PREFAA

Spre deosebire de vin, tiina nu trebuie lsat s se nvecheasc

Grigore C. Moisil Pompele i ventilatoarele sunt utilizate n prezent n multe din domeniile vieii social-economice, astfel nct, o ar industrializat consum pentru vehicularea fluidelor o parte semnificativ din energia produs. Numrul mare de pompe i ventilatoare produse anual precum i utilizarea lor n multe domenii au dus la perfecionarea continu a proiectrii i realizrii lor, obinndu-se valori superioare ale parametrilor funcionali. Creterea performanelor funcionale a impus, de asemenea, o lupt tiinific permanent pentru eficientizarea transferului energetic, adic creterea continu a randamentelor i mbuntirea caracteristicilor de cavitaie (n cazul pompelor). Prin publicarea acestei lucrri n literatura de specialitate din Romnia, se pun la dispoziia celor care n activitatea lor utilizeaz pompe i ventilatoare informaii privind bazele teoretice ale funcionrii generatoarelor hidropneumatice, principii de proiectare, elemente constructive specifice, etc. Dup o introducere n problematica pompelor i un scurt istoric al evoluiei sistemelor pentru vehicularea fluidelor se trece la abordarea noiunilor de baz a acestei categorii de maini hidraulice. Astfel se definesc parametri principali energetici, uniti de msur, curbe caracteristice, bilanul energetic al transformrilor pe traseul intrare-ieire. Schimbul energetic din pompe adesea este nsoit de fenomenul de cavitaie cu efecte negative n exploatare. Noiunile de baz despre cavitaie, mrimi i curbe caracteristice sunt prezentate n Capitolul 2. nainte de a intra n tratarea n detaliu a elementelor fundamentale este necesar o prezentare a principalelor forme constructive de pompe i ventilatoare, insistndu-se pe principiul de funcionare i anumite particulariti constructive. Aria tipurilor prezentate se extinde mult peste domeniul centrifugelor i axialelor, tocmai pentru a scoate n eviden vastitatea domeniului i faptul c oricare din celelalte sunt mult mai puin utilizate practic. n Capitolul 4 se trateaz noiunile fundamentale ce in de ecuaiile transferului energetic, similitudinea turbopompelor, funcii caracteristice, relaii statistice de predimensionare. Avnd nsuite elementele comune tuturor generatoarelor hidropneumatice se poate trece la proiectarea propriu-zis a elementelor componente ale circuitului hidraulic. n ordinea importanei primul este rotorul care este analizat n cele mai mici amnunte cu privire la forma lui n plan meridian i apoi obinerea paletei n 3D. Toate abordrile sunt ntr-o viziune nou folosind din plin tehnicile CAD i renunnd definitiv la metodele grafo-analitice, att de mult utilizate pn nu demult n inginerie. Capitolul de etanri dinamice ale rotorului in tot de problematica rotorului.

Prefaa

6

Elementele pasive ale circuitului hidraulic sunt tratate din punct de vedere funcional, constructiv i al dimensionrii simplificate sau extinse. n dimensionarea statoarelor se folosesc metode adaptate de la rotoare, iar la colectoare metode de la dimensionarea conductelor. Ansamblul rotitor al pompelor este solicitat n funcionare de fore radiale i axiale care trebuie preluate cumva i reduse pe ct posibil. Forele axiale n special pot fi echilibrate prin diverse metode, ntre care unele au fost studiate teoretic i experimental n Laboratorul de Maini Hidraulice din Timioara. Ultimul capitol se refer la pompele i ventilatoarele axiale. Acestea avnd un principiu diferit de funcionare fa de cele centrifuge, apar elemente simplificatoare dar i elemente care necesit o alt abordare cum ar fi hidrodinamica reelelor de profile. Metodele de proiectare folosite pot fi o adaptare a celor de la pompele centrifuge sau din hidrodinamica reelelor de profile. Obinerea profilelor din diverse seciuni ale paletei este urmat de asamblarea lor n 3D pentru a da form paletei. Desenul specific al paletei face legtura cu realizarea ei tehnologic. Lucrarea de fa contribuie, prin natura ei, la pregtirea profesional corespunztoare a studenilor de la specializarea de Maini Hidraulice a celor care lucreaz n domeniul proiectrii, utilizrii i exploatrii acestei categorii de maini hidraulice n toate ramurile economiei. n contextul actual al consumurilor energetice reduse, funcionarea lor n regim optim, n funcie de cerinele instalaiilor pe care le deservesc, reprezint o problem de o mare importan economic. n acest sens se prezint soluii tehnice inginereti ce pot fi aplicate eficient n practic. Aria extrem de larg de utilizare a pompelor i ventilatoarelor face ca lucrarea de fa s poat fi util unui numr mare de proiectani i tehnicieni din unitile productive, institutele de proiectare i sectoarele de exploatare. Cartea ar putea prezenta interes i pentru inginerii i tehnicienii care se ocup cu montajul i punerea n funciune a pompelor i ventilatoarelor la beneficiari. Experiena acumulat de autor n acest domeniu este atestat de numeroasele contracte de cercetare i lucrri tiinifice publicate. n acest sens, autorul i exprim i pe aceast cale gratitudinea fa de precursorii disciplinei cu aceeai tematic, predat la specializarea de maini hidraulice: Acad. Ioan Anton i Prof. dr. ing. Francisc Gyulai de la care autorul prin colaborare direct a preluat i dezvoltat n continuare multe din aspectele coninute n aceast carte. Aceeai recunotin i fa de colegii din Catedra de Maini Hidraulice din cadrul Universitii "Politehnica" Timioara, cu care a colaborat n timp. Cu sperana unui real folos, voi fi recunosctor tuturor celor care vor utiliza aceast carte i celor care vor contribui cu sugestii i observaii la mbuntirea ei. Timioara, ianuarie 2009 Autorul

CUPRINS

Introducere.... 11 1. Pompe i ventilatoare. Noiuni de baz.... 16 1.1.Locul pompelor i ventilatoarelor n categoria mainilor hidraulice. 16 1.2.Parametrii principali ai unui generator hidraulic ncadrat ntr-un sistem

de pompare. 17

1.3.Particularizri ale puterilor specifice i domeniile lor de aplicabilitate. 22 1.4.Curbe caracteristice energetice ale sistemelor de pompare. Stabilitatea

n funcionare. 23

1.5.Disipaii, randamente, bilan energetic n sistemele de pompare.. 29 1.6.Calculul caracteristicii energetice exterioare. 32 2. Fenomenul de cavitaie la pompe. 38 2.1.Transformri de faz n lichide.. 38 2.2.Evoluia i regresul cavitilor n curgerea unui lichid. Zone

cavitaionale... 39

2.3.Modele matematice ale bulei de cavitaie.. 41 2.4.Fenomenul de cavitaie i capacitatea de aspiraie a pompelor. 44 2.5.Efectele fenomenului de cavitaie.. 46 2.6.nlimea de aspiraie. 47 2.7.Coeficieni de cavitaie.. 49 2.8.nlimea de aspiraie pozitiv net i cderea dinamic de presiune... 50 2.9.Curbe caracteristice teoretice de cavitaie. 53 2.10.Determinarea nlimii geometrice maxime de aspiraie, Hgsmax, funcie

de NPSHc al unui punct de lucru al pompei dintr-o instalaie... 54

2.11.Exemplificri ale efectelor fenomenului de cavitaie.... 55 3. Tipuri caracteristice de pompe i ventilatoare. 58 3.1.Pompe centrifuge cu rotor nchis.. 60 3.2.Pompe centrifuge cu rotor semideschis. 61 3.3.Pompe centrifuge cu rotor deschis (Barske).. 62 3.4.Pompe centrifuge cu rotor retras... 62 3.5.Pompe cu canal lateral sau periferial. 64 3.6.Pompe axiale. 66 3.7.Ventilatoare centrifuge (radiale, VR).... 66 3.8.Ventilatoare axiale..... 68 3.9.Ventilatorul cu curent transversal.. 70 3.10.Pompa cu piston. 72 3.11.Pompa cu membran. 73 3.12.Pompe cu roi profilate.. 73 3.13.Pompe cu rotor excentric i palete elastice... 74 3.14.Pompe peristaltice.. 75 3.15.Pompe pentru betoane.... 75

Cuprins

8

3.16.Ejectoare... 77 3.17.Pompe cu amestec de lichid-gaz, ( gaz lift ).. 79 3.18.Berbecul hidraulic. 80 3.19.Pompa cu condensare de abur.. 82 3.20.Pompa electromagnetic... 83 3.21.Elevatorul cu cupe 84 3.22.Elevatoare cu palete spirale.. 85 3.23.Elevatorul cu pistoane pe lan... 85 3.24.Elevatorul prin aderen 86 3.25.Elevatorul cu urub (Arhimede). .. 87 4. Turbogeneratoare hidropneumatice. Noiuni generale 89 4.1.Elementele componente principale ale turbogeneratoarelor

hidropneumatice... 89

4.2.Cmpul de viteze i presiuni n canalele rotorice 92 4.3.Momentul de interaciune rotor fluid (momentul Euler). 94 4.4.Ecuaia fundamental a turbopompelor.. 97 4.5.Structura energiei transferate de rotor. 99 4.6.Gradul de reacie al rotorului 100 4.7.Similitudinea turbopompelor 101 4.8.Funcii caracteristice 106 4.9.Efecte de scar. Corecii aplicate relaiilor de asemnare 108 4.10.Coeficieni funcionali i relaii statistice de predimensionare... 109 4.11.Relaii statistice pentru bilanul energetic probabil. 113 4.12.Mrimea (numrul) hidrodinamic i randamentul probabil 114 5. Pompe i ventilatoare centrifuge. Proiectarea rotorului.. 117 5.1.Generarea domeniului de curgere axial-simetric n zona rotorului. 117 5.2.Discretizarea domeniului.. 120 5.3.Cmpul hidrodinamic al rotorului 121 5.4.Condiiile la limit pe frontierele domeniului.. 122 5.5.Calculul funciei de curent prin FEM... 123 5.6.Determinarea cmpului de viteze i presiuni 124 5.7.Alegerea zonei paletajului n domeniul cmpului hidrodinamic

meridian 125

5.8.Dimensionarea intrrii.. 127 5.9.Dimensionarea ieirii 130 5.9.1.Optimizarea zonei de ieire prin numrul de palete... 134 5.9.2.Influena unghiului 2 al paletajului asupra nlimii de pompare 136 5.10.Calculul suprafeei schelet a paletei n spaiul dintre intrare i ieire

utiliznd metode clasice mbuntite i tehnici CAD.. 140

5.10.1.Zone inactive ale paletei.. 141 5.10.2.Interpolarea cu dou arce de parabol racordate direct... 142 5.10.3.Interpolarea cu dou arce de parabol racordate cu un segment

Cuprins

9

de dreapt. 144 5.10.4.Suprafaa schelet a paletei n proiecie pe un plan perpendicular

pe axa de rotaie... 146

5.10.5.Ajustarea paletajului la intrare n cazul rotoarelor cu paletaj mixt (palete lungi alterneaz cu palete scurte).

152

5.10.6.Ajustarea paletajului la ieire pentru rotoarele rapide (nq mare). 155 5.11.Calculul suprafeei schelet a paletei n spaiul dintre intrare i ieire

utiliznd metoda transformrilor conforme i tehnici CAD. 157

5.11.1.Transpunerea grosimii constante n planul transformrii conforme..

160

5.11.2.Transpunerea grosimii variabile n planul transformrii conforme..

162

5.11.3.Determinarea suprafeei intrados i extrados a paletei pornind de la transpunerea grosimii n planul transformrii conforme.

163

5.12.Reconstrucia tehnologic a paletei prin secionarea cu plane paralele i echidistante sau plane echiunghiulare..

166

5.12.1.Secionarea paletei cu un fascicul de plane paralele, echidistante i perpendiculare pe axa de rotaie (plane de nivel).

167

5.12.2.Secionarea paletei cu un fascicul de plane radiale, echiunghiulare ce trec prin axa de rotaie

169

6. Etanrile dinamice ale rotorului 171 6.1.Aspecte generale, argumentri tehnice. 171 6.2.Micarea fluidului n interstiiul disc rotitor perete fix 173 6.3.Variaia presiunii cu raza n interstiiul perete fix perete rotitor 177 6.4.Cderea de presiune pe etanare... 178 6.5.Debitul de fluid prin icanele de etanare... 181 6.5.1. Etanri simple... 181 6.5.2.Etanri etajate 182 6.5.3.Pierderile de debit la rotoarele deschise. 186 7. Elementele pasive ale circuitului hidraulic. 187 7.1.Spaii de conducere nepaletate ntre zone paletate... 187 7.2.Paletaje statorice... 188 7.2.1.Calculul intrrii... 189 7.2.2. Calculul ieirii 189 7.2.3. Calculul traseului dintre intrare i ieire. 193 7.3.Colectoare. 193 7.3.1.Dimensionarea colectoarelor spirale n ipoteza vitezelor medii

constante.. 194

7.3.2. Dimensionarea colectoarelor spirale n ipoteza presiunilor medii constante.

196

7.3.3. Aspecte constructive ale colectoarelor spirale 198 8. Forele care acioneaz asupra ansamblului rotitor al pompelor i echilibrarea

lor 200

Cuprins

10

8.1.Categorii de fore care solicit ansamblul rotitor. 200 8.2.Componentele axiale i radiale ale forelor.. 201 8.3.Echilibrarea rezultantei radiale i axiale... 207 8.3.1.Echilibrarea prin paletaj pe coroan.. 208 8.3.2. Echilibrarea prin ican pe coroan... 210 8.3.3. Echilibrarea cu pistonul de echilibrare... 212 8.3.4. Echilibrarea cu discul de echilibrare.. 213 8.3.5. Metode constructive de echilibrare a forelor axiale.. 216 8.4.Fore axiale n cazul pompelor axiale... 218 9. Pompe i ventilatoare axiale... 221 9.1.Particulariti constructive, ecuaii fundamentale. 221 9.2.Sistemul celor trei reele de palete profilate. 224 9.3.Gradul de reacie al rotorului 226 9.4.Distribuia mrimilor energetice de-a lungul razei n zona paletat. 228 9.5.Caracteristici ale profilelor aerohidrodinamice utilizate n construcia

pompelor i ventilatoarelor axiale 231

9.5.1.Geometria profilelor... 231 9.5.2.Dispunerea profilelor n reea. 234 9.5.3. Caracteristicile dinamice ale aripii portante profilate. 235 9.5.4. Caracteristicile dinamice ale reelelor de profile 237 9.6.Proiectarea reelelor de profile.. 238 9.6.1.Calculul condiiilor asimptotice. 238 9.6.2.Metoda elementar. 238 9.6.3.Metoda portanei. 242 9.7.Desenul paletei. Intersecia cu plane de nivel i radiale... 245 9.7.1.Construirea profilelor n sistemul propriu de reprezentare. 246 9.7.2.Transpunerea profilelor la unghiul de instalare s, n planul

desfurat 249

9.7.3. Transpunerea profilelor din planul desfurat pe suprafeele cilindrice ale seciunilor de calcul..

250

9.7.4. Intersecia paletei cu plane de nivel 252 9.7.5. Intersecia paletei cu plane radiale.. 255 9.7.6. abloanele de verificare ale paletelor. 258 Bibliografia.. 261

INTRODUCERE

A. ASPECTE GENERALE Vehicularea fluidelor a avut i are un rol deosebit n istoria civilizaiei umane. Elevatoarele hidraulice au fost inventate i utilizate n antichitate. Dezvoltarea i perfecionarea sistemelor de transport Na fluidelor s-a accentuat cu precdere n ultima perioad a istoriei societii umane. O ar industrializat consum pentru pomparea fluidelor peste 20 % din energia produs. n rile industrializate, fabricaia pompelor reprezint circa 1 % din produsul intern brut.

Lucrarea de fa se ocup cu descrierea, funcionarea, proiectarea i exploatarea pompelor i ventilatoarelor centrifuge i axiale.

Aciunea unei pompe asupra lichidului poate fi dinamic (pompa centri-fug) sau static (pompa cu piston, pompa volumic). Dup felul micrii, o pomp poate fi rotativ sau cu deplasare liniar.

Pompa centrifug este o main foarte rspndit, care a cucerit un loc important n construcia mainilor hidraulice.

Problema care se pune constructorului de maini, n general, i constructorului de pompe centrifuge, n particular, este de a proiecta diferitele organe componente i agregatul complet, astfel nct s corespund ct mai bine scopului de utilizare. Pentru aceasta, el trebuie s cunoasc perfect condiiile de exploatare ale mainii. Totodat, el trebuie s realizeze o main simpl, cu un pre de cost redus, care s aib un randament ct mai ridicat i s necesite cheltuieli de ntreinere i de exploatare reduse.

Aceste condiii dificil de ndeplinit au fost realizate cu succes de oamenii de tiin, n strns colaborare cu constructorii i cu tehnicienii care exploateaz pompele centrifuge. Teoriile avansate ale acestor cercettori au fost verificate n laboratoare cu renume mondial i au fost confirmate n practic.

Constructorul de pompe (ventilatoare) trebuie s in seam de urmtorii factori: a) Sigurana n funcionare: piesele componente s nu se rup sau s

sufere deformaii nepermise, ntrerupnd exploatarea sau chiar producnd accidente; s nu se nclzeasc i s nu se uzeze prea repede.

b) Posibilitile de execuie: respectarea regulilor constructive, permind executarea pieselor cu ajutorul mainilor unelte i a tehnologiilor disponibile.

c) Economia: maina s corespund condiiilor de precizie de fabricaie i s aib preul de cost redus.

d) Normarea: elementele componente s corespund normelor (STAS, ISO, etc.) i prescripiilor legale.

e) Dispozitivele de protecie: evitarea pericolelor mecanice, chimice, etc., pentru personalul care exploateaz pompele.

f) Condiii speciale: pompa s fie adaptat regimului i locului de exploa-tare, posibilitilor de transport, de reparaie i de procurare rapid a pieselor de schimb pe locaiile cele mai ndeprtate.

Fenomenele care se produc n pompe sunt complexe. Ele nu pot fi expri-

Introducere

12

mate n totalitate prin formule matematice. De aceea, se fac ipoteze simplificatoare pentru a se obine ecuaii care pot fi rezolvate matematic. Ecuaiile rezultate prin simplificare, deci prin neglijarea unor fenomene complexe, trebuie totui s fie aplicabile la pompele construite. Formulele stabilite teoretic se corecteaz cu ajutorul unor coeficieni empirici, pentru a se obine rezultate practice.

Pompa centrifug poate fi considerat o turbin inversat. Primii con-structori de pompe centrifuge au folosit formulele fundamentale de calcul ale turbinelor. Dezvoltarea ulterioar a creat ns o teorie independent a pompelor centrifuge, bazat pe fora centrifug. Legile hidraulice fundamentale, necesare acestei teorii, au fost formulate dup apariia mainii. B. SCURT ISTORIC AL DEZVOLTRII POMPELOR CENTRIFUGE

Originea alimentrii cu ap prin mijloace mecanice se pierde n antichi-tate. Dispozitivele pentru ridicat apa s-au dezvoltat treptat.

Printre primele dispozitive a fost i sacul de piele, cu care se scotea apa din fntn, cu ajutorul unei roi acionate manual.

Mai trziu, a aprut roata cu cupe, care a reprezentat o treapt superioar de dezvoltare. Prin acest sistem, debitarea apei era aproape continu. Cupele, ajungnd la partea superioar a roii, vrsau apa ntr-un jgheab de lemn, de unde, era condus la locul de utilizare. Sistemul a fost n special folosit pentru irigaii. Mai trziu, a aprut un dispozitiv prin care apa era ridicat cu ajutorul unor glei legate de o frnghie fr sfrit, ntins pe dou roi aezate una sub alta. Roata inferioar era cufundat parial n ap, pentru ca s se poat umple gleile, iar roata superioar era situat la nlimea jgheabului n care ele se goleau. Acionarea se fcea manual sau cu traciune animal.

Pompa cu piston este menionat ntr-o carte aprut cu 300 de ani naintea erei noastre. In Grecia au fost utilizate, cu 120 de ani naintea erei noastre, pompe cu piston manuale, care serveau la stingerea incendiilor.

Scriitorii timpului menioneaz, n lucrrile aprute cu 100 de ani nain-tea erei noastre, pompa indian Picotah i urubul hidraulic al lui Arhimede. Acesta din urm const dintr-un tub aezat cu axa la 45, n care se rotete un arbore, pe care sunt montate una sau dou palete elicoidale . In secolul XVII s-a construit la Marly, n apropiere de Paris, o instalaie destinat s furnizeze ap pentru fntnile parcurilor regale. Era o lucrare uria pentru timpul su. Apa, ridicat printr-un stvilar pe fluviul Sena, punea n micare 14 roi hidraulice, fiecare avnd diametrul de 12 m. Acestea antrenau trei grupe de pompe cu 221 de uniti, ridicnd apa la 162 m nlime de pompare, care era condus apoi prin apeducte, spre fntnile de la Versailles, Marly i Trianon.

Aceast construcie gigantic a fost depit ca mrime de instalaia minelor din Altai, construit n anul 1780 de un specialist rus n hidrotehnic. El a ridicat pe un ru, un stvilar nalt de 18 m, de unde apa era condus printr-o galerie i un canal deschis, nti spre roata hidraulic a unui gater, apoi, pe sub pmnt, spre o roat dubl, care servea la ridicarea minereului din min. Curentul apei punea n micare roata de ridicare a apei, care avea diametrul de 17 m. In continuare, apa aciona roata hidraulic a minei cu diametrul de 16 m, care punea n micare instalaia de ridicare a minereului i a apei. Dup ce parcurgea astfel, n total, 2200 m, apa se vrsa din nou n rul

Introducere

13

iniial. Odat cu acionarea cu motor a aprut problema mbuntirii con-

struciei i a rezistenei pompelor. Construcia pompei din lemn, cu metal care servea numai pentru ntrire i fixare, nu mai corespundea situaiei noi create prin mrirea turaiei. Lemnul a fost nlocuit printr-un material mai rezistent: fonta. La sfritul secolului XVIII se rspndete n ntreaga lume folosirea mainii cu abur pentru acionarea pompelor. Prin aceasta pompele cu piston capt o mare utilizare.

Pompele centrifuge erau cunoscute din evul mediu. Ele nu erau ns utilizate din cauza randamentului foarte redus, datorat construciei lor rudimentare.

Cunoscuii savani Daniel Bernoulli i Leonard Euler, au pus bazele teoretice ale curgerii lichidelor i ale fenomenelor care se produc n pomp. Euler a elaborat, n anul 1754, teoria mainilor hidraulice centrifuge (turbine i pompe), utilizat i n prezent, cu anumite modificri. Formula fundamental a acestor maini este cunoscut sub numele de ecuaia lui Euler. Ca urmare a teoriei lui Euler s-au putut construi raional pompele centrifuge.

In secolul XIX a fost inventat pompa cu piston, acionat direct prin tija pistonului mainii cu abur. Pompa i maina cu abur au o tij comun, care leag pistoanele. Micarea se transmite direct, fr nici un mecanism intermediar. La sfritul secolului XIX, datorit dezvoltrii industriale, pompele cu piston acionate direct au cptat o mare rspndire, nu numai pentru ap, ci i pentru alte lichide, n special n industria ieiului. S-a elaborat, teoria pompelor cu abur cu aciune direct. Astfel s-au construit pompe cu piston speciale pentru deplasare ieiului din sond. De asemenea, s-a perfectat procedeul de pompare a pcurii prin nclzire i s-au pus bazele teoretice de calcul aplicabile micrii pcurii n conducte.

In secolul XIX s-a produs o stagnare n dezvoltarea pompelor centrifuge, deoarece necesitau un motor de turaie mare. Ele au luat un nou avnt la nce-putul secolului XX, prin apariia motoarelor electrice i a turbinelor cu abur, care au o turaie mare. Cu toate c n anul 1834, s-a construit primul motor electric, care este prototipul motoarelor electrice moderne, aplicarea practic la pompele centrifuge s-a fcut ns mult mai trziu, cnd s-a putut rezolva problema transmiterii energiei electrice la distan. Aceasta a fost realizat pentru prima dat n anul 1877 cnd s-a artat posibilitatea transmiterii energiei electrice la distan, din punct de vedere teoretic, dovedind avantajul economic i propunndu-se o serie de formule de calcul. Folosirea pe scar mare a transmiterii energiei electrice la distan a fost posibil prin nlocuirea curentului continuu, cu curent alternativ. S-au pus bazele teoretice i s-a creat practic un motor electric pentru curent alternativ trifazat. S-a folosit un transformator, realiznd pentru prima oar transmiterea la distan a curentului alternativ trifazat.

Acionarea electric a asigurat posibilitatea conducerii automate a grupurilor de pompare, utilizate, de exemplu, la instalaiile de hidrofor.

Apariia motoarelor rotative a fcut ca pompele centrifuge s ocupe un loc de frunte. Cuplarea pompei cu piston cu motoare rotative era mai complicat, deoarece rezultau agregate voluminoase. n locul pompei cu piston apare pompa centrifug, o main simpl care ocup un volum mic i care permite, cuplarea direct, fr mecanisme intermediare.

Pompele centrifuge cu etaje, de nalt presiune, au fost utilizate, pentru prima oar, n mine, unde trebuia rezolvat problema evacurii apei de la mare

Introducere

14

adncime. Rezultate foarte bune n perfecionarea pompelor centrifuge au fost

obinute ns n ultimii 50 de ani, n urma elaborrii teoriei paletelor de rotor i a paletelor aparatelor de conducere (statoare). S-a dezvoltat teoria aripii portante. Aceast teorie a servit ulterior la calculul paletelor pompelor axiale. Cercetrile ulterioare au permis s se mreasc simitor randamentul pompelor centrifuge, lrgind limitele de utilizare a debitului i a presiunii.

La sfritul secolului XIX, s-a realizat prima pomp centrifug vertical de adncime. Pompa centrifug cu un diametru relativ mic, avea un debit de 100 m3/h, i un arbore vertical de 20 m. Aceast realizare a mbuntit tehnica vehiculrii lichidelor din subteran.

In anul 1910 s-a propus construcia unei pompe submersibile. Acest tip de pomp a fost perfecionat de numeroi cercettori. In prezent, aceste pompe extrag petrol de la adncimea de peste 6000 m. Reprezentnd construcia cea mai bun, aceste pompe sunt folosite pe scar mare la extragerea petrolului.

n prezent, pompele centrifuge sunt maini perfecionate, cu o construcie compact i cu un randament ridicat. Fabricarea lor necesit o cantitate redus de material. La nceput, pompele se utilizau pentru deplasarea apei reci. Acum ele se folosesc i la lichide cu temperaturi nalte, la lichide vscoase i la lichide agresive, folosite n industria petrolier i n industria chimic. S-a rezolvat problema deplasrii lichidelor vscoase cu ajutorul pompelor centrifuge. Pe baza unui numr considerabil de experiene, s-au propus, n anul 1929, o serie de formule pentru stabilirea caracteristicilor pompelor pentru lichide vscoase, In anul 1939, cercetrile n acest domeniu au fost completate, de Stepanoff, Pfleiderer, etc. care, dup numeroase ncercri, au ntocmit grafice, pentru determinarea valorilor optime ale nlimii de pompare i ale randamentului.

C. CERINELE ACTUALE N DOMENIUL POMPELOR Activitatea inginereasc n acest domeniu se refer la probleme concrete de proiectare legate de condiii concrete de exploatare. Soluia dat trebuie s fie competitiv. Inginerul realizeaz astfel soluii optimizate pe baza cunotinelor privind procesele fizice din maini, materialele din care sunt realizate piesele componente, tehnologiile de execuie i montaj, cheltuielile de fabricaie, estetica industrial, exigenele peii libere etc. Modelele fizice de calcul duc la mai multe soluii. Proiectantul identific aceste soluii posibile, stabilete restriciile care elimin o parte din soluii i alege soluia optim. Restriciile pot fi de natur constructiv, tehnologic, tipizare, etc. Criteriile de optimizare de ordin general se refer la urmtoarele:

- consum minim de materiale (gabarite minime) la turbomaini rezult n mare parte din antrenarea la turaii ct mai mari posibile

- maximizarea randamentului energetic total al mainii hidraulice prin diminuarea pe ct posibil a tuturor disipaiilor ce apar n transferul energetic din maina hidraulic

- reducerea la limite acceptabile a efectelor negative ale fenomenului de cavitaie prin soluii care duc la scderea coeficientului de cavitaie

Introducere

15

- creterea fiabilitii n exploatare - aspectul comercial, estetic

Criteriile enunate au efecte contradictorii n sensul c optimizarea dup un criteriu poate avea influene negative dup alte criterii. n astfel de situaii se caut soluii de compromis care s armonizeze n mod tolerant toate dezideratele ntr-o anumit ordine de prioriti. Eficiena realizat prin optimizri apare la toi factorii pe la care trece produsul de la intrarea n fabricaie i pn la uzura lui fizic i moral, adic la productor i la utilizator n fazele de investiie i de exploatare.

CAPITOLUL 1

POMPE I VENTILATOARE. NOIUNI DE BAZ 1.1. Locul pompelor i ventilatoarelor n categoria mainilor hidraulice Mainile hidraulice fac parte din categoria mainilor de for. n general prin noiunea de main se nelege un ansamblu de mecanisme i elemente mecanice, electrice, chimice, etc. combinate n aa fel nct primind o form dat de energie s o transforme n lucru mecanic sau n alt form de energie. Mainile de for sunt maini n care au loc transformri de energie dintr-o form n alta i n care cel puin una din formele de energie este de natur mecanic. Deci aceasta nseamn c ntr-o main hidraulic au loc transformri energetice n care energia apare cel puin sub form mecanic i sub form hidraulic [1]. Energia hidraulic este energia pe care o posed un fluid cu o compresibilitate extrem de sczut (lichid). Mainile de for care transform energia mecanic n alte forme de energie se numesc n general generatoare. Funcie de tipul agentului purttor de energie rezult c generatoarele pot fi hidraulice, pneumatice, electrice, termice etc. Mainile de for care transform energia unui agent purttor n energie mecanic se numesc motoare, iar acestea la rndul lor funcie de natura agentului purttor pot fi motoare hidraulice, pneumatice, electrice, termice etc. Dac agentul purttor de energie este un lichid, adic un fluid cu o compresibilitate extrem de sczut, atunci vorbim de generatoare sau motoare hidraulice, iar dac fluidul n procesul transferului energetic i modific sensibil densitatea, lucru care se ntmpl n cazul gazelor, atunci avem de-a face cu generatoare sau motoare pneumatice. Din categoria generatoarelor hidraulice fac parte pompele, iar din categoria generatoarelor pneumatice fac parte suflantele, compresoarele, pompele de vid. Ventilatoarelor cu toate c funcioneaz cu gaze, n procesul transformrilor energetice sufer o comprimare neglijabil, astfel c ele pot fi ncadrate n categoria generatoarelor hidraulice. n categoria motoarelor hidraulice intr turbinele i motoarele hidrostatice, iar n categoria motoarelor pneumatice intr turbinele de vnt (eoliene) i motoarele pneumostatice. O categorie aparte de maini hidraulice sunt transformatoarele hidraulice. n aceste maini are loc o dubl transformare energetic i n care cel puin una din

1 Pompe i ventilatoare. Noiuni de baz

17

formele de energie este de natur hidraulic. Transformatoarele hidraulice n care dubla transformare energetic are loc n sensul: energie mecanic energie hidraulic energie mecanic se numesc transmisii hidraulice. Funcie de anumite particulariti constructive acestea se numesc ambreiaje hidraulice, convertizoare hidraulice de cuplu, etc. Toate funcioneaz n circuit nchis n sensul c agentul hidraulic purttor de energie hidraulic este recirculat continuu ntre pompa i turbina care intr n componena lor. Al doilea tip de transformatoare hidraulice realizeaz dubla transformare energetic n sensul: energie hidraulic energie mecanic energie hidraulic. Acestea funcioneaz n circuit deschis, fapt pentru care se mai numesc transformatoare n circuit deschis. Funcie de modul n care are loc transferul energetic n maina hidraulic avem: - Turbomaini (maini hidrodinamice): sunt maini la care micarea mecanic

esenial n transferul energetic este cea de rotaie. Fluidul purttor de energie hidraulic circul n mod continuu ntre seciunile de intrare i ieire ale mainii, iar transferul de energie este realizat de trecerea fluidului printr-un rotor cu palete profilate. n aceast categorie intr pompele, ventilatoarele i compresoarele centrifuge, pompele, ventilatoarele i compresoarele axiale, turbinele tip Francis, Kaplan, bulb, etc.

- Maini volumice: sunt maini la care transferul energetic ctre fluidul de lucru se face prin deplasarea forat a unor volume nchise de fluid ntre aspiraia i refularea mainii. Parametrii energetici depind direct de viteza de deplasare i mrimea volumelor de fluid preluate n mod intermitent. n aceast categorie intr pompele cu piston, cu palete culisante, cu roi dinate, motoare liniare (cilindrii cu piston) etc.

Avnd n vedere clasificrile enunate, obiectul de studiu n continuare vor fi generatoarele hidrodinamice de tip turbomaini, sau mai precis pompe centrifuge i axiale respectiv ventilatoare centrifuge i axiale. 1.2. Parametrii principali ai unui generator hidraulic ncadrat ntr-un sistem de

pompare Aa cum s-a precizat anterior, un generator hidraulic este doar sediul unui transfer energetic, din energie mecanic primit din exterior n energie hidraulic cedat unui fluid de lucru care trece ntr-un flux continuu prin maina hidraulic. De aici se vede clar c un generator nu poate funciona independent, el trebuie s fie ncadrat ntr-un sistem compus din cel puin trei elemente (fig. 1.1). Pentru antrenarea rotorului este necesar un motor electric, termic, hidraulic, etc. care s furnizeze energia mecanic necesar generatorului. Fluidul de lucru, care preia energia hidraulic n flux continuu, este vehiculat ntr-o reea hidraulic compus din conducte, recipiente, rezervoare, elemente de legtur, etc., ndeplinind astfel o utilitate conform scopului pentru care a fost construit generatorul hidraulic.

Pompe i ventilatoare. Noiuni de baz 1 18

Motor de

antrenare

Generatorhidraulic

(pneumatic)

CQ ,E

Q ,E

,

,

E

A B

r r r

a a a

p

Retea

hidraulica(pneumatica)

Fig. 1.1. Schema bloc a unui sistem de pompare [40].

Sistemul este un sistem deschis, avnd legturi directe cu mediul ambiant i alte sisteme. Cele trei componente ale sistemului de pompare, considerate deocamdat ca nite cutii negre, sunt legate ntre ele prin dou conexiuni A, respectiv B [40]. n conexiunea A, prin care se transmite energia mecanic, sunt doi parametri care caracterizeaz aceast energie, cuplul C i viteza unghiular . Intensitatea energiei transmise se exprim cel mai bine prin mrimea specific numit putere. La generatorul hidraulic aceast energie apare ca energie absorbit sau putere absorbit, Pabs, i se calculeaz cu relaia: = CPabs (1.1) n conexiunea B are loc fluxul de energie hidraulic rezultat din transformarea energetic din generatorul hidraulic. Agentul fluidic purttor de energie intr n generatorul hidraulic prin racordul a- aspiraie i este refulat prin racordul r de refulare. Nivelul energetic n cele dou racorduri este diferit. Contribuia generatorului hidraulic la creterea nivelului energetic al fluidului se va exprima evident ca diferen ntre nivelele energetice din cele dou racorduri. Aceast energie o vom numi Energie util, Eu. Eu = Er Ea (1.2) Sau sub form de putere util Pu, Pu = Pr Pa (1.3) n procesul de transfer energetic din energie mecanic n energie hidraulic fluidul curge prin circuitul hidraulic al generatorului de la aspiraie la refulare i conform legilor din mecanica fluidelor au loc disipaii de natur hidraulic i de alt natur. Energia disipat, n mare parte sub form de cldur, se degaj n mediul ambiant i este irecuperabil. Aceast energie se va numi Energie pierdut, Ep. Estimarea cantitativ a eficienei transformrii energetice din generatorul hidraulic se face prin raportul Puterii utile, Pu, la Puterea absorbit, Pabs i care reprezint randamentul mainii hidraulice: 100

abs

u

PP

= (1.4)

1 Pompe i ventilatoare. Noiuni de baz

19

Pentru a estima energiile respectiv puterile din conexiunea B trebuie s se ia n considerare parametrii care caracterizeaz micarea unui fluid n regim staionar prin dreptul unei seciuni de trecere. Aceti parametri sunt:

a) Parametri globali (parametri care afecteaz volumul de fluid n micare): -

m : debitul masic [kg/s], exprim cantitatea de fluid ce trece prin seciune n unitatea de timp.

-

G : debitul gravitaional [N / s], exprim greutatea cantitii de fluid ce trece prin seciune n unitatea de timp.

- Q: debitul volumic [m3 / s], exprim volumul de fluid ce trece prin seciune n unitatea de timp.

ntre cele trei debite sunt relaiile de legtur:

=== mgGQQm rraa i (1.5) - a,r: densitatea fluidului (masa specific) [kg / m3] n zona celor dou racorduri - ea,r: energia specific intern masic, [J / kg] a fluidului, care este o energie de

natur termic. Ea afecteaz n special fluidele compresibile, la cele incompresibile fiind neglijabil, adic diferena ntre nivelele energetice interne de la refulare i aspiraie fiind practic nul.

b) Parametri mediai pe seciunile de intrare i ieire Procesul de mediere se poate face prin intermediul mrimilor globale, apelnd la relaii ce deriv din ecuaiile fundamentale din mecanica fluidelor cum este ecuaia de continuitate din care rezult viteza medie a fluidului pe seciunile de intrare i de ieire din generatorul hidraulic:

a,r

a,ra,r S

Qv = (1.6)

unde Sa,r este aria seciunilor de intrare, respectiv ieire.

z

M(x,y,z)

Sa,r

x

z

y0

Fig. 1.2. Seciunile Sa,r n sistemul cartezian 0xyz

Pompe i ventilatoare. Noiuni de baz 1 20

A doua posibilitate este prin integrare pe seciune a parametrului n cauz ca produs cu elementele constitutive ale integrantului pentru debitul masic (care se conserv conform ecuaiei de continuitate) sau altfel spus, legnd fiecare parametru local de un invariant al curgerii cum este debitul masic. Se consider seciunile racordurilor, ca exemplu de form circular, reprezentate ntr-un sistem de coordonate cartezian 3D, 0xyz, cu planul 0xy n poziie orizontal. Se va asocia fiecare parametru local, notat generic cu LM, unui punct curent M(x,y,z) Sa,r. LM are o distribuie neuniform pe Sa,r. n M fluidul are o densitate local, , o presiune local, p, o component normal (scalar) a vitezei, vn, i o cot curent, z, identic cu z M(x,y,z), dar care de aceast dat are semnificaie de component a energiei specifice a forelor masice. Cu aceste precizri se va meniona mai nti cum se calculeaz debitul masic prin integrare pe seciune: ==

ra S rnrS ana

dAvdAvm (1.7) unde dA este elementul de arie. Funcie de seciune, Sa sau Sr, se va nota La,r valoarea mediat pe seciune a parametrului local LM. Conform celor precizate anterior, aceasta se va calcula cu relaia:

=

a,r

a,r

S a,rn

S a,rnM

ra dA)(dA)(L

L , (1.8)

Din Mecanica fluidelor se cunoate faptul c parametri locali purttori de energie, n curgerea fluidelor sunt viteza v ca purttoare de energie cinetic, presiunea, p, ca purttoare de energie piezopotenial, i cota, z, a elementului de arie care reflect purttoarea de energie a forelor masice. Utiliznd relaia (1.7) vor rezulta valorile mediate a celor trei parametri. n Mecanica fluidelor aceste trei mrimi se utilizeaz sub form de energii specifice (raportate la debitul masic ca unic invariant al micrii poteniale a fluidului). Cu aceste considerente se poate trece la explicitarea relaiei (1.3):

( ) ( )arara

a

r

raru zzmg

vvmppmeemP +

+

+=

22

22

(1.9)

n practica inginereasc s-a cutat o form de exprimare a energiei transmise fluidului de ctre generatorul hidraulic care s fie apropiat de condiiile geo-topografice de funcionare, ct i cu exprimarea uzual a presiunii n metri coloan de lichid. Unitatea metru coloan de lichid exprim n sine de fapt energia geopotenial. Astfel dac se raporteaz puterea util la debitul de fluid vehiculat se obin puteri specifice (puteri raportate la unitatea de debit) sau puteri distribuite pe unitatea de flux a cantitii de fluid vehiculate prin maina hidraulic. Dac se raporteaz puterea util la cte una din cele trei forme de exprimare a debitului se obin trei mrimi specifice uzuale n practica inginereasc a mainilor hidraulice.

1 Pompe i ventilatoare. Noiuni de baz

21

I. nlimea de pompare, H, rezult din raportul puterii utile, Pu la debitul gravitaional,

G . Unitatea de msur rezult din raportul unitilor de msur ale mrimilor implicate:

=====

NJ

smkg

J

sm

skg

sJ

sm

skg

W

mg

P

G

PH uu

222

(1.10)

sau simplificnd unitile pn la capt rezult forma uzual n practic:

=====

m

smkg

msmkg

sm

skg

sJ

sm

skg

W

mg

P

G

PH uu

2

2

22

(1.11)

Prima form de exprimare semnific clar faptul c este vorba de o energie specific. La a doua form trebuie precizat c este vorba de metri coloan de fluid. Aceasta nseamn c indiferent de natura fluidului vehiculat de generatorul hidraulic, nlimea de pompare are aceeai valoare numeric, adic identitatea fluidului vehiculat dispare din msura cantitii de putere pe unitatea de debit gravitaional. Dac se precizeaz natura fluidului purttor de energie hidraulic atunci nlimea de pompare poate s exprime faptul c energia transmis fluidului n micare este echivalent cu energia potenial a unei coloane de fluid de aceeai nlime geometric exprimat n metri. Explicitnd relaia (1.10) mpreun cu (1.9) rezult prima form a nlimii de pompare funcie de parametri energetici din seciunile de intrare i de ieire:

( )ara

a

r

rararu zzppg

vg

vg

ee

mg

PH +

+

+

== 22

22

(1.12)

II. Energia specific masic, em, rezult din raportul puterii utile la debitul masic. Unitatea de msur se obine din raportul unitilor de msur componente:

=====

2

22

sm

kg

msmkg

kgJ

skgsJ

skgW

m

Pe um (1.13)

dintre acestea ultima form nu are o semnificaie deosebit, fapt pentru care este uzual forma intermediar,

kgJ

care exprim energia coninut ntr-un kg de fluid trecut prin maina hidraulic. Dezvoltnd relaia (1.13) mpreun cu (1.9) rezult:

Pompe i ventilatoare. Noiuni de baz 1 22

( ) ( )ara

a

r

rarar

um zzg

ppvveem

Pe +

+

+== 22

22

(1.14)

III. Presiunea de pompare, p, rezult din raportul puterii utile la debitul volumic, Q. Unitatea de msur n acest caz ne ateptm s fie unitatea de presiune i ntr-adevr:

===== 23333 m

NmNm

mJ

smsJ

smW

QPp u (1.15)

Dac se ine cont de (1.5) rezult mai multe forme de exprimare pentru p, funcie de densitatea fluidului la care se raporteaz energia: gHg

gg aa

aa ==

==

G

PQ

PQPp u

a

u

a

ua (1.16)

gHgg

g rrr

r ====

G

PQ

PQPp u

r

u

r

ur (1.17)

1.3. Particularizri ale puterilor specifice i domeniile lor de aplicabilitate a) nlimea de pompare, H, se utilizeaz preponderent la pompele pentru lichide. Simplificrile ce pot fi fcute se refer la energia intern care crete ntre intrare i ieire pe seama disipaiilor de natur hidraulic. Concomitent cu producerea sa, aceast energie este radiat n exterior prin pereii n general metalici ai circuitului hidraulic. Deoarece aceast energie nu este util nici n reeaua hidraulic n care este cuplat generatorul hidraulic, se poate ncadra n categoria de energie pierdut (disipat). Deci fr a comite erori mari se poate spune c ea = er i Ta = Tr = T. Lichidele fiind practic incompresibile se poate spune c a = r = i de asemenea Qa Qr, iar relaia nlimii de pompare (1.12) devine n acest caz:

( )ara

a

r

rar zzppg

vg

vH +

+

=

22

22

(1.18)

Ca structur, relaia (1.18) conine termeni care reflect componenta dinamic a energiei fluidului n micare, Hd i termeni care reflect componenta static a energiei, Hst. Acestea se exprim prin relaiile:

gv

gvH ard 22

22

= (1.19)

( )ara

a

r

rst zz

ppH +

= (1.20)

1 Pompe i ventilatoare. Noiuni de baz

23

b) Presiunea de pompare, p, n cazul suflantelor, compresoarelor i pompelor de vid se pot neglija componentele energiei de poziie i cinetice din cauza ponderii lor reduse n raport cu presiunea i energia intern. La ventilatoare, unde s-a artat c datorit gradului redus de comprimare al gazului se poate considera c variaia energiei interne este neglijabil i intr n energia pierdut, ea = er i Ta = Tr = T. De la caz la caz se poate considera c a = r = sau dac nu atunci debitele volumice sunt n relaia: a

r

ar QQ

= (1.21)

Energia de poziie difer foarte puin ntre cele dou racorduri i deci se poate neglija: zr za 0, de unde rezult presiunea de pompare:

+=

2v

2v 22 a

ar

rar ppp (1.22)

Ca structur, la fel ca la relaia nlimii de pompare, relaia (1.22) conine termeni care reflect componenta dinamic a energiei fluidului n micare, pd i termeni care reflect componenta static a energiei, pst. Acestea se exprim prin relaiile:

2v

2v 22 a

ar

rdp = (1.23)

arst ppp = (1.24) Aceast form este uzual pentru ventilatoare deoarece este oarecum impropriu s se vorbeasc de nlimi de pompare n metri coloan de aer, deoarece au o semnificaie mai puin palpabil, practic, pe cnd presiunea de pompare exprimat n mm coloan de ap semnific foarte bine performanele unui ventilator, fie radial, fie axial. c) Energia specific masic, em. Aceast form este mai puin utilizat la mainile hidraulice de tipul pompelor i ventilatoarelor, fiind mai des utilizat la suflante, compresoare sau pompe de vid. La aceste maini presiunea i energia specific intern au o pondere net superioar fa de ceilali termeni, deci: ( )

+=

a

a

r

rarm

ppeee (1.25)

1.4. Curbe caracteristice energetice ale sistemelor de pompare. Stabilitatea n

funcionare Fiecare din cele trei componente ale sistemului de pompare are o caracteristic de funcionare. n fiecare caz exist un parametru semnificativ funcie de care se exprim ceilali parametri. Acest parametru semnificativ trebuie s fie comun componentelor racordate prin aceeai conexiune. Dac se dorete s se analizeze comportarea a dou componente din aceeai conexiune trebuie s se compare parametri

Pompe i ventilatoare. Noiuni de baz 1 24

comuni. Curbele caracteristice legate de aceti parametri difer de la o component la alta deoarece mainile respective realizeaz transformri energetice diferite i pe baz de principii diferite. n timp ce pompele centrifuge au o caracteristic asemntoare, indiferent de tip, motoarele de antrenare au curbe diverse funcie de tip. Aceste motoare pot fi electrice, termice, hidraulice, etc. Parametri comuni n conexiunea A, aa cum s-a artat anterior sunt cuplul C i viteza unghiular . Funcionarea n regimuri tranzitorii este caracterizat de variaia vitezei unghiulare . De aceea dependenele se vor exprima funcie de acest parametru. La o funcionare stabil din punct de vedere mecanic cei doi parametri vor fi egali, conform principiului c la orice aciune va corespunde o reaciune egal i de semn contrar. Regimul de lucru stabil al ansamblului pentru care parametrii comuni sunt egali se va numi punct de lucru. n figura 1.3 se prezint dependena cuplurilor motorului de antrenare CM i al generatorului CG funcie de . Regimul de curgere n reeaua hidraulic (pneumatic) influeneaz la rndul su cuplul generator prin modificarea turaiei funcie de ncrcare. n cazul de fa se analizeaz un regim de lucru stabilizat n timp, n care toate componentele sunt n echilibru dinamic. Dac n sistem se produce o perturbaie care l scoate din echilibrul dinamic iniial, acesta reacioneaz corespunztor i dac punctul de lucru este stabil sistemul revine la starea iniial, iar n caz contrar penduleaz sau tranziteaz spre un punct de lucru stabil.

Fig. 1.3, Curbe caracteristice n conexiunea A

n conexiunea A se ia spre exemplificare cuplul activ dat de un motor electric la care rotorul este acionat de cmpul electric nvrtitor. Prin arborele de susinere rotorul motorului electric este cuplat cu arborele, respectiv rotorul generatorului hidraulic (pneumatic). Toate acestea constituie ansamblul rotitor electro-mecano-

1 Pompe i ventilatoare. Noiuni de baz

25

hidraulic. Acest ansamblu rotitor fiind de natur mecanic are un moment de inerie, J, care intr n ecuaia dinamic de echilibru a cuplurilor activ, CM i rezistent CG. )(

dd

== fCCt

J GM (1.26)

Din aceast ecuaie se observ c n regim stabilizat = ct. i GM CC 0d

d==

t (1.27)

n regim tranzitoriu ecuaia (1.26) se poate integra, obinndu-se dependena =f(t). Practic o perturbaie n sistem poate fi dat de o modificare a caracteristicii reelei sau o modificare a parametrilor de alimentare ai motorului electric. Pentru a analiza stabilitatea unui punct de lucru se presupune c apare o perturbaie n sistem. Dac punctul de lucru era iniial la viteza unghiular 0, n urma perturbaiei poate evolua dup caz n '0 sau n ''0 . n primul caz se constat c CM

tCC GM (1.29)

adic variaia lui n timp este pozitiv, deci sistemul are tendina s revin la punctul de lucru iniial. Se spune c un punct de lucru este stabil dac n urma unei perturbaii la stnga sau la dreapta revine la starea iniial. Din punct de vedere analitic condiia de stabilitate se poate exprima prin valoarea derivatelor locale ale celor dou curbe n punctul de lucru n raport cu viteza unghiular: