5. FUNCII IMPLICITE. EXTREME CONDIIONATE.

5.2. Exerciii rezolvate

Exerciiul 5.2.1. S se determine y i y dac y = y(x) este o funcie definit implicit de ecuaia (x2 + y2)3 3(x2 + y2) + 1 = 0.

Soluie. Fie F(x, y) = (x2 + y2)3 3(x2 + y2) + 1, (x, y)R2. Evident F este de clas C1 pe R2.

x

F

(x, y) =6x(x2 + y2 - 1)(x2 + y2 + 1)

y

F

(x, y) =6y(x2 + y2 - 1)(x2 + y2 + 1)

y

F

(x, y)= 0 dac i numai dac y = 0 sau x2 + y2 1 = 0. Prin urmare, ecuaia F(x, y)= 0 definete pe y ca

funcie de x n vecintatea oricrui punct (x0, y0) din mulimea D = {(x, y) R2: y 0, x2 + y2 1 0} care

verific ecuaia dat. Pentru orice x dintr-o vecintate a punctului x0 ecuaia dat are soluie unic y(x).

Obinem, y = - y

x.

Calculul direct arat c y = - 2y

'yxy = -

2y

y

xxy

= - 3

22

y

xy .

Exerciiul 5.2.2. S se determine derivatele pariale de ordinul nti i al doilea ale unei funcii z definit implicit de ecuaia: x2 2y2 + 3z2 yz + y=0

Soluie. Fie F(x, y, z) = x2 2y2 + 3z2 yz + y. Evident, F este de clas C1 pe R3.

x

F

(x, y, z) = 2x,

y

F

(x, y, z) =- 4y z + 1,

y

F

(x, y, z) = 6z y. Ecuaia F(x, y, z) = 0 definete pe z ca

funcie de variabilele x, y n vecintatea oricrui punct (x0, y0, z0) din mulimea D = {(x, y, z): F(x, y, z) = 0,6z -y 0} Pentru orice (x, y) dintr-o vecintate a punctului (x0, y0) ecuaia dat are soluie unic z(x, y). Calculul direct arat c:

x

z

(x, y)= -

yz6

x2

,

y

z

(x, y)= -

yz6

1zy4

. Derivnd nc o dat, innd seama c z = z(x, y)

obinem :

2

2

x

z

(x, y)= -

2)yz6(

x

z6x2)yz6(2

= - 2)yz6(

yz6

x26x2)yz6(2

= - 3

22

)yz6(

x24)yz6(2

yx

z2

(x, y)=-

2)yz6(

x

z6)1zy4()yz6(

x

z

=3)yz6(

)6y25(x2

2

2

y

z

(x, y)= -

2)yz6(

1y

z6)1zy4()yz6(

y

z4

=

= 3

22

)yz6(

6y100y50yz50z150

.

Printr-un calcul asemntor se arat c yx

z2

=

xy

z2

. Aceast egalitate se poate deduce

observnd c F este de clas C2, de unde deducem c z este de clas C2 i, prin urmare, derivatele mixte sunt egale.

Exerciiul 5.2.3. S se calculeze yx

z2

(1, -2) dac z este funcia definit implicit de ecuaia x2 + 2y2 +

3z3 + xy z 9 = 0 i de condiia z(1, -2)= 1. Soluie. Funcia F(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z3 + xy z 9 i punctul (1, -2, 1) satisfac condiiile teoremei 5.1.1.2.

x

z

(x, y)=-

))y,x(z,y,x(z

F

))y,x(z,y,x(x

F

= - 1z9

yx22

y

z

(x, y)=-

))y,x(z,y,x(z

F

))y,x(z,y,x(y

F

= - 1z9

zy42

pentru orice (x, y) dintr-o vecintate a punctului (1, -2).

Atunci yx

z2

(x, y) = -

22

2

)1z9(

x

zz18)zy4()1z9(

.

Deoarece z(1, -2) = 1, x

z

(1, -2) = 0 rezult

yx

z2

(1, -2) = -

8

1

8

82

.

Exerciiul 5.2.4. S se determine derivatele pariale de ordinul nti i doi ale funciilor u = u(x, y) i v = v(x, y) definite implicit de sistemul

01yvxu

0yxvu

Soluie. Fie F1(x, y, u, v) = u + v x y i F2(x, y, u, v) = xu + yv 1 Calcule simple arat c:

x

F1

= -1,

y

F1

= -1,

u

F1

= 1,

v

F1

= 1

x

F2

= u,

y

F2

= v,

u

F2

= x,

v

F2

= y

)v,u(D

)F,F(D 21 =

yx

1 1 = y x

)v,x(D

)F,F(D 21 =

yu

1 1 = y u

)v,y(D

)F,F(D 21 =

y v

1 1 = -y v

Rezult c x

u

= -

xy

uy

=

xy

uy

i

y

u

=

xy

vy

pentru y - x0. Analog

x

v

= -

xy

xu

,

y

v

= -

xy

xv

.

Derivatele de ordinul doi se calculeaz folosind regula de derivare a ctului i innd seama c u = u(x, y), v = v(x, y).

2

2

x

u

=

22 )xy(

)uy(2

)xy(

)1)(uy()xy(x

u

xy

uy

x

yx

u2

=

22 )xy(

vyxu

)xy(

)1)(vy()xy(x

v

xy

vy

x

2

2

y

u

=

22 )xy(

)vx(2

)xy(

)vy()xy(y

v1

xy

vy

y

Analog se determin 2

2

x

v

,

yx

v2

,

2

2

y

v

.

Exerciiul 5.2.5. S se determine extremele unei funcii implicite y = y(x) definit de ecuaia x3 + 8y3 6xy = 0.

Soluie. Fie F(x, y) = x3 + 8y3 6xy. Avem x

F

(x, y) = 3x2 6y,

y

F

(x, y) = 24y2 6x.

Ecuaia F(x, y) = 0 definete pe y ca funcie implicit de variabila x n vecintatea oricrui punct (x0, y0) din mulimea

D = {(x, y) R2: x3 + 8y3 6xy = 0, 4y2 - x 0}. Pentru orice x dintr-o vecintate a punctului x0 avem:

y(x) = - xy4

y2x

2

12

2

y = 0

0xy4

0xy6y8x

0y2x

2

33

2

2

4y

2x

3

0

30

y(x) = - 22

22

)xy4(

)1)x('yy8)(y2x()xy4))(x('y2x2(

2

1

Deoarece y(x0) = 0, deducem c y(x0) = -)xy4(

x2

2

1

0

2

0

0

= -1 < 0 i deci x0 =

3 2 este punct de

maxim pentru funcia y = y(x) definit implicit de ecuaia dat n vecintatea acestui punct; valoarea

maxim a lui y este y(x0) = y0 = 2

43.

Exerciiul 5.2.6. S se determine extremele unei funcii implicite z = z(x, y) definit de ecuaia

5x2 + 5y2 + 5z2 2xy 2xz 2yz 72 = 0 Soluie. Fie F(x, y, z) = 5x2 + 5y2 + 5z2 2xy 2xz 2yz 72.

Evident, n orice punct (x, y, z) R3, avem: x

F

= 10x 2y 2z,

y

F

= 10y 2x 2z,

z

F

= 10z 2x 2y. Deci F este de clas C1 pe R3.

Ecuaia F(x, y, z) = 0 definete pe z ca funcie implicit de variabilele x i y n vecintatea oricrui punct (x0, y0, z0) din mulimea

D = {(x,y,z)R3:5x2+5y2+5z2 2xy 2xz 2yz - 72 = 0, 10z 2x 2y 0}.

Avem x

z

(x, y) =

yxz5

x5zy

i

y

z

(x, y) =

yxz5

y5zx

0y

z

0x

z

0yxz5

072yz2xz2xy2z5y5x5

0y5zx

0x5zy

222

adic

4z

1yx sau

4z

1yx.

Derivatele pariale de ordinul doi ale lui z sunt :

2

2

x

z

(x, y) =

2)yxz5(

1x

z5)x5zy()yxz5(5

x

z

2

2

y

z

(x, y) =

2)yxz5(

1y

z5)y5zx()yxz5(5

y

z

yx

z2

(x, y)=

2)yxz5(

1x

z5)y5zx()yxz5(

x

z1

innd cont de teorema 5.1.1.2. ecuaia dat definete n mod unic pe z ca funcie de x i y pe o vecintate a punctului (1, 1, 4). Punctul (1, 1) este punct critic pentru aceast funcie i z(1, 1) = 4. Hessiana lui z n (1, 1) este

Hz(1, 1) =

18

5

18

118

1

18

5

1 = - 18

5 < 0 i 2 = 218

24 > 0. Prin urmare, (1, 1) este punct de maxim local pentru funcia z = z(x, y)

definit implicit de ecuaia dat n vecintatea acestui punct, iar valoarea maxim este z(1, 1) = 4. Analog, (-1, -1) este punct critic pentru unica funcie z = z(x, y) obinut aplicnd teorema 5.1.1.2. ecuaiei date i punctului (-1, -1). Hessiana acestei funcii este

Hz(-1, -1) =

18

5

18

118

1

18

5

Deoarece 1 = 18

5> 0 i 2 = 218

24 > 0 rezult c (-1, -1) este punct de minim pentru aceast funcie.

Valoarea minim este z(-1, -1) = - 4.

Exerciiul 5.2.7. S se determine extremele funciei f(x, y, z) = x + y+ z condiionate de z

1

y

1

x

1 = 1.

Soluie. Fie F(x, y, z) = x + y + z +

1

z

1

y

1

x

1 cu x 0, y 0,

z 0, R. Rezolvnd sistemul

01z

1

y

1

x

1

0z

1)y,x(z

F

0y

1)y,x(y

F

0x

1)y,x(x

F

2

2

2

se obin soluiile 1 = 9, x1 = y1 = z1 = 3. 2 = 1, x2 = y2 = 1, z2 = -1 2 = 1, x3 = z3 = 1, y3 = -1 2 = 1, y4 = z4 = 1, x4 = -1

Fie (x, y) = F(x, y, z(x, y)) restricia lui F la mulimea

M = {(x, y, z): z

1

y

1

x

1 = 1}

Atunci x

=

x

F

+

x

F

x

z

i

y

=

y

F

+

z

F

y

z

unde

z = z(x, y) este definit implicit de restricia z

1

y

1

x

1 = 1.

Derivnd restricia n raport cu x (respectiv y) obinem x

z

=-

2

2

x

z (respectiv

y

z

= -

2

2

y

z).

Rezult c x

= 1 -

2

2

x

z,

y

= 1 -

2

2

y

z. Calculnd derivatele pariale de ordinul doi obinem:

2

2

x

=

4

2

x

)xz(z2 ,

yx

2

=

22

3

yx

z2,

2

2

y

=

4

2

y

)yz(z2

Obinem H(3, 3) =

3/43/2

3/23/4. Deoarece 1 =

3

4 > 0, 2 =

3

4 > 0 rezult c (3, 3) este punct de

minim pentru , deci (3, 3, 3) este punct de minim condiionat pentru f.

H(1, 1) =

02

20, H(1, -1) =

02

20 i H(-1,-1) =

02

20.

n aceste cazuri valorile proprii sunt soluii ale ecuaiei 2 4 = 0 adic 1,2 = + 2, ceea ce arat c punctele staionare (1, 1, -1), (1, -1, 1) i (-1, 1, 1) nu sunt puncte de extrem condiionat. Exerciiul 5.2.8. S se determine extremele funciei f(x, y, z) = xyz condiionate de x2 + y2 + z2 = 1i x + y + z = 0.

Soluie: Fie F(x, y, z) = xyz + 1 (x2 + y2 + z2 - 1) + 2(x + y + z) cu

(x, y, z) R3, 1, 2 R. Rezolvm sistemul

0zyx

1zyx

0z2xy)z,y,x(z

F

0y2xz)z,y,x(y

F

0x2yz)z,y,x(x

F

222

21

21

21

Adunnd primele trei ecuaii i innd cont de ultima, obinem xy + xz + yz + 32 = 0, iar din

0zyx

1zyx

)yzxzxy(2)zyx(zyx

222

2222

rezult xy + xz + yz = - 2

1 deci 2 =

6

1.

Scznd primele dou ecuaii obinem (y - x)(z - 21) = 0. Dac y = x obinem punctele

6

2,

6

1,

6

1 i

6

2,

6

1,

6

1.

Considernd acum z = 21, nmulind prima ecuaie cu x, a doua cu y, a treia cu z i adunnd

rezult

1

1

2z

02xyz3.

Deci 3xyz + z = 0 de unde z = 0 sau 3xy = -1.

Se observ c z = 0 nu convine, iar din

0zyx

1zyx

1xy3

222 se obin soluiile

6

1,

6

1,

6

2,

6

1,

6

2,

6

1,

6

1,

6

1,

6

2,

6

1,

6

2,

6

1.

1 se calculeaz n fiecare caz din relaia 3xyz + 21 = 0. Fie acum

(x) = f(x, y(x), z(x)), unde y = y(x), z = z(x) sunt explicitri locale ale sistemului de restricii

0zyx

1zyx 222 .

Rezult c (x) = x

f

+

y

f

y(x) +

z

f

z(x). Derivnd membru cu membru restriciile rezult

0)x('z)x('y1

0)x('zz2)x('yy2x2

de unde y(x) = zy

xz

i z(x) =

zy

yx

.

Cum x

f

= yz,

y

f

= xz,

z

f

= xy obinem (x) = yz xy xz + x2 i (x) = yz + yz y xy z

xz + 2x = 2(2x y - z). Deoarece

6

1 =

6

6 > 0 rezult c

6

2,

6

1,

6

1 i

6

1,

6

2,

6

1 sunt puncte de minim condiionat. Valoarea minim este -

63

1. Analog, deoarece

6

1 = -

6

6 < 0 deducem c punctele

6

2,

6

1,

6

1 i

6

1,

6

2,

6

1 sunt

puncte de maxim condiionat, iar valoarea maxim este 63

1. Punctele

6

1,

6

1,

6

2 i

6

1,

6

1,

6

2 trebuie analizate separat deoarece ele nu satisfac condiia y z.

n vecintatea fiecruia dintre ele sistemul de restricii definete implicit pe x i pe y ca funcie de z.

Derivnd n raport cu z sistemul de restricii obinem:

01)z('y)z('x

0z2)z('yy2)z('xx2

adic

yx

xz)z('y

yx

zy)z('x

, x y.

Restricia funciei f la mulimea M poate fi scris acum astfel: (z) = f(x(z), y(z), z).

Deci (z) = x

f

x(z)+

y

f

y(z) +

z

f

= z2 yz xz + xy, x y.

(z) =2z yz y xy x + xy + xy = 2(2z x - y).

Se observ c

6

1 =

6

6 > 0, deci

6

1,

6

1,

6

2 este punct de minim condiionat,

iar valoarea minim este - 63

1, n timp ce

6

1 = -

6

6< 0, deci

6

1,

6

1,

6

2 este

punct de maxim condiionat, iar valoarea maxim este 63

1.

Exerciiul 5.2.9. S se determine inf f(A) i sup f(A) dac f :R2 R este f(x, y) = 5x2 + 3xy + y2 i A = {(x,

y) R2 : x2 + y2 1} Soluie. Deoarece f este continu, iar A este mulime compact, rezult c marginile inf f(A) i sup f(A) exist i sunt atinse. Determinm punctele staionare ale lui f.

Sistemul

0y2x3)y,x(y

f

0y3x10)y,x(x

f

are soluie unic x = y = 0.

Deci f are un singur punct staionar (0, 0) i acesta se afl n interiorul lui A. Funcia Lagrange este F(x, y) = 5x2 + 3xy + y2 + (x2 + y2 - 1).Din sistemul

1yx

0x2y2x3)y,x(y

F

0x2y3x10)y,x(x

F

22

se obin patru puncte staionare pe frontiera lui A, anume

10

1,

10

3,

10

1,

10

3,

10

3,

10

1 i

10

3,

10

1.

Calcule elementare arat c f(0, 0) = 0, f

10

1,

10

3 =

2

11, f

10

1,

10

3 =

2

11,

f

10

3,

10

1 =

2

1 i

f

10

3,

10

1 =

2

1.

Rezult c inf f(A) = f(0, 0) = 0 i

sup f(A) = f

10

1,

10

3 = f

10

1,

10

3 =

2

11.

Exerciiul 5.2.10. S se determine punctele curbei x2 + xy + y2 = 1 care sunt cele mai deprtate de origine. Soluie. Trebuie s determinm punctele de extrem ale funciei f(x, y) = x2 + y2 (ptratul distanei de la (x, y) la (0, 0)) condiionate de x2 + xy + y2 = 1.

Funcia Lagrange este F(x, y) = x2 + y2 + (x2 + xy + y2 - 1)

1yxyx

0y)1(2xy

F

0yx2x2x

F

22

Soluiile sunt: 1 = -2 cu dou puncte staionare (1, -1) i (-1, 1) i 2 = -3

2 cu dou puncte staionare

3

1,

3

1,

3

1,

3

1. Aplicnd metoda prezentat n exerciiul 5.3.9. se arat c (1, -1) i (-1, 1)

sunt puncte de maxim condiionat.

Punctele

3

1,

3

1 i

3

1,

3

1 sunt puncte de minim condiionat. Punctele cele mai

deprtate de origine, situate pe curba dat sunt (1, -1) i (-1, 1).