UNIVERSITATEA DETIINE AGRICOLEI DE MEDICINVETERINARION IONESCU DE LA BRAD IAI

FACULTATEA DE AGRICULTUR

SPECIALIZAREA INGINERIE ECONOMICAN II

MATERIAL DE STUDIU ID

STATISTICECONOMIC

2CUPRINS

CAPITOLUL 1 Noiuni fundamentale ale statisticii............................3

1.1Colectiviti statistice..................................................31.2Uniti statistice..........................................................41.3Caracteristici statistice................................................51.4Cuantificarea fenomenelor..........................................51.5Indicatori statisitici......................................................6

CAPITOLUL 2 Sistematizareai prezentarea datelor statisitice..........72.1 Sistematizarea datelor.................................................72.2 Serii statistice.............................................................82.3 Reprezentarea grafica seriilor statistice.................10

CAPITOLUL 3 Mrimi relative..........................................................12CAPITOLUL 4 Mrimi medii.............................................................14

4.1 Media aritetic, armonic, geometric......................144.2 Modul........................................................................164.3 Mediana....................................................................17

CAPITOLUL 5 Dispersiei asimetrie................................................195.1 Msurarea dispersiei n sistemul mediei aritmetice..195.2 Indicatori de asimetrie..............................................24

CAPITOLUL 6 Cercetarea selectiv..................................................256.1 Noiuni de bazale cercetrii selective....................256..2 Reprezentativitatea colectivitii de selecie...........286.3 Tipuri de eantioane................................................286.4 Erori de reprezentativitate.......................................30

CAPITOLUL 7 Regresie i corelaie.................................................357.1 Noiuni, tipuri de legturi........................................357.2 Metode de studiere a legturilor statistice...............367.3 Modele de regresie cu douvariabile.....................397.4 Msurarea intensitii dintre douvariabile...........437.5 Modele de regresie pentru o corelaie multipl......467.6 Determinarea intensitii corelaiei multiple..........47

CAPITOLUL 8 Indicatorii seriilor cronologice................................50

Tema 1: Media aritmetic, Mediana, Modulul, DispersiaTema 2: Regresiei corelaie

Referat 1: Problemde determinare a dispersieiReferat 2. Cercetarea selectiv. Erori de reprezentativitate

3CAPITOLUL 1NOIUNI FUNDAMENTALE ALE STATISTICII

COLECTIVITI STATISTICEUNITI STATISTICE

CARACTERISTICI STATISTICEINDICATORI STATISTICI

1.1. COLECTIVITI STATISTICE

Statistica studiazfenomene de mas, ansambluri finite deelemente care au aceeai natur, aceleai condiii i aceleai legi dedezvoltare, adicsunt statistic omogene. De exemplu, populaia uneiri la un moment de recensmnt, producia unei ntreprinderi ntr-unan, etc. Astfel de ansambluri sunt denumite populaii, mulimi,colectiviti.

(Def.) O colectivitate statistic reprezint o asociaie deelemente unite ntre ele printr-o trsturesenialcomun, numitomogenitate.

Colectivitile statistice definesc populaii reale care suntntotdeauna finite, n contrast populaiile teoretice, infinite, studiatede matematic. Practic, ntotdeauna o colectivitate statistictrebuie sfie bine delimitat, adicsi se precizeze frontierele de delimitarepentru a face posibilobservarea ei i pentru a nu crea confuzii deinterpretare. Delimitarea colectivitii statistice se face innd seamade omogenitate statistica elementelor .

(Def.)Omogenitatea statistica elementelor unei colectivitipresupune proprietatea acestora de a fi de aceeai naturcalitativ,de a aparine aceluiai teritoriui aceluiai timp.

Subcolectivitile sunt grupuri de elemente difereniate ntre ele,n cadrul colectivitii statistice, din punctul de vedere ale uneicaracteristici calitative. Au un grad de omogenitate mai ridicat fadealte grupuri de elemente din aceeai colectivitate (de exemplu,populaie masculini feminin).

Tipurile sunt grupe omogene de elemente n cadrul uneicolectiviti sau subcolectiviti, difereniate ntre ele dupgradul deintensitate sau de dezvoltare atins dupo caracteristicdat(deexemplu: tnr 9-19 ani, adult 20-59 ani, n vrst60 ).

4Criterii de clasificare a colectivitilor statisitce

a) n funcie de natura elementelor, avem colectivitiformate din elemente cu un obinut material sau dinelemente cu un coninut imaterial (populaiei unei ri istocuri de materiale)i apoi ansambluri de evenimente iansambluri de elemente neconcrete.

Fiinelei lucrurile ce reprezintstri, se definesc la un momentdat, iar colectivitile formate din astfel de elemente se numesccolectiviti de stri; evenimentele, faptele se produc n mod continuuiar colectivitile pe care le formeazse numesc colectiviti demicri.

b) n funcie de gradul de cuprindere pot fi: colectivititotale, colectiviti pariale (de selecie sau eantioane).

1.2. UNITI STATISTICE

Reprezint elementele componente ale unei colectivitistatistice. Unitile statistice sunt elemente de observarei nregistrare,adicprin ele se observi se nregistreazo populaie.

n cazul colectivitilor de stri se nregistreazunitilestatistice componente la un moment dat, cu starea lor la momentulrespectiv. Prin numrarea lor se obine volumul colectivitii de stri.

n cazul colectivitilor de evenimente, unitile statistice senregistreazn mod curent, continuu, pe msura apariiei lor. Sensumeazpe un interval de timp ales i se aflvolumul colectivitiide micri. Ansamblul unitilor unei populaii se numete volumul,talia sau efectivul colectivitii. Se noteazcu litera n.

Criterii de clasificare a unitilor statistice

a) dupgradul de complexitate sau componena lor, pot fiuniti statistice simplei uniti statistice complexe. Celesimple au un element, cele complexe au dousau maimulte uniti simple.

b) duprolul lor n procesul nregistrrii statisitce, pot fiuniti statistice activei uniti statistice pasive.

51.3. CARACTERISTICI STATISTICE

Reprezintnsuiri, trsturi eseniale purtate de toate unitilestatistice ale unei colectiviti, adicdimensiunile prin care seobserv, respectiv se msoar, cuantifici se nregistreazfiecareunitate din colectivitate. Prezintnatura, aspectul unitilor statisticeobservate. Fiecare caracteristicare valori care diferde la o unitatestatisticla alta sau de la un grup de uniti statistice la altul. Unanumit nivel al caracteristicii observate este numit variant. Variaianivelului unei caracteristici de la o unitate la alta dcaracteristicilorstatistice caracterul de variabilaleatoare (stochastic).

Existtrei tipuri de variabile: empirice, teoretice, de selecie.

Clasificarea caracteristicilor (variabilelor) statistice

a) dupimportana lor: caracteristici eseniale care exprimnatura internafenomenului; caracteristici neeseniale cu caracter ntmpltor;

b) dupnatura lor: caracteristici calitative, de timp i de spaiu;

c) dupmodul de exprimare: caracteristici numerice (cantitative) sunt msurabile; cele numerice se numesci atributive;

d) dupmodul de manifestare: caracteristici nealternative pot lua valori diferitepentru cte uniti sau grupe de uniti statistice sunt; caracteristici alternative, cu caracter dihotomic.

1.4. CUANTIFICAREA FENOMENELOR.TIPURI DE SCAL

Cuantificarea fenomenelor socio-economice implicun procescomplex de izolare, msurare n forme comparabile i nregistrare aelementelor unei colectiviti prin caracteristicile cuprinse nprogramul nregistrrii. Operaia de cuantificare este specific statistici presupune un set de reguli de atribuire a unei valori unitilorstatistice ale unei colectiviti observate dupo caracteristic. Valorileatribuite pot fi sub formde cifre sau de simboluri. Difereniereavalorilor se face prin intermediul scalei.

6Tipuri de scal

Scala poate fi consideratca un continuum de cifre sau desimboluri, plasare ierarhic, de la inferior la superior.

a) Scala nominalare o singurproprietate identitatea, ceexprimapartenena elementelor la o categorie;

b) Scala ordinalsau cu ranguri, ce are pe lngproprietateade identitate specificscalei nominalei proprietatea deordine, pentru clasarea elementelor observate;

c) Scala interval adaugo a treia proprietate intervalulntre numere ce are un sens pentru a compara defereneledintre numere;

d) Scala raport se difereniazfade scala interval prinaceea care un zero absolut;

e) Scala de intensitate permite msurareai comparareaopiniilor, a comportamentelor.

1.5. INDICATORI STATISTICI

Indicatorul statistic este rezultatul numeric al unei enumerri, alunei msurri statistice a fenomenelor i proceselor de mas, al unuicalcul asupra datelor obinute printr-o nregistrare statistic.

Clasificarea indicatorilor statistici

a) dupmodul de determinare: indicatori primari (elementari) = rezultatul uneimsurtori statisticei exprimn mrime absolutodimensiune oarecare a unei colectiviti; indicatori derivai = se obin prin prelucrareaindicatorilor elementari;

b) dupgradul de cuprindere: indicatori statistici sintetici = sunt expresii numerice alecategoriilor economice de sintez(exemplu: PIB, PNH); indicatori statistici analitici = exprimcomponente pegrupe sau structura unei colectiviti;

c) dupforma de exprimare = se obin indicatori sub formde mrimi relative, absolutei indicatori sub formdemrimi medii.

7CAPITOLUL 2SISTEMATIZAREAI PREZENTAREA DATELOR

STATISTICE

2.1. SISTEMATIZAREA DATELOR

Datele individuale obinute n urma nregistrrii statistice,trebuie supuse prelucrrii statistice. Prelucrarea nseamnsistematizarea acestor date i obinerea sistemului de indicatoristatistici.

Sistematizarea datelor reprezint prima faz a prelucrriistatistice, realizatprin centralizareai gruparea unitilor statistice.

Centralizarea este nsumarea directsau prin intermediulcoeficienilor de echivalen a unitilor statistice la nivelulcolectivitii nregistrate. Se poate realiza manual, mecanic sauautomat.

Gruparea statistic nseamn separarea unitilor uneicolectiviti n grupe omogene dupvariaia uneia sau a mai multorcaracteristici de grupare.

Tipuri de grupri. Criterii:

dupnumrul caracteristicilor de grupare: simple (dupo caracteristic); combinate (dup2 sau mai multe caracteristici); dupnatura caracteristicii de grupare:

de timp; de spaiu; calitative ce pot fi:

a) dupo caracteristicexprimatatributiv, avnd carezultat clasificri;

b) dupo caracteristicexprimatcifric: pe variante de variaie;

c) pe intervale de variaie (egale sau neegale).

8Gruparea pe intervale de variaie presupune:1. Alegerea sau determinarea mrimii intervalului de variaie (l)

se determinn funcie de amplitudinea de variaie a caracteristicii (A)i de numrul de grupe (K) n care urmeazsse sistematizezematerialul faptic:

unde A = xmax xmin, n care xmax; xmin suntvarianta maxim, respectiv minima caracteristicii degrupare x.

Pentru colectivitile numeroase, pentru o caracteristiccutendinde variaie sistematici cu o amplitudine de variaie mare,mrimea intervalului de grupare se determindupformula lui H.D.STURGES:

N = numrul unitilor colectivitii

2. Formarea grupelor de variaie n funcie de mrimeaintervalului aflat sau ales.

3. Separarea unitilor colectivitii pe intervale de variaie inscrierea materialului sistematizat ntr-un tabel statistic.

2.2. SERII STATISTICE

Se obin ca rezultat al sistematizrii datelor statistice pringrupare.

Seria statisticeste corespondena ntre douiruri de datestatistice sistematizate ntr-o succesiune logicn care primul irreprezintvariaia caracteristicii de grupare, iar al doilea ir, frecvenade apariie corespunztoare.

Dupnatura caracteristicii de grupare, seriile se clasificastfel:

a) serii de timp (dinamice sau cronologice), pot fi: de momente; de intervale;

b) serii de spaii teritoriale;c) serii calitative, pot fi:

cu atribut calitativ; cu atribut cantitativ.

Seria variabildistribuitpe variante de variaie are urmtoareaform:

KAl

Nxxllg.322,31minmax

9Caracteristica Frecvenaxi n ix1 n1

xi n i

xm nm

TOTAL

m

iin

1

Seria pe intervale de variaie:Caracteristica Frecvena

xi-1xi n ixx1 n1

xi-1 xi n i

xm-1 xm nm

TOTAL

m

iin

1

Iar seriile cu o distribuie statistic simultandupdoucaracteristici se prezintntr-un tabel cu dublintrare:

i

j

xy

yi .....yj ....ypFrecvene marginale

dupvariabila xx1 n11 ....n1j ......n1p ijn..... ......................... ..................

xi n21 ....nij ......nip j iij nn..... .......................... ..................

xm nm1 .... nmj .....nmp j mjn

i iipij

ii nnn ............1Frecvene

marginaledupvariabilay ji

ij nn

jj

ji

jij

i

nnnn

Oricare nivel al caracteristicii de grupare x i cu frecvena deapariie ni formeaztermenul seriei xini elementul de bazal uneiserii statistice.

10

irurile de valori dintr-o serie pot fi prezentate fie sub formaindicatorilor absolui, fie sub forma indicatorilor derivai.

Ca indicator derivat, indicatorul relativ de structurpoate fideterminat duprelaiile:

ii

i nn

f , pentru care 1if

100 ii

i nn

f , pentru care %001 if .

Frecvena de apariie poate fi cumulatatt n forma absolut(Ni), ct i n formrelativ(Fi), exprimnd numrul unitilor,respectiv ponderile fa de total, pn la ()sau peste (), nivelul considerat al caracteristicii.

Caracte-ristica

xi

Frecvenaabsolut

ni

Frecvenarelativ

fi

Frecvenacumilatabsolut

Ni

Frecvenacumulatrelativ

Fi

x1 n1 f1 N1 F1

x i ni fi Ni Fi

xm nm fm Nm Fm

Total

m

iin

1

m

iif

1- -

Cumularea frecvenelor se face duprelaiile:N1 = n1 F1 = f1

Ni = Ni-1 + ni Fi = Fi-1 + f i

Nm = Nm-1 + nm = in Fm = Fm-1 + fm = if

2.3. REPREZENTAREA GRAFICA SERIILORSTATISTICE

A. Reprezentarea grafica seriilor cronologice se face prin: cronogram (historigram) benzi i coloane +

cronograma liniar; diagrama polarprin sectoare de cerc + diagrama polar

prin segmente de dreapt.

B. Seriile de spaiu prin:

11

cartogram; cartodiagram.

C. Reprezentarea grafica seriilor calitative:

a) pentru seriile cu caracteristica exprimat cifric:histograma, poligonul frecvenelor, curba frecvenelor;

b) pentru seriile cu atribut calitativ sunt specificediagramele de structur: dreptunghiul de structur,ptratul de structur, cercul de structur, semicercul destructur, piramida vrstelor;

c) reprezentarea grafica distribuiilor dup2 caracteristici,ntr-un tabel cu dublintrare: norul de puncte (diagramade dispersie), diagrama prin paralelipipede, suprafaapoliedral.

12

CAPITOLUL 3MRIMI RELATIVE

Reprezintrezultatul comparrii, sub formde raport, a 2indicatori statistici. Exprimcte uniti din indicatorul de raportatrevin la o unitate a indicatorului considerat ca bazde raportare.

Etape: a) Alegerea bazei de comparare;

b) Asigrarea comparabilitii datelor care formeazraportul;

c) Alegerea formei de exprimare a msurilorrelative, pot fi: coeficiei; procente (%).

Tipuri de mrimi relative

1. Mrimi relative de structur, obinndu-se duprelaiile:

sub formdecoeficient i

ii n

nf 1 i

ii n

nf

sub formprocentual

100 ii

i nn

f %100 if

n care: fi = mrimea relativde structursau frecvena relativ,sau greutatea specificsau ponderea fiecreipri (grupe) fa de totalul unitilor dincolectivitate;

ni = nivelul unui element sau al unei grupe dincolecivitate; in = volumul ntregii colectiviti.

2. Mrimi relative de coresponden (mrimi relative decoordonare), se obin dup:

100/ B

ABA x

xK 1000/

B

ABA x

xK ,

n care: xAi xB reprezintnivelulgrupei A, respectiv al grupei Bdin aceleai colectiviti.

Mrimile relative de corespondenaratcte uniti dintr-ogruprevin la 100 sau 1000 de uniti din cealaltgrup.

13

3. Mrimi relative de intensitate, se obin duprelaiayxK , n

care x = variabila, fenomenul de raportat, K = mrimea relativdeintensitate, y = fenomenul ales ca bazde raportare.

4. Mrimi relative ale dinamicii, caracterizeazvariaia n timpa fenomenelor.

14

CAPITOLUL 4MRIMI MEDII

Mrimea medie exprimsintetic i generalizat ceea ce esteesenial, tipic, pentru unitile unei colectiviti distribuite dupoanumitcaracteristic.

Dupmodul de obinere, mrimile medii pot fi: mrimi mediide calcul (media aritmetic, cromatic, ptratic, progresiv,geometric, cronologic, mobil) i mrimi medii de poziie (modulsau dominanta, mediana, mediala).

Mrimi medii de calcul se pot determina ca medii simple cndfrecvenele tuturor variantelor caracteristicilor sunt egale ntre ele(serii simple), sau ca medii ponderate, cnd variantele caracteristiciiau frecvene diferite (serii cu frecven).

4.1. MEDIA ARITMETIC

a) Media aritmeticsimpl:n

xx

n

ii 1 ;

b) media aritmeticponderat:

p

ii

p

iii

n

nxx

1

1 ;

c) Media aritmetic n cazul unei variabile continue:

p

ii

p

iii

n

nxx

1

1

'.

Centrul intervalului este egal cu semisuma limitelorintervalului:

2' 1 iii

xxx

15

4.2. MEDIA ARMONIC( hx )

Este o mrime inversa mediei aritmetice calculatdin valorileinverse ale termenilor seriei:

a) Media armonicsimpl:

n

i i

h

x

nx

1

1;

b) Media armonicponderat:

m

ii

i

m

ii

h

nx

nx

1

1

1.

4.3. MEDIA PTRATIC( px )

a) Media ptraticsimpl:n

xx

n

ii

p

1

2

;

b) Media ptraticponderat:

m

ii

m

iii

p

n

nxx

1

1

2

4.4. MEDIA GEOMETRIC( gx )

Aceastmedie se folosete pentru determinarea ritmurilor mediide variaie n timp a fenomenelor:

a) Media geometricsimpl: nn

ii

nng xxxxx

121 .... ;

b) Media geometricponderat:

m

ii

i

m

ii

mn m

i

ni

nnn

nnng xxxxxx 11 321

1321 ....

16

4.5. MEDIA PROGRESIV( Prx )

x = media aritmetica seriei;

2Prsxxx , unde sx = media aritmetica termenilor superiori

din punct de vedere calitativ, mediei ntregiiserii.

4.6. MEDIA CRONOLOGIC( rx )

Se utilizeazpentru determinarea nivelului mediu n cazulseriilor cronologice de momente.

4.7. MEDII MOBILE ( ix )

Se aplicn ajustarea seriilor dinamice cu variaii sezoniere.

4.8. MODUL (M0) SAU DOMINANTA (D0)

Modulul este acea valoare a caracteristicii care are frecvenaabsolut(relativ) cea mai mare. Este o mrime medie de poziiei sedeterminprin aflarea frecvenei maxime a distribuieii apoi a valoriicaracteristicii corespunztoare acesteia.

n cazul unei serii cu caracteristica prezentatsub formdeintervale, determinarea modului presupune efectuarea unei interpolrin interiorul intervalului modal, dupformula:

21

110

dxM i , unde xi-1 = limita inferioaraintervalului modal;d = mrimea intervalului modal;1 = diferena dintre frecvenaintervalului modali frecvenaintervalului anterior celui modal;2 = diferena dintre frecvenaintervalului modali frecvenaintervalului urmtor celui modal

Se poate determinai grafic, folosind poligonul frecvenelor (ncazul seriilor calitative de intervale). Valoarea modulului este datdeabscisa corespunztoare ordonanei maxime.

ni

M 0 xi M0 xi

ni

17

4.9. MEDIANA

Reprezintacel nivel al caracteristicii unei serii ordonate,cresctor sau descresctor, care mparte o distribuie n doupriegale; jumtate din unitile colectivitii au valori ale caracteristiciimai mari ca mediana, iar jumtate mai mici.

Determinarea medianei se face n funcie de felul seriei: pentru o serie simplcu un numr impar de termeni,

mediana se obine prin gsirea termenului central:

21MMlocul e

pentru o serie simplcu un numr par de termeni,mediana se aflprin calcularea mediei aritmetice simpleai celor 2 termeni centrali ai seriei;

pentru o serie cu frecvencu caracteristica prezentatpevariante, avem urmtoarele etape:1. determinareairului frecvenelor cumulate (Ni);2. determinarea (calculul) unitii mediane (UMe).

21 iMe nU apoi gsirea locului nirul frecvenelor

cumulate, respectnd condiia: NiUMe;3. n dreptul NiUMe se aflintervalul median.Determinarea Me constn efectuarea unei interpolri ncadrul intervalului median dupformula:

i

iMe

i nNUdxMe 11

n care: xi-1 = limita inferioara intervalului median;d =mrimea intervalului median;UMe = unitatea median;Ni-1 = frecvena cumulatanterioarintervalului

median;ni = frecvena intervalului median.

Pe cale grafic, se poate determina folosind curba frecvenelorcumulate. Me este reprezentatde abscisa corespunztoare ordonateice poartvaloarea UMe.

Se construiete curba frecvenelor acumulate din al crui punctcorespunztor UMe coborm o perpendicularpe abscis. Piciorulperpendicularei pe abscisaratvaloarea Me sau se construiete ogivafrecvenelor din al crei punct de intersecie coborm perpendicularape abscisi aflm valoare Me.

18

xi ni Ni() ()

i

iMe

ie nNUdxM 11

0

Ni -1

UMe

N1

Ni

xiMexi -1 xi

N1

xiMe

iN1

0

19

CAPITOLUL 5DISPERSIE, ASIMETRIE

5.1. MSURAREA DISPERSIEI N SISTEMUL MEDIEIARITMETICE

(Def.) Dispersia reprezinto msura gradului de mprtierea elementelor individuale n jurul valorii centrale

5.1.1. INDICATORI SIMPLI AI DISPERSIEI

Acetia msoar mprtierea fiecrui nivel individual alcaracteristicii fade nivelul lor mediu.

n mrimi absolute n mrimi relative

a) Amplitudinea variaiei (A):

a = xmaxxmin A% = 100minmax x

xx

n care: xmax, xmin = nivelul maxim, minim al variabilei x;

x = nivelul mediu al variabilei x.

b) Abaterea individual(d):

xxd ii d = 100x

xxi

5.1.2. INDICATORI SINTETICI AI DISPERSIEI

Exprim mprtierea tuturor nivelurilor individuale alecaracteristicii fade nivelul lor mediu.

a) Abaterea medie liniar(d )

n

xxd

i , cnd n1 = n2 = .....=nn=k

20

i

ii

n

nxxd , cnd n1n2.....nmk

b) Dispersia ( 2 ):

n

xx i 2

2 )( i

i

ii

n

nxx 22 )(

c) Abaterea medie ptratic(abatere standard )

2

Pentru a calcula aceti indicatori, termenii seriei se pot exprimasintetic prin intervalul mediu de variaie care are urmtoarele limite:

dx

dxdx

; respectiv

x

xx

68,27%%

50%

95,45%%

99,97%%

2 +2

3 +3

x

21

d) Coeficientul de variaie (v):

100xdv ; respectiv 100

xv

0v100% cnd v17%, variaie slab colectivitate omogen;17%v35%, variaie mijlocie;v35% omogenitate slab reprezentativitatea mediei scade

5.1.3. MSURAREA VARIAIEINTR-O COLECTIVITATE IMPRIT

N GRUPE TIPICE. TIPURI DE DISPERSIEI REGULA DE ADUNARE A DISPERSIILOR

Se pot stabili grupe tipice cu trsturi specifice ntr-ocolectivitate generaldupvariaia unui factor de grupare. Dacpentru unitile unei colectiviti, mprite n k grupe, senregistreazdatele pentru o caracteristicx, se obine o distribuiemarginali un numr de distribuii condiionate egal cu k.

Distribuia unei colectiviti mprite n grupe tipice esteinfluenatde aciunea factorilor eseniali (de grupare), dari aciuneaunor factori ntmpltori, aa cum se observdin tabel:

Valorilecaracteristicii Grupele colectivitii

xi 1 j k

Frecvenele la nivelulntregii colectiviti ni0

x1 n11 n1j n1k n1

xi ni1 nij nik ni= ijnxm nm1 nmj nmk nm0

Frecvenelepe grupe n01 nj nk

(n.j) n.j =i

ijn

jij

i

m

ii

k

j

nnnjn11

Medii pegrupe

(condiionate)1x jx kx x

Pentru a msura influena factorilor asupra variaieicolectivitii, aceasta se realizeazcu ajutorul urmtorilor indicatori aidispersiei:

22

1. Dispersie de grup 2j ;

2. Media dispersiilor de grup 2 ;

3. Dispersia mediilor de grupfade medie general( 2 );

4. Dispersia general( 2 ).

Dispersia de grupmsoarinfluena factorilor ntmpltori,care are ca urmare variaia valorilor (xi) n cadrul unei grupe (xi jx ).Influena medie a factorilor ntmpltori la nivelul ntregii colectivitieste exprimatde media dispersiilor de grup( 2 ).

Dispersia mediilor de grupfade media generalnumiti dispersia dintre grupe, expriminfluena factorilor eseniali (factoricare contribuie la separarea grupelor tipice n cadrul colectivitii),respectiv variaia mediilor grupelor fade media general( xx j ).

Dispersia general include influena ambelor categorii defactori, exprimnd variaia valorilor (xi) n jurul mediei colectivitiitotale (xi x ).

Sub aciunea celor doucategorii de factori, variaia dintr-ocolectivitate mpritn grupe tipice (xi x ) se descompune nvariaia fade media grupei (xi jx ) i variaia mediei de grupfade media general( jx x ).

a) Dispersia de grup( 2j )

j

ijji

ij

ijjij n

nxx

n

nxx

22

2 ,

unde

jij

j

iji

ij

ijij

nn

min

nxnnx

x

0

,.....1,

b) Media dispersiilor de grup( 2 )

kjn

n

j

ijj ,......1,2

2

c) Dispersia mediilor de grupfade media general( 2 )

23

2

j

jj

nnxx

2

,

unde

j

jj

i

ii

n

nx

n

nxx

d) Dispersia general( 2 )

2

i

ii

nnxx

2

Regula de adunare a dispersiilor

222

Variaia subinfluena factorilor

ntmpltoriieseniali

=

Variaia subinfluene factorilor

ntmpltori(variaia rezidual)

+Variaia sub

influena factoriloreseniali

Pe baza ultimei relaii, se poate afla mrimea fiecreicomponente cnd se cunosc celelalte dou:

222 sau 222 Apoi, putem msura gradul de influena celor doucategorii

de factori: influena factorilor de grupare (k) se obin astfel:

10022

, iar influena factorilor ntmpltori sau reziduali

(nenregistrai), astfel: 10022

Cu ct valoarea lui

1002

2

10022

, cu att factorul de

grupare are influenmai mare asupra variaiei caracteristicii dedistribuie a colectivitii.

24

5.2. INDICATORI DE ASIMETRIE

Asimetria caracterizeazdeviaia unei distribuii empirice fade distribuia normal. n cazul unei distribuii normale, curba esteperfect simetricfade ordonata maxim, iar media dominantimediana sunt egale ( x = Mo = Me). Cu ct diferena dintre medie idominanteste mai mare, cu att asimetria distribuiei este maipronunat.

Coeficientul de asimetrie Pearson:

0Mxcas , care poate fi cas 0, adic:

dacx > M0, atunci cas > 0 asimetrie pozitiv(predominvalorile mai mici ale caracteristicii);

dacxM0, atunci cas 0 asimetrie negativ, ctre stnga(predominvalori mai mari ale caracteristicii);

dacx = M0, atunci cas = 0 asimetrie perfect.

Coeficientul de asimetrie Fisher:

Pentru distribuiile cu un numr mare de frecvene, care prezinto uoar asimetrie, ntre medie, dominanti median existurmtoarea relaie:

xMM e 230

eas

Mxc 3 -3cas3n mrime absolutAs = x M0.

xi

Mi

eMMx 0

cas =0

M0 xi

Mi

x

cas >0

M0 xi

Mi

cas

25

CAPITOLUL 6CERCETAREA SELECTIV(SONDAJURI)

6.1. NOIUNI DE BAZALE CERCETRII SELECTIVE(SONDAJULUI)

Diversificarea i sporirea complexitii fenomenelor social-economice de maspe care le studiazi le caracterizeazstatistica cumijloacele sale specifice impun perfecionarea metodelor sale decercetare. Trecerea de la nregistrri totale ale colectivitilor lametode de nregistrare parialale acestora s-a nscris ca o caledecisivn evoluia cercetrii statistice.

n cadrul cercetrilor statistice, metoda cercetrii selective sefolosete pe larg n toate domeniile vieii social-economice. Astfel, nindustrie se folosete pentru a determina gradul de utilizare asuprafeelor de producie, pentru determinarea productivitii munciin uniti naturale, la controlul calitii produselor. n agricultur,cercetarea selectivse folosete pentru stabilirea recoltei n lan pnlanmagazinarea acesteia, la analiza eficienei economice a introduceriipe scarlarga msurilor agrozootehnice corespunztoare condiiilorpedoclimatice date. n sfera serviciilor, se folosete pentrudeterminarea structurii i volumului cererii de consum a populaiei(cererea satisfcutsau nesatisfcut). De asemenea, n studiereanivelului de trai material i cultural al populaiei se folosesc cercetriselective, mai ales sub forma bugetelor de familie, n funcie destructura populaiei.

Avantajele pe care le prezintcercetarea selectiv:

1) se realizeazo studiere mai aprofundata fenomenelorcuprinse n cercetare, pentru cn programul unei nregistrri selectivepot fi cuprinde mai multe caracteristici ale colectivitii statistice luaten studiu dect n programul unei nregistrri totale.

2) permise extinderea ariei de cunoatere statistici lafenomenelei procesele social-economice ce nu se pot cerceta printr-oobservare total. n unele cazuri, cercetarea selectiveste unicametodde cunoatere statistic a caracteristicilor colectivitilorstudiate.

3) erorile de nregistrare care se produc n nregistrarea selectivsunt mai puin numeroase dect cele care apar n nregistrarea total;

26

4) permite o mai mare rapiditate n obinerea informaiilor,pentru ccercetarea se efectueazla un numr (volum) mai redus deuniti ale colectivitii generale;

5) un volum mai mare de muncfade nregistrarea total.Problema eseniala cercetrii selective este determinarea unei

colectiviti mai restrnse n cadrul colectivitii statistice totale.De aceea metoda constn extragerea din colectivitatea totala

unui numr limitat de elemente numit eantion, mostr, spernd cinformaia primitprin cercetarea acestei pri este utili suficient deprecispentru a cunoate ntreaga colectivitate.

Astfel, cercetarea selectiveste un ntreg proces de cercetare,ncepnd cu alegerea datelor pe baza colectivitii de selecie, iterminnd cu extinderea i analiza rezultatelor la nivelul colectivitiitotale.

Deci scopul cercetrii selective este cunoaterea colectivitiitotale, din care face parte colectivitatea de selecie.

n cercetarea selectiv, deoarece se confruntdoutipuri decolectiviti colectivitatea total(general) i colectivitatea parial(de selecie) se ntlnesc o serie de termeni perechi care au acelaiconinut metodologic, dar care se deosebesc din punct de vedere alinformaiilor folosite.

Colectivitatea total este colectivitatea supuscercetrii,delimitatn timp, spaiu i din punct de vedere calitativ. Poate fi,dupnumr, finitsau infinit. Volumul colectivitii totale se referla numrul tuturor unitilor componentei se noteazcu N.

Colectivitatea de selecie (eantion sau mostr) reprezintoparte din elementele colectivitii totale, extrase dupun principiu deselecie. Se noteazcu n. Colectivitatea de selecie este cea care senregistreazi studiazmultilateral, iar rezultatele obinute se extindla nivelul colectivitii totale.

27

Termenii perechi ntr-o cercetare selectiv(prin sondaj):

Pentru toatcolectivitatea

Pentru colectivitateade selecie volumulcolectivitii N n

caracteristicastudiatcu nivelurilesale individuale

(x1 , x2 , ........, xi, ......, xN) (x1, x2, ........, xi, ......, xn)

structuracolectivitii

N

i

i

NN

1

%100100

n

i

i

nn

1

%100100

mediaN

xx

N

ii 10 n

xx

n

ii

i

1

dispersia N

xxN

ii

2

10

20

n

xxn

iii

i

2

12

pt. k eantioane

Pentru o caracteristicalternativ, aceiai termeni perechi sunt:

medianmW

NMP ,

(M, m = numrul deuniti din colectivitatecare posedcaracteristica)

dispersia wwpp wp 1,1 22

Din cauza caracterului pe care-l au n cercetarea selectiv,media i dispersia se numesc diferit. Valorile pentru colectivitateageneralse numesc parametrii se estimeazpe baza eantionului, iarvalorile pentru colectivitatea de selecie se numesc valori statistice ise obin pe baza datelor reale nregistrate, rezultnd k medii,respectiv dispersii, corespunztor cu numrul eantioanelor observate.

Pentru a se putea estima parametrii colectivitii totale pe bazavalorilor statistice din selecie, colectivitatea de selecie extrastrebuiesfie reprezentativ.

28

6.2. REPREZENTATIVITATEA COLECTIVITII DESELECIE (EANTIONULUI)

Problema principala cercetrii selective este alegerea unuieantion reprezentativ, de un volum convenabil, pe baza cruia ssepoatestima totalurile, mediile sau proprietile colectivitii totale,reducnd n acelai timp dimensiunile operaiilor anchetei.

Un eantion reprezentativ implicreproducerea cea mai fidelastructurii colectivitii totale, dar i asigurarea concordanei dintreparametrii colectivitii totale (medie, dispersie) i estimaiile acestorvalori pe bazde eantion. Dar, realitatea aratcse produc abateri.Se considero reprezentativitate satisfctoare sub aspectul structurii,cnd mrimile relative de structurale eantionului se abat fade celeale colectivitii totale cu cel mult5%.

Verificarea gradului de reprezentativitate a seleciei se va facepe baza msurrii neconcordanei parametrilor cu valorile estimate lanivel de eantion. Neconcordana se msoarcu ajutorul erorilor dereprezentativitate, care se exprimn uniti de abatere standard.

6.3. TIPURI DE EANTIOANE

Eantionul de obinere prin extragerea unitilor dincolectivitatea total, pe baza principiilor alegerii probabilistice sau pebaza principiului alegerii raionate.

n funcie de principiul de alegere folosit, se disting 3 tipuriprincipale de eantionare:

a) eantionarea probabilistic;b) eantionarea raionat;c) eantionarea mixt.

a) Eantionarea probabilistic(numiti eantionare aleatoaresau ntmpltoare) se bazeazpe principiul alegerii probabilistice.Adic, unitile eantionului se extrag din colectivitatea totalaleator.Astfel, fiecare unitate component a colectivitii totale are oprobabilitate egalde a fi aleasn eantion. Dacse respectacestprincipiu, se obine un eantion pur aleator. Acest principiu se apliccnd nu se cunoate structura colectivitii totale dupcaracteristicaluatn studiu.

Procedee principale:

29

procedeul seleciei repetate, adicbila extrasdin urn,de fiecare datse introduce n aceasta, volumul Nrmnnd neschimbat toatperioada ct dureazextragerea pentru formarea eantionului; procedeul seleciei nerepetate, adicbila odatextras

din urnnu mai este reintrodus. De aceea,ansa fiecreiuniti de a intra n selecie se mrete.

La sfritul seleciei, numrul unitilor rmase n urnva fi deN-n, adicdiferena dintre volumul colectivitii generale i cel aleantionului. Probabilitatea unei uniti (p) de a participa la selecie semrete astfel:

11;......;

21;

11;1 321

nNP

NP

NP

NP n

procedeul seleciei neeconomice se efectueazfie pe bazaunui pas de numrare, fie pe baza tabelelor cu numerealeatoare.

n primul caz (pasul de numrare) se presupune stabilirea unuipas de numrare (k) dedus din mprirea volumului colectivitiitotale (N) la volumul colectivitii de selecie (n), urmnd ca seleciasse efectueze din lista care cuprinde toate unitile colectivitiigenerale, list care se alctuiete dupo caracteristiccu totulntmpltoare.

Varianta tabelelor cu numrare aleatoare const nnumrtoarea tuturor unitilor colectivitii generale ntr-o ordineoarecare, de la 1 la Ni apoi unitile stabilite ale eantionului (M) sealeg din tabelele cu numere ntmpltoare.

b) Eantionarea raionat(dirijat) se bazeazpe principiulalegerii raionate. Eantionarea se efectueazdupun anumit principiuprestabilit, atunci cnd acesta apare ca fiind raional i util. Se aplicn seleciile fcute asupra colectivitilor grupate n grupe tipice, deci acror structureste cunoscut.

Acest tip de eantionare poate furniza eantioane tipice saureprezentative ntr-o msur mai mare dect o eantionareprobabilistic. n plus, se aflmai multe despre medie i mai puindespre dispersie, pentru canchetatorul a ales valori apropiate demedie.

c) Eantionarea mixt mbincele douprincipii de alegere,cea probabilistici cea raionat, ducnd la eliminarea dezavantajelorcelor doutipuri de eantionare.

30

Constn gruparea colectivitii totale n straturi (grupuri tipice)n raport cu un principiu oarecare prestabilit i apoi extragerea a cteunui eantion aleator din fiecare strat.

Seleciile se mai clasifici dupnumrul de uniti ce pot fiextrase o dat:

selecii simple, cnd se extrage o singurunitate o dat; selecii de serii, cnd se extrag mai multe uniti deodat

din colectivitate.

Pentru determinarea erorilor de reprezentativitate, de mareimportaneste clasificarea seleciilor dupvolumul eantionului.Existselecii de volum marei selecii de volum mic. Cele de volummare sunt de peste 40 de uniti. Se acceptca un eantion cu ncuprins ntre 40 i 120 de uniti dvalori de estimare aproximative,iar la un eantion cu n120 de uniti se obin rezultate mai bune.Seleciile de volum redus sunt acelea care au un eantion de volummai mic de 40 de uniti.

6.4. ERORI DE REPREZENTATIVITATE

Sunt difereniate dintre valorile statistice ale seleciei iparametrii colectivitii totale.

6.4.1. CLASIFICAREA ERORILOR

erori de nregistrare;

erori de reprezentativitate, care dupsursa de provenienpot fi: sistematice; ntmpltoare.

Erorile sistematice de reprezentativitate se produc ntr-unsingur sens i sunt o urmare a influenei subiective a celui careefectueaz selecia, nerespectndu-se strict principiul selecieintmpltoare. Atunci, colectivitatea total, avnd o omogenitateslab, n selecie s-ar cuprinde numai anumite tipuri, selecia fiindnereprezentativ.

Erorile ntmpltoare de reprezentativitate se produc pentrucprin eantion nu se poate reproduce absolut identic colectivitateatotal. Din acest motiv, pe baza seleciei, nu se poate face o estimare

31

corecta parametrilor colectivitii. Dacse fac mai multe selecii, seconstatcmedia lor se va abate n mai mare sau mai micmsurdela colectivitatea total. Dar, aceste abateri se produc n toate cazurile,eliminarea lor completnefiind posibil. Este posibildeterminarea cuexactitate a mrimii lor probabile.

Pe baza erorilor de reprezentativitate se va stabili precizialimitelor de ncredere pentru estimaiile valorilor parametrilorcolectivitii totale.

6.4.2. DETERMINAREA MRIMII ERORILOR DEREPREZENTATIVITATE

Acest lucru se realizeazcu ajutorul indicatorilor variaiei;pentru cerorile de reprezentativitate sunt abateri ale valorilor deselecie fade parametrii colectivitii generale, iar abaterile (gradulde mprtiere) se msoarprin indicatori ai variaiei.

Nu trebuie evitat c determinarea mrimii erorilor dereprezentativitate este influenatde volumul eantionului. Cu ctvolumul eantionului crete, cu att valorile obinute prin eantion sevor apropia mai mult de parametrii colectivitii generale, iar erorilede reprezentativitate tind ctre 0.

Erorile de reprezentativitate se calculeazdiferit n funcie defaptul cdaceste cunoscutsau nu structura colectivitii generaleica urmare i de tipul de eantionare. Astfel, se pot determina eroriefectivei erori probabile de reprezentativiate.

a) Erorile efective se pot stabili cnd se cunosc structura iparametrii colectivitii generale. Gradul reprezentativitii seleciei sedetermin prin compararea structurii eantionului cu structuracolectivitii generale pentru cstructura colectivitii generale estedatde forma de distribuie a unitilor dupo variabil, pentru averifica reprezentativitatea este suficient calcularea mediilor deselecie ( ix ), ce sunt exprimate sintetic prin media mediilor de selecie( x ), i media colectivitii totale ( 0x ), i sse compare acetiindicatori. Deci eroarea efectivde reprezentativitate ( xd ) este:

0xxd x , iar aceasteroare raportatla media colectivitii

generale 1000

0x

xxk

xddposibilitatea sse verifice daceantionul

se ncadreazn abaterea de structuradmisde cel mult 5%.

32

b) Erorile probabile de reprezentativitate se stabilesc cnd nuse cunosc parametrii colectivitii generale. Erorile probabile dereprezentativitate sunt: eroarea mediei eroarea limit.

Eroarea medie de selecie estimeazeroarea mediei de seleciefade media colectivitii generale. Se mai numetei eroarea mediede reprezentativitate i se determinn funcie de gradul de dispersiei de volumul colectivitii de selecie.

Eroarea limitstabilete limitele de ncadrare a erorii medii dereprezentativitate. Se determinn funcie de mrimea erorii dereprezentativitate i de gradul de precizie cu care se dorete a segaranta rezultatele.

Determinarea erorii medii de selecie

Cnd nu se cunosc parametrii colectivitii generale, pentru adetermina mrimea erorii medii de selecie se gsete o altbazdecomparare pentru valorile seleciei. De aceea se extrag mai multeeantioane crora li se comparvalorile medii cu media mediilor deselecie (nu cu media colectivitii generale). Fiecare eantion i aremedia sa care se abate mai mult sau mai puin de la mediacolectivitii generale. Valoarea medie a fiecrui eantion se comparcu valoarea medie a mediilor eantioanelor de selecie.

Pentru a putea msura valoarea abaterilor mediilor de seleciefade media lor (adicmedia colectivitii generale) se vor consideraabaterile ptratice, care se exprimprin abaterea medie ptraticamedii9lor de selecie fade media lor. Dacse poate msura mrimeaerorii de reprezentativitate sau a erorii de estimare a medieicolectivitii generale pe seama colectivitii de selecie.

Eroarea medie de reprezentativitate, exprimatprin abatereamedie ptratica mediilor de selecie fade media lor, se noteazxi se calculeaz:

k

ii

k

iii

x

n

nxx

1

1

2

n care:k = numrul mediilor de selecieni = frecvena fiecrei medii de

selecie.

n cazul seleciei probabilistice, n care media seleciilor ( x )coincide cu media colectivitii generale ( 0x ), x se poate calcula caabatere medie ptratica mediilor de selecie fade media general:

33

k

ii

k

iii

k

ii

k

iii

x

n

nxx

n

nxx

1

1

2

0

1

1

2

Deci este necesarcunoaterea tuturor mediilor de selecie ( ix ),cu frecvenele corespunztoare ni i media colectivitii generale ( 0x ),dar fra cunoate colectivitatea general.

De aceea se folosete relaia care exist, ntr-o selecientmpltoare, ntre dispersia colectivitii generale 20 i dispersiamediilor de selecie de la media colectivitii generale ( 2x )i volumulseleciei n, dar difereniat.

n cazul seleciilor bazate pe procedeul bilei revenite, relaiadintre indicatorii de mai sus este o relaie de egalitate:

20

2 xn , iar n cazul seleciilor frrevenire 202 xn .

De aici rezultcdispersia de selecie este calculatn funciede dispersia colectivitii generale i volumul eantionului:

nx202

Decii abaterea medie ptratica mediilor de selecie (mrimeaerorii de reprezentativitate), va fi stabilitn funcie de aceleaimrimi pentru c:

nnxx0

202

Adicmrimea erorii de reprezentativitate este influenatdirect proporional de dispersia colectivitii generale i este n raportde inversproporionalitate cu radical din volumul eantionului.

Dac cunoatem 20 i n, se poate determina anticipatdispersia de selecie 2x i deci mrimea erorii de reprezentativitate(x). Totodatse poate influena mrimea acesteia, tiind c 2x esteinvers proporional cu n, putem mri sau micora dispersia deselecie, adiceroarea de reprezentativitate micornd sau mrindvolumul eantionului (n) cu o constantk:

pentru mrire:n

k

kn

k

k xx2

20

202

1;

1 ;

pentru micorare:nkkknk

xx2

20

20

2

;

34

Eroarea limit

Stabilete intervalul de variaie a mediei de selecie fademedia general, n condiiile unui grad de ncredere probabilistic.

Limitele intervalului de variaie a mediei de selecie sunt numitelimite de ncredere, iar intervalul interval de ncredere.

Mrimea erorii limit depinde de mrimea erorii dereprezentativitate (x) i de coeficientul de probabilitate (t), numitcoeficient de ncredere.

Notm cu x eroarea limit, pentru o caracteristicnealternativ, atunci: x = tx, t este tabelat, fiind argumentulfunciei Laplace dtet

t

t

2

2

21t

, ntre ti (t)

este o legturstrns, adiccu ct se dau lui t valori maimari cu att (t) se apropie mai mult de 1.

Deci limitele intervalului de ncredere sunt xxi , iar valoareaestimata mediei colectivitii generale va fi:

xxx i 0 , adic xxxxx ii 0n practic, erorile seleciei de reprezentativitate nu trebuie s

fie mai mari de5%.

35

CAPITOLUL 7REGRESIEI CORELAIE

7.1. NOIUNI, TIPURI DE LEGTURI

Studiul regresiei sau modelarea regresiei presupune folosireaunui set de metode n scopul gsirii unui model de descriere a formeicorespunztoare a legturilor dintre variabile.

Metoda corelaiei se finalizeazprin msurarea intensitiilegturii dintre dousau mai multe variabile i prin evideniereamodului n care valorile reale se concentreazsau nu n jurul liniei deregresie.

O cercetare bazatpe regresie i corelaie rezolvurmtoareleprobleme:

1) identificarea existenei legturii;2) stabilirea sensuluii formei legturii;3) determinarea gradului de intensitate a legturii cu ajutorul

indicatorilor parametrici sau neparametrici ai intensitii corelaiei.

Tipuri de legturi

Legturile statistice, ce sunt specifice fenomenelor economico-sociale, se caracterizeazprin faptul cnu se manifestn fiecare cazn parte, ci n medie, pentru un numr mare de cazuri. Variaia uneivariabile rezultative este condiionatde rezultatul conjugat alinfluenei mai multor variabile factoriale. Adicn cazul unei legturistatistice, variaia variabilei (y) este determinatntr-o anumitmsurde corelaia variabilei (x), dar asupra ei mai acioneazi ali factoricare, din punct de vedere al legturii dintre x i y se considerntmpltori.

n general, expresia unui modul de regresie poate fi:

y = j(x1, x2, ...., xn) + e, unde:

y = variabila rezultativ(dependent);x1, ...., xn = variabile factoriale (independente);

e = variabile care reprezintinfluena tuturor factorilor neincluin model, considerai ca eroare de modelare.

Tipurile de legturi se difereniazdupdiferite criterii. Astfel,dupnumrul variabilelor corelate pot fi:

36

legturi simple, ce exprim variaia variabileirezultative y n funcie de o singurvariabilx;

legturi multiple, ce exprimvariaia variabilei yn funcie de variaia simultan a mai multorvariabile factoriale (x1, x2, ......);

legturi directe, ce exprimmodificarea lui y nacelai sens cu variabila x; legturi inverse, ce exprimmodificarea lui y n

sens contrar variabilei x.

Dupforma legturilor: legturi rectilinii; legturi curbilinii.

7.2. METODE DE STUDIERE A LEGTURILORSTATISTICE

7.2.1. METODE ELEMENTARE

A. Metoda seriilor statistice paralele interdependente

Legturile statistice se stabilesc prin compararea termenilor adouserii paralele interdependente:

unde: x = variabila factorial(interdependent);

y = variabila rezultativ(dependent);

xi, yi = termenii seriei pentru variabilafactorial x, respectiv pentruvariabila rezultativy

Componena seriilor de timp se face duptermenii lor n ordinecronologica seriilor de spaiu, termenii se ordoneazn ordineacresctoare sau descresctoare a variabilei factoriale x. Dincompararea seriilor interdependente se evideniazexistenai direcialegturii.

Dacambele variabile comparate variazn acelai sens, existo legturdirect. Dacvariaia lor este de sens diferit, corelaia esteinvers. Iar daccele douvariabile variazn mod independent, sauuna variazi cealaltrmne constant, nu existlegtur.

x x1 x2 xi xn

y y1 y2 yi yn

37

B. Metoda gruprilor statistice

Se aplicn cazul n care cele douvariabile corelate prezintun numr mare de variante. metoda implicgruparea valorilorfactoriale x pe intervale de variaie i calcularea valorilorcorespunztoare ale variabilei y sub forma unei mrimi derivate,adicpentru compararea termenilor se urmrete corespondena (xi,yi).

Se vor face operaiile din tabelul urmtor:

Variabila xgrupatpeintervale de

variaie

Frecvenelepe grupe de

variaie

Sumavariabilelor ycorespunztoarefiecrui intervalde variaie a lui

x

Valoareamedie a lui ype grupe ale

lui x(col.2 : col.1)

x0 x1 n1 j

jy1 1y

xi1xi ni j

ijy iy

xn-1xn nn j

njy ny

Total in i

ijj

y y

C. Metoda tabelului de corelaie

Presupune gruparea simultandupambele variabile corelate, xi y. Se folosesc intervalele de grupare egale,i un numr aproximativegal pentru ambele variabile.

Astfel, existcorespondena: la o valoare pentru x, o distribuiepentru y.

Dupmodul de distribuie n tabel a frecvenelor nij se poateaprecia existena, direcia i intensitatea legturii. Dacfrecvenele nijsunt dispersate relativ uniform n tabel, atunci nu existlegturntrevariabilele considerate. Dar, cu ct frecvenele se concentreazn juruldiagonalelor tabelului, atunci corelaia este mai intens.

38

x0

y

iy

x y y1 yj yp

Frecvenelemarginale

ij

nnij

x1 n11 n1j n1p n1

xi ni1 nij nip ni

xm nm1 nmj nmp nm

j

jij nn n1 nj np i j ijnn

D. Metoda grafic

Implic reprezentarea grafic a perechilor de valori alevariabilelor ntr-un sistem de axe de coordonate. Astfel, se poatestabili existena, sensul, forma i intensitatea corelaiei construind,corespunztor procedeului tabelar folosit pentru sistematizarea datelor,un tip de corelogram(grafic de corelaie) ca n figurile de mai jos:

Acest tip de grafic este cayul corespondenei: la o valoare xi ovaloare yi (metoda seriilor paraleleinterdependente); respectiv la o valoare xi ovaloare medie iy (metoda gruprilor sau atabelului de corelaie).

Corelogramele de mai jos seconstruiesc cnd existo corespondende la

valoare pentru x la o distribuie pentru y (tabelul de corelaie) (a,b, c). Corelogramele d, e i f prezintforme ale norului de puncte ncazul a douvariabile independente.

39

x0

y

a)x0

y

b)x0

y

c)

(B)

(A)

x0

y

d)x0

y

e)

x0

y

f)

7.3. MODELE DE REGRESIE CU DOUVARIABILE

yx = f(x) = legtura statisticntre douvariabile: y (variabiladependent)i x (variabila independent).

7.3.1. MODELUL DE REGRESIE LINIAR

Este de forma:

yx = a + bx (ecuaia de regresie)

a i b sunt parametri necunoscui, a = ordonata de origine aratvaloarea variabilei y cnd x = 0 i b = panta dreptei, numit iparametru de regresie.

Semnul parametrului de regresie b indicdirecia legturiidintre cele douvariabile corelate:

b0 indico legturdirect(pozitiv);b = 0 nu existlegtur;

40

b0 legturinvers(negativ).Valoarea lui b aratgradul de dependendintre variabile, adic

cu ct crete sau cu ct scade y la o cretere sau la o scdere avariabilei x cu o unitate.

Parametri ecuaiei de regresie se estimeazcu ajutorul metodeicelor mai mici ptrate. Adicdin minimizarea sumei ptratelorabaterilor valorilor observate fade valorile calculate:

s = minim2xi yyDacnlocuim yx, obinem:s = minim2ixi bayAceast expresie se minimizeaz prin derivare. Anulnd

derivatele pariale ale lui S n raport cu ai b:

2as

01ixi bay

2bs 0ixi xbay iobinem dupdiferite transformri, un sistem de ecuaii normale

sub forma:

iiii

ii

yxxbxa

yxbna2

Dac rezolvm sistemul de ecuaii normale prin metodadeterminanilor, obinem:

222

22

2

2

2

.det.det

.det.det

ii

iiii

ii

i

iii

i

ii

iiiii

ii

i

iii

ii

xxn

yxyxn

xx

xn

yxx

xn

bb

xxn

yxxxy

xx

xn

xyx

xy

aa

Dacse studiazlegtura ntre douvariabile folosind dategrupate ntr-un tabel de corelaie, sistemul de ecuaii normate iaforma:

41

ijjiiii

jjiiij

nyxnxbnxa

nynxbna

i

2 ,

iar parametrii ecuaiei de regresie se aflpe baza relaiilor:

22

22

2

iiiij

jjiiijjiij

iiiij

ijjiiiijj

nxnxn

nynxnyxnb

nxnxn

nyxnxnxnya

i

i

i

Elementele necesare determinrii parametrilor ecuaiei deregresie:

y1 yj yp j

iji nn xini2ix ii nx 2 ijjij

nyx x1 n11 n1j n1p n1

jjjipp

jj

nyxnyx

nyxnyx

111

111111

xi ni1 nij nip j

iji nn

xk nk1 nkj nkp nk

jkjjkkppk

kjjkkk

nyxnyx

nyxnyx

11

j

ijj nn n1 nj np j

iji

n iii

nx - ii

nxi

2ijji

i jnyx

jiny j

jjny

i

ijji nyx j

ijiii

nyx

2jy

jny j 2

jj

nyj 2

7.3.2. MODELE DE REGRESIE NELINIAR

A. Model de regresie parabolic

yx = a + bx +cx2

Prin metoda celor mai mici ptrate se rezolvsistemul:

42

i

iii

ii

yxxcxbxa

yxxcxbxa

yxcxbna

iiii

ii

i

2432

32

2

B. Modelul de regresie hiperbolic

xb

ayx , iar parametrii se aflrezolvnd sistemul:

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

ii

iii

i

ii

ii

i

ii

i

i

ii

ii

xxi

n

yxx

yn

bb

xxi

n

xxy

xiy

aa

xy

xi

bx

a

yx

bua

C. Modelul de regresie exponenial, de forma:

xx bay , care prin logaritmare devine

log yx = log a + x log b, apoi, prin metoda celor mai miciptrate obinem:

43

22

22

2

2

logloglog

logloglog

logloglog

logloglog

ii

iiii

ii

iiiii

iiii

ii

xxn

yxyxnb

xxn

xyxxya

yxxbxa

yxban

7.4. MSURAREA INTENSITII LEGTURII DINTREDOUVARIABILE

Intensitatea legturii arat gradul de concentrare sau demprire a valorii y n jurul liniei de regresie y. Se msoarcuajutorul coeficientului de corelaiei a raportului de corelaie.

7.4.1. COEFICIENTUL DE CORELAIE

Se folosete pentru msurarea legturii n cazul unei regresiiliniare simple.

yxn

yyxxr iiyx

, n care xi, yi i yx; sunt

variabile corelate cu nivelul mediu al acestora;

yxi = abaterea medie ptraticpentru xi y;

n = numrul perechilor de valori.

y

xy br x

rezultdin compararea relaiilor de calcul a

coeficientului de regresie b de la modelul liniar i cea a coeficientuluide corelaiei obinem legtura de mai sus.

Iar 1r+1.Din relaia coeficientului de corelaie, dezvoltatpe baza

relaiilor de calcul a mediilor i abaterilor medii ptratice, se obine oformulde calcul simplificat:

44

2222

iiii

iiiiy

yynxx

yxyxnr

x

Dacse folosesc date grupate, formula cuprinde i frecvenelecelor douvariabile:

2222

jjjjijiiiij

jjiiijjiijy

nynynnxnxn

nynxnyxnr

i

x

7.4.2. RAPORTUL DE CORELAIE

Raportul de corelaie este un indicator al intensitii legturii cese poate aplica att n cazul regresiei neliniare simple sau multiple.

2

2/

2

2

1y

yy

y

y xx sau , n care:

n

yyiy

2

2 = dispersia general, respectiv dispersiavariabilei y n raport cu media tuturor valorilor empirice;

n

yy xxyx

2

2 = dispersia valorilor teoretice fademedia lor (dispersia sub influena factorilor eseniali);

n

yy xiyy x

2

2/ = dispersia valorilor empirice fa

de valorile teoretice ale variabilei (dispersia rezidual).Dispersia generaleste egalcu suma celorlalte doudispersii

componente:

2/

22xx yyyy

0 1, 1 artnd existena unei legturi funcionale,respectiv variaia variabilei y depinde numai de variaia variabilei x,dispersia rezidualfiind egalcu 0. Apoi coeficientul de determinaie(este valoarea la ptrat a raportului de corelaie):

45

2

22

y

y x

ce aratponderea influenei factorului x asupra

variaiei variabilei y.Dacnlocuim n formula raportului de corelaie, dispersiile cu

expresiile lor, atunci:

yy

yy

i

xi2

1

Explicitnd dispersiile 22/ yyy ix din raportul de corelaie idupefectuarea transformrilor elementare se ajunge la calculareaindicatorului intensitii pe baza valorilor parametrilor ecuaiei deregresie din modelul admis.

n cazul regresiei liniare (yx = a + bx), raportul de corelaiedevine:

22

2

1

1

i

iiii

yn

y

yn

yxbya

i

sau dacse considerdate grupate ntr-un tabel de corelaie:

22

2

1

1

jjij

j

jjij

ijjijj

nyn

ny

nyn

nyxbnya

j

n cazul regresiei neliniare, raportul de corelaie calculat pebaza parametrilor ecuaiilor de regresie este:

pentru o regresie de tip parabolic (yx= a + bx + cx2):

22

22

1

1

i

iiiii

yn

y

yn

yxcyxbya

i

i ,

respectiv:

22

22

1

1

jjij

j

jjij

ijjijjijj

nyn

ny

nyn

nyxcnyxbnya

j

i

46

pentru o regresie de tip hiperbolic (xbayx )

22

2

1

1

i

ii

ii

yn

y

ynx

ybya

i

,

respectiv:

22

2

1

1

jjij

j

jjij

iji

jjj

nyn

ny

nyn

nxy

bnya

j

pentru o regresie de tip exponenial (yx = abx, log y = log a +log b):

22

2

1)(log

1loglogloglog

ii

iiii

yn

y

yn

yxbya

7.5. MODELE DE REGRESIE PENTRUO CORELAIE MULTIPL

Cazul regresieii corelaiei ntre 2 variabile (prezentate la 7.3i7.4) este o situaie particular. n fapt variaia unei variabile y estedependentde aciunea complexa unei multitudini de factori.

Legtura ntre o variabildependentyi mai multe variabileindependente (x1, x2, ...., xn) poate fi exprimatprin funcia:

y = f (x1, x2, ...., xn)

Modelul unei astfel de legturi poate fi liniar sau curbiliniu.Dactoate legturile simple dintre yi x sunt liniare, atuncii regresiamultipleste liniar, dar daccel puin una dintre legturile simpleeste neliniar, atunci regresia multipleste curbilinie.

7.5.1. REGRESIA MULTIPLLINIAR

Modelul de regresie se exprimprin ecuaia:

47

nnxx xbxbxbay ...... 221121dacpunem condiia de minim:

.min... 22211221 nnxx xbxbxbayyysi anulm derivate pariale din ultima relaie n raport cu

parametrii a, b1, b2....bn rezulturmtorul sistem de ecuaii normale:

yxxbxxbxxbxa

yxxxbxbxxbxa

yxxxbxxbxbxa

yxbxbxbna

nnnnnn

nn

nn

nn

2221

222

2212

112122

11

2211

...

...

...

...

1

21

1

De aici, prin rezolvare, se obin parametrii ecuaiei de regresie...21xx

y .

7.5.2. REGRESIE MULTIPLNELINIAR

Modelul este de forma:nb

nbb

xx xxaxy ......2121 21...Se logaritmeazi se obine:

nnxx xbxbxbay log......loglogloglog 2211...21 Parametrii se obin rezolvnd sistemul de ecuaii normale

rezultat din aplicarea metodei celor mai mici ptrate pentru ultimaexpresie.

7.6. DETERMINAREA INTENSITII CORELAIEIMULTIPLE

7.6.1. COEFICIENTUL DE CORELAIEMULTIPLLINIAR

Se determincu ajutorul coeficienilor de corelaie simpldintrevariabilele perechi. n cazul corelaiei dintre o variabilrezultativyi

48

douvariabile independente x1, x2, coeficientul de corelaie multiplliniarse poate calcula duprelaia:

222212

2121

2222

22

222

2221

2

11

22

22

21

21

1

1

21

21121

21

:

1

2

xxnxxn

xxxxnr

yynxxn

yxyxnr

yynxxn

yxyxnr

caren

r

rrrrrr

xx

xy

xy

xxyxyxyxyxxxy

xx

Se mai poate determina cu ajutorul unei relaii bazatpedeterminanii formai din coeficienii de corelaie simplliniar. ncazul a douvariabile avem:

1

1

:

1

21

21

21

xx

xx

yxxxy

r

ry

unde

y

yR

11

1

122

211

21

xxyx

xxyx

yxyx

yx

rrrrrr

y

7.6.2. RAPORTUL DE CORELAIE MULTIPL

49

2

221

2

2

1...

1 2121

2

22121

yy

xxyy

sau

y

xxyxxy

xxyy

xxy

Raportul de corelaie multiplse poate calcula i pe bazaparametrilor ecuaiei de regresie multipl, formula stabilindu-se nfuncie de modelul regresiei multiple aplicate.

Pentru o corelaie multiplliniardintre yi x1x2,

22

22211

2211

1

1

21

21

yn

y

yn

yxbyxbya

xbxbay

xxy

xx

Pentru o corelaie multiplcurbilinie de tipul:2'

22'

1xx 22211121xbxbxbxbay

Raportul de corelaie are formula:

22

22'22

2'11

xxy

yn1

y

yn1

yxbyxbyxbyxbya2211

21

50

CAPITOLUL 8INDICATORII SERIILOR CRONOLOGICE

Fenomenele au o evoluie, n timp, plinde variaii ineregulariti. Caracterizarea varietii i tendinei, dar i a influeneifactorilor sub incidena crora are loc evoluia n timp a fenomenelorpresupune:

determinarea indicatorilor statistici i dinamici, n mrimiabsolute, relative i medii, pentru a stabili nivelul imodificarea de nivel pe linia de evoluie a unui fenomen; calcularea indicilor dinamici ai fenomenelor pentru

determinarea variaiei de la o perioadla alta, precumi ainfluenei factorilor; aplicarea metodelor de ajustare pentru estimarea liniei de

tendin(trendul); msurarea oscilaiilor sezoniere; extrapolarea seriilor observate.

8.1. INDICATORII STATISTICI AI SERIILORCRONOLOGICE

8.1.1. INDICATORI EXPRIMAI N MRIMI ABSOLUTE

Aceti indicatori exprim, n uniti concrete de msur(kg, m,lei etc.), nivelul sau modificrile de nivel ale unui fenomen privit nevoluia sa n timp.

a) Nivelul absolut este reprezentat de valoarea absolutafiecrui termen al seriei, simbolizat prin yi, unde n,0i ;

b) Volumul absolut este nsumarea nivelurilor absolute (aleseriilor cronologice de intervale):

ni10i y...y...yyyV ;c) Sporul absolut () este modificarea absolut, creterea

sau descreterea absolut aratcu ct s-a modificat, nmrimi absolute, un fenomen, ntr-o perioad sau

51

moment fade altperioadsau moment considerat cabazde raportare.

Sporul se poate determina fie n funcie de o bazmobil, fie nfuncie de o bazfix.

Sporul cu bazfix(i/0) se calculeazca diferena ntre unuldin termeni (yi)i termenul iniial (y0), duprelaia:

0iy

0/i yy

Sporul cu bazmobilsau n lan(i/i-1) se calculeazcadiferena ntre 2 termeni consecutivi, adic:

1iiy

1i/i yy

Relaii ntre sporuri dupfelul bazei:

y1i/i

y0/1i

y0/i

y0/n

n

0i

y1i/i

)2

)1

8.1.2. INDICATORI EXPRIMAI N MSURI RELATIVE

Se includ aici ritmul sau indicele de variaie i ritmul sporului.Acetia se obin prin raportarea la dounivele comparatei se exprimsub formde coeficient sau procente.

a) Ritmul sau indicele de variaie (R) aratde cte ori acrescut sau a sczut nivelul unui fenomen ntr-o anumitperioad(moment) fade nivelul aceluiai fenomendintr-o altperioad(moment) consideratca baz, duprelaiile:

ritmul cu bazfix(Ri/0):100

yy

Rrespectiv,yy

R0

iy0/i

0

iy0/i

ritmul cu bazmobil(Ri/i-1):100

yy

Rrespectiv,yy

R1i

iy1i/i

1i

iy1i/i

Relaii ntre ritmuri dupfelul bazei:

52

1i/i0/1i0/i

0/n

n

0i1i/i

RRR)2

RR)1

b) Ritmul sporului (r) aratcu ct s-a modificat, n mrimerelativ, nivelul fenomenului n perioada raportatfadenivelul din perioada de raportare. Se calculeaz, nfuncie de baza de raportare, duprelaiile:

ritmul sporului cu bazfix:

100100yy100

yyy100

yr

sau

1r1yy

yyy

yr

0

i

0

0i

0

y0/iy

0/i

0/i0

i

0

0i

0

y0/iy

0/i

ritmul sporului cu bazmobil:

100R100100yy100

yyr

respectiv

1R1yy

yyy

yr

1i/i1i

i

1i

y1i/i

1i

y1i/iy

1i/i

1i/i1i

i

1i

1ii

1i

y1i/iy

1i/i

Cu ajutorul sporurilor i a ritmurilor sporului se poate aflavaloarea absoluta unui procent de cretere, duprelaiile:

1i/i

1i/iy

0/i

0/iy

r

r

1i/i

0/i

n care:

0/iy = valoarea absoluta unui procent de cretere cu bazfix;

1i/y = valoarea absoluta unui procent de cretere cu bazmobil.

53

8.1.3. INDICATORI MEDII AI SERIILOR CRONOLOGICE

Cu ajutorul acestor indicatori se msoarfie nivelul, fie variaiamedie a tuturor termenilor seriei cronologice. Variaia medie poate fiexprimatfie n mrimi absolute (sporul mediu), fie n mrimi relative(ritmul sau indicele mediu de cretere).

a) Nivelul mediu se calculeazdifereniat n funcie de tipulseriei cronologice. Pentru o serie cronologic deintervale, nivelul mediu se afl efectund o medie

aritmetica termenilor seriei:n

yy i , iar pentru o serie

cronologicde momente, se determincalculnd mediacronologic, adic:

Media cronologicsimpl:

1n2y

y...y2y

yn

1n21

cr

pentru o serie

cronologiccu momente egal distanate ntre ele.

Media cronologicponderat:

1n21

1nn1n

232

121

cr t...tt

t2

yy...t

2yy

t2

yy

y

pentru o

serie cronologiccu momente inegal distanate ntre ele.Media cronologicponderatse mai poate calcula i dup

relaia:

1n21

1nn

212

11

cr t...tt2

ty...

2tt

y2t

yy

unde: ti reprezint

mrimea intervalelor dintre doumomente consecutive.

b) Sporul mediu () reflectmodificarea (cretereaidescreterea) media anualnregistratde un fenomenntr-o perioad. Se calculeazca o medie a sporurilorindividuale cu bazn landuprelaia:

nyy

nn0n0/n

n

0i1i/i

y

unde n reprezintnumrul

sporurilor cu bazmobil, deci este egal cu numrultermenilor din serie minus 1.

54

c) Ritmul mediu al variaiei ( R ) sau indice mediu devariaie, aratde cte ori s-a modificat n medie pe annivelul unui fenomen ntr-o perioad.

Se calculeaz, de regul, dupmetoda mediei geometrice, pebaza relaiei:

nn

0i1i/iRR

n care: n = numrul ritmurilor

cu bazmobiltim c:

atunci,RR 0/nn

0i1i/i

n

0

nn0/n y

yRR , logaritmnd, obinem:

0/n1i/i

n

0i

Rlogn1

RlogRlogn1

Rlog rezult c RloglogantiR .

Metoda mediei geometrice ine seama numai de valoareaultimuluii primului termen al seriei, ignornd termenii intermediari.

d) Ritmul mediu al sporului ( r ) aratcu ct s-a modificat nmedie pe an nivelul unui fenomen ntr-o perioad. Acestindiciu se calculeazduprelaia:

100rrsau1rr .

55

BIBLIOGRAFIE

1. Allen R.D.G. Statistics for economics,Hutchinson University Library, 1963.

2. Baron T., BdiM. Statistica, Xerografiat,Uniersitatea Indepentent\ Dimitrie Cantemir ,Bucureti, 1991.

3. Biji M., Elena Biji Statisticteoretic, EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 1979.

4. Elisabeta Jaba Statistica, Editura Graphix, Iai,1993

5. Elisabeta Jaba Statistica, Editura Polirom, Iai,2000.

6. Mendenhal W. Statistics for Management andEconomics, PWS Kent, Publishing, Boston, 1986.

7. Merce E., Urs Fl., Merce C., Statistic, EdituraAcademic Pres, Cluj Napoca, 2001.