TEMA 10: APLICAȚII ECONOMICE ALE FUNCȚIILOR DE MAI MULTE VARIABILE 83

TEMA 10: APLICAȚII ECONOMICE ALE FUNCȚIILOR   DE MAI MULTE VARIABILE 

Obiective: 

Analiza costului compus şi a costului marginal

Analiza funcţiilor de de producţie şi a funcţiilor de cerere

Definirea miultiplicatorilor Lagrange

Analiza problemelor de minim şi maxim cu restricţii pentru funcţii de două variabile

Conținut:

10.1 Costul compus şi costul marginal 84

10.2 Funcţii de producţie 84

10.3 Funcţii de cerere 85

10.4 Multiplicatori Lagrange 85

10.5 Concepte cheie 86

84    MODULUL 5: MODELE MULTIDIMENSIONALE 

10.1  Costul compus şi costul marginal 

Să presupunem că o firmă realizează două produse, pentru care utilizează aceleaşi componente, dar în proporţii diferite. În acest caz, funcţia de cost compus este de forma:

( )yxQC ,= ,

unde x şi y reprezintă cantităţile din fiecare produs, iar C reprezintă costul compus total pentru cele două produse.

Vom considera, prin definiţie, că derivata parţială xC∂∂ reprezintă costul marginal în

raport cu produsul x, iar derivata parţială yC∂∂ reprezintă costul marginal în raport cu

produsul y. Semnificaţia costului marginal în raport cu un produs este următoarea: costul marginal în raport cu un anumit produs x reprezintă creşterea costului total, atunci când x creşte cu o unitate, iar celelalte produse ce alcătuiesc costul total compus rămân constante.

10.2  Funcții de producție 

O problemă economică importantă se referă la modul în care factorii necesari pentru producţie determină realizarea unui produs. Astfel, realizarea unui produs depinde de manopera, materialele, utilajele şi de capitalul care sunt necesare pentru producţie. Dacă pentru un produs z, cantitatea z depinde de cantităţile unor componente (sau produse) x şi y, atunci funcţia de producţie este de forma:

),( yxfz = .

Dacă ),( yxfz = este o funcţie de producţie, atunci derivata parţială xz∂∂ reprezintă rata

de schimbare a lui z în raport cu componenta x, dacă y rămâne constant.

Derivata parţială xz∂∂ a funcţiei de producţie ),( yxfz = se numeşte productivitatea

marginală a lui z în raport cu x şi măsoară rata de schimbare a lui z în raport cu x.

Derivata parţială yz∂∂ a funcţiei de producţie ),( yxfz = se numeşte productivitatea

marginală a lui z în raport cu y şi măsoară rata de schimbare a lui z în raport cu y. Productivitatea marginală este, în general, pozitivă pentru majoritatea funcţiilor de producţie.

TEMA 10: APLICAȚII ECONOMICE ALE FUNCȚIILOR DE MAI MULTE VARIABILE 85

10.3  Funcții de cerere 

Dacă funcţiile de cerere pentru două produse P1 şi P2 sunt, respectiv:

),( 211 ppfq = şi ),( 212 ppgq = ,

unde p1 este preţul produsului P1 şi p2 este preţul produsului P2, atunci derivatele parţiale ale cantităţilor q1 şi q2 se numesc funcţii de cerere marginale:

1

1

pq∂∂ - cererea marginală a lui q1 în raport cu p1;

2

1

pq∂∂ - cererea marginală a lui q1 în raport cu p2;

1

2

pq∂∂ - cererea marginală a lui q2 în raport cu p1;

2

2

pq∂∂ - cererea marginală a lui q2 în raport cu p2;

Dacă 01

2 >∂∂

pq şi 0

2

1 >∂∂pq , atunci produsele P1 şi P2 sunt competitive (în competiţie),

deoarece o creştere a preţului lui P1 va determina o creştere a cererii pentru produsul P2 dacă preţul p2 rămâne constant, şi invers, o creştere a preţului lui P2 va determina o creştere a cererii pentru produsul P1 dacă preţul p1 rămâne constant.

Dacă 01

2 <∂∂

pq şi 0

2

1 <∂∂pq , atunci produsele P1 şi P2 sunt complementare, deoarece o

creştere a preţului lui P1 va determina o scădere a cererii pentru produsul P2 dacă preţul p2 rămâne constant, şi invers, o creştere a preţului lui P2 va determina o scădere a cererii pentru produsul P1 dacă preţul p1 rămâne constant.

10.4  Multiplicatori Lagrange 

Multe probleme economice practice implică determinarea optimului, respectiv a minimului sau a maximului, a unei funcţii de două sau mai multe variabile, în anumite condiţii sau restricţii asociate variabilelor modelului economic. De exemplu, o firmă urmăreşte maximizarea profitului, în limitele (restricţiile) impuse de capacitatea de producţie de care dispune. Vom determina minimul sau a maximul unei funcţii ),( yxfz = , cu restricţiile

0),( =yxg , aplicând metoda multiplicatorilor Lagrange. Pentru a determina punctele critice (de maxim sau de minim) ale funcţiei ),( yxfz = , cu restricţiile 0),( =yxg , vom introduce variabila λ, denumită multiplicator Lagrange, şi vom construi funcţia obiectiv:

),(),(),,( yxgyxfyxF λλ += . (10.1)

Punctele critice ale lui ),,( λyxF vor satisface restricţiile 0),( =yxg şi vor, de asemenea, puncte critice ale lui ),( yxf .

86    MODULUL 5: MODELE MULTIDIMENSIONALE 

Pentru a determina punctele critice (de maxim sau de minim) ale funcţiei ),,( λyxF , determinăm punctele care fac derivatele parţiale ale lui F egale cu 0, respectiv:

0=∂∂

xF , 0=

∂∂

yF , 0=

∂∂λF .

Deoarece ),(),(),,( yxgyxfyxF λλ += , obţinem:

[ ] 00),(),(0 =∂∂

+∂∂

⇔=+∂∂

⇔=∂∂

xg

xfyxgyxf

xxF λλ ;

[ ] 00),(),(0 =∂∂

+∂∂

⇔=+∂∂

⇔=∂∂

yg

yfyxgyxf

yyF λλ ;

[ ] 0),(0),(),(0 =⇔=+∂∂

⇔=∂∂ yxgyxgyxfF λ

λλ;

Valorile x şi y care satisfac cele trei ecuaţii de mai sus vor determina punctele critice. Metoda multiplicatorilor Lagrange poate fi aplicată pentru funcţii de trei sau mai multe variabile ,...,, 321 xxx şi pentru două sau mai multe restricţii ,..., 21 gg . În acest caz, metoda implică utilizarea a doi sau mai mulţi multiplicatori Lagrange ,..., 21 λλ . Funcţia obiectiv se va scrie:

...,...),(,...),(,...),(,...),,...;,( 21222111212121 +++= xxgxxgxxfxxF λλλλ . (10.2)

Să presupunem că funcţia de utilitate pentru produsele X şi Y este dată de relaţia:

),( yxfU = ,

unde x şi y sunt cantităţile din produsele X şi Y. Dacă p1 este preţul pentru produsul X, iar p2 este preţul pentru produsul Y, atunci vom nota cu B bugetul disponibil pentru a cumpăra cele două produse. Ecuaţia:

ypxpB 21 += ,

se numeşte restricţia sau condiţia de buget. În aceste condiţii, funcţia obiectiv pentru maximizarea utilităţii are forma:

)(),(),,( 21 ypxpyxfBUyxF ++=+= λλλ .

10.5  Concepte cheie 

Cost compus

Cost marginal

Funcţie de producţie

Productivitate marginală

Funcţie de cerere marginală

Produse competitive

Produse complementare

Multiplicator Lagrange

Funcţie obiectiv

Restricţie de buget