Formule Statistica

FORMULE STATISTICA

frecvenţa relativă

ponderea sau greutatea specifică a unui element (xi) în totalul

colectivităţii ( ) se obţine pe baza relaţiei:

Media aritmetică simplă se foloseşte pentru seriile în care fiecare

nivel al caracteristicii este purtat de o singură unitate statistică.

sau , , n=volumul colectivităţii

Media aritmetică ponderată se foloseşte în cazul seriilor cu

frecvenţe

sau

formule de calcul simplificat a mediei aritmetice:

-pt. serii simple:

-pt. serii ponderate:

a. Dacă se micşorează fiecare variantă a caracteristicii de un anumit

număr de ori ”k”, atunci media seriei se micşorează de acelaşi număr de

ori.

Se obţin următoarele relaţii:

-pt. serii simple:


b. Dacă frecvenţele seriei se micşorează de un număr „c” de ori,

atunci media aritmetică rămâne neschimbată.

Această proprietate se aplică numai seriilor cu frecvenţe.

c. Suma algebrică a abaterilor nivelurilor individuale ale

caracteristicii de la media lor este egală cu zero.

formule de calcul simplificat al mediei aritmetice:

-pt. serii simple:


Media, în cazul caracteristicii alternative

Media unităţilor care nu poartă acea caracteristică se notează cu „q” şi

se determină astfel:

aplicarea relaţiei de calcul a modului:

, unde:

x0 = limita inferioară a intervalului modal,

d = mărimea intervalului modal,

= diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului

anterior celui modal,

= diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului

următor celui modal.

Pe cale grafică, modul se determină pe baza histogramei

Metodologia de calcul a medianei este diferită după natura seriei

luate în calcul.

Pentru serii simple se întâlnesc două situaţii:

-seria are un număr impar de termeni, când mediana este acea variantă a

caracteristicii cu rangul , după ce în prealabil seria a fost ordonată

crescător, unde n = nr. termenilor.

: ;

, unde:

x0 = limita inferioară a intervalului median;

d = mărimea intervalului median;

Na = frecvenţa cumulată anterioară intervalului median;

nMe = frecvenţa reală a intervalului median.

Pe cale grafică mediana se determină ca şi în situaţia precedentă cu

ajutorul curbei frecvenţelor cumulate.

Quartilele

x0 = limita inferioară a intervalului quattilic;

d = mărimea intervalului quartilic;

UQ1, UQ2, UQ3 = unităţile quartilice;

Na = frecvenţa cumulată anterioară intervalului quartilic;

nQ1, nQ2, nQ3 = frecvenţele reale ale intervalului quartilic.

; ;

Decilele

D5 = Me = Q2

.

În cazul seriilor cu frecvenţe în care caracteristica este dată pe

variante, mediala se calculează în următoarele etape:

-se determină produsele ;

-se calculează şirul produselor cumulate, notate cu Li;

-se determină unitatea medială conform relaţiei: ;

-se caută locul unităţii mediale pe şirul Li, alegând un nivel egal sau mai

mare decât acesta;

-se identifică mediala ca fiind nivelul caracteristicii corespunzător unităţii

mediale.

În cazul seriilor cu frecvenţe şi caracteristica sub formă de intervale de

variaţie, mediala se determină tot prin calcul şi grafic.

Prin calcul se parcurg operaţiile:

-se determină produsele ;

-se calculează şirul produselor cumulate, notate cu Li;

-se determină unitatea medială conform relaţiei: ;

-se caută locul unităţii mediale pe şirul Li, alegând un nivel egal sau mai

mare decât acesta;

-se identifică intervalul medial, ca fiind intervalul caracteristicii

corespunzător unităţii mediale;

-se aplică formula medialei: , unde:

x0 = limita inferioară a intervalului medial;

d = mărimea intervalului medial;

UMl = unitatea medială;

La = produsul cumulat anterioar intervalului medial;

= produsul corespunzător intervalului medial.

Media cronologică simplă se calculează când momentele sunt egal distanţate

între ele.

Pentru seria , .

Prin transformare, această relaţie devine: .

Media cronologică ponderată se calculează atunci când intervalele de

timp dintre termenii seriilor de momente sunt inegale.

În acest caz, mediile parţiale, din care se calculează media întregii

perioade, sunt ponderate cu durata perioadelor parţiale dintre termenii seriei,

notate cu ti.

Media armonică simplă:

Media armonică ponderată:

Considerăm seria: .

-mediile mobile din câte 3 termeni:

, , , .

-mediile mobile din câte 4 termeni:

, , , .

Media progresivă

, unde:

= media generală a seriei;

= media termenilor calitativ superiori mediei generale.

Media geometrică simplă:

Media geometrică ponderată:

Media pătratică simplă:

Media pătratică ponderată:

Indicatorii simpli ai dispersiei

Amplitudinea variaţiei

În mărime absolută

În mărime relativă

, unde:

= nivelul maxim, respectiv minim al variabilei X;

= nivelul mediu al variabilei X.

2. Abaterea individuală

În mărime absolută

În mărime relativă

Indicatorii sintetici ai dispersiei

1. Abaterea medie liniară

-pentru serii simple: , când ,

-pentru serii cu frecvenţe: , când

2. Varianţa (dispersia)

-pentru serii simple: ,

-pentru serii cu frecvenţe: .

3. Abaterea medie pătratică (deviaţia standard)

pentru serii simple:

-pentru serii cu frecvenţe:

Intervalul mediu de variaţie , respectiv

. Coeficientul mediu de variaţie

, respectiv

Proprietăţile dispersiei sunt:

Dispersia unei distribuţii este egală cu diferenţa dintre media

pătratelor tuturor variantelor caracteristicii şi pătratul mediei.

Dispersia unui şir de valori constante este egală cu zero, Dispersia calculată din abaterile variantelor caracteristicii faţă

de constanta „a” este mai mare decât dispersia calculată din aceleaşi variante

faţă de media lor cu pătratul diferenţei dintre medie şi constanta „a”.



Dacă fiecare nivel al caracteristicii se micşorează de „k” ori, atunci

dispersia se micşorează de „k2” ori.



Dacă se împarte fiecare nivel al frecvenţelor printr-o constantă „c”,

atunci dispersia rămâne neschimbată.

Aceste proprietăţi sunt folosite pentru calculul simplificat al

dispersiei. Din combinarea lor se ajunge la formulele care conduc la cea mai

mare simplificare a calculelor.



Indicatorii de asimetrie O primă imagine asupra gradului de asimetrie (As) al unei distribuţii o

putem face comparând media ei asimetrică cu modul.

, asimetrie negativă, cu extinderea frecvenţelor spre

stânga.

, asimetrie pozitivă, cu extinderea frecvenţelor spre

dreapta.

În mărimi relative se utilizează coeficientul de asimetrie a lui Pearson

(kas).

Dacă kas =0, , distribuţie simetrică

Dacă kas >0, , distribuţie asimetrică spre dreapta

Dacă kas <0, , distribuţie asimetrică spre stânga.

Pentru seriile moderat asimetrice, coef. de asimetrie trebuie să ia

valori cuprinse în intervalul (-0,3 ; 0,3). Pentru valori în afara acestui

interval se consideră că distribuţiile respective sunt puternic asimetrice.

coeficientul de asimetrie Yule (Cay).

, unde: q2 = Q3 – Me

q1 = Me – Q1.

Dacă valorile Cay se apropie de , atunci distribuţia este moderat

asimetrică, iar dcaă depăşesc , atunci distribuţia este pronunţat

asimetrică.

) Indicatorii de boltire.. de boltire Pearson ( ) şi coef. de boltire Fisher ( ).

, unde: este dispersia.

, iar se determină după relaţia:

Pentru o distribuţie normală (curba Gauss-Laplace), coeficientul de

boltire ia valoarea 3. Dacă , atunci distribuţia este leptocurtică, iar dacă

, atunci distribuţia este platicurtică.

Coef. de boltire Fisher ( )

, cu interpretarea:

dacă , , distribuţie normală;

, , distribuţie leptocurtică;

, , distribuţie platicurtică.

6.2. Indicii simpli

Indicele simplu al cantităţilor sau al volumului fizic care este determinat

după relaţia: ,

q1 = volumul fizic în perioada curentă

q0 = volumul fizic în perioada de bază

Indicele simplu al preţurilor stabilit astfel:

p1 = preţul în perioada curentă

p0 = preţul în perioada de bază

Indicele simplu valoric stabilit astfel:

, dar v1=q1p1

v0=q0p0

Între aceşti indici se verifică relaţia:

6.2. Indicii simpli Indicele simplu al cantităţilor sau al volumului fizic care este determinat

după relaţia: ,

q1 = volumul fizic în perioada curentă

q0 = volumul fizic în perioada de bază

Indicele simplu al preţurilor stabilit astfel:

p1 = preţul în perioada curentă

p0 = preţul în perioada de bază

Indicele simplu valoric stabilit astfel:

, dar v1=q1p1

v0=q0p0

Între aceşti indici se verifică relaţia:

Indicii de grup

a. Indicele agregat

Indicele agregat simplu al producţiei se determină astfel:

indicele agregat ponderat, calculat astfel:

sisteme de ponderare

E. Laspeyres

H. Paasche

variaţiei valorice Între aceşti indici se verifică relaţia:

În teoria indicilor se mai întâlnesc şi unele sisteme de ponderare care

ţin seama de ponderile din ambele perioade. Întâlnim astfel:

-indicele preţurilor calculat de Edgeworth

-indicele ideal al lui Fisher.

indicelui de grup al volumului fizicmodificarea absolută va fi

Pentru indicele de grup al preţurilor, modificarea absolută va fi:

În cazul indicelui de grup valoric, modificarea este:

În cazul influenţei factorilor exprimată în mărimi absolute se verifică

relaţia:

b. Indic

ele mediu aritmetic ponderat

c. Indic

ele mediu armonic ponderat

6.4 Sistemul indicilor calculaţi din mărimi medii

A. indicele de variaţie bifactorială;

B. indicele cu structură fixă;

C. indicele schimbării structurii.

A. indicele de variaţie bifactorială

B. indicele cu structură fixă (Is.f)

de Laspeyres

C. indicele variaţiei structurii (Iv.s.).

Laspeyres,

Între aceste trei categorii de indici se stabileşte relaţia:

6.5 Gruparea indicilor dinamicii după felul bazei

Indici cu bază fixă

, , .... , ,

Indici cu bază fixă

, , .... , ,

produsul indicilor cu bază mobilă

împărţind doi indici cu bază fixă

6.6Ritmul variaţiei şi al sporului

A. indicatori absoluţi

B. indicatori relativi

C. indicatori medii.

A. Indicatorii absoluţi

Cuprind sporul absolut, care, după modul de alegere a bazei, este:

spor absolut cu bază fixă ( ) – se obţine ca diferenţă între fiecare

termen al sumei şi termenul ales drept bază de raportare. Considerând

seria: x0, x1, x2, ... , xn, sporul absolut cu bază fixă se va calcula astfel:

; ; .....; sau generalizând:

spor absolut cu bază mobilă ( ) – este diferenţa dintre fiecare termen

al seriei şi termenul anterior. În aceeaşi serie vom avea:

; ; .....; sau

generalizând:

Între sporurile absolute cu baza fixă şi cele cu baza mobilă se verifică

relaţiile:

-suma sporurilor cu baza mobilă este sporul cu bază fixă al ultimului an:

-diferenţa dintre două sporuri absolute cu baza fixă consecutive este egală cu

sporul cu bază mobilă corespunzător:

B. Indicatorii relativi

1. Ritmul variaţiei (Rx) – exprimă viteză de variaţie exprimată în mărimi

relative. După modul de calcul, rimul variaţiei este de două feluri:

Ritmul variaţiei cu bază fixă ( ) – arată de câte ori a crescut sau scăzut

nivelul unui fenomen în decursul unei perioade de timp şi se calculează

astfel:

,

Ritmul variaţiei cu bază mobilă ( ) – arată de câte ori a crescut sau

scăzut nivelul unui fenomen într-un moment faţă de momentul anterior.

Între ritmul variaţiei cu bază fixă şi cel cu bază mobilă se verifică

relaţiile:

-produsul ritmurilor cu bază mobilă este ritmul cu bază fixă al întregii

perioade:

-raportul a două ritmuri ale variabilei cu bază fixă este egal cu ritmul cu bază

mobilă corespunzător:

2 Ritmul sporului (rx) – exprimă mărimea creşterii sau scăderii în decursul

unei anumite perioade de timp faţă de perioada de bază a unui indicator. Se

calculează:

Ritmul sporului cu bază fixă ( ) – se calculează ca raport între sporul

cu bază fixă şi nivelul fenomenului considerat din perioada de bază,

astfel:

Ritmul sporului cu bază mobilă ( ) – se calculează ca raport între

sporul cu bază mobilă şi nivelul fenomenului considerat din perioada

anterioară, astfel:

Relaţii între aceste ritmuri:

C. Indicatorii medii

1. Sporul mediu ( )

, unde:

xn = ultimul termen al seriei,

x0 = primul termen al seriei,

n = nr. termenilor seriei.

2. Ritmul mediu al variaţiei ( )

Ritmul mediu al sporului ( )

sau în procente:

A. Regresie şi corelaţie liniară

y = a + bx

-dacă b>0, indică o legătură directă

-dacă b=0, nu există legătură

-dacă b<0, indică o legătură inversă.

metoda celor mai mici pătratesuma pătratelor diferenţelor dintre valorile reale ale lui y şi valorile

teoretice date de ecuaţia de regresie să fie minimă.

minim, respectiv

minim.

Prin metoda lui Cramer sau a determinanţilor, parametrii a şi b se

determină astfel (pentru seriile simple):

serii cu frecvenţe, sistemul de ecuaţii normale devine:

Determinarea parametrilor a şi b prin aceeaşi metodă conduce la

rezultatele:

Coeficientul de corelaţie

, unde:

xi = caracteristica factorială;

yi = caracteristica rezultativă;

= mediile celor două caracteristici;

= abaterea medie pătratică a celor două caracteristici.

Dacă în această relaţie înlocuim pe , cu expresiile lor dezvoltate şi

efectuăm simplificările posibile, se ajunge la formula:

-pt. serii simple

-pt. serii cu frecvenţă

Raportul de corelaţie ( )

, unde:

= dispersia valorilor reale ale variabilei y;

= dispersia valorilor teoretice ale variabilei y.

În cazul unei legături liniare simple, ecuaţia raportului de corelaţie

devine:

În cazul seriilor cu frecvenţe:

Raportul de corelaţie are valori cuprinse între 0 şi 1, cu următoarele

semnificaţii:

- = 1 arată că între variabile există legătură;

- = 0 între variabile nu există legătură.

Valoarea la pătrat a raportului de corelaţie prezintă raportul de

determinaţie:

şi arată ponderea influenţei factorului x asupra variaţiei

variabilei y.

B. Regresie şi corelaţie curbilinie

a. Regresie şi corelaţie de tip hiperbolic

Prin regula lui Cramer obţinem:

Fiind vorba de o legătură curbilinie, intensitatea legăturii se determină

numai cu ajutorul raportului de corelaţie.

b. Regresie şi corelaţie de tip parabolic

parabola de gradul doi, y = a+bx+cx2

Parametrii a, b, c se determină prin metoda celor mai mici pătrate, din

sistemul:

Intensitatea corelaţiei parabolice se măsoară cu ajutorul raportului de

corelaţie:

Regresie şi corelaţie multiplă

, unde:

a0 = parametrul care exprimă influenţa celorlalţi factori consideraţi cu

acţiune constantă, în afară de factorii cauzali luaţi în calcul;

ai = coeficienţi de regresie multiplă care arată cu cât variază variabila

rezultativă, atunci când variabila factorială xi se modifică cu o unitate.

.

7.1 Corelaţia neparametrică

1. Coeficientul de concordanţă Fechner

Coeficientul de concordanţă simplu

, unde:

c = număr de concordanţe de semn ale abaterilor;

d = număr de disconcordanţe de semn ale abaterilor.

n = numărul perechilor de valori corelateDacă unele diferenţe sau sunt nule, atunci nu se consideră nici

concordanţă, nici discordanţă, ci este exclusă din calcul.

Coeficientul de concordanţă ponderat

, unde:

C = suma produselor pozitive,

D = valoarea absolută a sumei produselor negative.

O altă variantă a coeficientului ponderat de concordanţă Fechner se

apropie de coeficientul de corelaţie Pearson şi se determină astfel:

Coeficientul Fechner poate varia între -1 şi +1, cu semnificaţia unei

legături directe sau inverse mai mult sau mai puţin intense.

2. Coeficienţii de corelaţie a rangurilor

Coeficientul Spearman

, unde:

d = diferenţele dintre rangurile celor două variabile;

n = nr. perechilor de valori xi, yi.

b. Coeficientul Kendall

, unde:

pi = nr. rangurilor superioare ale variabilei yi ordonate după xi, care există

după fiecare rang;

qi = nr. rangurilor inferioare ale variabilei y i ordonate după xi, care există

după fiecare rang;

n = nr. unităţilor observate.

Acest coef. poate lua valori cuprinse între -1 şi +1, cu aceleaşi

semnificaţii.

Coeficientul de asociere

Valoarea coef. de asociere are ca interval de variaţie (-1;+1) şi se

interpretează ca oricare coef. de corelaţie.

Formule Statistica

Documents

Transcript of Formule Statistica