5. Modelul geometric direct

Modelul geometric direct realizează transformarea de la spaţiul robot la spaţiul

de lucru, adică se calculează vectorul generalizat al poziţiei x (v. rel. (15) funcţie de

vectorul coordonatelor robot q = (q1 q2 …q6)T.

Primele 3 componente ale lui x sunt coordonatele carteziene ale punctului

caracteristic:

,

care se obţin pe baza rel. (10) aplicată punctului caracteristic ce se află pe elementul n

al structurii (i = n). Se notează şi , oţinându-se:

(17)

Matricea T (v. rel.(9) ) constă în produsul a n matrice de Ai de transformare între

două elemente succesive:

(18)

Pentru a defini matricele descrise mai înainte este necesară adoptarea

sistemelor locale de axe.

În ceeace priveşte originea aceastora poate fi luată în centrul cuplelei dintre

elementul considerat şi cel aflat înainte în lanţul cinematic. În acest caz este posibil

calculul matriceal cu ajutorul matricelor T , ca mai sus. În calculul dinamic al

structurii se recomandă adoptare originii în centrul de masă al corpurilor. Asupra

acestui aspect se va reveni, mai departe.

În privinţa dispunerii propriuzise a axelor, este cunoscută recomandarea

Denavitt – Hartenberg care este avantajosă în cazul automatizării introducerii

configuraţiei structurii (metodici simbolice). Unele ambiguităţi ce apar la cofiguraţii

ce au cuple de translaţie, fac să nu fie general folosită. În general se pot face

următoarele recomandări la adoptarea sistemelor de axe:

- axele cuplelor sunt alese ca axe OZ;

- la elementele sub formă de bară, axa barei se ia ca axă OX.

Matricele vor depinde de coordonatele robot care sunt unghiurile de

poziţie relativă dintre elemente în cazul cuplelor de rotaţie şi poziţia liniară relativă

a elementelor în cazul cuplelor de translaţie. Fiecare dintre matricele A i depinde

numai de coordonata sa robot qi .

Calculul produsului din rel. (18) pentru obţinerea lui T se face numeric, prin

programare.

Ultimele 3 componente ale lui x reprezintă orientarea OL dată, de exemplu,

prin vectorul coordonatelor Kardan:

Vectorul xk se obţine din matricea S care reprezintă primele trei linii şi primele trei

coloane sale matricei T (v. & 4.1).

Modelul geometric direct permite calculul nu numai într-un singur punct, ci şi

stabilirea spaţiului de lucru al structurii. Spaţiul de lucru este dat de multitudinea

de puncte pe care le poate ocupa obiectul de lucru când se modifică coordonatele

robot în limitele constructiv-funcţionale ale cuplelor. Practic se dau aceste limite prin

vectorii:

;

între care variază vectorul coordonatelor robot.

Prin programul de calcul pe lângă determinările numerice legate de poziţie şi

de orientare se poate realiza şi partea grafică care conţine cel puţin două vederi ale

spaţiului de lucru şi secţiunea cu un plan vertical al acestuia.

Mai jos este dat un exemplu de calcul al modelului geometric direct pentru

o structură simplă RRR (fig. 8). Evident, această structură incompletă poate ilustra

numai obţinerea poziţiei carteziene a unui punct şi nu şi orientarea unui OL. Exemplul

este adoptat pentru simplitatea sa.

Sunt 3 elemente mobile: 1, 2 şi 3 şi un element fix: 0. Cuplele sunt toate de

rotaţie. Numărul de cuple este egal cu cel al elementelor mobile.

Se adoptă sistemele de axe legate de fiecare corp {0}, {1}, {2} şi {3}.

Originile sistemelor se dispun în centrul cuplelor.

Fig. 8

Cele 3 matrice de transformare corespund rotaţiei în jurul axelor de coodonate

(v.& 3).

Pentru prima cuplă dintre elementele 0 şi 1:

În scrierea elementelor matricelor a fost scris concentrat: şi ,

etc. Primele trei elemente ale ultimei coloane corespund vectorului originii O1 a {1}

proiectată în {0}:

Pentru a doua cuplă dintre elementele 1 şi 2:

Primele trei elemente ale ultimei coloane corespund vectorului originii O2 a {2}

proiectată în {1}:

Pentru a treia cuplă dintre elementele 2 şi 3:

primele trei elemente ale ultimei coloane corespund vectorului originii O3 a {3}

proiectată în {2}:

Matricea T se obţine cf. (18):

Se efectuează iniţial produsul:

Se face, apoi, produsul: , obţinând:

Se notează: , şi şi după unele grupări, se poate scrie

matricea T astfel:

Punctul M aparţinând elementului 3 se poate exprima în sistemul local de axe

{3} astfel:

Vectorul a fost exprimat completat cu a 4-a componentă pentru a putea efectua

calculele corespunzător cu matricea T (4x4).

Coordonatele punctului M exprimate în sistemul fix {0} se obţin cf. (17):

După efectuarea calculului se obţine:

Deci coordonatele carteziene ale punctului M exprimate în {0} sunt:

(19)

Relaţiile (19) reprezintă soluţia modelului geometric direct al structurii RRR

date, cu punctual M ce aparţine elementului 3.

În fişierul “ExStr5.mcd”, în prima parte, este efectuată rezolvarea de mai sus

prin calcul simbolic. Se face, apoi, calculul numeric al modelului geometric direct

pentru un punct şi, în final, este obţinut spaţiul de lucru al acestei structuri pentru un

domeniu de variaţie al coordonatelor robot.