TeoriePentru ExamenAnalizaSeriilorDeTimp

8/3/2019 TeoriePentru ExamenAnalizaSeriilorDeTimp

http://slidepdf.com/reader/full/teoriepentru-examenanalizaseriilordetimp 1/30

ANALIZA ŞI PREVIZIUNEA SERIILOR DE TIMP

1. Analiza componentelor deterministe ale unei serii de timp

1.1. Comp onentele unei serii de timp

În derularea activităţii lor, agenţii economici sunt puşi în situaţia de a anticipa viitorul, iar apoi de a lua decizii în consecinţă. Anticiparea, previziunea evoluţiei indicatorilor economicişi financiari presupune în primul rând cunoaşterea istoricului acestora, punerea în evidenţă aunor legităţi privind comportamentul lor trecut. Baza de date pe care se fundamenteazăanaliza evoluţiei indicatorilor în timp este constituită din serii de timp (sau serii cronologice).

O serie de timp constă într-o secvenţă de observaţii asupra unei variabile ,Y ordonate

după parametrul timp T y y y ,....,, 21 . Frecvent, măsurătorile asupra variabilei sunt efectuate la

intervale echidistante de timp:

T t y y y y

T t Y

......

......21:

21

Seria de timp formată cu valorile observate T y y y ,....,, 21 constituie o realizare a secvenţei de

variabile aleatoare T Y Y Y ,....,, 21 , adică a unui proces stochastic de tip discret. Evoluţia uneivariabile în timp este reprezentată printr-un proces stochastic (sau proces aleator). Secvenţa devariabile aleatoare Z t t Y ∈)( defineşte un proces stochastic de tip discret . Pentru fiecaremoment de timp t , relativ la variabila aleatoare Y t dispunem de o singură observaţie. În cele ceurmează vom utiliza aceeaşi notaţie, respectiv Y t , atât pentru variabila aleatoare cât şi pentru

valoarea observată aferentă momentului t .Scopul analizei univariate a seriilor de timp constă în înţelegerea şi modelareamecanismului de generare a termenilor seriei, în scopul anticipării valorilor viitoare; se are învedere, în esentă, modelarea dependenţei dinamice a variabilei t Y , ataşate perioadei curente,

de nivelurile înregistrate în perioadele anterioare ,...},{ 21 −− t t Y Y .În abordarea clasică, fluctuaţiile din seriile de timp sunt privite ca o rezultantă a

suprapunerii a patru componente: tendinţa T , componenta ciclică C , componenta sezonieră S ,respectiv componenta neregulată ε . Aceste componente sunt considerate a fi independente.Tendinţa, componentă ciclică şi componenta sezonieră se numesc componente sistematice.Modelul de descompunere este de regulă: a) aditiv t t t t t S C T Y ε +++= , b) multiplicativ

t t t t t S C T Y ε ⋅⋅⋅= sau c) o combinaţie mixtă a componentelor seriei. Modelul multiplicativ poate fi transformat într-unul aditiv, prin logaritmare.

Tehnicile de analiză univariată a seriilor de timp au ca obiective: a) separarea, descriereaşi modelarea fiecărei componente în parte, respectiv b) previziunea fiecăreia dintrecomponente, iar apoi compunerea în scopul generării de previziuni (“descompune pentru amodela, iar apoi recompune”). Extrapolarea tendinţei respectiv a celorlalte componenteconduce la previziuni adecvate în condiţiile în care: a) modelul estimat reuşeşte să surprindăceea ce este esenţial, repetabil, în comportamentul trecut, respectiv b) comportamentulfactorilor externi ce determină schimbări în timp în nivelul înregistrat de variabila Y rămâneşi pe viitor aproximativ acelaşi.

Modelul de descompunere trebuie utilizat cu precauţie, întrucât cele patru componentesunt neobservabile, iar descompunerea se poate realiza într-o infinitate de moduri. Pentru camodelul să fie identificabil este necesară definirea celor patru componente. În modelele

1



structurale pentru serii de timp componentele seriei sunt estimate simultan. O altă abordareutilizează diverse filtre, în scopul estimării şi extragerii unei componente, acestea fiind mai

puţin dependente de proprietăţile stochastice ale seriei. O mare parte din metodele moderne deanaliză nu necesită însă separarea componentelor. În continuare prezentăm o descriereintuitivă a celor patru componente.

Tendinţa sau tendinţa generală redă evoluţia variabilei pe termen lung. Evoluţiamajorităţii indicatorilor financiari şi macroeconomici este dominată de tendinţă. Inflaţia, progresul tehnic, evoluţia economică generală, creşterea populaţiei, impulsurile cu efect permanent asupra variabilei, sunt câţiva din factorii ce imprimă un trend crescător saudescrescător variabilelor din economie. Atunci când seria nu are tendinţă, valorile salefluctuează în jurul unei constante, fiind staţionară relativ la medie; media seriei este constantă

pe întreaga perioadă de timp.O serie de timp poate prezenta tendinţa deterministă , tendinţa stochastică sau ambele

tipuri de tendinţă. Intuitiv, tendinţa deterministă are alura unei funcţii netede, neperiodice, lentvariabile în timp, iar seria fluctuează staţionar în jurul acesteia. Efectul şocurilor asupravariabilei este tranzitoriu, seria revine la tendinţă (tendinţa se manifestă precum un atractor).

De regulă pentru modelarea unei tendinţe deterministe sunt adecvate funcţia liniară,exponenţială, hiperbolă, parabolă, sau o funcţie liniară cu modificări vizibile ale pantei laanumite momente de timp.

Conceptul de tendinţă deterministă s-a dovedit însă a fi prea restrictiv. Majoritateavariabilelor din economie prezintă o tendinţă variabilă în timp, intuitiv aceasta modificându-şialura la intervale mai lungi sau mai scurte de timp. Media seriei creşte sau descreşte local,fără a reveni la medie sau la o tendinţă deterministă vizibilă, pe termen lung; graficul săusugerează o evoluţie aleatoare nestaţionară. Nivelul şi panta tendinţei se modifică în timp.Acest tip de tendinţă se consideră a fi stochastică, sau aleatoare. Un exemplu tipic de tendinţăstochastică este procesul aleator de tip mers aleator; acest model este utilizat deseori pentru adescrie evoluţia indicilor bursieri sau a cursurilor valutare. În cazul unei tendinţe stochasticeefectul şocurilor asupra variabilei este permanent. O serie cu tendinţă stochastică se mainumeşte serie integrată , sau cu rădacină unitate.

Componenta ciclică este observabilă analizând evoluţia variabilei pe termen lung, şi semanifestă sub forma unor oscilaţii cu perioadă şi amplitudine mai mult sau mai puţinconstante în timp; un ciclu acoperă un anumit număr de ani. În economie, componenta ciclicăse regăseşte sub forma ciclurilor de afaceri, perioade de relativă expansiune fiind urmate de ocontracţie a activităţii economice. La nivel macroeconomic, ciclul economic (sau de afaceri)se studiază de regulă pe seria ce redă evoluţia PIB-ului real, a producţiei industriale sau a unuiindicator pentru piaţa forţei de muncă precum rata şomajului. Metodele uzuale de analiză aciclicităţii au la bază analiza spectrală; de regulă componenta ciclică se consideră ca fiind

rezultatul suprapunerii unor oscilaţii armonice cu perioade între 2 şi 11 ani. Componenta sezonieră se evidenţiază sub forma unor cicluri de durată mai mică sauegală cu un an, şi apare în principal datorită ritmului impus de anotimpuri, dar şi de diverseregularităţi în activitatea economică, prezenţa unor sărbători, vacanţe, obiceiuri. Esteobservabilă pe date subanuale, iar un ciclu sezonier acoperă un an, când datele sunttrimestriale sau lunare, o săptămână, când datele sunt zilnice, ş.a.m.d.. Prezintă interes, deasemenea, eliminarea sezonalităţii din date adică desezonalizarea, şi măsurarea intensităţiisezonalităţii. Desezonalizarea se realizează prin utilizarea unor filtre adecvate.

Componenta neregulată, sau aleatoare, se manifestă prin fluctuaţii aparent neregulate în jurul celor trei componente sistematice. Componenta neregulată se presupune a fi staţionară ,între termenii ei existând prezumţia de autocorelare. Nivelul curent

t Y este de regulă corelat

cu nivelurile înregistrate în trecut ,...},{ 21 −− t t Y Y . Componenta neregulată este prezentă în toateseriile cronologice, în timp ce o serie poate prezenta sau nu tendinţă, fluctuaţii ciclice sau

2



sezoniere. Deseori, cronograma seriei şi natura indicatorului sugerează componentele prezente.

În analiza seriilor de timp este necesar ca lungimea perioadei observate să fie suficient delungă, pentru a face posibilă estimarea unui model care să surprindă mecanismul real degenerare al datelor, respectiv să permită identificarea componentelor ce surprind evoluţia pe

termen lung (tendinţa şi/sau ciclicitatea). În acelaşi timp datele trebuie să rămână comparabileîn timp. Mediul în care evoluează fenomenul este necesar să rămână în esenţă acelaşi. În cazulmetodelor clasice, nu este indicat a se utiliza serii de timp ce acoperă perioade de schimbăristructurale, economice sau politice, majore, sau alte evenimente excepţionale; în analizaevoluţiei majorităţii indicatorilor economici pentru ţara noastră este indicat ca datele săînceapă după 1990. Sunt dezvoltate şi modele specifice ce permit schimbări structurale înnivelul indicatorilor. Dacă este necesar, unii indicatori vor fi exprimaţi în preţuri comparabile(sau în termeni reali). Frecvenţa măsurătorilor este condiţionată şi de practică. Spre exemplu,PIB-ul se raportează anual şi trimestrial, pentru indicele bursier, cursul acţiunilor sau cursulvalutar dispunem de date zilnice, profitul entităţilor economice este raportat anual. Seriile cudate anuale nu fac posibilă observarea şi analiza componentei sezoniere.

Exemplu 1. Componentele unei serii de timp: descriere intuitivă . Evoluţia trimestrială aPIB-uui, în perioada trimestrul I 1998-trimestrul I 2009, este redată în figura 1. Graficul serieiindică prezenţa unei tendinţe de creştere, a unei sezonalităţi pronunţate (cu o perioadă de 4trimestre), respectiv a unei componente neregulate. Componenta ciclică nu este vizibilă, deşieste prezentă. Pentru estimarea şi separarea componentelor: tendinţă-ciclu, sezonalitate şicomponentă aleatoare, s-a utilizat metoda Tramo/Seats. În etapa a doua, pentru estimarea şisepararea tendinţei şi a ciclului, din componenta tendinţă-ciclu, s-a utilizat filtrul Hodrick-Prescott. Ambele metode sunt implementate în softul EViews.

Figura 1. Evoluţia PIB-ului real în România

12000

16000

20000

24000

28000

32000

36000

40000

1998 2000 2002 2004 2006 2008

Modelul de descompunere este cel multiplicativ în cazul metodei Tramo-Seats, respectivaditiv pentru filtrul Hodrick-Prescott. Prin urmare, datele observate se obţin prin compunereaacestor componente: t t t t t t t t S TC S C T Y ε ε ⋅⋅=⋅⋅+= )( .

Estimarea şi separarea componentelor, din seria observată, permite o descriere intuitivă aacestora. Variaţiile ciclului în jurul tendinţei, măsurate aditiv ( t t C T + ), indică prezenţacâtorva cicluri în economia României: -2000, 2000-2003, 2003-2005, 2005-2009. Constatămdouă perioade de recesiune abruptă, prima acoperă intervalul 1998-2000 iar următoareaîncepe în anul 2008. Componenta sezonieră şi cea aleatoare sunt măsurate multiplicativ (

t t t t S TC Y ε ⋅⋅= ) iar în grafic sunt indicate în procente. În trimestrele I şi II valorile PIB-uluisunt mai mici decât media (în medie cu 36% respectiv 15%), iar în trimestrele III şi IV se

observă valori peste medie (cu 18% respectiv 31%). Figura 2. Descompunerea seriei PIB pe componente

3



18000

20000

22000

24000

26000

28000

30000

32000

34000

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

TENDINTA

-800

-400

0

400

800

1200

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

COMPONENTA CICLICA

60

70

80

90

100

110

120

130

140

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

COMPONENTA SEZONIERA

98

99

100

101

102

103

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

COMPONENTA NEREGULATA

Componenta pe termen lung tendinţă-ciclu este asimilată mediei. Acest comportament esteindicat de graficul componentei sezoniere, ce are alura unei funcţii periodice cu perioadaegală cu 4 unităţi de timp (trimestre); valorile de maxim corespund trimestrului IV iar cele deminim trimestrului I, fiind aproximativ cu 30% mai mari respectiv mai mici decât 100.Componenta neregulată are o contribuţie mai importantă în prima şi ultima parte a perioadei,după cum se poate anticipa şi din figura 1.

Exemplu 2. Tendinţă deterministă, sezonalitate periodică, componentă neregulată

autocorelată . Cele trei componente, tendinţa deterministă liniară, componenta sezonieră periodică, respectiv componenta neregulată sunt generate aici de următoarele trei ecuaţii:

- tendinţa deterministă liniară ;08.0100 t T t +=

- componenta sezonieră este generată de o funcţie periodică cu perioada egală cu 12unităţi de timp: )6/sin(5.2 π t S t = ;

- componenta neregulată prezintă autocorelaţie, fiind generată de modelul staţionar autoregresiv t t t u+= −16.0 ε ε , unde )1,0( N ut ∈ sunt independente şi distribuite după legeanormală. Graficul componentei neregulate, notată cu Eps, este redat în figura 3.

Compunând aditiv cele trei componente t t t t S T Y ε ++= rezultă graficul din figura 3. Înacest caz tendinţa şi sezonalitatea sunt deterministe, doar componenta aleatoare este de naturăstochastică. Din graficul seriei Y se observă că peste tendinţa liniară crescătoare se suprapuneo sezonalitate cu perioada 12 unităţi de timp; caracterul neregulat al graficului este dat de

componenţa aleatoare t ε . Atunci când amplitudinea sinusoidei este mai mică, caracterulsezonier al datelor este mai puţin vizibil din grafic. Referitor la graficul componenteineregulate Eps, modelul autoregresiv generează o serie staţionară cu valori autcorelate. Deşigraficul acesteia indică o evoluţie aparent aleatoare, totuşi valorile succesive sunt corelateîntre ele; aceste corelaţii sunt măsurate utilizând un coeficient de corelaţie specific seriilor detimp, numit coeficient de autocorelaţie.

Figura 3. Graficul seriei t t t t S T Y ε ++= şi a componentei neregulate t ε

4



96

98

100

102

104

106

108

110

112

25 50 75 100

Seria Y= T+S+Eps

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

25 50 75 100

Componenta neregulata Eps

Exemplu 3. Tendinţă deterministă liniară versus tendinţă stochastică: prezentare grafică.Graficul următor redă, comparativ, evoluţia unei serii de timp ce are o tendinţă deterministăliniară respectiv tendinţă stochastică:

a) tendinţa deterministă liniară: t t t t t T Y ε ε ++=+= 08.0100 , t=0,1,2,...,200;

b) tendinţa stochastică: t t t Y Y ε += −1 , pentru t=1,2,...,200 şi valoarea iniţială 1000 =Y ,

unde componenta neregulată )1,0( N t ∈ε este o secvenţă de variabile aleatoare independenteşi normal distribuite; au fost generate 200 de valori (utilizând funcţia nrnd din EViews).

Figura 4. Tendinţă deterministă versus tendinţă stochastică

Pentru seria cu tendinţă deterministă, observaţiile revin la ecuaţia de tendinţă.08.0100 t T t += Se mai spune, în literatura de specialitate, că seria este staţionară relativ

la tendinţă , sau „trend stationary”. Evoluţii de acest tip se întâlnesc mai rar în practică.Ecuaţia ce a generat tendinţa stochastică t t t Y Y ε += −1 este ecuaţia unui proces de tip mers

aleator . Această ecuaţie, relativ „simplă”, generează, pentru diferite secvenţe de valorialeatoare ale componentei neregulate, o infinitate de evoluţii nestaţionare, foarte diferite ca şi

aspect grafic. Majoritatea seriilor din economie au un comportament apropiat de cel de tipmers aleator.

1.2. Modelarea tendinţei deterministe prin funcţii elementare

Evoluţia indicatorilor din economie este de regulă dominată de tendinţă, ceea ce justificăimportanţa acordată acestei componente. Când evolutia unui indicator este dominata de otendinta lent variabila in timp, aceasta poate fi modelata prin functii elementare. Vomconsidera în acest paragraf că seria prezintă tendinţă deterministă , ce poate fi modelatăsuficient de bine prin funcţii elementare, şi componentă aleatoare, modelul de descompunerefiind aditiv respectiv multiplicativ:

t t t T Y ε += , respectiv t t t T Y ε ⋅= .

5



Atunci când este suficient de netedă, şi o tendinţă stochastică se poate modela printr-o funcţieelementară; distincţia între o tendinţă deterministă şi una stochastică este dificil de făcut, doar în baza graficului seriei. Cele mai uzuale funcţii utilizate pentru modelarea tendinţeiindicatorilor din economie sunt: functia liniară bt aT t += , polinomul de gradul doi

2ct bt aT t ++= , functia exponentiala t

t baT ⋅= , functia putere b

t t aT ⋅= sau functia

logaritmica t baT t ln+= . Estimarea parametrilor tendinţei. Pentru estimarea parametrilor tendinţei liniare:

bt aT t +=

se utilizează metoda celor mai mici pătrate, expusă în cadrul regresiei. Rolul variabileiexogene (independente) este luat aici de variabila timp t:

nt bt aY t t ,...,2,1=++= ε .Expresiile de calcul ale parametrilor a, b sunt deci următoarele:

).()(

)]([)(

)()()(22

t bM Y M a

t M t M

Y M t M tY M b

−=

−

−=

Seria prezintă o tendinţă de creştere atunci când b > 0, respectiv de descreştere când b < 0.Precizăm că variabila timp se măsoară cu ajutorul scalei de interval, astfel că originea

scalei respectiv unitatea de măsură se pot stabili în mod arbitrar. De regulă se asociază valori pentru variabila timp de tipul nt ,...,2,1= sau 1,...,2,1,0 −= nt .

Funcţiile neliniare amintite pot fi aduse la o formă liniară prin anumite substituţii,respectiv prin aplicarea operaţiei de logaritmare în cazul funcţiei exponenţiale şi a funcţiei

putere. Spre exemplu, în cazul tendinţei exponenţiale:t

t baT ⋅= ,considerând un model de descompunere multiplicativ t t t T Y ε ⋅= , operaţia de logaritmare aambilor membri conduce la:

t t bt aY ε lnlnlnln ++= .Prin substituţiile t t Y Z ln= , t t b Ba A ε η ln,ln,ln === se obţine forma liniarizată:

t t Bt A Z η ++= .Aplicând metoda celor mai mici pătrate, se determină A, B:

[ ]

)()(

)()(

)()()(22

t bM Z M A

t M t M

Z M t M tZ M B

−=−

−=

unde s-a notat Y Z ln= , variantele variabilei Z fiind valorile observate logaritmatent Y Z t t ...,,2,1,ln == . Odată calculaţi A respectiv B se pot determină parametrii

tendinţei exponenţiale B A ebea == , .În cazul tendinţei parabolice:

t t cX bt aY ε +++= unde ²t X = , pentru estimarea parametrilor a, b, c se utilizează relaţiile de calcul deduse încadrul regresiei liniare multiple.

Exemplul 3. Estimarea tendinţei liniare. Evoluţia anuală a PIB-ului real în SUA, perioada 1995-2006 este redată în tabelul următor. Acest exemplu are caracter de exerciţiu; îngeneral, problema identificării şi estimării tendinţei se pune urmărind evoluţia indicatorului

pentru perioade mai lungi de timp.

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PIB 48.5 49.8 51.7 53.7 55.6 57.0 57.2 58.2 59.6 61.9 63.6 65.4

6



Cronograma seriei sugerează prezenţa unei tendinţe liniare, peste care se suprapune ocomponentă aleatoare de amplitudine redusă:

.11,...,1,0, =++= t bt aY t t ε

48

52

56

60

64

68

72

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

Evolutie PIB Tendinta liniara. Previziuni

Pentru variabila timp s-au asociat valori de tipul 11,...,2,1,0=t . Parametrii tendinţei sedetermină din relaţiile:

[ ]

).()(

)()(

)()()(22

t bM Y M a

t M t M

Y M t M tY M b

−=

−

−=

Exemplificăm din calculele intermediare:

612

11210)( =

++++=

t M

84.5612

4.658.495.48)( =

+++=

Y M

06.33012

)4.6511()8.491()5.480()( =

×++×+×=

tY M

16,4212

11210)(

22222

=++++

=

t M

.82.48646.184.56

46.1)6(16.42

84.56606.3302

=×−=

=−×−

=

a

b

Tendinţa seriei este estimată prin funcţia de gradul întâi:,46.182.48 t T t += unde 11,...,2,1,0=t

al cărei grafic este redat în figura precedentă. Prin extrapolarea tendinţei, rezultă următoarele previziuni, aferente anilor 2007 şi 2008: 33.661246.182.48)12(2̂007 =×+=== t T Y respectiv 79.671346.182.48)13(ˆ

2008 =×+=== t T Y . Valoarea inregistrată în 2007 a fostde 66.59, fiind apropiată de cea generată prin extrapolarea tendinţei.

Exemplul 4. Estimarea tendinţei exponenţiale. Evoluţia PIB-ului nominal (miliarde euro, preţuri curente) pentru România, perioada 1999-2008, este redată în următorul tabel:

T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 PIB 33.8 40.7 45.4 48.6 52.6 61.1 79.8 97.8 124.7

t Z =ln(PI

B) 3.52 3.71 3.81 3.88 3.96 4.11 4.38 4.58 4.83

7



Cronograma seriei observate sugerează o funcţie exponenţială, ca fiind adecvată pentrumodelarea tendinţei: t

t baT ⋅= :

Estimăm tendinţa printr-o funcţie exponenţială, în modelul multiplicativ:

t

t

t baY ε ⋅⋅=

Logaritmarea ambilor membrii conduce la liniarizarea tendinţei:t t Bt A Z η ++= , cu tendinţa liniară .8,...,1,0, =+= t Bt AT t

unde t t t t b Ba A PIBY Z ε η ln,ln,ln),ln(ln ===== . Seria logaritmata, redată în graficulanterior, pare sa aibă o tendinţă liniară (peste care se suprapune o componentă ciclică).Estimatiile pentru coeficienţii A şi B rezultă din:

[ ]

).()(

,)()(

)()()(22

t BM Z M A

t M t M

Z M t M tZ M B

−=−

−=

Se obţin pentru parametrii A respectiv B următoarele estimaţii: 01.3,15.0 == A B , iar parametrii tendinţei exponenţiale rezultă în consecinţă: 166.1,32.20 ==== B A ebea .

Valorile previzionate ale PIB-ului logaritmat)ln( PIB

pentru anii 2008 respectiv 2009 sunt85.4915.001.3)9( =×+==t T respectiv 51.41015.001.3)10( =×+==t T . Valorilecorespunzătoare ale PIB-ului sunt 128.42 respectiv 149.75. Menţionăm ca valorile realeînregistrate, aferente celor doi ani, au fost 139.76 şi 117.45; urmare a impactului crizeieconomico-financiare, nivelul PIB-ului a scăzut drastic în 2009, această scădere nefiind,desigur, anticipată în baza tendinţei (ce extrapolează comportamentul dinainte de 2007).

1.3. Analiza sezonalităţii şi metode de desezonalizare

Ajustarea sezonieră, sau desezonalizarea, permite estimarea şi separarea sezonalităţii din

seria de timp. Prezenţa componentei sezoniere este vizibilă în graficul seriei prin fluctuaţiileaparent regulate, repetitive, asemănătoare unei funcţii periodice; este efectul unor influenţe

8



sistematice exercitate în anumite sezoane. Desezonalizarea este utilă cel puţin din următoareleconsiderente: a) descrierea şi cuantificarea sezonalităţii din date, b) evidenţierea mai clară aevoluţiei indicatorului pe termen lung, c) ajustarea previziunilor pe termen scurt, ţinând seamade sezonalitate, d) interpretarea corectă a tendinţei de variaţie a indicatorului de la o perioadăla alta, e) în modelarea econometrică de regulă se lucrează cu seriile desezonalizate.

Evoluţia variabilelor macroeconomice este uneori disponibilă atât sub forma seriilor cudatele observate cât şi cu datele desezonalizate. Desezonalizarea facilitează evidenţiereatendinţei, şi eliminarea variaţiei, de la un sezon la altul, datorată sezonalităţii. Spre exemplu,compararea variaţiilor produsului intern brut de la un trimestru la altul, sau a variaţiei lunare aratei şomajului se realizează pe seria desezonalizată.

Majoritatea metodelor statistice de desesonalizare au ca punct de pornire alegereamodelului de descompunere. În general, este adecvat un model aditiv T+S atunci cândamplitudinea oscilaţiilor rămâne aproximativ constantă de la un ciclu sezonier la altul,respectiv multiplicativ TxS dacă amplitudinea variază proporţional cu nivelul seriei (raportulY/T rămâne aproximativ constant). În practică este deseori adecvat modelul multiplicativ.

Perioada componentei sezoniere, notată cu p, reprezintă numărul unităţilor de timp din

cadrul unui ciclu sezonier. Majoritatea datelor disponibile, în domeniul economic, au durataunui ciclu egală cu un an, astfel 4= p în cazul datelor trimestriale respectiv 12= p în cazuldatelor lunare. Durata unui ciclu poate fi desigur mai mică de un an. Atunci când datele suntzilnice, perioada 5= p dacă observaţiile acoperă zilele de luni până vineri, respectiv 7= p dacă observaţiile sunt disponibile pentru toate zilele săptămânii; vânzările zilnice ale unuisupermarket, sau încasările unui cinematograf înregistrate zilnic, de luni până duminică, ausezonalitate.

Metodele clasice de desezonalizare au la bază medii mobile centrate şi simetrice MM(p).Acestea au efect de netezire a variaţiilor sezoniere. Pentru eliminarea componentei sezoniere,în scopul separării ei, se aplică datelor un filtru de tip medie mobilă centrată de ordin p egal cu perioada componentei sezoniere. În acest context, mediile mobile sunt transformări liniare

f utilizate în scopul desezonalizării seriei, conservând tendinţa:• elimină componenta sezonieră 0)( ≈t S f ,

• conservă tendinţa-ciclu t t TC TC f ≈)( .Dacă perioada componentei sezoniere este un număr par m p 2= , spre exemplu în cazuldatelor trimestriale sau lunare, atunci mediile sunt determinate în baza relaţiei:

m

Y Y Y Y Y Y mt mt t mt mt t

2

5,0......5,0 11 +−++−−++++++

= , mT mmt −++= ....,2,1 ,

Când perioada este număr impar 12 += m p atunci se aplică seriei o medie aritmetică simplăcentrată:

mT mmt m

Y Y Y Y Y Y mt mt t mt mt t −++=+

++++++= +−+−−− ,...,2,1;

12...... 11 .

Metoda raportării la mediile mobile. Cea mai simplă tehnică de desezonalizare estemetoda raportării la mediile mobile. Estimarea componentei sezoniere se realizează prinintermediul coeficienţilor sezonalităţii. Vom utiliza următoarele notaţii:

- i indice pentru ciclul sezonier, ni ,...,2,1= - j indice pentru sezon, pi ,...,2,1= , unde p este perioada componentei

sezoniere.Modelul de descompunere aditiv respectiv multiplicativ are forma:

ij jijij S TC Y ε ++= respectiv .ij jijij S TC Y ε ⋅⋅=

9



Coeficienţii sezonalitaţii cuantifică abaterile de la tendinţă-ciclu. Componentele pe termenlung, tendinţa şi ciclicitatea, sunt tratate ca şi o singură componentă tendinţă-ciclu, notată TC;nu se emite o ipoteză privind forma parametrică a acesteia, fiind considerată de naturăstochastică. Componenta tendinţă-ciclu este privită ca o medie curentă a seriei t t Y TC = ,

estimată prin mediile mobile ijY .a) În cazul modelului multiplicativ

ij jijij S T Y ε ⋅⋅= ,metoda constă în următorii paşi:

• calculul mediilor mobile ijY de ordin p egal cu perioada componentei sezoniere;

• calculul rapoartelor ijijij Y Y S /= ce constituie estimaţii pentru componenta sezonieră;acestea cuantifică abaterea datelor observate de la tendinţă-ciclu. Raportul include şicomponenta neregulată (Sε =Y/TC);

• determinarea unui coeficient mediu pentru fiecare sezon, ca o medie a estimaţiilor precedente:

p jS n

SM n

i

ij j ,...,2,1;1

1 1

1

=−

= ∑−

=

.

• efectuarea unei corecţii asupra coeficienţilor medii jSM astfel încât media lor să fie

unu (normalizare):

= ∑

=

p

i

i j j SM p

SM S 1

1/ p j ,...,2,1= .

Această cerinţă impusă sezonalităţii este naturală, întrucât variaţiile sezoniere se compenseazăîn medie pe parcursul unui an. Valorile rezultate )...,,,( 21 pS S S S = se numesc coeficienţiai sezonalităţii, şi constituie estimaţii pentru componenta sezonieră. În sezoanele în care

100100 <⋅ jS factorii sezonieri au condus la o abatere în minus a valorii observate faţă devaloarea corespunzătoare de pe tendinţă, în medie cu )1(100 −⋅ jS procente. Dacă jS >1

valorile observate sunt mai mari decât cele de pe tendinţă, în medie de jS ori (sunt pestetendinţă).

Seria desezonalizată se obţine prin extragerea sezonalităţii din date: S Y SA /= .

b) În cazul modelului aditiv

ijijijij S T Y ε ++=

determinarea componentei sezoniere decurge analog, dar având în vedere forma aditivă de

descompunere. Coeficienţii ce intervin se determină astfel:ijijij Y Y S −= ; ∑

−

=−=

1

11

1 n

i

ij j S n

SM

iar ajustarea coeficienţilor medii jSM , pentru a obţine estimaţii

jS ale componentei

sezoniere, se realizează astfel încât media acestora să fie zero:

−= ∑

=

p

i

i j j SM p

SM S 1

1.

Valorile pozitive 0> jS indică o valoare peste tendinţă pentru respectivul sezon, iar cele

negative 0< jS valori sub tendinţă. Seria desezonalizată se obţine prin extragerea

sezonalităţii din date: S Y SA −= .Observăm că această metodă consideră sezonalitatea constantă de la un ciclu sezonier la

altul, şi de asemenea minimizează efectul componentei neregulate.

10



Instituţiile naţionale şi internaţionale, cercetătorii, utilizează diferite metode dedesezonalizare, mai complexe dar în acelaşi timp mai performante. Cele mai cunoscute sunt:diferite variante ale metodei X11, cea mai recentă fiind metoda X-12-ARIMA, dezvoltate decătre United States Census Bureau, respectiv metoda TRAMO/SEATS propusă de către BancaCentrală a Spaniei. Metoda X-12-ARIMA presupune o abordare neparametrică, ce utilizează

mediile mobile centrate şi simetrice, ca şi filtre de netezire sezonieră; procedura se bazează pemetoda raportării la mediile mobile, ce se aplică succesiv.Dacă datele au sezonalitate, previziunile privind evoluţia variabilei analizate Y ̂ se obţin

prin compunerea previziunilor realizate pentru fiecare componentă prezentă în serie, ţinândseama de forma modelului: S T Y ˆˆˆ += respectiv S T Y ˆˆˆ ⋅= .

Exemplu 5. Desezonalizare prin metoda raportării la mediile mobile. Previziuni. Seconsideră o serie de timp ce redă evoluţia unui indicator cu componentă sezonieră. Se cere: a)Determinaţi şi interpretaţi coeficienţii sezonalităţii, utilizând metoda raportării la mediilemobile. Generaţi previziuni pentru următoarele 2 trimestre.

b) Desezonalizaţi seria prin metoda TRAMO/SEATS. Redaţi în acelaşi grafic valorile

observate respectiv seria desezonalizată. Descompuneţi seria pe componente; redare grafică. Rezolvare. Seria considerată redă evoluţia trimestrială a cifrei de afaceri a unei societăţi

comerciale din domeniul construcţiilor, în perioada 2005-2010 (date fictive).Cifra de afaceri a unei societăţi comerciale, 2005-2010

An/Trim.

I II III IV

2005 124.1 263.2 252.4 124.52006 130.1 280.2 260.6 151.12007 157.5 301.2 353.3 185.02008 169.7 340.0 350.9 168.72009 177.5 407.6 417.2 224.1

2010 9.202 3.385 6.425 6.196

a) În EViews coeficienţii sezonalităţii, pentru modelul multiplicativ, se obţin din Procs/Seasonal adjustment/Moving average methods/Ratio:

Original Series: CAAdjusted Series: CASA

Scaling Factors:

1 0.6972542 1.4082813 1.4200894 0.717141

Urmare a caracterului sezonier, specific acestei activităţi economice, în trimestrul I cifra deafaceri a fost mai mică în medie cu 30.3% decât media, iar în trimestrul II cifra de afaceri aînregistrat valori în medie mai mari de 1.4 ori decât media (decât valoarea corespunzătoare de

pe tendinţă). Analog se interpretează S 3 şi S 4. Seria ajustată sezonier (desezonalizată) estesalvată cu extensia sa:

11



120

160

200

240

280

320

360

400

440

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

CA CASA

În trimestrele II şi III valorile observate sunt sistematic peste medie (peste tendinţă), iar intrimestrele I şi IV cifra de afaceri înregistrează valori mai mici decât media (sub tendinţă).

Exemplificăm, în continuare, modul de calcul al coeficienţilor sezonalităţii. Graficulseriei indică prezenţa unei componente sezoniere predominante, de perioadă p = 4. Punctul de

pornire în estimarea componentei sezoniere îl constituie calculul mediilor mobile. Ordinul

mediei mobile trebuie să fie egal cu perioada componentei sezoniere.Mediile mobile centrate de ordin p = 4 sunt:

8.1914

1.1305.05.1244.2522.2631.1245.0

4

5.05.0 543213

=×++++×

=

=×++++×

=Y Y Y Y Y

Y

.0.3064

6.1965.06.4253.3859.2021.2245.0

4

5.05.0 242322212022

=×++++×

=

=×++++×

=Y Y Y Y Y

Y

Datele observate au fost numerotate în ordine cronologică 2421 ...,, Y Y Y

Estimarea componentei sezoniere. Cum amplitudinea oscilaţiilor creşte uşor în timp,cronograma seriei sugerează un model multiplicativ:

ij jijij S T Y ε ⋅⋅= ; 6,...,2,1=i iar 4,3,2,1= j .

Mediile mobile centrate de ordinul 4t MM(4) t MM(4)

1 - 13 261.72 - 14 259.43 191.8 15 258.3

4 194.7 16 267.75 197.8 17 284.56 202.2 18 299.77 208.9 19 309.88 214.9 20 310.29 229.2 21 308.410 245.0 22 306.011 250.8 23 -12 257.1 24 -

Datele sunt disponibile pentru 6 ani şi sunt prezente 4 sezoane. Ţinând seama de notaţiilespecifice acestui paragraf, ijY reprezintă cifra de afaceri în anul i trimestrul j. Astfel,

4.252;200113==

III Y Y

sau0.185

;200334==

IV Y Y

. Mediile mobile din tabelul anterior vor fitranspuse într-un tabel analog cu cel de prezentare al datelor:

12



An/Trim. I II III IV 2005 - - 191.8 194.72006 197.8 202.2 208.9 214.92007 229.2 245.0 250.8 257.12008 261.7 259.4 258.3 267.7

2009 284.5 299.7 309.8 310.22010 308.4 306.0 - -

Rapoartele 100⋅=ij

ij

ijY

Y S , respectiv mediile acestora pentru fiecare sezon sunt:

An/Trim. I II III IV

2005 - - 131.6 63.92006 65.8 138.6 124.7 70.32007 68.7 122.9 140.9 71.92008 64.8 131.1 135.8 63.02009 62.4 136.0 134.7 72.72010 65.8 125.9 - -

j I 65.5 130.9 133.5 68.4 Media 99.6

jS 65.6 131.4 134.0 68.8 Media 100

Explicaţii privind calculele:

6.1311008.191

4.252100

13

1313 =⋅=⋅=

Y

Y S , 9.63100

7.194

5.124100

14

1414 =⋅=⋅=

Y

Y S ,

8.651008.197

1.130

10021

21

21 =⋅=⋅= Y

Y

S , ş.a.m.d.Cum era de aşteptat, raportul între valorile observate şi mediile mobile este mai mic decât 1

pentru trimestrele I şi IV, când cifra de afaceri a fost sistematic sub medie:

,9.130,5.654

251413121

1 ==+++

= I S S S S

I

.4.68,5.1334

443332313

3 ==+++

= I S S S S

I

Valoarea medie a acestor coeficienţi este 99.6, astfel că este necesară o uşoară corecţie, astfelîncât media să fie 100:

8.68,0.134,4.131,6.651006.995.65100

6.99432

11 ====⋅=⋅= S S S I S .

Componenta sezonieră constă în vectorul coeficienţilor sezonalităţii:S=(S 1, S 2 , S 3 , S 4 ) = (0.656; 1.314; 1.340; 0.688),

şi se consideră constantă de la un an la altul. Diferenţele faţă de rezultatele din soft apar dincauza rotunjirilor.

Pentru seria ajustată sezonier (desezonalizată) casa, se estimează o tendinţă liniară:.19,...,1,0,39.636.165 =+= t t T t

Valoarea previzionată pentru trimestrul I 2011 este obţinută prin ajustarea valorii rezultate dinextrapolarea tendinţei cu coeficientul sezonalităţii din trimestrul I, astfel:

31.192656.0]2039.636.165[656.0)20(ˆ2011 =××+=×== t T Y trimI .

Valoarea previzionată pentru trimestrul II 2011 rezultă în mod similar:

13



60.393314.1]2139.636.165[314.1)21(ˆ2011 =××+=×== t T Y trimII .

b) Metoda TRAMO/SEATS descompune seria în trei componente: tendinţă-ciclu (_trd),sezonalitate (_sf), componenta neregulată (_ir).

120

160

200

240

280

320

360

400

440

2005 2006 2007 2008 2009 2010

CA

160

200

240

280

320

360

400

2005 2006 2007 2008 2009 2010

Final trend-cycle

60

70

80

90

100

110

120

130

140

2005 2006 2007 2008 2009 2010

Final seasonal component/factor

92

94

96

98

100

102

104

106

2005 2006 2007 2008 2009 2010

Final irregular component/factor

De asemenea, sunt generate previziuni pentru fiecare dintre cele trei componente. Coeficienţiisezonalităţii sunt în procente, fiind aproximativ constanţi în timp S=(65.96, 134.04, 132.75,67.27). Analog şi componenta aleatoare. Modelul de descompunere este cel multiplicativ,datele observate sunt obţinute prin compunerea multiplicativă a componentelor

)100/()100/( ε ⋅⋅= S TC Y .

1.4. Estimarea componentei ciclice

În domeniul economic, această componentă o întîlnim sub forma ciclurilor economice (aciclurilor de afaceri). În cadrul unui ciclu economic se succed perioadele de expansiune, criză,recesiune respectiv relansare economică. Urmare a faptului că durata şi amplitudineaciclurilor variază în timp dar şi de la un sector de activitate la altul, modelarea şi previziuneacomponentei ciclice este o sarcină dificilă. Cea mai cunoscută metodă de separare acomponentei ciclice este filtrul Hodrick-Prescott (HP). Prin aplicarea filtrului HP se separăcele două componente pe termen lung: tendinţa şi ciclicitatea.

Filtrul Hodrick-Prescott. Filtrul de netezire HP este un filtru liniar utilizat pentruestimarea tendinţei, şi separarea componentei ciclice. Se presupune că în prealabil seria a fost

desezonalizată, iar importanţa componentei neregulate este minimizată. Aplicat seriilor macroeconomice, precum PIB, rata şomajului sau producţia industrială, filtrul permiteevidenţierea ciclurilor economice (sau de afaceri). Componenta ciclică se manifestă sub formaunor deviaţii tranzitorii de la tendinţă. Se consideră descompunerea aditivă a seriei (de regulălogaritmată în prealabil):

t t t C T Y += t=1,2,...,T.Cele două componente nu sunt observabile, iar orice descompunere are la bază o definireoarecum arbitrară a acestora. Filtrul HP estimează tendinţa

t T şi componenta ciclică

t C din

cerinţa minimizării următoarei sume:

14



∑ ∑=

−+

−

=

−−−+−T

t

t t t t

T

t

t t T

T T T T T Y t

1

2

11

1

2

2 }) ]()[ ()({m i n λ

sau echivalent: ∑ ∑= =

+∆+T

t

T

t

t t T

T C t 1 3

2

1

22)({min λ , unde constanta de netezireλ controlează gradul

de netezire al tendinţei. Când 0→λ gradul de netezire este redus, tendinţa estimată fiindapropiată de valorile observate; în primul termen se minimizează deviaţiile de la trend

t t t T Y C −= . A doua sumă, din expresia anterioară, măsoară modificările locale ale pantei

tendinţei )()( 111

2

−++−−−=∆ t t t t t T T T T T , deci gradul de netezire al trendului. Pentru ∞→λ

tendinţat T devine o tendinţă deterministă liniară. Cu cât tendinţa

t T este mai netedă cu atât

diferenţele de ordinul doi ale acesteia sunt mai mici.

Problema de minim caută un optim între estimarea adecvată a tendinţei şi gradul denetezire al acesteia. Înainte de a fi aplicată în economie, metoda a fost utilizată în actuariat, pentru netezirea ratelor mortalităţii. Rămâne însă deschisă problema alegerii adecvate aconstantei λ . În cazul datelor trimestriale autorii metodei sugerează valoarea 1600=λ (Hodrick and Prescott, 1997). În pachetul EViews se consideră 100=λ pentru date anualerespectiv 14400=λ dacă datele sunt lunare.

Exemplu 6. Extragerea componentei ciclice. Se consideră evoluţia anuală a ratei daunei înasigurările generale; seria acoperă perioada 1951-2007, şi se referă la industria asigurărilor din SUA. Figura 5 sugerează prezenţa tendinţei respectiv a unei ciclicităţi, alături decomponenta neregulată. Filtrul Hodrick-Prescott este frecvent utilizat pentru extragerea

tendinţei, şi evidenţierea ciclicităţii în seriile macroeconomice şi financiare, în modelul aditivt t t C T Y += ; componenta ciclică se manifestă sub forma unor deviaţii tranzitorii de la trend.

Se cere: separaţi tendinţa respectiv componenta ciclică, cu filtrul Hodrick-Prescott (HP). Rezolvare. Filtrul HP, disponibil din Procs/Hodrick-Prescott Filter , estimează tendinţa

respectiv componenta ciclică, considerând parametrul 100=λ pentru date anuale; aceastăvaloare a parametrului de netezire a fost sugerată de către autorii metodei. O valoare mică a

parametrului determină un grad redus de netezire pentru tendinţă.După cum se observa din figura 5, filtrul conservă tendinţa neliniară din date, şi pare a

estima corect componenta de tendinţă. O analiză descriptivă a componentei ciclice relevă prezenţa unor cicluri de durată mai mare sau mai mică, pe parcursul perioadei analizate;

ciclurile prezente acoperă aproximativ perioadele: 1954-1960, 1960-1965, 1965-1972, 1972-1978, 1978-1987, 1987-1997, 1997-2006.

Figura 5. Evoluţia ratei daunei, tendinţa şi componenta ciclică

15



2. Noţiuni de bază în modelarea dinamică a seriilor de timp

2.1. Conceptul de serie staţionară

Deoarece dispunem de o singură observaţie pentru variabila t Y , parametri precum media sauvarianţa variabilei t Y nu pot fi estimaţi, la cazul general. Estimarea devine posibilă pentru

clasa proceselor staţionare, când distribuţia variabilei t Y nu depinde de timpul t . Seria cuvalorile observate T

y y y ,....,, 21 este o realizare a procesului stochastic T Y Y Y ,....,,21 .

Obiectivul analizei seriei de timp constă în a face inferenţe asupra procesului, pornind de laaceastă unică realizare a sa.

Numim serie staţionară T Y Y Y ,....,, 21 o serie ce verifică următoarele trei condiţii:(1) ( ) µ =t Y E pentru t ∀ , media este constantă în timp (seria este staţionară relativ

la medie);(2) ( ) 0

2 ])[( γ µ =−= t t Y E Y Var pentru t ∀ , varianţa este constantă în timp(staţionalitate în varianţă);

(3) ( ) ( ) ( )[ ]k k t t k t t Y Y E Y Y Cov γ µ µ =−−= −−, covarianţa dintre oricare două

variabile este funcţie de lungimea intervalului de timp k ce separă cele două variabile, dar nu şi de poziţia lor în timp. Covarianţa măsoară dependenţa liniară dintre variabile; intuitive,cu cât observaţiile sunt mai îndepărtate una de cealaltă cu atât dependenţa este mai slabă. Ocaracteristică a seriilor de timp este caracterul inerţial, dependenţa valorii curente t Y devalorile înregistrate în trecut { 1−t Y , 2−t Y , ...}. Atunci când k , lungimea intervalului de timpdintre variabile, variază, rezultă secvenţa },{ N k k ∈γ numită funcţie de autocovarianţă .

O serie staţionară are media respectiv varianţa constante în timp. O serie staţionară seaflă într-o stare de echilibru. În cronogramă, o serie staţionară se manifestă sub forma unor fluctuaţii cu amplitudine relativ constantă (seria este staţionară în varianţă), în jurul uneiconstante ce estimează media (seria este staţionară relativ la medie). Nestaţionalitatea în

medie este specifică seriilor cu tendinţă, iar nestaţionalitatea în varianţă se observă prinmodificarea în timp a amplitudinii fluctuaţiilor din date.

16



Distribuţia variabilei t Y nu depinde de timp, seria observată T Y Y Y ,....,, 21 conţinândinformaţii despre aceeaşi distribuţie. Astfel, toate observatiile din serie pot fi utilizate pentruconstruirea estimatorilor mediei respectiv varianţei:

∑=

=T

t

t Y T

Y 1

1∑=

−=T

t

t Y Y T 1

22 )(1

σ̂

ca şi media respectiv varianţa empirică a observaţiilor.Un caz particular de serie staţionară este cea de tip zgomot alb („white noise”), aceasta

fiind o succesiune de variabile aleatoare Z t t ∈,ε necorelate şi identic repartizate, cu medie

zero: ( ) 0=t E ε , ( ) 2σ ε =t Var , ( ) 0, =

−k t t Cov ε ε ; deseori se consideră că variabilele sunt

distribuite după legea normală ),0( 2σ ε N t ∈ . Un zgomot alb în sens puternic se defineşte printr-o succesiune de variabile independente şi identic repartizate, notată prescurtat i.i.d;noţiunea de independenţă este mai puternică decât cea de necorelare.

Exemplu 7. Serii staţionare în medie. a) Următoarea serie este generată de o secvenţă de

variabile aleatoare de tip zgomot alb)1,0(... N d ii

t ∈ε

distribuite după legea normală de probabilitate. În Eviews, funcţia nrnd generează astfel de secvenţe: se deschide un obiect noude tip Series, apoi în Generate by Equation se indică modul de generare al seriei za=nrnd .

Figura 6 . Serie de tip zgomot alb )1,0(... N d iit ∈ε

-3

-2

-1

0

1

2

3

50 100 150 200 250 300

Zgomot alb

Seria este staţionară relativ la valoarea medie, aici egală cu 0, media locală fiind aproximativconstantă în timp. Există fluctuaţii pe termen scurt în jurul mediei, dar observaţiile revin lamedie. Seria verifică şi a doua cerinţă din definiţia staţionalităţii, deoarece are varianţaaproximativ constantă în timp, şi egală aici cu 1. Flutuaţiile în jurul mediei au amplitudineconstantă, majoritatea fiind între 1± (abaterea medie pătratică este 1).

b) Evoluţia lunară a ratei inflaţiei în zona EU15, în perioada ianuarie 2000-decembrie2006 a înregistrat o evoluţie relativ staţionară, în jurul unei rate medii de 2%. În această

perioadă, inflaţia în EU15 a fluctuat în jurul unei rate de echilibru, de 2%; există abateri petermen scurt, dar pe termen lung seria revine la această valoare de echilibru.

Figura 7 . Evoluţia ratei inflaţiei în EU15, ian. 2000-dec. 2006

17



1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

00 01 02 03 04 05 06 07

Rata infla'iei EU15

2.2. Serie nestaţionară. Tendinţă stochastică

O serie este nestaţionară dacă nu verifică una sau mai multe dintre cerinţele ce definesc

seria staţionară. În economie majoritatea seriilor sunt nestaţionare, media nefiind constantă întimp. Intuitiv, cronograma oferă o primă imagine asupra prezenţei nestaţionalităţii. O serie detimp poate prezenta două tipuri de nestaţionalitate:

a) nestaţionalitate de natură deterministă. Seria are tendinţă deterministă , abaterile dela ea fiind staţionare. Terminologia întâlnită în literatura de specialitate pentru acesttip de nestaţionalitate este de serie staţionară relativ la o tendinţă deterministă („trendstationary”). Cronograma indică fluctuaţii aleatoare în jurul unei tendinţe deterministe,netede (figura 8), ce poate fi modelată prin funcţii elementare;

b) nestaţionalitatea seriei este de natură stochastică. Terminologia utilizată în acestcaz este mai tehnică, se spune că seria are rădăcină unitate, are tendinţă stochastică ,

seria este integrată , sau seria este staţionară prin diferenţiere („difference stationary”).

Intuitiv, seria „hoinăreşte” în timp, fără a avea vreun atractor; este de tip mers aleator.

Natura nestaţionalităţii seriei este foarte importantă, atât în previziune, cât şi pentru elaborareametodelor econometrice cu date sub forma seriilor de timp. Prezenţa unei nestaţionalităţistochastice face ca metodele din econometria clasică, unde dispunem de date privind nivelulînregistrat de variabile la un eşantion de unităţi („cross-section”), momentul de timp fiind aicifixat, să nu poată fi aplicate; distribuţiile asimtotice ale estimatorilor coeficienţilor dinregresia clasică, nu mai sunt aceleaşi. Tehnicile din regresia clasică, bazate pe legeanumerelor mari şi teorema limită centrală, rămân însă adecvate pentru modele în care intervinvariabile staţionare.

Primul tip de nestaţionalitate, când seria conţine doar tendinţă deterministă se întâlneştemai rar în domeniul economic. Pentru tendinţa de natură deterministă, se consideră de regulăo funcţie liniară:

t t bt aY ε ++= ,T t ,...,3,2,1 =

iar uneori parabola sau exponenţiala. Prezenţa unei nestaţionalităţi stochastice schimbă însă proprietăţile seriei, şi respectiv tehnicile de abordare. Diferenţa între procesele nestaţionare cutendinţa deterministă respectiv stochastică este vizibilă şi atunci când se analizează efectulunui şoc asupra seriei.

Considerăm o serie cu tendinţă deterministă liniară , peste care se suprapune, aditiv, ocomponentă neregulată staţionară de medie zero t u : t t ubt aY ++= . Media seriei

bt aY E t +=)( este variabilă în timp. Tendinţa acţionează ca un atractor, seria revine latendinţa deterministă bt a+ . Varianţa este constantă în timp .)()( const uVar Y Var t t == ,

18



componenta neregulată fiind staţionară. În cazul unei serii cu tendinţă deterministă, e fectul unui şoc asupra seriei este tranzitoriu, deoarece acţionează doar prin componenta stochastică

t u , care este staţionară. Influenţa şocurilor asupra următoarelor abateri de la tendinţadeterministă se diminuează în timp; seria revine la tendinţa deterministă. Graficul 8. redăevoluţia unei serii cu tendinţă deterministă liniară şi componenta neregulată staţionară:

t t ut Y ++= 1.010 unde t u este obţinută prin simulare; eroarea )4,0( N t ∈ε a fost generatăca o secvenţă de 200 de valori independente, distribuite după legea normală.

Figura 8. Tendinţa deterministă liniară, componenta aleatoare staţionară

-10

0

10

20

30

40

50

50 100 150 200 250

Y=Tendinta determinista liniara + componenta aleatoareComponenta aleatoare

O serie este nestaţionară cu tendinţă stochastică dacă este generată de un proces pentru

care polinomul autoregresiv ( ) = Lφ p

p La La La −−−−

2

211 din reprezentarea autoregresivă

AR(p): t pt pt t t Y aY aY aaY ε +++++=−−−

22110 sau

t t p p aY La La La ε +=−−−− 0221 )...1( are rădăcină/rădăcini egale cu unu. Operatorul deîntârziere, notat cu L, are ca efect translaţia cu o unitate de timp în urmă 1−= t t Y LY . Astfel,

21

2 )()( −−=== t t t t Y LY LY LY L , şi în general pt t

p Y Y L−=)( . Spunem că seria are tendinţă

stochastică, sau are rădăcină unitate, sau este integrată.Exemplul tipic aici este mersul aleator fără constantă t t t Y Y ε += −1 respectiv cu constantă

t t t cY Y ε ++= −1 . Pentru t t t Y Y ε += −1 spre exemplu, polinomul în L asociat părţii

autoregresive ( ) Lφ din modelul autoregresiv ( ) t t Y L ε φ = este ( ) :1 L L −=φ

t t Y L ε =− )1(

şi îl are pe 1 ca şi rădăcină:.101 =⇒=− z z

Un mers aleator fără constantă t t t Y Y ε +=−1 poate fi scris sub forma

∑=

+=t

i

it Y Y 1

0 ε unde cu 0Y s-a notat valoarea iniţială. Graficul 8 redă evoluţia unei serii cu

tendinţă stochastică, de tip mers aleator fără constantă :

t t t Y Y ε += −1

unde pentru eroare )1,0( N t ∈ε a fost generată o secvenţă de 200 de valori independente,distribuite după legea normală. Această ecuaţie, simplă, generează o diversitate de evoluţiinestaţionare, pentru diverse secvenţe ale erorii.

Figura 9. Serie cu tendinţă stochastică, mers aleator fără constantă

19



-8

-4

0

4

8

12

16

25 50 75 100 125 150 175 200

Tendinta stochastica (serie cu radacina unitate)

Pentru un mers aleator cu constantă :

t t t cY Y ε ++= −1

unde t ε este un zgomot alb cu medie zero, rezultă:

.1

0 ∑=

++=t

i

it ct Y Y ε

Media ct Y Y E t += 0)( şi varianţa 2)( σ t Y Var t = sunt variabile în timp; cu

0Y s-a notat

valoarea iniţială. Varianţa seriei creşte în timp. Nu există un atractor, la care seria să revină petermen lung; seria „hoinăreşte”, având salturi bruşte de creştere sau scădere. Şocurile

aleatoare se acumulează în timp ∑=

t

i

i

1

ε , şi au efect permanent asupra seriei ; aceasta este

originea nestaţionalităţii. Dacă o serie este de acest tip, atunci impactul şocurilor conjuncturale are un efect permanent asupra nivelului seriei. Constanta c din ecuaţie seacumulează în timp sub forma unei tendinţe deterministe liniare ct ; constanta din ecuaţiamersului aleator devine panta tendinţei locale deterministe. O astfel de serie are atât tendinţăstochastică cât şi tendinţă deterministă.

Figura 10. Serie cu tendinţă stochastică, mers aleator cu constantă

În funcţie de valoarea constantei din ecuaţia modelului, t t t cY Y ε ++=−1 , se dă o pondere

mai mare sau mai mică componentei de tendinţă deterministă. Când valoarea constantei estemai mare, c=0.2 în primul grafic din figura 10, domină tendinţa deterministă (panta tendinţeilocale deterministe este mai mare, în ct ), iar pentru valori mici ale constantei, c=0.0001 în al

2-lea grafic, domină componenta de tendinţă stochastică (acumularea de şocuri ∑=

t

i

i

1

ε ).

O serie poate avea tendinţă stochastică şi/sau tendinţă deterministă. Tendinţa stochasticădomină în economie; există puţine evoluţii ce au doar tendinţă deterministă.

20



De regulă, în modelarea dinamică seriile nestaţionare se staţionalizează . Dacă seria t Y este nestaţionară cu tendinţă stochastică, atunci se transformă într-o serie staţionară, prin

operaţia de diferenţiere 1−−=∆ t t t Y Y Y ; diferenţele de ordinul unu sunt diferenţele cu bază înlanţ, şi redau variaţia indicatorului faţă de perioada anterioară. Dacă nestaţionalitatea este denatură deterministă, atunci seria se staţionalizează prin extragerea tendinţei, estimate printr-ofuncţie netedă, din datele observate; spre exemplu, în cazul unei tendinţe liniare, dupăextragerea tendinţei estimate, seria )ˆˆ( t baY X t t +−= devine staţionară.

Teste de nestaţionalitate. Testul ADF. Existenţa sau nu a unei rădăcini egale cu 1 (numitărădăcină unitate) pentru polinomul autoregresiv, determină natura nestaţionalităţii seriei.Pentru a testa existenţa rădăcinii unitate într-o serie de timp, se estimează un modelautoregresiv adecvat datelor t pt pt t t Y aY aY aaY ε +++++=

−−−22110 , iar apoi se testează

dacă 1= z este rădăcină a ecuaţiei caracteristice ataşate 01)( 2

21 =−−−−=p

p z a z a z a z φ .

Atunci când ecuaţia caracteristică ataşată polinomului autoregresiv are o rădăcină egală cu 1,adică 0)1( =φ , seria este nestaţionară, cu tendinţă stochastică. Testele de tip rădăcină unitate(„unit root”), prezentate în continuare, sunt destinate detectării nestaţionalităţii de tipstochastic, adică a detectării rădăcinii unitate în reprezentarea autoregresivă a procesului.

a) Testul ADF fără constantă şi fără trend. Considerăm modelul autoregresiv AR(1):

,11 t t t Y aY ε +=−

unde erorile t ε sunt independente şi identic distribuite, cu medie 0 şi varianţă 2

ε σ . Acest

model generează o serie staţionară atunci când 11 <a . Când 11 =a seria devine nestaţionară.

Prezenţa rădăcinii unitate înseamnă 11 =a , deci ipoteza nulă respectiv alternativă sunt:1: 10 =a H seria este nestaţionară, cu tendinţă stochastică

1: 11 <a H seria este staţionară.

Testul compară un mers aleator fără constantă cu o serie staţionară cu medie zero :

t t t Y Y H ε +=−10 : seria este de tip mers aleator fără constantă

t t t Y aY H ε += −111 : cu 11 <a , seria este staţionară cu medie zero.

Ipoteza nulă formulată relativ la ecuaţia AR(1) este echivalentă cu a testa, în ecuaţia:

t t t Y Y ε α +=∆−1

obţinută scăzând1−t Y

din ambii membri ai modelului AR(1), ipoteza nesemnificativităţii

coeficientului α :0:0 =α H cu alternativa 0:1 <α H

unde 11 −= aα . Testul Dickey-Fuller utilizează statistica Student aferentă coeficientului deregresie α :

)ˆ(

ˆ

α

α

Var t = .

Atunci când ipoteza nulă 0 H este adevărată, distribuţia asimptotică a statisticii t nu este datăde legea normală, sau de o altă lege de probabilitate standard. Distribuţia asimptotică a acesteivariabile a fost studiată de către Dickey (1975) şi Fuller (1976). Valorile critice ale distribuţieiDickey-Fuller (DF) sunt mai mici decât cele date de legea normală N(0,1). Pentru un nivel desemnificaţie de 5% spre exemplu, valoarea critică este –1.95, respectiv -1.64 în cazul legii

21



normale; 05.0)95.1( =−< DF P , respectiv 05.0)64.1( =−< z P pentru legea normală N(0,1).

Atunci când reziduurile din reprezentarea AR(1) nu sunt de tip zgomot alb),0.(.. 2

ε σ ε d iit ∈ , se specifică, pentru datele observate, un model autoregresiv AR(p) adecvat.În acest caz, procedura testului Dickey-Fuller este similară, iar testul se notează prescurtat cu

ADF („Augmented Dickey-Fuller”). Ipoteza nulă se formulează similar, relativ la coeficientultermenului 1−t Y în ecuaţia:

∑=

−− +∆+=∆ p

i

t it it t Y Y Y 1

1 ε β α (V1)

0:0 =α H

0:1 <α H seria este staţionară în jurul lui zero.

Distribuţia asimptotică a raportului t asociat coeficientului α este aceeaşi cu cea din cazulAR(1), astfel că se utilizează aceleaşi valori critice. La un nivel de semnificaţie α , ipotezanulă nu se respinge, atunci când valoarea calculată a testului este mai mare decât valoarea

critică; în acest caz seria este nestaţionară cu tendinţă stochastică, are rădăcină unitate, saueste integrată.

b) Testul ADF cu constanta şi fără trend. Prezenţa unei constante a în ecuaţia ce stă la baza testului:

∑=

−− +∆++=∆ p

i

t it it t Y Y aY 1

1 ε β α (V2)

schimbă distribuţia asimptotică a statisticii t:

)ˆ(

ˆ

α

α

Var t = .

Valorile critice sunt mai mici decât în cazul anterior, fără constantă; pentru nivelul desemnificaţie de 5% valoarea critică este -2.86. Ipoteza nulă respectiv alternativa, formulate înecuaţia cu variabila dependentă t Y ∆ , sunt:

0:0 =α H cu alternativa0:1 <α H serie staţionară în jurul unei constante nenule.

c) Testul ADF cu trend . Atunci când seria este vizibil nestaţionară, testul se realizează în

regresia ce include o tendinţă deterministă liniară:

∑=

−− +∆+++=∆ p

i

t it it t Y Y bt aY

1

1 ε β α (V3)

Distribuţia asimptotică a statisticii t:

)ˆ(

ˆ

α

α

Var t =

este diferită faţă de cazurile precedente; pentru nivelul de semnificaţie de 5%, valoarea criticăeste -3.41. Ipoteza nulă respectiv alternativa sunt:

0:0 =α H

0:1 <α H seria este staţionară relativ la o tendinţă deterministă liniară.

d) Aspecte practice privind aplicarea testului ADF

1) La aplicarea testului, ordinul modelului autoregresiv p este selectat: a) astfel încâtreziduurile din ecuaţia de regresie să rămână necorelate, sau b) prin minimizarea unui

22



criteriu informaţional, fiind utilizate frecvent criteriul Akaike, Bayesian Schwarz sauHannan-Quinn.

2) Rolul constantei a şi a trendului bt în ecuaţia pentru t Y ∆ , ataşată testului, estefoarte important; valorile critice sunt diferite, după cum acestea se includ sau nu în ecuaţie.Pentru a putea conduce corect testul ADF ar trebui să cunoaştem mai multe informaţii despre

procesul ce generează seria observată t Y . Ne întrebăm dacă seria este staţionară, are tendinţadeterministă, tendinţa stochastică, sau are ambele tipuri de tendinţă. Există diverse procedurisugerate în literatură, pentru a decide asupra acestor proprietăţi, respectiv asupra termenilor determinişti ce se includ în ecuaţia testului. În practică, alegerea între cele trei variante aletestului rămâne totuşi o problemă.

O soluţie intuitivă, constă în a alege o variantă conformă cu graficul seriei. Proprietăţileseriei sub ipoteza alternativă determină varianta testului: dacă seria prezintă tendinţă vizibilă atunci se aplică varianta generală (V3), dacă seria nu are tendinţă vizibilă şi are media

diferită de zero se aplică varianta (V2), respectiv dacă media seriei este egală cu zero atunci se aplică testul în varianta (V1).

Exemplu 8. Testul ADF: tipuri de nestaţionalitate. a) Vom aplica testul ADF pentru seriadin exemplul 7, de tip zgomot alb )1,0(... N d iit ∈ε . Din View/Unit Root Test , pentru dateleobservate Level , şi cu varianta None, deoarece graficul sugerează fluctuaţii ale seriei în jurullui zero, rezultă:

Null Hypothesis: ZGOMOT_ALB has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=21)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -31.10821 0.0000

Test critical values: 1% level -2.567279

5% level -1.94114010% level -1.616486

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Valoarea calculată a testului, DF=t-Statistic=-31.1, este mult mai mică decât valorile criticeaferente oricărui nivel de semnificaţie, prin urmare ipoteza nulă: seria are rădăcină unitate (aretendinţă stochastică), se respinge. Se acceptă ipoteza alternativă, adică seria este staţionară în

jurul valorii zero; varianta None din soft este aferentă variantei notată cu V1 în teorie.Probabilitatea Prob=0.00 indică aceeaşi decizie. Era de aşteptat, deoarece seria a fost generatăde un proces staţionar cu medie zero.

b) Se consideră seria ce are doar tendinţă deterministă liniară, a cărei grafic este redat în

figura 8.

8

12

16

20

24

28

32

36

25 50 75 100 125 150 175 200

23



Testul ADF, din View/Unit Root Test , pentru datele observate Level , şi cu varianta Trend and

intercept , deoarece seria are vizibil tendinţă, conduce la respingerea ipotezei nule. VariantaTrend and intercept din soft corespunde variantei notate cu V3 în teorie.

Valoarea calculată a testului, DF=t-Statistic=-8.63, este mai mică decât valorile critice, prin urmare ipoteza nulă: seria are rădăcină unitate se respinge. Probabilitatea Prob=0.00

conduce la aceeaşi decizie. Prin urmare, se acceptă ipoteza alternativă, aferentă variantei V3,seria este staţionară în jurul unei tendinţe deterministe liniare. Seria nu are tendinţăstochastică, are doar tendinţă deterministă.

Null Hypothesis: S1 has a unit rootExogenous: Constant, Linear TrendLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=14)

t-Statistic Prob.*


Test critical values: 1% level -4.0025695% level -3.43147110% level -3.139414

c) Seria de tip mers aleator cu constantă t t t Y Y ε ++=−

2.01 , din figura 10 primul grafic,are de asemenea rădăcină unitate, aşa cum era de aşteptat:

Null Hypothesis: S1 has a unit rootExogenous: Constant, Linear TrendLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=14)

t-Statistic Prob.*




Ipoteza nulă se acceptă, valoarea calculată a testului, DF=t-Statistic=-1.38, fiind mai maredecât valorile critice aferente oricărui nivel de semnificaţie. Prin urmare, seria are rădăcinăunitate (are tendinţă stochastică). Aceeaşi decizie se obţine şi în baza probabilităţii Prob=0.86

%5> .

d) Seria considerată aici redă evoluţia lunară a câştigului salarial mediu nominal brutîn economie, pentru perioada ianuarie 2005-octombrie 20111. Evoluţia câştigului salarialmediu lunar, redată în figura următoare, este vizibil nestaţionară.

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Castig salarial

-300

-200

-100

0

100

200

300

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Variatia castigului salarial

Testul ADF, în varianta Trend and Intercept , aplicat pe datele observate, Level , acceptă

ipoteza nulă (Prob=0.92 > 5%), prin urmare seria are rădăcină unitate (tendinţă stochastică).1 Sursa datelor: Institutul Naţional de Statistică http://www.insse.ro.

24

http://www.insse.ro/

http://www.insse.ro/



Null Hypothesis: SALARIU has a unit rootExogenous: Constant, Linear TrendLag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)

t-Statistic Prob.*




Diferenţele de ordinul unu 1−−=∆= t t t t Y Y Y X redau variaţia câştigului salarial faţă de lunaanterioară; graficul acestora este alături de seria observată. Testul ADF aplicat asupradiferenţelor de ordinul unu, din View/Unit Root Test/1st difference (stând pe seria salariului)cu varianta None (deoarece fluctuaţiile diferenţelor de ordinul 1 sunt în jurul lui zero, conformgraficului), indică:

Null Hypothesis: D(SALARIU) has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)

t-Statistic Prob.*




respingerea ipotezei nule (Prob=0.00< 5%); seria diferenţelor este staţionară. Evoluţiasalariului este nestaţionară, dar diferenţele de ordinul 1 devin staţionare; după o singură

diferenţiere seria devine staţionară.

2.3. Detectarea dependenţelor dinamice din seria de timp

Se consideră o serie stationară t Y . Dacă datele observate sunt nestaţionare, atunci acestea sestaţionalizează, în prealabil.

a) Funcţia de autocorelaţie AC. Coeficientul de autocorelaţie k r măsoară corelaţia

liniară dintre două observaţii t Y şi k t Y − separate de k unităţi de timp:

)()(

),(),(k t t

k t t

k t t k Y Var Y Var

Y Y CovY Y Corr r −

−− ==

sau, ţinând seama de staţionalitatea seriei, rezultă:( )( )[ ]

)( t

k t t k

Y Var

Y Y E r

µ µ −−= −

.

Coeficientul ]1,1[−∈k r măsoară corelaţia liniară dintre două variabile t Y şi k t Y − separate dek unităţi de timp; valoarea zero indică lipsa corelaţiei liniare, iar valori apropiate de 1 sau -1indică o corelaţie liniară puternică.

Estimarea funcţiei de autocorelaţie. Estimarea funcţiei revine la estimarea coeficienţilor

de corelaţie liniară pentru două observaţii separate de k unităţi de timp (Yt,Yt-k ), când k iavalori din ce în ce mai mari:

25



k = 1 (Yt, Yt-1). 1r

k = 2 (Yt, Yt-2). 2r

.................................................................k = M (Yt, Yt-M) M r

Coeficientul de autocorelaţie k r se estimează prin:( )( )

( )∑

∑

=

+=−

−

−−−=

T

t

t

T

k t

k t t

k

Y Y T

Y Y Y Y k T

r

1

2

1

)/1(

)/1(

ˆ ,

unde ∑=

=T

t

t Y T Y 1

)/1( este media observaţiilor. Dacă lungimea seriei este suficient de mare,

atunci T k T ≅− şi estimatorul devine:

( )( )

( )∑

∑

=

+=

−

−

−−

=T

t

t

T

k t

k t t

k

Y Y

Y Y Y Y

r

1

2

1ˆ .

La numărător se consideră toate perechile de observaţii separate de k unităţi de timp. Spreexemplu în calculul estimaţiei pentru ),( 22 −

= t t Y Y Corr r intervin perechile de observaţii

),( 13 Y Y , ),( 24 Y Y , ..., ),( 2−T T Y Y . Graficul funcţiei de autocorelaţie se numeşte corelogramă , şioferă informaţii importante privind dependenţa dintre observaţii.

Testarea nesemnificativităţii coeficieţilor de autocorelaţie. Testarea ipotezei nule, privindnesemnificativitatea coeficientului de autocorelaţie k r :

H0 :0=

k

r

cu alternativa H1:0≠

k

r

se realizează utilizând statistica Student:

( ))1,0(

ˆ

ˆ N

r Var

r t

k

k →=

ce converge asimtotic (când ∞→T ) către legea normală )1,0( N . Varianţa estimatoruluicoeficientului de autocorelaţie se aproximează prin ( ) T r Var k /1ˆ ≅ .

Decizia asupra ipotezei nule: pentru un nivel de semnificaţie α , ipoteza nulă H0 nu serespinge atunci când valoarea calculată a testului se află în intervalul de acceptare a ipotezei

nule [ ]2/2/ , α α z z t calc −∈ , sau echivalent T z T z r k /,/ˆ

2/2/ α α −∈ . Prin2/α z

s-a notat

valoarea critică aferentă nivelului de semnificaţieα

fixat. Dacă %5=

α , ipoteza H0:0=

k r

se acceptă atunci când T T r k /96.1,/96.1ˆ −∈ .

a) Funcţia de autocorelaţie parţială PAC. O mare parte din corelaţia între douăvariabile Yt şi Yt-k apare urmare a unui efect indirect, de corelare a ambelor variabile cuvariabilele intermediare 121 ,, −−−− k t t t Y Y Y . Coeficientul de autocorelaţie parţială măsoară

corelaţia între k t Y − şi Y t , după ce a fost extrasă corelaţia liniară transmisă prin variabilele

intermediare 121 ,, −−−− k t t t Y Y Y . Definiţia este similară cu cea a coeficientului de corelaţie parţială din econometria clasică.

Coeficientul de autocorelaţie parţială între două observaţii k t Y − şi Y t , separate de k

unităţi de timp, notat prin k c , se defineşte ca fiind coeficientul de regresie al variabilei k t Y −

26



în modelul ce include ca şi regresori variabilele aferente perioadelor precedente, numit modelautoregresiv AR(k):

t k t k k t k t t t Y cY aY aY aY ε +++++= −−−−−− 112211

Coeficientul k c măsoară informaţia adiţională adusă de variabila k t Y − în explicarea valorii

curente t Y ; arată cu câte unităţi se modifică în medie t Y dacă k t Y − creşte cu o unitate, iar

celelalte variabile 121 ,,−−−− k t t t Y Y Y rămân nemodificate. Astfel, se izolează influenţa

directă transmisă de variabila k t Y −

asupra valorii curente t Y . Pentru 1=k , coeficientul deautocorelaţie şi coeficientul de autocorelaţie parţială coincid 11 cr = . Coeficienţii deautocorelaţie parţială înregistrează valori în intervalul ]1,1[− , valoarea zero indicând lipsacorelaţiei liniare.

Estimarea coeficienţilor de autocorelaţie parţială. O estimare directă a coeficienţilor deautocorelaţie parţială constă în estimarea coeficienţilor de regresie din modeleleautoregresive anterioare, utilizând metoda celor mai mici pătrate. Astfel, 1c se estimează prin

coeficientul de regresie al variabilei 1−t Y în modelul autoregresiv AR(1):

,11 t t t Y cY ε +=

−

2c este coeficientul de regresie al variabilei 2−t Y în modelul autoregresiv AR(2):,2211 t t t t Y cY aY ε ++=

−−

3c este coeficientul de regresie al variabilei3−t Y

în modelul autoregresiv AR(3):

t t t t t Y cY cY aY ε +++=−−− 332211

......................................

M c este coeficientul de regresie al variabileiM t Y −

în modelul autoregresiv AR(M):.112211 t M t M M t M t t t Y cY aY aY aY ε +++++=

−−−−−−

Testarea nesemnificativităţii coeficientului de autocorelaţie parţială . Testarea

nesemnificativităţii coeficientului de autocorelaţie parţială k c :H0: 0=k c cu alternativa H1: 0≠k c

se realizează similar cu cea a coeficientului de autocorelaţie, utilizând statistica Student:

( ))1,0(

ˆ

ˆ N

cVar

ct

k

k →=

Valorile critice sunt date de legea normala )1,0( N . Pentru varianţa estimatorului coeficientuluide autocorelaţie parţială se utilizează de regulă expresia ( ) T cVar k 1ˆ ≅ .

Decizia asupra ipotezei nule: pentru un nivel de semnificaţie α , ipoteza nulă H0 nu serespinge dacă [ ]2/2/ , α α z z t calc −∈ , sau echivalent T z T z ck /,/ˆ

2/2/ α α −∈ , unde 2/α z este

valoarea critică aferentă nivelului de semnificaţie α . Exemplu 9. Estimarea şi semnificativitatea coeficienţilor AC şi PAC. Reluăm seriile

staţionare din exemplul 7. a) Considerăm seria de tip zgomot alb )1,0(... N d iit ∈ε . Încorelograma aferentă:

27



coeficienţii cu valori pozitive sunt redaţi grafic pe partea dreaptă, iar cei cu valori negative pe partea stângă; linia verticală corespunde valorii zero (lipsei corelaţiei liniare). Toţi coeficienţiiau valori apropiate de zero, ceea ce sugerează inexistenţa unor corelaţii în serie. Spre

exemplu, coeficientul de autocorelaţie dintre valoarea curentă şi cea din perioada anterioarăeste 014.01̂ =r , iar cel dintre valoarea curentă şi valoarea înregistrată cu 10 unităţi de timp în

urmă este 066.01̂0 −=r .

Limitele intervalului de acceptare a ipotezei nule H0: 0=k r sunt trasate cu linie punctată,

şi corespund intervalului [ ]T T 2,2− . Valoarea critică considerată este 22/ =α z ,

valoare ce corespunde unui nivel de semnificaţie de aproximativ 5%. Ipoteza nulă H 0: 0=k r se acceptă atunci când valoarea calculată a coeficientului este în intervalul T T 2,2− .Acelaşi interval de acceptare este indicat şi în cazul ipotezei nule H0: 0=k c coeficient deautocorelaţie parţială nesemnificativ. Valorile calculate, în eşantionul de date disponibil, nu

sunt suficient de mari pentru a respinge ipoteza nulă.Pentru seria considerată, intervalul de acceptare a ipotezei nule este [ ]3002,3002− adică [ ]115.0,115.0− . Estimaţiile coeficienţilor de autocorelaţie şi de autocorelaţie parţialăsunt în acest interval, prin urmare ipotezele nule, aferente fiecărui coeficient în parte, seacceptă. Niciunul dintre coeficienţi nu este semnificativ diferit de zero; nu există autocorelaţiiîntre termenii seriei, aşa cum era de aşteptat (seria este realizarea unui secvenţe de variabileindependente). Seria nu are memorie.

b) Corelograma seriei ce redă evoluţia lunară a ratei inflaţiei în zona EU15, perioadaianuarie 2000-decembrie 2006, este:

Intervalul de acceptare a ipotezelor H0: 0=k r respectiv H0: 0=k c este [ ]842,842− ,

sau [ ]218.0,218.0− . Coeficienţii semnificativi, dintre primii, sunt: 1r , 2r respectiv 1c , 2c .

Prin urmare rata inflaţiei din luna curentă este corelată cu valorile inflaţiei din ultimele două

28



luni, după care seria îşi pierde memoria. Sunt semnificativ diferiţi de zero coeficienţii ce

depăşesc limitele intervalului indicat cu linie punctată .Următorul coeficient semnificativ diferit de zero este 12r , deoarece

[ ]218.0,218.03.01̂2 −∉−=r , respectiv 12c . Semnificativitatea coeficientului aferent unei

întârzieri de 12 unităţi de timp ),(1212−

=t t

Y Y Corr r indică prezenţa unei sezonalităţi în date,deoarece 12 reprezintă chiar perioada componentei sezoniere. S-a detectat o corelaţie întreinflaţia înregistrată în aceeaşi lună din doi ani consecutivi (ianuarie anul curent şi ianuarieanul anterior, februarie anul curent şi februarie anul anterior, s.a.m.d.). În general, când seriaeste sezonieră şi are perioada p, valorile coeficienţilor p

r şi pc sunt semnificativ diferiţi de0.

c) Rata de variaţie, de la o perioadă la alta, a unui indicator exprimat în cifre absoluteeste de multe ori staţionară. De regulă, în econometrie, rata de variaţie procentuală aindicatorului Y în perioada t faţă de perioada anterioară t-1 se calculează în formă

logaritmică )/ln( 1−= t t t Y Y R unde

t Y este nivelul indicatorului în perioada t . Diferenţele de

ordinul 1 ale valorilor logaritmte t t t t t t

RY Y Y Y Y ==−=∆−−)ln(lnlnln

11 pot fiinterpretate ca rate de variaţie procentuală (faţă de perioada precedentă). Rata în formălogaritmică

t R constituie o aproximare pentru rata de variaţie11 )( −−−= t t t t Y Y Y r

calculată în baza relaţiei obişnuite.

Seria considerată redă evoluţia lunară a masei monetare M1, date desezonalizate, pentru perioada ianuarie 1999-decembrie 2006. Rata de variaţie, de la o lună la alta, este staţionară în jurul unei medii de 3%, iar amplitudinea variaţiei în jurul mediei este aproximativ constantăîn timp (abaterea standard este 1%). Evoluţia masei monetare, în această perioadă, esteexponenţială, de aceea se preferă graficul pe scară logaritmică, adică a valorilor logaritmateln(M1).

Figura 11. Masa monetară: evoluţie (date logaritmate) şi rata de variaţie

14.0

14.5

15.0

15.5

16.0

16.5

17.0

17.5

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Ln(M1)

.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Rata de variatie a masei monetare M1

Corelograma seriei ce redă evoluţia ratei lunare de variaţie a masei monetare M1, pentru perioada ianuarie 1999-decembrie 2006:

29



indică semnificativitatea coeficienţilor 1r şi 1c respectiv a coeficienţilor 12r şi 12c ,aceştia din urmă fiind corespunzători sezonalităţii; datele sunt lunare, perioada componenteisezoniere este 12. Deşi datele au fost desezonalizate (cu metoda Tramo/Seats), a rămas ouşoară sezonalitate în date.

Bibliografie.1. Buiga, A., Dragoş C., Lazăr D., Parpucea I., Statistică descriptiva, Ed. Mediamira, Cluj-

Napoca, 2010 (capitolul 6).2. Dorina Lazar. Analiza seriilor de timp şi previziune. Notiţe electronice de curs.3. Dorina Lazar, Econometrie financiara, Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2011.4. Melard G., Methodes des prevision a court terme, Ed. de Universite de Bruxelles, 1990(disponibilă la biblioteca aferentă catedrei).

TeoriePentru ExamenAnalizaSeriilorDeTimp

Documents

Transcript of TeoriePentru ExamenAnalizaSeriilorDeTimp