teoria_haosului

8/2/2019 teoria_haosului

http://slidepdf.com/reader/full/teoriahaosului 1/15

Pagina 1 din 15

Se cheam fizica neliniar sau disertaie pentru ÄTeoria haosului´

I. S începem cu o prezentare! Nu este în mod special adresat unui grup de elevi,sau categorie de profesori. Este mai mult o Äpoveste´, poate nou pentru muli, care sne familiarizeze cu tema propus...

În principal într-un asemenea capitol (care practic s-a nscut de nici 50 de ani) se discutdespre dinamica neliniar, dup care apare un termen folosit curent de noi Ähaosul´, dar nuoricum, ci ca Äteoria haosului´.

Cu termeni i expresii de tipul Äsisteme dinamice i haos´; Äspaiul strilor i spaiulfazelor´; Äspaiul fazelor i traiectoria´; Äsisteme conservative´; Äsisteme disipative´ (din punct devedere energetic); Äbifurcaii´; Äuniversalitate´ Äfractali´ i Ägeometrie fractal´; Ädivergene´ iÄsgeata´ timpului .a.m.d. v introducem de fapt în teoria haosului.

Dac e haos evident c e destul de dificil s putem parcurge nu neaprat în mod

ordonat, dar strict în mod logic, noutile specifice acestei teorii. Nouti... i nu numai, pentru coricât de greu ni s-ar prea s înelegem, dei n-are nici 50 de ani, aspectele acestei teorii apar direct, sau interpretabil - azi de ctre noi, de peste 200 de ani! Are ea ceva cu teoria relativitii?Hm!? Poate, dar nu neaprat pân nu vom ti mai exact. Are ea ceva comun cu teoria atomo-molecular!? Hm! Înc se studiaz acest aspect. Dar atunci ce are haosul comun cu ce amstudiat noi pîn acum la fizic? Eu tiu? Cu ceva din geometrie, cu ceva din analiz, cu ceva dinalgebr? Poate mai mult cu ceva din calculul probabilistic, dar acesta nu se studiaz strict lamatematic, ci mai mult este citat la unele teme din chimie i prezentat ca suport de tem, lafizic. În schimb, surpriz, are extrem de mult în comun cu domenii nestudiate în programacolar sau cu altele la care nici nu ne-am gîndi: meteorologia (în primul rând), istoria (în aldoilea rând), sociologia (în al treilea rând), politica (i nu în ultimul rând) cât i în extrem de

multe alte domenii pe care nici nu bnuim c atunci când practic le aplicm, dm dovad deÄcunotine´ din teoria haosului.

Spuneam c tiina este foarte nou chiar dac Pierre Simon, Marquis de Laplace,spunea în 1776 c starea momentan a sistemului Änatur´ este bineneles urmarea a ceea ceel a fost în momentul anterior i, dac ne imaginm o inteligen care ar putea cunoate/înelegetoate relaiile la momentul respectiv între prile universului, aceasta ar putea presupune, ar prezice, ar cunoate chiar toate posibilele momente i micri ale acestor sisteme... i eram în1776. În fizic, pornim astzi de la ideea c astfel de reguli Äneschimbabile´ (determinabile) suntposibile, pe baza crora unele fenomene naturale sau tehnologice decurg. Noi avem astzi

încredere c astfel de fenomene decurg identic, dac sunt supuse acelorai condiii.

Dac vorbim de teoria haosului trebuie s amintim permanent, i-o vom face în acestmaterial, de activitatea ilustrat prin lucrrile sale, de Ilya Prigogine. El, ca i f izicianul Feynman,i-au pus problema cum evolueaz tiina i dac va fi necesar reformularea multor legi alefizicii, în timp ce muli ali fizicieni, au considerat aceast reformulare sau modificare ca fiindnenecesare. Feynman i Hawking consider c actualele legi ale naturii se refer strict la ununivers reversibil i nu fac deosebire între trecut i viitor.



Pagina 2 din 15

De fapt de la filosofii greci i pân la Feynman i Hawking fizica a negat în modparadoxal sgeata timpului i marea ei influen asupra fenomenelor naturii. Altfel zis, influenatimpului a fost redus strict sau în cele mai fericite cazuri doar la efecte neglijabile asuprafenomenelor. În ultimul deceniu al secolului 20 s-a impus totui un nou concept asuprainstabilitii dinamice a fenomenelor naturale, respectiv asupra rolului haosului.

Noiunea de haos implic dezordine, deci imprevizibilitate. Acest haos poate fi totui încorporat în legile naturii doar dac acestea sunt extinse, permiând loc i probabilitii,ireversibilitii, instabilitii i calculelor statistice. Se mai cere renunarea la descrierea unor mrimi ca traiectoria sau funcia ondulatorie în favoarea descrierii noiunii de simetrie fractal.

Între legile tradiionale ale f izicii clasice (respectiv ale naturii) i unele descrieri fenomenologice,au aprut adesea discrepane care se datoreaz greelilor privind neglijena factorilor de timp îndecursul fenomenelor. Prin introducerea noiunii de haos se ajunge la o coeren între legi ifenomene naturale deoarece nu se mai neag abaterile de la legi privind timpul ci se permitelrgirea acestora (prin cuprinderea de termeni suplimentari).

În acest sens în natur se cunosc multe sisteme instabile ca transformri geometrice saucristalizrile (pe timpi discrei) ori sistemele cuantic-dinamice în care timpul acioneaz continuu.Se impune astfel azi ideea c fizica i legile ei trebuie s descrie i evoluia acestor sistemeinstabile.

Se arunc o minge, de exemplu, de dou ori cu aceeai vitez în aceeai direcie. E deateptat s se opreasc, s ajung în acelai punct. Ce nu s-a luat în considerare e c în timpulcelor dou experimente mingea e influenat, în timpul rostogolirii, de factori externi. i aa, dela o mic modificare în traiectoria iniial se ajunge la o diferen mare în punctul de oprire. Înacest exemplu dat, chiar i aa se ateapt ca la urmtoarele experimente repetate în aceleaicondiii mingea s se opreasc tot mai aproape de primul punct de oprire. În astfel de cazuri

ajungem s vorbim despre o cauzalitate puternic. Astfel de exemple de fenomene ce decurgdup o cauzalitate puternic se desfoar în general dup un grafic liniar, i noi, clasic, înfizic, le acordm legi ale dinamicii i le definim dup sistemul clasic. Fizica clasic a reuit cusucces s traduc legile ei în formule matematice. Acest lucru se poate i acum realiza deiaceasta îngreuneaz puin faptul c exemplele se adreseaz unui public larg, nu numaifizicienilor teoretici iar formulele matematice trebuie corectate cu factorul Äsgeat timp´. Estedeci necesar o mai mare rigurozitate matematic care s fundamenteze i analizeze sensulecuaiilor ce includ pe lâng descrierea sistemelor i schimbrile de perspectiv (variabil latimp).

Dac ce-am prezentat pân acum v-a generat mcar curiozitatea (dac nu chiar i

atenia) s continum amintind c din 1880 Henry Poincaré spunea c cea mai mic diferen încondiiile de pornire duce la mari (enorme câteodat) diferene în starea final a sistemului; omic eroare în proiectarea unui experiment poate duce la abateri nemsurabile. În astfel decazuri predicia ar fi imposibil.

Într-un fel sau altul ar trebui s vorbim, ca o parantez, despre bifurcaii. Latinesculramificaie se regsete aici ca o modificare a valorilor unui sistem care trece din faza primar ±un punct fix, în perioad 2, apoi în perioad 4, .a.m.d, ca în final s dezvolte o micare



Pagina 3 din 15

aperiodic, i asta strict datorit unei minimale modificri a unui paramentru de continuitate almicrii. Rolul deosebit al diagramei logice pe care un astfel de sistem ar prezenta-o, este ceeace diagrama Poincaré pentru sisteme dinamice multiple prezenta ca o structur similar iurmrea aceste bifurcaii. Se spune despre astfel de sisteme c ating o micare haotic într-unscenariu al arborelui stufos.

Se constat astfel în natur la o serie de manifestri haotice (de ex. la turbuleneleobservate în cazul lichidelor), apariii care sunt consecine ale unei instabiliti a sistemelor. Unalt exemplu ar fi al pendului fr frecare, care este considerat un sistem stabil, cu timpul însputem observa apariia unor perturbri ce duc inevitabil la instabilitatea sistemului i de aici laoprirea lui. Dar i la alte sisteme mecanice considerate de asemenea stabile putem observa întimp apariia unor perturbri ce se pot amplifica producând acele stri de instabilitate genericnumite de noi în acest material haos. Chiar dac fizica clasic le consider înc modificrineglijabile, într-o serie de capitole de baz ale obiectului fizic studiat în clasele gimnaziale iliceale folosind curent expresiile cunoscute: Äconsiderm c ....´, Äsistem fr frecare...´, Äsistemideal...´ etc., pe noi, în aceast prezentare ne intereseaz influena instabilitii asupra

conceptului de determinism, universalitate, ordine, sistem.

În civilizaia modern tiina ocup un rol de baz dar alturi avem cultura umanist,sociologia, politica, mai nou managementul i economia finanelor. În timp ce prima, tiina, seexplic prin formule matematice, celelalte, apreciind mai puin frumuseea acestor formule,redau mai mult aspectele vieii prin Äexpresii artistice´ (nu neaprat formule) ± muzic, pictur,literatur, etc. i se constat uneori c aceste aspecte, chiar i ele, se abat de la anumite legi(ale naturii, sau umane) fcându-le s se încadreze în cele dou culturi, cea matematic i ceafizic. Oare între acestea dou care e factorul comun, de legtur? Bineneles acelai pe care l-am prezentat la începutul legii de fa: timpul. În f izica clasic, chiar i în mecanica cuantic seobserv tendina determinist a fenomenelor. În cultura umanist (art, sociologie, psihologie

chiar i economie, etc.) apar i noiunile de risc i incertitudine, care modific mersulevenimentelor artând dac mai era nevoie c cultura umanist red mai fidel realitatea decâtformulele clasice ale tiinei. i fizica, i celelalte domenii enumerate prezint cu ajutorul teorieihaosului faptul c micrile haotice nu vor sta niciodat la baza unor predicii despre proprietii micri ale sistemelor caracterizate.

Fizica i chimia clasice, au stabilit legi pentru fenomene simple, în timp ce culturaumanist a descris întotdeauna manifestri complexe, cele pe care le întâlnim în via.

S nu uitm c inclusiv în domeniul particulelor elementare, în cosmologie sau de ce nu, în biologie, au fost deja confirmate fenomene complexe care nu corespund fenomenelor clasice

dar pentru care au fost întotdeauna prin restrângere realizate modele simple, care au pututdescrie cu o relativ aproximaie valorile comportrii. Exemple de astfel de comportri descrisecu aproximaie prin ceea ce am prezentat sunt: funcionarea creierului uman, comportarea unor colectiviti de insecte sau chiar atitudini i reacii ale unor alte comuniti de animale.

Aceste încercri arat c între cele dou domenii de cultur (tiin i umanism) existpermanent (poate necunoscute înc integral) interferene. Nu cumva aceste interferene ar putea fi mai bine explicate prin folosirea influenei timpului, acea sgeat a timpului de care



Pagina 4 din 15

vorbeam la începutul materialului nostru? Un progres a fost cu siguran fcut atunci când timpuls-a inclus în tiinele clasice dei prin aceasta noiunea de timp a devenit Ämai srac´,nedistrugând sensul ei de tranziie i viitor.

În toate fenomenele fizice, chimice, biologice, cosmologice i sociale trecutul i viitorul joac un rol difereniat, deosebit. Punem, cum e normal, urmtoarea întrebare: cum acioneazrolul difereniat al timpului? În paradoxul timpului se deosebesc trei etape: sesizarea acestuia lasfâritul secolului al XIX ± lea, impunerea lui în primele decenii ale secolului XX, i încercarearezolvrii problemei timpului în ultimul deceniu al secolului XX. Doar c aceast rezolvareimplic o mare dificultate, lipsindu-ne înc terminologia matematic, cea care fr un vocabular potrivit, specific limbajului nu d posibilitatea descrierii corecte a ceea ce încercm sprezentm ca factor esenial în haos, timpul.

Dac ne referim la concepia clasic a fenomenelor, pot cele dou noiuni de a f i i ceade a deveni, s se compare cu conceptul de adevr i cu cel de iluzie (conceptul lui Platon)?

Acesta, avea scopul de a descoperi aparena schimbrii, sau ceea ce e neschimbabil.

Rspunsul e negativ, deoarece importana ideii de desfurare în timp (adic evoluia i efectivschimbarea) era neglijat, deci nu apare în acest concept. De aceea aceast tendin a tiinei a întâmpinat mari dificulti fcând ca mai târziu s fie comparat mai mult cu un arbore stufos.

Cam la dou mii de ani, dup acest moment (de la Platon) Einstein arta de exemplu cemisia spontan de fotoni este un fenomen întâmpltor i imprevizibil. Cercetarea gravitaiei i-aelectromagnetismului a fost fcut de fizica clasic dar, mai târziu fizica modern a constatatnecesar adugarea i a influenei interaciunilor particulelor cutând o lege general care în finals stea la baza celorlalte legi ale naturii. Menionm aici aportul adus de Einstein prin teoriaunitar a câmpurilor.

A cuprinde îns, la o scar mai mare, aceste interaciuni, nu a fost (i nu este nici înmomentul actual) o problem simpl, lucru artat inclusiv la începutul secolului XIX de teoriaevoluionist a lui Darwin în biologie, ca de altfel i în termodinamic, chiar mai repede, o datcu industrializarea. Dac ne meninem pe firul istoriei gsim paralel cu acestea apariia temeiomului de viitor, tem generat de epuizarea resurselor naturale i mai ales a ideii moriitermice. În timp ce teoria evoluionist în biologie demonstreaz influena timpului (evoluia), termodinamica prevede nivelarea temperaturilor (prin asta, moartea termic a universului).Universul pornete de la o ordine iniial i o entropie joas care în final ajunge la entropiemaxim i deci la un Final. Totui ideea de evoluie darwinist impune introducerea sgeii timp i în tiin, în timp ce fizica lui Newton (i muli alii dup el), nu o cerea.

Din secolul XIX ideea de ireversibilitate se impune i în termodinamic. Primul cercettor care scoate în eviden paradoxul timpului a fost fizicianul austriac Ludwig Boltzmann care d în1872 o fundamentare dinamic i microscopic a sgeii timp în termodinamic (prezentând iinfluena lui). Lucrrile lui au fost vehement contestate în lumea fizicienilor care-l acuzau cideile prezentate de el cu argumente cu tot, sunt lipsite de logic. Toi aceti fizicieni contestatarinu recunoteau influena timpului în evoluia fenomenelor deoarece tiina i legile ei se bazaustrict pe echivalena dintre trecut i viitor. S lum un exemplu: dac se consider dou vasecomunicante în care particulele sunt inegal distribuite constatm cu timpul, c numrul lor în



Pagina 5 din 15

cele dou vase se egaleaz. Lucru pe care Boltzmann l-a artat cu acest exemplu este c, întimp se constat schimbarea distribuiei deoarece dup egalizarea lor, particulele se distribuiedin nou în cele dou vase, inegal. Adic marea majoritate a cercettorilor prezentau observaiaegalizrii particulelor bazat strict pe limitele rbdrii lor. Acest aspect este valabil în timp pentrumajoritatea proceselor ± egalizarea i inegalizarea se schimb ducând la ireversibilitate.

Ideea ireversibilitii dinamice era de neconceput pentru fizicienii clasici la acea dat. Încet dar sigur ideea influenei timpului se impune i tot mai muli cercettori se arat interesaide ea. Practic inflena timpului în evoluia fenomenelor l-a preocupat pe om demult, dar n-a tiuts-o aeze în temeiul studiului.

În unele doctrine sau religii s-a negat posibilitatea unui nou concept de a cercetaaciunile i cauzele care pot produce schimbri. Din antichitate apruse de la unii filozofi,observaia c dup un anumit timp unele sisteme revin la stri anterioare. Sunt incluse aici unnumr mare de exemple din lumea vegetal i animal când din vechile organisme apar noileorganisme care se dezvolt i repet procesul reproducerii. Pân i procesul relurii ciclului vital

include i maturizarea respectiv moartea primelor organisme fiind reluat ca proces deorganismele noi. S-a mai impus i observaia c acest proces de repetare poate fi ciclic sauspiralic. Ori ideea repetrii apare de-a lungul timpului susinut de tot mai muli cercettori dindiferite domenii ale tiinelor naturii, cât i din cultura umanist. Odat cu aceasta se observ iimpunerea, în final chiar recunoaterea, evoluiei.

II. i acum s încercm s ptrundem ceva mai adânc, chiar dac ne vom mairepeta, în elementele teoriei haosului.

Poincaré, în lucrarea Ätiina i metodele ei´ cere fizicienilor s aleag fenomenerepetabile tocmai pentru a putea descoperi legi generale. El a încercat dup 1905 s introduc

noiunea de subspaiu al unui spaiu al fazelor (o hipersuprafa) prin renumita ³tietur´ a sa,³tietura Poincare´: în general, un continuum are n dimensiuni dac e posibil s-l împrim înmai multe regiuni cu ajutorul uneia sau al mai multor tieturi, care îns sunt, continuumuri n-1 dimensionale. Prin asta, într-un subspaiu al spaiului fazelor, tietura Poincarè e astfel definit,

încât în acest spaiu, o anumit coordonat a spaiului fazelor s poat lua o anumit valoare.Pe acest subspaiu se raporteaz punctele tieturii cu ajutorul traiectoriilor în spaiul fazelor.

Aadar definiia modern a spaiului nu mai presupune c dimensiunea unui obiect trebuie s fie în mod necesar un numr întreg ci exist i obiecte cu dimensiune fracionar, fractalii deexemplu (fractalul este un obiect cu dimensiuni rupte în opoziie cu obiectele ca linii, suprafee,volume, care dein ca o caracteristic un numr întreg de dimensiuni). Ca un exemplu defractali, amintim aici toi atractorii ciudai cunoscui (prin atractori înelegând ca exemple simple,

puncte fixe sau cicluri limit). Un atractor este în general un domeniu în spaiul fazelor pe careun sistem odat ptruns în el nu îl mai poate prsi.

Mai târziu cercettorul Popper în lucrarea ÄCeasul i norii´ susine c fizica clasic s-aocupat mai mult de Äceasuri´ adic de procese simple care permit precizie, dar fizica moderntrebuie s cerceteze Änorii´ (de electroni, respectiv de particule macroscopice) în continu



Pagina 6 din 15

micare i schimbare. Împortant este dup cum rezulta la acel moment, c se pot depi limiteleteoriei clasice i coninutul metodelor acestora de cercetare.

Un exemplu din acel moment l-a reprezentat i studiul planetelor când s-a putut calculatraiectoria i viteza lor cu precizia Äceasului constatând posibilitatea apariiei unor abateri ce sedatorau influenei câmpurilor gravitaionale ale celorlalte planete. Acesta este un exemplu desistem neliniar conservativ (sistemul de dou corpuri ± soare i o planet - se poate rezolvaanalitic în teoria clasic, dar sistemul cu mai multe corpuri ± soare i planetele sistemului solar ±nu mai poate fi astfel rezolvat).

i în cazul însuirilor i caracterului unor indivizi acioneaz atât elementul ereditar cât icel al condiiilor ulterioare de via. Se poate spune deci, c în tiin, în ultimele decenii alesecolului 20 apare tot mai pregnant i mai necesar luarea în calcul a inflenei timpului asupraschimbrilor în sisteme.

Chiar i în politic, în istorie, se observ aceast influen dac se analizeaz diferena între sistemele de organizare politice i sociale ale diferitelor state (nu mai departe europenesau mondiale), modul lor de a trece de la conduceri absolutiste la cele dempocratice care difer

între ele datorit unor condiii interne sau externe.

Impunerea influenei timpului se bazeaz pe descoperirile în dou domenii: în primulrând este vorba despre descoperirea structurilor de neechilibru (numite disipative) sau fizic deneechilibru, care arat c materia se comport altfel în procesele ireversibile decât în celereversibile de echilibru. Un caz spectaculos îl reprezint unele sisteme de neechilibru (deexemplu fenomenul de cristalizare din soluii) când sistemul disipeaz energie în interaciuneacu mediul exterior, caracteristic complet diferit de starea de echilibru, când cristalele formatese izoleaz fr disipare de energie. Al doilea domeniu cerceteaz structurile disipative înlumina hidrodinamicii cinetice chimice i în optica laserului. Un exemplu cunoscut din practiceste instabilitatea Benard: atunci când se înclzete un lichid de jos, la o diferen mare detemperatur între straturile inferioare i superioare se formeaz turbioane spirale careantreneaz miliarde de molecule (particule) cu ele. Neechilibrul în acest caz creaz o situaie pedistane mari, fiecare molecul sau particul simte îns doar interacia cu particulele apropiate,cu alte cuvinte neechilibrul se manifest numai prin aciuni la distane mari.

S-a impus deci ideea c materia (i chiar societatea) se comport diferit în condiii deneechilibru când fenomenele ireversibile au rol primordial. În lumina legilor clasice ale tiinelor toate aceste abateri constatate au fost considerate Äiluzii´, deci care merit a fi neglijate, fiindchiar etichetate antitiinifice.

Dac revenim acum la procesul de cristalizare i considerm un sistem de amestec într-o soluie cu dou specii A i B dizolvate, diferit colorate, pentru a fi vzute cu un microscop demare rezoluie, se pot distinge dou cazuri diferite: o distribuie de concentraie egal în A i B lanivele superior i inferior, respectiv în timp o distribuie inegal (în interiorul structurii cristalineformat în timp). Dac moleculele respective sunt optic inactive (formele levo i dextro înconcentraii egale) i cristalele obinute în mod linitit sunt inactive deoarece distribuia în cristaleste egal între cele dou forme. Dac în timpul cristalizrii sistemul se agit se obine un



Pagina 7 din 15

amestec de levo i dextro. Pasteur de exemplu, afirma c deosebirea dintre cristalele levo idextro este esenial pentru înelegerea vieii deoarece viaa este o consecin a asimetrieiuniversului. Ruperea simetriei este dup prerea lui Pasteur o consecin a neechilibrului i aireversibilitii, respectiv a instabilitii inerente legilor dinamice ale materiei.

III.Rmânând îns, pe cât posibil, la un nivel matematic - al explicaiilor - ridicat dar nu greoi, s încercm s continum.

Chiar la unele sisteme simetrice dac se observ un timp îndelungat, se constat rupereasimetriei cu formarea unor structuri de neechilibru temporar, staionar, fenomen prezis de Turing

în 1952 i dovedit cantitativ în 1960 de Prigogine. Legea de formare a acestor structuri esteproporional cu (D/K)1/2, unde D este coeficientul de difuzie iar K este inversul timpului. Cuaceste lucrri a luat natere cristalografia de neechilibru. Exemplele din cristalografie ihidrodinamic care se refer la un numr mare de particule (molecule), la nivel macroscopic ducla ideea amestecului de determinism i probabilitate. Einstein a afirmat în una din ultimele lucrric cei care cred despre caracterul static al mecanicii cuantice c neag determinismul

macroscopic se îneal. Fenomenele de neechilibru, ireversibile, nu înseamn numai cretereadezordinii ci au i un rol constructiv în sistem. Toate acestea cer o reformulare a bazelor dinamice ale fenomenelor ireversibile. Printr-un sistem dinamic se înelege un mod abstract de adescrie un fenomen fizic sau chimic, economic sau ecologic chiar. Starea unui sistem dinamicnu poate îns fi descris decât de un ir de variabile astfel alese încât s descrie situaii fizicesupunându-se îns evoluiei lor în timp (exemple: un pendul matematic la care unghiul depete valori mici de oscilaie, caz în care micarea lui va fi neliniar, nearmonic; micareacorpurilor în mecanica clasic, curgerea curenilor prin circuite închise, desfurarea unor reaciichimice, dezvoltarea mrimilor economice i chiar dezvoltarea populaiilor în biologie).

Dup teoriile clasice, ireversibilitatea s-ar baza pe insuficiena metodelor de cercetare i

cunoatere. Dup Hawking cunoscut din ÄO scurt istorie a timpului´, trebuie reformulate toatelegile dinamicii (clasic, cuantic, relativist etc.) deoarece acestea nu conin ³vectorul timpului´,respectiv nu fac deosebire între Ädireciile înainte i înapoi´ (trecut/viitor). Acest lucru este însfoarte dificil deoarece ar solicita o colaborare strâns i intens între toi oamenii de tiin i dece nu, i de cultur. El amintete o comparaie fcut de Heisenberg între un pictor abstract iun cercettor de fizic teoretic: în timp ce primul e original al doilea e cât mai neoriginal cuputin. Referitor la lumea macroscopic, Boltzmann n-a reuit s introduc principiul al doilea altermodinamicii în fizica clasic tocmai deoarece ireversibilitatea postulat de termodinamic era

în contradicie cu legile reversibile ale dinamicii clasice. De abia la sfâritul secolului XX s-aprodus o schimbare de concepie când Sir Lightbill, preedintele Uniunii Mecanicii Teoretice i

Aplicative a Fizicienilor, a afirmat în 1986 c entuziasmul pentru mecanica lui Newton a fost fals,i deci determinismul acestor legi (cât i a celor derivate din ele) nu are o baz real. Aceastafirmaie s-a bazat pe un bogat studiu al unor sisteme dinamice haotice observate la curgereaunor fluide de la modul laminar pân la cel turbionar. Miliardele de particule nu au în acest cazstudiat traiectorii precise, descriptibile ci doar aproximativ direcionate.

Este cunoscut din matematic formula irului lui Bernoulli: xn+1 = 2xn (unde Än´ estenumrul de iteraii). Aceast formul conduce de exemplu la o serie de iruri ca 0,13; 0,26; 0,52;



Pagina 8 din 15

sare apoi la 0,04; 0,08; 0,16 ... când se observ creterea numerelor pân la apropierea deunitate i totodat micorarea lor. Pentru înelegere se reprezint un numr x în sistemul binar:x = n1 /2 + n2 /4 + n3 /8 + ..., unde n1, n2, n3, ... sunt 0 sau 1, iar irul definit xn+1 = 2xn

corespundecu irul Un = Un+1. Toate cifrele Ui se deplaseaz spre stânga i se observ c ele difer foartepuin (de exemplu la U40 / 240 ele difer între ele doar cu ½). Se mai observ c cea mai mic

abatere de la valoarea iniial care depete intervalul (0 - 1) duce la creteri exponenialerespectiv, traducând din matematic, mici cauze au efecte enorme asupra comportriisistemului. Particule care în curgerea laminar sunt la mici distane, prin trecere la curgere

turbional (sau turbulent), în timp ajung la distane enorme i cu traiectorii foarte diferite. (Caun exemplu este traiectoria a dou bile de biliard pe mas clasic dreptunghiular lovite dinpoziii apropiate i paralel, care vor avea permanent o traiectorie extrem de asemntoare iacelai experiment repetat pe o mas de biliard Ästadion´ cu pereii laterali rotunjii, când deja laa treia ciocnire diferenele în aceleai condiii de pornire între cele dou bile sunt enorme catraiectorie individual.) Distana între dou traiectorii (respectiv dou numere apropiate) creteexponenial cu timpul. Dac se noteaz cu (dx)n = (dx)0, dou traiectorii vecine, exp de n (unden este coeficientul de timp Lyapunov) se confirm inflena mare a timpului asupra traiectoriilor.

Aceste sisteme au o scal intrinsec a timpului unde 1/ este timpul Lyapunov. Dup un timpmai mare decât acesta Äamprenta´ strii iniiale se pierde.

Noiunea de traiectorie care era de baz în dinamica clasic devine astfel o idealizareneadecvat pentru intervalele de timp mai mari decât 1/. Aceast situaie i exemplul datreprezint haosul dinamic (de exemplu moleculele în termodinamic, teoria cinetico-molecular, micarea brownian, ca i sisteme cuantice i modele din biologie i economie lacare termenii stohastici simuleaz modificri cerute de întâmplare) iar calculele pot reflectarealitatea numai dac se fac pe baz statistic-probabilistic.

Renunarea la noiunea de traiectorie i renunarea la ideile clasice o fcuse Boltzmann

cu o sut de ani înainte dar azi introducerea noiunii de probabilitate a devenit o necesitateobiectiv confirmând instabilitatea în funcie de condiii (în principal de timp) a evoluieisistemelor. Se introduce astfel o funcie de distribuie q (x,t) care indic probabilitatea ca x s seafle la timpul t i dup n interacii. Aceast descriere statistic devine astfel o generalizare anoiunii de traiectorie la care se poate ajunge dac se consider o distribuie d(x-x0). Funciad(x-x0) este singular i diferit de 0 numai în punctul x = x0. Se tie deci doar c în punctul x0 exist o traiectorie. Pornind de la aceast concluzie se ajunge la cererea de a exclude noiuneade traiectorie singular i de-a o înlocui cu o funcie de repartiie statistic a traiectoriei înmicrocosmos. Macroscopic se impune în acelai timp i ideea ruperii simetriei în timp iar ladepirea timpului Lyapunov (t > 1/) se pierde Äamprenta´ traiectoriei iniiale. Faptul c

instabilitatea cere introducerea noiunii de probabilitate, implic ca necesitate corectareaformulrii legilor matematice de ctre teoriile clasice cu efectul inflenei vectorului timp.

În microcosmos se produc fenomene ondulatorii pentru care Schrödinger a definit funcia

x(de und) care se propag cu o anumit vitez de faz când ecuaia

exprim

variaia în timp a amplitudinii cu ajutorul operatorului H (funcia lui Hamilton). Aceasta redenergia sistemului exprimabil prin variabile mecanice de micare. Funcia nu prezintprobabilitatea în general ci probabilitatea de-a gsi sistemul la timpul t într-un punct anumit x.



Pagina 9 din 15

Rezult c metodele mecanicii cuantice la analiza amplitudinii 1 se pot aplica i la fenomeneledescrise de ecuaia lui Bernoulli dac se înlocuiete operatorul H cu un operator Äde dezvoltare´U, care s conin pe lâng numere reale i imaginare (i) acestea ducând la o reducere afenomenelor în timp. Astfel se obine o funcie exponenial oscilant care explic starea delucruri în sistemele haotice când transformarea este ireversibili prin reducerea continu a

amplitudinii.Concluzionând, se impune deci urmtoarea schem: instabilitate (timp Lyapunov)

probabilitate ireversibilitate. Instabilitatea sau haosul ne oblig s trecem de la schemaprobabilistic a traiectoriei din mecanica clasic cu ajutorul cercetrii profunde a operatorului dedezvoltare U, la probabilitatea în funcie de timp cu scopul de±a putea descrie exact rupereasimetriei timpului i-a explica astfel ireversibitatea fenomenelor precum i dezvoltarea respectivevoluia în timp a lor, adic schimbarea.

Dac ne referim la teoria atomului în 1926 ecuaia lui Schrödinger aplicând operatorul luiHamilton H obinea soluii pentru undele staionare corespunztoare strilor de energie, ca valori

proprii cuantificate care au condus la numerele cuantice ale atomului n, l, m, i ulterior la cel despin s.

Fenomenele de difracie care însoesc micarea electronului sunt determinate decomportarea colectiv a unor microsisteme de particule în interaciune. Trebuie precizat îns cfenomenele ondulatorii pot aprea i când e vorba de un singur atom (cazul atomului dehidrogen). Pentru a explica aspectele legate de comportarea microparticulelor Max-Bornpropunea în 1926 interpretarea probabilistic a funciei de und i o atribuia ca intensitateundei asociate unei particule în micare, într-un anumit loc în spaiu i la un anumit moment dat.

Aprea astfel relaia ca intensitatea undei s fie proporional cu probabilitatea de-a gsiparticula la momentul i în locul dat. Când aceast probabilitate atinge valoarea 1 apare

certitudinea. În sistemul atomic format din nucleu i electron aceast probabilitate funcie dedistana electronului pân la nucleu prezint maxime i minime (maximele sunt considerateorbitele electronilor în atomi). Ecuaia lui Schrödinger nu prevedea traiectorii precise pentruelectroni ci astfel de intensiti maxime i minime doar pentru unda staionar asociatelectronului iar strile staionare le exprima prin numere cuantice care rezultau din ecuaia sa.

Aceste numere au fost dup cum tim azi, anterior introduse în mod arbitrar de teoria lui Bohr-Sommerfeld.

Pân în prezent acest material s-a referit la sisteme haotice foarte simple (inclusivdeplasarea Bernoulli) în care timpul se manifest nestaionar.

IV. Trecând la sisteme în care timpul se manifest staionar, adic la dinamicaclasic i mecanica cuantic, se pune problema definirii haosului i în aceste sisteme.

În special definirea haosului pentru sistemele cuantice a dus la unele controverse ianume, haotice sunt acele sisteme cuantice a cror formare i dezvoltare nu se poate descrieprin funcii de und care s asculte de ecuaia lui Schrödinger ci cer o nou formulare.



Pagina 10 din 15

În fizic intereseaz mai ales sistemele de tip Hamilton care stau la baza dinamiciicuantice. Variabilele care caracterizeaz un sistem dinamic clasic sunt coordonatele i vitezelecorespunztoare lor cu ajutorul crora se poate determina i exprima energia cinetic ipotenial a sistemului. Aceast energie exprimat prin coordonate i momente este prindefiniie funcia lui H. Un caz particular când funcia H depinde numai de momente permite

integrarea imediat deoarece mrimile de micare sunt constante iar coordonatele variaz liniar cu timpul. În acest caz dac se noteaz în ecuaia Hamilton mrimile de micare cu j iar coordonatele corespunztoare sunt unghiurile ale vectorilor de poziie iar variaia acestor

unghiuri în timp e dat de frecvena (definit de

) se obin totodat frecvene cât i grade

de libertate (3) pentru un punct. La sfâritul secolului trecut Poincaré i-a pus problema dac sepot elimina interaciunile dintre particule prin neglijarea lor. În acest caz funcia Hamilton esteneperturbat H0(j). Dac intervine o perturbare datorit interaciunilor cu celelalte particulenotat cu (care depinde de j i de unghiul ) se ajunge la relaia H = H0 + , unde acest este un parametru care msoar intensitatea cuplajului interaciunilor. Când este 0 adic încazul neperturbrilor i H = H0. Dar Poincaré consider c nu se pot neglija perturbrile deci

rspunsul la aceast problem este negativ. În anii 50 ai secolului trecut s-a formulat teoria KAM ( a cercettorilor Kolmogoroff, Arnold

i Moser) care arat c din cauza fenomenelor de rezonan apar dou feluri de traiectorii înmicarea particulelor: cele regulare (deterministe) i cele neregulare ± neprevizibile. Lacreterea energiei sistemului numrul ultimelor crete i la timpuri Lyapunov pozitive sistemulprezint transformri similare cu cele date de Bernoulli adic devine haotic. Descrierea exact aacestor sisteme haotice (cu traiectorii aleatorii) este numai parial rezolvat. Cu toate acesteacele mai multe sisteme pe care le cerceteaz fizica în prezent aparin acestui ultim tip, mai alescâmpurile de interaciune i problemele mecanicii statistice în care interacioneaz un numr mare de particule într-un volum V. Sunt studii chiar în teoriile clasice în care se constatase

inflena fenomenului de rezonan ce producea divergene, de exemplu în observaiilecercettorilor Lagrange i Laplace (în sistemul planetar). Problema rezonanei a deranjat multecercetri i concluzii ale acestora deoarece a împiedicat explicarea matematic a unor legi.Descifrarea divergenelor i a rezonanei duce implicit la explicarea matematic a fenomenelor haotice. Pentru aceasta îns se cere i soluionarea unor dificulti ale calculului integraldeoarece între integrare i ireversibilitate este o strâns legtur.

Divergenele i rezonanele constatate marcheaz bariera dintre fenomenele reversibiledinamice i cele disipative cu simetrie temporal rupt. Eliminându-le pe acestea s-ar soluionai paradoxul timpului i teoria haosului.

Dup Richard Feynman este înc greu de îneles mecanica cuantic, nici dup 50 de anide cercetri i discuii, deoarece este vorba de-a uni fizica microcosmosului cu amacrocosmosului. Problema interaciunii între om i materie este strâns legat de fenomenulrezonanelor lui Poincaré i a divergenelor ce rezult.

S-a amintit de mecanica cuantic care se ocup de cercetarea comportrii funcieiondulatorii din ecuaia lui Schrödinger. În aceast ecuaie partea revoluionar o reprezint

înlocuirea funciei lui Hamilton H cu operatorul lui Hamilton H. Un operator este de fapt o



Pagina 11 din 15

formulare matematic pentru a indica o operaie (derivare, înmulire, radical). În operator funciile proprii rmân îns neschimbate. Introducerea operatorilor în fizic a aprut odat cumecanica cuantic ± nivelele energetice ale unui oscilator sau rotator formeaz un ansamblu devalori discrete. Funcia lui Hamilton este continu, dar ideea de baz st în faptul de a o înlocuicu un operator tocmai pentru a prezenta valori proprii discrete.

Pentru a afla aciunea operatorului de dezvoltare U (Perron i Frobenius) asuprarepartiiei probabilitilor cu ajutorul calculului matriceal, se impune introducerea noiunilor defuncie proprie i valoare proprie. Exemplu: n(x) = x i n+1(x) = ¼ +x /2. Cu alte cuvinte i Ux =

¼ + x /2. Exist îns i funcii care la aplicarea operatorului U rmân invariabile. Acestea senumesc funcii proprii: dac n(x) = atunci vom avea i n+1(x) = , respectiv U = , unde este o funcie proprie (aici o constant). Deci aplicarea operatorului U se reduce în acest caz lamultiplicarea cu un numr a funciei proprii. Astfel se obine pentru n(x) = x2 ± x +1/6; U(x2 ± x +1/6)

= 2 (x2 ± x +1/6); acest x2 ± x +1/6 fiind o funcie proprie corespunztoare valorii proprii

½2. Repartiia aceasta x2 ± x +1/6 în cazul deplasrii Bernoulli este invariabil dac se multipliccu ¼. Factorul de tamponare în cazul unei repetiii de n ori a deplasrii este (1/2)n i atunci

expresia x2 ± x +1/6 tinde spre 0. Cu alte cuvinte valorile proprii sunt legate de timpul Lyapunovprin factorul lg2. Acest lucru arat c dac din punctul de vedere al traiectoriei timpul Lyapunovera un element de instabilitate, din punct de vedere al funciei de probabilitate devine unelement de stabilitate. Cu cât acest timp este mai mare tamponarea i apropierea deuniformitate este mai rapid (1/2 este un caz particular iar (1/2)n este cazul general).

Funciile proprii ale lui U sunt polinoame de gradul n rezolvabile prin teorema lui Perron ±Frobenius iar Bn(x) au fost numite polinoame Bernoulli. Se ajunge astfel la U Bn(x) = (½)n

Bn(x) care arat c aceast tamponare este cu atât mai rapid cu cât gradul n al polinomuluieste mai mare. Desigur calculele matematice sunt complicate dar rezultatele lor arat c se pot

înlocui traiectoriile prin operatori de dezvoltare U ceea ce înseamn c ele, traiectoriile seelimin din descrierea probabilistic iar Ävectorul´ timp se manifest i se impune în funciile derepartiie.

V. Putem spune c haosul nu se opune unei descrieri cantitative, în schimb cere oreformulare a dinamicii (probabilistic) cu ajutorul operatorului de dezvoltare U.

Pentru sistemele haotice avem de ales între dou formulri: cea clasic bazat petraiectorie i cea nou bazat pe probabiliti i operatorul U. Ultima variant este mai bogat imai corect deoarece ea conine i mecanismul apropierii de echilibru dup timpul Lyapunov câti ruperea simetriei în timp, fenomenele de rezonan, divergen, etc.

Pe acest plan trebuie reformulate legile naturii, putând s dovedim ceea ce Boltzmann aprevzut cu mult timp înainte dar n-a avut posibilitatea s-o dovedeasc pentru c n-a dispus deo serie de dovezi experimentale cât mai ales de aparatul matematic corect necesar acestor sisteme care azi permite în plus i includerea principiului doi al termodinamicii.

În concluzie instabilitatea i haosul reprezint un nou punct prin care se reformuleazdinamica, punct ce cuprinde atât noiunile de echilibru cât i cele de probabilitate i instabilitate.



Pagina 12 din 15

Acest lucru prea imposibil în trecut, în principal din dificultatea accepiei viziunii umane de-atrece de la fenomene macroscopice, la cele microscopice. Ireversibilitatea se cerea explicat idemonstrat, ea stând la baza evoluiei în natur.

Amintind de ecuaia lui Schrödinger i utilizând funciile proprii i operatorii prezentaipân acum, se ajunge prin dezvoltarea funciei (x,t) la o suprapunere de rotaii ale funciilor proprii Un(x) cu timpul. În expresia la care se ajunge rezolvând matematic apare i un coeficientCn care d amplitudinea de probabilitate. Cu alte cuvinte se pot msura energiile sistemuluidescris de funcia , U1, U2, U3, ... cu probabilitile C1

2, C22, C3

2, ... În final funcia setransform într-un ansamblu de funcii ondulatorii care se suprapun iar probabilitile C1

2, C22,

C32, ... reprezint de fapt posibilitile sistemului. Putem spune c s-a ajuns la o despicare a

funciilor de und, respectiv la o imagine dual a mecanicii cuantice. Ecuaia lui Schrödinger este reversibil în timp i determinist pe de o parte iar pe de alt parte posibilitatea despicriidovedete ruperea de simetrie i fenomenul de ireversibilitate. Despre aceasta s-a pus

întrebarea dac este un fenomen real sau datorat doar observatorului? În univers s-a observat ostare de echilibru (respectiv de simetrie) în radiaia de 3 grade Kelvin, cea care a rmas de la

formarea lumii. Cu ajutorul operatorului Hamilton din ecuaia lui Schrödinger se obin valoridiscrete de energie; dac se introduce expresia operatorului corectat H = H0 + se ajungela explicarea rezonanei ce duce la divergene dar nu pot fi obinute valori proprii pentru H cuexactitate. Acest lucru arat c trebuie reformulat teoria cuantic nu ca metod de obinere afunciei ci ca metod de aflare a unui echilibru de probabilitate ± în univers exist echilibru i

în mecanica cuantic, trebuie doar s se gseasc mecanismul intrinsec care s duc laexplicarea aspectelor statistice observate. Ori tocmai acest mecanism const în manifestrihaotice i instabilitate.

Având ca reper descrierea static care st la baza strii sistemelor în mecanic Gibbs iEinstein au pornit de la un singur sistem dinamic i au ajuns la observarea unui ansamblu de

sisteme în care toate ascult de funcia lui Hamilton i se supun acelorai legi dinamice. Aceastobservaie a fost pentru ei o cale comod de calcul al unor valori medii la vremea respectiv, iar pentru noi este fundamental astzi în studiul sistemelor instabile. Ca i în deplasarea luiBernoulli se obine funcia de repartiie care în cazul clasic depinde de coordonate i devalorile de micare iar în cazul cuantic reprezint dependena între densitate i amplitudinea deprobabiliti: = c × c unde acest ultim termen este probabilitatea complex conjugat afunciei de und. Deci , probabilitate propriu-zis, reprezint ptratul modulului amplitudinii deprobabilitate. Funcia este dat în lucrrile de mecanic statistic ale lui Lionville ± vonNeumann de relaia i d /dt = L , unde L este un operator. Soluia formal a ecuaiei t = e-

I×L×t 0 = U 0, se obine introducând un operator U care e format din mai muli termeni

exponeniali ce explic i ruperea simetriei în timp. Toat problema rmâne gsirea valorii lui U. Ecuaia lui Lionville este analoag cu cea a lui Schrödinger cu diferena c ea se refer la , nula . Prin rezolvarea acestei ecuaii se afl valorile operatorului de dezvoltare U, funciile propriii valorile proprii. Pentru sistemele de tip Poincaré îns, se complic totul din cauza rezonaneii a divergenelor.

Se tie c deosebirea dintre viitor i trecut este: t+ i t-. Considerând un sistemde multe particule c include i interaciunile lor, influena asupra operatorului U este mai mic la



Pagina 13 din 15

timpii trecui decât la cei prezeni sau viitori. Adic Ämemoria´ interaciunilor scade cu timpul.Luând ca exemplu societatea uman, în decursul istoriei, viteza de modificare a sistemuluisocial i politic, în trecut (epoca de piatr) este mult mai mic decât în societatea modern, cutransformri rapide. Cum operatorul de dezvoltare U e format din mai muli termeni, unii dintre eifiind numere complexe la numrtor (exprimând rezonana), iar la numitor termenul timpului,

care crete continuu, toate acestea ducând la scderea valorii raportului, pân la anulareainfluenei rezonanei când se ajunge la echilibru eliminând astfel divergenele lui Poincaré.Soluiile ecuaiilor lui Lionville conduc la imaginea ruperii simetriei în timp. În domeniulmagnetismului s-a constatat c la creterea temperaturii peste o anume valoare (specificfiecrui material) dipolii magnetici îi pierd orientarea avut la temperaturile joase (disiparedinamic). În fizica cuantic modern se tie c o proprietate general o reprezint particulele iantiparticulele care au o comportare opus (ca doi dipoli). Universul în ansamblul su const dinparticule de un anumit fel în timp ce antiparticulele au un rol aproape neglijabil. Deci universuleste mai puin simetric decât se pare iar semnificaia fizic a eliminrii divergenelor lui Poincaréconduc la o simetrie rupt cu proprieti disipate. Ecuaia lui Lionville pe de alt parte este unprogres i marcheaz succesul mecanicii cuantice în comparaie cu mecanica clasic.

VI. Bazat pe considerentele anterioare se pune problema formulrii dualismuluimecanicii cuantice.

Dificultile acestei formulri au fost artate de Niels Bohr în 1961, care precizeaz atâtdificultile de msurare cât i de aflare a terminologiei potrivite care s exprime ideeacomplementaritii. Corelaia între metodologia experimental i exprimarea teoretic se rezolvdoar în mod pragmatic. În mecanica clasic s-a considerat c msurarea fenomenelor esteaceeai în lumea microscopic ca i cea macroscopic. Îns, în timp ce microsistemele suntdescrise de legile mecanicii cuantice, macrosistemele se descriu prin legile dinamicii clasice iale termodinamicii. Astfel Bohr consider c trecerea de la lumea cuantic la cea clasic se faceprin stri intermediare, instabile dar care în realitate presupun timpi comuni de trecere. Ecuaialui Schrödinger conine termenul timp, nu spune îns nimic asupra evoluiei fenomenelor, pecând în ecuaia lui Lionville, timpul este legat de probabilitatea divergenelor sau altfel spus,problema rezonanei rezolv divergenele lui Poincaré. Structura dual a mecanicii cuanticerezid în proprietile funciei dar i din dezvoltarea ei cu ajutorul ecuaiilor Lionville într-unansamblu statistic. Astfel, nu descrierea provoac instabilitatea sistemului ci sistemul ca atareeste instabil i probabilistic. Acest lucru a fost accentuat i explicat de Einstein. Haosul cuanticeste mai fundamental decât cel clasic deoarece funcia de dezvoltare U care în mecanicaclasic se bazeaz prioritar pe descrierea traiectoriilor, în mecanica cuantic devinepreponderent termenul probabilistic. S-a artat anterior c repartiia este dat de ptratul lui ,

adic e de natur probabilistic. Efectele de rezonan cu timpul produc pentru o prbuirecare corespunde unui calcul de perturbare dependent de timp. Chiar i în cazul perturbrilor independente de timp apar dificulti în a defini repartiia , datorit rezonanelor incompleteliminate pentru care ar mai fi necesar de introdus funcii de control probabilistic.

Fie c folosim metode clasice sau cuantice în calcul apar aceleai greuti datoritfaptului c mecanismele de instabilitate provocate de rezonane sunt aceleai în cele doucazuri iar descrierea probabilistic rmâne singura punte de legtur între cele dou metode.



Pagina 14 din 15

Viziunea lui Boltzmann se confirm iar referitor la sistemele dinamice instabile se impune tot maimult în locul imaginii traiectoriilor funciilor de und imaginea probabilistic prin introducereaoperatorului de dezvoltare. Doar aa se creaz cadrul care s permit unirea dinamicii cutermodinamica i s fie îneles mai bine principiul doi al termodinamicii.

La început prin entropia S s-a îneles doar expresia fenomenologic a unor aproximriaplicate dinamicii. Azi se tie c creterea entropiei i fizica neechilibrului explic cevafundamental asupra structurii universului, iar ireversibilitatea devine în acest caz un esenialelement în evoluia i desfurarea acestuia.

Se impune azi, tot mai mult, descrierea sistemelor microscopice instabile, succesive,deoarece în trecut sub aspect clasic sistemele stabile erau o regul, iar cele instabile o excepie.Dup impunerea ideii de ireversibilitate i a Ävectorului´ timp s-a cercetat cum se manifestacestea asupra ruperii de simetrie i dezordine în plan macroscopic. În ambele cazuri s-a ³gsit´c ordinea i dezordinea provin din haos (haos probabilitate ireversibilitate).

VII. În loc de încheiere ...

Dac descrierea fundamental s-ar face dup legi dinamice stabile, nu ar exista entropiei nici fizica neechilibrului, respectiv evoluii biologice, deci universul nostru ar exista froameni.

Instabilitatea i haosul au dou funcii fundamentale: unirea descrierii microscopice cucea macroscopic (care rezult din modificarea primei) i, prin introducerea probabilitii,eliminarea dualismului teoriei cuantice ortodoxe.

VIII. Bibliografie

1. R. Blescu, Equilibrium and Non ± Equilibrum Statistical Mechanics, New York 1975.2. J. Von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics (1932),

Princeton 1955.

3. B. Koopman, ÄHamiltonian Systems and Transformation in Hilbert Space´,Proceedings of the National Academy of Science of the U.S.A., 17 (1931), S.315.

4. I. Prigogine, Non ± Equilibrium Statistical Mechanics, New York 1961.

5. Siehe z. B. Den Klassiker von F. Riesz und B. Sz. ± Nagy, Functional Analysis,(1955) Nachdruck 1991.

6. V. Bednar, H. Bednar, Chimie-fizic, Editura didactic i pedagogic, Bucureti,1979.

7. P. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford 1958.

8. T. Petrosky und I. Prigogine, ÄPoincaré¶s Theorem and Unitary Transformation for Classical and Quantum Theory´, Physics, 147 A. (1988), S. 439.



Pagina 15 din 15

9. A. Böhm, Quantum Mechanics, Berlin 1986 und A. Böhm und M. Candella, Dirac

Kets, Gamow Vectors and Gelfand Triplets, Berlin 1989.

10. I. Antoniou und I. Prigogine, ÄIntrinsic Irreversibility and Integrability of Dynamics´,Physica, 192 A. (1993), S. 443.

11. P. Shields, The Theory of Bernoulli Shifts, Chicago 1973.

12. H. Hasegawa und W. Saphir, ÄDecaying Eigenstates for Simple Chaotic Systems´,Physics Letters, A/161 (1992), S. 471; P. Gaspard, Ä-adic one-dimensional mapsand the Euler summation formula´, Journal of Physics, A. Vol.25 (1992), L. 483; I.

Antoniou und S. Tasaki, ÄSpectral Decomposition of the Renyi Map´, Journal of

Physics, A: Math. Gen. 26 (1993), S. 73.

13. I. Prigogine, Vom Sein yum Werden, München 1979; H. Hasegawa und W. Saphir,ÄUnitarity and Irreversibility in Chaotic Systems´, Physical Review , A. 46 (1993), S.7401; I. Antoniou, S. Tasaki, ÄSpectral Decomposition of the -adic Baker Map and

Intrinsic Irreversibility , Physics, 190A (1992), S. 303.

14. T. Petrosky und I. Prigogine, ÄAlternative Formulation´, a.a.O., S. 146.

teoria_haosului

Documents

Transcript of teoria_haosului