Strategii pentru testarea seriilor

November 24, 2009

Cunoa�stem deja o serie de metode de stabilire a naturii unei serii; pro-blema este s�a decidem ce criteriu s�a aplic�am pentru o serie anume.

Nu este productiv s�a aplic�am criteriile pe rand pan�a cand unul d�a rezul-tate. Strategia principal�a const�a �n a clasi�ca seriile dup�a forma lor.

1. Dac�a seria este de formaP

1n�

atunci este o serie armonic�a generali-zat�a, despre care se �stie c�a este convergent�a pentru � > 1 �si este divergent�apentru � 6 1.

2. Dac�a seria este de formaP

aqn�1 sauP

aqn, este o serie geometric�a,ce converge pentru jqj < 1 �si diverge cand jqj > 1. Uneori pot � necesareni�ste calcule algebrice pentru a aduce seria la aceast�a form�a.

3. Dac�a seria are o form�a similar�a unei serii armonice sau unei serii geo-metrice, atunci trebuie considerat unul dintre criteriile de comparat�ie. Inparticular dac�a an este o funct�ie rat�ional�a de n, atunci seria trebuie com-parat�a cu o serie armonic�a. Criteriile de comparat�ie se aplic�a doar seriilor cutermeni pozitivi, dar dac�a

Pan are cat�iva termeni negativi, atunci putem

aplica criteriile de comparat�ie serieiPjanj �si testa convergent�a absolut�a.

4. Dac�a se observ�a u�sor c�a limn!1

an 6= 0, atunci se aplic�a criteriul su�cient

de divergent��a (al lui Cauchy).5. Dac�a seria este de forma

P(�1)n�1bn sau

P(�1)nbn, atunci este

evident c�a se va �ncerca aplicarea criteriului lui Leibniz.6. Seriile care cont�in factoriale sau alte produse (chiar �si o constant�a

ridicat�a la puterea a n-a) sunt adesea tratate convenabil prin criteriul rapor-

tului (al lui D'Alembert). Se va avea �n vedere c�a���an+1an

��� ! 1 pentru seriile

armonice �si �n consecint��a pentru toate funct�iile rat�ionale sau algebrice �n n.Deci criteriul nu este aplicabil �n astfel de cazuri.

7. Dac�a an este de forma (bn)n atunci criteriul r�ad�acinii (al lui Cauchy)

se poate dovedi folositor.

8. Dac�a an = f(n), iar limn!1

nR

1

f(t)dt se calculeaz�a cu u�surint��a, atunci

1

criteriul integral al lui Cauchy este aplicabil (cu condit�ia ca ipotezele acestuias�a se veri�ce).

S�a se studieze natura seriilor:

1.1P

n=1

n2�1n2+n

2.1P

n=1

n�1n2+n

3.1P

n=1

1n2+n

4.1P

n=1

(�1)n�1 n�1n2+n

5.1P

n=1

(�3)n+123n

6.1P

n=1

�3n

1+8n

�n

7.1P

n=1

1nplnn

8.1P

k=1

2kk!(k+2)!

9.1P

k=1

k2e�k

10.1P

n=1

n2e�n3

11.1P

n=2

(�1)n+1n lnn

12.1P

n=1

(�1)n nn2+25

13.1P

n=1

3nn2

n!

14.1P

n=1

sinn

15.1P

n=0

n!2�5�8�:::�(3n+2)

16.1P

n=1

n2+1n3+1

17.1P

n=1

(�1)n21=n

18.1P

n=2

(�1)n�1pn�1

19.1P

n=1

(�1)n lnnpn

2

20.1P

k=1

k+55k

21.1P

n=1

(�2)2nnn

22.1P

n=1

pn2�1

n3+2n2+5

23.1P

n=1

tg 1n

24.1P

n=1

cos n2

n2+4n

25.1P

n=1

n!

en2

26.1P

n=1

n2+15n

3