METODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR 1. Punerea ...

METODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A

FUNCŢIILOR

1. Punerea problemei

Apare în multe situaţii din ştiinţă şi tehnică în general şi

din domeniile automatică, informatică şi calculatoare în

particular. În aceste domenii apar aplicaţii în care nu se

cunoaşte expresia analitică a funcţiei care trebuie

aproximată, ci doar valorile ei într-un anumit număr de

puncte (obţinute pe cale analitică sau experimentală),

interesând obţinerea aproximativă a valorilor corespunzătoare

altor puncte + Prezintă interes şi determinarea acelor puncte

corespunzătoare unor valori date (de exemplu, zero) ale

funcţiei.

În cazul general al problemei aproximării numerice a

funcţiilor, se consideră o funcţie

f: [a, b] → R . (1.1)

Se cere determinarea unei alte funcţii

g: [a, b] → R , (1.2)

2 Metode de aproximare numerică a funcţiilor

având o expresie relativ simplă, care să aproximeze cât mai

bine funcţia f în intervalul [a, b], adică g(x) să fie cât mai

apropiat de y = f(x), ],[ bax ∈∀ .

Problema apare în următoarele două situaţii posibile:

a) dacă expresia analitică a funcţiei f, y=f(x), este

cunoscută, dar de formă relativ complicată, utilizarea sa

în calcule ulterioare fiind incomodă;

b) dacă expresia analitică a funcţiei f, y=f(x), nu este

cunoscută, ea fiind definită printr-un set de puncte

determinate analitic sau experimental.

Pentru situaţia b), frecvent întâlnită în domeniile

menţionate, se consideră că sunt cunoscute (n+1) puncte

distincte definite de perechile de valori:

(xi, yi = f(xi)) , i = 0 … n . (1.3)

În cazul cel mai general, cele (n+1) puncte distincte pot fi

oarecari în intervalul [a, b]. Însă, în majoritatea aplicaţiilor ele

sunt echidistante, cu pasul de discretizare h > 0, primul şi

ultimul punct corespunzând limitelor intervalului, adică:

1,0,,, 10 −=−==−== + nin

abhxxbxax iin . (1.4)

În situaţiile practice nu este neapărat necesară obţinerea

explicită a funcţiei de aproximare g, fiind suficientă găsirea

1 Punerea problemei 3

valorilor ],[),( baxxg ∈∀ . Dacă valorile lui x pentru care se

aproximează funcţia f aparţin intervalului [a, b], atunci se

utilizează termenul de interpolare pentru problema enunţată,

iar dacă problema se extinde şi în afara intervalului [a, b],

atunci se utilizează termenul de extrapolare. În sens larg:

interpolare pentru ambele situaţii ale problemei.

Pentru obţinerea funcţiilor de aproximare g se utilizează,

de regulă, combinaţii liniare ale unor funcţii de formă simplă

aparţinând unei clase de funcţii { nigi ,0| = }, de forma:

],[),(...)()()( 1100 baxxgaxgaxgaxg nn ∈∀+++= , (1.5)

unde niai ,0, = , sunt coeficienţi reali.

Cele mai utilizate clase de funcţii de aproximare:

a) monoame { nixi ,0, = }, care duc la polinoame de aproximare

de forma: nnn xaxaxaaxPxg ++++== ...)()( 2

210 ; (1.6)

b) funcţii exponenţiale { nie xbi ,0, = }, care duc la funcţii de

aproximare de forma: xb

nxbxbxb neaeaeaeaxg ++++= ...)( 210

210 ; (1.7)

c) funcţii trigonometrice {sin xi, cos xi i = 0 … n}, care duc

la funcţii de aproximare de forma (8):

nn

nn

xbxbxbbxaxaxaaxg

cos...coscos

sin...sinsin)(2

210

2210

+++++

+++++= (1.8)


Observaţie: În relaţiile (1.6) … (1.8) coeficienţii ai,

i=0…n şi bj, j=0…m sunt reali.

În aplicaţii practice de interpolare, pentru alegerea

funcţiei de aproximare este necesară cunoaşterea formei

funcţiei care trebuie aproximată utilizând informaţiile primare

privind problema tehnică din care a fost construit modelul

matematic care include funcţia care trebuie aproximată. Dacă

nu există astfel de informaţii, atunci cel mai des utilizate sunt

polinoamele de interpolare definite de (1.6), cu următoarele

avantaje:

- valorile polinoamelor se pot calcula relativ uşor;

- sumele, diferenţele, produsele de polinoame precum şi

derivarea şi integrarea polinoamelor au ca rezultat

polinoame;

- schimbările de scară şi translaţiile sunt relativ simple,

având ca rezultat polinoamele Pn(ax) şi respectiv Pn(x+a),

cu a ≠ 0;

- teoria aproximării polinoamelor nu ridică probleme

deosebite.

1 Punerea problemei 5

Remember – din teoria aproximării polinoamelor –

teorema de aproximare a lui Weistrass: Dacă funcţia f este

continuă pe [a, b], atunci ∀ ε > 0 există un polinom Pn de grad

n = n(ε) astfel încât ],[,|)()(| baxxPxf n ∈∀<− ε .

Observaţii:

1. Teorema oferă justificarea teoretică a faptului că, în

cazul utilizării polinoamelor de interpolare, eroarea de

aproximare poate fi făcută oricât de mică. Însă, utilitatea

practică a teoremei este relativ redusă datorită modalităţilor de

generare a polinoamelor de aproximare şi, în plus,

necunoaşterii expresiei f(x).

2. Teorema oferă şi suportul teoretic de demonstrare a

faptului că sistemele fuzzy şi reţelele neurale sunt

aproximatori universali.

Sunt tratate funcţiile de aproximare polinomială ! =

metodele de determinare explicită sau implicită a

coeficienţilor polinomului de aproximare P, notat şi cu Pn sau

Pm. Metodele vor putea fi extinse relativ simplu, cu

modificările de rigoare, la alte clase de funcţii.


În cazul aproximării funcţiilor de mai multe variabile,

se pot utiliza metode asemănătoare însă adaptate

corespunzător.

În aplicaţii din domeniile automaticii, calculatoarelor şi

informaticii apare uneori şi necesitatea aproximării inverse,

adică a găsirii valorilor argumentului x corespunzătoare unei

valori date f(x) (în particular, nule).

2. Aproximarea prin interpolare polinomială

Se consideră o funcţie reală f: [a, b] → R, pentru care

sunt cunoscute valorile yi = f(xi) în (n+1) puncte distincte xi,

ni ,0= , din intervalul [a, b], adică perechile de valori:

),();...;,();,();,( 221100 nn yxyxyxyx . (2.1)

În general, punctele pot fi oarecari, dar, de regulă, ele sunt

echidistante, cu pasul de discretizare h:

1,0,,, 10 −=−==−== + nin


Se cere să se determine polinomul Pn, grad Pn = n, de

forma:

niRabaxxaxaxaaxP in

nn ,0,],,[,...)( 2210 =∈∈∀++++= , (2.3)

2 Aproximarea prin interpolare polinomială 7

care să treacă prin punctele date, deci să verifice condiţiile:

niyxP iin ,0,)( == . (2.4)

Scriind detaliat (2.4) → sistemul liniar (2.5) de (n+1)

ecuatii cu (n+1) necunoscute reprezentate de coeficienţii a0,

a1, a2, … ,an:

=++++

=++++

=++++

=++++

nn

nnnn

nn

nn

nn

yxaxaxaa

yxaxaxaa

yxaxaxaa

yxaxaxaa

...

.............

...

...

2210

222

22210

11212110

002

02010

. (2.5)

Determinantul Δ al matricei sistemului (2.5) este de tip

Vandermonde:

∏>

=

−==∆ji

njiji

nnnn

n

n

xx

xxx

xxxxxx

,0,2

1211

02

00

)(

......1.................

......1

......1

. (2.6)

Punctele nixi ,0, = sunt distincte → 0≠∆ → sistemul (2.5)

este compatibil determinat → polinomul de aproximare prin

interpolare Pn este univoc definit. Metodele de interpolare

se deosebesc între ele prin modul de determinare a acestui

polinom unic sau a unor forme echivalente ale sale.


În cazul majorităţii polinoamelor de interpolare se

operează cu calculul cu diferenţe aplicate mulţimii de puncte

(2.1). Tipuri de diferenţe:

- diferenţele finite directe (“la dreapta” sau “înainte”);

- diferenţele inverse (“la stânga” sau “înapoi”);

- diferenţele simetrice (“centrale”).

Primul tip ! Diferenţele finite directe de ordinul 1,

calculate atât pentru x cât şi pentru y, sunt definite astfel:

1,0,1 −=−=∆ + nixxx iii , (2.7)

1,0,1 −=−=∆ + niyyy iii . (2.8)

Observaţie: ∆xi = h, i = 0 … n–1 pentru puncte

echidistante.

Diferenţele finite directe de ordinul 2 sunt definite:

2,0,)( 12 −=∆−∆=∆∆=∆ + niyyyy iiii . (2.9)

Din (2.8) şi (2.9) → relaţia generală de definire a

diferenţei directe de ordinul k, k = 1 … n:

kniyyy ik

ik

ik −=∆−∆=∆ −

+− ,0,1

11 . (2.10)

În calculele practice se utilizează tabele de diferenţe,

exemplificate pentru cazul n = 3:


x yy 0∆= yy 1∆=∆ y2∆ y3∆

0x 0y 0y∆ 02 y∆ y3∆ 0

1x 1y 1y∆ 12 y∆

2x 2y 2y∆

3x 3y

Diversele polinoame de interpolare se pot scrie mai

simplu dacă se defineşte puterea generalizată de ordinul k,

k = 0, 1, 2, 3, ..., a unei valori numerice x, notată cu ][kx , sub

forma produsului de k factori:

])1()...[3)(2)((][ hkxhxhxhxxx k −−−−−= , (2.11)

cu h – constantă cunoscută.

Observaţii:

1. Pentru 10 ]0[ =⇒= xk .

2. Pentru xxk =⇒= ]1[1 , adică puterea generalizată se

reduce la cea clasică.

Cel mai frecvent utilizate polinoame de interpolare:

- de tip Newton, de speţa 1 şi 2;

- de tip Gauss, de speţa 1 şi 2;

- de tip Stirling;


- de tip Bessel;

- de tip Lagrange.

Polinoamele de interpolare de tip Newton de speţa 1

Enunţul problemei de aproximare prin interpolare –

prezentat anterior - relaţiile (2.1) … (2.3). Polinomul de

interpolare de tip Newton de speţa 1: ][

0]2[

02]1[

010 )(...)()( nnn xxaxxaxxaaP −++−+−+= , (2.12)

fiind necesară determinarea coeficienţilor nkak ,0, = . Pentru

aceasta, se rescriu condiţiile (2.4) sub forma echivalentă:

nkyxP kn

k ,0,)( 00 =∆=∆ . (2.13)

Utilizând (2.2) care exprimă echidistanţa, cu pasul de

discretizare h, a punctelor nixi ,0, = → puterile generalizate

pot fi aduse la forma:

nkxxxxxxxxxx kk ,1),)...()()(()( 1210

][0 =−−−−=− − . (2.14)

Aplicând condiţiile (2.13) pentru k = 0 →

000000

00 )()( yayxPyxP nn =⇔=⇔∆=∆ , (2.15)

→ s-a obţinut primul coeficient.

Aplicând din nou (2.13) pentru k = 1 →


01000110

00100

)()()()(

yhayaxxaayxPxPyxP nnn

∆=⇔∆=−−+⇔⇔∆=−⇔=∆

, (2.16)

→ expresia coeficientului 1a : hya!1

01

∆= . (2.17)

Procedând similar pentru ceilalţi coeficienţi din (2.12) →

expresia generală:

nkhky

a k

k

k ,0,!

0 =∆

= , (2.18)

unde pentru k = 0 → 00 ya = .

→ polinomul de interpolare Newton de speţa 1 devine:

∑=

−∆

+=n

k

kk

k

n xxhkyyxP

1

][0

00 )(

!)( . (2.19)

În cazul punctelor echidistante este utilă definirea

întregului q (nu neapărat întreg !), care reprezintă numărul de

paşi necesari pentru a ajunge de la 0x la x:

hxxq 0−

= , (2.20)

→ polinomul de interpolare Newton de speţa 1 va obţine

forma:

002

00 !)1)...(2()1(...

!2)1()( y

nnqqqqyqqyqyqP n

n ∆+−−−++∆−+∆+= .

(2.21)


Observaţii:

1. Pentru n = 1 → (2.21) conduce la formula de

interpolare liniară:

001 )( yqyqP ∆+= . (2.22)

2. Pentru n = 2 → (2.21) conduce la formula de

interpolare parabolică:

02

002 !2)1()( yqqqyyqP ∆−++= . (2.23)

3. Dacă numărul de puncte cunoscute ale funcţiei f poate

fi oricât de mare → şi gradul polinomului de interpolare poate

fi oarecare. Acest număr de puncte este ales practic astfel

încât diferenţele in y∆ să fie aproximativ egale în limitele unei

erori admise ε , iar 0x poate fi oricare dintre punctele date.

4. Dacă numărul de puncte ale funcţiei este finit →

gradul polinomului de aproximare poate fi cel mult egal cu

numărul de puncte diminuat cu 1, în aceleaşi condiţii ca la

observaţia 3.

5. Pentru situaţiile de la observaţiile 3 şi 4, eroarea

(restul) se poate aproxima cu expresia:

01

)!1())...(2)(1()( y

nnqqqqqR n

n+∆

+−−−≈ . (2.24)


Exemplu: Se consideră o funcţie reală de variabilă reală

f: [0, 3] → R, y=f(x), pentru care se cunosc valorile în 4

puncte echidistante ale intervalului [0, 3], cu pasul de

discretizare h = 1, conform tabelului:

i 0 1 2 3

ix 0 1 2 3

)( ii xfy = 0.200 3.145 4.927 6.098

Se cere să se aproximeze funcţia f cu polinomul de

interpolare Newton de speţa 1 pentru următoarele valori ale

argumentului x: 0.1; 0.8; 2.3; 2.8.

Soluţie: Particularizare pentru n = 3 în cazul cunoaşterii a

n+1 = 4 puncte echidistante, cu pasul h = 1, în intervalul [a,b]

= [0, 3].

Pentru început se determină toate diferenţele directe

definite în (2.10), cu rezultatele organizate conform tabelului:

i ix iy iy∆ iy2∆ iy3∆

0 0 0.200 2.945 –1.163 0.552

1 1 3.145 1.782 –0.611 –

2 2 4.927 1.171 – –

3 3 6.098 – – –


Pe baza diferenţelor directe din (2.21) şi prima linie a

tabelului → polinomul de interpolare Newton de speţa 1 de

gradul 3, exprimat în q:

]3[]2[]3[]2[3 092.0581.0945.22.0

!3552.0

!2163.1

!1945.22.0)( qqqqqqqP +−+=+−+= .

Pentru x = 0.1 → din (2.20): 1.01

01.0 =−=q ,

→ valorile puterilor generalizate: 171.0)2(

09.0)1(]2[]3[

]2[

=−=−=−=

qqqqqq

.

Prin înlocuire în )(3 qP → prima aproximaţie:

562.0171.0092.0)09.0(581.01.0945.22.0)1.0( =⋅+−−⋅+≈f .

Exerciţiu – calculul celorlalte trei aproximaţii.

3. Aproximarea cu metoda celor mai mici pătrate

Punerea problemei: se consideră funcţia reală f: [a, b] →

R, pentru care sunt cunoscute valorile yi=f(xi) în (n+1) puncte

distincte xi, ni ,0= , din intervalul [a, b], adică perechile de

valori:

),();...;,();,();,( 221100 nn yxyxyxyx . (3.1)

În cazul general, punctele pot fi oarecari, dar, de regulă, ele

sunt echidistante, cu pasul de discretizare h:

3 Aproximarea cu metoda celor mai mici pătrate 15

1,0,,, 10 −=−==−== + nin


Se cere să se determine polinomul mP , nmPgrad m <<= ,

de forma:

],[,...)( 2210 baxxaxaxaaxP m

mm ∈∀++++= , (3.3)

care să aproximeze funcţia f astfel încât să fie minimizată

suma pătratelor diferenţelor dintre valorile aproximate şi cele

exacte în cele (n+1) puncte. Astfel spus, trebuie rezolvată

următoarea problemă de optimizare:

∑=

−==n

iiimaamm yxPJJPP

n 0

2

....}])([,min|{ˆ

0 . (3.4)

Metoda de calcul rezultată se numeşte metoda celor mai

mici pătrate (CMMP) şi este utilizabilă atunci când fie

perechile (3.1) nu sunt cunoscute cu exactitate fie n este foarte

mare.

Remarcă: Aproximarea funcţiei f – cunoscute sub forma

setului de valori (3.1) – printr-un polinom de forma (3.3) prin

metoda CMMP este numită în general şi regresie

polinomială, cu particularizările larg utilizate regresie liniară

(m=1) şi regresie parabolică (m=2). Aproximarea prin

metoda CMMP poate fi aplicată însă şi altor funcţii de

aproximare g, diferite de cele polinomiale.


Aproximarea polinomială parabolică (m=2) prin

metoda CMMP

Funcţia polinomială de aproximare parabolică, numită şi

regresie parabolică: 2

2102 )( xaxaaxP ++= . (3.5)

Functia J care trebuie minimizată, privită ca funcţie de

variabilele 0a , 0a şi 0a :

∑=

−++=n

iiii yxaxaaJ

0

22210 )( . (3.6)

Pentru minimizarea functiei convexe J este suficient să

fie anulate derivatele sale parţiale →

∑=

=−++=∂∂ n

iiii yxaxaa

aJ

0

2210

0

0)(2 , (3.7)

∑=

=−++=∂∂ n

iiiii xyxaxaa

aJ

0

2210

1

0)(2 , (3.8)

∑=

=−++=∂∂ n

iiiii xyxaxaa

aJ

0

22210

2

0)(2 . (3.9)

Notaţii: ∑∑∑

∑∑∑∑

===

====

===

====

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

xytxytyt

xsxsxsxs

0

22

01

00

0

44

0

33

0

22

01

,,,

,,,,

(3.10)

3 Aproximarea cu metoda celor mai mici pătrate 17

→ sistemul (3.7) ... (3.9) se va transforma în următorul sistem

liniar în necunoscutele 0a , 0a şi 0a :

=++=++

=+++

2241302

1231201

022110)1(

tasasastasasas

tasasan

. (3.11)

Exemplu: Se consideră din nou funcţia din exemplul

anterior, f: [0, 3]→R, y=f(x), pentru care se cunosc valorile în

4 puncte echidistante ale intervalului [0,3], cu pasul de

discretizare h = 1, conform tabelului prezentat.

Se cere să se gasească un aproximant parabolic al

funcţiei f cu metoda CMMP.

Soluţie: Se vor calcula pentru început coeficienţii

sistemului (3.11) aplicând formulele (3.10) în cazul n = 3:

. 735.77

; 293.31 ; 37,14; 108 ; 36

; 14; 6

233

222

211

2002

33221100132100

43

42

41

404

33

32

31

303

23

22

21

20232101

=+++=

=+++==+++==+++==+++=

=+++==+++=

xyxyxyxyt

xyxyxyxytyyyytxxxxsxxxxs

xxxxsxxxxs

Efectuând înlocuirile în (3.11) → sistemul:

=++=++

=++

735.771083614293.3136146

37.141464

210

210

210

aaaaaa

aaa

→ rezolvare → soluţiile:


127.0;328.2;544.0 210 −=== aaa .

→ polinomul de aproximare parabolică obţinut prin

metoda CMMP: 22 127.0328.2544.0)(ˆ xxxP −+= .

Compararea valorilor aproximate )(2 ixP cu cele exacte

iy în cele 4 puncte prin diferenţe şi calculul valorii minime a

lui J !

4. Aproximarea cu funcţii spline

Enunţul problemei de aproximare: acelaşi ca în cazurile

anterioare, cu observaţia că de această dată valorile functiei f

sunt aproximate cu funcţii spline polinomiale de grad

nm << .

Se defineşte diviziunea ∆ a intervalului [a, b]:

bxxxxa n =<<<=∆ ... : 210 . (4.1)

Funcţia spline polinomială de ordinul ”n” relativ la

diviziunea ∆ a intervalului [a, b] este definită ca o funcţie g:

[a, b] → R, de clasă 1],[

−mbaC , ale cărei restricţii ig pe fiecare

subinterval [xi-1, xi] al diviziunii ∆ sunt polinoame de grad

nm << :

mgradPnixxxxPxg imii

imi ==∈∀= − ;,1],,[),()( 1 . (4.2)

4 Aproximarea cu funcţii spline 19

Functia spline g are, conform definiţiei, primele (m–1)

derivate continue pe intervalul [a, b]:

. 1,1 ;1,1);()( )(1

)( −=−== − nimjxgxg ij

iij

i (4.3)

Derivata de ordinul “m” este discontinuă în punctele ix ale

diviziunii ∆ , este o funcţie polinomială netedă pe porţiuni,

curbura sa fiind determinată de valoarea lui “m”.

Funcţia spline g este considerată funcţie spline de

aproximare prin interpolare a funcţiei f pe diviziunea ∆ dacă

în toate punctele diviziunii sunt îndeplinite condiţiile:

niyxg ii ,0,)( == . (4.4)

Coeficienţii funcţiilor polinomiale imP se obţin prin

rezolvarea sistemului liniar format din ecuaţiile (4.3) şi (4.4)

împreună cu cele (m–1) condiţii la limitele interalului [a, b].

Funcţiile spline g de interpolare parabolică (m=2)

La acestea, restricţiile ig au expresiile:

nixxxxxcxxbaxg iiiiiiii ,1],,[,)()()( 12

11 =∈∀−+−+= −−− , (4.5)

cu coeficienţii care trebuie determinaţi niRcba iii ,1,,, =∈ în

vederea definirii funcţiei g.


Dacă sunt impuse condiţiile de interpolare (4.4) pentru

punctele 1−ix :

niyxg iii ,1,)( 11 == −− , (4.6)

din (4.5) şi (4.6) → coeficienţii ia :

niya ii ,1,1 == − , (4.7)

→ au rămas de determinat 2n coeficienţi nicb ii ,1,, = .

Pentru determinarea acestora se începe cu rescrierea ecuaţiei

(4.5) sub forma:

nixxxxxcxxbyxg iiiiiiii ,1],,[,)()()( 12

11 =∈∀−+−+= −−− . (4.8)

Derivând (4.8) în raport cu x →

nixxxxxcbxg iiiiii ,1],,[),(2)( 11 =∈∀−+=′−− . (4.9)

Impunând condiţiile (4.4) →

nixxxxxcxxbyy iiiiiiiiii ,1],,[,)()( 12

111 =∈∀−+−+= −−−− . (4.10)

Impunând şi condiţiile (4.3) →

1,1),(2 11 −=−+= −+ nixxcbb iiiii . (4.11)

→ mai este nevoie de o condiţie. De regulă, se consideră

că )( 01 xg ′ este cunoscută:

100101 )(2)( bxxcbxg i =−+=′ , (4.12)

4 Aproximarea cu funcţii spline 21

adică se alege 1b pe baza experienţei specialistului care

aproximează pe f.

→ sistemul liniar (4.10) ... (4.12) de 2n ecuaţii cu 2n

necunoscute. În cazul punctelor echidistante cu pasul de

discretizare h, sistemul se transformă în:

b1 = g1’(x0) ,

h bi + h2 ci = yi – yi-1 , i = 1 … n , (4.13)

bi + 2 h ci – bi+1 = 0 , i = 1 … n–1 .

După rezolvarea sistemului, pentru aproximarea unei

valori f(x) se identifică subintervalul ],[ 1 ii xxx −∈ şi apoi se

aplică (4.8).

Dacă se particularizează sistemul (4.13) pentru n = 3 →

un sistem liniar de 6 ecuaţii cu 6 necunoscute:

−=+

=−+−=+

=−+−=+

′=

2332

3

322

1222

2

211

0112

1

011

02

02

)(

yychhbbhcb

yychhbbhcb

yychhbxgb

. (4.14)

Sistemul obţinut este inferior triunghiular → rezolvare simplă.

METODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR 1. Punerea ...

Documents

Transcript of METODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR 1. Punerea ...