MECANICA

MEMORATOR DE MECANIC

statica

Partea ntiastatica

1. STATICA PUNCTULUI MATERIAL

1.1. Statica punctului material

Forele ce acioneaz asupra unui punct material avnd acelai punct de aplicaie, sunt fore concurente. Un sistem de fore concurente este echivalent cu:

o for unic, numit rezultant, dac poligonul forelor (o generalizare a paralelogramului forelor) este deschis;

zero dac poligonul forelor este nchis.

Analitic, dac se noteaz cu proieciile unei fore oarecare , i cu proieciile rezultantei , atunci, aplicnd teorema proieciilor, rezult, pentru proieciile rezultantei, expresiile:

(1.1)

Condiiile de echilibru ale unui sistem de fore concurente se scriu:

(1.2)

1.2. Axioma legturilor

Un punct material supus la legturi (obligat s ocupe anumite poziii n spaiu ntr-un punct, pe o curb sau pe o suprafa) este echivalent cu un punct material asupra cruia, n afar de forele active a cror rezultant este , acioneaz o for pasiv denumit for de legtur sau reaciune,.

Condiia necesar i suficient ca un punct material supus la legturi s fie n echilibru este dat de relaia

(1.3)

EMBED Equation.3 0

n cazul unei legturi ideale (fr frecare) reaciunea,

EMBED Equation.3 , este normal la curba sau suprafaa pe care este obligat s rmn punctul material.

n cazul unei legturi reale (cu frecare), reaciunea,

EMBED Equation.3 , are dou componente (Fig. 1.1):

componenta normal ;

componenta tangenial (fora de frecare de alunecare), tangent la curb sau la suprafa, avnd sensul opus tendinei de alunecare i al crei modul satisface inegalitatea

(1.4.)

unde este coeficientul de frecare de alunecare (adimensional).

EMBED Equation.3 Fig. 1.1

2. STATICA RIGIDULUI

2.1. Vectori alunectori

Forele ce acioneaz asupra unui rigid au caracter de vectori alunectori (pstrndu-i modulul, direcia i sensul, i pot muta originea n orice punct aparintor dreptei suport).

Un vector alunector se caracterizeaz prin vectorul liber (pstrndu-i modulul, direcia i sensul, i poate muta originea n orice punct din spaiu) i prin momentul su n raport cu un punct O, numit pol.

Se numete moment al unui vector n raport cu un punct, produsul vectorial dintre vectorul de poziie al punctului de aplicaie A al vectorului i vectorul (fig.2.1).

(2.1.)

Proiecia acestui moment pe o ax ce trece prin polul O, poart numele de momentul vectorului n raport cu axa i are ca expresie produsul mixt

(2.2)

unde s-a notat cu versorul axei (Fig. 2.1).

Fig. 2.1

Analitic, dac se noteaz cu proieciile pe axele unui triedru cartezian ortogonal ale vectorului alunector i cu coordonatele punctului su de aplicaie A, momentul vectorului n raport cu originea O se scrie sub forma determinantului simbolic

(2.3)

unde sunt versorii axelor .

Momentele vectorului alunector n raport cu axele sunt respectiv minorii lui din determinantul (2.3) adic,

(2.4)

Un vector alunector este caracterizat prin 6 mrimi scalare

(2.5)

ntre care exist o relaie identic satisfcut

(2.6)

Expresia din stnga relaiei (2.6) poart numele de trinom invariant.

Un sistem de vectori alunectori este caracterizat prin doi vectori:

vectorul rezultant, ;

vectorul moment rezultant,

definii prin relaiile

(2.7)

Ansamblul celor doi vectori poart numele de torsor al sistemului de vectori alunectori.

Vectorul rezultant , rmne acelai, oricare ar fi punctul n care se calculeaz torsorul.

Vectorul moment rezultant , se schimb atunci cnd se schimb polul, potrivit formulei

(2.8)

unde P este noul pol.

Modulul momentului rezultant este minim n punctele unei drepte care poart numele de ax central a sistemului de vectori alunectori i ale crei ecuaii sunt:

(2.9)

avnd expresia momentului rezultant minim

(2.10)

Pe axa central momentul rezultant i vectorul rezultant sunt coliniari.

Dou sisteme de vectori alunectori sunt echivalente dac au acelai torsor ntr-un punct O, respectiv dac

(2.11)

Din teorema de echivalen a dou sisteme de vectori alunectori rezult urmtoarele cazuri de reducere a unui sistem de

vectori alunectori:

(2.12)

- sistem echivalent cu zero (echilibru);

- sistem echivalent cu un cuplu situat ntr-un plan normal pe ;

- sistem echivalent cu un vector unic pe axa central, egal cu ;

- sistem echivalent cu o dinam (un vector pe axa central egal cu i un cuplu de moment situat ntr-un plan normal pe axa central

Cazuri particulare:

sistemele de cupluri se reduc la un cuplu (un sistem de dou fore paralele, egale n modul, de sens opus i care acioneaz pe drepte suport paralele) sau sunt echivalente cu zero;

sistemele de fore coplanare i cele de fore paralele se pot reduce, dup caz, la o for unic pe axa central, la un cuplu sau la un sistem echivalent cu zero;

n cazul unui sistem de fore paralele, care se reduce la o for unic pe axa central, aceasta se bucur de proprietatea c trece necontenit printr-un punct fix, numit centrul forelor paralele, atunci cnd forele sistemului, pstrndu-i punctele de aplicaie i valorile scalare, i schimb direciile, rmnnd ns, paralele ntre ele.

Coordonatele centrului forelor paralele au expresiile

(2.13)

2.2 Centrul de greutate. Centrul maselor

n cazul n care forele sunt greutile ale punctelor materiale ale unui sistem, centrul forelor paralele devine centrul de greutate al sistemului. Dac, (n 2.13) se nlocuiete cu respectiv i apoi se simplific expresiile respective, se ajunge la centrul maselor, ale crui coordonate sunt:

(2.14)

n cazul unui corp material continuu, sumele se transform n integrale i expresiile (2.14) devin:

(2.15)

n cazul unui corp omogen, al unei plci omogene i al unei bare omogene, elementul de mas dm poate fi nlocuit respectiv cu elementul de volum dV, elementul de arie dA i elementul de lungime ds.

n cazul unui corp material compus prin alturarea sau prin eliminarea unor corpuri ale cror mase Mi i coordonate ale centrelor maselor se cunosc, nu e necesar s se efectueze integralele din formula (2.15).

Se recomand urmtoarea metod practic de determinare a coordonatelor centrului de mas, sistematizat n tabelul 2.1.

Tabelul 2.1. Determinarea coordonatelor centrului de mas

masacoordonatele centrului de mas al subdomeniuluiproduse pariale

Nmixiyizimiximiyimizi

IIIIIIIVVVIVIIVIII

1M1(1(1(1m1(1m1(1m1(1

2M2(2(2(2m2(2m2(2m2(2

iMi(i(i(imi(imi(imi(i

nMn(n(n(nmn(nmn(nmn(n

Rezult, pentru coordonatele ale corpului, expresiile

(2.16)

Masele Mi care se altur se iau cu semnul (+), iar ale corpurilor care sunt eliminate, cu semnul (-).

2.3. Condiiile de echilibru ale unui sistem de fore

acionnd asupra unui rigid liber

Experiena arat c, din cele patru cazuri de reducere ale sistemelor de vectori alunectori (2.12), singurul caz n care este asigurat echilibrul, este , care devine, prin proiecii pe axe:

(2.17)

n cazul sistemelor de fore coplanare rmn trei ecuaii

(2.18)

2.4. Condiiile de echilibru ale unui sistem de fore

acionnd asupra unui rigid supus la legturi

Se aplic axioma legturilor, elibernd rigidul de legturi i introducnd reaciunile corespunztoare. Exist trei legturi mai importante (Fig. 2.2.a):

reazemul simplu (sau mobil): legtura unui rigid cu un corp material, atunci cnd suprafeele lor n contact au n permanen un punct comun, numit punct teoretic de rezemare;

articulaia: legtura unui rigid cu un corp material, atunci cnd suprafeele lor n contact au n permanen un punct comun fix. n funcie de dispunerea n spaiu a forelor active aplicate, se cunosc articulaii spaiale (sferice) i articulaii plane (cilindrice).

ncastrarea: legtura unui rigid cu un corp material n raport cu care nu exist nici o posibilitate de micare.

reazem simplu articulaie plan ncastrare

Fig. 2.2.a

n cazul legturilor ideale (fr frecare) reazemele simple se nlocuiesc cu reaciuni normale pe suprafeele de sprijin, articulaiile se nlocuiesc cu fore de module i direcii arbitrare, iar ncastrrile cu fore oarecare i cupluri oarecare (Fig. 2.2.b).

Fig. 2.2.b

Analitic, proieciile acestor reaciuni pe axele , evideniaz urmtoarele mrimi scalare:

a) n spaiu

(2.19)

-reazemul simplu: reaciunea normal

-articulaia sferic: componentele

-ncastrarea:

b) n plan

(2.20)

-reazemul simplu: reaciunea normal

-articulaia cilindric: componentele

-ncastrarea:

n cazul legturilor cu frecare vom avea, n plus fa de cazul legturilor ideale:

a) la reazemul simplu

(2.21)

-frecarea de alunecare T cu condiia

-frecarea de rostogolire Mr cu condiia

-frecarea de pivotare Mp cu condiia

b)la articulaia cilindric(2.22) -frecarea n lagr Mf cu condiia

3. STATICA SISTEMELOR DE PUNCTE

MATERIALE I DE CORPURI RIGIDE

3.1. Metoda izolrii corpurilor (punctelor materiale)

Se izoleaz corpurile (punctele materiale) i se introduc forele interioare care acionau ntre corpurile (punctele materiale) respectnd principiul aciunii i al reaciunii, apoi se scriu ecuaiile de echilibru pentru fiecare corp (punct material) n parte.

Se rezolv sistemul de ecuaii astfel obinut.

3.2. Metoda rigidizrii (numit uneori a solidificrii)

Dac un sistem de corpuri rigide (puncte materiale) se afl n repaus sub aciunea forelor exterioare, el continu s rmn n repaus i dac sistemul devine rigid; altfel spus, se pot scrie ecuaiile de echilibru ale sistemului de fore exterioare (active i de legtur) ca i cnd sistemul de corpuri (puncte materiale) ar fi rigid.

De regul, acest sistem de ecuaii constituie o condiie de echilibru necesar, fr a fi i suficient.

3.3. Metoda izolrii prilor

Dac se izoleaz din sistemul de corpuri (puncte materiale)

subsisteme i dac forele ce acioneaz asupra sistemului sunt n echilibru, atunci i forele ce acioneaz asupra fiecrui subsistem sunt n echilibru.

3.4. Sisteme de corpuri (puncte materiale) static

determinate i static nedeterminate

Dac numrul de ecuaii ce se obin utiliznd metodele precizate anterior, sunt suficiente pentru determinarea tuturor necunoscutelor unei probleme de statica unui sistem de corpuri (puncte materiale) sistemul este static determinat. n caz contrar, este static nedeterminat.

3.5. Grinda cu zbrele

Este un sistem de bare drepte articulate la noduri, acionat de fore exterioare (active i de legtur) aplicate n noduri. Necunoscute sunt eforturile axiale din bare i reaciunile.

Pentru rezolvare se poate folosi:

a) metoda izolrii nodurilor. Fiecare nod este acionat de eforturile axiale din barele concurente la nodul respectiv, eventual de reaciuni. Se scriu la fiecare nod, n cazul plan, dou ecuaii de proiecie. Se caut o asemenea succesiune de noduri, care s aib numai dou necunoscute i se determin aceste necunoscute, cutnd n continuare noduri cu numai dou necunoscute.

b) metoda seciunilor. n cazul plan, se secioneaz trei bare, astfel nct grinda s se separe n dou subsisteme distincte, eforturile din barele secionate acionnd asupra celor dou subsisteme potrivit principiului aciunii i al reaciunii. Se scriu apoi ecuaiile de echilibru pentru unul din subsisteme, de preferin sub forma a trei ecuaii de momente n raport cu punctele n care se ntlnesc dou cte dou eforturile din barele secionate. Dac dou bare sunt paralele, n locul ecuaiei de momente respective se va scrie o ecuaie de proiecie pe normala la aceste dou bare.

3.6. Fire

a) Lniorul

n cazul unui fir perfect flexibil i inextensibil, omogen, de seciune transversal constant, acionat numai de greutatea proprie, p, pe unitatea de lungime, forma n care rmne n repaus este lniorul (Fig. 3.1).

Ecuaia lniorului n raport cu axele Ox i Oy (Oy este i ax de simetrie, vrful lniorului fiind la distana, a, fa de origine) este:

(3.1)

Fig. 3.1

Tensiunea ntr-o seciune oarecare a firului i lungimea arcului de lnior de la vrf pn la o seciune oarecare, au expresiile

(3.2)

de unde, expresia parametrului lniorului

(3.4)

b) Fire puternic ntinse

n cazul firelor puternic ntinse, lniorul poate fi aproximat de o parabol (Fig. 3.2) a crei ecuaie, raportat la tangenta n vrful O (pe Ox) i la axa de simetrie (pe Oy) este

(3.5)

unde l este distana dintre extremitile firului, iar f sgeata firului.

Fig. 3.2

Tensiunea n fir i lungimea firului au expresiile

(3.6)

c) Frecarea firelor

n cazul unui fir petrecut peste un disc circular (Fig 3.3), avnd unghiul de nfurare ( (exprimat n radiani), acionat la extremiti de forele i , acesta rmne n repaus dac

(3.7)

unde ( este coeficientul de frecare ntre fir i disc.

Fig. 3.3

EMBED Visio.Drawing.6

263031

_1169801346.unknown

_1169809732.unknown

_1169815369.unknown

_1169815857.unknown

_1170672987.unknown

_1170673747.vsd

_1170675058.vsd

_1170675491.vsd

_1170675533.vsd

_1170673892.vsd

_1170673108.unknown

_1170673166.vsd

_1170672997.unknown

_1169819749.unknown

_1169824214.unknown

_1169824241.unknown

_1170672864.vsd

_1169824226.unknown

_1169819795.unknown

_1169817377.unknown

_1169818280.unknown

_1169817277.unknown

_1169815601.unknown

_1169815645.unknown

_1169815706.unknown

_1169815626.unknown

_1169815401.unknown

_1169815416.unknown

_1169815390.unknown

_1169811597.unknown

_1169815204.unknown

_1169815246.unknown

_1169815256.unknown

_1169815235.unknown

_1169811739.unknown

_1169813122.unknown

_1169811611.unknown

_1169811156.unknown

_1169811207.unknown

_1169811422.unknown

_1169811182.unknown

_1169810204.unknown

_1169811110.unknown

_1169811076.unknown

_1169809978.unknown

_1169803334.unknown

_1169804035.unknown

_1169805526.unknown

_1169809584.unknown

_1169809622.unknown

_1169809545.unknown

_1169805300.unknown

_1169805333.unknown

_1169804623.unknown

_1169803720.unknown

_1169803897.unknown

_1169803911.unknown

_1169803888.unknown

_1169803507.unknown

_1169803599.unknown

_1169803367.unknown

_1169802821.unknown

_1169803023.unknown

_1169803152.unknown

_1169803325.unknown

_1169803041.unknown

_1169802869.unknown

_1169802960.unknown

_1169802858.unknown

_1169801390.unknown

_1169801453.unknown

_1169801463.unknown

_1169801432.unknown

_1169801371.unknown

_1169801381.unknown

_1169801355.unknown

_1169795084.unknown

_1169798003.unknown

_1169798071.unknown

_1169801319.unknown

_1169801327.unknown

_1169801119.unknown

_1169798047.unknown

_1169798061.unknown

_1169798035.unknown

_1169797795.unknown

_1169797894.unknown

_1169797978.unknown

_1169797883.unknown

_1169795837.unknown

_1169795964.unknown

_1169795112.unknown

_1169792457.unknown

_1169792901.unknown

_1169794672.unknown

_1169794951.unknown

_1169794042.unknown

_1169794096.unknown

_1169794018.unknown

_1169792784.unknown

_1169792406.unknown

_1169792425.unknown

_1169792394.unknown

_1159084093.unknown