Studiul Formal Al Modalitatilor

7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor

1/36

1

ABSTRACT

Until recent years, the history of modern modal logics and of related philosophical

developments has been mostly uncontroversial, in part due to the small amount of literaturewritten on the subject. This paper uses the most recent historical work on modal logic and

possible-world semantics that has thrown a new light on the history of the field. We conclude

that, even though Kripkes paternity of some important concepts and formal methods is now

wholly excluded, he remains in large part due to his elegant and simple way of handling what

had been considered until him rather difficult and obscure ideas, the most prominent logician

of what has been called the classical period of modern modal logic. We end the paper by

signaling and describing the most important areas of contemporary research in modal logic.

REZUMAT

Acest referat valorific cercetri de dat recent nistoria logicii modale moderne i a

dezvoltrilor filosofice din jurul acestora. Studiile lui Copeland sau Goldblatt i mrturii noi

ale pionerilor acestui domeniu ne permit astzi s privim istoria timpurie a logicii modale i a

semanticilor Kripke ntr-o alt lumin, recunoscnd merite multiple pentru realizrile care au

marcat dezvoltarea uluitoare a acestei discipline n ultima jumtate de secol. Kripke rmne

totui cea mai important figur a epocii clasice a istoriei logicii modale moderne, n mare

parte datorit manierei sale simple i elegante de a trata idei considerate nainte dificile i

obscure. n ultimul capitol, am semnalat i descris succint cele mai importante subramuri ale

logicii modale contemporane.


2/36

2

1. Studiul modalitilor naintea epocii clasice a logicii modale

Noiunile modale au n spate o tradiie filosofic ndelungat i respectabil, dar nu pot

fi nici reduse la aceasta, nici aprate exclusiv pe temeiul ei. Pe lng faptul c necesitatea i

posibilitatea (sau corelatele lor i celelalte modaliti epistemice, deontice, temporale .a.)

apar i n discursulaltor forme de cunoatere (i m refer, n principal, la tiinele naturalei

matematic), aceste modaliti fac parte din limbajul cotidian, par nscrise n mindset-ul care

direcioneaz evalurile pe care le facem n mod curent, chiar dac acestea sunt nesistematice

i lipsite de rigoare. Probabil cea mai mare provocare pentru un sceptic n privina

modalitilor ar fi s arate c acestea sunt dispensabile la nivelul limbajului natural, c pot fi

nlocuite aici fr probleme sau rest. La fel de bine putem ns admite c abundena acestor

noiuni nu cauioneaz un entuziasm modal fr margini de genul celui ocazionat de boom-

ul teoretic post-kripkean. Dar nainte de toate trebuie s ne definim termenii, nu fr a observa

c n acest moment, datorit centralitii acestei teme n cercetarea logico -filosofic de astzi

i a cantitii uriae de literatur scris pe acest subiect, multe elucidri informale trec foarte

repede, uneori complet peste acest stagiu iniial.

Dup modelul din(Goldblatt 2006, 2-3), spunem c o modalitate este orice cuvnt sau

fraz care aplicat()unui enun S genereaz un nou enun care face o aseriune privind modul

adevrului lui S: despre cum, unde sau cnd S este adevrat sau despre circumstanele n care

S poate fi adevrat. Definiia lui Goldblatt este general i fr parti pris-uri filosofice o

acceptm aadar fr obiecii. Pe msur ce vom intra mai profund n subiectul propus, va fi

tot mai dificil s regsim aceast neutralitate teoretic.

Aa cum reiese din titlul acestui capitol, vom trata acum istoria timpurie a studiului

tehnic al modalitilor, pe care o putem plasa ntre ultimele decenii ale secolului XIX i

sfritul anilor 50, nceputul anilor 60 ai secolului trecut, cnd apar importantele lucrri ale

lui Kripke i Hintikka i logica modal i atinge faza de maturitate sau, dup (Blackburn, deRijke i Venema 2001, 72), logica modal intr n epoca sa clasic. Studii recente ntreprinse

de Blackburn, Goldblatt, Copeland ne permit astzi s avem o viziune de ansamblu asupra

acestui domeniu, dar ne oblig i la cteva schimbri de accent n raportarea la acest spaiu

teoretic, n special n ce privete asumpiile i implicaiile filosofice. Nu ne vom opri aici la

preistoria logicii modale (fr conotaii peiorative), nu din cauz c am desconsidera acest

domeniu, dar el merit o abordare mult mai vast, contribuiile lui Aristotel, Duns Scotus,

Ockham sau Leibniz la gndirea modal sunt subiecte crora nu le putem face dreptate ntr-un spaiu limitat. Se cuvine totui s subliniem c discursul modal ocup un loc important n


3/36

3

cadrul logicii aristotelice i s-a bucurat de o tratare sistematic remarcabil n cadrul

scolasticii medievale. Astzi maturitatea i complexitatea logicii scolastice, pe lng

adecvarea remarcabil cu teoria filosofic general pe care i-a propus s o serveasc, sunt

aspecte stabilite. Raionamentele modale joac un rol important n cadrul logicii medievale

pentru c aristotelismul medieval se ntemeiaz pe un punct de vedere modalist, adic pe o

form de gndire n carepotenialitile lucrurilor sunt centrale, tot la fel cum noiunile de

prim importan ale metafizicii aristotelice admit i ncurajeaz acest tip de discurs. Dar, aa

cum spuneam, subiectul este prea vast ca s-l tratm aici ntr-un mod satisfctor. Nevom

preocupa aadar aici de studiul formal al modalitilor, adic de abordrile moderne, care

folosesc mijloacele logicii matematice dezvoltate la sfritul secolului XIX i nceputul

secolului XX prin contribuiile lui Frege, Russell, Wittgenstein, Carnap, Gentzen, Hilbert .a.

Ceea ce nu nseamn c nu vom face trimiteri, acolo unde credem de cuviin, la sursele

filosofice i abordrile timpurii ale unor idei care sunt prezente n gndirea occidental cu

mult naintea demersurilor moderne.1

1.1. Modalitile nainte de C. I. Lewis

Copeland situeaz nceputul epocii moderne a semanticii lumilor posibile n

contribuia lui Peirce, care propunea analiza condiionalului filonian n termenii cuantificrii

peste lumile posibile (Copeland 2002, 99). n studiul lor fundamental, Bull i Segerberg

disting trei tradiii majore care au contribuit la dezvoltarea logicii modale: tradiia sintactic,

tradiia algebric i cea model-teoretic - n principal semanticile lumilor posibile (Bull i

Segerberg 1984). Reprezentanii cei mai importani ai ultimelor dou moduri istorice de

abordare i-au elaborat n prim faz contribuiile n interiorul uneia dintre tradiii, de regul

fr s se inspire foarte mult din rezultatele obinute de cealalt parte. Dup consacrarea

logicii modale prin Kripke i Hintikka, o bun parte din cele mai importante contribuii ndomeniu le aparine celor care s-au ocupat de descoperirea i evidenierea corelaiilor dintre

algebra modal i semanticile lumilor posibile. Astzi se tie c aceste dou tipuri de abordare

sunt strns legate (ct despre corelaia dintre tradiiile sintactic i model-teoretic, n acest

caz se poate vorbi mai degrab de o continuare aprimeia, mai limitat, prin cea de-a doua). n

1tim bunoar c Aristotel sesiza deja diferena fundamental de dicto-de re, c Leibniz nu este neaprat

primul care s discute despre lumi posibile multe din problemele contemporane ale teoriei modale pot fi

identificate i nainte de secolul logicii matematice, tot la fel cum mijloacele formale pot contribui semnificativla reinterpretarea unor noiuni i teze filosofice tradiionale.


4/36

4

aceast relatare nu vom separa cele trei tradiii, singurul criteriu de ordonare fiind cel

cronologic. Aceast strategie ne va permite s sesizm mai bine importana fiecrei contribuii

(algebric, sintactic, model-teoretic sau filosofic) nmomentul istoric n care s-a produs.

Logica propoziional modern a nceput ca algebr, cu contribuia lui Boole. (...)

acelai lucru este adevrat n privina logicii modale moderne, prin contribuia lui MacColl.

(Goldblatt 2006, 9). Gnditorului englez i revine onoarea de a fi fost primul logician modern

care a propus un tratament formal al modalitilor (a publicat pe acest subiect ntre 1880 i

1906), interpretate de el ca operatori propoziionali care pot fi adugai algebrei boolene.

Vedem aadar c prima abordare modal cu adevrat formal vine din cadrul tradiiei

algebrice. MacColl propune doi operatori notai cu (este cert c) i (este imposibil c),

care sunt ataai literelor sau combinaiilor de litere propoziionale n superscript dreapta.

Logicianul englez observ deja c cele dou simboluri greceti sunt repetabile, cu alte cuvinte

observ c modalitile se pot itera la infinit. Importana acordat contribuiilor lui MacColl

este variabil n funcie de orientrile sau angajamentele celor care l menioneaz. Astfel,

pentru Blackburn, de Rijke i Venema, care scriu n continuarea direct a interpretrii

semantice a modalitilor realizat de van Benthem, este dificil s sesizeze legturi

semnificative ntre abordarea lui MacColl i problemele contemporane din logica modal(vz.

Blackburn, de Rijke i Venema 2001, 38). Goldblatt, un specialist n algebre modale, i acord

ceva mai mult atenie, pentru a conchide totui, similar cu autorii mai sus menionai, c

stilul lui MacColl, specific logicienilor de secol XIX, l situeaz pe acesta n premodernitatea

logicii modale. O abordare de secol XIX, pentru Goldblatt, nseamn c se ofer o descriere a

semnificaiilor i proprietilor operaiilor logice, dar n contrast cu ateptrile contemporane,

nu i o definiie formal a clasei de formule luate n considerare, nici o axomatizare riguroas

a acestor operaii (adic precizarea unei mulimi de axiome i a unor reguli de inferen care

s permit derivarea teoremelor din axiomele sistemului formal, ceea ce am numi astzi

abordarea modern). (cf. Goldblatt 2006, 5)

Este cunoscut faptul c doi dintre prinii fondatori ai logicii matematice, Frege i

Russell, nu s-au aplecat asupra noiunilor modale, acestea fiind fie ignorate complet (Frege),

fie tratate neunitar, pasager sau colateral (Russell). Motivele celor doi gnditori pentru aceste

atitudini sunt probabil diferite. n privina primului, sunt de acord cu alturarea fcut de

(Benthem 1988, 13) ntre el i Kant. Frege nu era un kantian n toat puterea cuvntului, dar

unul dintre punctele sale de vedere n care putem identifica o ascenden kantian (chiar i

neasumat ca atare) privete chiar problema modalitilor. Dup logicianul german, a califica


5/36

5

o judecat cu ajutorul modalitilor nu adaug nimic n privina coninutului, ci ne spune ceva

mai degrab despre atitudinea noastr fa de acea judecat. Pentru Frege, noiunile modale

sunt epistemologice, i nu logice, i pot fi identificate cu cunoaterea adevrurilor universale,

respectiv particulare.

n ce l privete pe Russell, problema este ceva mai complicat, ntruct optica sa

asupra modalitilor nu este unitar, ba chiar la prima vedere poate prea inconsistent.

Totui, n ciuda opoziiei unui Dejnoka bunoar (Dejnoka 1999), punctul de vedere al

majoritii specialitilorortodoxia russellian, dac se poate spune aa este cel mai bine

ntemeiat pe textele filosofului britanic. Iar ortodoxia russellian afirm c i Russell mai

degrab desconsidera aceste noiuni. n 1905, el afirm deja fr echivoc: Comparative sau

superlative ale adevrului cum sunt cele implicate de noiunile de contingen i necesitate nu

exist.(Russell 1994, 520) Sau: ...nu exist nicio noiune logic fundamental de necesitate,

i deci nici de posibilitate. Dac aceast concluzie este valid, subiectul modalitii ar trebui

alungat din logic, din moment ce propoziiile sunt doar adevrate sau false. (Russell 1994,

520) Sau: O propoziie este doar adevrat sau fals i att: nu poate fi o problem de

circumstane. (Russell 1992, 194) n textul din care provin primele pasaje, Russell susine c

nu exist o concepie univoc asupra necesitii, ci un mnunchi de noiuni ntreptrunse. Dar,

ne putem ntreba, cum de distingem noiunile din mnunchi i care este punctul de referin

care i permite lui Russell s se declare nemulumit de echivocitatea noiunilor modale? Nu

cumva are el n vedere, chiar i neasumat, o noiune pur de necesitate logico-matematic?

Rspunsul la aceast ntrebare este dificil. Dar s observm c nsui Russell cauioneaz

ideea de adevr n toate lumile posibile n (Russell 1919, 192). Respingnd modalitile la

nivelul propoziiilor, el le admite la nivelul funciilor propoziionale. Totui, n ansamblu,

punct de vedere susinut i de Kripke sau Rescher, Russell nu este un susintor al noiunilor

modale.

Se poate argumenta c tot o deformaie filosofic este responsabil pentru rezervelelui Russell n privina modalitilor. Legtura dintre logica extensional i metafizica de tip

humean este destul de evident, cu toate acestea exegeze care s releve amnuntele istorice i

teoretice ale acestei corelaii sunt puine. Pn la critica recent din (Ellis 2001),

angajamentele metafizice ale criticii necesitii ntreprinse de Hume erau mai degrab

ignorate. n referatele viitoare i n tez, vom reveni la viziunea humean asupra necesitii. n

acest moment, se cere totui s subliniem cteva aspecte importante. Naterea logicii

extensionale i a doctrinei atomiste se petrec ntr-un cadru de gndire humean. Una dintresursele principale ale rezervelor lui Russell fa de noiunile modale este adeziunea sa la


6/36

6

tradiia empirist, n care critica necesitii fcut de Hume este central. Dac aceste afirmaii

sunt adevrate (fie i numai raportndu-ne la citatele de mai sus, simim deja aroma gndirii

humeene), atunci nu repudiem, ba chiar susinemo tez tare: logica extensional clasic este

un instrument construit pe potriva teoriilor empiriste. Desigur, nu facem greeala s afirmm

c formalismele ar spune ceva fr interpretare (prin ele nsele), doar c, aa cum logicii

modale i s-a reproat c ar fi un instrument adecvat pentru teoriile esenialiste, totaa i logica

extensional funcioneaz cel mai bine n frameworkul humean, unde lucrurile sunt atomi

separai i ineri, antrenai de pseudo-legi naturale care le sunt extrinseci i care, de fapt, nu

sunt altceva dect sesizri ale unor regulariti, generalizri fcute pe temeiul obinuinei.

Odat realizat acest fapt, ne este mai uor s nelegem linia quineean de gndire n privina

modalitii, direcie care include i scepticismul generalizat quineean, dar i realismul modal

tare al lui David Lewis. Acestea sunt motivate de o adeziune humean evident (i asumat,

de altfel, att de Quine, ct i de Lewis). Extensionalismul profesat de Quine nu mai este doar

preferina logicianului pragmatic pentru un instrument lipsit de defecte, ci s-ar putea s in de

o viziune de ansamblu asupra realitii. Nu spunem, n fond, mare lucru atunci cnd

accentum dependena metafizic a construciilor noastre intelectuale. C aceasta explic de

ce anumite instrumente se potrivesc mai bine unui anume tip de investigaie filosofic, n timp

ce altele servesc alte demersuri, nu e un secret. Dar desigur c aceasta nu descalific

respectivele instrumente, nici nu le calific definitiv ntr-un anume fel. Vom reveni mai trziu

la aceast discuie.

1.2. C. I. Lewis - naterea logicii modale moderne

Toi cei care au scris despre istoria logicii modale i-au acordat fr rezerve titlul de

printe al logicii modale moderne lui Clarence Irving Lewis. Nu doresc s-i contrazic, dar

subliniez totui c interesul primar al lui Lewis nu era de a oferi o teorie a modalitilor.Principala preocupare a lui Lewis era legat de faptul c logica clasic nu ofer o analiz

satisfctoare a implicaiei (acea implicaie care este constitutiv pentru inferenele valide, nu

implicaia material). Analiza de tip Frege-Russell (pentru care este sinonim cu este

fals c este adevrat i este fals) are de fapt n vedere un alt tip de condiional (cel

filonian), iar dac se consider c ea relev adevrata natur a consecinei logice(mai bine zis

dac susinem c implicaia material definit prin clasicele tabele este considerat lege de


7/36

7

deducie), ajungem la binecunoscutele paradoxuri. 2 Pentru Lewis, nicio analiz

verifuncionalnu poate surprinde adevrata semnificaie a lui implic din raionamentele

noastre. Acest motiv l-a condus pe logicianul american la ncercarea de a construi un calcul

propoziional ntemeiat pe un alt tip de relaie, implicaia strict (notat cu simbolul ).

Implicaia strict a lui Lewis este o relaie intensional, bazat pe accepia intensional a

disjunciei (accepia extensional fiind cea prin care se definete implicaia algebric) .

Disjuncia intensional este definit de Lewis ca fiind astfel nct cel puin una din

propoziiile disjunse este nmod necesar adevrat. (Lewis 1912, 523) Definiia implicaiei

stricte va fi atunci:

( )=Df ( )

unde simbolul st pentru operatorul modal este posibil c, iar restul simbolurilor

au aceleai semnificaii ca n logica propoziional.3Am introdus cu aceast ocazie operatorul

pentru posibilitate. Logica modal modern folosete n mod curent nc o modalitate: -

care nseamn este necesar c. Cei doi operatori sunt interdefinibili:

=Df

adic este necesar dac i numai dac nu este posibil (dup cum se poate defini i

posibilitatea analog, dac vom considera necesitatea ca noiune primitiv).4

Nu vom strui foarte mult asupra sistemelor lui Lewis, ntruct acesta este un subiect

bine acoperit. Trebuie totui s notm cteva idei, eseniale pentru expunerea ulterioar.

Astfel, remarcm c Lewis face parte dintre cei care au abordat strict sintactic logica modal.

Contribuia lui Lewis nu include o semantic formal, ci doar remarce disparate n aceast

privin. Ceea ce l las desigur n poziia de a nu putea obine rezultate de completitudine cu

privire la calculul propoziional construit. n prim faz (Lewis 1918), Lewis a elaborat un

singur sistem formal (Survey Sistem, numit dup lucrarea n care a aprut, mai trziu S3), dar

ulterior, n lucrarea clasic (Lewis i Langford 1959), el definete nc patru sisteme

(numerotate de la S1 la S5, unde vechiul sistem este echivalat cu S3). Neavnd mijloacelesemantice de a art c toate formulele acceptabile sunt derivabile n oricare dintre aceste

sistemepornind de la axiome i folosind reguli infereniale, pentru nici unul dintre acestea nu

se pot emite pretenii de ntietate (n cadrul formalismelor inventate de Lewis, dar i fa de

2O propoziie fals implic orice (adic, dac citim implic n sensul deductiv, orice poate fi dedus dintr-o

propoziie fals.) sau O propoziie adevrat este implicat de orice.3Se presupune c acestea sunt deja cunoscute.

4

Decizia asupra cror noiuni s fie considerate ca primitive se face innd cont de considerente formale i defacilitate n operare, dar i de argumente filosofice.


8/36

8

oricare alt tip de formalism care poate fi construit), dect pe baza considerentelor de

intuitivitate sau uurin i elegan n operare.

O alt problem a operei lui Lewis sesizat n (Blackburn, de Rijke i Venema 2001,

39) este c sistemele sale modale nu sunt construite modular, ca n prezent. Lewis nupornete

de la un sistem propoziional de baz cruia s-i adauge axiome modale specifice, ci definete

sistemele sale direct n termenii implicaiei stricte. Sistemele lui Lewis includ toate

tautologiile logicii propoziionale, dar dac aceste calcule modale nu sunt concepute ca

extensii ale logicii propoziionale clasice, atunci acest lucru trebuie demonstrat printr-o

procedur extrem de laborioas. Abordarea modular a sistemelor formale a fost introdus de

Gdel (cf. Blackburn, de Rijke i Venema 2001, 181), care a artat c logica intuiionist

poate fi translatat n sistemul S4 al lui Lewispstrndu-se toate teoremele. Folosind i cteva

sugestii ale lui Becker, Gdel nu preia axiomatizarea lui Lewis i Langford, ci, considernd

operatorul drept primitiv, pornete de la sistemul standard al logicii propoziionale, cruia i

adaug axioma K (( ) ( )), specific tuturor sistemelor modale normale, plus

axiomele (axioma T) i (sau axioma 4) i regula de generalizare.Gdel nu

face parte propriu-zis din niciuna dintre tradiiile menionate mai sus, fiind interesat de

modaliti din punctul de vedere al logicii demonstrabilitii. Dar astzi stilul su de

prezentare a logicilor modale este predominant. n acest context, urmnd din nou o definiie a

lui (Goldblatt 2006, 8), vom spune c o logic se refer la orice mulime de formule care

include formulele valide ale logicii propoziionale i este nchis sub modus ponens i reguli

de substituie uniform. O logic este modal dac include axioma K - cel mai simplu sistem

modal normal este sistemul K, care are doar aceastaxiom modal specific i respect

regula necesitrii (din se poate deriva ).5

n lipsa unei semantici adecvate pentru sistemele modale, cele mai importante

rezultate ale perioadei sintactice erau teoremele de distincie ntre diversele formalisme (dou

sisteme genereaz mulimi diferite de formule). Metodele algebrice reprezentau o manierprivilegiat pentru asemenea demonstraii, fiinddup cum susin i(Blackburn, de Rijke i

Venema 2001, 39) - instrumentul-cheie al dezvoltrii logicii modale pn la sfritul anilor

5Termenul logic are aadar mai multe accepii distincte. Una dintre ele este cea clasic, n care subs tantivul

logic apare doar la singular, i este vorba de domeniul tiinific n ansamblu. A doua semnificaie utilizat n

mod curent este cea definit mai sus. O logic denumete un anumit sistem formal (i putem vorbi n acest sens

de o logic modal sau de mai multelogici modale (de ex., K, T, S4, S5 .a.). De asemenea, n cazuri n care

spunem logic modal (simplu) sau logic de ordinul nti sau logica predicatelor .a.m.d., ne referim la ontreag familie de sisteme logice bazate pe acelai limbaj.


9/36

9

50. McKinsey a folosit metode algebrice pentru a demonstra decidabilitatea lui S2 i S4

(McKinsey 1941). Metoda folosit de acesta a fost de a artac pentru fiecare formul care nu

este o teorem a unuia dintre aceste sisteme, exist un model finit care satisface acea logic i

falsific formula considerat. Aceast proprietate este cunoscuta proprietate a modelului finit

(finite model property), dup numele dat de Harrop, care a demonstrat c orice logic

propoziional finit axiomatizabil care are proprietatea modelului finit este decidabil (cf.

Goldblatt 2006, 9).

Colaborarea aceluiai McKinsey cu Tarski a dus la elaborarea unei intrepretri

topologice a sistemului S4; Dummett i Lemmon s-au folosit de contribuiile lui McKinsey i

Tarski pentru a analiza diverse sisteme formale intermediare ntre S4 i S5. McKinsey a

demonstrat c n S2(i S1) exist o infinitate de modaliti complexe ireductibile. Parry a

artat c n sistemul S3exist 42 de modaliti ireductibile. Primele trei sisteme ale implicaiei

stricte sunt puin folosite astzi, nefiind nite instrumente de lucru facile. n schimb, pentru S4

i S5, axiomele de reduciepermit s se arate c n aceste sisteme exist 14, respectiv 6

modaliti fundamentale.

1.3. Contribuia lui Carnap

Prima abordare a modalitilor propus de Carnap n (Carnap 1937) era i ea una

sintactic. Ulterior,prolificul filosof i logician a renunat la acest tip de abordare, prin

(Carnap 1946) i (Carnap 1947), n care are meritul de a fi elaborat prima semantic pentru

logica modal. Inspirat, dup cum recunoate el nsui, de concepia lui Wittgenstein asupra

naturii adevrului logic, Carnap opereaz cu o modalitate numit L-adevr, pe care o

echivaleaz cu adevrul necesar al lui Leibniz i cu adevrul analitic al lui Kant. Carnap are,

de asemenea, meritul de a fi fost primul care a introdus tot n (Carnap 1946) noiunea de lume

posibil (i cea de adevr necesar ca adevr n toate lumile posibile) n elaborarea formal alogicii modale. Pn atunci, acest aspect fusesediscutat doar la nivel non-tehnic. Conceptul

pivotal al semanticii lumilor posibile realizate de Carnap pentru sistemul QS5 (S5 cuantificat)

este cel de descriere de stare, definit ca: o clas de propoziii care reprezint o stare de

lucruri particular posibil prin realizarea unei descrieri complete a universului de indivizi cu

privire la toate proprietile i relaiile desemnate de predicatele din sistem. (Carnap 1946,

50). O descriere de stare conine pentru fiecare propoziie atomar Si fie aceast propoziie, fie

negaia ei

Si, dar nu pe amndou. n mod informal, c o propoziie se verific ntr-odescriere de stare nseamn c aceast propoziie ar fi adevrat dac descrierea de stare ar


10/36

10

reprezenta starea actual a universului. Carnap remarc faptul c descrierile de stare

corespund lumilor posibile ale lui Leibniz sau strilor de lucruri posibile ale lui Wittgenstein.

(cf. Carnap 1947, 9) O propoziie va fi, deci, adevrat din punct de vedere logic pentru

Carnap (ceea ce el ar echivala cu necesitateasimpliciter) dac i numai dac este adevrat n

toate descrierile de stare (i posibil dac este adevrat n cel puin o descriere). Cei

familiarizai cu logica modal modern vor spune c totui lipsete ceva. Este vorba de ideea

unei relaii de accesibilitate ntre lumi sau descrieri de stare. Preocupat de a oferi o abordare

formal a concepiei despre adevrul logic exprimate de Wittgenstein n Tractatus, Carnap nu

s-a gndit s impun restricii asupra descrierilor de stare i a operat exclusiv cu clasa

universal a acestora. Astfel c, nu numai c el nu a putut s ajung la o demonstraie de

completitudine pentru sistemele tratate, dar semantica sa modal este incomplet. Este

momentul acum pentru cteva comentarii filosofice.

n primul rnd, aa cum am spus-o deja, Carnap recunoate c i este ndatorat lui

Wittgenstein i concepiei acestuia despre adevrul logic. Ce crede totui Wittgenstein n

privina necesitii? Propoziia 6.37 din Tractatus este destul de clar asupra orientrii

humeene a filosofului austriac: O constrngere, dup care ar trebui s se ntmple ceva,

fiindc s-a ntmplat altceva, nu exist.Exist numai o necesitate logic. Ideea unei descrieri

complete a lumii prin atribuirea de valori de adevr tuturor propoziiilor atomareapare deja n

Notele anterioare Tractatusului.Aceste idei se regsesc i n Tractatus, unde Wittgenstein d

condiiile de adevr ale tautologiilor i contradiciilor n termenii adevrului n toate

combinaiile posibile de stri de lucruri. Dar Wittgenstein se preocup, la fel ca mai trziu

Carnap, de o singur necesitate, cea logic. Cum a fost aceast reducie pus la ndoial vom

vedea ceva mai trziu. Aici vom mai meniona doar c, n ciuda scepticismului su, care

reduce necesitatea doar la ipostaza sa trivial, logic, Wittgenstein a exercitat o influen

semnificativ asupra mai multor pionieri ai logicii modale n afar de Carnap, cum ar fi

Meredith i Prior.Trebuie s subliniem c faimoasa critic a logicii modale realizat de Quine se aplic

n primul rnd lui Carnap i Lewis.Argumentele lui Quine se bazeaz parial pe concepiile

anti-esenialiste care prevalau n filosofia analitic timpurie sub influena empirismului i a

pozitivismului logic. Problema major este identificat de Quine n folosirea logicii modale

cuantificate concomitent cu susinerea tezei c singurul tip de necesitate acceptabil este

analiticitatea. Incompatibilitatea celor dou este dat de fapul c, pentru Quine, logica modal

cuantificat presupune acceptarea atribuirii de proprieti necesare lucrurilor (necesitatea dere) i acceptarea distinciei esenial-contingent n cazul proprietilor. Lewis i Carnap sunt,


11/36

11

aa cum spuneam, cei care se fac vinovai de aceast eroare. Dei resping mai mult sau mai

puin explicit teza c necesitatea ar putea rezidai n lucruri, ei las esenialismul aristotelic s

intre pe ua din spate, permind cuantificarea n contexte modale. Quine este, de fapt, un

sceptic absolut n privina modalitilor critica distinciei analitic-sintetic care ntemeiaz

filosofic pozivitismul logic al lui Carnap este unul dintre reperele majore ale istoriei filosofiei

analitice. Dac se ndoiete chiar i de necesitatea lingvistic, desigur c alte modaliti i se

par cu att mai suspecte lui Quine.

Muli adepiai logicii modale au ncercat s-i rspund lui Quine, dar foarte puini

au fcut-o n mod direct. Unele dintre argumentele acestuia au fost mai uor de demontat, dar

nici mcar acum nu se poate considera c ndoielile sale au fost cu totul alungate. Critica lui

Quine rmne scheletul din dulap al logicii modale. Dezvoltarea extraordinar a acestei

discipline n jumtatea de secol care a trecut de la publicarea rezultatelor lui Kripke este un

rspuns poate impresionant la nivel cantitativ, statistic, dar nu este nicidecum un argument

hotrtordin punct de vedere filosofic. C acum exist demonstraii de completitudine pentru

foarte multe calcule modale, c acestea sunt folosite pe scar larg n numeroase domenii ale

cunoaterii umane i orice alte argumente de acest tip pe care le-am mai putea emite mpotriva

lui Quine nu rspund remarcabilelor provocri filosofice ridicate de acesta. Atta vreme ct

probleme metafizice centrale, cum ar fi natura i rolul lumilor posibile, au rmas n suspensie,

critica lui Quine trebuie luat n considerare. Vom reveni i la argumentele acestui redutabil

critic cu alte ocazii.

1.4. Jnsson i Tarski

ntr-o serie de articole de la sfritul anilor 40 nceputul anilor 50 (Jnsson i

Tarski 1948, 1951, 1952), Jnsson i Tarski au anticipat soluiile lui Kripke. Istoricii logicii

modale de astzi afirm c autorilor le-ar fi fost la ndemn s sesizezeconexiunea dintrerezultatele obinute i posibilitatea de a oferi demonstraii de completitudine n maniera lui

Kripke (folosind relaia de accesibilitate ntre lumi posibile), dar cei doi nu au realizat acest

lucru. Este cu att mai surprinztor acest fapt cu ct, aa cum am menionat deja, Tarski

colaborase recent cu McKinsey, elabornd interpretri algebrice pentru sistemele S4 i S5.

Jnsson i Tarski au demonstrat teoreme generale de conexiune ntre algebre boolene i

mulimi ale cror elemente stau n diverse relaii. (Copeland 2002, 105) menioneaz n

special teoremele 3.5 i 3.14 din (Jnsson i Tarski 1951)pentru legtura lor cu semanticilelumilor posibile. Prima teorem stabilete echivalene ntre diverse condiii funcionale i


12/36

12

relaionale (ntre acestea din urm numrndu-se reflexivitatea, tranzitivitatea i simetria).

Teorema 3.14 aserteaz existena unui izomorofism ntre orice algebr interioar i un sistem

algebric format dintr-o mulime i o relaie reflexiv i tranzitiv ntre elementele acestei

mulimi. [A]ceste teoreme pot fi considerate ca tratri formale ale tuturor axiomelor modale

fundamentale i ale proprietilor corespunztoare ale relaiei de accesibilitate. (Copeland

2002, 105) Tehnicile algebrice folosite de Jnsson i Tarski sunt perfecte analoge tehnicii

modelelor canonice descoperite ulterior. Dup cum remarc Blackburn, cei doi au artat, fr

s o tie, cum pot fi algebrele modale reprezentate drept ceea ce numim astzi modele

(Blackburn, de Rijke i Venema 2001, 41). Jnsson i Tarski se aflau deci n posesia unui

instrument formal (o algebr boolean cu operatori) care le-ar fi permis s formuleze

demonstraii de completitudine pentru obun parte din sistemele modale (nu lipsea dect

sesizarea conexiunii dintre algebre i sistemele modale, caracterizarea acestora din urm ar fi

decurs imediat). i totui, ei nu au sesizat acest lucru.

Kripke mrturisete ntr-un schimb de corespondencu Copeland, citat n (Copeland

2002, 105) cTarski era de fa la celebrul simpozion din 1962 din Finlanda n care Kripke

i-a prezentat unul dintre studiile sale fundamentale de logic modal, dar ar fi spus c nu

vede nicio legtur ntre munca sa i aceste rezulate. Ceea ce e cu att mai surprinztor cu ct

Tarski nu numai c era la curent cu descoperirile din logica modal (n fond, lucra n

California, care era pe atunci i este i astzi unul dintre cei mai importani poli academici

pentru studiul logicii i al filosofiei formale din Statele Unite, n special prin centrele de la

UCLA, Berkeley, unde lucra Tarski, i Stanford, dar nu doar att, este i unul dintre

leagnele logicii modale), ci a lucrat chiar el n analiza calculelor modale prin metode

algebrice. Acest caz uluitor de orbire, n care unul sau mai muli autor(i) are / au toate

mijloacele pentru a sesiza c a realizat ceva (n spe, au oferit demonstraii matematice de

completitudine pentru sisteme modale, chiar dac nu au elaborat o semanticpentru acestea)

rmne unul dintre misterele istoriei logicii i a matematicii.Kripke a recunoscut contribuialui Jnsson i Tarski ntr-o not de subsolla (Kripke, Semantical Analysis of Modal Logic I:

Normal Propositional Calculi 1963), recunoatere hastily written (Copeland 2002, 131),

chiar dup cuvintele autorului ei, care neag, n schimb, orice influen a lucrrilor celor doi

asupra propriei opere. Primul care a neles i integrat importana contribuiilor lui Jnsson i

Tarski pentru logica modal a fost Kanger, dar timp de dou decenii de la publicare, acestea

au fost n mare parte ignorate.


13/36

13

1.5. Prior

Prior pare s fi fost primul care a folosit o relaie binar ntr-un context explicit

modal [...] i primul care a folosit o interpretare a acestei relaii n termenii accesibilitii.

(Copeland 2002, 108) Logicianul neo-zeelandez a introdus aceast relaien logica sa modal-

temporalexpus n (Prior 1953) i (Prior 1958), ca relaie ntre dou momente distincte pe

axa timpului (relaia ). Prior a specificat mai multe condiii pentru relaia , printre care i

cea de tranzitivitate, care rezult din axioma specific sistemului S4. Copeland speculeaz

dac Prior era contient sau nu de faptul c o abordare relaional poate fi aplicat i logicii

modale aletice. El citeaz un manuscris nepublicat, redactat m 1951, pentru a arta c Prior

sesizase ideea c modalitile pot fi analizate n termenii cuantificrii peste lumi posibile

(Copeland 2002, 109-110). Chiar dac neasumat (n ce privete programul de cercetare, a fost

preocupat n primul rnd de explorri axiomatice), Prior este deja un membru al tradiiei

semantice: el a interpretat limbajul modal fundamental n termenii modelelor bazate pe i a

distins ntre diferitele logici folosind argumente de consisten.

n colaborare cu Carew Meredith, Prior a lucrat asupra sistemelor modale, publicnd

semantici cu lumi posibile pentru mai multe sisteme, printre care K, M, S4, B sau S5 (Prior,

Possible Worlds 1962) i (Prior, Tense Logic and Continuity 1962). Aceste contribuii au

aprut la trei ani dup A Completeness Theorem in Modal Logic, dar ceidoi logicieni au

ajuns la rezultate semnificative n mod indepedent de munca lui Kripke. ntr-o lucrare

nepublicat din 1956 semnalat n (Copeland 2002), Meredith i Prior au extins calculul

proprietilor realizat de Meredith cu o relaie binar U, care le-a permis explicitarea

operatorilor modali n maniera acum familiar:

(p)x=y (Uxy py)

( p)x = y (Uxy py)

Ceea ce nu se tiecu certitudine este dac n acel moment Meredith i Prior gndeaudeja n termenii lumilor posibile. Kripke crede c nu, fiindc altfel Prior ar fi comentat asupra

acestui fapt n articolul menionat. Dovezi descoperite relativ recent i prezentate de Copeland

demonstreaz c Kripke nu are dreptate. ntr-o scrisoare ctre Prior din acelai an, 1956,

Meredith vorbete deja despre lumi posibile. Dup cum noteaz acelai Copeland, dup

Meredith, o lume posibil este orice propoziie suficient de cuprinztoare pentru a implica sau

(disjuncie exclusiv) a fi inconsistent cu orice propoziie dat i n acelai timp nu destul de

cuprinztoare pentru a implica orice propoziie(Copeland 2002, 118). Sub influena ideilor luiWittgenstein, Meredith va introduce n calcul o constant propoziional n care denot lumea


14/36

14

(adic tot ce se ntmpl, dup Wittgenstein, sau, ntr-o formulare mai clar n englez,

everything that is the case). Trei axiome publicate n (Carew i Prior 1965) includ acest

concept:

1. n (propoziia care aserteaz c lumea are loc, adic the world is the case.)

2. (n este contingent, fiindc este o conjuncie n care unii membri sunt

contingeni, ceea ce poate fi exprimat afirmnd c propoziia c n este necesar

implic orice).6

3. ( )(the world is everything that is the case).

Meredith i Prior nu au interpretat la nceput n niciun fel relaia U. Ideea interpretrii

acesteia drept relaie de accesibilitate ntre lumi i-a fost sugerat lui Prior de Geach ntr-o

scrisoare din 1960. Acesta folosete termenul Trans World Airlines pentru a denumi saltul

ntre lumi care se petrece dup regulile furnizate de axiomele diverselor sisteme modale. Prior

valorific ideea lui Geach n (Prior, Possible Worlds 1962) i (Prior, Tense Logic and

Continuity 1962), denumind aceast noiunerelaie de accesibilitate. Adevrul necesar va fi

definit ca adevr n lumea de referin i n toate lumile accesibile din ea.

Alte contribuii importante care preced epoca inaugurat de publicarea lucrrilor lui

Kripke i Hintikka le aparin lui: von Wright, Montague (prima abordare exclusiv model-

teoretic a modalitilor, folosirea unei relaii binare, dar nu ntre punctele sau indivizii unui

model, ci ntre modele), Kanger (a crui lucrare principal, Provability in Logic este

renumit nu numai pentru valoarea contribuiilor sale, ci i pentru dificultatea de a o urmri,

defect imputat, printre alii, i de Kripke; dup cum arat (Fllesdal 1994), Kanger este i

primul care a folosit semantici modale pentru a aborda probleme filosofice legate de identitate

sau existen), Bayart, care a publicat o demonstraie de completitudine pentru S5 cuantificat

bazat pe modele Henkinn acelai timp cu primul articol al lui Kripke, dar din pcate, opera

sa fiind publicat n francez, nu a fost cunoscut n comunitatea tiinific mult vreme). Din

considerente de ntindere i relevan, nu vom trata aceste contribuii n detaliu aici. Scopul

nostru a fost de a arta care era stadiul cercetrii n logica modal n momentul apariiei

rezultatelor lui Kripke. Chiar dac am artat c o bun parte din ideile semnificative pentru

dezvoltarea logicii modale i a semanticilor Kripke fuseser deja introduse, momentul 1958 -

6tim din definiia verifuncional a implicaiei c falsul implic orice.


15/36

15

1959, cu apariia studiilor fundamentale ale lui Kripke i Hintikka, reprezint fr discuie

examenul de absolvire al logicii modale.


16/36

16

2. Epoca clasic a logicii modale. Kripke i Hintikka

n aceast seciune, vom proceda altfel dect n prima. Dup cum cred c este clar,

capitolul anterior a fost dedicat unui studiu istoric, n cea mai mare parte informal, cu

comentarii filosofice ocazionale, n care am dorit s conturm evoluia tratrii formale a

noiunilor modale n logica modern dinainte de anul 1959. Aceast parte va cuprinde detalii

ceva mai precise i mai bogate asupra contribuiilor formale ale celor doi logicieni tratai,

urmnd s se ncheie cu un subcapitol extins dedicat problemelor i deschiderilor filosofice

antrenate de aceste contribuii.Kripke i Hintikka sunt cei care stabilesc primatul abordrii

semantice n logica modal i cei care aduc la maturitate semanticile lumilor posibile.

2.1. Revoluia kripkean

Publicarea lucrrii (Kripke 1959) a fcut senzaie la acea vreme, nu numai datorit

valorii contribuiei, dar i deoarece autorul avea n momentul apariiei articolului doar

optsprezece ani. De fapt, dac ne raportm la data aproximativ la care Kripke i amintete c

ar fi trimis primul draft (n primvara lui 1958), el nu trecuse nc de vrsta majoratului.

Interesul pentru logica modal i-a fost trezit lui Kripke de lectura unui studiu al lui Prior

(Prior 1956). La nceputul lui 1957, Beth i trimitea remarcabilului adolescent lucrrile sale

despre metoda tablourilor semantice, pe care Kripke avea s le foloseasc n demonstraia sa

de completitudine. Dup un an, Kripke i elaborase deja semantica pentru sisteme modale i

o nainta spre publicare. Vom oferi n cele ce urmeaz o succint trecere n revist a primei

contribuii a lui Kripke, pstrndu-ne ct mai aproape de textul original.

Autorul realizeaz o demonstraie de completitudine pentru sistemul S5suplimentat cu

cuantificatori de ordinul I i semnul egalitii. Fiind dat un domeniu nevid Di o formul A,definim o asignare complet (complete assignment) pentruA n D ca o funcie care fiecrei

variabile individuale libere din A i asigneaz un element din D, fiecrei variabile

propoziionale dinAi asigneaz fie T(rue), fie F(alse), fiecrei variabile predicative n-adice

dinAi asigneaz o mulime de n-tupluri ordonate alctuite din membri ai lui D. Definim un

modelal luiAn Dca un dublet ordonat (G, K) unde Geste o asignare complet pentru An

Di Keste o mulime de asignri complete pentruAn Dastfel nct GKi fiecare membru

al lui K concord cu G n asignrile pentru variabilele individuale libere ale lui A (dar nunecesar i pentru variabilele propoziionale i predicate). Fie Hun membru al mulimii KiB


17/36

17

o subformul a lui A; H asigneaz T sau F lui B astfel: Dac B este o formul n-adic

P(x1,...,xn) i este mulimea de n-tupluri ordonate asignat de HluiPi asignm elemente

ale lui D1, ..., n luix1, ...,xn, atunci luiBi se asigneaz Tdac (1, ..., n) ; altfel, luiBi

se asigneazF

. Prin ipotez, variabilelor propoziionale li s-a asignat T sau F

. DacB are

formax = y, atunci i se asigneaz Tdac luixiyli se asigneaz acelai element din D; altfel

i se asigneaz F. Unei formule de forma ~Bi se asigneaz T(F) dac i numai dac luiBi se

asigneaz F(T). Formulei BC i se asigneaz T dac lui B i se asigneaz T i lui C i se

asigneaz T; altfel, i se asigneaz F. Formulei x B(x) i se asigneaz Tdac lui B(x) i se

asigneaz T pentru orice asignare a unui element al lui D lui x; altfel i se asigneaz F.

Formulei Bi se asigneaz Tdac orice membru al lui Kasigneaz TluiB(cu stipularea c

toi membrii lui Kconcord n asignri cu variabilele individuale libere ale formuleiB); altfel

i se asigneaz F.

A este valid ntr-un model (G,K) al lui A n Ddac i numai dac formulei A i se

asigneaz T n G.Aeste validn Ddac i numai dacAeste valid n orice model al luiA

n D.Aestesatisfiabiln Ddac i numai dac exist un model al lui An Dn careAeste

valid.Aeste universal validdac i numai dacAeste valid n orice domeniu nevid.

Ideea de baz a interpretrii acestor noiuni o reprezint definirea adevrului necesar

ca adevr n toate lumile posibile. Astfel, spre deosebire de logica extensional, logica modal

vizeaz, dup Kripke,toate lumile conceptibile.7De aceea, avem nu o singur asignare, ci o

mulime K de asignri care reprezint o mulime de lumi, dintre care una este actual, iar

restul doar posibile. Lumea actual este lumea G, iar dubletul (G, K) reprezint un model al

lui A. Cum x1, ..., xn reprezint obiecte individuale, care se presupune c rmn identice n

toate lumile, toi membrii lui K vor concorda n asignrile pentru variabilele individuale. n

schimb, valorile de adevr ale propoziiilor pot s difere de la lume la lume. Astfel, regulile

pentru asignarea lui T sau F devin n mod evident valide cnd sunt interpretate ca evaluri ale

adevrului sau falsitii unei propoziii ntr-o lume dat, real sau posibil. B este adevrat,

prin urmare, dac i numai dacB este adevrat n toate lumile posibile.Observm c relaia

de accesibilitate nu este nc prezent n semantica lui Kripke, demonstraia de completitudine

fiind realizat cu ajutorul funciei de asignare complet.

7Dar sunt toate lumile conceptibile posibile? Sau sunt toate lumile posibile conceptibile? Vom reveni la

problema relaiei dintre conceptibilitate i posibilitate n celelalte referate i tez. S notm totui c aceasta este

una dintre cele mai intens dezbtute probleme n literatura de astzi, deoarece este un topos n care ies foartefacil la iveal presupoziiile metafizice din spatele diverselor construcii intelectua le.


18/36

18

n toamna lui 1958, Kripke devine student la Harvard, unde este descurajat de

profesorii cu care intr n contact (la acea vreme, empirismul i scepticismul modal humean

preluat i n filosofia lui Quine, cunoscut critic al logicii modale, erau dominante, bineneles

cu att mai mult la Harvard, unde Quine era profesor) s-i continue studiile de logic modal.

De aceea, dei anunase demonstraii de completitudine pentru mai multe sisteme modale

importante ntr-un addendum la primul su articol i ntr-un rezumat publicat la sfritul lui

1959 tot nJSL, au trecut patru ani pn la apariia unora dintre contribuiile promise.

Astfel, n 1963 apare Semantical Analysis of Modal Logic I, unde Kripke se ocup de

analiza mai multor sisteme modale normale (T numit de el M , S4, S5 i B). Pentru

calculele modale propoziionale, logicianul american definete o structur de model normal

(numit mai trziu cadru) (normal)model structure (n.m.s.sau M model structure)ca un

triplet ordonat (G, K, R), cu G i K definite la fel ca mai sus, iar R o relaie reflexiv

definit pe K. n funcie de proprietile adiionale ale relaiei R (tranzitivitate, simetrie,

echivalen), aceast structur va fi definit ca S4, B, respectiv S5- model structure. De

asemenea, definim un M(S4, S5, B)modelpentru o formul bine formatA a sistemului M

(S4, S5,B) ca o funcie binar (P, H) asociat cu o M (S4, S5 ,B) m.s. dat, undeP reprezint

subformulele atomare ale formulei A, iar H pe membrii mulimii K. Domeniul de valori al

funciei este mulimea {T, F} i. e. (P, H) = T sau (P, H) = F. Primul argument al

funciei poate fi extins peste toate subformulele lui A (nu doar peste cele atomare).

Presupunnd c (B, H) i (C, H) sunt cunoscute, asignarea de valori formulelor non-

atomice este definit prin inducie:

Dac (B, H) = (C, H) = T, atunci (BC, H) = T; altfel, (BC, H) = F.

(~B, H) = F ddac (B, H) = T; altfel, (~B, H) = T.

(B, H) = T ddac(B, H) = Tpentru orice HK astfel nct H RH; altfel, (B,

H) = F.

O formulA este adevrat ntr-un model asociat cu o m.s. (G, K, R) dac (A, G)

= T.A este valid dac este adevrat n toate (M, S4, S5 ,B) modelele. Formula A este

satisfiabil dac este adevrat n cel puin un model. O formul A este valid ddac este

demonstrabil n sistemul adecvat(completitudine + consisten).

Se observ cteva diferene importante fa de (Kripke 1959). Astfel, avem definirea

funciei auxiliare (P, H), care lipsea nainte, unde H era o asignare complet, o funcie care

asigna valori de adevr fiecrei subformule a lui A ceea ce nseamn c lumi distincte

presupun asignri complete distincte. Aadar, avem o mulime de lumi posibile K, o lumereal Gi o funcie care asigneaz fiecrei propoziii P o valoare de adevr n lumea H.


19/36

19

Dar cel mai important adaos este cel al relaiei R. H1 R H2 este interpretat de Kripke ca

Lumea H2 este posibil n raport cu lumea H1, ceea ce nseamn c fiecare propoziie

adevrat n H2este posibil n H1.Ne amintim c aspectul care nu i-a permis lui Carnap s

realizeze demonstraii de completitudine pentru sistemele modale ine de faptul c acesta

evalua necesitatea doar la nivelul tuturor strilor de lucruri posibile. Chiar dac aceast idee a

fost anticipat, este meritul lui Kripke de a fi propus, folosit i explicat clar rolul structurilor

set-teoretice arbitrare ca modele pentru modaliti.Aceast abordare ofer un temei intuitiv

pentru acceptarea diverselor axiome de reducie ale logicilor modale, care pot fi transformate

i explicitate caproprieti ale relaiei binare.De notat c, pentru Kripke, se nelege c relaia

R este reflexiv, deoarece orice lume este posibil n raport cu ea nsi. Aceast proprietate

este o constrngere filosofic probabil de neevitat (dac relaia binar este definit ca

posibilitate relativ ntre lumi), dar strict din punctul de vedere al structurilor relaionale

formale, nu este nici o problem dac R nu are aceast proprietate. Astfel, folosind metoda

tablourilor semantice, Kripke arat c o formul este adevrat n toate modelele ddac este o

teorem a lui T, adevrat n toate modelele tranzitive ddac este o teorem a lui S4,

adevrat n toate modelele simetrice i tranzitive ddac este o teorem a lui S5 .a.m.d.8O

ultim diferen n ce privete funcia este aceea c dac (B, G) = T, atunci formulaB nu

va mai fi considerat valid, ci adevrat n modelul .

Revenind la introducerea relaiei binare, Kripke afirm c aceast idee i-ar fi venit la

scurt vreme dup naintarea spre publicare a primului articol, n primvara lui 1958.

Copeland citeaz ca dovad n sprijinul acestei afirmaii o scrisoare a lui Kripke ctre Prior, n

care apare o matrice temporal ramificat, caracteristic pentru S4 (Copeland 2002, 129-130).

Kripke ar fi oferit deja o interpretare a relaiei de accesibilitate simetric i tranzitiv a acestui

sistem, deci nelesese deja c se pot obine rezultate de completitudine pentru logici modale

explicitnd proprietile relaiei de posibilitate relativcare caracterizeaz diferitele sisteme.

Am discutat deja despre motivele ntrzierii lui Kripke n a-i finaliza i publica contribuiile.Tot n 1963, apare (Kripke, Semantical Considerations on Modal Logic 1963). Nu ne

vom apleca n detaliu asupra aspectelor formale ale acestei lucrri, ele fiind n principiu

extensii ale contribuiilor precedente pentru sisteme modale cuantificate. Notm doar noutile

majore. Kripke ofer axiomatizri ale sistemelor T (M), S4, S5 i B cuantificate i

contraexemple pentru formula Barcan:

8

S nu uitm c trebuie s adugm tuturor modelelor care caracterizeaz sisteme modale tratate n articoluldiscutat proprietatea reflexivitii, care este, aa cum spuneam, de la sine neleas pentru Kripke.


20/36

20

Autorul noteaz c infirmarea formulei Barcan i a conversei vine cu o modificare fa

de abordarea anterioar asupra calculelor modale cuantificate, este vorba de acceptarea

exclusiv a formulelor nchise. Tot spre deosebire de (Kripke 1959), unde Kripke folosea un

domeniu universal de indivizi D, acum el va lua n considerare domenii variabile de existeni

pentru fiecare lume posibil.Dac n (Kripke, Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal

Propositional Calculi 1963) Kripke definete o propoziie ca o funcie de la lumi la valori de

adevr, n acest articolo liter predicativ n-ar este definit ca o funcie de la lumi la relaii

n-are (aceast modelare, astzi clasic n logica intensional i teoria lumilor posibile, este

una dintre contribuiile originale ale lui Kripke).

2.2. Hintikka

Cealalt contribuie major la dezvoltarea semanticilor relaionale pentru operatori

modali n epoca clasic a logicii modale i aparine filosofului i logicianului finlandez

Jaakko Hintikka. n Quantifiers in Deontic Logic (1957), Hintikka introduce o relaie binar

ntre stri de lucruri posibile i actuale numit de el permisibilitate(cf. Copeland 2002, 123).9El definete acest operator n felul urmtor:

Dac Pf , atunci exist o mulime copermisibil cu astfel nct f

unde Pf nseamn c f este permis, iar i sunt mulimi de formule logice numite de

Hintikka model sets (mulimi model).

Hintikka definete satisfacia pentru formule ale logicii deontice cuantificateutiliznd

mulimile model, despre ale cror condiii considera c ar exprima proprieti ale mulimii

tuturor enunurilor adevrate ntr-o anumit stare de lucruri. Autorul afirm explicit c aceast

soluie face parte dintr-o teorie general nou pentru logicile modale care i aparine. Dar n

acest studiu el nu impune nici o condiie pe relaia binar . Copeland noteaz c Hintikka iamintete c ar fi ajuns la ideea posibilitii de a realiza modelri diferite prin impunerea de

condiii pe relaia de copermisibilitate cam n acelai timp cu introducerea acestui concept

(Copeland 2002, 124-125). Deja la nceputul lui 1957, el ar fi avut o idee vag despre o

demonstraie de completitudine, dar nu a consemnat-o atunci. Hintikka susine i c era

contient de conexiunea cu logicile modale aletice i gndea relaia binar ca relaie de

9Nu am avut acces la articolul original al lui Hintikka. Rezumatul contribuiilor prezentate de logicianul

finlandez n acest studiu urmeaz lucrarea (Copeland 2002).


21/36

21

posibilitate relativ ntre lumi, asemeni lui Kripke. Mulimile model formau o sintax pentru

lumi posibile.(Copeland 2002, 125)

Se pare c Hintikka ar fi prezentat public o serie de demonstraii de completitudine

pentru M, S4 i S5 cuantificate n cadrul unei serii de prelegeri n zona Bostonului care ar fi

avut loc n 1958 sau 1959. Aceste demonstraii ar fi inclus ideea unei relaii de

alternativitate (alternativeness) ntre lumi. Din pcate, notele lui Hintikka pentru aceste

prelegeri s-au pierdut, iar forma exact a demonstraiilor i noiunile tratate nu pot fi

reconstituite dect parial din memoria autorului. Alt articol (Modality and Referential

Multiplicity), publicat n 1957, este o dovad clar a faptului c amintirile lui Hintikka sunt

corecte. Aici el d printre altele o definiie a adevrului necesar ca adevr n toate modelele

interconectate i afirm c aceste modelear reprezenta stride lucruri alternative.10

Hintikka i-a publicat o parte din rezultatele generale doar n (Hintikka 1961), lucrare

unde, valorificnd i contribuia lui Carnap, definete o mulime model maximal ca mulimea

tuturor formulelor care sunt adevrate ntr-o descriere de stare. Satisifiabilitatea este definit

pentru o mulime de formuleca incluziune ntr-o mulime model, care la rndul ei aparine

unui sistem de astfel de mulimi ntre care are loc o relaie binar de alternativitatece respect

anumite condiii. Aceast relaie este analog relaiei de composibilitate din logica deontic

sau celei de accesibilitate. O formul este valid dac {}nu este satisfiabil.Cu toate c

Hintikka precizeaz mijloacele teoretice de care ar avea nevoie pentru a da demonstraii de

completitudine ale sistemelor modale, el nu le include nici n acest articol, ci se ocup de

problema cuantificrii, probabil sub imperativitatea unei replici la criticile lui Quine.

2.3.Probleme filosofice i controverse asupra ntietii

Am artat pn acum c o bun parte din ideile prezente n opera lui Kripke apruser

deja n lucrrile altor logicieni i filosofi, chiar dac tnrul logiciannu avea cunotin de ele.S-ar putea atunci susine c faptul c i se atribuie rolul cel mai important n dezvoltarea

semanticilor care i poart numele pentru logicile modale, c este considerat printele

acestora, este poate o exagerare. Dar ntietatea n discipline cum ar fi logica i filosofia, care

se ocup cu clarificarea modului n care raionm, este o realizare mai puin semnificativ,

atunci cnd nu este combinat cu puterea de ptrundere a analizei i cucapacitatea de a oferi o

abordare intuitiv i stimulatoare. Cel mai mare merit i revine deciaceluia care a contribuit

10i n acest caz urmm relatarea din (Copeland 2002).


22/36

22

cel mai mult la clarificarea noiunilor de baz ale teoriei i la punerea n eviden a

conexiunilor posibile dintre domenii. Publicarea contribuiilor lui Kripke este adevrata

deschiztoare de drum n logica modal, dovad st dezvoltarea uluitoare a acestei

discipline dup 1960, cei mai muli logicieni care au lucrat dup Kripke prelund ideile i

metodele acestuia.

Comparnd noiunile folosite de Kripke cu cele vehiculate naintea lui, putem constata

c multe dintre ele erau deja folosite de ali autori. Am stabilit bunoar c noiunea unei

relaii binare ntre stri de lucruri maximale a aprut pentru prima dat la Prior, tot el fiind

ceva mai trziu i primul care a publicat demonstraii de completitudine bazate pe aceast

relaie. Desigur, rmne n suspensie problema ntietii n realizarea unei demonstraii de

completitudine pentru unul dintre calculele modale, care este disputat ntre Kripke i

Hintikka. n rezumatul din 1959, Kripke amintete rezultatele de completitudine pe care le-ar

fi oferit Hintikka pentru S4, S5 i T (M). Cum data prelegerilor lui Hintikka nu poate fi

stabilit cu certitudine, nu tim totui cine a fost primul autor al unei demonstraii de

completitudine pentru sisteme modale. Dar acest lucru nu este att de important. Contribuiile

lui Hintikka au avut un efect mai puin notabil asupra dezvoltrii logicii modale. Chiar i cei

care nu cunosc particularitile operei filosofului i logicianului finlandez pot ghici de ce, doar

amintindu-i faptele trecute n revist aici.Este cunoscut afirmaia lui Kripke c matematica

nu poate nlocui filosofia. Dar la fel de bine se poate spune i c filosofia nu ine loc de

matematic. Fr ca aceasta s fie o critic, se poate constata urmrind opera lui Hintikka

faptul c filosoful finlandezneglijeaz de multe ori n studiile sale cu tematic logic tocmai

expunerea prii formale. Preocupat mai mult de problemele filosofice, nu rareori Hintikka

omite deliberat demonstraii formale n ntregime sau pri ale acestora. Dei ar fi fost un

rezultat important la acea vreme, logicianul finlandez nu a ncercat s-i consemneze i

publice demonstraiile de completitudine. Din aceste motive, abordarea sa a avut efecte mai

puin semnificative asupra logicienilor interesai de modaliti, care nu au gsit n opera luiHintikka o abordare extins, riguroas i unitar a modalitilor (aa cum apare la Kripke),

apts-i inspire pentru a dezvolta cercetrile privind logicamodal.

Goldblatt conchide i el n studiul su istoric c meritul cel mai mare pentru

semanticile modale relaionale i revine lui Kripke. Goldblatt subliniaz faptul c S. Kripke a

fost primul care a folosit structuri set-teoretice arbitrare ca modele (Rpoate fi o relaie cu

diverse proprieti care conecteaz diverse mulimi, nu ne mai raportm doar la mulimea

tuturor lumilor posibile, ca la Carnap), aceasta n timp ce Hintikka, Montague i Kanger auutilizat relaii binare ntre modele ale fragmentului non-modal al limbajului predicaional. De


23/36

23

asemenea, acetia din urm nu au oferit axiomatizri complete ale semanticilor proprii.

Inovaia lui Kripke este considerat de Goldblatt catalizatorul dezvoltrii i definitivrii unei

teorii a modelelor pentru logici intensionale (cf. Goldblatt 2006, 35). Goldblatt accentueaz i

influena contribuiilor lui Kripke asupra logicii constructive, a logicilor substructurale (logica

relevanei, logica liniar), logica demonstrabilitii, logici ale sistemelor de tranziie n

informatic, iar n cadrul logicii filosofice, la elaborarea de ctre Montague, Cresswell i

Barwise a semanticilor formale pentru limbajul natural i bineneles la dezvoltarea teoriei

lumilor posibile, cu menajeria lor de dificulti filosofice, dar i cu noua perspectiv

deschis asupra unor probleme tradiionale, la care vom reveni n alte referate i n cadrul

tezei.

Profitm de faptul c am deschis subiectul relaiei dintre filosofie i logic pentru a

discuta acum succint cteva dintre problemele legate de aceast relaie i evideniate de istoria

logicii modale. Aceasta este una dintre temele majore ale tezei, de aceea problemele luate n

considerare acum vor fi discutate i dezvoltate mai departe (alturi de altele noi), folosind i

contribuiile semnificative contemporane din filosofie i logic.

Critica fcut de Quine logicii modale, menionat deja, este astzi clasicizat, dar i

destul de rar luat n considerare. Am artat c intele principale ale lui Quine sunt acei

filosofi-logicieni care susin modalitatea de re (cuantificarea n contexte modale), dar n

acelai timp cred c singurul tip de necesitate este cea din limbaj. Dar Quine se arat mefient

n alte locuri i fa de necesitatea lingvistic (analiticitate), i fa de doctrina filosofic

esenialist pe care crede c ar presupune-o modalitatea de re (jungla metafizic a

esenialismului aristotelic). Pentru Quine, necesitatea este un concept dispensabil, dei

distincia analitic-sintetic, a priori-a posteriori nu este cu totul fr sens.

Marcus (1967, 1971) i Parsons (1967, 1969) au artat c tipul de esenialism cerut de

logica modal cuantificat este minimal i orice teorie intensional presupune un asemenea

esenialism. S renunm atunci la orice teorie intensional? Poate aceasta era o opiune pevremea lui Quine, dar astzi (dup cum voi arta n cele ce urmeaz), acest lucru ar fi destul

de greu de conceput (desigur, fiecare poate s se ocupe cu ce vrea, la nivel individual, dar

astzi logicile intensionale i filosofia care face uz de ele sunt mult mai bine reprezentate

dect n anii 40-50). Quine, un extensionalist convins, nu ar avea o problem cu

respingerea n bloc a logicilor intensionale. Ajungem aici la una dintre problemele cele mai

importante ale demersului nostru: nu cumva preferina pentru un anumit instrument formal i

respingerea altora sunt orientate (i) de o adeziune fa de o anumit teorie metafizic?Desigur, nu ne putem reformula ntrebarea n termeni mai tari, repetm c nu facem greeala


24/36

24

s afirmm c limbajele formale spun ceva din punct de vedere filosofic prin ele nsele, fr

interpretare. Sunt destui matematicieni i logicieni care folosesc logica modal penru alte

scopuri, fr a fi deloc preocupai de presupusele ei angajamente metafizice. Orice asemenea

discuie le-ar repugna. Logica modal e un instrument formal eficient i att. Dar sperm c

vom arta n cadrul tezei c preferina pentru anumite instrumente i metode formale(atunci

cnd acestea sunt folosite n primul rnd pentru finaliti filosofice) nu e deloc inocent de

asumpiile filosofice de fond. Logica matematic extensional este n bun parte produsul

unui cadru de gndire humean n ce privete metafizica, epistemologia i filosofia naturii.

Putem atunci reconsidera ndoiala lui Quine n felul urmtor: nu cumva este logica modal

cuantificat un instrument adecvat pentru teoriile esenialiste? La ce e bunlogica modal n

filosofie, dac nu credem c lucrurile pot avea proprieti eseniale i accidentale? Rspunsul

la aceast ntrebare nu este simplu i nici nu poate fi decisiv (ntruct resursele formale le

depesc pe cele filosofice), dar sperm s aducem anumite clarificri importante.

Trebuie s menionm n acest stadiu i altntrebare: n fond, de ce ar fi esenialismul

de evitat? Unii specialiti, printre care (Cocchiarella 1984), au argumentat n sprijinul tezei c

soluiile formale ale lui Kripke au fost ghidate de preferinele sale metafizice sau cel puin c

se poate vedea o legtur ntre acestea dou. Alii resping un asemenea punct de vedere.

Ballarin susine cu argumente c inovaiile logice ale lui Kripke sunt rezultatul exclusiv al

problemelor formale ntmpinate (Ballarin 2005). Dac exist totui o adecvare ntre partea

tehnic i cea filosofic, atunci s-ar putea argumenta c aceasta este mai originar sau se

petrece la un nivel mai general (adic ine de particularitile fundamentale ale discursului

modal). Sunt totui contribuiile lui Kripke (i, n completare, Putnam) n filosofia limbajului

omologe celor din logica modal ale aceluiai autor? Cu siguran, ele se ntlnesc. Teoria

designrii rigide poate fi vzut ca o cale de a salva substituia n contexte modale

cuantificate. Principiile esenialiste care se adaug filosofiilor limbajului date de Kripke i

Putnam (e demonstrabil c nu e nevoie de aceste principii pentru o teorie a referinei, vz.Salmon 1982)pot fi vzute i ca o form de reabilitare a esenialismului, chiar dac nu acesta

este scopul primar din Numire i necesitate sau The Meaning of Meaning.

Ne oprim aici cu discutarea problemelor filosofice legate de logica modal. Vom

reveni la ele i n celelalte referate (unul dintre ele avnd ca subiect teoria lumilor posibile i

dificultile, dar i deschiderile acesteia) fiindc sunt, de fapt, tema major a lucrrii noastre.

Pentru a ncheia acest referat, vom realiza o trecere n revist i o discuie a principalelor

domenii i contribuii din logica modal post-kripkean.Dorim totui s subliniem faptul cdac la nivelul formalizrilor dezvoltarea logicii modale este una extrem deprolific (i vom


25/36

25

oferi doar o imagine schematic a multitudinii de rezultate i cercetri din ultimele decenii), la

nivel filosofic cadrele dezbaterii rmn trasate n mare parte ntre coordonatele criticii lui

Quine, a deschiderilor i aplicaiilor filosofice amintite de Kripke n studiile sale formale i a

contribuiilor de filosofia limbajului, epistemologice i metafizice ale lui Plantinga, David

Lewis i bineneles Kripkei Putnam, care i-au formulat principalele teze la sfritul anilor

60nceputul anilor 70.


26/36

26

3. Dup cincizecide ani

Dup cum arat Goldblatt, contribuia lui Kripke a avut un impact revoluionar

(Goldblatt 2006, 37) asupra logicii modale. Modelele Kripke s-au dovedit un instrument

perfect pentru investigaia sistematic a limbajelor modale, lucru atestat de multitudinea

inovaiilor i dezvoltrilor conceptuale ce au urmat. Logica modal este un produs al

filosofiei, naterea ei se datoreaz unor filosofi cu interese i aptitudini formale i unor

logicieni / matematicieni cu interese i aptitudini filosofice. Dar, ca orice alt produs tiinific

al filosofiei care a atins vrsta maturitii, astzi multe dintre ramurile i aplicaiile logicii

modale mai au foarte puin de a face cu nceputurile sale filosofice. Pentru o vreme, logicile

modale au strnit un interes extraordinar, ba chiar un entuziasm despre care chiar icei mai

dedicai specialiti aidomeniului trebuie s recunoasc astzi c depea cu mult posibilitile

disciplinei. O parte din acest interes se datora faptului c logicile modale erau (n special

datorit caracterului intuitiv remarcabil al modelrilor lui Kripke) un instrument formal foarte

uor de deprins i folosit. n plus, la nceput se credea c sistemele modale normale sunt (n

ansamblu) mai well-behaveddect s-a descoperit mai apoi c suntde fapt. Pentru o vreme,

filosofii s-au lsat cuprini de o adevrat manie modal (Fine 2005, 9).

Astzi, logica modal este la fel de dificil de utilizat ca orice alt disciplin formal

supraspecializat(cu o meniune special pentru algebrele modale). Mai mult, dac utilizarea

onto-metafizic ocupa altdat prim-planul investigaiilor modale, acum cei mai activi

cercettori sunt cei care se preocup de aspectele matematice ale logicilor modale, tratndu-le

de obicei ca fragmente ale logicii standard. Aceasta nu nseamn c dac, aa cum era normal

pentru o disciplin tiinific formal destul de puternic s se susin prin ea nsi, interesul

principal s-a mutat nspre o caracterizare independent a domeniului i nspre relaiile care se

pot stabili cu alte ramuri ale matematicii, conexiunea cu filosofia a fost cu totul ntrerupt.

Doar c odat ce criza de entuziasm s-a potolit i a devenit destul de clar ceea ce ar fi trebuits se tie de la nceput, i anume c arsenalul conceptual al logicii modale, chiar dac mai

ordonat, nu este mai util ca alte instrumente pentru a trata probleme filosofice intratabile, c e

vorba de existena lui Dumnezeu, necesitatea binelui, existena universurilor paralele sau orice

altceva mai putem aduga, s-a intrat ntr-o alt etap a investigaiei filosofice, n care

rezultatele propuse sau obinute nu mai sunt la fel de spectaculoase, dar nici la fel de

scandaloase, prudena i ndoiala recptndu-i rolul normal n cadrul investigaiei filosofice.

Asupra acestui context i n cadrul lui ne-am propus s lucrmpentru a deslui contribuiareal a logicii modale la evoluia dezbaterii filosofice. ntrebrile majore vor fi: ce putem


27/36

27

spune cu adevrat cu ajutorul logicilor modale n filosofie? Care este valabilitatea lor real,

sustenabil, din punct de vedere epistemologic i metafizic? n acest ultim capitol al

referatului de fa, ne propunem ns un scop mai modest: s artm care au fost principalele

contribuii formale cu relevan filosofic dup Kripke, cum arat logica modal astzi i cum

au contribuit rezultatele formale la configurarea imaginii actuale a metafizicii modale.

3.1. Completitudine, modele canonice, filtrare

Primele nume importante ale istoriei logicii modale dup Kripke sunt cele ale lui E. J.

Lemmon i Dana Scott (Lemmon i Scott 1977). Celebrele Lemmon Notes sunt prima

ncercare de expunere general sistematic a logicii intensionale, proiect a crui finalizare nu

a fost posibil din cauza morii premature a lui Lemmon. Cu toate acestea, studiul a circulat n

comunitatea academic i pn la publicarea sapuin tardivn 1977, exercitnd o influen

semnificativ asupra cercettorilor interesai de acest domeniu. Lemmon este, de asemenea,

primul care a investigat relaia dintre algebrele modale i semanticile Kripke. De notat c n

articolele pe aceast tem, Lemmon a renunat la introducerea n structura model a lumii

actuale a lui Kripke. Cea mai important construcie formal care apare n Lemmon Notes

este modelul canonic.Acest model este construit din orice logic normal i are forma:

M= (K, , )

unde Keste mulimea tuturor mulimilor de formule maximal -consistente, i avem

uRt ddac { : t} u ddac { : u}t(pentru oricare u i t K)

i (p, u) = ddac pu.

Orice formul este adevrat n M la u ddac u. Completitudinea decurge

imediat: se poate observa c M este un model pentru (i. e. este valid n M, adic

adevrat n toate mulimile de formule maximal -consistente) ddac este o -teorem. M

caracterizeaz exclusiv logica i este ceea ce numim un model canonic pentru . Metoda

folosit de Lemmon ofer o metod formal care permite s se demonstreze c anumite

sisteme formale (cu axiomele specifice) sunt caracterizate de condiiiadecvate pe modele.

Dup cum am menionat, Bayard a fost primul care a a adaptat metoda modelelor

Henkin pentru a oferi demonstraii de completitudine pentru logici modale normale.

(Goldblatt 2006, 39) i menioneaz i pe Makinson i Cresswell care au folosit tehnici

similare cu aceleai rezultate, lucrnd n acelai timp cu Lemmon i independent de acesta.


28/36

28

O ultim inovaie important identificat de Goldblatt n studiile lui Lemmon este

metodafiltrrii, care permite demonstrarea proprietii de model finit pentru diverse modele

Mi deci decidabilitatea sistemelor modale caracterizate de acestea. Acest proces se bazeaz

pe faptul c putem s considerm doi membri aiM

ca fiind echivaleni dac asigneazaceleai valori de adevr tuturor subformulelor formulei . Desigur, pentru a afla valoarea de

adevr a lui ntr-un punct al lui M, trebuie doar s cunoatem valorile de adevr ale

subformulelor sale. Dac exist n subformule ale formulei , atunci vor exista cel mult 2n

clase de echivalen ale membrilor modelului considerat, chiar dac acesta este nenumrabil

de mare. Ceea ce permite colapsarea lui M ntr-un model finit care are proprietatea c

falsific dac Mfalsific .

Contribuiile lui Segerberg trebuie, de asemenea, menionateca momente importanteale istoriei logicii modale. Eseul su a stabilit conveniile notaionale i terminologice care

sunt acum folosite aproape exclusiv n logica modal. Dintre acestea, (Goldblatt 2006, 42)

amintete folosirea termenului cadru (frame) n locul celui kripkean de structur model. De

asemenea, Segerberg a impus notaia lui Lemmon i Scott n locul (,x)= T, unde M

este un model Kripke, nlocuit la rndul ei mai apoi de o notaie asemntoare M x . M

fr subscript nseamn bineneles c este adevrat n modelul M (n toate punctele

acestuia).Desfurndu-i munca n perioada entuziasmului maxim fa de posibilitile oferite

de noile tehnici din logica modal, Lemmon conjectura c orice sistem normal este

caracterizat de o clas de cadre relaionale (adic este consistent i complet n raport cu acea

clas). S-a demonstrat repede c acesta nu este cazul. Blok a demonstrat c majoritatea

logicilor normale nu sunt caracterizate de nicio clas de cadre, fiind incomplete (exist

formule valide n toate cadrele acelei logici care nu sunt teoreme ale ei). (Thomason 1972)

oferprimul exemplu de logic modal incomplet folosind modaliti temporale. Thomason

din nou (Thomason 1974) i Fine (Fine, An Incomplete Logic Containing S4 1974) au

construit logici modale aletice incomplete. Cel mai simplu exemplu de logic modal normal

incomplet i aparine lui van Benthem (cu axioma (pp)p). Thomason a artat, de

asemenea, ntr-o serie de studii de la mijlocul anilor 70 c logica modal propoziional (cu

semanticile Kripke) trebuie neleas ca un fragment tare (n ce privete puterea expresiv) al

logicii predicative clasice de ordinul al doilea.


29/36

29

3.2. Aplicaii

Dezvoltarea logicii modale nu a fost nicidecum limitat la cadrul stabilit iniial.

Limbaje formale cu modaliti au fost dezvoltate ntr-o multitudine de domenii i pentru o

multitudine de finaliti. Vom enumera i descrie pe scurt cele mai importante rezultate:

Logica epistemic

Prima contribuie semnificativ n domeniu i aparine, dup cum se tie,lui Hintikka

(Hintikka 1962). Se folosete un operator Ki, analog operatorului modal aletic care exprim

necesitatea. Ki se citete agentul i tie c i nseamn c este adevrat n toate situaiile

nedistinctibile din punct de vedere epistemic ale lui i. Axiomele diverselor sisteme modale au

o lectur epistemic adecvat, la fel bineneles i alte formule modale. Cel mai interesant

aspect este legat de formalizarea cunoaterii comune, rezultate din interaciunea agenilor n

grupuri, care cuprinde mai multe noiuni semnificative, cum ar fi opinia public. Cunoaterea

comun (de grup, notat cu G) este definit n logica epistemic n felul urmtor (Benthem,

Modal Logic 2002, 399):

CG este adevrat n orice lume accesibil prin intermediul oricrui lan finit de

relaii de incertitudine pentru ageni din G.

Logica temporal i spaial

La fel ca n cazul logicii epistemice, vorbim de un domeniu cu semnificaie filosofic

i oarecare tradiie n spate (am vorbit deja de interesul lui Prior pentru relaiile temporale).

Modelele modale sunt interpretate ca fluxuri temporale, relaia de accesibilitate fiind o relaie

de anterioritate. n ce privete logica spaial, analiza modal este adecvat pentru fragmente

modale ale geometriei unde cel mai bine se lucreaz cu sisteme care nu au K ca axiom.

Logica dinamic

Pionierul logicii dinamice este Vaughan Pratt, care a aplicat logica modal abordrii

formale a unei construcii a lui C.A.R. Hoare p {a} q dac p este adevrat naintearulrii programului a, atunci q se obine dup rularea acestui program. Pratt a asignat o

modalitate [] fiecrui program , iar formula []se citete dup , . Acest conector este,

de fapt, o relaie de tranziie ntre stri posibile de execuie. xRy are loc atunci cnd exist o

executare a programului care ncepe n stareaxi se termin n stareay.

Multimodaliti

O bun parte din cercetrile contemporane sunt legate de combinaii ale modalitilor

pentru modelarea matematic a unor situaii complexe. Printre acestea, se numr combinaia


30/36

30

logicii epistemice cu cea dinamic pentru a descrie modificarea unui model epistemic prin

aciune comunicativ.Scenariile care pot fi imaginate i modelate folosind aceste modaliti

sunt extrem de diverse i complexe, cum sunt cele din belief revision theory, care fac uz de

condiionali contrafactuali n stil Lewis i Stalnaker. De asemenea, combinaii ntre

modalitile dinamice i cele epistemice sunt folosite pe scar larg n teoria jocurilor (game

theory).

Aplicaii n logica standard

Astzi exist dou perspective (care nu se exclud reciproc, pot fi chiar complementare)

asupra logicii modale. Muli specialiti din domeniu vd n continuare logicile modale ca la

nceputurile dezvoltrile disciplinei: aceste limbaje sunt formalizri ale modalitilor, fie c e

vorba de interpretarea metafizic a noiunilor modale din limbajul natural (de care ne ocupm

n principal), fie c e vorba de modalitile epistemice, deontice, dinamice, temporale, spaiale

etc., despre care se presupune c sunt extensii ale logicii standard, realizate pentru o

comprehensivitate formal mai mare a diversitii de inferene pe care le practicm n mod

curent. Pn acum am discutat logicile modale mai ales din aceast perspectiv clasic. i n

continuare ne vom preocupa n mod special de aceast concepie, deoarece aici este spaiul de

desfurare al problemelor de interes special pentru filosofie.

Trebuie totui s amintim i cealalt perspectiv, n acest moment la fel de rspndit

printre cercettori, care are la rdcin tocmai interpretarea cuantificaional a operatorilor

modali: logicile modale sunt fragmente ale logicilor standard, care ofer o perspectiv intern

asupra structurii sistemelor clasice. Este de asemenea ct se poate de rezonabil s se afirme

c logicile modale sunt fragmente ale logicilor clasice, care reuesc cumva s ating echilibrul

ntre puterea expresiv i simplitatea computaional, spun editorii unuia dintre cele mai noi

handbook-uri de logic modal (Blackburn, Benthem i Wolter 2007, xiv), ceea ce le face

desigur foarte interesante.

Dar nu doar att. Exist acum interpretri (ce e drept, destul de excentrice) ale logiciipredicatelor ca logic modal sau dinamic, dup cum arat (Benthem 2002). Astfel, exist o

segmentare a logicii de ordinul nti n felul urmtor:

- un miez decidabil, care este o logic modal minimal, fr asumpii asupra formei

modelelor

- legile care exprim efectele universale ale asignrilor variabile pentru diverse stri

plus o relaie special de schimbare (shift). Van Benthem d ca exemplu formula

, care ar exprima tranzitivitatea acestei relaii.- anumite legi de ordinul I care exprim proprieti de existen pentru stri


31/36

31

ntr-o alt abordare de acelai tip citat de (Benthem 2002, 407), formulele logicii de

ordinul I denot aciuni de evaluare. Se accentueaz aici schimbarea de stare implicit n

evaluarea cuantificrii existeniale. Rezult o versiune dinamificat a logicii modale, foarte

potrivit pentru semantici ale limbajului natural, i n special pentru abordarea formal a

naturii i rolului pronumelor personale.

Logici procesuale

Hennessy i Milner au fost primii care au aplicat tehnici modale algebrei procesuale

(process algebras). Un proces este considerat un agent care interacioneaz cu mediul su

realiznd aciuni observabile care duc la schimbarea strilor proprii. Condiiile de identitate

ale proceselor sunt date de aceste stri, deci observaia intervine direct asupra acestora,

genernd un proces nou. Dou procese vor fi echivalente din punct de vedere observaional

numai dac satisfac aceleai proprieti modale.

Logica demonstrabilitii (provability logic)

Interesul pentru demonstrabilitatea interpretat modal a stat la baza unor inovaii

importante n logica modal. Gdel a artat c demonstrabilitatea n aritmetica Peano (PA)

poate fi aritmetizat i exprimat chiar n interiorul acestui limbaj formal. Dup cum am

menionat i la nceput, Gdel a folosit sistemul modal S4, lui revenindu-i meritul pentru

prima definire modular a acestui sistem. Celebrul matematician a utilizat formulaBew(v)din

PA, pentru care are loc: PA ddac Bew() este advrat, unde este un numeral

pentru numrul Gdel . Toate propoziiile demonstrabile n PA sunt adevrate, dar nu toate

propoziiile adevrate sunt demonstrabile(prima teorem de incompletitudine). Gdel arat c

anumite principii ale lui S4 nu sunt valabile pentru modalitatea demonstrabil n PA (de

exemplu, consistena sistemului nu este demonstrabil n interiorul acestuia). Mulimea

tuturor formulelor valide n PA este o logic modal normal, botezat GL (de la Gdel i

Lb, ultimul fiind cel care a demonstrat acest lucru). Solovay a artat c GL este identic cu

sistemul K4W al lui Segerberg i a oferit o demonstraie de completitudine pentru acestsistem (Solovay 1976).

Acestea sunt doar cteva dintre aplicaiile contemporane ale logicilor modale,

selectate n virtutea conexiunilor evidente cu filosofia. Mai sus, vorbeam despre normala

reducere a entuziasmului modal al filosofilor dup explozia postkripkean. Acum putem

nuana aceast afirmaie, n lumina rezultatelor prezentate. Este evident c, oricte critici ar

mai putea strnge, modal logics are here to stay. Logica modal este un instrument formal


32/36

32

puternic, care a permis integrarea teoretic a multor realiti, procese sau noiuni folosite n

tiin, filosofie, dar i n limbajul natural i cunoaterea cotidian, pre- sau non-tiinific.

Semnificaiile modale par astzi de neeliminat nu doar din logic i filosofie, dar i din

informatic, matematic, teorii despre inteligena artificial i alte domenii. Logicile modale

au contribuit n mod semnificativ la conturarea celor mai noi teorii n filosofia limbajului,

epistemologie, etic (logica deontic, despre care nu am mai discutat pe larg, dar trebuie

menionat), lingvistic (att semantica, ct i pragmatica lingvstic), ba chiar au permis o

reconsiderare a logicii clasice. Ceea ce arat c discursul modal este o parte important a

cunoaterii i limbajului uman, cel puin n epoca noastr. Dar aceasta nu nseamn i c

problemele filosofice legate de gndirea modal pot fi pur i simplu mturate sub pre.

Modalitile nu sunt chei pentru orice u, cum poate s-a crezut acum cinci decenii, iar faptul

c s-au putut construi att de multe limbaje formale de succes n diverse discipline nu

cauioneaz orice tip de abordare filosofic a lor. Din cauza diversitii i a gradului nalt de

complexitate a demersurilor contemporane legate ntr-un fel sau altul de modaliti, o

abordare unificatoare nu mai este posibil. O clarificare unitar a problemelor filosofice este

ns binevenit i acesta va fi principalul scop al tezei de doctorat.


33/36

33

BIBLIOGRAFIE

Ballarin, Roberta. Validity and Necessity.Journal of Philosophical Logic, 34, 2005: 275-303.

Benthem, Johan van.A Manual of Intensional Logic. Second edition. Revised and expanded.Stanford:

CSLI, 1988.

Benthem, Johan van. Modal Logic. nA Companion to Philosophical Logic, de Dale Jacquette, 391-

409. Oxford: Blackwell, 2002.

Blackburn, Patrick, Johan van Benthem, i Frank Wolter. Handbook of Modal Logic.Amsterdam:

Elsevier, 2007.

Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke, i Yde Venema. Modal Logic.Cambridge: Cambridge University

Press, 2001.

Bull, R. A., i Krister Segerberg. Basic Modal Logic. n Handbook of Philosophical Logic, vol. II

Extensions of Classical Logic, de Dov M. Gabbay i Franz Guenthner, 1-88. Dordrecht: D. Reidel, 1984.

Carew, Meredith A., i Arthur N.Prior. Modal Logics with Functorial Variables and a Contingent

Constant. Notre Dame Journal of Formal Logic, 6, 1965: 99-109.

Carnap, Rudolf. Meaning and Necessity: A Study in Semantics and Modal Logic.Chicago: University of

Chicago Press, 1947.

Carnap, Rudolf. Modalities and Quantification.Journal of Symbolic Logic, 11, 1946: 33-64.

. The Logical Syntax of Language.Londra: Routledge Kegan Paul, 1937.

Cocchiarella, Nino B. Philosophical Perspectives on Quantification in Tense and Modal Logic. n

Handbook of Philosophical Logic, vol. II - Extensions of Classical Logic, de Dov M. Gabbay i Franz

Guenthner, 309-354. Dordrecht: Reidel, 1984.

Copeland, Jack. The Genesis of Possible World Semantics.Journal of Philosophical Logic, 31, 2002:

99-137.

Dejnoka, Jan. Bertrand Russell on Modality and Logical Relevance.Aldershot: Ashgate, 1999.

Ellis, Brian D. Scientific Essentialism.Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

Fine, Kit. An Incomplete Logic Containing S4. Theoria, 40, 1974: 23-29.

. Modality and Tense. Philosophical papers.Oxford: Clarendon, 2005.

Fllesdal, Dagfinn. Stig Kanger in Memoriam. n Logic, Methodology and Philosophy of Science IX,

de Dag Prawitz, B Skyrms i D. Westerstahl. Amsterdam: Elsevier, 1994.

Goldblatt, Robert. Mathematical Modal Logic: A View of Its Evolution. n Handbook of the History of

Logic. Volume 7 - Logic and the Modalities in the Twentieth Century, de Dov M. Gabbay i John

Woods, 1-98. Amsterdam: Elsevier, 2006.


34/36

34

Hintikka, Jaakko. Knowledge and Belief: An Introduction to the Logic of the Two Notions.Ithaca, NY:

Cornell University Press, 1962.

Hintikka, Jaakko. Modality and Quantification. Theoria, 27, 1961: 119-128.

Jnsson, Bjarni, i Alfred Tarski. Boolean Algebras with Operators. Bulletin of the AmericanMathematical Society, 54, 1948: 79-80.

Jnsson, Bjarni, i Alfred Tarski. Boolean Algebras with Operators, part I.American Journal of

Mathematics, 73, 1951: 891-939.

Jnsson, Bjarni, i Alfred Tarski. Boolean Algebras with Operators, partII.American Journal of

Mathematics, 74, 1952: 127-162.

Kripke, Saul. A Completeness Theorem in Modal Logic.Journal of Symbolic Logic, 24, 1959: 1-14.

. Naming and Necessity.Cambridge, MA: Harvard University Press, 1980.

Kripke, Saul. Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal Propositional Calculi.Zeitschrift fr

Mathematische Logik und Grun

Studiul Formal Al Modalitatilor

Documents

Transcript of Studiul Formal Al Modalitatilor