Teoria haosului

si Fractalii

Teoria haosului

• Teoria haosului sau teoria sistemelor complexe este o ramură a matematicii și fizicii moderne care descrie comportamentul anumitor sisteme dinamice neliniare, a acelor sisteme care prezintă fenomenul de instabilitate numit sensibilitate față de condițiile inițiale, motiv pentru care comportamentul lor pe termen relativ lung (deși se conformează legilor deterministe) este imprevizibil, adică aparent haotic (de unde și denumirea teoriei).

• Teoria haosului a fost formulata de Edward Lorenz în 1960. Savantul spunea, "Un fenomen care pare a se desfășura la întâmplare, are de fapt un element de regularitate ce ar putea fi descris matematic." In termeni mai simpli, există o ordine ascunsă în orice evoluție aparent haotică a oricărui sistem dinamic complex.

• Numele de Teorie a Haosului vine de la faptul ca în sistemele descrise de aceasta există o dezordine aparentă. Teoria haosului este un domeniu de studiu în matematică, fizică, economie și filozofie și se ocupă cu studierea comportamentului sistemelor dinamice care sunt foarte sensibile față de conditiile inițiale. Aceasta sensibilitate mai este numita și efectul fluturelui. Mici modificări ale condițiilor inițiale (cum ar fi rotunjirea numerelor cu care se lucrează) au ca efect rezultate haotice, facând ca anticiparea efectelor pe termen lung sa fie imposibilă.

Efectul Fluture

• Acest efect se mai numește și “efectul fluture” și se referă la diferența dintre punctele de pornire ale celor două curbe din grafic care e atât de mică încât poate fi comparată cu bătaia aripilor unui fluture.

• "Mișcarea aripilor unui fluture azi poate produce o mică schimbare a atmosferei. Din această cauză și de-a lungul unei anumite perioade de timp, atmosferă se va schimba. Peste o luna poate, o tornadă care trebuia să lovească coasta Indoneziei nu va mai apărea. Sau din contră, tocmai din această cauză va apărea."

• Acest fenomen este cunoscut mai ales pentru dependența sa de condițiile initiale. Cea mai mică schimbare a condițiilor inițiale duce la rezultate complet diferite. Această schimbare poate proveni de la zgomot experimental sau de fond, lipsa de acuratete a instrumentelor, etc. Acest gen de probleme sunt imposibil de evitat, chiar și în cel mai performat și dotat laborator existent.

Exemple de sisteme haotice

• Cele mai multe fenomene, procese din natură, au la bază transformări neliniare: Principalele aspecte ale Teoriei Haosului sunt:

• cea mai mică schimbare a parametrilor initiali vor produce un comportament complet diferit al acelui sistem complex.

• principiul incertitudinii neagă acuratețea. De aceea situația inițială a unui sistem complex nu poate fi determinată cu precizie, prin urmare nici evoluția unui sistem complex.

• sistemele complexe, de obicei, incearca sa ajungă într-o anumita situație. Acea situație poate fi statică (Atractor) sau dinamică (Atractor Straniu)

Curba lui Koch

• Un alt matematician, Helge von Koch, a creat o construcție matematică numită Curba lui Koch. Pentru a crea curba lui Koch, imaginați-vă un triunghi echilateral. Adăugați pe fiecare latură un alt triunghi echilateral și continuați să adaugati pe fiecare din laturile triunghiurilor un alt triunghi echilateral, ceea ce rezultă e o curbă Koch. Orice parte a ei, marita, arata exact ca originalul. Aceasta e o figură autosimilară. Curba lui Koch prezinta un paradox interesant. De fiecare dată când un nou triunghi este adaugat la figura centrală, lungimea liniei crește. Dar aria interioară a curbei lui Koch rămâne mai mică decât aria unui cerc desenat in jurul triunghiului original. În esență, este o linie de o lungime infinita ce inconjoara o zona finita.

Fractalii

• Pentru a putea depăși aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunile fractale. Cuvântul fractal provine din cuvântul fracțional. Un fractal este “o figură geometrică fragmentată sau franta care poate fi divizata in parti, astfel încât fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala a întregului”. Dimensiunea fractală a curbei lui Koch e de 1.26.

• O dimensiune fractionala e imposibil de perceput, dar are sens. În comparatie cu cu o simpla linie sau curba, care au o singura dimensiune, curba Koch e brută și încrețită. De aceea ea ocupă spațiu mai ușor, dar nu il poate umple asemenea unui pătrat cu doua dimensiuni, deoarece nu are arie. Prin urmare dimensiunea curbei Koch e undeva între cele doua. Termenul de fractal a ajuns să descrie orice imagine care prezintă atributul de auto-similaritate.

• Mai târziu, un cercetător pe nume Feigenbaum studia bifurcațiile unei diagrame și încercă să isi dea seama cat de repede apar acele bifurcatii. A reusit să își de-a seama că au au o viteză de apariție constanta. El a calculat-o la 4.669. cu alte cuvinte, a descoperit scara la care diagrama devenea auto-similara. Dacă se micsora diagrama de 4.669 ori, ea ar fi arătat că una din regiunile bifurcației .

Bibliografie

• Codreanu, Steliana, Introducere în teoria haosului determinist, Cluj-Napoca: Casa Cărții de Știință, 2007 .