FUNCTII CONTINUE

FUNCTII CONTINUE INTR-UN PUNCT

Definitie ! Fie o multime A⊂R si o functie f : A→ R.Spunem ca f este continua in

punctul a ϵ Adaca pentru orice sir ¿ ,anϵ A , cu limn→∞an=aavem lim

n→∞f (an )=f (a) .

Exemplu ! Functia f :R→ R, f ( x )=x2+x+1 este continua in a=1, deoarece pentru ∀ (an ) cu an→1 avem : limn→∞

f ¿ .

Pentru ϵ A , puncul de acumulare al multimii A , definitie enuntata capata urmatoarea formulare echivalenta: functia f este continua∈punctul adacasi numaidaca lim

x →af (x)= f (a ) .

Observatii ! 1. In comparatie cu definitia limitei intr-un punct ,definitia continuitatii intr-un punct renunta la conditia an≠a , deoarece f este definite in a si proprietatea f (an)→f (a) o au si sirurile (an) pentru care o parte din termeni sunt egali cu a;

2. Definitia continuitatii este satisfacuta automated punctele isolate ale domeniului de definitie.Intr-adevar, daca a ϵ Aeste punct izolat, singurele siruri din A tind catre a sunt sirurile constant an=a si intrucat f (an )=f (a )→f (፮) ,rezulta ca f este continua in a. Orice functie f : A→ R este continua in orice punct izolat al domeniului de definitie.Teorema ! Fie f : A→ R si a ϵ A . Functia f este continua in punctual a daca si numai daca ∀V ϵV f (a ),∃U ϵ V a astfel incat pentru ∀ xϵ A∩U sa rezulte f ( x ) ϵ V .

Teorema ! Fie : A→R ,aϵ A . Functia f este continua in a daca si numai daca ∀ ε>0 ,∃ δ=δ(ε )>0 astfel incat pentru ∀ xϵ Acu |x−a|<δ sa avem |f ( x )−f (a)|<ε .

Probleme rezolvate !

1. Daca f : A→ Reste continua in asi f ( a )>0 (respectiv f ( a )<0 ), atunci exista o vecinatate U a punctului a astfel incat f ( x )>0 (respectiv f ( x )<0 ) pentru orice x ϵ A∩U .

Solutie :

Notam f ( a )=λ si presupunem λ>0. Alegang vecinatatea ¿( λ2

,3 λ2 )ϵ V f (a ) , exista

U ϵ V a astfel incat ∀ xϵ A∩U⟹ f ( x ) ϵ V , adica f ( x )> λ2>0.

2. Sa se arate ca functia f : [0,4 ]→ R, f ( x )=x2+2este continua in a=1.

Solutie :

Fie ε>0.Trebuie gasit δ(ε¿>0 astfel incat ∀ xϵ [0,4 ] cu |x−1|<δ sa rezulte |f ( x )−f (1)|<ε. Cum |f ( x )−f (1)|=|x−1||x+1|≤5|x−1| (deoarece xϵ [0,4 ] implica x+1 ϵ [1,5 ] ) ,

din conditia 5|x−1|<ε⟹|x−1|< ε5 . Deci ∃ δ (ε )= ε

5>0 astfel incat ∀ xϵ [0,4 ] cu |x−1|<δ ,

rezulta ca |f ( x )−f (1)|<ε , adica f este continua in a=1.

Daca f nu este continua in punctual ϵ A , se spune ca f este discontinua in a.

FUNCTII CONTINUE PE O MULTIME

Definitie ! Se spune ca o functie f : A→ R este continua pe o multime B⊂ A daca este continua in fiecare punct a ϵ B .Daca o functie este continua pe tot domeniul de definitie A ,se spune mai simplu ca f este continua

Observatie ! Functiile elementare (polinomiale,rationale,functia radical,functia exponentiala,functia logaritmica,funtia putere,functiile trigonometrice , functii trigonometrice inverse) sunt continue in orice punct din domeniul lor de definitie.

O functie f : I →R , I⊂R interval , este continua pe I daca graficul sau este intrerupt pe I .Daca domeniul de definitie al lui f nu este un interval , aceasta interpretare geometrica nu este corecta sis pre exemplu functia tg este continua si are graficul interrupt.

Problema rezolvata !

1. Sa se determine punctele de continuitate ale functiei :

f :R→ R, f ( x )={ x3+x2daca x ϵQ3 (x+1 ) daca x ϵ R ¿

Solutie :

Cumf : A→ R, consideram a ϵ R si sirul arbitrar (an ) , an ϵ R ,an→a. Daca elementele sirului (an ) sunt rationale ,atunci f (an )=an

3+an2→a3+a2 .Daca elementele sirului (an )sunt

irationale , atunci f (an )=3(a¿¿n+1)→3 ( a+1 ) .¿ Functia f este continua in a ϵ R daca si numai daca a3+a2=3 (a+1) sau (a2−3 ) (a+1 )=0. Cum solutiile acestei ecuatii sunt a ϵ {−√3 ,−1 ,√3 }, deduce ca functia admite trei puncte de continuitate si anume elementele multimii {−√3 ,−1 ,√3 } .

CONTINUITATE LA STANGA SI CONTINUITATE LA DREAPTA

Definitie ! Fie f : A→ R si a ϵ Aun punct de acumulare pentru multimea A∩ (−∞ ,a ) (respective pentru ∩ (a ,+∞ ) ).

Spunem ca f este continua la stanga (respective la dreapta ) in punctul a daca f ¿(respective f ¿ ).

Observatie ! Daca ¿ [a ,b ] , atunci continuitatea functiei f in punctul a (respectiv b ) este echivalenta cu continuitatea la dreapta in a (respective la stanga in punctul b ).

Teorema ! Fie f : A→ Rsi a ϵ A un punct de acumulare (bilateral) pentru A. Functia f este continua in punctul a daca si numai daca f ¿.

Problema rezolvata !

1. Se considera functia :

f :R ¿{−1,0¿}→ R, f ( x )=limn→∞

2+ xn(x2+5)x (xn+5)

.

Sa se expliciteze functia f si sa se studieze continuitatea sa .

Solutie !

Pentru |x|>1 , limn→∞

a

xn=0 ,∀ aϵ R si f ( x )= lim

n→∞

2

xn+x2+5

x (1+ 5xn )= x2+5

x .

Pentru x ϵ (−1,0 )∪ (0,1 ) , limn→∞

xn=0 si f ( x )= 25 x , iar (1 )=4

3 . Deci

f ( x )={x2+5

xdaca x ϵ (−∞ ,−1 )∪ (1 ,+∞ )

25 x

daca x ϵ (−1,1 ) {0 }

43

daca x=1

.

Problema continuitatii in punctele−1 si 0 nu se pune deoarece nu apartin domeniului de definitie al functiei f .

Daca ϵ (−∞ ,−1 )∪ (1 ,∞) , atunci f ( x )= x2+5x

este continua ca fiind functie rationala.

Daca x ϵ (−1,1 ) ¿{0¿}, atunci f ( x )= 25 x este continua ca fiind functie rationala. Ramane sa

mai stabilim continuitatea in ¿1 :

f ¿

Deci a=1 este punct de discontinuitate al functiei f .

Astfel s-a ajuns la concluzia ca f este continua pe R {−1,0,1 }.

DISCONTINUITATEA DE SPETA I SI SPETA II

Definitie ! Fie aun punct de discontinuitate pentru functia . Daca limitele laterale in punctul a exista si sunt finite , se spune ca aeste un punct de discontinuitate de speta I. Orice punct de discontinuitatecare nu este de speta I se spune ca este de speta a II-a.

Exemplu ! Punctul a=0 este un punct de discontinuitate,de speta a II-a,al

functiei f ( x )={x+2daca x≤01x

dacax>0 , deoarece f ¿ .

Rolul lui Darboux in matematica !

Definitie ! Fie un interval I⊂R si f : I →R o functie . Se spune ca functia f are proprietatea Darboux daca pentru orice a ,b ϵ Icu a<b si orice γ cuprins intre f ( a ) si f (b), exista c ϵ (a ,b ) astfel incat f ( c )=γ .

Cu alte cuvinte, functia f are proprietatea Darboux daca odata cu valorile luate in doua puncte ale intervalului , functia f ia si toate valorile intermediare atunci cand x parcurge intervalul dintre cele doua puncte.

Teorema ! O functie f : I →R are proprietatea Darboux daca si numai daca transforma orice interval J⊂ Iintr-un interval f (J ).

Teorema ! (a valorilor intermediare) Orice functie continua pe un interval are proprietatea Darboux pe acel interval.

Din aceste teoreme,rezulta ca daca f : I →R este continua,atunci f ( I )este interval.Mai mult,se poate demonstra ca daca I este un interval inchis si marginit , atunci si f ( I ) este ,de asemenea,inchis si marginit , adica o functie continua pe un interval inchis si marginit este marginita si isi atinge marginile.