Statistica - Capitolul3
Transcript of Statistica - Capitolul3
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
1/32
Capitolul 3
CERCETAREA SELECTIV
3.1. INDICATORI: DEFINIRE, FORMULE DE CALCUL
Principalele noiuni pereche din colectivitatea general i dincolectivitatea de selecie:
Tabelul 3.1.
Denumirea Caracteristica nealternativ Caracteristica alternativindicatorului Colectivitatea
generalColectivitate de
selecieColectivitatea
generalColectivitate
de selecieA 1 2 3 4
N
x
x
N
i
i== 10
n
x
x
n
i
i== 1 N
MP=
n
mw =
Media
Dispersia
N
xxN
1i
2
0i20 =
=
)(
n
xxn
1i
2
i2
=
=
)(
)( p1p2
p =
)( w1w2
w
=
Abaterea medieptratic
200 =
2 = 2pp =
2ww =
Eroarea de reprezentativitate:
0xxEr =
Condiia ca media eantionului s fie reprezentativ:
%5100x
xx
0
0
Eroarea medie de reprezentativitate:
=
=
==k
1s
s
k
1s
s2
0s
xx
n
nxx )(
n care :k- reprezint numrul eantioanelor posibile;
ns- frecvenele mediilor de selecie posibile.Eroare limit maxim admis )( x .
xx z=
unde coeficientul reprezint argumentul funciei Laplace pentru probabilitatea cu care se garanteaz rezultatele.z
)(z
102
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
2/32
SELECIA ALEATOARE SIMPL
Selecia aleatoare simpl se aplic n cazul colectivitilor omogene dincare se extrag uniti simple folosind procedee de selecie aleatoare.
Eroarea medie de reprezentativitate pentru selecie repetat:
nn
220
repx
=
pentru selecie nerepetat:
=
N
n1
n1N
nN
n1N
nN
n
2220
nerepx
Pentru caracteristica alternativ, eroarea medie de reprezentativitate se vanota cu w , deci:
pentru selecia repetat:n
w1wn
p1prepw )()( =
pentru selecia nerepetat)(
)()(
)(
N
n1
n
w1w
N
n1
n
p1pnerepw
=
=
Eroarea limit maxim admis:
pentru selecie repetatrepxx z = respectiv repww z =
pentru selecie repetatrepxx z ne= respectiv repww z ne=
Intervalul de ncredere al medieicolectivitii generale: pentru caracteristica nealternativ:
x0x xxx +
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
3/32
Volumul eantionului
pentru sondajul simplu repetat:n
z20
x
= de unde:
2x
20
2zn
=
pentru sondajul simplu nerepetat:
=
N
n1
nz
20
x
de unde:
N
z
zn
20
22x
20
2
+
=
Redimensionarea eantionului prin modificarea erorii limite maxime
admise ( 'x ):
pentru selecie repetat:( )2x
22zn
''
=
pentru selecie nerepetat:
( )N
z
zn
22
x
22
+
='
'
SELECIE TIPIC (STRATIFICAT)
Selecia tipic se aplic n cazul colectivitilor neomogene formate dinuniti simple mprite n grupe (straturi, subcolectiviti) ct mai omogene cuevidenierea tipurilor calitative.
Eantionul se obine prin extragerea de subeantioane din straturilepopulaiei totale prin procedee de selecie aleatoare.
n vederea repartizrii eantionului pe subeantioane corespunztortipurilor calitative, se pot aplica trei modaliti.
1. Repartizarea n mod egal a eantionului pe subeantioane indiferent denumrul unitilor ce compun straturile populaiei totale:
k
nni =
unde:ni dimensiunea fiecrui subeantion;k numrul de straturi n populaia total.
Acest tip de selecie mai poart denumirea de selecie tipic (stratificat)neproporional.
2. Eantionul se separ pe subeantione n funcie de ponderea fiecruistrat n colectivitatea general:
104
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
4/32
======ii
i
i
i
2
2
1
1
N
n
N
n
N
n
N
n
N
n......
de unde:
i
ii
N
Nnn
=
Acest tip de selecie se mai numete selecia tipic (stratificat)proporional.
3. La formarea subeantioanelor se ia n consideraie att pondereafiecrui strat n colectivitatea general ct i gradul de omogenitate alstraturilor, reprezentat de abaterea ptratic medie:
=
=k
1i
ii
iii
N
Nnn
Acest tip de selecie se mai numete selecia tipic (stratificat)optim deoarece d cele mai mici erori n practic, dar este greu deaplicat.
Relaiile de calcul n cazul sondajului tipic proporional: eroarea medie de reprezentativitate:
n
2
y
= pentru selecia repetat
=
N
n1
n
2
y
pentru selecia nerepetat
eroarea limit maxim admisn
z2
y
= pentru selecia repetat
=
N
n1
nz
2
y
pentru selecia nerepetat
estimarea mediei la nivelul colectivitii generaley0y yyy +
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
5/32
estimarea nivelului totalizat al caracteristicii)()( y
N
1i
iy yNyyN +
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
6/32
pentru caracteristici alternative
r
2p
w
=rep
.nerep 1R
rR
r
2p
w
=
Eroarea limit maxim admis
rz
2
x
= pentru selecia repetat
=
1R
rR
rz
2
x
pentru selecia nerepetat
Dimensionarea eantionului
2x
22z
n
=
pentru selecia repetat
222x
22
z1R
Rzn
+=
)(pentru selecia nerepetat
Teste de semnificaie
Se pornete de la ipoteza diferenei nule care presupune c nu existdiferene semnificative ntre valorile de sondaj i parametrii populaiei sau ntre
valorile de sondaj a dou eantioane aleatoare.Compararea mediei de sondaj cu media populaiei ntr-o repartiie
normal
n
xxt 0
/
=
Dac pentru un nivel de semnificaie de 5%, 961t ,> se respinge ipoteza
diferenei nule.
Compararea mediilor a dou eantioane mari
2
22
1
21
21
nn
xx
t +
=
107
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
7/32
Se accept ipoteza i se consider diferenele nesemnificative dac |t|2,58 (nivel de semnificaie 1%).
Compararea a dou proporii de sondaj pentru o caracteristicalternativ
Cazul 1 (nu cunoatem proporia p n cele dou populaii din care s-auformat eantioanele)
Admitem c:21
2211
nn
wnwnp
+
+=
Dac
+
21
21
n
1
n
1qp
ww> 3,
diferena dintre cele dou proporii este semnificativ.
Cazul 2 (proporiile n cele dou populaii din care s-au formateantioanele nu sunt egale, fapt pentru care se folosesc dispersiile eantioanelor)
Dac
2
22
1
11
21
n
w1w
n
w1w
ww
)()( +
> 3
diferena dintre cele dou proporii este semnificativ.
Cazul 3 (comparm proporiile eantioanelor cu21
2211
nn
wnwnp
+
+= )
Calculm, de exemplu:
1
2
21
11
n
n
nn
qpwpt
+
=
Dact1 > 3, diferena este semnificativ.Pentru eantioanele de volum redus se folosete testul lui Student.
Compararea mediei de sondaj cu media populaiei ntr-o repartiieStudent
1n
xxt 0calc
=
/
tabelart se determin pentru un anumit nivel de semnificaie i (n-1) grade de
libertate.Dac tcalculat
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
8/32
Compararea dispersiilor necunosute a dou eantioane de volum redus
21
21calc
n
1
n
1S
xxt
+
=
unde2nn
xxxx
S21
n
1i
n
1i
2
2i
2
1i
1 2
+
+
= = =)'()(
Dactcalculat
109
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
9/32
3.2. PROBLEME REZOLVATE
Problema 1: Pentru un eantion de 50 clieni (persoane fizice) ai uneibnci se cunosc datele:
Tabelul 3.2.
Grupe de clieni dup valoareadepozitelor bancare (mii RON)Numr clieni
0 1
Sub 2 52-4 154-6 206-8 8
Peste 8 2Total 50
Se cere:
1. estimai limitele ntre care se vor ncadra valoarea medie i valoareatotal a depozitelor bancare n colectivitatea general dac eantionulreprezint 10% din totalul clienilor, s-a format prin selecie nerepetat,iar probabilitatea cu care se garanteaz rezultatele este 0,9545 (z =2 );
2. determinai noul volum al eantionului dac eroarea limit maximadmis este de 0,8 mii RON;
3. transformai variabila valoarea depozitului n variabil alternativ(binar) lund drept prag limita inferioar a intervalului n care segsete media;
4. estimai limitele ntre care se va ncadra proporia clienilor cu valoareadepozitelor mai mic dect valoarea luat ca prag.
Rezolvare
Suntem n cazul sondajului aleatoriu simplu.1. Pentru estimarea parametrilor colectivitii generale trebuie efectuate
urmtoarele calcule n prealabil: calcularea mediei eantionului:
48450
298720515351
n
nx
x5
1i
i
5
1i
ii
,=++++
=
=
=
= mii RON/client
calcularea dispersiei:
110
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
10/32
80963
50
24849
84847
204845
154843
54841
n
nxx
22222
5
1i
i
5
1i
ii
2
2
,
,,,,, )()()()()(
)(
=
=++++
=
=
=
=
=
calcularea erorii limite maxime admise:
5209050
809632
N
n1
nzz
2
xx ,,,
==
== mii RON/client
Estimarea mediei n colectivitatea general:
/clientRONmii,
,,,,
5x963
520484x520484
xxx
0
0
x0x
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
11/32
4. n cazul variabilei alternative, indicatorii se calculeaz astfel : media
4050
20
n
mw ,===
Interpretare: 40% dintre clieni au valoarea depozitelor peste 4 miiRON.
dispersia240w1w2w ,)( ==
eroarea limitmaximadmis:13090
50
2402
N
n1
nzz
2w
ww ,,,
)( ====
Estimarea proporiei clienilor cu valoarea depozitelor sub valoareaconsiderat drept prag (4 mii RON):
530p270
13040p13040
wpw ww
,,
,,,,
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
12/32
Rezolvare
Suntem n cazul sondajului simplu nerepetat.1. Pentru estimarea parametrilor n populaia total este necesar s se
calculeze eroarea limit maxim admis:
37890100
900
3N
n
1nzz
2
xx ,,==
==
mii RONEstimarea valorii medii a ncasrilor:
37208x63181
378200x378200
xxx
0
0
x0x
,,
,,
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
13/32
1145113
1000
900395157
9003n 2
2
2
=
+
= ,
,
' uniti hoteliere
A sczut eroarea limit maxim admisi a crescut volumul eantionului.ntre eroarea limit maxim admisi volumul eantionului exist relaie
de invers proporionalitate.
2.3. Pentru dimensionarea unui nou eantion cnd scade probabilitatea cucare se garanteaz rezultatele se folosete relaia:
( )
( )( )
N
z
zn
222
x
22
+
=
'
'; 2z=' ;
498748
1000
9002378
9002n
22
2
=
+
= ,
,uniti hoteliere
ntre probabilitatea cu care se garanteaz rezultatele i volumul
eantionului exist relaie de direct proporionalitate.
Problema 3: Pentru un eantion de 100 sucursale ale unor bncicomerciale din Romnia se cunosc datele:
Tabelul 3.4.
Grupe de sucursale dup valoarea depozitelorbancare existente la 1 ianuarie 2006 (mii RON)
Grupe de
sucursale
dup numrulde angajai
Sub200
200-240
240-280
280-320
320 ipeste
Total
A 1 2 3 4 5 6
Sub 30 10 25 20 - - 5530 i peste - 5 20 15 5 45
Total 10 30 40 15 5 100
Se cere:1. s se estimeze limitele ntre care se vor ncadra valoarea medie a
depozitelor bancare i valoarea total a depozitelor pentrucolectivitatea general, tiind c eantionul reprezint 10% din totalulsucursalelor bancare, s-a format prin selecie nerepetat i rezultatelese garanteaz cu o probabilitate de 0,9973 (z=3);
2. s se stabileasc care ar fi dimensiunea eantionului dac eroarealimit ar crete cu 20%; s se distribuie noul eantion pesubeantioane;
3. s se stabileasc ce volum al eantionului ar fi fost necesar dac s-ar fiutilizat sondajul aleatoriu simplu i s-ar fi dorit asigurarea aceleiai
precizii a rezultatelor;
114
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
14/32
4. s se estimeze procentul maxim al sucursalelor care au o valoare adepozitelor de cel puin 240 mii RON;
5. s se estimeze valoarea medie a depozitelori valoarea total la nivelulcolectivitii generale pentru sucursalele care au sub 30 de angajai.
Rezolvare
Suntem n cazul sondajului stratificat nerepetat.1. Pentru estimarea parametrilor populaiei totale sunt necesare o serie de
calcule prealabile: calculul mediei generale:
=++++
=
=
=
=
=
=
=
100
534015300402603022010180
n
ny
n
ny
y5
1j
j
5
1j
jj
m
1j
j
m
1j
jj
.
.
.
.
= 250 mii RON / sucursal
calculul mediilor de grup:
=
=
=m
1j
ij
m
1j
ijj
i
n
ny
y
,2722755
202602522010180
n
ny
y5
1j
j1
5
1j
j1j
1 =++
=
=
=
= mii RON/sucursal
7727745
534015300202605220
n
ny
y5
1j
j2
5
1j
j2j
2 ,=+++
=
=
=
= mii RON/ sucursal
Calculul dispersiilor de grup:
( )
=
=
=m
1j
ij
m
1j
ij
2
ij
2i
n
nyy
115
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
15/32
8381955
202722726025272272201027227180
n
nyy
222
5
1j
j1
5
1j
j11j
2
21
,),(),(),(
)(
=++
=
=
=
=
=
171106
45
5772773401577277300 22077277260577277220
n
nyy
222
5
1j
j2
m
1j
j22j
2
22
,
),(),(),(),(
)(
=
=+++
=
=
=
=
=
Calculul mediei dispersiilor de grup
68948100
451711065583819
n
n
n
n
2
1i
i
2
1i
i2i
r
1i
i
r
1i
i2i
2 ,,,
=+
=
=
=
=
=
=
=
Calculul erorii limite maxime admise:
76890100
689483
N
n1
nzz
2
yy ,,,
)( ====
mii RON
Estimarea valorii medii a depozitului:
alRON/sucursmii,,
,,
76258y24241
768250y768250
yyy
0
0
y0y
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
16/32
2. Dimensionarea noului volum al eantionului:
( )N
z
zn
22
y
22
+
=
'
512102176821yy ,,,,' === mii RON
727271
1000
6894835110
689483n2
2=
+
= ,,
,
,' sucursale
Distribuirea noului volum al eantionului pe subeantioane : distribuirea neproporional (eantioane de volum egal):
362
72
r
nni ===
'' sucursale
distribuirea proporional (considernd c eantioanele respectstructura colectivitii generale):
4063972
100
55n1 == ,
' sucursale au sub 30 de angajai
3272100
45n2 =
' sucursale au peste30 de angajai
distribuirea optim (la formarea subeantioanelor se ia nconsiderare att ponderea fiecrui strat n colectivitatea general,ct i gradul de omogenitate al straturilor reprezentat de abatereamedie ptratic):
40936253245632855
63285572
n
nnn
2
1i
11
111 =
+
==
=
,..
.''
sucursale au sub 30 ang.
32253245632855
25324572
n
nnn 2
1i
22
222 +
==
=
.. .''
sucursale au peste 30 angajai.
3. Relaia de calcul a noului volum al eantionului n cazul sondajuluisimplu nerepetat este:
( )N
z
zn
222
y
22
+
='
Deoarece nu cunoatem dispersia total din colectivitatea general, cinumai datele despre eantionul format prin respectarea principiilor unei scheme
probabilistice, putem nlocui acest indicator prin dispersia total a datelor dineantion.
Calcularea dispersiei totale a datelor din eantion:
117
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
17/32
( )
1580100
5250340152503002
100
40250260 23025022010250180
n
nyy
2
22
m
1j
j
m
1j
j
2
j
2
=
++
+++
=
=
=
=
)()(
)()()(
.
.
15633156
1000
15803768
15803n
22
2
=
+
= ,
,
' sucursale
Se observ c volumul eantionului n cazul sondajului simplu e mai maredect volumul eantionului n cazul sondajului stratificat pentru acelai grad dereprezentativitate.
4. Estimarea valorii medii a depozitelor pentru sucursalele care au sub 30de angajai.
11y110y1 yyy +
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
18/32
n vederea estimrii procentului maxim sunt necesare urmtoarele calcule: calcularea mediilor de grup pentru caracteristica alternativ ( w ) i a
mediei pe total (w) (vezi tabelul 3.4, coloana 4)i
calcularea dispersiilor de grup ( vezi tabelul 3.4, coloana 5)2wi calcularea mediei dispersiilor de grup:
174240100
45105605523040
n2
1i
i
2
1i
2w
w
i
,,,
=+
==
=
=
calcularea erorii limite maxime admise:1188090
100
1742403
N
n1
nzz
2w
ww ,,,
)( ====
Estimarea proporiei n colectivitatea general:
ww wpw +
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
19/32
nerepetat, iar rezultatele se garanteaz cu o probabilitate de 0,9973(z=3);
2. s se estimeze volumul eantionului dac probabilitatea cu care segaranteaz rezultatele este 0,9545 (z=2) i s se precizeze relaia careexist ntre probabilitate i volumul eantionului;
3. s se estimeze numrul de salariai din colectivitatea general care auvechimea peste 16 ani.
Rezolvare
1. Estimarea vechimii medii a angajailor la nivelul colectivitiigenerale:
x0x xxx
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
20/32
Avem o caracteristic alternativ.Tabelul 3.7.
Rspuns Numr salariaiA 1
DA m= Nu n-m=
Total n=
n cazul variabilei alternative, indicatorii se calculeaz astfel : media :
==n
mw
. % dintre salariai au vechimea peste 16 ani. dispersia :
== )( w1w2w
eroarea limit maxim admis :=== )( N
n1nzz
2
www
Estimarea proporiei salariailor cu vechimea peste 16 ani:
ww wpw +
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
21/32
2. s se determine parametrii colectivitii generale;3. s se determine proporia numrului de angajai din colectivitatea
general care au avut concediu de odihn cu durata mai mic dectdurata medie la nivelul eantionului.
Rezolvare
1.
Calculul erorilor de reprezentativitate Eroarea medie de reprezentativitate:=
=
N
n1
n
2
x
Eroarea limit maxim admis:== xx z
Pentru determinarea celor dou erori va trebui s determinm media i dispersiaeantionului:
calcularea mediei eantionului:
==
=
=7
1i
i
7
1i
ii
n
nx
x
calcularea dispersiei:( )
=
=
=
=7
1i
i
7
1i
i
2
i
2
n
nxx
2. Parametrii colectivitii generale sunt media i nivelul totalizat alcaracteristicii:
estimarea nivelului mediu:x0x xxx +
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
22/32
Avem o caracteristic alternativi indicatorii se calculeaz astfel: media caracteristicii alternative (w):
==n
mw
dispersia caracteristicii alternative:== )( w1w2w
Tabelul 3.9.
Rspuns Numr angajaiA 1
DA m= Nu n-m=Total n=
eroarea limit maxim admis :=== )(
N
n1
nzz
2w
ww
Problema 3: Dintr-un sondaj organizat pentru 100 sucursale ale unor bncicomerciale din Romnia s-au obinut urmtoarele rezultate:
Tabelul 3.10.
Grupe de sucursale
dup numrulangajailor de la
Departamentul Credite
Numrsucursale
Valoarea medie
a creditelor
acordate (mii
RON)
Coeficientul de
variaie (%)
0 1 2 3
Sub 5 20 200 2,55 10 50 250 2
10 i peste 30 280 3Total 100 - -
tiind c eantionul reprezint 10% din colectivitatea general i a fostextras prin selecie nerepetat,se cere:
1. s se verifice gradul de omogenitate a eantionului;2. s se estimeze ntre ce limite se vor ncadra valoarea medie a creditelor
acordate i valoarea total dac probabilitatea cu care se garanteazrezultatele este P=0,9973(z=3);
3. calculai volumul unui nou eantion i distribuii-l proporional pesubeantioane dac:- eroarea limit crete cu 20%;- eroarea limit scade cu 20%;- rezultatele se garanteaz cu o probabilitate P=0,9545 (z=2).
123
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
23/32
Rezolvare
1. Gradul de omogenitate se verific cu ajutorul coeficientului de variaie:== 100
yv
Media eantionului:
=
=
=
=3
1i
i
3
1i
ii
n
ny
y
Abaterea medie ptratic:
== 2 Dispersia o deducem din regula de adunare a dispersiilor:
=+= 222 Din coeficienii de variaie ai fiecrei grupe deducem dispersiile de grup:
100y
vi
ii =
de unde:
100
yv iii
=
=1 =21
=2 =22
=3 =23
Media dispersiilor de grup:
=
=
=
=3
1i
i
3
1i
i2i
2
n
n
Dispersia dintre grupe:
( )=
=
=
=3
1i
i
3
1i
i
2
i
2
n
nyy
124
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
24/32
2. Estimarea valorii medii a creditelor acordate:y0y yyy +
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
25/32
Distribuirea proporional pe subeantioane:
n
n
nn
ii
ii
'3
1
'
=
=
Problema 4: Pentru 200 de ageni economici din acelai profil deactivitate situai n 3 regiuni diferite ale rii (Transilvania, Moldova, Oltenia) secunosc datele:
Tabelul 3.11.
Grupe de ageni economici dup profitul obinut(mii euro)Regiunea
Sub 10 10-15 15-20 20 i peste
Total
A 1 2 3 4 5Transilvania 35 25 10 - 70
Moldova 5 15 25 5 50Oltenia - 10 20 50 80Total 40 50 55 55 200
Se cere:
1. presupunnd c datele provin dintr-un eantion de 10%, s se estimeze profitul mediu al unui agent dac rezultatele se garanteaz cu oprobabilitate de 95,45% (z=2);
2. dac se organizeaz un nou sondaj cu o eroare limit mai mic cu 5%,care ar fi volumul noului eantion? Repartizai-l proporional pesubeantioane;
3. estimai ponderea agenilor economici care au profit mai mare de 15mii euro.
Rezolvare
1. Estimarea profitului mediu
1.1. Estimarea profitului mediu n cazul sondajului stratificat repetat:
y0y yyy +
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
26/32
=
=
=m
1j
ij
m
1j
ijj
i
n
ny
y
Prin urmare,
=
=
=4
1j
j1
4
1j
j1j
1
n
ny
y =
=
=
=4
1j
j2
4
1j
j2j
2
n
ny
y =
=
=
=4
1j
j3
4
1j
j3j
3
n
ny
y =
dispersiile de grup:( )
=
=
=m
1j
ij
m
1j
ij
2
ij
2i
n
nyy
Prin urmare,
( )
=
=
=m
1j
j1
4
1j
j1
2
1j
21
n
nyy
=
( )
=
=
=m
1j
j2
4
1j
j2
2
2j
22
n
nyy
=
127
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
27/32
( )
=
=
=m
1j
j3
4
1j
j3
2
3j
23
n
nyy
=
media dispersiilor de grup:
=
=
=r
1i
i
r
1i
i2i
2
n
n
.
.
=
eroarea limit maxim admis:===
nzz
2
yy
1.2. Estimarea profitului mediu n cazul sondajului stratificat nerepetat:
y0yyyy +
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
28/32
=
=
=
n
n
nn
ii
'3
1
3'3
3.Ponderea agenilor economici care au profit peste 15 mii euro.Avem o caracteristic alternativ.
Pornind de la distribuia bidimensional din tabelul din ipotez se obineurmtorul tabel:
Tabelul 3.12.
Ageniec. cu
profitul
peste 15
mii euro
Regiunea Ageniec. cu
profitul
sub 15
mii euro
( )im
Total
( )in Media
caracteristicii
alternative
i
ii
n
mw =
Dispersia
caracteristicii
alternative
)( ii2w w1wi =
A 1 2 3 4 5
Transilvania
MoldovaOlteniaTotal
n vederea estimrii proporiei sunt necesare urmtoarele calcule: calcularea mediilor de grup pentru caracteristica alternativ i a
mediei pe total (w);( )iw
calcularea dispersiilor de grup ( )2wi ; calcularea mediei dispersiilor de grup:
=
=
=
= 3
1i
i
3
1i
i2w
2w
n
ni
calcularea erorii limite maxime admise:=
==
N
n1
nzz
2w
ww
Estimarea proporiei n colectivitatea general:
ww wpw +
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
29/32
3.4. TEM
Problema 1. Pentru 200 din magazinele unei companii productoare de produse electrocasnice s-au nregistrat vnzrile sptmnale de combinefrigorifice:
Tabelul 3.13.
Grupe de magazine dupvnzrile sptmnale (buci) Ponderea magazinelor
A 1
Sub 4 74-8 20
8-12 3212-16 2616-20 10
20 i peste 5Total 100
Se cere:
1. estimai parametrii colectivitii generale (vnzrile medii i totale alecompaniei) dac eantionul reprezint 10% din total, s-a format prinselecie nerepetat i probabilitatea cu care se garanteaz rezultateleeste 0,95 (z=1,96);
2. s se determine noul volum al eantionului dac eroarea limit maximadmis se mrete de dou ori.
R: 1. 18,11=x buci; ;2836,242 = 6479,0=x buci;
2. magazine;54' =n 2958,1' =x magazine.Problema 2. Despre 80 de uniti hoteliere care reprezint 10% din
numrul total al unitilor hoteliere din zona litoralului se cunosc urmtoarele date
referitoare la numrul clienilor dintr-o sptmn:Tabelul 3.14.
Intervale de variaie dupnumrul de clieni
Numrul de uniti hoteliere
A 1
Sub 150 5150-200 15200-250 40250-300 10300-350 7
350 i peste 3
Total 80Se cere:
130
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
30/32
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
31/32
2. s se stabileasc limitele ntre care se vor ncadra profitul mediu i totaln colectivitatea general dac probabilitatea cu care se garanteazrezultatele este P=0,9545 (z=2).
R: 1. 5,30=y mii RON/ag. ec.; ; ;21,372 = 25,272 = 73233,02 =R2. 4234,0=y mii RON/agent ec.
Problema 5. 100 de studeni din cadrul Academiei de Studii Economicereprezentnd 2% din total sunt rugai, n cadrul unui sondaj, s-i exprime opinia
privind invmntul modularizat. Rezultatele sistematizate sunt:Tabelul 3.16.
OpiniaSex
Pro Contra Indiferent
A 1 2 3
Masculin 22 10 3Feminin 12 45 8
Pentru o probabilitate de 95,45% s se estimeze ponderea studenilor acror opinie este Contra sau Indiferent.
Problema 6. Angajaii din trei sucursale ale unei bnci comerciale prezinturmtoarea distribuie dup numrul de operaiuni cu clienii efectuate ntr-o zi:
Tabelul 3.17.
Sucursala Numrul deangajai
Numrul mediude operaiuniefectuate ntr-o zide un angajat
Dispersianumrului deoperaiuni
A 30 25 9B 50 30 16C 20 40 25
Se cere:
1. s se estimeze limitele ntre care se va ncadra numrul mediu aloperaiunilor efectuate de un angajat n colectivitatea generaltiindc datele provin dintr-un sondaj stratificat, de volum 10% dincolectivitatea general, iar probabilitatea cu care se garanteazrezultatele este de 0,9545 (z=2);
2. care este noul volum al eantionului dac eroarea limit scade cu 10%.S se repartizeze proporional noul volum al eantionului pe grupe.
R: 1. 5,30=y operaiuni.; 7,152 = ; 7517,0=y operaiuni
132
-
8/14/2019 Statistica - Capitolul3
32/32
3.5. INTREBRI RECAPITULATIVE
1. Care sunt principalele avantaje ale sondajului statistic?2. Ce este un eantion reprezentativ?3. Ce sunt erorile de reprezentativitate?4. De cte feluri sunt erorile de reprezentativitate?5.
Prin ce se caracterizeaz erorile de reprezentativitate ntmpltoare?6. Prin ce se caracterizeaz erorile de reprezentativitate sistematice?
7. Ce tipuri de selecie aleatoare cunoatei?8. Cum se realizeaz selecia aleatoare?9. Ce procedee de selecie aleatoare cunoatei?10. Cnd se utilizeaz sondajul aleator simplu?11. Cnd se utilizeaz sondajul stratificat?12. Ce tipuri de sondaj stratificat cunoatei?13. Ce este variabila de stratificare i cum se stabilete aceasta?14. Cum se formeaz eantionul n cazul sondajului stratificat
neproporional?15. Cum se formeaz eantionul n cazul sondajului stratificat
proporional?16. Cum se calculeaz erorile n cazul sondajului stratificat proporional?17. Cum este dimensiunea eantionului n cazul sondajului aleator simplu
fa de cea a eantionului n cazul sondajului stratificat dac se doreteasigurarea aceleiai precizii a rezultatelor?
18. Cum este precizia n cazul sondajului aleator simplu fa de sondajulstratificat pentru aceeai dimensiune a eantionului? Justificairspunsul.
19. Cum variaz intervalul de ncredere comparativ cu preciziarezultatelor?
20. Cnd se utilizeaz sondajul de serii?
133