2.SOLICITĂRI AXIALE

2.SOLICITĂRI AXIALE

2.1 Generalităţi

O bară dreaptă este supusă la întindere sau la compresiune dacă în secţiunile sale transversale există forţe axiale.

Într-o secţiune, dacă forţa axială N este orientată spre exteriorul secţiunii, solicitarea este de întindere, iar dacă acţionează spre interiorul secţiunii, solicitarea este de compresiune. Analiza celor două solicitări este identică, diferind doar sensul forţei axiale, dar există unele diferenţe. Aşa cum s-a arătat în capitolul 1, forţa axială din secţiunea barei este egală cu suma proiecţiilor forţelor din stânga sau din dreapta secţiunii, pe direcţia axei barei.

Reprezentarea variaţiei forţei axiale în lungul axei barei reprezintă diagrama de forţe axiale. În figura 2.1, pentru bara solicitată prin forţele 2F, 6F şi 10F s-a trasat diagrama N, reprezentând forţele axiale pozitive deasupra unei axe de referinţă, paralelă cu axa barei, iar valorile negative ale forţelor axiale sub această axă.

Fig. 2.1

ELEMENTE DE REZISTENŢA MATERIALELOR

Forţele axiale s-au calculat astfel:

N1-2=2F, N2-3=2F-6F=-4F, N3-4=2F-6F+10F=6F.

Se observă că forţa axială maximă este Nmax = 6F.

Pentru stabilirea relaţiilor de calcul ale tensiunilor şi deplasărilor considerăm o bară dreaptă de secţiune constantă supusă la întindere de către forţa F, conform figurii 2.2. Secţionând bara cu un plan normal pe axa barei, rezultă N=F.

Fig. 2.2

În secţiunea barei iau naştere tensiunile normale σ, iar acestea însumate pe întreaga secţiune A echivalează cu forţa axială

N= σ dAA∫ . (2.1)

Conform ipotezei lui Bernoulli, toate fibrele barei se lungesc cu aceeaşi cantitate, deoarece o secţiune plană şi normală la axa barei, înainte de solicitarea acesteia rămâne plană şi normală la axa barei şi după solicitarea acesteia, deci lungirile specifice ε sunt constante pe întreaga secţiune. Aplicând legea lui Hooke (σ = E⋅ε), se constată că tensiunea σ este constantă pe întreaga secţiune. Relaţia (2.1) rezultă sub forma

N=σ ∫A

dA =σA . (2.2)

Tensiunea normală produsă la întindere sau compresiune este:

σ = AN

, (2.3)

unde N este forţa axială din secţiune şi A este aria secţiunii. Unitatea de măsură pentru tensiune este N/mm2 sau MPa.

26


În aplicaţii se efectuează următoarele calcule de rezistenţă:

1) Verificare pentru bara de secţiune constantă

σef = AN

≤ σa ; [N/mm2],[MPa] (2.4)

în care N este forţa axială maximă, luată din diagrama de variaţie a acesteia în lungul barei, iar σa este rezistenţa admisibilă a materialului barei.

Dacă bara nu este de secţiune constantă, iar forţa axială este constantă ca în figura 2.3, calculul de verificare se efectuează în secţiunea netă cu aria cea mai mică.

Fig. 2.3

Astfel tensiunile în cele trei secţiuni sunt:

max332211 2d)h(bF,

d)h(bF,

hbF σσσσ =

−=

−== −−− .

Secţiunea în care se produce cea mai mare tensiune se numeşte secţiune periculoasă.

Atunci când bara este realizată din tronsoane cu secţiuni diferite (fig. 2.4) calculul de verificare trebuie efectuat pentru fiecare tronson în parte.

Astfel, pentru primul tronson din diagrama N rezultă că Nmax = 3F, iar tensiunea maximă

A3F

1 =σ .

Pentru al doilea tronson Nmax= 9F, iar tensiunea maximă

AF4,5

2A9F

2 ==σ .

Deci, tensiunea maximă în bară este σ 2 .

27


Fig. 2.4

Dacă bara este dintr-un material care se comportă deosebit la întindere faţă de compresiune, cum este cazul fontei sau a altor materiale, calculul de verificare trebuie efectuat pentru fiecare solicitare în parte. Astfel, pentru bara din figura 2.5 solicitată prin forţele 3F şi 8F, condiţiile ca bara să reziste sunt:

Fig. 2.5

,A5F

,A3F

acc

att

σσ

σσ

≤−=

≤=

σ at fiind rezistenţa admisibilă a materialului la tracţiune, iar σ ac rezistenţa admisibilă a materialului la compresiune.

Atunci când materialele au aceeaşi comportare la întindere şi la compresiune, calculul de verificare se face la forţa axială maximă.

2) Dimensionarea barei de secţiune constantă

28


Anec = a

Nσ ; [mm2] (2.5)

unde N este forţa axială maximă din diagrama de variaţie a forţei axiale;

3) Determinarea forţei capabile

Ncap = Aef ⋅ σa. [N] (2.6)

Din legea lui Hooke rezultă expresia lungirii specifice

ε =EAN

E=σ

, (2.7)

iar expresia deformaţiei (lungirii) totale a barei este

EAN=⋅=∆ ll ε . (2.8)

Se observă că lungirea ∆l este cu atât mai mică cu cât produsul dintre modulul de elasticitate E al materialului şi aria secţiunii transversale A este mai mare. De aceea produsul EA se numeşte modul de rigiditate la întindere-compresiune al secţiunii transversale.

La o bară dreaptă formată din mai multe tronsoane cu secţiuni şi materiale diferite, solicitată prin forţe axiale, deformaţia axială a acesteia este dată de relaţia

∆l = ∑=

n

i ii

ii

AElN

1 , (2.9)

unde Ni , în [N], este forţa axială care acţionează pe fiecare interval; Ai, în [mm2], este aria suprafeţei secţiunii barei; li, în [mm], este lungimea intervalului şi Ei , în [N/mm2] sau [MPa], este modulul de elasticitate longitudinal al materialului.

Pentru tracţiune (întindere), forţele axiale, tensiunile şi deformaţiile sunt pozitive, iar pentru compresiune ele sunt negative.

În aplicaţii se folosesc şi următoarele relaţii de calcul funcţie de deformaţiile impuse:

- de verificare

alEANll ∆≤=∆ , [mm] (2.10)

în care ∆la este lungirea admisă;

- de dimensionare,

29


anec lE

NlA∆

= ; [mm2] (2.11)

- calculul forţei axiale capabile

EAll

N acap

∆= . [N] (2.12)

Dacă în calcule este necesar să se folosească ambele forme de relaţii de calcul, atât cea de rezistenţă, cât şi cea de rigiditate, atunci se alege soluţia care le asigură pe amândouă, adică cea mai mare valoare pentru dimensionare sau verificare şi cea mai mică valoare pentru forţă capabilă.

Aplicaţia 1

O bară de aluminiu cu secţiunea 3x30 mm2, solicitată la întindere cu forţa F = 1,5 kN, are pe o porţiune de 40mm secţiunea 3x10 mm2 (fig. 2.6). Să se calculeze tensiunea maximă în bară şi lungirea totală a acesteia. Se dă E = 7⋅104

MPa.

Fig. 2.6

Rezolvare

Verificarea barei trebuie efectuată în secţiunea de arie minimă, rezultând

50MPa3x101500

AN

min

===efσ .

Lungirea barei este

.Ab

A2a

ENl

21

+=∆

Înlocuind cu datele problemei, se obţine

30


mm.0,12103

403032002

1071500l 4 =

⋅+

⋅⋅

⋅=∆

Aplicaţia 2

O lamelă de cupru cu secţiunea dreptunghiulară h = 1,5b este solicitată la întindere prin forţa F = 1200 N (fig. 2.7). Să se dimensioneze lamela şi să se calculeze lungirea totală. Se dau: σa = 40 MPa, E = 11⋅104 MPa.

Fig. 2.7

Rezolvare

Utilizând relaţia de dimensionare, se obţine

Anec = 230mm40

1200 = .

Dar A = bh = 1,5b2, rezultând b = 4,47 mm, h = 6,72 mm.

Lungirea totală este

.0,009mm301011

251200l 4 =⋅⋅

⋅=∆

Aplicaţia 3

Bara din oţel (fig. 2.8) cu secţiunea circulară de diametru d = 40 mm este solicitată prin forţele 2F şi 5F. Să se determine sarcina capabilă a barei şi lungirea totală. Se dau: σa = 150 MPa, E = 21⋅104 MPa.

Rezolvare

Trasând diagrama de variaţie a forţei axiale rezultă că Nmax = 3F. Sarcina capabilă este

Ncap = σa⋅Aef = 3F, de unde

31


N62832440

3150F

2

=⋅⋅= π .

Fig. 2.8

Lungirea totală a barei este

.EA3Fa

EA2Fbl −=∆

Înlocuind cu datele problemei, se obţine

( ) mm0,033130315024001021

62832l 4 −=⋅−⋅⋅⋅

=∆π

.

Deci bara se scurtează cu 0,033 mm.

2.2 Concentrarea tensiunilor

Orice variaţie bruscă de secţiune, ca de exemplu, degajări, găuri, canale, filete etc., reprezintă un concentrator de tensiune. În zona concentrărilor, distribuţia tensiunilor nu se repartizează uniform pe suprafaţa secţiunii transversale, producându-se un efect de concentrare a tensiunilor.

Studiile teoretice şi experimentale au demonstrat că tensiunea maximă

minmax A

N=σ prezintă corect starea se tensiune din secţiune, dar la o distanţă

suficient de mare de zona în care apare variaţia de secţiune, iar în apropierea acesteia, distribuţia tensiunilor este neuniformă, conform figurii 2.9.

Pentru orice variantă de concentrator (fig. 2.9, a,b,c), tensiunea maximă se poate calcula cu relaţia

32


nkk σαασ ==min

max AN

, (2.13)

în care α k este coeficientul de concentrare a tensiunilor la solicitare statică, iar σ n este tensiunea nominală, într-o secţiune depărtată de concentrator.

Fig. 2.9

Valorile coeficientului de concentrare a tensiunilor depind numai de configuraţia geometrică a concentratorilor şi de tipul de solicitare, însă doar pentru materialele cu comportare liniar elastică. Coeficientul poate fi determinat prin calcul sau experimental. Rezultatele acestor determinări sunt prezentate sub formă de diagrame în literatura de specialitate.

Deformaţia globală a barei nu este influenţată semnificativ de prezenţa concentratorilor de tensiuni. Concentratorii de tensiuni au un efect deosebit de periculos în cazul materialelor fragile, la care tensiunea maximă poate produce

33


ruperea. Dacă materialul este tenace, atunci efectul de concentrare după atingerea limitei de curgere a materialului nu se mai manifestă.

2.3 Bare şi sisteme de bare static nedeterminate

Un sistem este static nedeterminat atunci când numărul ecuaţiilor de echilibru static nu este suficient pentru determinarea reacţiunilor din reazeme sau eforturilor din bare. Pentru rezolvarea acestor sisteme se folosesc, pe lângă ecuaţiile de echilibru static şi condiţiile suplimentare de deformaţie. Numărul condiţiilor de deformaţie trebuie să fie egal cu gradul de nedeterminare static, adică cu diferenţa dintre numărul necunoscutelor şi numărul ecuaţiilor de echilibru static.

Un mod foarte folosit este scrierea ecuaţiilor de deformaţii prin deducere fizico-geometrică, observându-se particularităţile deformării fiecărui sistem în parte.

Se prezintă, în continuare, câteva tipuri de sisteme de bare static nedeterminate, solicitate axial, la care rezolvarea ecuaţiilor de deformaţii se bazează pe considerente fizico-geometrice.

2.3.1 Bara dublu articulată la capete

Fie bara dreaptă articulată la ambele capete (fig. 2.10), de rigiditate constantă EA, solicitată axial prin forţa F, aplicată în punctul 3.

Fig. 2.10

34


Sistemul este simplu static nedeterminat. Reacţiunile H1 şi H2 din cele două articulaţii rezultă din sistemul format din ecuaţia de echilibru static şi din condiţia de deformaţie, adică deplasarea relativă a articulaţiilor 1 şi 2 este nulă:

=−+=∆+∆=∆

=+

0.EA

F)b(HEA

aH;0lll

F;HH

113213tot

21

(2.14)

Din rezolvarea sistemului (2.14) rezultă H1= lFb

şi H2= lFa

. Cunoscând

valorile reacţiunilor se poate trasa diagrama de forţe axiale N, ca în figura 2.10.

Metoda de calcul poate fi folosită şi în cazul general, când în lungul barei se aplică mai multe forţe, iar rigiditatea este variabilă.

2.3.2 Bare cu secţiune neomogenă

Se consideră o bară cu secţiune neomogenă, formată din mai multe elemente din materiale diferite, dar toate având aceeaşi lungime, cum ar fi cabluri cu fire din diverse materiale, stâlpi din beton armat etc. Se admite că elementele componente sunt dispuse simetric în jurul centrului de greutate al secţiunii transversale. Spre exemplificare, se reprezintă o astfel de bară, formată din trei elemente cu rigidităţi diferite, conform figurii 2.11, având aceeaşi lungime l. Asupra barei acţionează forţa de compresiune F, forţă care se distribuie în cele trei bare componente sub forma eforturilor necunoscute N1, N2 şi N3.

Fig. 2.11

35


Ecuaţiile sistemului sunt:

-ecuaţia de echilibru static

N1+N2+N3=F; (2.15)

-condiţiile de deformaţie; deformaţiile celor trei bare sunt egale:

∆l1 = ∆l2 = ∆l3; 33

3

22

2

11

1

AEN

AEN

AEN

== ; (2.16)

Din sistemul de ecuaţii (2.15) şi (2.16) rezultă eforturile necunoscute N1, N2 şi N3. Ştiind că rapoartele (2.16) sunt egale şi cu raportul dintre suma numărătorilor şi suma numitorilor se obţine

Nk = ∑n

1ii

kk

AE

AFE. (2.17)

Tensiunile în bare sunt:

3

33

2

22

1

11 A

N,

AN

,AN

=== σσσ . (2.18)

Aplicaţia 4

Un cablu aerian monofazat este format dintr-un miez de cupru, două straturi de înveliş izolator din policlorură de vinil (PCV) şi un strat de plumb, ca în secţiunea din figura 2.12. Cablul este solicitat la tracţiune printr-o forţă F = 15 kN. Se cere să se determine tensiunile în cele trei materiale. Se dau: ECu=E1=11⋅104MPa, EPb = E2 = 17⋅103 MPa, EPCV = E3 = 103 MPa.

Rezolvare

Pentru a calcula tensiunile în cele trei materiale trebuie cunoscute valorile forţelor preluate de fiecare din acestea.

Ecuaţia de echilibru din statică este

F1+F2+F3 = F,

rezultând o singură ecuaţie cu trei necunoscute, problema fiind, deci dublu static nedeterminată.

Cele două condiţii suplimentare în deformaţii se referă la faptul că cele trei materiale lucrează împreună şi au deci, aceleaşi alungiri, adică

36


ε1 = ε2 = ε3 sau 3

3

2

2

1

1

EEEσσσ == .

Fig. 2.12

Amplificând numărătorii şi numitorii fracţiilor de mai sus cu ariile fiecărui material, se obţine relaţia

33221133

33

22

22

11

11

AEAEAEF

AEA

AEA

AEA

++===

σσσ

Tensiunile în cele trei materiale sunt:

1

33

1

221

1

EAE

EAEA

F

++=σ ;

2

33

2

112

2

EAE

EAEA

F

++=σ ;

.

EAE

EAE

A

F

3

22

3

113

3

++=σ

Ariile celor trei materiale sunt:

A1 = ACu = π⋅9,52 = 283,53 mm2,

A2 = APb = π⋅(20,52-17,52) = 358,14 mm2,

A3 = APcv = π⋅(17,52-9,52+23,52-20,52) = 1093,3 mm2.

37


Rezultă valorile tensiunilor în cele trei materiale:

0,39MPa.358,14

0,11,7283,53

0,1111093,3

15000

6,65MPa,1093,3

1,70,1283,53

1,711358,14

15000

43MPa,1093,3

110,1358,14

111,7283,53

15000

3

2

1

=++

=

=++

=

=++

=

σ

σ

σ

Pentru a se putea aprecia dacă acest cablu rezistă la forţa de tracţiune dată, trebuie ca tensiunile calculate în cele trei materiale să fie inferioare rezistenţelor admisibile ale materialelor respective, adică

σ1<σaCu , σ2<σaPb , σ3<σaPCV .

2.3.3 Eforturi datorate împiedicării dilatărilor

O bară de lungime l, care se poate dilata liber, supusă unei variaţii de temperatură ∆t se lungeşte cu

∆lt=αl∆t, (2.19)

unde α este coeficientul de dilatare termică liniară al materialului. La sisteme de bare static determinate, lungirea dată de temperatură se produce nestingherit, dar la sisteme static nedeterminate, dilatarea termică este împiedicată şi în aceste bare apar tensiuni.

Se consideră o bară dreaptă de rigiditate constantă, încastrată la ambele capete, conform figurii 2.13, a. Bara suportă o variaţie de temperatură ∆t. Lungirea acesteia fiind împiedicată, apare o forţă axială N, care produce scurtarea barei cu cantitatea

∆lN=EANl

(2.20)

Egalând cele două relaţii (2.19) şi (2.20), rezultă

N=EAα∆t,

iar tensiunea normală devine

38


tEAN ∆== ασ . (2.21)

Fig. 2.13

Dacă la unul din capetele barei drepte există un joc δ (fig. 2.13, b), atunci relaţia de deformaţie este de forma

∆lt=∆lN+δ. (2.22)

2.3.4 Sisteme de bare paralele

Se consideră o bară dreaptă, rigidă, orizontală suspendată prin trei tije sau cabluri verticale de lungimi şi rigidităţi diferite (l1, E1, A1, l2, E2, A2, l3, E3, A3) solicitată cu forţa verticală F (Fig. 2.14).

Necunoscutele sunt eforturile N1, N2 şi N3, iar sistemul este simplu static nedeterminat. Pe lângă două ecuaţii de echilibru static se mai poate scrie şi o condiţie de deformaţie.

Deoarece bara orizontală este rigidă, ea rămâne rectilinie, dar se deplasează în poziţia A’C’, ca urmare a deformării tijelor verticale. Obţinându-se triunghiuri asemenea în forma deformată, rezultă sistemul de trei ecuaţii:

39


∆−∆=

++∆−∆

+=+++==++

∑,

cll

cball

c);F(bcNc)b(aN0,MF;NNN

3231

21C

321

(2.21)

unde33

333

22

222

11

111 AE

lNl,

AElN

l,AElN

l =∆=∆=∆ .

Fig. 2.14

Cazul prezentat este un caz particular, dar metoda de calcul poate fi folosită şi la cazul general, când bara orizontală este susţinută prin mai multe tije sau articulată la unul din capete (caz în care se consideră că bara se roteşte în jurul articulaţiei) sau sistemul este solicitat cu mai multe forţe.

40

2.SOLICITĂRI AXIALE

Documents

Transcript of 2.SOLICITĂRI AXIALE