2

Noiuni generale de electrotehnic

Noiuni generale de electrotehnic

Se numete flux fascicular, (f, fluxul magnetic care traverseaz suprafaa unei singure spire.

Se numete flux total al bobinei, (, fluxul magnetic prin toate spirele acesteia (fluxul printr-o suprafa sprijinit pe curba elicoidal descris de conductorul bobinei). n mod evident, ( = N((f.

Observaie.

n cazul n care nu toate spirele sunt traversate de aceleai linii de cmp (figura 1.8.), fluxul fascicular nu poate fi definit. n aceast situaie se poate defini un flux fascicular mediu:

.(1.51)

Se numete inductivitate (inductan), raportul dintre fluxul total i curentul care l genereaz:

;(1.52)

[L] = H (henry); 1H = 1Wb/ 1A.

1.2.2. Inductiviti proprii i mutuale.

Se consider dou circuite (bobine) cu N1, respectiv N2 spire i se presupune c numai primul circuit este strbtut de curent (i1).

Notaii (figura 1.9): (f11, fluxul fascicular pro-dus de circuitul 1;

(f21, fluxul fascicular pro-dus de circuitul 1 care trece printr-o spir a circuitului 2;

(f(21, fluxul fascicular de dispersie (scpri) al circuitului 1 fa de circuitul 2.

Observaii: primul indice precizeaz circuitul prin a crui suprafa trece fluxul;

al doilea indice precizeaz curentul care produce fluxul respectiv;

sensul de referin al fiecruia dintre aceste fluxuri se asociaz cu sensul de referin de pe circuitul nlnuit de acest flux, dup regula burghiului drept:

(f 11 ( 0; (f 21 0; (f 11 = |(f 21| + (f( 21.

A) Inductivitatea proprie.

Se numete inductivitate proprie, L11, a circuitului 1, raportul pozitiv dintre fluxul total, (11, prin circuitul 1, produs de curentul acelui circuit (cu sensul asociat dup regula burghiului drept sensului curentului ) i curentul i1 care-l produce:

.(1.53)

n mod analog se definete inductivitatea proprie a circuitului 2, n ipoteza i1 = 0 i i2 ( 0:

.1.53.a)

n mediile liniare din punct de vedere magnetic, din teorema super-poziiei cmpurilor magnetice, rezult c fluxurile sunt proporionale cu curenii care le produc. Prin urmare, raportul lor (flux/curent) este constant, adic inductivitatea proprie, L11, este o mrime de material care depinde de natura materialului magnetic, de dimensiunile i forma circuitului i de numrul su de spire, dar nu depinde de mrimea fluxului sau a curentului.

B) Inductivitatea mutual.

Se numete inductivitate mutual, L21, ntre circuitele 1 i 2, raportul dintre fluxul total, (produs de circuitul 1, care trece prin circuitul 2, i curentul i1 care-l produce:

EMBED Equation.3 0.(1.54)

Observaii:

ntr-un mediu magnetic liniar, inductivitatea mutual depinde numai de natura materialului, de dimensiunile i forma circuitelor i de poziia lor relativ;

inductivitatea mutual poate rezulta pozitiv sau negativ, dup sensurile de referin alese n cele dou circuite.

Analog, inductivitatea mutual L12, ntre circuitele 2 i 1 (cu i1 = 0 i i2 0) este:

EMBED Equation.3 0.(1.54.a)

Se poate demonstra c inductivi-tile mutuale satisfac relaiile de reci-procitate: L12 = L21.

Stabilirea semnului inductivitii mutuale.

Pentru fiecare bobin se noteaz una dintre borne cu (, borna de nceput acele borne n care, dac curenii i1 i i2 intr simultan, cele dou bobine produc flux magnetic n acelai sens (figura 1.10).

Dac curenii prin cele dou bobine au acelai sens n raport cu bornele de nceput (ambii intr sau ambii ies), L12 > 0.

Dac curenii au sensuri contrare n raport cu bornele de nceput (unul intr, cellalt iese), L12 < 0.

1.2.3. Relaiile lui Maxwell privitoare la inductiviti.

Fluxul total prin circuitul 1, produs de curentul 2, este: (12 = L12 i2.

Fluxul total prin circuitul 1, produs de ambii curenii (i1 i i2) se poate calcula prin superpoziie (mediu liniar), ca sum a fluxurilor produse de fiecare curent n parte:

(1 = (11 + (12;

n care:

(11 = L11i1

(12 = L12i2

Generaliznd pentru n circuite, se obine:

(L11i1+ L12i2 + ... + L1nin

(= L21i1 + L22i2+ + L2nin(1.55)

.

(n = Ln1i1+ Ln2i2 + + Lnnin.

1.2.4. Inductivitatea echivalent.

Se numete inductivitate echivalent a unui ansamblu de bobine conectate n serie din punct de vedere electric, inductivitatea calculat cu fluxul total, al ntregului circuit.

Considerm cazul a dou bobine i scriem relaiile lui Maxwell:

.

Dac cele dou bobine sunt nseriate din punct de vedere electric, avem i1 = i2 = i, iar fluxul total este (t = (1 + (2. Obinem:

;(1.56)

Le este inductivitatea echivalent a circuitului i M = L12 = L21.

n relaia (1.56) trebuie luat n consideraie semnul lui M. Fluxul unei bobine prin cealalt poate avea acelai sens cu fluxul propriu al acesteia (bobinele sunt n concordan din punct de vedere magnetic) sau poate avea sens contrar cu acest flux (bobinele sunt n opoziie). n primul caz M > 0, n cel de-al doilea M < 0.

1.2.5. Inductiviti utile i de dispersie.

n mod normal, numai o parte din fluxul fascicular propriu produs de un circuit electric trece prin alt circuit electric. Aceast parte din fluxul fascicular propriu se numete flux util, (fu. (fu( (f21.

Cealalt parte a fluxului fascicular propriu, care se nchide direct, fr a nlnui spirele altui circuit, se numete flux de dispersie sau flux de scpri i se noteaz f:

(f( 21 = (f 11 - |(f 21| > 0.(1.57)

Se numete inductivitate de dispersie a circuitului 1 fa de circuitul 2, partea din inductivitatea proprie a circuitului 1 cores-punztoare fluxului de scpri fa de 2:

(1.58)

Inductivitatea de dispersie a circuitului 2 fa de 1, este:

.(1.58.a)

n general, L( L

Inductivitatea proprie a unui circuit se poate scrie sub forma:

L11 = L(21 + |L21| = L(21 + Lu21,

n care, , se numete inductivitate util a circuitului 1 fa de 2;

Inductivitatea util a circuitului 1 fa de 2, este partea din inductivitatea proprie a circuitului 1 corespunztoare fluxului util al circuitului 1 fa de 2.

n tehnic se opereaz cu coeficieni care definesc gradul de dispersie a circuitelor.

a) Coeficientul de cuplaj magnetic a dou bobine:

;(1.59)

n care, M = |L12|.

Bobinele necuplate magnetic au L12 = 0, deci k = 0, iar bobinele cuplate perfect au , deci k = 1. n general, 0 ( k ( 1.

b) Coeficientul de dispersie:

.(1.60)

pentru k = 0 ( ( = 1; dispersie maxim, adic bobine necuplate;

pentru k = 1 ( ( = 0; dispersie nul, adic bobine cuplate perfect.

1.3. CIRCUITE MAGNETICE.

Se numete circuit magnetic, ansamblul format dintr-o succesiune de corpuri feromagnetice, separate eventual prin ntrefieruri, liniile de cmp ale induciei magnetice fiind conduse prin aceste corpuri fero-magnetice n mod similar curentului prin conductoarele metalice.

Calculul circuitelor magnetice se face cu ajutorul legii circuitului magnetic i al legii fluxului magnetic. Calculul const n determinarea solenaiei necesare pentru a stabili un anumit flux fascicular util sau invers.

1.3.1. Reluctane. Permeane.

Fie o poriune neramificat de circuit magnetic care constituie deci, un tub de flux magnetic suficient de subire pentru a putea considera fluxul repartizat uniform pe seciunea lui (figura 1.11).

Tensiunea magnetic ntre dou puncte 1 i 2, de-a lungul curbei (C), pe axa tubului, este:

;

deoarece (curba (C) este o linie de cmp), iar , obinem:

,(1.61)

n care, (f este fluxul magnetic fasci-cular, constant prin toate seciunile tubului de flux (adic prin toate seciunile poriunii de circuit magnetic neramificat) i fr dispersie.

Mrimea pozitiv, definit de raportul dintre tensiunea magnetic i fluxul fascicular, se numete reluctan sau rezisten magnetic a poriunii de circuit magnetic i se noteaz:

.(1.62)

Unitatea de msur a reluctanei este.

Cu relaia (1.61), obinem pentru reluctan expresia:

.(1.63)

Dac materialul este liniar, reluctana este o caracteristic a tubului de flux, independent de (f sau de Um.

n cazul particular al poriunilor de circuit omogen (de lungime l, de arie, A, constant i permeabilitate magnetic, (, constant), reluc-tana este:

.(1.63.a)

Inversul reluctanei se numete permean i se noteaz:

.(1.64)

Din relaia de definiie (1.62) a reluctanei se poate scrie:

(1.65)

relaie numit, legea lui Ohm pentru circuite magnetice.

Exist o analogie ntre relaiile definite pentru circuitele magnetice i cele pentru circuitele electrice. Fiecare mrime definit pentru circuitele magnetice are un corespondent n cadrul circuitelor electrice: tensiunii magnetice i corespunde tensiunea electric, fluxului magnetic fascicular i corespunde intensitatea curentului electric, iar reluctanei magnetice rezistena electric.

Toate aceste corespondene duc la o analogie i ntre teoremele folosite n calculul circuitelor magnetice i cele folosite n calculul circuitelor electrice.

1.3.2. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice.

A) Teorema I.

Aplicm legea fluxului magnetic, , unei suprafee ( ce conine un punct de ramificaie (nod), q, al unui circuit magnetic (figura 1.12):

.

Fluxurile sunt considerate pozi-tive cnd sunt ndreptate dup nor-malele exterioare la suprafa (ies din nod) i negative n caz contrar (cnd intr n nod).

Sub form restrns, prima teore-m a lui Kirchhoff pentru nodul q, q = 1,2,3,,.N - 1, se scrie n mod analog teoremei corespunztoare din electrocinetic.

.(1.66)

Suma algebric a fluxurilor magnetice, care trec prin laturile unui circuit magnetic ce converg ntr-un nod al acestui circuit, considerate negative cnd intr n nod i pozitive n caz contrar, este nul.

B) Teorema a II - a.

Se consider ochiul p, ntr-un circuit magnetic (fi-gura 1.13) i se alege un sens de referin pe ochi (sensul n care se efectueaz integrala de linie a vectorului ). Se noteaz: Rm1, Rm2,, reluc-tanele laturilor; (1, (2, , solenaiile bobinelor ce nf-oar laturile; (f1, (f2,, flu-xurile fasciculare care trec prin laturi.

Solenaiile i fluxurile fasciculare ale laturilor se presupun definite n sensul de referin ales pe ochi. n caz contrar, mrimea respectiv (solenaie, flux) intr cu semnul minus n ecuaia care se obine.

Conform teoremei lui Ampre, n regim staionar i cvasistaionar:

.

Pe de alt parte, conform definiiei, descompunnd integrala pe poriuni:

.

Rezult, pentru fiecare ochi, p = 1, 2,, O, o a doua teorem a lui Kirchhoff:

.(1.67)

n regim staionar i cvasistaionar, suma algebric a solenaiilor care nlnuie laturile fr dispersie magnetic ale oricrui ochi de circuit magnetic, este egal cu suma algebric a produselor reluctan-elor magnetice ale laturilor prin fluxurile magnetice fasciculare care trec prin ele (adic cu suma cderilor de tensiune magnetic).

1.3.3. Tensiunea magnetic ntre dou puncte (calculat prin aer).

Se calculeaz tensiunea mag-netomotoare n lungul ochiului ( (figura 1.14), format din laturile reelei ntre dou noduri A i B i nchizndu-se prin aer.

,

sau:

.(1.68)

Analogia dintre teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice i cele pentru circuite electrice, permite s se stabileasc, n teoria reelelor magnetice, teoreme corespunztoare celor din teoria reelelor electrice de curent continuu, dar numai n cazul circuitelor magnetice liniare ( = ct., (circuite magnetice nesaturate i ale cror laturi nu prezint dispersie): teorema superpoziiei, teorema fluxurilor de ochiuri, etc.

1.3.4. Teoremele reluctanelor echivalente.

Reluctana echivalent a unei poriuni de circuit magnetic cu dou borne de acces (dou extremiti de circuit) i fr solenaii pe laturi, este egal cu raportul dintre tensiunea magnetic aplicat ntre cele dou borne i fluxul fascicular care intr printr-o born i iese prin cealalt:

.(1.69)

A) Circuitul magnetic are n laturi n serie (figura 1.15).

Aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff, obinem:

.

n concluzie,

.

Observaie: s-a inut cont de faptul c fluxul este acelai prin cele trei reluctane.

Prin generalizare, se obi-ne:

.(1.70)

Reluctana echivalent a mai multor laturi conectate n serie, strbtute de acelai flux, este egal cu suma reluctanelor laturilor.

B) Circuitul magnetic are n laturi n paralel (figura 1.16).

Aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff, obinem:

;

deci,

.

Observaie: tensiunea magnetic este aceeai la bornele tuturor laturilor.

Prin generalizare, se obine:

; sau, .(1.71)

Inversul reluctanei echivalente a mai multor laturi conectate n paralel, crora li se aplic aceeai tensiune magnetic, este egal cu suma inverselor reluctanelor acestor laturi.

1.4. REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL.

1.4.1. Mrimi variabile, mrimi periodice, terminologie.

Mrime variabil este acea mrime care ia valori diferite la momente diferite, f(t).

Valoare instantanee - este valoarea pe care o mrime variabil o are ntr-un moment oarecare, t i se noteaz cu litera mic a simbolului stabilit prin convenie, pentru mrimea respectiv.

Mrime periodic mrimea variabil a crei succesiune de valori se reproduce n aceeai ordine, dup trecerea unor intervale de timp egale (figura 1.17).

Fig. 1.17. Explicativ pentru mrimile periodice.

Valoarea instantanee a unei mrimi periodice e o funcie periodic de timp u(t) care, prin definiie, satisface condiia: u(t) ( u(t + kT), pentru orice t i k(Z. T este o constant, numit perioad i este egal cu cel mai mic interval de timp, dup care se reproduc, n aceeai ordine, caracteristicile fenomenului periodic.

Frecvena reprezint numrul de perioade cuprinse n unitatea de timp:

f = 1/T [Hz].(1.72)

Produsul frecvenei prin 2( se numete pulsaie sau frecven unghiular, , a mrimii periodice:

= 2f [rad/sec.](1.73)

Relaiile dintre frecven, pulsaie i perioad:

f = 1/T = /2; = 2/T; T = 2.

1.4.2. Valori caracteristice ale mrimilor periodice.

Valoarea instantanee.

Valoarea de vrf (maxim): cea mai mare valoare instantanee atins de o mrime periodic n decursul unei perioade; notaie: Umax sau .

Valoarea minim: cea mai mic valoare instantanee atins de o mrime periodic n decursul unei perioade; notaie: Umin.

Valoarea vrf la vrf:

Uvv = Umax - Umin(1.74)

Valoarea medie: media aritmetic a valorilor instantanee ale mrimii, considerat pe intervalul unei perioade; notaii: Umed, Uo, .

.(1.75)

Valoarea efectiv (eficace): media ptratic a valorilor mrimii, pe intervalul unei perioade; notaii: U, Uef.

> 0.(1.76)

Sens fizic: valoarea efectiv a unui curent, e numeric egal cu valoarea intensitii unui curent continuu care, strbtnd aceeai rezisten ca i curentul periodic, produce aceeai dezvoltare de cldur n timp de o perioad.

1.4.3. Clasificarea mrimilor periodice.a) Mrimi alternative: sunt mrimile periodice ale cror valori medii, n decursul unei perioade, sunt nule (figura 1.18).

Fig.1.18. Mrime alternativ.

.

A+ i A sunt modulele integralei funciei u pe alternana pozitiv (u > 0), respectiv pe cea negativ (u < 0).

ntruct valoarea medie pe o perioad este nul, se definete valoarea medie pe o semiperioad:

(1.77)

Se definesc:

factorul de form:

;(1.78)

factorul de vrf:

.(1.79)

b) Mrimi pulsatorii: mrimi periodice pentru care , pe o perioad (figura 1.19).

Fig. 1.19. Mrimi pulsatorii.

1.4.4. Mrimi sinusoidale.

Se numete mrime sinusoidal (armonic), o mrime alternativ a crei expresie, ca funcie de timp, poate fi scris sub forma n sinus:

;(1.80)

n care, Umax > 0, > 0, (, pozitiv sau negativ, sunt parametri constani, caracteristici mrimii: amplitudine, pulsaie i faza iniial.

Amplitudinea este modulul valori maxime a mrimii sinusoidale.

Faza este argumentul, dependent liniar de timp, al sinusului ((t + (). Faza se exprim ntotdeauna n radiani.

Faza iniial reprezint valoarea fazei, (, n momentul t = 0. De obicei, ( se aduce n intervalul [-, ].

Reprezentrile grafice ale mrimilor sinusoidale sunt prezentate n figura 1.20.

Fig. 1.20. Reprezentri grafice ale mrimilor sinusoidale.

A) Calculul valorilor caracteristice.

Se consider o mrime sinusoidal cu faza iniial nul:

u(t) = Umax(sin(t

a) Valoarea medie pe o semiperioad.

.(1.81)

b) Valoarea efectiv.

(1.82)

c) Factorul de form.

.(1.83)

d) Factorul de vrf.

.(1.84)

e) Expresia mrimii sinusoidale n funcie de valoarea efectiv:

.(1.85)

Relaia (1.85) se numete expresie normal n sinus.

B) Relaii de faz.

Se numete defazaj ntre dou mrimi sinusoidale, considerate ntr-o ordine dat, diferena fazelor lor, n aceast ordine.

Considernd dou mrimi sinusoidale cu frecvene (pulsaii) egale,

,

se observ c defazajul celor dou mrimi este egal cu diferena fazelor lor iniiale (figura 1.21):

.(1.86)

Se definesc urmtoarele relaii de faz:

a) (12 = (1 - (2 > 0 ( u1 este defazat naintea lui u2;

b) (12 = (1 - (2 < 0 ( u1 este defazat n urma lui u2;

c) (1 = (2, ( (12 = 0 ( u1 i u2 sunt n faz;

d) (12 = (1 - (2 = ( u1 i u2 sunt n cuadratur;

e) (12 = (1 - (2 = ( ( u1 i u2 sunt n opoziie.

Fig. 1.21. Explicativ pentru defazajul dintre dou mrimi sinusoidale.

Observaii.

1. Dac mrimea u1 e naintea mrimii u2 cu defazajul (12, atunci mrimea u2 e n urma mrimii u1 cu defazajul (12.

2. Deoarece fazele sunt determinate pn la un termen aditiv, multiplu arbitrar de 2( i defazajul e determinat pn la un asemenea termen. De aceea, dac nu se introduce o restricie suplimentar, relaiile de faz nainte i n urm nu au o interpretare unic. Pentru a evita o exprimare ambigu, defazajul se reduce ntotdeauna la intervalul [- (, (], adugnd sau scznd un multiplu de 2( n relaia (1.86). Cu aceast precizare, relaia de definiie a defazajului devine:

(12 = (1 - (2 + 2((n, iar (12 ( [- (; (].(1.87)

1.4.5. Reprezentarea n complex a mrimilor sinusoidale.

A) Reprezentri geometrice.

O funcie sinusoidal de timp, de frecven dat, e complet carac-terizat de dou valori scalare:

amplitudinea sau valoarea efectiv numr pozitiv;

faza iniial unghi.

Un vector liber n plan, e complet caracterizat de dou valori reale:

modulul numr pozitiv; unghiul fcut de orientarea lui cu o ax de referin, numit argumentul su unghi.

Se numete vector liber, un vector al crui punct de aplicaie e arbitrar, astfel nct reprezint mulimea tuturor vectorilor omoparaleli i de aceeai mrime cu el (echipoleni cu el), avnd diferite puncte de aplicaie.

Se poate deci asocia, fr restricie, fiecrei mrimi sinusoidale dintr-o specie dat (curent, tensiune, etc.) un vector liber n plan i reciproc, aceast asociere fiind biunivoc:

.

Relaiilor analitice dintre mrimile sinusoidale le vor corespunde relaii geometrice ntre vectorii corespunztori, relaii care sunt mai intuitive i mai uor de explicitat.

Vectorii reprezentativi F{u} sunt numii fazori pentru a se preciza distincia fa de mrimile fizice vectoriale definite n spaiul fizic, tridimensional.

Se obin astfel reprezentrile analitice sau n complex ale mrimilor sinusoidale:

,

n care fiecrei funcii sinusoidale de timp u i corespunde o mrime complex, C {u}.

B) Reprezentarea n complex simplificat.

Aceast reprezentare poate fi utilizat numai cnd toate mrimile sinusoidale au aceeai frecven.

n reprezentarea n complex simplificat, imaginea n complex a mrimii u este un numr complex constant, avnd modulul egal cu valoarea efectiv a mrimi sinusoidale i argumentul egal cu faza iniial:

,(1.88)

unde , este unitatea imaginar, iar U = C {u}.

C) Teoremele reprezentrii in complex.

1. Teorema de liniaritate.

.(1.89)

Imaginea n complex a unei expresii liniare de mrimi sinusoidale este o expresie liniar de mrimi complexe.

2. Teorema derivatei.

.(1.90)

Demonstraie:

3. Teorema integralei.

(1.91)

Demonstraie:

.

1.4.6. Reprezentarea fazorial a mrimilor sinusoidale.

Se aleg n mod convenional, n plan:

o ax origine a fazelor (unghiurilor);

un sens pozitiv pentru msurarea unghiurilor ( sensul trigo-nometric.

Convenia de reprezentare.

1. Lungimea fazorului este ega-l cu valoarea efectiv a mrimii sinusoidale (la o anumit scar).

2. Unghiul msurat de la axa origine la direcia fazorului, n sens pozitiv (trigonometric), este faza iniial a mrimii sinusoidale.

Reprezentarea prin fazori, pe aceeai figur, a tuturor mrimilor electrice (tensiuni i cureni) dintr-un circuit (reea) constituie diagra-ma fazorial a circuitului respectiv.

De regul, n diagrama fazorial nu se mai reprezint axa origine a fazelor, alegndu-se ca origine a fazelor direcia unuia dintre fazorii respectivi.

1.5. PUTERI N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL.

1.5.1. Puterea instantanee.

Facem referire la un dipol electric, adic o reea electric cu dou borne de acces. Puterea instantanee la bornele acestuia, n regim variabil, este dat de relaia:

p(t) = u(t)(i(t)(1.92)

Aceast putere este primit, respectiv cedat, de la reeaua exterioar, dup modul de asociere a sensurilor tensiunii la borne u i curentului i, respectiv dac aceasta se face dup regula de la receptoare, sau de la generatoare.

Regulile de asociere a sensurilor tensiunii la borne i curentului sunt reamintite n figura 1.23.

n regim sinusoidal, pentru tensiunea la borne i curent avem urmtoarele expresii:

.

nlocuindu-le n relaia (1.92), obinem:

p = 2(U(I(sin((t + (1)(sin((t + (2) = U(I(cos((1 (2)

U(I(cos(2(t + (1 + (2);

p = U(I(cos( U(I(cos(2(t + (1 + (2).(1.93)

S-a inut cont de faptul c 2sin((sin( = cos(( () cos(( + () i s-a notat (1 (2 = (.

Prin urmare, puterea instantanee la bornele unui dipol este o mrime periodic, avnd o component constant, numit putere activ i o component de frecven dubl, numit putere oscilant.

1.5.2. Puterea activ.

Se numete putere activ i se noteaz cu P, valoarea medie a puterii instantanee p, luat pe un numr ntreg de perioade:

.(1.94)

nlocuind p din relaia (1.93) obinem:

EMBED Equation.3

;

P = U((I(cos(.(1.95)

Puterea activ a unui dipol electric, n regim sinusoidal, este egal cu produsul dintre valorile efective ale tensiunii i curentului, multiplicat cu cosinusul unghiului de defazaj dintre acestea.

Puterea activ, ca i puterea instantanee, se msoar n [W].

Pe un interval arbitrar de timp (, se observ c puterea medie are valori apropiate de puterea activ, cu abateri de ordinul , fiind practic egal cu aceasta dac ( >> T:

.

Condiia ( >> T este ntotdeauna realizat n practic, deoarece intervalele ( cele mai mici, n care se apreciaz puterea medie, sunt de ordinul secundelor i cuprind sute de perioade la frecvena de 50 Hz.

Observaii.

1. Relaia general de definiie a puterii active (1.94) este valabil i n regim periodic nesinusoidal.

2. Relaia (1.95) este relaia de calcul a puterii active n regim sinusoidal pentru o reea cu dou borne, deci n monofazat.

3. Expresia (1.93) a puterii instantanee arat c aceasta oscileaz cu frecvena unghiular 2(, n jurul valorii ei medii, care e puterea ac-tiv (figura 1.24). Chiar dac circuitul e un receptor pasiv, adic P ( 0, exist momente n decursul unei perioade cnd puterea instantanee primit devine negativ, fiind de fapt cedat spre exterior.

1.5.3. Puterea aparent. Factorul de putere.

Se numete putere aparent a unui dipol electric i se noteaz cu S mrimea definit de produsul pozitiv al valorilor efective ale tensiunii i curentului:

( 0.(1.96)

Unitatea de msur a puterii aparente este [VA].

Puterea aparent este o putere calculat ca n curent continuu, fr a lua n considerare influena defazajului. Fr a avea o semni-ficaie energetic nemijlocit, ca puterea activ, puterea aparent este important deoarece, reprezint valoarea maxim a puterii active, la valori efective invariabile ale tensiunii i curentului i defazaj variabil.

Deoarece mainile i aparatele electrice sunt caracterizate prin valori maxime admisibile ale curentului i tensiunii, puterea aparent caracterizeaz limitele lor de funcionare i este indicat, de obicei, pe plcua de fabricaie respectiv.

Factorul de putere.

Se numete factor de putere, raportul pozitiv i subunitar dintre puterea activ i cea aparent:

.(1.97)

n regim sinusoidal monofazat, cu relaiile (1.95) i (1.96), rezult pentru factorul de putere urmtoarea expresie:

(1.98)

Pentru ca o anumit instalaie, de putere aparent dat, s funci-oneze cu eficien maxim, deci cu maximum de putere activ, factorul de putere corespunztor trebuie s fie ct mai mare (ct mai aproape de unitate), adic defazajul s fie ct mai mic. De aici rezult una dintre problemele tehnico-economice cele mai importante ale gospodririi energiei electrice i anume, problema ameliorrii factorului de putere.1.5.4. Puterea reactiv.

Se numete putere reactiv a unui dipol electric, Q, mrimea defi-nit de produsul valorilor efective ale tensiunii i curentului, multipli-cat cu sinusul unghiului de defazaj dintre acestea:

EMBED Equation.3 0.(1.99)

Puterea reactiv se msoar n [var] (volt-amper-reactiv).

Puterea reactiv primit de un dipol pasiv este pozitiv pentru circuitele inductive, negativ pentru cele capacitive i nul pentru circuitele rezistive.

ntre puterea aparent, puterea activ i puterea reactiv se poate pune n eviden relaia:

,(1.100)

deoarece,

.

Relaia (1.100) sugereaz aa numitul triunghi al puterilor, valo-rile celor trei puteri fiind, ntotdeauna, numere pitagorice (figura 1.25).

Observaii.

1. Puterea reactiv a fost intro-dus pe baza relaiei de definiie (1.99), construit prin analogie cu expresia (1.95) a puterii active. Spre deosebire de puterea activ, puterea reactiv nu are interpretarea energetic simpl a acesteia, adic nu corespunde unui aport mediu de energie pe la borne. Puterea reactiv reprezint o msur a necompensrii schimburilor interioare de energie ntre cmpul magnetic i cel electric.

2. Factorul de putere poate fi scris n funcie de Q:

,(1.101)

de unde rezult c problema ameliorrii factorului de putere este echivalent cu problema reducerii puterii reactive.

1.6. APLICAII TEORETICE.

1.6.1.Probleme rezolvate.

1) Se d circuitul din figur. Dimensiunile sale sunt: b = 15 cm i a = 10 cm, seciunea miezului magnetic are arie constant A = 10 cm2; = 0,5 cm; permeabilitatea materialului este Fe = 2 0000. Se cunoate intensitatea cmpului magnetic n prima coloan, H1 = 4 A/m, produs de bobina respectiv. Se cere s se calculeze intensitile cmpului magnetic n celelalte coloane i n ntrefier. S se calculeze fluxurile magnetice n cele trei coloane i tensiunea magnetic ntre punctele A i B. Se consider c liniile de cmp ale induciei magnetice se nchid numai prin materialul magnetic i ntrefier.

Rezolvare:

Analogia dintre circuitele electrice i magnetice permite rezolvarea cu uurin a problemei. Figura b reprezint circuitul electric echivalent, n care F = wi reprezint tensiunea magnetomotoare a bobinei (egal la rndul ei cu solenaia wi a bobinei), reluctanele diferitelor poriuni ale circuitului magnetic:

,

iar 1,2,3 respectiv fluxurile prin cele trei coloane.

Fluxul 1 este cunoscut:

Acest flux se va divide prin coloanele 2 i 3 invers proporional cu reluctanele (2 i (3 + (0 ale acestor coloane, deoarece, tensiunea magnetic UmAB este aceeai calculat fiind fie pe drumul oferit de coloana 2, fie pe cel oferit de coloana 3:

Din aceste ultime expresii rezult intensitile cmpului magnetic n coloane i n ntrefier

precum i tensiunea magnetic ntre punctele A i B

;

Numeric:

(1 = (H1A = 1,005 10-3 Wb;

(2 = 0,905 10-3 Wb;

(3 = 0,100 10-3 Wb;

H2 = 360 A/m;

H3 = 40 A/m;

H0 = 7,96 104 A/m;

UmAB = (2(2 = 54 A.

2) S se calculeze valoarea curentului i4, din figura alturat, tiind c:

Rezolvare:

conform primei teoreme a lui Kirchhoff.

.

3) S se determine tensiunea u1, din figur tiind c:

Rezolvare:

Conform celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff, se obine:

4) S se calculeze rezistena echivalent ntre punctele:

a) A ( B;

b) D ( E;

c) B ( E;

d) C ( F.

Rezolvare:

Se observ c punctele A, F, E, respectiv B, C, D, sunt puncte de acelai potenial. n consecin, circuitul poate fi echivalat cu urmtoarea schem:

Se calculeaz rezistenele echivalente:

5) Se conecteaz n serie 100 de becuri avnd puterea de 1 W i tensiunea nominal de 2 V. S se calculeze tensiunea pe care trebuie s o furnizeze redresorul care le alimenteaz i puterea pe care o absoarbe acesta de la reea, dac randamentul su este de 80%.

Rezolvare:

rezistena celor 100 de becuri;U = 2100 = 200 V ( tensiunea pe cele 100 de becuri legate n serie;

; valoarea curentului prin becuri;

PR, puterea necesar pentru alimentarea becurilor; P1, puterea absorbit de redresor, de la reea

6) S se efectueze bilanul puterilor pentru circuitul din figura altu-rat, tiind c:

B1 = B2 = 24 W / 12 V; B3 = B4 = 48 W / 12 V; E1 = 16 V; r1 = 1 (; E2 = 12 V; r2 = 0,5 (.

Rezolvare:

a) Rezistenele becurilor din circuit:

b) Rezistena echivalent a becurilor, conectate n paralel:

Pentru a afla valorile curenilor din laturile circuitului echivalent, obinut, se aplic teoremele lui Kirchhoff (I1, I2, I3):

Rezolvarea sistemului conduce la urmtoarele valori:

I1 = 6 A

I2 = 4 A

I3 = 10 A

c) Bilanul puterilor:

1.6.2. Probleme propuse.

1) S se calculeze rezistena echivalent a circuitului din figu-r, ntre bornele:

a) A ( D;

b) A ( C;

c) F ( C.

2) Un redresor ncarc doi acumulatori de 12 V, avnd capacitatea de 55 Ah, respectiv 45 Ah. Se recomand ca valoarea curentului de ncrcare s fie 10% din capacitatea acumulatorului. Ct trebuie s fie rezistena de limitare a curentului, dac redresorul furnizeaz 17 V ?

3) S se calculeze curenii din laturi i s se realizeze bilanul pute-rilor, pentru circuitele din figurile urmtoare, dac: R1 = R2 = R3 = 1 (; E1 = 2 V; E2 = 4 V.

4) S se determine curentul Is, dac: E1 = 16 V; r1 = 1 (; E2 = 12 V; r2 = 0, 5 (; n situaiile n care, ntre bornele A ( B ale circuitului alturat, se conecteaz consu-matorii din figurile de mai jos.

a)

b)

c)

d)

5) ntre polii unui electromagnet cu o bobin cu w spire, parcurs de curentul i se introduce paralel, parial, pe distana x, o plac fero-magnetic de grosime a. Seciunea transversal a polilor este un ptrat cu latura b, iar distana ntre poli ( > a . Neglijndu-se cderea de ten-siune magnetic n lungul poriunilor feromagnetice ale circuitului magnetic ((Fe ( (), s se determine fora Fx care tinde s atrag placa complet ntre poli. Placa este tot ptrat, de latur b, din material fero-magnetic de permeabilitate practic infinit.

Bibliografie.

1. Bl C. Maini electrice, E.D.P., Bucureti, 1979.

2. Bichir N., Rdui C., Diculescu Ana Sofia Maini electrice, E.D.P., Bucureti, 1979.

3. Dordea T. Maini electrice, (ed. a II-a), E.D.P., Bucureti, 1978.

4. Galan N., .a. Maini electrice, E.D.P., Bucureti, 1983.5. Fransua A., Mgureanu R. ( Maini i acionri electrice, culegere de pro-bleme, E.D.P., Bucureti, 1980.

6. Panu M., Viorel Alina ( Maini electrice, lucrri de laborator, Edit.U.L.B., Sibiu, 2000.

7. Panu M. ( Noiuni generale de maini electrice, Edit.U.L.B., Sibiu, 2001.

i

N

N

i

N2, i2 = 0

N1, i1

(f 11

(f(21

(f 21

i2

*

*

i1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

2

1

(

(f3

(f5

(f4

(f2

(f1

(q)

(k

(fk

(

(p)

B

A

(k

UmAB

(

(fk

Um

Um3

Um2

Um1

Rm3

Rm2

Rm1

(f

B

A

Rm3

Rm2

Rm1

(f

B

A

(

Rm3

Rm2

(f3

(f2

(f1

A

B

(f

Rm1

Rm3

Rm2 (f3

Rm1 (f2

(f1

B

A

(f

Umax

UVV

Umin

T

t1+T

t1

0

u

t

+

+

-

-

u

t

T

t1

0

u

t

0

u

t

0

(t

(

t

0

0

u(t)

T

u((t)

(T = 2(

EMBED Equation.3

Umax

Umax

0

(t

u2

u1

(12

(1

(2

u

U

(

U

+

Axa origine de faz

Dipol

electric

Dipol

electric

Dipol

electric

Dipol

electric

i

i

ub

ub

ub

ub

i

i

a)

b)

(t

p

u

u, i

i

p = ui

U(I(cos = P

+

+

+

+

-

-

-

P

S=U(I

Q

(

a

a

Fig. 1.25. Triunghiul puterilor.

Fig. 1.7. Fluxul magnetic al unei bobine.

Fig.1.8. Repartiia real a liniilor de cmp magnetic.

Fig. 1.9. Referitoare la fluxul de dispersie.

Fig. 1.10. Marcarea bornelor de nceput.

Fig. 1.11. Calculul tensiunii magnetice.

Fig. 1.12. Explicativ pentru deducerea teoremei I.

Fig. 1.13. Explicativ pentru deducerea teoremei a II-a.

Fig. 1.14. Explicativ pentru calculul tensiunii magnetice prin aer.

Fig. 1.15. Reluctane n serie.

Fig. 1.16. Reluctane conectate n paralel.

Fig. 1.22. Fazorul unei mrimi sinusoidale.

Fig. 1.23. Reguli pentru asocierea sensurilor tensiune curent: a) convenia de la receptoare; b) convenia de la generatoare.

Fig. 1.24. Variaia puterii instantanee.

b

(

H0

H3

H2

H1

A

B

F

3

2

1

R0

R3

R1

R2

R1

B

A

i4

i3

i2

i1

u4

u3

u1

u2

F

E

D

C

B

A

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Re2

Re2

R

Re1

Re1

R

R

R

B3

r2

r1

E2

E1

B1

B2

B4

R2

r2

r1

E2

E1

R1

R

r2

E2

E1

r1

B

A

A

F

C

B

B

A

A

A

b)

a)

B

B

R

R

R

R

R

R

R

A

B

D

E

G

E1

E

E2

RL

R3

R1

R2

E1

E2

R3

R1

R2

E2

E1

R3

R1

R2

E1

E2

R3

R2

E2

R1

E1

r2

E2

r1

E1

IS

2(

2(

3(

2(

3(

1(

1(

3(

0,5(

3(

1(

1(

0,75(

0,75(

2(

2(

2(

4(

4(

3

1(

3

R

5455

_1044785144.unknown

_1044863132.unknown

_1106063474.unknown

_1107882814.unknown

_1108018572.unknown

_1108313121.unknown

_1108313389.unknown

_1108313638.unknown

_1108313667.unknown

_1108313150.unknown

_1108018660.unknown

_1108018770.unknown

_1108018636.unknown

_1107887586.unknown

_1107986565.unknown

_1108016621.unknown

_1107985089.unknown

_1107887480.unknown

_1107877444.unknown

_1107877479.unknown

_1107881379.unknown

_1107877473.unknown

_1107877332.unknown

_1107877337.unknown

_1106063481.unknown

_1044967461.unknown

_1106058875.unknown

_1106058923.unknown

_1106063440.unknown

_1045143386.unknown

_1106052666.unknown

_1045143370.unknown

_1044965683.unknown

_1044966003.unknown

_1044881086.unknown

_1044881148.unknown

_1044863843.unknown

_1044880912.unknown

_1044858229.unknown

_1044860170.unknown

_1044862035.unknown

_1044862310.unknown

_1044862387.unknown

_1044862420.unknown

_1044862272.unknown

_1044860770.unknown

_1044860901.unknown

_1044860679.unknown

_1044859004.unknown

_1044860005.unknown

_1044858693.unknown

_1044788937.unknown

_1044789763.unknown

_1044858128.unknown

_1044789323.unknown

_1044788581.unknown

_1044788725.unknown

_1044785180.unknown

_1044215003.unknown

_1044606738.unknown

_1044783682.unknown

_1044784773.unknown

_1044784797.unknown

_1044783851.unknown

_1044776432.unknown

_1044782791.unknown

_1044607449.unknown

_1044607753.unknown

_1044776214.unknown

_1044607465.unknown

_1044607445.unknown

_1044224286.unknown

_1044269183.unknown

_1044287935.unknown

_1044494662.unknown

_1044606733.unknown

_1044606723.unknown

_1044288024.unknown

_1044288393.unknown

_1044281568.unknown

_1044285010.unknown

_1044285236.unknown

_1044284197.unknown

_1044280388.unknown

_1044228210.unknown

_1044267415.unknown

_1044224741.unknown

_1044218227.unknown

_1044219447.unknown

_1044224166.unknown

_1044219470.unknown

_1044218364.unknown

_1044218996.unknown

_1044218333.unknown

_1044215929.unknown

_1044217395.unknown

_1044218193.unknown

_1044217764.unknown

_1044216948.unknown

_1044215748.unknown

_1044184330.unknown

_1044194621.unknown

_1044209548.unknown

_1044209733.unknown

_1044214055.unknown

_1044195922.unknown

_1044194029.unknown

_1044194333.unknown

_1044192798.unknown

_1044188221.unknown

_1044180430.unknown

_1044181128.unknown

_1044181832.unknown

_1044180736.unknown

_1044175521.unknown

_1044179971.unknown

_1043660294.unknown

_1042481511.unknown