COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACU PROFESOR CONSTANTIN CIOFU

Recapitulare pentru bacalaureat. DREAPTA N PLAN 1.( ) ( )2 2( , )( , )A AB A B AB BA x yAB x x y yBx y = + - distana dintre dou puncte A si B sau lungimea segmentului AB 2.( , ),( , ) 2 2A AA B A BM MB BA x yx x y yx yBx y+ + = =coordonatele mijlocului segmentului[AB] 3.0, , , ax by c a b c + += eR - ecuaia general a dreptei 4., , y mx n m n = + eR- ecuaia explicit a dreptei 5.( )A Ay y m x x = - ecuaia dreptei determinat de un punct( , )A AA x yi panta m 6. A AB A B Ax x y yx x y y = - ecuaia dreptei determinat de doua puncte( , )A AA x yi( , )B BBx y7. 11 01A AB Bx yx yx y=- ecuaia dreptei prin doua puncte( , )A AA x yi( , )B BBx ysub form de determinant 8. B AB Ay ymx x= - panta dreptei AB 9. ( , ) 1( , ) , 1 01 ( , )A A A AB B B BC C C CAx y x yBx y A B si C coliniare x yx y Cx y =10. 11121A AABC B BC Cx yA x yx yA=- aria triunghiului ABC 11. 1 1 1 11 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2: 0; 1: 0d a x b y cd d m m d d m md a x b y c+ + = = = + + = 12. Distana de la un punct( , )A AA x yla o dreapt: 0, d ax by c + += ( )2 2,A Aax by cd A da b+ +=+ COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACU PROFESOR CONSTANTIN CIOFU Exerciii rezolvate 1. n reperul cartezian xOy se consider punctele( ) ( ) ( ) 1;1 ; 2; 3 ; 0; 2 A B C . a) Reprezentai punctele A, B i C n reperul cartezian xOy; b) Calculai perimetrulABC A ; c) Determinai coordonatele mijloacelor segmentelor | | | |, AB ACi | |BC ; d) Determinai coordonatele simetricului punctului A fa de originea sistemului de axe xOy; e) Scriei ecuaia dreptei ce trece prin punctele A i C; f) Scriei ecuaia dreptei ce trece prin A i este paralel cu dreapta (BC); g) Scriei ecuaia nlimii din B; h) Scriei ecuaia mediatoarei corespunztoare segmentului | |AB ; i) Determinaimeastfel nct punctele( ) , ; 3 A B si Dm s fie coliniare; j) Calculai ariaABC A ; k) Determinai distana de la punctul B la dreapta() : 3 2 1 0 d x y = . Rezolvare. b) ABCP AB AC BCA= + +( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 22 2 2 21 2 1 3 25 51 0 1 2 2 5 2 292 0 3 2 29A B A BA C A C ABCB C B CAB x x y yAC x x y y PBC x x y yA= + = + + = == + = + = = + += + = + = c) Fie M-mijlocul lui | |1 2 112 2 2; 11 3 212 2A BMA BMx xxAB My yy+ + = = = | | |+ \ .= = = Fie N-mijlocul lui | |1 0 11 32 2 2;1 2 3 2 22 2 2A CNA CNx xxAC Ny yy+ + = = = | | |+ +\ .= = =

Fie P-mijlocul lui | |2 0112 21;3 2 1 22 2 2B CPB CPx xxBC Py yy+ + = = = | | |+ +\ .= = = d) Fie S simetricul punctului A fa de originea O ( )10 32 23; 110 12 2A S SO SA S SO Sx x xx xNy y yy y+ + = = = + += = = e)( ) ( ) ( )1 1: : : 2 00 1 2 1A AC A C Ax x y y x yAC AC AC x yx x y y + = = + = + f) Notm dreapta ce trece prin A i este paralel cu BC cu( )Ad52AC BA d BCC By yd BC m mx x = = = COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACU PROFESOR CONSTANTIN CIOFU ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5: : 1 1 : 2 5 3 02AA A d A A Ad y y m x x d y x d y x = = + + +=g) Fie 11 1BB AC BBACBB AC m m mm' '' = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : : 3 1 2 : 5 0B BB BBB y y m x x BB y x BB x y'' ' ' = + = + +=h) 1; 12M | | |\ . este mijlocul segmentului | |AB| |( )( )| |( )| |( )4 1: : 1 : 6 6 8 43 2M AB M AB AB ABd y y m x x d y x d y x| | = + = + = + |\ . | |( ): 8 6 2 0ABd x y + + =i) 1 1 1 1, 1 0 2 3 1 0 4 8 0 21 3 1A AB BD Dx yA B si D coliniare x y m mx y m = = = = j) 1 1 11 7, 2 3 1 72 20 2 1ABC ABCA d d AA A= = = =k)( )( ) ( ) ( )( )2 2 2232 2 3 111 1113,13 133 2B Bax by cd B da b+ + + += = = =++ . 2. Se consider punctele( ) ( ) ( ) 1; 2, 1;3 ,1 A B si Cm . Determinaimepentru careABC Aeste dreptunghic n A. Rezolvare.Metoda 1 ( )( )( )( )( )( )( )( )22 2 2 2 221; 2291;31; 21 9 1 2 4 29 1 2 9;11;31 4;1AABBAAC m BC AB AC m m m mCmBBC mCm = = + = + + + + = + + + = + 34 174 344 2m m m = = =Metoda 2 525 3 171 1 2 2 153 2 1 21B AABB AAB ACC AACC Ay ymx xAB AC m m m my y mmx x m= = = = = = = = 3. S se determine numrul real m pentru care punctul 11;2A| | |\ . se afl pe dreapta de ecuaie 2 3 3 0 x y m + =Rezolvare COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACU PROFESOR CONSTANTIN CIOFU 11;2A| | |\ . este situat pe dreapta dat dac coordonatele sale verific ecuaia dreptei. ( )11 3 132 1 3 3 0 512 2 22xm m my= + = = + == 4. Aflati numrul real m, tiind c lungimea segmentului determinat de punctele( ) 1; 2 Ai( ) ; 1 Bm este egal cu 3. Rezolvare. ( )( )( )2 22 2 21; 21 9 2 10 3 2 10 9 2 1 0; 1AAB m m m m m m mBm = + + = + = + = 1 21 m m = =5. Determinai coordonatele punctului de intersecie al dreptelor de ecuaii( )1: 3 1 0 d x y + =i ( )2: 2 7 0 d x y + = . Rezolvare. Fie{ }1 2P d d = Coordonatele punctului de intersecie al celor 2 drepte sunt date de soluiile sistemului determinat de cele 2 ecuaii. ( )3 1 0 2 6 2 0 5 5 0 1 13; 12 7 0 2 7 0 2 7 0 2 1 7 0 3x y x y y y yPx y x y x y x x + = + = = = = + = + = + + = + = = COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACU PROFESOR CONSTANTIN CIOFU 1. Se da triunghiul de varfuri A(-2, 3), B(-1, -1), C(1, 4). Sa se gaseasca : a.ecuatia dreptei AC. b.ecuatia paralelei prin B la AC. c.ecuatia mediatoarei segmentului BC. d.ecuatia medianei din C. e.ecuatia inaltimii din C . 2.SeconsiderpuncteleA(1,1),B(2,3)iC(3,m).AflatinumrulrealmpentrucareA,BiCsunt coliniare. 3. Se consider punctele A(-1,-1), B(1,1) i C(0,-2). Aratati c triunghiul ABC este dreptunghic n A. 4. S se determine ecuaia dreptei care conine punctul A(1,1) i este paralel cu dreapta 4x+2y+5=0. 5. S se calculeze lungimea segmentului determinat de punctele A(2,3) i B(5,-1). 6. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctele A(2,-1) i B(1,-2). 7.SsedeterminenumrulrealmpentrucarepunctulA(2,3)seaflpedreaptadeecuaie 2 4 3 1 0 x y m + = . 8.Aflatinumrulreala,tiindclungimeasegmentuluideterminatdepuncteleA(-1,2)iB(1-a,1+a), este egal cu 2 9. S se determine coordonatele simetricului punctului A(2,-4) fa de B(1,-2) 10.CalculatidistanadelapunctulO(0,0)lapunctuldeinterseciealdreptelor 1: 2 2 0 d x y = i 2 : 3 8 0 d x y + =11.SeconsiderpuncteleA(1,a),B(2,-1),C(3,2)iD(1,-2).Ssedeterminenumrulreala,tiindc dreptele AB i CD sunt paralele. 12. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera triunghiului ABC determinat de dreptele de ecuatii( ) ( ) AB: x 2y 4 0, BC: 3x y 2 0 + = + =i( ) AC: x 3y 4 0 = . Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC. 13. Se considera dreptele de ecuatii( ) ( )1 2d : 2x 5y 7 0 sid : 4x 10y 9 0. + = + +=a) Sa se arate ca dreptele sunt paralele. b) Sa se calculeze coordonatele punctelor de intersectie ale celor dou drepte cu dreapta (d3): x+y+1=0.