Beatris Anghel - Curs - Clasa a 9-a SUPORT DE CURS CLASA a IX-a Formule de calcul 2 2 22 ) ( b ab a b a + + = +2 2 22 ) ( b ab a b a + = ) )( (2 2b a b a b a + = a ) )( (2 2 3 3b ab a b a b + + = a ) )( (2 2 3 3b ab a b a b + + = +(a+b)3 2 2 3 33 3 b ab b a a + + + = (a-b)3 2 2 3 33 3 b ab b a a + = a ) )( (1 2 1 + + + = n n n n nb b a a b a b Funcia de gradul I Definiie:f:RR,f(x)=ax+b,a 0 , a,b R , se numete funcia de gradul I Proprieti:Dac a>0 f este strict cresctoare Dac a x f x( ) 0 : 6 = = x f x( ) ( ) 0 : , 6 < x f xExemplificm aplicaii la rezolvarea unor inecuaii de forma0 ++d cxb ax;cd cxb ax++ S se rezolve inecuaia0610 5 + > +29, 229, , 229,, 29 2210 1 23 1xxxxxxx S se rezolve:a) +< + +6123312 32x x xxxx b) > 0 1 20 1 30 3 2xxxc) ( ) 0 ecuaia are rdcini reale i diferite. Dac = 0 ecuaia are rdcini reale i egale. Dac < 0 ecuaia nu are rdcini reale. Dac 0 ecuaiaare rdcini reale. Intervale de monotonie :a0 x ab2 f(x) a 4 Semnul funciei de gradul II 0 > x - x1x2 f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0semnul lui a 0 = x - x2 1x = f(x)semnul lui a 0semnul lui a 0 < x- f(x)semnul lui a Imaginea funciei de gr.II a0, Imf=[ ) ,4 a S se determine funcia ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 , 1 02 = = = + + = f i f f dac c bx ax x fCondiiile date conduc la sistemul de ecuaii: ( )( )( )( ) ( ) ( ) 12321 ;23;211 1 12 2 21 0 01 12 21 0222+ = = = = = + + = + + = + + = = =x xx f c b ac b ac b ac b afff Forma canonic a funciei de gradul al doilea: ( )a abx a x f4 22 |.|

\|+ =Exemplu: a)S se scrie funcia de gradul doisub forma canonic i s se deduc valoarea extrem a funciei n cazurile: ( ) ( ) ( ) 3 2 4 ) ; 2 ) ; 3 )2 2 2+ + = + + = = x x x f c x x x f b x x x f aRezolvare: 3 Beatris Anghel - Curs - Clasa a 9-a b) 4721472114 22 2 2+ |.|

\|+ = + |.|

\|+ = |.|

\|+ = x xa abx a f27 8 1 4 112= = = = ==cac b ba Daca a=1>0, f are un minim Vmin |.|

\| a ab4,2

Xmin=-212 =ab;Ymin=-47min474= =fa; La fel pentru a) i c). S se traseze graficul urmtoarelor funcii:( ) 8 2 ) 12+ = x x x f ; ( ) ; 4 4 ) 22 + = x x x f ( ) ; 3 2 ) 32 + = x x x f( ) 3 2 ) 42+ = x x x fAplicaii: Rezolvare de inecuaii: a)0 9 4 ) ; 0 9 ) ; 0 6 3 ) ; 02 2 2 2 + + < < + x x d x c x x b x xRezolvm b); 0 6 32< + x xatam ecuaia; 0 6 32= + x xo rezovm ( ) 2 ; 0 0 6 32 1 = = = + x x x x( ) 0 , 2 : x Sx- -20+ ( ) x x x f 6 32+ =- 0-0+ Rezolvarea sistemelor simetrice de forma = = +P y xS y x Atunci ecuaia n sum i produs este02= + P SZ ZExemple: ( )( )=== += += + += + +10781 3 655 5 281 3 655 5 2PSS PS Py x xyy x xy atunci 5 2 0 10 72 12= = = + Z i Z Z Zcare dau tocmai soluia sistemului (2, 5) i (5, 2) Rezolvarea sistemelor formate dintr-o ecuaie de gradul I i o ecuaie de gradul 2 sau intersecia dintre o dreapt i o parabol , de forma = + + = +n m c b ay c bx axy n mx, , , ,2 Exemplu: 0 4 4 1 5 35 312 22= + + = + + =+ =x x x x xx x yx y 3 22 1 2 1= = = = y y x xS se rezolve sistemele: 1) == + 1 20 12x x yx y2) + + == 30 22x x yx y3) ( )= + = + +2 229y x xyxy y x 4 Beatris Anghel - Curs - Clasa a 9-a Test de evaluare: 1.S se determine funcia( ) c bx ax x f f + + = 2, :dac punctele A(4,0), B(2,0), C(5,12) aparin graficului funciei. 2.S se determine parametrul m nct ntre rdcinile x1 i x2 ale ecuaiei 0 32= + m x xs existe relaia32221= + x x3.S se rezolve inecuaia: 151,32532< + x x 4.S se determine semnul expresiei : ( )1422+=xxx E5.Rezolvai sistemul simetric:( ) ( ) 2 , 6 ; 6 , 2 : .82 1 1310Ry xxyyx= += + 6.Reprezentai grafic funcia: ( ) + + = : 5 42f x x x f

Funcii Definiii:Fie f:AB I. 1)Funcia f se numete injectiv,dacA x x 2 1,cu f(x2 1 2 1) ( ) x x x f = = 2)Funcia f este injectiv dacA x x 2 1,cu x ) ( ) (2 1 2 1x f x f x 3)Funcia f este injectiv, dac orice paralel la axa 0x,dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei n cel mult un punct. 4)Funciafnuesteinjectivdac) ( ) ( . .2 1 2 1x f x f i a x x = II.1)Funciaestesurjectiv,dacyB,existcelpuinunpunctxA,a.. (x)=y.2) Funcia este surjectiv, dac (A) =B. 3)Funciaestesurjectiv,dacoriceparalellaaxa0x,dusprintr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei n cel puin un punct. III.1) Funcia este bijectiv dac este injectiv i surjectiv. 2)FunciaestebijectivdacpentruoriceyBexistunsingurxA a.. (x) =y (ecuaia (x)=y,are o singur soluie,pentru orice y din B) 3)Funciaestebijectivdacoriceparalellaaxa0x,dusprintr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei ntr-un singur punct . IV.Compunerea a dou funcii Fie f:AB,g:BC )) ( ( ) )( ( , : x f g x f g C A f g = V. A AA : 1prin 1 x xA= ) (,A x .(aplicaia identic a lui A) Definiie:Funcia : AB este inversabil , dac exist o funcie g:BA astfel nctAf g 1 = i Bg f 1 = , funcia g este inversa funciei i se noteaz cu 1 . Teorem: este bijectiv este inversabil. 5 Beatris Anghel - Curs - Clasa a 9-a Funcii pare, funcii impare, funcii periodice. Definiii: f:RR se numete funcie par dac f(-x) =f(x), x R f:RR se numete funcie impar dac f(-x) =-f(x), x R f:AR(A ) R senumeteperiodicdeperioadT A x dac , 0 avemx+T A i f(x+T)=f(x). Cea mai mic perioad strict pozitiv se numete perioada principal. Numrulfunciilorf:ABeste [n(B)]) (A n, n(A)reprezentdnumruldeelementeal mulimii A. Numrulfunciilorbijectivef:AAesteegalcun!,nfiindnumruldeelementeal mulimii A. Numrulfunciilorinjectivef:AB este Akn,undenreprezintnumruldeelementeal mulimii B, iar k al mulimii A(k ) n Progresii aritmetice Definiie:Senumeteprogresiearitmeticunirde numere reale an ncarediferena oricrordoitermeniconsecutiviesteunnumrconstantr,numitraiaprogresiei aritmetice:a 1 ,1 = +n r an n Sespunecnumereleana a , , ,2 1 suntnprogresiearitmeticdacelesunttermenii consecutivi ai unei progresii aritmetice. Teorem:irul 1) ( n naeste progresie aritmetic2 ,21 1 += + na aan nn Termenul general al unei progresii aritmetice:a r n an) 1 (1 + =Prop.:Numerele a,b,c sunt n progresie aritmetic2c ab+= Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:S2) (1n a ann+=Trei numere x1, x2, x3 se scriu n progresie aritmetic de forma : x1 =u r, x2 =u, x3=u +r ; u,rR . Patru numerex1, x2, x3, x4 se scriu n progresie aritmetic astfel: x1 =u 3r,x2 =u r ,x3=u +r , x4 =u +3r,u,rR . Exerciii: Se d progresia aritmetic (an)n1. Determinai n fiecare din cazuri , elementele cerute: 1)a1=3; r=2. Calculai a15 i S15 2)a1=-2; a25=22. Calculai r i S15 3)Dac a1+a2=42 ia10+a3=21 Calculai a1 i r Soluia pentru Ex.1) a15=a1+(15-1)*r=31S15=( )...215 * 31 3=+ 6 Beatris Anghel - Curs - Clasa a 9-a Progresii geometrice Definiie: Se numeteprogresiegeometricunir de numere realeb 0 ,1 bn n care raportul oricror doi termeni consecutivi este un numr constant q, numit raia progresiei geometrice: qbbnn=+1,q 0 Sespunecnumerele bnb b , , ,2 1 suntnprogresiegeometricdacelesunttermenii consecutivi ai unei progresii geometrice. Teorem:irul 1) ( n nbeste progresie geometric2 ,1 12 = + n b b bn n n Termenul general al unei progresii geometrice:b11 =nnq bProp.:Numerelea,b,c sunt n progresie geometricc a b = 2 Sumaprimilorntermeniaiuneiprogresiigeometrice:S1) 1 (1=qq bnn,q 1 sau S dac b nn,1 =q =1 Trei numere x3 2 1, , x xse scriu n progresie geometric de forma : x 0 , , ,3 2 1 = = = q q u x u xqu

Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie geometric de forma: x1= 0 , , , ,34 3 23 = = = q q u x q u xquxqu Exemple: Se d progresia geometric(bn)n1 cu raia q Determinai n fiecare din cazuri, elementele cerute2)q=4, n=8, b8=49152. Calculai b1 i S8 3) 411 = b , q=4 Calculai b10 4) 283021|.|

\|= b , q=-21, Calculai b1 5) 79 131, 3 = = b b Calcula q>0. Test de evaluare: 1.S se determine numerele reale n progresie geometric a, b, c dac suma lor este 26, iar numerele a+1, b+6, c+3 sunt n progresie aritmetic. 2.S se gseasc suma primilor douzeci de termeni ai unei progresii aritmetice dac2015 12 9 6= + + + a a a a3.S se gseasc primul termen a1 i raia r a unei progresii aritmetice dac : 4 7 8 4 6 22 7 a a a i a a a = = + 4.S se rezolve ecuaia 5+13+21+...+x=588 5.Dac(bn)n1 este o progresie geometric cu 24 802 4 1 5= = b b i b bCalculai b1 i q. 7 Beatris Anghel - Curs - Clasa a 9-a Formule utile: 1+2+3+2) 1 ( += + n nn16) 1 2 )( 1 (22 2 2+ += + + +n n nn12 3 3 3]2) 1 ([ 2+= + + +n nnModulul numerelor reale Proprieti: < =0 ,0 ,x xx xx1. R x x , 0 2.y x y x = =3. x x =4.y x y x = 5. yxyx=6.0 , > a a x a a x7. 0 ), , [ ] , ( > a a a x a x8.y x y x + +Partea ntreag 1.x = [x]+{x},R x , [x] Z i {x} ) 1 , 0 [ 2. [x] x0,xRip2(x):x-20,xR.Sse determinevalorileluixpentrucare1)p1(x)esteadevrat,2)p2(x)este adevrat 3) p1(x) p2(x) este adevrat4) p1(x) p2(x) este adevrat. 10 Beatris Anghel - Curs - Clasa a 9-a Geometrie vectorial Definiie: Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeai direcie,acelai sens i acelai modul. Doi vectori se numesc opui dac au aceeai direcie, acelai modul i sensuri contrare: BA AB =Definiie: Doi vectori se numesc coliniari dac cel puin unul este nul sau dac amndoi sunt nenuli i au aceeai direcie. n caz contrar se numesc necoliniari. Teorem: Fieb i adoi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v, exist , ) (unice R astfel nctb a v + = 2 2) ( ) (A B A By y x x AB + = -modulul vectoruluiABle coordonate y y x x ABA B A B ) , (vectoruluiABMijlocul segmentului AB:x2,2B AMB AMy yyx x +=+=Centrul de greutate al triunghiului ABC:x3,3C B AGC B AGy y yyx x x + +=+ +=Adunarea vectorilor se poate face dup regula paralelogramului sau triunghiului Teorem:Vectorii uivsunt coliniari R a.i. v= u. Punctele A, B, C sunt coliniare R a.i.AB= ACABCD R a.i.AB= ACProdusul scalar a doi vectori . ) , cos( v u v u v u = j y i x u1 1 + = , j y i x v2 2 + =2 1 2 1y y x x v u + = ,2121y x u + =Daca0 , v u ,atunci0 = v u v u 11 Beatris Anghel - Curs - Clasa a 9-a Elemente de geometrie itrigonometrie Formule trigonometrice. Proprieti. sin R x x x = + , 1 cos2 2

-1 R x x , 1 sin-1 R x x , 1 cossin(x+2k x sin ) = , Z k R x , cos(x+2k = k R x x , , cos ) sin(a+b)=sinacosb+sinbcosacos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb sin2x=2sinxcosx,cos2x=cos x x2 2sin sin x x cos )2( = cos x x sin )2( = sina+sinb=2sin2cos2b a b a + cosa+cosb=2cos2cos2b a b a + sina-sinb=2sin2cos2b a b a + cosa-cosb=-2sin2sin2b a b a + tgx= 0 cos ,cossin xxx ctgx= 0 sin ,sincos xxx tg(x+k tgx = ) ctg(x+k ctgx = ) tg ctgx x = )2(ctg tgx x = )2(

tg(a+b)=tgatgbtgb tga +1tg(a-b)=tgatgbtgb tga+ 1 tg2x=x tgtgx212+

sinx =21222 xtgxtg+ cosx =212122xtgxtg+ Valori principale ale funciilor trigonometrice x0 6 4 3 2 23 2sinx0 21 22 23 10-10 cosx1 23 22 21 0-101 tgx0 33 1 3 -0-0 ctgx- 3 1 33 0-0- Semnele funciilor trig. sin: +, +, -, -tg, ctg: +, -, +, - cos: +, -, -, +12 Beatris Anghel - Curs - Clasa a 9-a sin(-x)=-sinx (impar)cos(-x)=cosx (par) tg(-x)=-tgxctg(-x)=-ctgx Reducerea la primul cadran Dac |.|

\| + |.|

\| |.|

\|23, , ,2 2, 0 x x atunci x |.|

\| 2 ,232 x avem: x t = x t + = x t = 2cos t- cos x- cos xcos x sin tsin x- sin x- sin x Exemple: 1) 7sin7sin76sin768 sin762sin = |.|

\| = = |.|

\|+ =2) 11cos11cos111210 cos11122cos = |.|

\|+ = |.|

\|+ =3) 13sin2611cos26112 cos2641cos2641100 cos262641cos = = |.|

\| = = |.|

\|+ = Teste recapitulative Testul 1 a)Se d progresia aritmetic( )1 n nade raie r, n care cunoatem3 , 31= = r aCalculai 10 10 5; S i a a . b)Se d progresia geometric ()1 n nlde raie q, n care cunoatem 411 = l , q=4. Calculai 10 10S i l . c)S se determine parametrul real m nct ntre rdcinile ecuaiei0 32= + m x xs existe relaia:272221= x xd)S se verifice identitatea: ( )tgb tgab ab a = +1cos coscos e)Se d triunghiul ABC n care AC=5, AB=3, 60= A m S se determine BC, aria ABC , raza cercului nscris i raza cercului circumscris triunghiului ABC Testul 2 a)S se demonstreze c ntr-un triunghi dreptunghic ABC|.|

\|=2Aavem egalitile: 1); sin sin 2 cos cos C B a C c B b = + 2); 1 sin cos2 2 2 2+ = + C C tg C C tg3)C C B B cos sin cos sin + = +b) S se demonstreze identitatea:( ) ( ) x x x x4 4 6 6cos sin 3 1 cos sin 2 + = + + , c) S se rezove sistemul de inecuaii:( )( )( ) + +