1

Tema 1

1. Un fabricant de automobile a estimat că un nou tip de maşini obţine un consum mediu

de 11 litri la 100 km, dar compania care dorea să comercializeze aceste maşini pretindea că acest

consum depăşeşte estimaţia producătorului. Pentru a susţine afirmaţia, compania a selectat 36 de

maşini şi a înregistrat consumul. Au rezultat datele: 8,11=x litri / 100 km; s = 3,0 litri / 100 km.

a) Dacă cei interesaţi doresc să arate că media consumului este mai mare de 11 litri / 100

km, care este ipoteza nulă? Dar ipoteza alternativă?

b) Efectuaţi testarea pentru α = 0,05.

2. Analiza unui eşantion aleator de 49 de observaţii a dus la următoarele rezultate:

7,20=x ; ( ) 155,22

=−∑ xxi .

a) Testaţi ipoteza nulă 47,20=µ , cu ipoteza alternativă: 47,20<µ , utilizând o

probabilitate de 99%.

b) Testaţi ipoteza nulă 47,20=µ cu ipoteza alternativă 47,20≠µ utilizând o probabilitate

de 90%.

3. Un producător de imprimante pentru calculatoare personale doreşte să estimeze media

numărului de caractere tipărite până când se consumă cerneala. Costul crescut al unei astfel de

anchete impune utilizarea unui eşantion de volum redus. Presupunem că au fost testate n = 15

imprimante şi s-au calculat: 13,1=x milioane caractere, s = 0,27 milioane caractere.

a) Să se testeze cu o probabilitate de 90% intervalul de încredere pentru numărul mediu de

caractere.

b) Să se testeze ipoteza nulă 00,1=µ milioane, cu ipoteza alternativă 00,1>µ milioane

caractere, utilizând o probabilitate de 95%, în ipoteza distribuţiei normale a numărului de

caractere în colectivitatea generală.

4. Valoarea medie a unei locuinţe aflate în imediata apropiere a unui colegiu este de

58.950 unitati monetare. Se presupune ca valoarea locuinţelor creşte cu cât ele sunt situate mai

aproape de acest colegiu. Pentru a testa această ipoteză, au fost selectate aleatoriu 12 locuinţe din

zona colegiului; în urma evaluării acestora, a rezultat o valoare medie de 62.460 unităţi

monetare, cu o abatere medie patratică de 5.200 unităţi monetare. Testaţi această ipoteză, pentru

un nivel de semnificaţie de 5%.

2

5. Un reporter se documentează pentru un articol privind costurile tot mai ridicate ale

educaţiei primite în învăţământul superior. Pentru aceasta, el a luat în considerare variabila

„costul unui manual” în semestrul în curs (variabila x). În urma considerării unui eşantion de 41

de manuale, el a găsit că: ∑ = 22,550ix u.m.; ( )∑ =− 984,16172

xxi . Se cere:

a) găsiţi media şi abaterea medie pătratică a costului unui manual în semestrul în curs, la

nivelul eşantionului considerat;

b) testaţi ipoteza conform căreia valoarea medie a unui manual este mai mică de 15 u.m., pentru

un nivel de semnificaţie de 1%.

6. Gradul de poluare a aerului se poate determina prin măsurarea mai multor elemente,

printre care şi nivelul monoxidului de carbon existent în atmosferă. Un ecologist vrea să arate că

oraşul X are un grad ridicat de poluare a aerului, ilustrat printr-un nivel mediu al monoxidului de

carbon mai mare de 4,9. Pentru a verifica această afirmaţie, au fost înregistrate nivelurile

monoxidului de carbon din 12 zile consecutive, valorile găsite fiind următoarele:

Ziua 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

CO 3,5 3,9 2,8 3,1 3,1 3,4 4,8 3,2 2,5 3,5 4,4 3,1

a) calculaţi abaterea medie pătratică, dispersia nivelului de CO din aer, pentru cele 12 zile;

Observaţie!!! Se poate folosi EXCEL (Descriptive Statistics):

- se selectează datele

*daca datele sunt pe linie de la C1 pana la O1, atunci se selecteaza $C$1:$O$1

*daca datele sunt pe coloana de la A1 pana la A13, atunci se selecteaza $A$1:$A$13

- Data Analysis

- Descriptive Statistics

- Input Range

* daca datele sunt pe linie de la C1 pana la O1, atunci se selecteaza $C$1:$O$1

* daca datele sunt pe coloana de la A1 pana la A13, atunci se selecteaza $A$1:$A$13

- Grouped By * se selecteaza Rows, daca datele sunt pe linie

* se selecteaza Columns, daca datele sunt pe coloana

- Se bifeaza Labels in first row (se selecteaza si capul de tabel) - Se bifeaza Output Range (se bifeaza o casuta din Excel in care sa se pozitioneze

rezultatele): $C$4

3

- Se bifeaza Summary Statistics - Se bifeaza Confidence Level for Mean (sau se specifica probabilitatea) - Ok

b) există suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza ecologistului?

7. 7 experţi îşi exprimă opiniile privind preţul unui produs, în anul viitor. Rezultatele

anchetei sunt exprimate de indicatorii sintetici: 85,x = mii lei, s = 1,72 mii lei. (( )

1

2

−

−=∑

n

xxs i ,

deoarece este un eşantion de volum redus). Dacă se ştie că anul acesta preţul mediu a fost de 3,54

mii lei, sunt motive suficiente pentru a susţine ipoteza că anul viitor preţul mediu va fi

semnificativ mai mare faţă de cel de anul acesta? Se va utiliza o probabilitate de 95% de

garantare a rezultatelor.

8. Managerul unei firme ce oferă servicii de curierat rapid susţine că timpul său mediu de

expediere, într-un anumit perimetru, este mai mic de 6 ore. Pentru verificarea acestei afirmaţii, a

fost considerat un eşantion aleator de 10 expedieri ale unor pachete, pentru care s-au înregistrat

timpii necesari pentru expedierea acestora la destinatie (ore): 7; 3; 4; 6; 10; 5; 6; 4; 3; 8. Exista

suficiente dovezi pentru a susţine afirmaţia managerului, pentru un nivel de semnificaţie de 5%?

9. Un specialist afirmă că persoanele care mănâncă cereale la micul dejun vor consuma la masa

de prânz, în medie, mai puţine calorii ca aceia care nu mănâncă cereale la micul dejun. Pentru a testa

această afirmaţie, au fost selectaţi aleator 30 de persoane şi au fost întrebate ce mănâncă în mod regulat la

micul dejun şi la masa de prânz. Fiecare persoană a fost identificată ca un consumator sau nonconsumator

de cereale la micul dejun şi fiecărei persoane i-au fost calculate numărul de calorii consumate la masa de

prânz. Rezultatele obţinute sunt următoarele:

Consumatori de cereale: 640, 605, 529, 591, 596, 564, 615, 560, 635, 623 (calorii)

Nonconsumatori de cereale: 502, 703, 735, 707, 523, 534, 768, 626, 620, 589, 736, 565, 686, 529, 632,

951, 744, 632, 593, 847 (calorii)

Se poate spune cu un nivel de semnificaţie de 5% că specialistul are dreptate?

10. Pe 20 de maşini selectate aleator se instalează un tip de anvelope şi se măsoară numărul de

kilometri parcurşi până la uzura totală a acestora. Apoi pe aceleaşi maşini se instalează un nou tip de

anvelope şi se procedează similar cu cazul anterior. Se poate spune că distanta media parcursa cu noul tip

de anvelope difera semnificativ fata de cea parcursa cu vechiul tip?

4

Maşina 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Distanţa parcursă în mii de kilometri cu tipul de

anvelope noi

57 64 102 62 81 87 61 62 74 62

Distanţa parcursă în mii de kilometri cu tipul de

anvelope vechi

48 50 89 56 78 75 50 49 70 66

Maşina 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Distanţa parcursă în mii de kilometri cu tipul de

anvelope noi

100 90 83 84 86 62 67 40 71 77

Distanţa parcursă în mii de kilo-metri cu tipul de

anvelope vechi

98 86 78 90 98 58 58 41 61 82

11.O companie doreşte să introducă o nouă metodă de realizare a unui produs. Se selectează 50 de

produse pentru care se înregistrează timpii de realizare cu vechea metodă şi 50 de produse pentru noua

metodă. Rezultatele sunt ( serie perfect simetrică):

Metoda actuală Noua metodă

n1=50 n2=30

s1=3,7 min. s2=3,1 min.

Să se determine, utilizând o probabilitate de 95%, dacă rezultatele oferă suficiente informaţii pentru a

indica faptul că nouă metodă duce la un consum de timp semnificativ mai mic.

12.Un producător de jucării electronice doreşte să verifice dacă procentul jucăriilor defecte este mai mic

de 14%. Presupunem că sunt selectate aleator 100 de jucării, fiecare dintre acestea este testată şi sunt

găsite 12 jucării defecte. Oferă aceste informaţii suficiente dovezi că procentul jucăriilor defecte este mai

mic de 14%. Utilizaţi o probabilitate de 99% de garantare a rezultatelor.

min4,25=xmin3,27=x

5

13.Un post de radio promovează un grup muzical aflat în mare vogă. În trecut 60% dintre ascultătorii

postului de radio declaraseră că le-au plăcut grupurile muzicale promovate de acest post. Dintr-un

eşantion de 100 de aascultători, 56 au declarat că le place grupul recent promovat. Pentru un nivel de

semnificaţie de 0,05, testaţi ipoteza conform căreia nu există diferenţe semnificative între preferinţele

ascultătorilor din trecut şi prezent.

14.În depozitul unui magazin en-gros, de tip cash&carry sunt depozitaţi saci de cartofi de 50 kg ;i saci de

ceapă de 100 kg. Atmosfera magaziei este controlată pentru a împiedica pierderea greutăţii prin

deshidratare. Se presupune că greutatea unui sac este o variabilă aleatoare cu distribuţie normală. Să se

verifice ipotezele conform cărora dispersiile celor două eșantioane sunt egale, pentru un nivel de

semnificatie de 5%.

F-Test Two-Sample for

Variances

saci cartofi saci ceapa

Mean 49,48333333 33,83333333

Standard

Deviation 1,10 108,1666667

Observations 6 6

F ------------

df ------------ --------------

F Critical one-tail --------------

Obs:Rezolvarea problemelor se va aduce la examen pe data de 10 iunie 2014.