Capitolul 0 Structuri algebrice. Determinant˘i....

Capitolul 0

Structuri algebrice. Determinant�i.Matrice.

0.1 Grupuri

De�nit�ia 0.1 Fie X o mult�ime nevid�a. O funct�ie f de�nit�a pe X� X �si cu valori �n X senume�ste lege de compozit�ie intern�a �n X.

Not�am, pentru 8x; y 2 X, f(x; y) = x � y �si se cite�ste x compus cu y dup�a legea �:Legile de compozit�ie interne pot avea urm�atoarele propriet�at�i:

De�nit�ia 0.1 O lege de compozit�ie intern�a " � " �n X se nume�ste lege asociativ�a dac�a:

8x; y; z 2 X : (x � y) � z = x � (y � z):

De�nit�ia 0.2 O lege de compozit�ie intern�a "�" �n X se nume�ste lege cu element neutrudac�a

9e 2 X : 8x 2 X) x � e = e � x = x:Elementul e se nume�ste elementul neutru a legii "�":

Teorema 0.1 (de unicitate a elementului neutru) Fie X o mult�ime �si " � " o lege decompozit�ie intern�a �n X. Dac�a " � " admite un element neutru atunci acesta este unic.

De�nit�ia 0.3 Dac�a o lege de compozit�ie intern�a " � " �n X admite un element neutru eatunci spunem c�a unui element x 2 X �i corespunde un element numit element simetric�n raport cu legea " � " dac�a exist�a x 2 X astfel �ncat

x � x = x � x = e: (1)

Teorema 0.2 (de unicitate a elementului simetric) Fie X o mult�ime �si " � " o legede compozit�ie intern�a �n X asociativ�a cu elementul neutru e. Dac�a un element x 2 X areun element simetric �n raport cu legea " � ", atunci acest element simetric este unic.

1

2 CAPITOLUL 0. STRUCTURI ALGEBRICE. DETERMINANT�I. MATRICE.

De�nit�ia 0.4 O lege de compozit�ie intern�a " � " �n X se nume�ste lege comutativ�a dac�a8x; y 2 X avem x � y = y � x:

De�nit�ia 0.5 Fie X o mult�ime �si "�" o lege de compozit�ie intern�a �n X. Perechea ordonat�a(X, �) se nume�ste semigrup dac�a legea " � " este asociativ�a.

De�nit�ia 0.6 Semigrupul (X, �) se nume�stemonoid dac�a legea "�" are �si element neutru.

De�nit�ia 0.7 Monoidul (X, �) se nume�ste grup dac�a legea "� " dac�a orice element din Xare simetric �n raport cu legea "�": Un grup (X, �) se nume�ste grup comutativ (abelian)dac�a legea " � " este comutativ�a.

Observat�ia 0.1 Dac�a (X, �) este un grup �si not�am legea " � " cu simbolul \ + "; atuncigrupul (X, +) se nume�ste grup aditiv, legea " + " se nume�ste adunarea elementelordin X, elementul s�au neutru se nume�ste zero �si se noteaz�a 0; iar simetricul unuielement x 2 X, se nume�ste opusul elementului x �n raport cu adunarea �n X, si senoteaz�a (�x): �n grupul aditiv (X, +) not�am x� y �n loc de x+ (�y):

Observat�ia 0.2 Dac�a (X, �) este un grup �si not�am legea "�" cu simbolul "�"; atunci grupul(X, �) se nume�ste grup multiplicativ, legea " � " se nume�ste �nmult�ire a elementelor dinX, elementul s�au neutru se nume�ste unitate �si se noteaz�a 1; iar simetricul unuielement x 2 X, se nume�ste inversul elementului x �n raport cu �nmult�irea �n X, si senoteaz�a x�1:

0.1.1 Mor�sme de grupuri

De�nit�ia 0.8 Fie (X,�) �si (Y; ?) dou�a grupuri. Aplicat�ia f : X! Y se nume�ste mor�smde grupuri dac�a satisface condit�ia:

8x; y 2 X : f(x � y) = f(x) ? f(y):

Dac�a mor�smul f este injectiv (respectiv surjectiv) atunci el se nume�stemonomor�sm(respectiv epimor�sm) de grupuri. Dac�a mor�smul f este biject�ie atunci grupurile (X,�)�si (Y; ?) se numesc izomorfe iar f : X! Y este un izomor�sm. Dac�a X � Y �si � � ?atunci orice izomor�sm f se nume�st�e automor�sm.

Observat�ia 0.3 Izomor�smul a dou�a grupuri identi�c�a un grup cu altul �si astfel din punctde vedere algebric este su�cient s�a se studieze unul din ele. Un mor�sm nu are aceast�aproprietate.

0.1. GRUPURI 3

0.1.2 Inele �si corpuri

De�nit�ia 0.9 Dac�a " � " �si " � " sunt dou�a legi de compozit�ie interne �n X, spunem c�alegea "�" este distributiv�a la stanga (respectiv la dreapta) �n raport cu lugea "�" dac�a

8x; y; z 2 X avem x � (y � z) = (x � y) � (x � z)

respectiv

8x; y; z 2 X avem (x � y) � z = (x � z) � (y � z)):

In cazul �n care legea "�" este distributiv�a la stanga �si la dreapta �n raport cu legea "�"spunem c�a legea " � " este dublu distributiv�a �n raport cu legea " � ":

De�nit�ia 0.10 Fie (X,+; �) o tern�a ordonat�a unde X este o mult�ime, "+" este operat�ia deadunare �n X, iar " � " este operat�ia de �nmult�ire �n X. Terna ordonat�a (X,+; �) se nume�steinel dac�a (X,+) este grup comutativ aditiv, iar �nmult�irea este asociativ�a ((X,�)este semigrup) �si dublu distributiv�a �n raport cu adunarea.

De�nit�ia 0.11 Un inel (X,+; �) se nume�ste inel comutativ dac�a �nmult�irea este comu-tativ�a.

Exemplul 0.1 Mult�imea Z a numerelor �ntregi �nzestrat�a cu operat�iile de adunare �si�nmult�ire este un inel comutativ cu element unitate.

Intr-un inel (X,+; �) elementul neutru fat��a de legea + se noteaz�a cu 0X sau, cand nu suntposibile confuzii, se noteaz�a cu 0: De asemenea elementul neutru fat��a de legea multiplicativ�ase noteaz�a cu 1X sau, cand nu sunt posibile confuzii, se noteaz�a cu 1:Este u�sor de demonstrat c�a �n orice inel (X,+; �);a = 0) a � b = 0;8b 2 Xb = 0) a � b = 0;8a 2 X;

dar nu �ntotdeauna a � b = 0) a = 0 sau b = 0. De exemplu �n inelul (M2(Z);+; �) avem:�1 00 0

��0 01 2

�=

�0 00 0

�:

De�nit�ia 0.12 Dac�a �ntr-un inel exist�a a 6= 0; b 6= 0; astfel �ncat a � b = 0 se spune c�a a�si b sunt divizori ai lui zero �si c�a inelul admite divizori ai lui zero. Orice inel care nuadmite divizori ai lui zero se nume�ste inel integru. Dac�a un inel integru este comutativ�si cu element unitate, el se nume�ste domeniu de integritate.

De�nit�ia 0.13 Un corp este un triplet (X,+; �) �n care- X are cel put�in dou�a elemente distincte f0; 1g ;- (X,+) este grup abelian cu elementul neutru 0,- (X,�) este grup cu elementul neutru 1, iar- operat�ia � este distributiv�a la dreapta �si la stanga fat��a de +.


De�nit�ia 0.14 Un corp (X,+; �) se nume�ste corp comutativ sau camp dac�a �nmult�ireaeste comutativ�a.

Observat�ia 0.4 Dac�a (X,+; �) este un corp, not�am xy�1 =x

y; x 2 X, y 2 X, y 6= 0:

Teorema 0.3 Corpurile nu au divizori ai lui zero. Orice corp comutativ este un domeniude integritate.

0.1.3 Mor�sme de corpuri

De�nit�ia 0.15 Fie (X,+; �) �si (Y,�;�) dou�a corpuri. Aplicat�ia f : X ! Y se nume�st�emor�sm de corpuri dac�a satisface relat�iile:

f(x+ y) = f(x)� f(y)8x; y 2 X;f(x � y) = f(x)� f(y)8x; y 2 X:

Dac�a �n plus, f este biject�ie, corpurile se numesc izomorfe iar f este un izomor�sm.

0.2 Matrice �si determinant�i

0.2.1 De�nit�ii �si notat�ii

De�nit�ia 0.16 Se nume�ste matrice cu m linii �si n coloane �si cu elemente din K, corpcomutativ (R sau C) funct�iaf : f1; 2; : : : ;mg � f1; 2; : : : ; ng ! K; f(i; j) = aij:Not�am matricea cu elementele (aij)i=1;m;j=1;n cu A = (aij)i=1;m;j=1;n �si cu Mm�n(K)

mult�imea acestor matrice.

Dac�a A 2Mm�n(K), vom nota matricea A sub forma

A =

0BBB@a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

...am1 am2 : : : amn

1CCCA ;adic�a printr-un tablou cu m linii �si n coloane care cont�ine valorile funct�iei f:In cazul m = n, se obt�ine mult�imea matricelor p�atratice de ordinul n, notat�aMn(K).

De�nit�ia 0.17 Dou�a matrice A = (aij)i=1;m;j=1;n; B = (bij)i=1;m;j=1;n 2 Mm�n(K) (ma-trice de acela�si tip); sunt egale dac�a aij = bij, pentru tot�i i = 1;m, j = 1; n.

Dac�a m = 1 Atunci A se nume�ste matrice linie �si se noteaz�a A = (a1; :::; an):

Dac�a n = 1 Atunci A se nume�ste matrice coloan�a �si se noteaz�a A =

0B@ a1...an

1CA :

0.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 5

0.2.2 Operat�ii cu matrice

De�nit�ia 0.18 Pentru orice A = (aij)i=1;m;j=1;n; B = (bij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(K) (matricede acela�si tip) de�nim legea de compozit�ie intern�a

A+B = (aij + bij)i=1;m;j=1;n (2)

numit�a suma matricei A cu matricea B.

Teorema 0.4 Mult�imea (Mm�n(K);+) formeaz�a �n raport cu operat�ia de adunare un grupaditiv abelian.

Demonstrat�ie. Adunarea este- asociativ�a, adic�a oricare ar � matriceleA;B;C 2Mm�n(K) : (A+B)+C = A+(B+C);- admite element neutru care este matricea ale c�arei elemente sunt toate egale cu 0,

notat�a 0Mm�n(K) �si se nume�ste matricea nul�a. Pentru orice A 2 Mm�n(K) avem A +0Mm�n(K) = 0Mm�n(K) + A = A- orice element dinMm�n(K) are un simetric, adic�a oricare ar � A 2 Mm�n(K), A =

(aij)i=1;m;j=1;n; exist�a o matrice notat�a �A = (�aij)i=1;m;j=1;n, numit�a opusa matricei A,A+ (�A) = (�A) + A = 0Mm�n(K):- comutativ�a, adic�a oricare ar � matricele A;B 2Mm�n(K) avem A+B = B + A:�Fie A 2Mm�n(K) �si B 2Mn�p(K).

De�nit�ia 0.19 Numim produs al matricei A cu matricea B matricea

A �B =

nXj=1

aijbjk

!i=1;m;k=1;p

2Mm�p(K): (3)

Observat�ia 0.5 A � B = ABm� n n� p m� p:

In raport cu operat�ia de �nmult�ire nu putem de�ni structuri algebrice decat pe mult�imeamatricelor p�atratice.

Teorema 0.5 (Mn(K); �) are structur�a de monoid.

Demonstrat�ie. Produsul astfel de�nit are propriet�at�ile:-este o lege de compozit�ie intern�a asociativ�a:8A;B,C 2Mn(K) ) (A �B) � C = A � (B � C):Folosind relat�ia (3) avem:

(A �B) � C =

nPk=1

nPj=1

aijbjk

!ckh

!i=1;n;h=1;n

=

nPk=1

nPj=1

aijbjkckh

!i=1;n;h=1;n

;


A � (B � C) =

nPj=1

aij

�nPk=1

bjkckh

�!i=1;n;h=1;n

=

nPj=1

nPk=1

aijbjkckh

!i=1;n;h=1;n

=

=

nPk=1

nPj=1

aijbjkckh

!i=1;n;h=1;n

;

de unde rezult�a asociativitatea deoarece ordinea de �nsumare �n sume duble �nite poate �schimbat�a.-admite element neutru �si anume matricea

In =

0BB@1 0 : : : 00 1 : : : 0: : : : : : : : : : : :0 0 : : : 1

1CCA ;sau In = (�ij)i=1;n;j=1;n, unde

�ij =

�1; dac�a i = j;0; dac�a i 6= j;

sunt simbolurile lui Kronecker. Matricea In are proprietatea c�a oricare ar � A 2 Mn(K),A � In = In � A = A: �In se nume�ste matricea unitate de ordinul n.S�a mai observ�am c�a dac�a A 2 Mn(K) �si B 2 Mn(K), de�si au sens produsele A � B �si

B � A, �n general, A �B 6= B � A, adic�a �nmult�irea matricelor nu este comutativ�a.

Teorema 0.6 Inmult�irea matricelor este distributiv�a �n raport cu adunarea lor, adic�a

8A;B;C 2 Mn(K) : A � (B + C) = A �B + A � C;8A;B;C 2 Mn(K) : (B + C) � A = B � A+ C � A:

Demonstrat�ie. Demonstr�am distributivitatea la stanga:Fie A,B,C 2Mn(K) ) A � (B + C) = A �B + A � C:Folosim relat�iile (2) �si (3) obt�inem:

A � (B + C) =

nPj=1

aij (bjk + cjk)

!i=1;n;k=1;n

=

nPj=1

aijbjk +nPj=1

aijcjk

!i=1;n;k=1;n

=

=

nPj=1

aijbjk

!i=1;n;k=1;n

+

nPj=1

aijcjk

!i=1;n;k=1;n

= A �B + A � C:�

Teorema 0.7 Mult�imea (Mn(K);+; �) este inel cu element unitate.

Demonstrat�ie. Demonstrat�ia a�rmat�iei rezult�a din Teoremele 0.4, 0.5 �si 0.6.�Fie A = (aij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(K) �si � 2 K.


De�nit�ia 0.20 Numim produs al matricei A cu scalarul � matricea

�A = (�aij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(K):

Inmult�irea cu scalari are urm�atoarele propriet�at�i:

1. �(A+B) = �A+ �B, 8� 2 K, 8A;B 2Mm�n(K);

2. (�+ �)A = �A+ �A, 8�; � 2 K, 8A 2Mm�n(K);

3. (��)A = �(�A), 8�; � 2 K, 8A 2Mm�n(K);

4. 1A = A, 8A 2Mm�n(K).

Fie A = (aij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(K).

De�nit�ia 0.21 Numim transpus�a a matricei A 2Mm�n(K) matricea notat�aAT = (aji)j=1;n;i=1;m 2Mn�m(K), care are drept linii, respectiv coloane, coloanele, respectivliniile matricei A.

Operat�ia de transpunere a unei matrice are urm�atoarele propriet�at�i:

1. (A+B)T = AT +BT ; 8A;B 2Mm�n(K);

2. (AB)T = BTAT ; 8A 2Mm�n(K);8B 2Mn�p(K);

3. (�A)T = �AT ; 8� 2 K; 8A 2Mm�n(K).

0.2.3 Determinantul unei matrice

Fie A = (aij)i=1;n;j=1;n 2Mn(K) o matrice p�atratic�a.

De�nit�ia 0.22 1. Fie M = f1; 2; :::; ng : Orice biject�ie � : M ! M se nume�ste per-mutare. Mult�imea tuturor permut�arilor lui M formeaz�a un grup notat prin Sn:

2. Spunem c�a permutarea � are o inversiune dac�a exist�a i < j pentru care avem�(i) > �(j):

3. O permutare se nume�ste par�a (respectiv impar�a) dac�a are un num�ar par (respectivimpar) de inversiuni.

4. Aplicat�ia " : Sn ! f�1; 1g ; "(�) =�1 dac�a � este par�a,�1 dac�a � este impar�a

se nume�ste sig-

natur�a, iar "(�) este signatura permut�arii �.


Exemplul 0.2 Dac�a M = f1; 2; 3; 4; 5g atunci � :�1 2 3 4 5 62 3 1 6 5 4

�este o permutare

din S6:Un exemplu de inversiune este � (2) = 3 > � (3) = 1: Inversiunile sunt: � (1) = 2 >

� (3) = 1; � (2) = 3 > � (3) = 1; � (4) = 6 > � (5) = 5; � (4) = 6 > � (6) = 4;� (5) = 5 > � (6) = 4: Num�arul de inversiuni este 5. Permutarea este impar�a, deci"(�) = �1:

De�nit�ia 0.23 Numim determinant al matricei A 2 Mn(K) elementul det(A) 2 K datde

det(A) =X�2Sn

"(�)a1�(1)a2�(2) : : : an�(n);

unde Sn este mult�imea permut�arilor mult�imii f1; 2; : : : ; ng; iar "(�) este signatura per-mut�arii �.

Determinantul matricei A se noteaz�a

detA =

��a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

�� :Propriet�at�ile determinant�ilor

1. Determinantul transpusei unei matrice este egal cu determinantul acelei matrice:det(AT ) = det(A).

Rezult�a c�a orice proprietate referitoare la liniile unui determinant este adev�arat�a �sipentru coloane.

2. Dac�a elementele unei linii se �nmult�esc cu un scalar �, atunci determinantul se �nmul-t�e�ste cu �. Analog �si pentru coloane.

3. Dac�a �ntr-un determinant se schimb�a �ntre ele dou�a linii, atunci se schimb�a semnuldeterminantului.

Consecint�e:

(i) Un determinant este nul dac�a:

- toate elementele unei linii sunt nule, sau

- are dou�a linii proport�ionale (deci �si dac�a are dou�a linii egale), sau

- una dintre linii este o combinat�ie liniar�a de dou�a linii.

(ii) Valoarea unui determinant nu se schimb�a dac�a la elementele unei linii ad�aug�amcombinat�ii liniare formate cu elementele altor dou�a sau mai multe linii.


Calculul determinant�ilor

In cazul determinant�ilor de ordin doi calculul se face conform relat�iei:�� a11 a12a21 a22

�� = a11a22 � a12a21:In cazul determinant�ilor de ordin trei calculul se face conform relat�iei:��a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

�� = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 � a13a22a31 � a12a21a33 � a11a32a23:Pentru determinant�i de ordin mai mare sau egal cu patru aceste reguli nu sunt valabile

�si se aplic�a pentru calculul lor regula lui Laplace.Fie A = (aij)i=1;n;j=1;n 2Mn(K) o matrice p�atratic�a �si p � n, un num�ar natural.

De�nit�ia 0.24 Numim minor de ordinul p al matricei A determinantul matricei deordinul p format cu elementele situate la intersect�ia a p linii �si p coloane ale matricei A.

Dac�a i1 < i2 < : : : < ip �si j1 < j2 < : : : < jp sunt p linii �si respectiv p coloane alematricei A, atunci minorul corespunz�ator este

M =

��ai1j1 ai1j2 : : : ai1jpai2j1 ai2j2 : : : ai2jp: : : : : : : : : : : :aipj1 aipj2 : : : aipjp

�� :De�nit�ia 0.25 Numim minor complementar al minorului M de ordin p al matricei Adeterminantul Mc de ordinul n � p al matricei extrase din A prin prin suprimarea celor plinii �si p coloane corespunz�atoare lui M:

Minorii de ordinul 1 ai matricii A sunt elementele sale, aij. Minorii complementari aiacestora sunt determinant�i de ordinul n� 1.

De�nit�ia 0.26 Numim complement algebric al minorului M al matricei A elementuldin K de�nit de C = (�1)sMc; unde s = (i1 + i2 + : : : + ip) + ( j1 + j2 + : : : + jp), adic�asuma indicilor liniilor �si coloanelor matricei A utilizate �n M .

Determinantul matricei p�atratice de ordinul n� 1 care se obt�ine din A prin suprimarealiniei i �si coloanei j se nume�ste minorul complementar al elementului aij �si se noteaz�acu Mij. Num�arul Cij = (�1)i+jMij se nume�ste complementul algebric al elementuluiaij.

Teorema 0.8 (Teorema lui Laplace) Determinantul matricei A este egal cu suma pro-duselor minorilor de ordinul p ce se pot construi cu elementele a p linii (coloane) �xate alematricei A prin complement�ii lor algebrici.


In particular, pentru p = 1, rezult�a c�a oricare ar � i 2 f1; 2; : : : ; ng �xat, are locegalitatea

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + � � �+ ainCin; (4)

numit�a regula de dezvoltare a determinantului matricei A dup�a linia i. In modasem�an�ator, pentru orice j 2 f1; 2; : : : ; ng �xat, are loc egalitatea

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + � � �+ anjCnj; (5)

numit�a regula de dezvoltare a determinantului matricei A dup�a coloana j.

Exemplul 0.3 S�a se calculeze valoarea determinantului

D=

��1 1 2 31 1 3 42 5 1 �1�1 �2 2 4

��folosind regula lui Laplace si dezvoltandu-l dup�a o linie �si apoi dup�a dou�a linii.

D =

�� 1 11 1

�� (�1)1+2+1+2 �� 1 �12 4

��+ �� 1 21 3

�� (�1)1+3+1+2 �� 5 �1�2 4

��+

�� 1 31 4

�� (�1)1+1+2+4 �� 5 1�2 2

��+ �� 1 21 3

�� (�1)1+2+2+3 �� 2 �1�1 4

��+

�� 1 31 4

�� (�1)2+1+2+4 �� 2 1�1 2

��+ �� 2 33 4

�� (�1)1+2+3+4 �� 2 5�1 �2

�� = �5:0.2.4 Determinantul produsului a dou�a matrice

Teorema 0.9 Determinantul produsului a dou�a matrice A �si B p�atratice de acelasi ordineste egal cu produsul determinant�ilor celor dou�a matrice, adic�a det(AB) = det(A) det(B).

Demonstrat�ie. Fie A = (aij)i=1;n;j=1;n, B = (bij)i=1;n;j=1;n, C = AB = (cij)i=1;n;j=1;n 2Mn(K), cu

cik =

nXj=1

aijbjk; i; k = 1; n: (6)

Construim matricea p�atratic�a de ordinul 2n

P =

0BBBBBBBBBB@

a11 a12 : : : a1n 0 0 : : : 0a21 a22 : : : a2n 0 0 : : : 0: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :an1 an2 : : : ann 0 0 : : : 0�1 0 : : : 0 b11 b12 : : : b1n0 �1 : : : 0 b21 b22 : : : b2n: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :0 0 : : : �1 bn1 bn2 : : : bnn

1CCCCCCCCCCA:


Dezvoltand determinantul matricei P , folosind Teorema lui Laplace, dup�a primele n linii,obt�inem det(P ) = det(A) det(B).Pe de alt�a parte, matricea P poate � transformat�a, f�ar�a a modi�ca valoarea determi-

nantului ei, folosind propriet�at�ile determinant�ilor, �ncat la intersect�ia ultimelor n linii �si ncoloane s�a obt�inem zerouri. Pentru aceasta este su�cient ca la elementele coloanei n+ k s�aadun�am elementele corespunz�atoare ale primelor n coloane �nmult�ite respectiv cu b1k, b2k,: : : , bnk, pentru k = 1; n. T� inand seama de (6), matricea P devine

Q =

0BBBBBBBBBB@

a11 a12 : : : a1n c11 c12 : : : c1na21 a22 : : : a2n c21 c22 : : : c2n: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :an1 an2 : : : ann cn1 cn2 : : : cnn�1 0 : : : 0 0 0 : : : 00 �1 : : : 0 0 0 : : : 0: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :0 0 : : : �1 0 0 : : : 0

1CCCCCCCCCCA:

Dezvoltand determinantul matricei Q, folosind Teorema lui Laplace, dup�a ultimele n linii,obt�inem det(Q) = (�1)2n(n+1) det(C) = det(C). Cum det(P ) = det(Q), deducem c�adet(AB) = det(A) det(B).�

0.2.5 Tipuri speciale de matrice.

De�nit�ia 0.27 Orice matrice p�atratic�a de tipul0BBB@�1 0 : : : 00 �2 : : : 0...

... : : :...

0 0 : : : �n

1CCCAse nume�ste matrice diagonal�a.

Fie A = (aij)i=1;n;j=1;n 2Mn(K).

De�nit�ia 0.28 Spunem c�a matricea p�atratic�a A este simetric�a dac�a AT = A �si antisi-

metric�a dac�a AT = �A.

De�nit�ia 0.29 Spunem c�a matricea p�atratic�a L este inferior triunghiular�a dac�a estede forma

L =

0BBBB@l11 0 0 � � � 0l21 l22 0 � � � 0l31 l32 l33 � � � 0� � � � � � � � � � � � � � �ln1 ln2 ln3 � � � lnn

1CCCCA :


De�nit�ia 0.30 Spunem c�a matricea p�atratic�a U este superior triunghiular�a dac�a estede forma

U =

0BBBB@u11 u12 u13 � � � u1n0 u22 u23 � � � u2n0 0 u33 � � � u3n� � � � � � � � � � � � � � �0 0 0 � � � unn

1CCCCA :

Observat�ia 0.6 Determinantul unei matrice triunghiulare inferior respectiv superior esteegal cu produsul elementelor de pe diagonala principal�a.

De�nit�ia 0.31 Spunem c�a matricea p�atratic�a A este ortogonal�a dac�a ATA = AAT = In:

Matrice inversabil�a

De�nit�ia 0.32 O matrice p�atratic�a A al c�arei determinant este diferit de zero se nume�stenesingular�a, iar dac�a det(A) = 0 matricea se nume�ste singular�a.

De�nit�ia 0.33 Spunem c�a matricea A 2 Mn(K) este inversabil�a dac�a exist�a o matricenotat�a A�1 2Mn(K) astfel �ncat

AA�1 = A�1A = In: (7)

Observat�ia 0.7 Matricea A 2Mn(K) este inversabil�a dac�a �si numai dac�a este nesingu-lar�a, adic�a det(A) 6= 0.

De�nit�ia 0.34 Matricea A�1 se nume�ste inversa matricei A.

Pentru calculul inversei matricei A se obt�ine mai �ntai matricea A� numit�a adjunctasau reciproca matricei A, �nlocuind �ecare element al matricei AT prin complementul s�aualgebric. Adic�a, A� =

�a�ij�i=1;n;j=1;n

, cu a�ij = Cji. Atunci

A�1 =1

det(A)A�:

Faptul c�a matricea A�1 astfel obt�inut�a veri�c�a (7) rezult�a imediat din (??). Operat�ia deinversare a matricelor are urm�atoarele propriet�at�i

(AT )�1 = (A�1)T ; (A�1)�1 = A;

(�A)�1 =1

�A�1; � 6= 0; (AB)�1 = B�1A�1:


0.2.6 Rangul unei matrice

De�nit�ia 0.35 Matricea A 2 Mm�n(K) are rangul r � min fm;ng dac�a exist�a �n A celput�in un minor de ordinul r diferit de zero �si tot�i minorii de ordin mai mare decat r, dac�aexist�a, sunt egali cu zero. Not�am rangul matricei A cu rang(A):

Propozit�ia 0.1 Fie A 2Mm�n(K) si B 2Mn�p(K) atunci

rang(AB) � min frang(A); rang(B)g :

Consecint�a 0.1 Fie A 2 Mm�n(K) si B 2 Mn(K); rang(B) = n: Atunci rang(AB) =rang(A); adic�a prin �nmultirea unei matrice cu o matrice nesingular�a rangul matricei produseste acela�si cu al matricei init�iale.

De�nit�ia 0.36 Matricele A;B 2Mm�n(K) se numesc echivalente dac�a au acela�si rang.

0.2.7 Transform�ari elementare ale liniilor unei matrice

Orice matrice A 2Mm�n(K) se poate scrie �n una din formele:

A =

0B@ L1...Lm

1CA ; cu ajutorul liniilor Li = � ai1 : : : ain�; i = 1;m sau

A =�C1 : : : Cn

�; cu ajutorul coloanelor, unde Cj =

0B@ a1j...amj

1CA ; j = 1; n:De�nit�ia 0.37 Numim transform�ari elementare asupra liniilor matricei A:

(1) T1 transformarea prin care se �nmult�e�ste o linie cu un scalar nenul;

(2) T2 transformarea prin care se schimb�a dou�a linii �ntre ele;

(3) T3 transformarea prin care se adun�a la elementele unei linii elementele corespunz�atoarealtei linii �nmult�ite cu un scalar.

Flosind scrierea matricei cu ajutorul liniilor, cele trei transform�ari elementare se reprezint�aprin schemele:

A =

[email protected]

1CCCCCA T1�!

0BBBBB@L1...�Li...Lm

1CCCCCA ; � 6= 0;


A =

0BBBBBBBBBB@

L1...Li...Lj...Lm

1CCCCCCCCCCAT2�!

0BBBBBBBBBB@

L1...Lj...Li...Lm

1CCCCCCCCCCA;

A =

0BBBBBBBBBB@

L1...Li...Lj...Lm

1CCCCCCCCCCAT3�!

0BBBBBBBBBB@

L1...Li + �Lj...Lj...Lm

1CCCCCCCCCCA:

De�nit�ia 0.38 Dou�a matrice de acela�si tip se numesc echivalente pe linii dac�a una seobt�ine din cealalt�a printr-un num�ar �nit de transform�ari elementare ale liniilor.

De�nit�ia 0.39 O matrice B 2 Mm�n(K) se nume�ste matrice e�salon dac�a satisfaceconditiile:a) primul element diferit de zero din �ecare linie cu elemente diferite de zero este 1,b) coloana care cont�ine num�arul 1 al unei linii este situat�a la dreapta coloanelor care

cont�in 1 de pe liniile precedente,c) num�arul 1 din condit�ia a) este singurul element diferit de zero din coloana �n care

acest num�ar se a �a,d) liniile cu elementele diferite de zero sunt �naintea liniilor care au toate elementele

egale cu zero.

Teorema 0.10 Orice matrice este echivalent�a pe linii cu o matrice e�salon.

Demonstrat�ie. Presupunem c�a A 2 Mm�n(K) �si c�a prima coloan�a a lui A care cont�ineun element diferit de zero este coloana de ordin j: Dac�a elementul de pe linia i �si coloanaj este diferit de zero, atunci facem transformarea Li ! 1

aijLi urmat�a de L1 $ Li �si astfel

matricea A se transform�a �n

B =

0BB@0 � � � 0 1 b1;j+1 � � � b1n0 � � � 0 b2j b2;j+1 � � � b2n� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �0 � � � 0 bmj bm+1;j � � � bmn

1CCA :�n continuare se aplic�a matricei B transform�arile Li ! Li � bijL1; i = 2;m �si se obt�ine

matricea


C =

0BB@0 � � � 0 1 c1;j+1 � � � c1n0 � � � 0 0 c2;j+1 � � � c2n� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �0 � � � 0 0 cm+1;j � � � cmn

1CCA :Dac�a dup�a aceste trnsform�ari se obt�in linii formate numai din elemente egale cu zero

atunci ele vor ocupa ultimele locuri �n matricea C: Procedeul se repet�a acum pentru sub-matricea format�a din liniile 2; 3; :::;m �si coloanele j + 1; :::; n:

In acest fel dup�a un num�ar �nit de asemenea transform�ari elementare se obt�ine o matricee�salon cu care matricea A de la care am plecat este echivalent�a pe linii.�Urm�atoarea observat�ie este util�a pentru realizarea unui program pe calculator care s�a

realizeze aceste transform�ari.

Observat�ia 0.8 Transform�arile elementare asupra liniilor se realizeaz�a �nmult�ind la stangamatricea A cu una din matricele:

T1. Transformarea prin care se �nmult�e�ste o linie a unei matrice cu un scalar � diferitde zero se realizeaz�a �nmult�ind la stanga matricea A cu matricea

Mi(�) =

2666641 0 : : 0 : 0: : : : : : :0 0 : : � : 0: : : : : : :0 0 : : 0 : 1

377775$ i

"i

det(Mi(�)) = � 6= 0T2. Transformarea prin care se schimb�a �ntre ele dou�a linii se realizeaz�a �nmult�ind la

stanga matricea A cu matricea

Mij =

2666666664

1 : 0 : 0 : 0: : : : : : :0 : 0 : 1 : 0: : : : : : :0 : 1 : 0 : 0: : : : : : :0 : 0 : 0 : 1

3777777775 i

j

" "i j

det(Mij) = �1 6= 0T3. Transformarea prin care se adun�a la o linie o alt�a linie (coloan�a) �nmult�it�a cu un

scalar � 6= 0 se realizeaz�a �nmult�ind la stanga matricea A cu matricea


Mij(�) =

2666666664

1 : 0 : 0 : 0: : : : : : :0 : 1 : � : 0: : : : : : :0 : 0 : 1 : 0: : : : : : :0 : 0 : 0 : 1

3777777775 i

j

" "i j

det(Mij(�)) = 1 6= 0:

Matricele obt�inute din matricea A prin transform�ari elementare au acela�si rang ca �simatricea A; deci sunt matrice echivalente cu matricea A.Matricele introduse mai sus Mi(�);Mij;Mij(�) poart�a denumirea de matrice ele-

mentare.

Teorema 0.11 Dac�a matricea B se obt�ine prin aplicarea a k transform�ari elementare lini-ilor lui A; atunci exist�a k matrici elementare E1; E2; :::; Ek astfel �ncat s�a avem

B = E1E2:::EkA: (8)

Observat�ia 0.9 Dac�a matricea A este inversabil�a �si consider�am �n (8) B = In atunciA�1 = E1E2:::Ek:

Ca o aplicat�ie a acestei observat�ii prezent�am de a calcula inversa unei matrice.

Exemplul 0.4 S�a se calculeze inversa matricei

a) A =

0@ 2 1 3�2 3 45 1 1

1A ;b) A =

0@ 0 1 11 0 11 1 0

1A, R:0@ �1

212

12

12�12

12

12

12�12

1A ;c) A =

0@ 1 1 11 2 21 2 3

1A, R:0@ 2 �1 0�1 2 �10 �1 1

1A :a) Deoarece det(A) = �31; matricea este inversabil�a. Scriem matricea A �si al�aturi

matricea unitate �si aplic�am transform�arile elementare pan�a ce obt�inem �n locul matricei Amatricea unitate iar �n locul matricei unitate vom obt�ine inversa matricei A:0@ 2 1 3

�2 3 45 1 1

1 0 00 1 00 0 1

1A 12L1 ! L1��!

0@ 1 12

32

�2 3 45 1 1

120 0

0 1 00 0 1

1A 2L1 + L2 ! L2�5L1 + L3 ! L3��!

0.3. SISTEME DE ECUAT�II ALGEBRICE LINIARE 170@ 1 12

32

0 4 70 �3

2�13

2

12

0 01 1 0�520 1

1A 14L2 ! L2��!

0@ 1 12

32

0 1 74

0 �32�13

2

12

0 014

140

�520 1

1A�12L2 + L1 ! L1

32L2 + L3 ! L3��!

0@ 1 0 58

0 1 74

0 0 �318

38

�180

14

14

0�17

838

1

1A�318L3 ! L3��!0@ 1 0 5

8

0 1 74

0 0 1

38�18

014

14

01731� 331� 831

1A �58L3 + L1 ! L1

�74L3 + L2 ! L2��!

0@ 1 0 00 1 00 0 1

131

� 231

58

�2231

1331

1431

1731

� 331� 831

1A :Rezult�a c�a

A�1 =

0@ 131

� 231

531

�2231

1331

1431

1731

� 331� 831

1A :Veri�care:0@ 131

� 231

531

�2231

1331

1431

1731

� 331� 831

1A0@ 2 1 3�2 3 45 1 1

1A =

0@ 2 1 3�2 3 45 1 1

1A0@ 131

� 231

531

�2231

1331

1431

1731

� 331� 831

1A =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1A :0.3 Sisteme de ecuat�ii algebrice liniare

0.3.1 Sisteme de m ecuat�ii cu n necunoscute

De�nit�ia 0.40 Prin sistem algebric liniar de m ecuat�ii cu n necunoscute �nt�elegem unansamblu de m relat�ii de forma8>><>>:

a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1;a21x1 + a22x2 + � � �+ a2nxn = b2;� � � � � � � � �am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = bm;

(9)

saunXj=1

aijxj = bi; i = 1;m

�n care aij, bi 2 K, i = 1;m, j = 1; n, sunt date, iar xj, i = 1; n sunt necunoscutelesistemului.

De�nit�ia 0.41 Matricea A = (aij)i=1;m;j=1;n 2 Mm�n(K) se nume�ste matricea coe�ci-ent�ilor, iar

B =

0BB@b1b2: : :bm

1CCA 2 Kmmatricea coloan�a a termenilor liberi.


Fie X = (x1; x2; : : : ; xn)T 2 Kn matricea coloan�a a necunoscutelor, atunci sistemul se

scrie sub forma matriceal�a

AX = B: (10)

Matricea (A;B) se nume�ste matricea extins�a a sistemului.

De�nit�ia 0.42 Prin solut�ie a sistemului (9) �nt�elegem orice n-uplu (�1; �2; : : : ; �n)T 2

Kn care veri�c�a toate cele m ecuat�ii ale sistemului, deci pentru care avem

nXj=1

aij�j = bi; i = 1;m:

Sistemul (9) se nume�ste compatibil dac�a are cel put�in o solut�ie �si incompatibil �n cazcontrar. Dac�a sistemul, compatibil are o singur�a solut�ie se nume�ste compatibil determi-nat, iar dac�a are mai multe solut�ii se nume�ste compatibil nedeterminat.Dou�a sisteme care au acelea�si solut�ii se numesc echivalente.

Teorema 0.12 (Teorema lui Kronecker-Capelli) Sistemul (9) este compatibil dac�a �sinumai dac�a rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse, adic�a

rang(A) = rang (A;B) :

Un minor nenul de ordinul r = rang(A) al matricei A se nume�ste minor principal.Ecuat�iile �si necunoscutele ale c�aror coe�cient�i intr�a �n formarea acestui minor se numescprincipale. Minorii de ordinul r + 1 obt�inut�i prin bordarea minorului principal cu ele-mentele corespunz�atoare ale coloanei termenilor liberi, precum �si cu cele ale uneia dintreliniile corespunz�atoare unei ecuat�ii secundare se numesc minori caracteristici. Pentruun sistem de m ecuat�ii, cu rangul matricei sistemului egal cu r, exist�a minori caracteristicinumai dac�a m > r, iar num�arul lor este m� r. Putem atunci formula teorema precedent�a�si astfel:

Teorema 0.13 (Teorema lui Rouch�e-Frobenius) Sistemul (9), cu r < m, este com-patibil dac�a �si numai dac�a tot�i minorii caracteristici sunt egali cu zero.

Teorema 0.14 Dac�a aplic�am transform�ari elementare liniilor matricei extinse a sistemului(9), se obt�in matrice extinse ale unor sisteme echivalente cu sistemul (9).

Demonstrat�ie.Ar�at�am c�a dac�a se aplic�a pe rand o transformare elementar�a Ti; i = 1; 2; 3 liniilor lui

(A;B) ; orice solut�ie a lui (9) este �si solut�ie a sistemului transformat.Prin transformarea T1 se �nmult�e�ste o linie a matricei (A;B) cu � 2 K;� 6= 0: Deci noul

sistem este de forma

0.3. SISTEME DE ECUAT�II ALGEBRICE LINIARE 198>>>><>>>>:a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1� � ��ai1x1 + �ai2x2 + � � �+ �ainxn = �bi� � �am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = bm

care este evident veri�cat de o solut�ie (�1; �2; : : : ; �n) a sistemului (9).Prin transformarea T2 nu se face altceva decat se schimb�a dou�a ecuat�ii �ntre ele, deci

solut�iile celor dou�a sisteme coincid.Dac�a aplic�am transformarea T3 matricei (A;B) ; obt�inem sistemul8>>>><>>>>:

a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1� � �(ai1 + �aj1)x1 + (ai2 + �aj2)x2 + � � �+ (ain + �ajm)xn = bi + �bj� � �am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = bm

: (11)

Este u�sor de v�azut c�a orice solut�ie a lui (9) este �si solut�ie a sistemului (11).�Fie r = rang(A). Presupunem c�a det (aij)i;j=1;r 6= 0. Prin transform�ari elementare

asupra liniilor, matricea (A;B) poate � adus�a la forma

(P;Q) =

0BBBBBBBB@

1 0 : : : 0 p1;r+1 : : : p1;n j q10 1 : : : 0 p2;r+1 : : : p2;n j q2: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : j : : :0 0 : : : 1 pr;r+1 : : : pr;n j qr0 0 : : : 0 0 : : : 0 j qr+1: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : j : : :0 0 : : : 0 0 : : : 0 j qm

1CCCCCCCCA; (12)

Sistemul care are drept matrice extins�a matricea (P;Q) este echivalent cu sistemul (9).I. Dac�a r = m sistemul este compatibil. Este compatibil determinat dac�a r = n �si

compatibil nedeterminat dac�a r < n:II. Pentru r < m din (12) deducem urm�atoarea teorem�a de compatibilitate.

Teorema 0.15 Sistemul (9) este compatibil dac�a �si numai dac�a tot�i

qr+1 = qr+2 = : : : = qm = 0:

Dac�a sistemul este compatibil �si r = n el are o singur�a solut�ie, adic�a este compatibildeterminat, iar dac�a r < n el admite1n�r solut�ii, adic�a este compatibil nedeterminat.In caz de compatibilitate, rezolvarea sistemului se face plecand de la matricea extins�a

sub forma (12). Metoda aceasta se nume�ste metoda elimin�arii (Gauss-Jordan).

Exercit�iul 0.1 S�a se discute �si, �n caz de compatibilitate, s�a se rezolve sistemul:8<:mx+ y + z = 1x+my + z = mx+ y +mz = m2

; unde m 2 R:


Folosind transform�ari elementare, matricea extins�a a sistemului se transform�a astfel:

(A j B) =

0@ m 1 11 m 11 1 m

1mm2

1AL1 $ L2��!

0@ 1 m 1m 1 11 1 m

m1m2

1AL2 ! L2 �mL1L3 ! L3 � L1��!

0@ 1 m 10 1�m2 1�m0 1�m m� 1

m1�m2

m2 �m

1A :Consider�am dou�a cazuri:1. m = 1 �n acest caz obt�inem:0@ 1 1 10 0 00 0 0

100

1A ;adic�a sistemul este compatibil nedeterminat. Solut�iile sistemului sunt:

8<:x = 1� �� y = �z = �

; �; � 2 R: (13)

2. m 6= 1 �n acest caz avem:0@ 1 m 10 1�m2 1�m0 1�m m� 1

m1�m2

m2 �m

1A L2 ! 11�mL2

L3 ! 11�mL3��!

0@ 1 m 10 1 +m 10 1 �1

m1 +m�m

1AL2 $ L3��!

0@ 1 m 10 1 �10 1 +m 1

m�m1 +m

1A L1 �mL2 ! L1L3 � (1 +m)L2 ! L3��!0@ 1 0 1 +m

0 1 �10 0 2 +m

m+m2

�m(m+ 1)2

1AAvem dou�a posibilit�at�i:2a) m = �2; deci0@ 1 0 1 +m0 1 �10 0 2 +m

m+m2

�m(m+ 1)2

1A!0@ 1 0 �10 1 �10 0 0

2�21

1A�n acest caz sistemul este incompatibil.2b) m 6= �2 �n acest caz continu�am aplicarea transform�arilor elementare �si obt�inem:0@ 1 0 1 +m0 1 �10 0 2 +m

m+m2

�m(m+ 1)2

1AL3 ! 12+m

L3��!

0@ 1 0 1 +m0 1 �10 0 1

m+m2

�m(m+1)2

m+2

1AL1 ! L1 � (m+ 1)L3

L2 ! L2 + L3��!

0@ 1 0 00 1 �10 0 1

�m+1m+21

m+2(m+1)2

m+2

1Aadic�a sisteml este compatibil determinat a c�arui solut�ie este:

0.3. SISTEME DE ECUAT�II ALGEBRICE LINIARE 21

8<:x = �m+1

m+2

y = 1m+2

z = (m+1)2

m+2

: (14)

�n concluzie pentru sistemul dat avem urm�atoarea discut�ie:

a) dac�a m 2 R n f�2; 1g sistemul are solut�ie unic�a dat�a de (14),b) dac�a m = �2 sistemul este incompatibil,c) dac�a m = 1 sistemul este compatibil nedeterminat cu solut�iile date de (13).

0.3.2 Sisteme Cramer

De�nit�ia 0.43 Un sistem liniar �n care r = m = n se nume�ste sistem Cramer. Unastfel de sistem se scrie:

nXj=1

aijxj = bi; i = 1; n;

cu det(A) 6= 0.

Un sistem Cramer este totdeauna compatibil determinat. Solut�ia sa se poate obt�ine cuformulele lui Cramer:

xj =det(Aj)

det(A); j = 1; n;

�n care matricea Aj se obt�ine din matricea A prin �nlocuirea coloanei j cu coloana termenilorliberi.

Exercit�iul 0.2 S�a se rezolve sistemul8>><>>:x1 + x2 + x3 + x4 = 12x2 + 2x3 + x4 = 2�2x1 + 2x2 � x4 = 33x1 + x2 � x3 = 4

:

Matricea sistemului este: A =

0BB@1 1 1 10 2 2 1�2 2 0 �13 1 �1 0

1CCA, det(A) = 4; deci este sistem

Cramer.

A1 =

0BB@1 1 1 12 2 2 13 2 0 �14 1 �1 0

1CCA, det(A1) = 4) x1 =det(A1)

det(A)= 1;


A2 =

0BB@1 1 1 10 2 2 1�2 3 0 �13 4 �1 0

1CCA, det(A2) = 6) x2 =det(A2)

det(A)=3

2;

A3 =

0BB@1 1 1 10 2 2 1�2 2 3 �13 1 4 0

1CCA, determinant: 2, det(A3) = 2) x3 =det(A3)

det(A)=1

2;

A4 =

0BB@1 1 1 10 2 2 2�2 2 0 33 1 �1 4

1CCA, det(A4) = �8) x4 =det(A4)

det(A)= �2:

Sisteme omogene

De�nit�ia 0.44 Un sistem liniar cu tot�i bi = 0, i = 1;m, se nume�ste omogen. El are deciforma

nXj=1

aijxj = 0; i = 1;m:

Un sistem omogen este totdeauna compatibil. El admite cel put�in solut�ia banal�a:x1 = x2 = : : : = xn = 0:Un sistem omogen cu n necunoscute �si rangul r admite �si solut�ii diferite de solut�ia

banal�a dac�a �si numai dac�a r < n:Un sistem omogen de n ecuat�ii cu n necunoscute admite �si solut�ii diferite de solut�ia

banal�a dac�a �si numai dac�a det(A) = 0:

Exercit�iul 0.3 S�a se stabileasc�a dac�a sistemul de ecuat�ii de mai jos admite solut�ii diferitede solut�ia banal�a �si �n caz a�rmativ s�a se a e aceste solut�ii:8<:

x+ y � 2z = 02x� y � z � 3u = 0x+ 2y � 3z + u = 0

:

Calcul�am matricea e�salon a matricei sistemului. Obt�inem:0@ 1 1 �2 02 �1 �1 �31 2 �3 1

1A L2 � 2L1 ! L2L3 � L1 ! L3��!

0@ 1 1 �2 00 �3 3 �30 1 �1 1

1A�13L2 ! L2��!0@ 1 1 �2 0

0 1 �1 10 1 �1 1

1A L1 � L2 ! L1L3 � L2 ! L3��!

0@ 1 0 �1 �10 1 �1 10 0 0 0

1ASistemul admite solut�ii diferite de solut�ia banal�a �si anume�x = z + uy = z � u :

Capitolul 0 Structuri algebrice. Determinant˘i....

Documents

Transcript of Capitolul 0 Structuri algebrice. Determinant˘i....