Teoria probabilit¼atilor si statistic¼amatematic¼a

B¼arb¼acioru Iuliana Carmen

CURSUL 1

Cursul 1

2

Cuprins

1 Introducere în teoria probabilit¼atilor 51.1 Probabilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Evenimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Observatii asupra conceptului de probabilitate . . . . . . . 61.1.3 Teorema adun¼arii probabilit¼atilor evenimentelor

incompatibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4 Evenimente independente si evenimente dependente . . . . 111.1.5 Teorema înmultirii evenimentelor independente. . . . . . . . 121.1.6 Independenta a dou¼a câte dou¼a evenimente si independenta

reciproc¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.7 Evenimente contrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.8 Sistem complet de evenimente . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Index 16

3

Cursul 1

4

Capitolul 1

Introducere în teoriaprobabilit¼atilor

Teoria probabilit¼atilor este o disciplin¼a matematic¼a asem¼an¼atoare geometriei sauanalizei. Ea este capabil¼a s¼a interpreteze destul de multe categorii de fenomene.Pe baza conceptelor clasice de�nite mai jos se aseaz¼a teoria modern¼a a probabilit¼atilor.

1.1 Probabilitatea

1.1.1 Evenimente

În teoria probabilit¼atilor prin eveniment vom întelege orice rezultat al unuiexperiment.

În practic¼a se înt¼alnesc trei tipuri de evenimente: sigure, imposibile siîntâmpl¼atoare.

Evenimentul sigur este acela care se produce în mod obligatoriu la efectuareaunui anumit experiment.

Exemplul 1.1.1 Extragerea unei bile de culoare alb¼a dintr-o urn¼a ce nu continedecât bile de culoare alb¼a.

Evenimentul imposibil este acela care în mod obligatoriu nu se produce laefectuarea unui anumit experiment.

Exemplul 1.1.2 Extragerea unei bile de culoare neagr¼a dintr-o urn¼a ce nu continedecât bile de culoare alb¼a.

5

Cursul 1

Evenimentul întâmpl¼ator este acela care în urma efectu¼arii unui experimentpoate sau nu s¼a se produc¼a.

Exemplul 1.1.3 Extragerea unei bile de culoare alb¼a dintr-o urn¼a ce contine bilealbe si negre este un eveniment întâmpl¼ator. Dac¼a are loc un singur experimentnu putem spune maui nimic despre aparitia unui eveniment întâmpl¼ator. Atuncicând experimentul se realizeaz¼a de mai multe ori, în aceleasi conditii, se poateobserva c¼a evenimentele întâmpl¼atoare se supun anumitor legi, numite legi statistice.Teoria probabilit¼atilor se ocup¼a tocmai de stabilirea acestor legi. Cunoasterealor ne permit s¼a prevedem desf¼asurarea evenimentelor întâmpl¼atoare de mas¼a.Vom nota cu evenimentul sigur, cu ; evenimentul imposibil si cu A;B; :::evenimentele întâmpl¼atoare.

1.1.2 Observatii asupra conceptului de probabilitate

Teoria matematic¼a a probabilit¼atilor nu spune care lege de probabilitate introdus¼ape o multime permite toate legile posibile (si ele sunt numeroase...). Aceast¼aproblem¼a face referire la natura ��zic¼a�, dac¼a putem spune asa, a conceptului deprobabilitate care formalizeaz¼a si cuanti�c¼a sentimentul de incertitudine fat¼a deun eveniment.

Conceptul obiectivist

Din acest punct de vedere, probabilitatea unui eveniment poate � determinat¼aîntr-o manier¼a unic¼a.

A. Viziunea clasic¼a

Este consecinta jocurilor de noroc. este în general �nit¼a si nevoia de simetrieconduce la a da �ec¼arui eveniment elementar aceeasi posibilitate de realizare.Asadar aruncarea unuia dintre zaruri conduce la o multime de 6 elemente egalprobabile. Calculul probabilit¼atilor nu este deci altceva mai mult decât o actiunede num¼arare, dup¼a celebra formul¼a:

P (A) =Num¼arul cazurilor favorabileNum¼arul cazurilor posibile

Exemplul 1.1.4 S¼a consider¼am experimentul aleator care const¼a în aruncarea adou¼a zaruri.Îi putem asocia acestuia multimea

6

Teoria probabilit¼atilor si statistic¼a matematic¼a

= f(1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3) ; :::(1; 6); (2; 1); (2; 2); :::(2; 6); :::; (6; 6)gcare are 36 de elemente.Not¼am cu A evenimentul " suma numerelor de pe cele dou¼a zaruri este un num¼arpar " si cu A multimea corespunz¼atoare realiz¼arii evenimentului A:A = f(1; 1) ; (1; 3) ; (1; 5); (2; 2); (2; 4); (2; 6); (3; 1); (3; 3); (3; 5); (4; 2); (4; 4); (4; 6);(5; 1); (5; 3); (5; 5); (6; 2); (6; 4); (6; 6)gcare are 18 elemente.Probabilitatea realiz¼arii evenimentului A este P (A) =

18

36= 0; 5:

Analiza combinatoric¼a furnizeaz¼a deci r¼aspunsul pentru de�nitia clasic¼a.Aceast¼a aproximare nu se extinde asupra cazului când este nenum¼arabil¼a

si corespunde unei conceptii idealiste despre un experiment aleatoriu. Simetriileperfecte nu exist¼a: cele 6 fete ale zarului nu sunt în realitate identice având învedere neomogenitatea materialului si îndeosebi gravarea numerelor pe fete.

B. Paradox celebru

Limitele date de viziunea clasic¼a se pot vedea foarte bine în celebrul paradoxal lui Bertrand. Consider¼am un triunghi echilateral si cercul s¼au circumscris.Tras¼am la întâmplare o coard¼a în cerc. Care este probabilitatea ca lungimea sas¼a �e mai mare decât latura triunghiului? Vom reproduce mai jos comentariilelui Renyi:

Prima solutie. Cum lungimea corzii este determinaat¼a de pozitia centruluis¼au, alegerea coardei poate consta în marcarea unui punct la întâmplare îninteriorul cercului. Probabilitatea ca ea s¼a �e mai mare decât latura triunghiuluiechilateral înscris în cerc este atunci evident egal¼a cu aceea ca mijlocul coardeis¼a �e în interiorul cercului înscris în triunghi (care este hasurat în �g. 4.2).

Fig. 4.2

7

Cursul 1

Dac¼a admitem c¼a repartitia acestui punct este uniform¼a în cerc, vom g¼asi pentruprobabilitatea c¼autat¼a:

��r2

�2�r2

=1

4

A doua solutie. Lungimea coardei este determinat¼a de distanta de la mijloculs¼au la centrul cercului. Din motive de simetrie putem considera c¼a mijloculcoardei este situat pe raza dat¼a a cercului si presupunem c¼a repartitia acestuipunct pe raz¼a este uniform¼a. Coarda va � mai lung¼a decât latura triunghiuluiechilateral înscris dac¼a mijlocul s¼au este situat fat¼a de centru la o distant¼a maimic¼a de r=2. Probabilitatea c¼autat¼a este atunci de 1/2 (vezi �g. 4.3).

Fig. 4.3

A treia solutie. Din motive de simetrie putem presupune c¼a am �xat unadintre extremit¼atile coardei, s¼a zicem P0: Cealalt¼a va � aleas¼a la întâmplare pecircumferinta cercului. Dac¼a admitem c¼a probabilitatea ca cealalt¼a extremitateP s¼a cad¼a pe un arc dat de circumferinta cercului este proportional¼a cu lungimeaacestui arc, coarda P0P este mai mare decât latura triunghiului echilateral înscrisatunci când P se g¼aseste pe arcul P1P2 deci lungimea este de 1/3 din circumferint¼a.

8

Teoria probabilit¼atilor si statistic¼a matematic¼a

(vezi �g. 4.4). Probabilitatea este deci 1/3.

Fig. 4.4

Este clar c¼a cele trei ipoteze de repartitie sunt egal realizabile. Acest exemplu ap¼arut paradoxal la timpul s¼au deoarece nu se întelegea c¼a, conditiile experimentalediferite pentru alegerea la întâmplare a coardei, prin cele trei procedee descrise,conduc la m¼asuri probabiliste diferite pe o aceeasi algebr¼a de evenimente.

C. Viziunea obisnuit¼a

Ea se bazeaz¼a pe legea numerelor mari (vezi capitolul: Variabile aleatoare).O singur¼a experient¼a nu este su�cient¼a pentru a evalua probabilitatea ca uneveniment s¼a aib¼a loc. Trebuie repetat de un mare num¼ar de ori. Astfel, aruncândun zar, probabilitatea de a iesi fata cu num¼arul 6 este limita raportului:

De câte ori s-a obtinut nr. 6Num¼arul de încerc¼ari

= f

când num¼arul de încerc¼ari creste nedeterminat. În consecint¼a legea numerelormari asigur¼a faptul c¼a f converge c¼atre probabilitatea p a evenimentului. Dinpunct de vedere practic este clar c¼a viziunea obisnuit¼a nu permite determinareaprobabilit¼atii unui eveniment pentru c¼a un asemenea proces, necesitând un num¼arin�nit de observatii, este �zic irealizabil. De remarcat c¼a în conceptia obisnuit¼aeste imposibil de dat o valoare si de asemenea un sens probabilit¼atii unui evenimentnerepetabil de genul �va ninge pe 25 octombrie 2110�, ceea ce limiteaz¼a sfera deaplicatii a calculului probabilit¼atilor. Cu toate acestea critica cea mai radical¼aadus¼a punctului de vedere obisnuit este urm¼atoarea: de�nitia probabilit¼atii sebazeaz¼a pe legea numerelor mari, ori aceasta din urm¼a este o teorem¼a care

9

Cursul 1

presupune cunoscut conceptul de probabilitate. Este deci un cerc vicios. Dinde�nitia probabilit¼atii rezult¼a urm¼atoarele propriet¼ati:

1. Probabilitatea evenimentului sigur este 1.2. Probabilitatea evenimentului imposibil este 0.3. Probabilitatea unui eveniment întâmpl¼ator este cuprins¼a între 0 si 1.Rezult¼a de aici c¼a probabilitatea unui eveniment A satisface dubla inegalitate:

0 � P (A) � 1

Frecventa relativ¼a a evenimentului A este o alt¼a notiune fundamental¼a în teoriaprobabilit¼atilor. Ea este egal¼a cu raportul dintre num¼arul probelor în care evenimentulA s-a produs si num¼arul total de probe. S-a demonstrat faptul c¼a dac¼a unexperiment se repet¼a de un num¼ar su�cient de mare de ori, în conditii identice,atunci frecventa relativ¼a este stabil¼a, adic¼a variaz¼a în jurul probabilit¼atii.

1.1.3 Teorema adun¼arii probabilit¼atilor evenimentelorincompatibile

De�nitia 1.1.5 Dou¼a sau mai multe evenimente se numesc incompatibile dac¼aproducerea unuia dintre ele exclude producerea celorlalte într-o aceeasi prob¼a.

Exemplul 1.1.6 Aparitia fetei 1 si a fetei 6 la aruncarea unui zar sunt dou¼aevenimente incompatibile.

De�nitia 1.1.7 Fiind date dou¼a evenimente A;B se numeste reuniune a acestorasi se noteaz¼a A[B evenimentul care const¼a în producerea a cel putin unuia dintrecele dou¼a evenimente, deci �e a evenimentului A, �e a evenimentului B, �e aambelor evenimente A si B.

Exemplul 1.1.8 Fie A, B, C trei evenimente oarecare. Evenimentul " Cel putinun eveniment din cele trei se produce " este A [B [ C:

Dac¼a A si B sunt incompatibile atunci A [B const¼a în aparitia unuia dintreevenimentele A si B. Teorema de mai jos arat¼a cum se calculeaz¼a A [B dac¼a Asi B sunt incompatibile.

Teorema 1.1.9 Probabilitatea producerii unuia dintre evenimentele incompatibileA si B este egal¼a cu suma probabilit¼atilor acestor evenimente:

P (A [B) = P (A) + P (B)

10

Teoria probabilit¼atilor si statistic¼a matematic¼a

Demonstratie: Facem urm¼atoarele notatii:n = num¼arul rezultatelor incompatibile, egal posibile ale experimentului în

urma c¼aruia se pot produce evenimentele A si B;a = num¼arul rezultatelor favorabile producerii evenimentului A;b = num¼arul rezultatelor favorabile producerii evenimentului B;a+b reprezint¼a atunci num¼arul rezultatelor favorabile producerii unuia dintre

cele dou¼a evenimente A si B: Deci:

P (A [B) = a+ b

n

Pe de alt¼a parte, P (A) =a

n, P (B) =

b

n) P (A) + P (B) =

a

n+b

n=a+ b

n.

Observatia 1.1.10 Pentru un mum¼ar mai mare de evenimente incompatibile,demonstratia se face prin inductie matematic¼a.

Exemplul 1.1.11 S¼a consider¼am un pachet cu 52 de c¼arti de joc. Fie experientaaleatoare ce const¼a în extragerea unei singure c¼arti de joc.a) Determinati probabilitatea evenimentului A="extragerea unui as".b) Determinati probabilitatea evenimentului B="extragerea unui as de inim¼a rosiesau a unui zece de inim¼a rosie sau a unui valet de inim¼a rosie".

Solutie: a) Stim c¼a un pachet cu 52 de c¼arti de joc are 4 asi. Prin urmareprobabilitatea de a extrage un as este: P (A) = 4

52 =113 :

b) Stim c¼a un pachet cu 52 de c¼arti de joc are un as de inim¼a rosie, un zece deinim¼a rosie si un valet de inim¼a rosie. Fie B1 evenimentul extragerii unui as deinim¼a rosie. P (B1) = 1

52 : Fie B2 evenimentul extragerii unui zece de inim¼a rosie.P (B2) =

152 :Fie B3 evenimentul extragerii unui valet de inim¼a rosie. P (B3) =

152 :

Evenimentul B este de�tit prin: B = B1 [ B2 [ B3: Întrucât B1; B2; B3 suntincompatibile, avem: P (B) = P (B1 [ B2 [ B3) = P (B1) + P (B2) + P (B3) =152 +

152 +

152 =

352 :

1.1.4 Evenimente independente si evenimente dependente

De�nitia 1.1.12 Dou¼a evenimente se zic independente dac¼a probabilitaterealiz¼arii unuia dintre ele nu depinde de faptul c¼a cel¼alalt eveniment s-a produssau nu.

11

Cursul 1

Exemplul 1.1.13 Într-o urn¼a se g¼asesc bile albe si rosii. Se fac dou¼a extrageri.Dup¼a prima extragere bila extras¼a se repune în urn¼a. Faptul c¼a la prima extrageream obtinut o bil¼a alb¼a ( evenimentul A ) nu depinde de faptul c¼a la cea de-a douaextragere am obtinut o bil¼a rosie ( evenimentul B ). De asemenea, probabilitatealui B nu depinde de faptul c¼a s-a produs sau nu evenimentul A.

De�nitia 1.1.14 Dou¼a evenimente se zic dependente dac¼a probabilitate realiz¼ariiunuia dintre ele depinde de faptul c¼a cel¼alalt eveniment s-a produs sau nu.

Exemplul 1.1.15 Dac¼a în exemplul anterior, prima bil¼a extras¼a nu se repuneîn urn¼a, atunci num¼arul total de bile din urn¼a pentru cea de-a doua extragere va�mai mic cu o unitate iar probabilitatea ca la cea de-a doua extragere s¼a obtinemo bil¼a rosie depinde de faptul c¼a prima dat¼a am extras sau nu o bil¼a alb¼a.

1.1.5 Teorema înmultirii evenimentelor independente.

De�nitia 1.1.16 Fie A ;i B dou¼a evenimente. Se numeste intersectie a lui Acu B si se noteaz¼a cu A \ B evenimentul care const¼a în producerea simultan¼a acelor dou¼a evenimente.

Exemplul 1.1.17 Dac¼a în dou¼a urne sunt bile albe si bile negre, A este evenimentulcare const¼a în extragerea unei bile negre din prima urn¼a, B este evenimentul careconst¼a în extragerea unei bile negre din cea de-a doua urn¼a. Din �ecare urn¼a seextrage câte o bil¼a. Atunci A \ B este evenimentul care const¼a în extragerea adou¼a bile negre.

Dac¼a evenimentele A1; A2; :::; An au loc simultan atunci are loc evenimentulA1 \ A2 \ ::: \ An: Dac¼a evenimentele A1; A2; :::; An sunt incompatibile atunciA1 \A2 \ ::: \An = ?:

Teorema 1.1.18 Dac¼a A si B sunt dou¼a evenimente independente atuci probabilitateaproducerii simultane a celor dou¼a evenimente este egal¼a cu suma probabilit¼atilorcelor dou¼a evenimente:

P (A \B) = P (A) � P (B)

Demonstratie: Facem urm¼atoarele notatii:n - num¼arul cazurilor posibile producerii evenimentului A;

a - num¼arul cazurilor favorabile producerii evenimentului A;m - num¼arul cazurilor posibile producerii evenimentului B;

12

Teoria probabilit¼atilor si statistic¼a matematic¼a

b - num¼arul cazurilor favorabile producerii evenimentului B;

Atunci P (A \B) = a � bn �m =

a

n� bmdeoarece:

a � b - num¼arul cazurilor favorabile producerii evenimentelor A si B sau A si{B sau {A si {B sau {A si B;

n �m- num¼arul cazurilor egal posibile producerii simultane a evenimentelor Asi B:

Dar P (A) =a

n; P (B) =

b

msi deci am obtinut ceea ce trebuia demonstrat.

Corolarul 1.1.19 Probabilitatea producerii simultane a mai multor evenimenteindependente în totalitate este egal¼a cu produsul probabilit¼atilor acestor evenimente.

1.1.6 Independenta a dou¼a câte dou¼a evenimente si independentareciproc¼a

De�nitia 1.1.20 Consider¼am evenimentele A1; A2; :::; An: Ele se zic independente:1. dou¼a câte dou¼a dac¼a:

P (Ai \Aj) = P (Ai) � P (Aj) (8) 1 � i 6= j � n;

2. reciproc independente (în totalitate sau global) dac¼a pentru toate p¼artile Iale unei multimi de indici ce merge de la 1 la n avem:

P

\I

Ai

!=YI

P (Ai)

Observatia 1.1.21 Aceast¼a conditie este mult mai puternic¼a decât independentadou¼a câte dou¼a, cu care nu este echivalent¼a si care este o simpl¼a consecint¼a.

Exemplul 1.1.22 Evenimentele A, B si C sunt independente în totalitate dac¼aurm¼atoarele evenimente sunt independente:A si B, A si C, B si C, A si B \ C ,B si A \ C; C si A \B:

1.1.7 Evenimente contrare

De�nitia 1.1.23 Dou¼a evenimente A si B se zic contrare (sau complementare)dac¼a ele sunt incompatibile si reuniunea lor este evenimentul sigur :

Dac¼a un evenimentul este notat cu A atunci contrarul s¼au se va nota cu {Asau �A.

13

Cursul 1

Exemplul 1.1.24 Dac¼a într-o urn¼a sunt bile albe si bile negre atunci evenimentulce const¼a în extragerea unei bile albe este contrar evenimentului ce const¼a înextragerea unei bile negre.

Teorema 1.1.25 Suma probabilit¼atilor a dou¼a evenimente contrare este egal¼a cu1:

P (A) + P�{A�= 1

Demonstratie: Stim c¼a A si {A sunt incompatibile si c¼a A [ {A = :Conform teoremei 1.1.9 :

1 = P () = P (A [ {A) = P (A) + P�{A�

Propriet¼ati:

{(A [B) = {A \ {B{(A \B) = {A [ {B{({A) = A

A \ {A = ?A [ {A =

1.1.8 Sistem complet de evenimente

De�nitia 1.1.26 A1; A2; :::; An formeaz¼a un sistem complet de evenimentedac¼a p¼artile A1; A2; :::; An ale lui constituie o partitie a lui :(

8i 6= j ) Ai \Aj = ;[Ai =

Exemplul 1.1.27 Evenimentul A si contrarul s¼au {A este cel mai simplu exemplude sistem complet de evenimente.

Exemplul 1.1.28 S¼a consider¼am experimentul aleator care const¼a în aruncareaa dou¼a zaruri. Dac¼a not¼am evenimentele:A1 - aparitia fetei 1;A2 - aparitia fetei 2;

Un experiment conduce la unul si numai unul singur dintre aceste evenimente, adic¼aA1; A2; :::; An sunt incompatibile si reuniunea lor este egal¼a cu evenimentul sigur :

14

Teoria probabilit¼atilor si statistic¼a matematic¼a

....A6 - aparitia fetei 6atunci A1; A2; :::; A6 formeaz¼a un sistem complet de evenimente.

Teorema 1.1.29 Suma probabilit¼atilor dintr-un sistem complet de evenimenteeste egal¼a cu 1.

P (A) + P (A2) + :::+ P (An) = 1

Demonstratie: A1; A2; :::; An �ind incompatibile, conform teoremei 1.1.9avem: 1 = P () = P (A1 +A2 + :::+An):

Exemplul 1.1.30 Fie A;B si C trei evenimente oarecare. Exprimati urm¼atoareleevenimente:1. Cele trei evenimente se produc;2. Se produce mai putin de un eveniment;3. Se produc mai putin de dou¼a evenimente;4. Se produce un singur eveniment;5. Nu se produce niciun eveniment;6. Se produc mai mult de dou¼a evenimente;

Solutie: 1. Dac¼a not¼am cu X evenimentul: �se produc toate cele treievenimente A;B si C �atunci X = A \B \ C:

2. Dac¼a not¼am cu Y evenimentul: �se produce mai putin de un eveniment�atunci Y = A [B [ C:

3. Dac¼a not¼am cu Z evenimentul: �se produc mai putin de dou¼a evenimente�atunci Z = (A \B \ C) [

�A \B \ �C

�[�A \ �B \ C

�[��A \B \ C

�:

4. Dac¼a not¼am cu V evenimentul: �se produce un singur eveniment�atunciV =

�A \ �B \ �C

�[��A \ �B \ C

�[��A \B \ �C

�:

5. Dac¼a not¼am cu W evenimentul: �nu se produce niciun eveniment�atunciW =

��A \ �B \ �C

�:

6. Dac¼a not¼am cu T evenimentul: �se produc mai mult de dou¼a evenimente�atunci T = A \B \ C:

Exemplul 1.1.31 Consider¼am evenimentele: A, B, C ce se pot produce în urmaunui experiment. Fie de asemenea evenimentele: X = A [ (B \ C) ; Y = A \(B [ C) :Stiind c¼a P(A) = a, P(B) = b, P(C) = c, P(A \ B) = x, P(A \ C) =y, P(C \B) = z, P(A \B \ C) = w, calculati:1. Probabilitatea evenimentului X, PX ;2. Probabilitatea evenimentului Y, PY .

15

Cursul 1

Solutie: 1. PX = P (A [ (B \ C)) = P (A) + P (B \ C) � P (A \ B \ C) =a+ z � w:

2. PY = P (A \ (B [ C)) = P ((A \B) [ (A \ C)) = P (A\B)+P (A \ C)�P (A \B \ C) = x+ y � w:

Exemplul 1.1.32 S¼a presupunem c¼a arunc¼am un zar. Not¼am cu A evenimentul:�rezultatul este un num¼ar par� si cu B evenimentul: �rezultatul este un num¼arimpar�. Determinati probabilit¼atile celor dou¼a evenimente.

Solutie: În acest caz multimea tuturor posibilit¼atilor este = f1; 2; 3; 4; 5; 6g :A = f2; 4; 6g ;B = f1; 3; 5g :Atunci PA = 3

6 =12 = 0; 5 iar PB =

36 =

12 =

0; 5:

16

Index

Eveniment, 5întâmplãtor, 6imposibil, 5sigur, 5

Evenimentecomplementare, 13contrare, 13dependente, 12incompatibile, 10independente, 11în totalitate, 13douã cate douã, 13global, 13reciproc, 13

Frecventarelativã, 10

Intersectie, 12

Sistemcomplet de evenimente, 14

17