8.Aplicaţii

8.1) Sǎ se determine astfel incat legea definitǎ prin

împreunǎ cu mulţimea numerelor reale sǎ determine un

grup abelian.

Soluţie

Se pune condiţia ca “ ” sǎ fie asociativǎ

(Adev.)

.

8.2) Se considerǎ grupul unde este legea de compozitie definitǎ prin:

.

Sǎ se determine soluţia ecuaţiei .

Soluţie

Se determinǎ elementul neutru al legii :

legea admite element neutru .

Se determinǎ simetricul lui 3 în raport cu legea :

Se determinǎ soluţia ecuaţiei date ştiind cǎ ecuaţia admite soluţia

unicǎ unde ( este elementul neutru al legii ).

8.3) Fie grupul abelian cu legea şi grupul

aditiv al numerelor reale. Sǎ se determine a.î. ;

sǎ determine un izomorfism între cele douǎ grupuri.

Soluţie

Aflǎm elementele neutre ale celor 2 grupuri

, a.î.

, a.î.

Cum

Verificǎm dacǎ funcţia obţinutǎ indeplineşte condiţile de izomorfism:

Verificǎm dacǎ este bijectivǎ

-injectivitatea:

(A)

-surjectivitatea: a.i.

bijectivǎ

izomorfism.