din R)f` (x0)d=lim

x x0

r f (x)

se numeste derivata functiei f in punctul x0.iv) Este derivabila in x0I daca functia are limita finita in x0Numerele f`s(x0) si f`d(x0) (in ipoteza exista) se numesc derivatele laterale ale functiei f in punctul x0.Remarca 1.3.1 Functia f:IR are derivata in x0I daca si numai daca f are derivate egale in x0. Daca are derivata in x0I atuncif`(x0)=f`s(t0)=f`d(t0)Definitia 1.3.2 Functia f:IR se zicei) Derivabula la stanga in x0I (diferit in extremitatea stanga a lui I), daca f are derivata la stanga in x0 si f`s(x0)Rii) Derivabila la dreapta in x0I (diferit de extremitatea dreapta a lui I), daca f are derivata la dreapta in x0 si f`d(x0)Riii) Derivabila in x0I, daca f are derivate finite in x0iv) Derivabila lateral in x0I, daca f este derivabila la stanga si la dreapta in x0.Remarca 1.3.2 Functia f:IR este derivabila in x0I0 daca si numai daca f este derivabila lateral in x0 si f`s(x0)=f`d(x0).Definitia 1.3.3 Functia f:IR se zice diferentiabila in x0I, daca exista αR si ω:IR continua in x0I cu ωf(x0)=0, astfel caf(x)=f(x0)+α(x-x0)+ωf(x)|x-x0|pentru orice tI.Are locTeorema 1.3.1 O functie f:I→R este derivabila in x0I daca si numai daca f este diferentiabila in x0.Demonstratie. Necesitatea. Daca f este derivabila in x0I atunci notam cu α=f`(x0) si ωf:I→R definite prinωf(x)={ f ( x )−f (x0 )−f ( x0)(x−x0)

¿ x−x0∨¿¿0 , x=x0 , x I \{ x0 }

|ωf(x)|=| f ( x )−F (x0)x−x0

−f (x0)|=|rf(x)-f`(x0)|x→x0→0Rezulta ca f este diferentiabila in x0.Suficienta, daca f este diferentiabila in x0, atunci din Definitia 1.3.3 rezulta ca

rf(x)=α+ωf(x)⋅¿ x−x0∨ ¿x−x0

¿,de unde obtinem ca

|rf(x)-α|<ωf(x)x→ x0→ 0

si deci (via criteriului majorarii)existalimx→x0

r f (x )=αRAdica f este derivabila in x0 cu f(x0)=α.Corolarul 1.3.1 Daca f:I→R este derivabila in x0I atunci f este diferentiabila in x0⋅i deci (via Definitia 1.3.3) exista

limx→x0

f (x)= limx→x0

[ f (x0 )+α (x−x0 )+ωf (t )|x−x0|]= f (x0)

Ceea ce implica f este continua in x0.Remarca 1.3.3 Din observatia ca f(x)=f(x0)+(x-x0)rf(x), prin trecere la limita la stanga respectiv la dreapta in XQ se obtine imediat ca daca este derivabila la stanga (respectiv la dreapta) in x0 atunci f este continua la stanga (respectiv la dreapta) in x0. In consecinta, daca f este derivabila lateral in x0 atunci f este continua in x0.Definitia 1.3.4 Daca f:I→R este derivabila in x0I atunci functiad x0f:R→R, (d x0f)(x)=f`(x0)xse numeste diferentiala functiei f in punctul x0. Se observa, imediat ca daca f este derivabila in x0 atunci dxf este o aplicatie liniara pe R, adica

d x0f(αs+βx)=αd x0f(s)+βd x0f(t) pentru orice α,βR.Remarca 1.3.4 Problema derivabilitatii uneifunctii intr-un punct x0 se pune si pentru functii f:A→R, unde A nu este neaparat un interval. Pentru ca aceasta problema sa aibe sens este suficient ca x0A I A`.Operatii cu functii derivabile evidentiazaTeorema 1.3.2 Fie f,g:I→R derivabile in x0I si αR. Atunci f+g, α⋅f, f⋅g, si f

g (in ipoteza

g(x0)≠0) sunt derivabile in x0 sii) (f+g)`(x0)=f`(x0)+g`(x0);ii) (αf)`(x0)=af`(x0);iii) (f⋅g)`(x0)=g(x0)f`(x0)+f(x0)g`(x0)iv) ( fg ) (x0 )=

g (x0 ) f (x0 )−f (x0 )g (x0)

g2(x0)Demonstratia rezulta din Definitia 1.3.2 observand ca rf+g(x)=rf(x)+rg(x), rαf(x)=αrf(x),

rfg(x)=f(x)rg(x)+g(x0)rf(x)rf/g(x)= 1

g ( x ) g(x0)[g(x0)rf(x)-f(x0)rg(x)]

si pentru x→x0 se obtin regulile de derivare din enunt.Derivabilitatea functiilor compuse (derivabile) este considerata in Teorema 1.3.3 Fie I,JR si pentru f:I→J derivabila in x0 si g:J→R derivabila in y0=f(x0). Atunci g ∘ f este derivabila in x0 si(g∘f)`(x0)=g`(f(x0))⋅f`(x0)Demonstratie Daca g este derivabila in y0=f(x0) atunci g(y)=g(y0)+(y-y0)[g`(y0)+ωg(y)],unde ωg(y)=g ( y )−g( y0)

y− y 0 – g`(y0) pentru x≠x0 si ωg(y0)=0

are proprietatea ca este continua in y0. Atunci rg∘f(x)=g ( f ( x ) )−g( f (x0 ))

x−x0=rf(t)[g`(y0)+ωg(f(x))]

Daca f este derivabila in x0 atunci f este continua in x0 si deci ωg(f(x))→0 pentru x→x0. Prin trecere la limita pentru x→x0 in egalitatea precedenta se obtine afirmatia din enunt. Problema derivabilitatii inversei unei functii bijective derivabile este considerata in Teorema 1.3.4 Fie I,J⊂R si pentru f:I→J bijectiva. Daca i) f este derivabila in x0;ii) f(x0)≠0iii) f1 este continua in y0=f(x0), atunci f1 este derivabila in y0=f(x0) si (f1)(y0)= 1

f (x0).

Demonstratie. Se observa ca rf-1(y)= f −1 ( y )−f −1( y 0)

y− y0= 1

rf (f−1 ( y ))Prin trecere la limita y→y0 (posibila datorita conditiilor din ipoteza) se obtine concluzia din enunt.Concepte de derivabilitate pe o multime sunt introduse prin Definitia 1.3.5 O functie f:I→R se zice i) derivabila la stanga (respectiv la dreapta) pe multimea A⊂I, daca f este derivabila la stanga (respectiv la dreapta) in orice x0A;

ii) derivabila lateral pe A⊂I, daca este derivabila lateral in orice x0A;iii) derivabila pe multimea A⊂I, daca este derivabila in orice x0 A.Daca f:I→R este derivabila pe multimea A⊂I atunci functia care asociaza oricarui aA numarul real f(a) se numeste derivata pe multimea A a functiei f.1.3.2. Teorema lui Denjoy-Bourbakai O generalizare a teoremei lui Lagrange este teorema lui Denjoy-Bourbakai. Lema 1.3.1 Fie I⊂R un interval si f:I→R. Daca i) f este continua pe I;ii) exista o multime cel mult numarabila A⊂I cu proprietatea ca pentru orice sI/A si orice δ>0 exista x(s,s+δ) I I cu f(x)≥f(s), atunci f este crescatoare pe I.Demonstratie. Fie a,b iI cu a<b. Trebuie sa demonstram ca f(a)≤f(b). Fie λ ∉ lui f(A) cu λ<f(a) (aici intervine cardinalul lui A!). Consideram multimea Sλ={s[a,b]:λ≤f(s)}Evident Sλ≠0 (caci aSλ). In plus Sλ este marginita superior (caci snSλ cu sn⊂[a,b] si deci exista M=sup Sλ[a,b]).Deoarece M este un punct aderent pentru Sλ rezulta ca exista snlui Sλ SA cu sn→M. Din sn Sλ si faptul ca f este continua (in M) rezulta ca λ≤f(sn) si deci (1) λ≤f(M)De aici rezulta ca MSλ. Sa aratam ca M=b. Presupunem (prin absurd) ca M<b. Atunci M este punct aderent si pentru complementara lui Sλ, deci exista tn∉Sλ cu tn→M. Deci f(tn)<λ si din continuitatea lui f in M obtinem(2) f(M)≤λDin (1) si (2) rezulta f(M)=λ si deci M∉A. Pe de alta parte din M<b si din (ii) exista t(M,b) cu λ=f(M)≤f(x) si deci xSλ cu t>M, absurd.Deci pentru orice λ∉f(A) cu λ<f(a) avem λ≤f(b). De aici rezulta ca f(a)≤f(b), ceea ce trebuia demonstrat.Lema 1.3.2 Fie I⊂R un interval si f:I→R. Daca i) f este continua pe I;ii) exista o multime cel mult numarabila A⊂I cu cardA≤x0 astfel ca f este derivabila la dreapta pe I\A;iii) f`d(x)≥0 pentru orice xI\A, atunci f este crescatoare pe I. Demonstratie Din ipoteza (iii) rezulta ca pentru orice >0 si orice xԑ I\A exista δ=δ( ,t)>0 ԑincat pentru orice h (O,δ)

| f ( x+h )−f (x )h

-f`d(x)|<ԑde unde rezulta

- <f`ԑ d(x) - <ԑ f ( x+h )−f (x )h

<f``d+ԑsi deci f(x+h)-f(t)+h >0ԑ

pentru orice h apartine (O,δ) si orice xI\A. Daca notam gԑ(x)=f(x)+ atunci inegalitatea ԑprecedenta arata ca gԑ(x+h)-gԑ(x)≥0 pentru orice xI\A si orice h(0,δ). Din Lema 1.3.1 rezulta ca gԑ este crescatoare pe I, adica pentru orice x1,x2I cu x1<x2 avem gԑ (x1)<gԑ(x2) adica f(x1)≤f(x2)+ (xԑ 2-x1).Pentru →0 se obtine in final f(xԑ 1)≤f(x2) si deci f este crescatoare.Teorema 1.3.4. (Denjoy-Bourbaki) Fie I⊂R un interval, a,bI cu a<b si f:I→R. Daca

i) f este continua pe [a,b] ii) exista o multime cel mult numarabila A⊂(a,b) astfel incat f este derivabila la dreapta pe (a,b)\A atunci inf

t (a ,b)¿f`d(x)≤ f (b )−f (a)b−a

≤ ¿t (a ,b)¿f`d(x)

Formula lui Dejoy-BourbakiSa trecem acum la demonstratia teoremei lui Dejoy-BourbakiSa justificam inegalitatea

f (b )−f (a)b−a

≤ ¿t I ¿f`d(x)

(analog se procedeaza pentru justificarea celeilalte inegalitati din enunt)Daca M=∞ atunci inegalitatea este evidenta. Presupunem M<∞ si consideram functia F:I→R, F(x)=Mx-f(x)Se observa ca F indeplineste ipotezele Lemei 1.3.2 si deci F este crescatoare pe I. Atunci F(b)≥F(a), atunci M(b-a)≥f(b)-f(a), ceea ce trebuia demonstrat.Corolarul 1.3.2 Fie f,g:I→R continue pe intervalul I. Atunci i) f este constanta pe I daca si numai daca exista o multime cel mult numarabila A⊂I astfel incat f este variabila la dreapta pe I\A si f`d(x)=0 pentru orice xI\A

ii) f si g difera printr-o constanta pe I daca si numai daca exista o multime cel mult numarabila A⊂I astfel ca f si g sa fie derivabile la dreapta pe I\A sif`d(x)=g`d(x) pentru orice xI\A.Demonstratia este imediata din teorema lui Denjoy-Bourbaki.Evident, in teorema lui Denjoy-Bourbaki si in corolarul precedent derivabilitatea la dreapta poate fi inlocuita cu derivabilitatea la stanga sau cu derivabilitatea.

CAPITOLUL IICONCEPTE DE PRIMITIVE2.1 Primitive exacte2.2 Primitive generalizate2.1 Primitive exacteFie I⊂R un interval, f :I→RDefinitia 2.1.1 Functia f se zice primitivabila sau ca este o derivata pe I si notam f PI, daca exista F:I→R derivabila cu F`(x)=f(x) pentru orice xI.Functia F se numeste primitiva (sau primitiva exacta) pentru functia f (pe intervalul I).Evident, daca fPI atunci f are o infinitate de primitive, caci daca F este o primitiva pentru I atunci pentru orice CR si functia F+C este o primitiva pentru f.Daca f PI atunci vom nota cu∫ f sau ∫ f ( x )dx multimea tuturor primitivelor functiei f (pe I).Remarca 2.1.1 Daca f:I→R este primitivabila (pe I) atunci pentru orice doua primitive F1 si F2 a lui f avem ca F`1(x)=F`2(x)=f(x) pentru orice xIDin teorema Lagrange rezulta ca exista CR astfel ca F2(x)=C+F1(x) pentru orice xI.In consecinta, daca f:I→R este primitivabila atunci

∫ f ( x )dx={F+C :C R }d=F+R,pentru orice primitiva F a lui f pe intervalul I.Remarca 2.1.2 Sa notama cu D1 multimea functiilor derivabile F:I→R pe D1, definim relatia echivalenta F1 F2῀ d

⇔ exista CR cu F2=C+F1

Fie multimea D̂1 cat a lui D1 in raport cu aceasta relatie de echivalenta. Elementele lui D̂1sunt clase de echivalenta F̂=F+CDefinim aplicatia

d̂ : D̂→P1,d̂(F̂ ¿=F(numita si operatorulde derivare).Pe de alta parte, aplicatia P:P1→D̂1 si d̂∘P=1p1Si deci P si d̂sunt aplicatii inversabile cu P-1=d̂ .Datorita acestui fapt, prin abuz de limbaj, se spune ca operatiile de derivare si respective primitivare sunt inverse una alteia. Remarca 2.1.3 Daca f:I→R este primitivabila, x0I si C0R atunci exista o unica primitiva F0 a lui f cu F0(x0)=C0. In adevar, daca F este o primitiva pentru f (exista caci fP1) atunciF0:I→R, F0(x)-(F(x0)-C0).este o primitiva pentru f cu F0(x0)=C0. Unicitatea este imediata. Remarca 2.1.4 O functie f:I→R este primitivabila pe intervalul I daca si numai daca este primitivabila pe orice segmen [a,b]⊂I. Evident, daca fP1 atunci fP[a,b] pentru orice [a,b]⊂I. Reciproc, presupunem ca f este primitivabila pe orice segment inclus in I si consideram un sir de segmente In=[an,bn] cu In+1 Yn N In=I

Fie F0:I0→R o primitiva a lui f pe I0 si x0I0 (fixat). Notam cu C0=F0(x0). Din Remarca 2.1.2 pentru orice n≥1. Exista Fn:in →R cu Fn(x0) = C0 (din Remarca 2.1.2) rezulta ca Fm este o prelungire a lui Fn la Im. Este posibila atunci definirea functiei F:I→R, F(x)=Fn(x) pentru xin.Se vede ca F este corect definita si in plus este o primitiva pe I pentru functia f.Un rezultat fundamental in teoria functiilor primitivabile este datorat matematicianului francez Gaston Darboux (1842-1917) enuntat in Teorema 2.1.1 (Darboux) Daca functia f:I→R, este primitivabila pe intervalul I atunci f are proprietatea lui Darboux, adica P1⊂D1Demonstratie Fie F o primitiva a functiei f iar a,bI cu a<b si λ cuprins intre f(a) si f(b), sa zicem f(a)<λ<f(b). Atunci functiaG:[a,b]→R, G(x)d¿F(x)-λx

Este derivabila cu

G`(a)=f(a)-λ<0<f(b)-λ=G`(b).Functia G este continua (fiind derivabila) pe segmentul [a,b] si deci exista c[a,b] in care G isi atinge marginea inferioara. Sa aratam ca c(a,b), adica c≠a si c≠b. In adevar, din G`(a)=lim

x→ax >0

G ( x )−G(a)x−a <0

Rezulta ca exista r>0 cu G(x)<G(a) pentru orice x(a,a+r) si deci c≠a. Analog din G`(b)>O rezulta ca c≠b. Deci c este un punct de minim pentru G cu c(a,b) si din teorema lui Fermat rezulta ca G`(c)=0, adica f(c)=λ. In concluzie f este o functie Darboux.Corolarul 2.1.1 Orice primitiva a unei functii primiti valabile f:I→R* este strict monotona.Demonstratie Daca F este o primitiva a functiei f:I→R* atunciF`(x)=f(x)≠0 pentru orice xI.Cum f are proprietatea lui Darboux, rezulta ca f >0 pe I sau f<O pe I. De aici (via o consecinta a teoremei lui Lagrange) obtinem ca F este strict monotona pe I. Corolarul 2.1.2 Orice functie primitivabila f:I→R cu valori reale nu are discontinuitati de speta intai. Demonstratie Daca fP1 atunci fD1 si rezulta ca D1(f)= ∅Corolarul 2.1.3 Orice functie monotona discontinua f:I→R nu este primitivabila. Demonstratie Daca functia monotona f este discontinua in x0I, atunci (via M1# ⊂R1) x0D1(f) si conform cu Corolarul 2.1.2 rezulta ca f∉P1. Corolarul 2.1.4 Daca f:I→R este primitivabila si g:I→R are proprietatea ca multimea Ad¿{xI:g(x)≠f(x)}

Este nevida si cel mult numarabila atunci g nu este primitivabila. Demonstratie Daca g ar fi primitivabila , atunci si g-f ar fi primitivabila si deci (via teoremei lui Darboux) avem ca (g-f)(I) este un interval, ceea ce este imposibil caci (g-f)(I)=A Y {0}.Incluziunea pusa in evidenta de teorema lui Darboux este stricta.Pentru a arata ca P1 este un spatiu vectorial real demonstram Propozitia 2.1.1 Daca f,g:I→R sunt primitivabile si α,βR atunci αf+βg este primitivabila, in plus, daca α2+β2>0, atunci∫ αf +βg=¿α∫ f +β∫ g¿

Demonstratie Fie F∫ f si G∫ g. Atunci H=αF+βG este derivabila cu H`= αF`+βG`=αf+βgd¿h. De aici rezulta ca

α∫ f+β∫ g pentru orice α,βRPentru a demonstra incluziunea reciproca in cazul α2+β2>0 presupunem ca β≠0 si fie H

∫ h, F∫ f atunciGd¿H−αFβ

este derivabila cu G`=h−αfβ

=gAdica G∫ g. In plus H=αF+βG α∫ f+β∫ g. Am demonstrat astfel incluziunea

∫(αf + βg)⊂α∫ f+β∫ gpentru α2+β2>0Ceea ce trebuia demonstratRemarca 2.1.5 Egalitatea din enuntul propozitiei precedente nu ramane adevarata in cazul α=β=0. In adevar, daca α=β=0 atunci pentru orice f,gP1∫(αf + βg)=∫0=R≠{0}=α∫ f+β∫ gProdusul a doua functii primitivabile nu este intotdeauna o functie primitivabila.O conditie suficienta de primitivabilitate a produsului a doua functii primitivabile pune in evidenta.Propozitia 2.1.2 Daca f:I→R este primitivabila si g:I→R de clasa C1 pe I atunci f,g este primitivabila pe I

Demonstratie Fie F o primitiva a lui f si F1d¿F⋅g. Atunci F1 este derivabila cu F`1=fg+Fg`. Cum Fg` este continua rezulta ca este primitivabila. Fie G o primitiva a lui d.Fg` functia Hd¿F1-G este derivabila pe I cu H`=F`1-G`=fg+Fg`-Fg`=fg, adica fg este primitivabila si H este primitiva sa.In general, daca f este primitivabila si g continua nu rezulta ca fg este primitivabila, daca in plus, f nu se anuleaza pe I atunci are loc.Propozitia 2.1.3 Daca f:I→R* este primitivabila si g:I→R este continua atunci fg este primitivabila.Demonstratie Fie F o primitiva a lui f. Cum f=F` pastreaza un semn constant (fiind nenula, cu proprietatea lui Darboux) rezulta ca F este strict monotona. Atunci F-1 este derivabila pe F(I) si deci g∘F-1 este continua pe F(I). In consecinta g∘F-1 este primitivabila pe F(I). Fie G o primitiva a lui g∘F-1. Atunci (G∘F)`=(G`∘F)⋅F`=(g∘F-1∘F)⋅f=gfSi deci fg este primitivabila.

Corolarul 2.1.5 Daca f:I→R este primitivabila si marginita, iar g:I→R este continua, atunci f g este primitivabila.Demonstratie Fie mR cu f>m. Atunci f1=f-m este primitivabila si nenula. Don Propozitia 2.1.3 rezulta ca fg este primitivabila, ceea ce implica faptul ca fg=f1g+mg este de asemenea primitivabila.Remarca 2.1.6 Din demonstratia Corolarul 2.1.5 rezulta ca ipoteza de marginire a functiei f din Corolarul 2.1.5 poate fi inlocuita cu cea de marginire inferioara sau marginire superioara.In legatura cu catul de functii primitivabile are loc urmatorul rezultat datorat matematicianului ceh W. Jarnik (1897-1970): Din demonstratia Corolarul 2.1.5 rezulta ca ipoteza de marginire a functiei f din Corolarul 2.1.5 poate fi inlocuita cu cea de marginire inferioara sau marginire superioara.In legatura cu catul de functii primitivabile are loc urmatorul rezultat datorat matematicianului ceh W. Jarnik (1897-1970):Propozitia 2.1.4 (W. Jarnik) Daca f:I→R* sunt primitivabile atunci catul lor f

g are

proprietatea lui Darboux.Demonstratie Fie h=f /g, iar a,bI cu a<b si λ cuprins intre h(a) si h(b), de exemplu h(a)<λ<h(b). Deoarece g are proprietatea lui Darboux si g≠0 rezulta ca g pastreaza un semn constant pe I, deci g(a) si g(b) au acelasi semn. Presupunem, de exemplu, ca g(a)>0, g(b)>0. Dinf (a)f (b)

<λ<f (b)g (b)

rezulta ca f(a)-λg(b)<0<f(b)Cum f-λg are proprietatea lui Darboux (fiind primitivabila) exista c(a,b) cu f(c)-λg(c)=0, adica h(c)=λ si deci h are proprietatea lui Darboux.O conditie suficienta pentru ca compusa a doua functii primitivabile sa fie primitivabila este data dePropozitia 2.1.5 Fie f:I→R primitivabila si f:I→R* de clasa C1 pe 1. Daca h este o primitiva a functiei f /g atunci f∘h este promitivabila.Demonstratie Fie F o functie a lui f. Atunci functia

G:I→R, G(x)d¿g(x)⋅F(h(x))Este derivabila cu G`(x)=g`(x)F(h(x))+g(x)f(h(x))h`(x)=g`(x)F(h(x))+f(h(x))Pentru orice xI. De aici si din faptul ca g` este continua si F∘h este continua rezulta ca f∘h este primitivabila.

Am vazut (Remarca 2.1.4) ca primitivabilitatea unei functii f:I→R este echivalenta cu primitivabilitatea pe orice segment [a,b]⊂I. Deci rezulta ca este imortant sa cunoastem criterii de primitivabilitate pe segmente. Rezultatul esential al acestei sectiuni este faptul ca orice functie continua pe un segment este primitivabila. Pentru aceasta este suficient sa demonstram ca orice functie f:[a,b]→R continua este primitivabila. In vederea demonstrarii acestui rezultat fundamental de calcul integral avem nevoie de cateva rezultate preliminarii.Fie deci f:[a,b]→R marginita, iar m respectiv M marginea inferioara respectiv superioara a lui f pe [a,b].Pentru orice diviziune d={a=x0,x1,...,xn=b} a segmentului [a,b] sa notam cu mk respectiv Mk marginea inferioara respectiv superioara a functiei f pe intervalul Ik=[xk-1,xk] unde k{1,...n}.Definitia 2.1.2 Numarul reals(f,d)=∑

k=1

n

mk(xk-xk-1)se numeste suma inferioara Darboux a functiei marginite f:[a,b]→R in raport cu diviziunea d.Remarca 2.1.7 Din m≤mk≤Mk≤M, prin inmultire cu (xk-xk-1) si apoi insumare de la 1 la n rezulta m(b-a)≤s(f,d)≤M(b-a)pentru orice diviziune d a segmentului [a,b]. De aici obtinem ca multimea tuturor sumelor inferioare Darboux ale functiei (marginite) f:[a,b]→R este o multime marginita. Aceasta proprietate permite sa damDefinitia 2.1.3 Numarul real

Id¿ ¿ds(f,d)

Se numeste integrala inferioara Darboux a functiei (marginite) f:[a,b]→R pe segmentul [a,b] si se noteaza cu∫−a

a

f sau ∫−a

a

f (x )dx

Remarca 2.1.8 Din cele mai sus rezulta cam(b-a)≤∫

−a

a

f (x )dx≤M(b-a)Are locPropozitia 2.1.6 Fie I:[a,b]→R marginita si

f:I→R, F(x)d¿∫−a

x

f

Atuncii) F(b)=F(c)+∫

−c

b

f pentru orice c(a,b)ii) Exista L>0 cu | F(x`)-F(x``)|≤L |x`-x``| pentru orice x`,x``I (adica F este lipschitziana pe I)Demonstratiei) Fie c(a,b), iar d1 respectiv d2 diviziuni (arbitrare) ale segmentelor I1=[a,c] si respectiv I2=[c,b]. Notand cu d=d1 Y d2, atuncis(f,d1)+s(f,d2)=s(f,d)≤F(b)Trecand la supremum in raport cu d1⋅i si apoi in raport cu d2 se obtine

F(c)+∫−c

b

f≤F(b)In vederea demonstrarii inegalitatii de sens contrar consideram o diviziune d (arbitrara) a segmentului I.Daca cd atunci notand d1=d I [a,c] si respectiv d2=d I [c,b] avem

s(f,d)=s(f,d1)+s(f,d2)≤F(c)+∫−c

b

f

Aceasta inegalitate ramane adevarata si in cazul in care c∉d.In adevar, daca c∉d atunci notand d*=d Y {c} avems(f,d)≤s(f,d*)≤F(c)+∫

−c

b

f

Prin trecere la supremum in raport cu d rezulta egalitatea de la (i), ii) Fie x`, x``I cu x`<x`` si L= ¿

t I |f(x)|. Atunci din i) rezulta| F(x`)-F(x``)|=|∫

x

x

f|≤L ( x −x )=L|x −x |

ceea ce trebuia demonstrat.Teorema 2.1.2 Orice functie continua f:I→R este primitivabila, adica C1⊂P1Acest rezultat a fost demonstrat prima data de Isaac Barrow.Demonstratie Din