ST - Lucrarea 5 - Tema de laborator.pdf

UTILIZAREA FUNCIILOR DE

REPARTIIE

CALCULUL PARAMETRILOR

FUNCIILOR DE

REPARTIIE CONTINUE

Tema de laborator

Lucrarea

5

2 Lucrarea 4

A. Cuprins A. Cuprins ......................................................................................................................... 2

B. Scopul lucrrii .............................................................................................................. 3

C. Noiuni de baz ............................................................................................................ 3

1. Repartiia n frecven ..................................................................................................................... 3

1.1. Variabile aleatoare discrete ................................................................................................. 3

1.2. Variabile aleatoare continue ................................................................................................ 5

2. Legi de repartiie n frecven ...................................................................................................... 7

2.1. Repartiia uniform .............................................................................................................. 7

2.2. Repartiia exponenial ........................................................................................................ 8

2.3. Repartiia normala ............................................................................................................... 9

2.4. Repartiia 2 ....................................................................................................................... 11

2.5. Repartiia Student .............................................................................................................. 11

2.6. Repartiia F (Fischer-Snedecor) ........................................................................................ 12

3. Calculul parametrilor funciei de repartiie ..................................................................................... 12

C. Desfurarea lucrrii: ....................................................................................................13

1. Partea 1 ......................................................................................................................................... 13

2. Prelucrarea rezultatelor: ................................................................................................................ 14

Aplicaia 1. Repartiia normal ...................................................................................................... 14

Aplicaia 2. Repartiia 2 ................................................................................................................ 16

Aplicaia 3. Repartiia Student ...................................................................................................... 18

Aplicaia 4. Repartiia Fischer ....................................................................................................... 20

3. Partea 2 ..................................................................................................................................... 22

4. Prelucrarea rezultatelor: ............................................................................................................ 22

D. Prezentarea rezultatelor ................................................................................................26

E. Bibliografie: ....................................................................................................................26

Utilizarea funciilor de repartiie. Calculul parametrilor funciei de repartiie continue

3

B. Scopul lucrrii Se urmrete realizarea urmtoarelor obiective:

- prezentarea noiunilor generale legate de repartiia n frecven;

- prezentarea legilor de repartiie n frecven;

- prezentarea parametrilor funciei de repartiie continue;

- prezentarea noiunilor generale legate de calculul parametrilor funciei de

repartiie continue utiliznd software-ul Excel i soluiile tabelare;

- prezentarea unei aplicaii;

C. Noiuni de baz

1. Repartiia n frecven

Un ansamblu de date experimentale (obinute prin repetarea operaiei de msurare a

unei mrimi fizice cu meninerea neschimbat a factorilor care influeneaz

msurtoarea), poate fi reprezentat grafic (n acest caz existnd posibilitatea de-a

evidenia situaiile n care unul din factori a ieit de sub control) n acest scop

domeniul valorilor msurate se mparte ntr-un numr de intervale egale,

nregistrndu-se numrul de rezultate care se nscriu n fiecare interval (frecvena

citirilor din fiecare interval, aa cum este prezentata n Lucrarea 2, Repartiia n

frecven a datelor. Reprezentarea i prelucrarea primara a irurilor).

Trasarea histogramei frecvenelor relative (obinute n urma raportrii numrului de

rezultate cuprins n fiecare interval la numrul total de rezultate) este util ntruct

prezint att valoarea mrimilor msurate ct i frecvena corespunztoare, aria unui

dreptunghi fiind proporional cu frecvena rezultatelor.

Mrind suficient de mult numrul de citiri, se constat c frecvena relativ se apropie

treptat de o constant caracteristic fiecrui interval (x1, x2), care este egal cu

probabilitatea ca mrimea msurat s ia valori x n acest interval.

n mod obinuit prin probabilitate se nelege raportul dintre numrul cazurilor

favorabile producerii unui eveniment i numrul cazurilor posibile, atunci cnd

cazurile sunt considerate ca avnd posibiliti egale de reproducere:

posibileegallorevenimentenumarul

favorabilelorevenimentenumarul

n

m)A(P

(5.1)

Astfel ca, probabilitatea ca mrimea msurat s ia valori n acest x n intervalul (x1,

x2), se noteaz:

;,)( 2121 xxxPsauxxxP (5.2)

1.1. Variabile aleatoare discrete

Dac rezultatul aleatoriu al msurrii x devine o variabil (aleatoare) discret,

exprimat prin valorile rezultate x1, x2,...xn., probabilitatea ca o valoare oarecare i s

aib valoarea xi este:

4 Lucrarea 4

;)( ii pxxP (5.3)

Pentru toate valorile msurate se poate construi un tablou de forma:

nip

xXsau

ppp

xxxX

i

i

n

n

1,:

,,

,,:

21

21

(5.4)

care poart denumirea de tabloul repartiiei, n prima linie fiind trecute toate valorile

posibile ale caracteristicii iar n a doua toate probabilitile de apariie.

Legtura care exist ntre variabila aleatoare i probabilitatea de apariie a acesteia

poart denumirea de lege de probabilitate, aceasta putnd fii reprezentat grafic sub

forma unei diagrame cu bare (Fig.4.1), histograme, sau sub forma unui poligon al

repartiiei, (Fig.4.2).

Fig.4.1: Reprezentarea legii de repartiie

(diagrama cu bare) Fig.4.2: Reprezentarea legii de repartiie

(poligonul frecvenelor)

n cazul n care se poate determina o expresie analitic care s stabileasc o

legtur ntre variabila aleatoare i probabilitate, aceasta poart denumirea de

funcie de repartiie, expresia ei analitic fiind:

iii pxPxxP )()( (5.5)

Deoarece orice msurare poate avea un singur rezultat totalitatea valorilor distincte

i posibile formeaz un sistem complet de evenimente incompatibile. Pentru

mulimea ale crei perechi ordonate definesc repartiia se poate scrie:

n

i

ip1

1

(5.6)

n multe aplicaii ne intereseaz probabilitatea evenimentului x


5

k

1i

k

1i

k

1ikkikk p)x(P)xX(P)xX(P)x(F

(5.9)

Observaie: ntre noiunea de probabilitate i noiunea de frecven pentru variabile

aleatoare discrete poate fi pus semnul de egalitate, cea ce face ca teoria

probabilitilor s poat fi aplicat n statistic.

Fig.4.3: Reprezentarea legii de repartiie prin histogram

Fig.4.4: Graficul funciei de repartiie la o variabil aleatoare

1.2. Variabile aleatoare continue

Dac rezultatul aleatoriu al msurrii devine o variabila continu, exprimat printr-un

numr infinit de cifre, construirea unui tablou al repartiiei nu este realizabil

deoarece exist o infinitate de valori posibile, dar se pot alege intervale de variaie

orict de mici, crora le corespund probabiliti finite (pentru analiza statistic a

irului de valori se utilizeaz funcia de repartiie).

Treptele histogramei dispar astfel la limit (numrul de dreptunghiuri tinde spre infinit

i grosimea spre zero), rezultnd o curb lin care reprezint repartiia (distribuia)

probabilitii, (Fig.4.5), pentru descrierea repartiiei probabilitii definindu-se funcia

de probabilitate f(x), care satisface condiiile:

1;0 dxxfxf

(5.10)

Probabilitatea corespunztoare intervalului (x1, x2) se exprim prin integrala:

2

1

21

x

x

dxxfxxxP

(5.11)

De asemenea, se definete funcia de repartiie F(x), egal n orice punct x1 cu

probabilitatea ca variabila aleatoare x s ia valori mai mici dect x1:

xdxxFdxxfxxPxFx x

;)(')()()(1 1

11

(5.12)

Unde f(x) reprezint funcia de probabilitate, care poate fi definit ca prim derivat

(dac exist) a funciei de repartiie F(x) adic:

)x('Fx

)x(F)xx(Flim)x(f

0x

(5.13)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 2 3 4 5 6

pro

ba

bil

itate

variabila

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10

pro

ba

bil

itate

variabila

6 Lucrarea 4

Mrimea f(x)dx se numete element de probabilitate i reprezint probabilitatea ca

valoarea variabilei aleatoare s se gseasc n intervalul ds, aceasta probabilitate

fiind egal cu aria dreptunghiului elementar cu baza egal cu ds. Dac ds tinde spre

zero, aria dreptunghiului tinde spre zero, cea ce ne duce la concluzia c

probabilitatea obinerii unei valori x este egal cu zero, deci ar fi un eveniment

imposibil. Deoarece o astfel de concluzie este paradoxal trebuie enunat definiia

probabilitii care ne conduce la o interpretare care evideniaz faptul c frecvena

unui astfel de eveniment este zero i nu faptul c un astfel de eveniment nu poate

avea loc.

x

f(x)

f(x)dx

x

f(x)

Fig. 4.5: Graficul funciei de probabilitate,

F(x); Fig.4.6: Reprezentarea elementului de

probabilitate, f(x)dx;

Spre deosebire de cazul variabilelor aleatoare discrete la care funcia densitii de

probabilitate are semnificaia unei probabiliti la variabilele aleatoare continue acest

fapt nu este valabil i-n consecin semnul folosit la variabile aleatoare discrete

este nlocuit prin


7

;CBA (5.14)

innd cont de proprietile operaiilor cu evenimente, vom avea:

CPBPCBPAP )()( (5.15)

sau:

)bXa(P)aX(P)bX(P (5.16)

de unde

)aX(P)bx(P)bXa(P (5.17)

Pe baza definiiei funciei de repartiie

)a(F)b(F)bXa(P (5.18)

sau

a b

a

b

dx)x(fdx)x(fdx)x(f)bXa(P

(5.19)

n concluzie: probabilitatea ca o variabil s aparin intervalului a, b] este egal cu

aria trapezului curbiliniu mrginit de axa x, curba densitii de probabilitate f(x) i

dreptele x=a i x=b.

2. Legi de repartiie n frecven

n teoria probabilitii se definesc numeroase legi de repartiie n frecven, pentru

variabile aleatoare continue sau discrete. Studiind diverse fenomene, se constat c

dei acestea aparin unor tiine diferite repartiia n frecven a acestora este

asemntoare, respectiv c histogramele au aceeai form. Spre exemplu 90 din

fenomenele fizice se supun legii normale de repartiie (legea Gauss-Laplace). Un

studiu mai amnunit a pus n evident proprietile acestora i gradul lor de aplicare,

unele dintre legile de repartiie devenind clasice, avnd un grad ridicat de utilizare.

Dintre acestea se pot meniona:

- repartiia binomial;

- repartiia hipergeometric;

- repartiia Poisson (repartiia evenimentelor rare), ca repartiii discrete;

- repartiia normal;

- repartiia 2 (repartiia multinomial);

- repartiia Student;

- repartiia Fischer, ca repartiii continue.

2.1. Repartiia uniform

Este repartiia la care toate valorile variabilei aleatoare au aceeai probabilitate,

expresia funciei de probabilitate fiind:

b,ax0

b,axab

1

)x(f

(5.20)

Funcia de repartiie are expresia:

8 Lucrarea 4

bx,1

bxa,ax

ax,0

)x(F

(5.21)

Diagramele funciei de probabilitate i repartiie sunt prezentate n figurile 4.8, 4.9,

indicatorii teoretici fiind dai tabelar, (Tab. 4.1).

Fig. 4.8 Functia de probabilitate a repartiiei

uniforme Fig.4.9 Funcia de repartiie a repartiie uniforme

Tab.4.1

Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu repartiie uniform

Media

MX, , X

b

a 2

ab

ab

xdxXM

Dispersia

DX, 2, s2

12

bammxD

2212

Momente

mk

b

a

2

2

1

ab

dxxm

xMm

2.2. Repartiia exponenial

Repartiia exponenial are expresia funciei de repartiie:

x0,0;e)x(fx

(5.22)

Funcia de repartiie are expresia:

0x,0

0x,e1)x(F

x

(5.23)

Iar indicatorii teoretici sunt prezentai n tabelul 4.2:

Tab.4.2

Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu repartiie exponenial

Media

MX, , X

0

x 1dxeXM

1/(

b-a

)

a

x

f(x)

b

0

0.5

1

1.5

2

a

x

F(x)

b


9

Dispersia

DX, 2, S2

2mmxD

212

Momente

mk

02

x22

1

2dxexm

1xMm

Diagramele funciei de probabilitate i repartiie sunt prezentate n figurile 4.10. 4.11:

Fig. 4.10: Functia de probabilitate a repartiiei

exponeniale Fig.4.11: Funcia de repartiie a repartiie

exponeniale

2.3. Repartiia normala

Este cea mai important lege de repartiie fiind cunoscut sub denumirea de legea lui

Gauss sau legea Gauss-Laplace.

2.3.1 Repartiia Gauss, a fost prima repartiie studiat, fiind caracterizat de

parametrii i 2, iar notarea ei facandu-se prin N(,2). Functia de probabilitate are

expresia:

e2

1)x(f 2

2

2

)x(

(5.24)

Funcia de repartiie normal este dat de expresia:

dx

2

1)xX(P)x(F

x

2

x

e 22

(5.25)

Graficul repartiiei are form de clopot, (Fig. 4.12) i prezint urmtoarele

particulariti:

- admite un maxim unic pentru x=;

- are o simetrie n raport cu dreapta x=;

- i modific convexitatea n punctele - i + ;

- modificarea parametrului translateaz curba de-a lungul axei x, (Fig.4.13);

- modificarea parametrului modific ascuirea curbei, (Fig.4.14).

x

f(x)

0,3

68 l

1/ l 0

0.5

1

1.5

2

x

F(x)

1/ l

0,632 l

10 Lucrarea 4

f(x)

F(x)1,0

0,5

0,0

x

x

F(x)

x

f(x)

2 31

x

f(x)

= 0,5

= 1

= 2

Fig. 4.12: Funcia de repartiie Gauss

Fig. 4.13 Curbele densitii de probabilitate cu aceeai

dispersie dar medii diferite

Fig. 4.14 Curbele densitii de probabilitate cu aceeai

medie dar dispersii diferite

Valoarea funciei de repartiie este reprezentat n figura 4.12 prin aria haurat, asimetria i

aplatizarea pentru repartiia Gauss fiind egale cu zero.

Indicatorii teoretici sunt prezentai n tabelul 4.3:

Tab.4.3

Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu repartiie normala

Media

dxxfdxxfxdxxxfXM

daca:

0; dxxfxxM

Dispersia 2 2

Momente

mk 4

6

2

4

2

2

222

12

15;3;

12:

;0:

kk

k

kpar

impar

Cunoscnd parametrii , 2, pe baza relaiei 4.25 se poate determina analitic

valoarea probabilitii P(X


11

x x

2

zdxe

2

1dx)x(f)x(F

2

(5.28)

Valorile funciilor de probabilitate f(z) i ale funciei de repartiie F(z) fiind date

tabelar, (Anexa A).

2.4. Repartiia 2

Considerm o variabil aleatoare x: x1, x2,...,xn cu valorile normal repartizate, N(0, 1).

Suma ptratelor variabilelor aleatoare zi constituie o nou variabil aleatoare notat

cu 2, matematic aceasta reprezentnd suma erorilor msurtorilor pn la valoarea

i.

Funcia de probabilitate a repartiiei 2 pentru =n-1 grade de libertate

i ii

ii

i

i

zx2 2

0

2

0

( )

(5.29)

este:

00

0

22

12

12

2

xpentru

xpentruex

xf

x

(5.30)

n variabila aleatoare probabilitile p1, p2, pn-1 sunt independente avnd posibilitatea

s ia orice valoare cuprins ntre 0 i 1. Probabilitatea pn va lua o valoare care

nsumat cu celelalte probabiliti va da valoarea unu, (1). n acest caz aceast

probabilitate nu mai este independent ci depinde de celelalte valori. n consecin

numrul valorilor independente pentru un ir de numere este: n-1 i este egal cu

numrul gradelor de libertate. Valorile calculate ale funciei de repartiie se gsesc de

asemenea tabelar, Anexa B

2.5. Repartiia Student

Considerm dou variabile una cu repartiie normal N(0, 1) i una cu repartiie 2,

avnd grade de libertate. Acestea pot forma o nou variabil care se calculeaz cu

relaia:

2i

iz

t

(5.31)

i care matematic reprezint raportul dintre eroarea msurtorii i i suma erorilor

msurtorilor. Functia de probabilitate a repartiiei Student este:

t1

2

2

1

1)t(f

2 2

1

(5.32)

Valorile calculate ale funciei de repartiie se gsesc tabelar, valori prezentate n

Anexa C.

12 Lucrarea 4

2.6. Repartiia F (Fischer-Snedecor)

Considerm dou variabile aleatoare X1 i X2 independente , cu repartiie 2 avnd

respectiv 1 i 2 grade de libertate. Acestea pot forma o nou variabil care se

calculeaz cu relaia:

1

2

2i

1i

ix

xF

(5.33)

i care matematic reprezint raportul dintre erorile msurtorilor i. Functia de

probabilitate a repartiiei Fischer este:

2

)(

1

*

2

*

2

*)F(f

212

2

1

2

21

1

21

(5.34)

Iar indicatorii teoretici au expresiile:

Tab.4.4

Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu repartiie normala

Media

;2;

12

1

2

pentruFM

Dispersia

2

;4;

42

222

2

2

11

21

2

2

pentruFD

Valorile calculate ale funciei de repartiie se gsesc de asemenea tabelar, (Anexa

D).

3. Calculul parametrilor funciei de repartiie

Pentru calcularea parametrilor funciei de repartiie sunt definite urmtoarele noiuni:

a , b - limitele de semnificaie/ncredere, valori ce reprezint valorile

limita ntre care se plaseaz cu o probabilitate prestabilita,

adevrata valoare a parametrului necunoscut;

1- - nivel de semnificaie, ce reprezint nsi probabilitatea

corespunztoare;

a - b - interval de semnificaie, ce reprezint gama valorilor care

include, cu o probabilitate apreciata ca satisfctoare, adevrata

valoare necunoscuta ;

- risc;

(- a )U(b

)

- interval de ncredere.

Riscul poate fi unilateral (dreapta sau stnga) n acest caz: a = respectiv b= -.

n cazul unui risc bilateral simetric cele doua limite se noteaz cu a = /2 respectiv

b= -/2.

Parametrii funciilor de repartiie calculai pe baza formulelor pot fi determinai

utilizind tabele de specialitate prezentate n Anexele A-D, ntlnindu-se dou situaii:


13

1. - se da probabilitatea (nivelul de semnificaie), notata: 1-, (sau respectiv riscul,

notat cu ) determinndu-se parametrul statistic (limitele intervalului de semnificaie)

caracteristic fiecrei funcii de repartiie:

z - pentru repartiia normala;

t - pentru repartiia Student;

2 - pentru repartiia 2;

F1;2; - pentru repartiia Fischer, .a.m.d.

2.- se da valoarea parametrului statistic (limitele intervalului de semnificaie)

caracteristic funciei de repartiie i se cere probabilitatea (nivelul de semnificaie), 1-

, (sau respectiv riscul, ).

Pentru o funcie de repartiie oarecare legtura dintre nivelul de semnificaie, 1- i

intervalul de semnificaie, a - b, (Fig.4.15- 4.16) este data de relaia:

1)(P (5.35

)

pentru risc unilateral, sau de relaia:

1)(22

1P

(5.36

)

pentru risc bilateral.

Risc

1-Nivel de

semnificatie

Interval desemnificatie

/21-/2

/2Risc /2

RiscInterval desemnificatie

1-Nivel de

semnificatie

Fig.4.15: Legatura ntre intervalul de semnificaie i probabilitate, pentru un risc

unilateral

Fig.4.16: Legatura ntre intervalul de semnificaie i probabilitate, pentru un risc

bilateral

C. Desfurarea lucrrii:

1. Partea 1

Avnd funciile de repartiie continue:

- s se calculeze utiliznd software-ul de specialitate Excel, parametrii funciilor de

repartiie continue pentru fiecare aplicaie dat;

- s se verifice rezultatele obinute n urma calculelor matematice a valorilor

parametrilor funciilor de repartiie continue utiliznd tabelele de specialitate,

Anexele A-D.

14 Lucrarea 4

2. Prelucrarea rezultatelor:

Utiliznd funciile oferite de software-ul Excel, (vezi Lucrare 2, Repartiia n frecven

a datelor. Reprezentarea i prelucrarea primara a irurilor, - Funciile), calculul

parametrilor funciilor de repartiie continue presupune parcurgerea urmtorilor pai:

1- executai dublu clic asupra celulei n care dorii s apar funcia;

2- executai clic asupra butonului Function Wizard (Asistent pentru funcii), sau

alegei opiunile Insert, Function (Introducere, Functii..). ;

3- selectai categoria: Statistical;

4- selectai funcia (ex: NORSMDIST);

5- executai clic asupra butonului ok;

6- n csua de dialog care s-a deschis, introducei argumentele funciei;

7- citii informaiile referitoare la funcia aleasa;

8- executai clic asupra butonului ok;

9- apsai tasta Enter pentru vizualizarea rezultatului.

Aplicaia 1. Repartiia normal

1.1. Pentru repartiia normal cu un risc unilateral dreapta se d valoarea lui

z=1,XX, unde XX este ziua de natere. Se cere s se determine riscul.

1- Utiliznd funciile oferite de software-ul Excel, calculul riscului presupune:

=NORMSDIST(1.XX), obinnd valoarea nivelului de semnificaie 1-;

Deoarece ne intereseaz riscul , (i nu valoarea nivelului de semnificaie, este

necesara efectuarea calculului: =1-E2 unde E2 este adresa celulei ce conine

valoarea nivelului de semnificaie;

2- Verificarea valorilor obinute se va realiza utiliznd tabelele de specialitate,

respectiv utiliznd tabelul repartiiei normale, Anexa A, (Fig.4.17):

Exemplu:

nivelul de semnificaie gsit este: 1-= 0,9429 = 94,29%;

riscul: = 0,0571 = 5,71%;

Se observ astfel c valorile tabelare sunt aceleai cu valorile calculate, ceea ce

nseamn c calculaia este corect.

=5,71%

1-=94,29%

z=1,58

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,1 .

1,5 0,9429

P(z< z )=1- P(z> z )=

Fig.4.17: Determinarea tabelara a riscului pentru un interval se semnificaie dat.

Repartiia normal


15

1.2. Pentru repartiia normal cu un risc unilateral dreapta se d valoarea riscului X,X

unde XX este ziua naterii (ex. pentru ziua naterii 29 riscul va fi 2,9% iar pentru 1

riscul va fi 0,1%). Se cere determinarea limitei z.

1- Utiliznd funciile oferite de software-ul Excel, vom avea:

=NORMSINV(1-);


respectiv utiliznd tabelul repartiiei normale, Anexa A, (Fig.4.18):

Exemplu: Pentru un nivel de risc de 5% avem un nivel de semnificaie de 95%. n

tabel gsim:

1-=0,9495=94,95%, valoare creia ii corespunde limita: z=1,64

i:

1-=0,9505=95,05%, valoare creia ii corespunde limita: z=1,65

Deoarece valoarea 95% se afla n mijlocul intervalului [0,9495 0,9505), rezulta c

valoarea limitei z este:

z=1,645

valoare ce se regsete n calculele matematice efectuate anterior.

=5%

1-=95%

z=1,645

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,1 .

1,6 0,9495 0,9505

P(z< z )=1- P(z> z )=

Fig.4.18: Determinarea tabelara a intervalului de semnificaie pentru un risc unilateral dreapta dat. Repartiia normal

1.3. Pentru repartiia normal cu un risc bilateral simetric de 5.XX%, se cere

determinarea limitelor z/2 i -z/2.

1- Utiliznd funciile oferite de software-ul Excel, i innd cont de faptul c riscul

este de aceast dat bilateral simetric (ex.: =5%; /2=2.5%), vom avea:

=NORMSINV(1-/2);

Deoarece funcia de repartiie normal este simetric, valoarea limitei de stnga va

fii: -z/2= -1.96


respectiv utiliznd tabelul repartiiei normale, Anexa A, (Fig.4.19), Spre exmplu,

pentru un risc bilateral de 5%:

- nivelul de semnificaie pentru care trebuie determinat limita din dreapta z/2 este:

1-=95%,+2.5%=97.5%

16 Lucrarea 4

Valorile tabelare cele mai apropiate de nivelul de semnificaie sunt:

1-=0,9744=97,44% avnd limita: z/2=1,96

i:

1-=0,9756=97,56% avnd limita: z/2=1,97

Deoarece valoarea 97.5% se afla n mijlocul intervalului [0,9744 0,9756), rezult

c valoarea limitei z/2 este:

z/2=1,96(5)

Simetrica funciei ne conduce la determinarea limitei de stnga:

-z/2=-1,96(5)

Valorile obinute regsindu-se n calculele matematice anterioare.

/2=2,5%

1-=95%

z/2=1,965

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,1 .

1,9 0,9744 0,9756

-z/2=-1,965P(-z /2z< z /2)=1- P(-z /2>z) U

P(z< z /2)=

Fig.4.19: Determinarea tabelara a intervalului de semnificaie pentru un risc bilateral simetric. Repartiia normal

Aplicaia 2. Repartiia 2

2.1. Pentru repartiia 2 cu un risc unilateral dreapta se d valoarea lui 2 =XX,XX,

unde XX este ziua de natere (ex. 29,29 sau 1,01) i numrul gradelor de libertate

=8. Se cere determinarea riscului.

1- Utiliznd funciile oferite de software-ul Excel, vom avea:

=CHIDIST(XX.XX,8), obinnd valoarea riscului: ;

Verificarea valorilor obinute se va realiza utiliznd tabelele de specialitate,

respectiv utiliznd tabelul repartiiei 2, Anexa B, (Fig.4.20). Spre exemplu valoarea

riscului pentru valorile 2 =13,362, i =8 este =0.10=10%

Valoare pe care de-altfel am obinut-o cu ajutorul calculelor matematice anterioare.

=10%

2=13,362

0,995 0,990 0,975 0,95 0,90.0,20 0,10 0,05 0,025

1 2.

8 13,362

1-=90%

P(2

2)=

Fig.4.20: Determinarea tabelara a riscului pentru un interval se semnificaie dat. Repartiia 2


17

2.2. Pentru repartiia 2 cu un risc unilateral dreapta, se d valoarea nivelului de

semnificaie 1-=1-(0.025+0.0XX) (unde XX este ziua de natere) i numrul

gradelor de libertate =10. Spre exemplu pentru cineva nscut()n data de 7 1-=1-

(0.025+0.007)= 1-0.032=0.968=96,8%. Se cere determinarea limitei 2

1- Utiliznd funciile oferite de software-ul Excel, i avnd valoarea nivelului de

semnificaie 1- , respectiv valoarea riscului =0.025+0.0XX, vom avea:

=CHIINV(0.025+0.0XX,10), obinnd valoarea limitei:2 ;

Verificarea valorilor obinute se va realiza utiliznd tabelele de specialitate,

respectiv utiliznd tabelul repartiiei 2, Anexa B, (Fig.4.21). Spre exemplu pentru

valoarea riscului =5% i =10, din tabelul repartiiei valoarea limitei 2 este:

2

=18.3070

Valoare obinut i n cazul anterior, prin calcule matematice.

=5%

2=18,307

0,995 0,990 0,975 0,95 0,90.0,20 0,10 0,05 0,025

1 2 .

10 18,307

P(22)=

Fig.4.21: Determinarea tabelara a limitei intervalului de semnificaie pentru un nivel de semnificaie

unilateral dat. Repartiia 2

2.3. Pentru repartiia 2 cu un risc bilateral simetric de (5+X.X)%, se cere

determinarea intervalului de semnificaie pentru =15 grade de libertate.

1- Avnd de aceasta data un risc bilateral simetric, spre exemplu pt. =5% (1-=

95%), valoarea riscului este /2=2.5%,=0.025.

Pentru exemplul de mai sus pentru a obine valoarea limitei din dreapta a intervalului de

semnificaie, se aplica formula:

=CHIINV(0.025,15), obinnd valoarea limitei (din dreapta):/22 =27.4884;

Pentru a determina valoarea limitei din stnga, deoarece valoarea nivelului de

semnificaie este: 1-= 100%-2.5%=97.5%, de aceasta data funcia aplicata este:

=CHIINV(0.975,15), obinnd valoarea limitei (din stnga): 1-/22 =6.2621;


respectiv utiliznd tabelul repartiiei 2, Anexa B, (Fig.4.22):

- pentru valoarea riscului bilateral simetric =5% , din tabelul repartiiei valorile

limitei 2 sunt:

Pentru /2=2.5%,=0.025 i =15, limita la dreapta este: /22 =27.488;

Pentru 1-/2=100%-2.5%,=97.5%=0.975 i =15, limita la stanga este: 1-/22

18 Lucrarea 4

=6.262;

Valori obinute i n cazul calculelor matematice, anterioare.

/2=2,5%

2=27,488

0,995 0,990 0,975 0,95 0,90.0,20 0,10 0,05 0,025

1 2 .

15 6,262 27,488

P(21-/2


19

0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005 0,0001

1 2

10 1,812 1000 8

P(t< t )=1-

=5%

1-=95%

Nivel de semnificatie pentru testul unilateral

P(t> t )=

Fig.4.23: Determinarea tabelara a riscului pentru un interval se semnificaie dat. Repartiia Student

3.2. Pentru repartiia Student cu un risc unilateral dreapta de =10% i =15 grade

de libertate, se cere determinarea limitei t.

1- Utiliznd funciile oferite de software-ul Excel, i avnd valoarea riscului =10%,

respectiv =10, pentru a determina valoarea limitei se aplica formula:

=TINV(0.2,15), obinnd valoarea limitei: t=1.3406; (cu observaia: n cazul

repartiiei cu risc unilateral, pentru determinarea limitei intervalului de semnificaie,

valoarea riscului luata n calcul se dubleaz, deoarece funcia implementata este

pentru calculul limitelor repartiiei bilaterale).


respectiv utiliznd tabelul repartiiei Student, Anexa C, (Fig.4.24):

- pentru valoarea riscului =10%, respectiv =15, din tabelul repartiiei valoarea

limitei t care se gsete, este: t=1.341, valoare ce se regsete mai sus.

0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005 0,0001

1 2

15 1,341 1000 8

P(t< t )=1-

=10%

1-=90%

Nivel de semnificatie pentru testul unilateral

P(t> t )=

Fig.4.24: Determinarea tabelara a limitei intervalului de semnificaie pentru un risc unilateral dreapta dat. Repartiia Student

3.3. Pentru repartiia Student cu un risc bilateral simetric de 10% i =20 grade de

libertate, se cere determinarea limitelor intervalului de semnificaie.

1- Utiliznd funciile oferite de software-ul Excel, avnd de aceasta data un risc

bilateral simetric =10%, (/2=5%), respectiv valoarea numrului gradelor de

20 Lucrarea 4

libertate: =20, pentru a determina valorile limitei intervalului de semnificaie, se

aplica formula:

=TINV(0.05,20), obinnd valoarea limitei (din dreapta): t/2=2.0860

valoare ce va ocupa adresa E14;

Riscul fiind bilateral simetric, valoarea limitei din stnga va fii: -t/2= -2.0860


respectiv utiliznd tabelul repartiiei Student, Anexa C, (Fig.4.25):

- pentru valoarea riscului bilateral simetric, =10%, respectiv =20, din tabelul

repartiiei valoarea limitei (din dreapta) t/2 care se gsete, este:

t/2=2.086

Funcia de repartiie Student este simetrica, ceea ce ne conduce la determinarea

limitei din stnga: -t/2= -2.086;

Valori care se regsesc n rezultatele calculelor matematice anterioare.

Observaie: n acest caz tabelul se citete de sus n jos.

/2=2,5%

1-=95%

t/2=2.086

0,50 0,25 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 0,001

1 2 .

20 1,725

-t/2=-2.086

P(-t /2


21

- pentru valoarea riscului unilateral dreapta, =10%, respectiv valoarea numrul

gradelor de libertate 1=10, 2=15, din tabelul repartiiei valoarea limitei care se

gsete, este:

F1,2,=2.06

Valoare care se regsesc n rezultatele calculelor matematice anterioare, executate

cu ajutorul funciilor software-ului Excel.

=10%

F1,2, = 2.06

1\2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 500 1 2 .

10 2,06

P(F< F1,2,)=1-

1-=90%

P(F> F1,2,)=

Fig.4.26: Determinarea tabelara a limitei intervalului de semnificaie pentru un nivel de semnificaie unilateral dat. Repartiia Fischer

4.2. Pentru repartiia Fischer cu un risc bilateral simetric de 20%, se cere

determinarea limitelor intervalului de semnificaie pentru 1=15 grade de libertate,

respectiv 2=20.

1- Utiliznd funciile oferite de software-ul Excel, pentru funcia Fischer, cu risc

bilateral simetric, =20%, respectiv /2=10%, i 1=20 i 2=15, valorile

numrului gradelor de libertate, pentru a determina valorile limitei intervalului de

semnificaie, F1,2,/2, respectiv F1,2,1-/2, se aplica formulele:

=FINV(0.1,20,15), obinnd valoarea limitei: F1,2,/2=1.9243,

=FINV(0.1,15,20), obinnd valoarea limitei: F1,2,1-/2=1.8449


respectiv utiliznd tabelul repartiiei Fischer, Anexa D, (Fig.4.27):

- pentru valoarea riscului bilateral =20%, (/2=10%), respectiv valoarea numrul

gradelor de libertate 1=20, 2=15, din tabelul repartiiei valoarea limitei care se

gsesc valorile:

F1,2,/2=1.92, respectiv: F1,2,1-/2=1.84

Valori care se regsesc i n rezultatele calculelor matematice anterioare.

22 Lucrarea 4

=10%

F1,2,/2 = 2,24

1\2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 500

1

15 1,92

20 1,84

P(F1,2,1-/2 F) U

P(F


23

Fiind necesar un numr ntreg de clase, se adopta un numr de 7 clase, astfel ca

m=7,

=7 este valoarea numrului de clase aproximat,

Valoare ce va ocupa adresa D15 n cadrul raportului Excel.

1.4- se calculeaz amplitudinea W, utiliznd formula (2.26);

xxW minmax

Avnd valorile pentru xmin i xmax (vezi punctul 1.1), valoarea calculata utiliznd

funciile Excel (unde adresele pentru valoarea lui xmin n cadrul raportului Excel este

B13, iar pentru xmax, B14), este:

=(B14-B13) rezultnd: W=0.486;

1.5- se determina mrimea unui sub-interval, utiliznd formula (2.53):

m

xx

m

Wd minmax

Utiliznd Excel, valoarea obinut este:

=B16/D15 rezultnd: d=0.069

Unde, adresa B16 corespunde valorii amplitudinii, iar D15 valorii numrului de clase

aproximat; valoarea sub-intervalului obinut va corespunde n continuare adresei

B17.

1.6- se realizeaz tabelul datelor grupate, reprezentnd valorile intervalelor, astfel:

[xmin: Xmin+d); [xmin+d: xmin+2d); (xmax];

Utiliznd Excel, introducerea acestor valori poate fi realizata utiliznd:

[=$B$13 i =$B$13+$B$17); [=$B$13+$B$17 i =$B$13+2*$B$17) s.a.m.d.

obinnd tabelul:

valoarea clasei

19.727 19.796

19.796 19.866

19.866 19.935

19.935 20.004

20.004 20.074

20.074 20.143

20.143 20.212

Valori care vor ocupa adresele A24-B30 n cadrul raportului Excel.

1.6- se calculeaz frecventele absolute, ai, utilizndu-se facilitile software-ul Excel,

i anume utiliznd funcia countifs:

1. Funcia counifs numr o valoare din unul sau mai multe intervale dac

este respectat una sau mai multe condiii. Astfel argumentele funciei sunt

intervalul de valori din care se numr i condiia. Spre exemplu:

=COUNTIFS($P$2:$P$61,">="&A22, interval_2, condiie_2) va numra

din intervalul marcat cu albastru doar valorile care respect condiia

marcat cu verde (n exemplu: dac valoarea fiecrui numr din intervalul

P2:P61 este mai mare sau egal cu valoarea din csua A22) .a.m.d. Mai

multe detalii despre folosirea funciei putei obine din meniul Help;

24 Lucrarea 4

2. n coloana ai se vor introduce formulele astfel:

=COUNTIFS($A$6:$J$15,">="&F22,$A$6:$J$15,"


25

Avnd rezultatele anterioare (adic valoarea mediei aritmetice M[x], care se afla la

adresa B35), se va aplica funcia:

=VAR(A2:J11) obinnd valoarea lui D[x]= s2,

1.12- se calculeaz abaterea standard (abaterea medie ptratic) (2.24):

n

1i

22i

n

1ii

2

]x[Mxn

1

n

])x[Mx(

xD

Considernd frecvenele absolute sau relative expresiile abaterii medii ptratice

devin:

]x[Mn

ax

n

a])x[Mx(

xD 2

n

1ii

2i

n

1iii

2

=SQRT(B36) unde B36 este valoarea dispersiei

1.13- se face schimbarea de variabil, prin folosirea acestei transformri repartiia

purtnd denumirea de repartiie normal, utiliznd formula (5.26):

xz

Se cunosc valorile mediei, M[x]= i a abaterii, xD = (valori calculate anterior,

astfel ca pentru calculul schimbrii de variabil mai sunt necesare doar definirea

limitelor impuse de limitrile cmpului de toleran.

Pentru reperul studiat, (pentru dimensiunile:XX0.1mm), limitele cmpului de toleranta

sunt: linf= -0.1 iar lsup= +0.1

Astfel, valorile admise sunt: xlinf= XX - 0,1 iar xlsup= XX + 0,1

n acest caz vom avea:

supinf

22

;ll

xz

xz

Calcul, care utiliznd Excel, va fii:

=(B42-B35)/B37 pentru calculul limitei: -z/2 , obinnd valoarea -z/2 =- 0.324,

respectiv:

=(B43-B35)/B37 pentru calculul limitei: z/2 , obinnd valoarea z/2 = 0.398

1.14- pentru a determina coeficientul de rebut se va utiliza tabelul repartiiei normale

cu risc bilateral simetric, Anexa A, innd cont de observaia: tabelar se gsesc

valorile nivelului de semnificaie 1-, pornind de la valoarea -. Astfel se vor calcula

dou arii: aria A1 pornind de la - pn la -z/2, respectiv aria A2 pornind de la -

pn la z/2.

Valorile obinute sunt, spre exemplu pentru -z/2 =- 0.324 i z/2 = 0.398

(A1): 1-= 0.6517=65.17%, respectiv: (A2): 1-= 0.6255=62.55%;

Scznd cele doua arii, vom obine valoarea cutat i anume:

(A1)-(A2)= = 0.6517- 0.6255=0.0262=2.62%;

1.15- se vor verifica rezultatele obinute n urma calculelor matematice, utiliznd opiunile

oferite de software-ul Excel, i anume: Tools, Data Analysis.. (Instrumente, Analiza datelor),

selectnd din caseta de dialog care se deschide opiunea Descriptive Statistics (Statistica

descriptiva), paii urmai fiind:

26 Lucrarea 4

1- selectai panoul Data, Data Analysis;

2- selectai opiunea Descriptive Statistics (Statistica descriptiva);

3- completai n csua de dialog care se deschide opiunile necesare calculrii

indicatorilor statistici (datele de intrare, gruparea datelor, , locaia datelor de

ieire, ..);

4- executai clic asupra butonului OK.

1.16- pentru soluia gsita se poate acum lua decizia, funcie de cerinele

beneficiarului i anume, pentru o comanda de 10.000 piese, (fcnd analiza pentru

un eantion de volum n=100), se constat c avem un rebut de 2.62%, ceea ce

nseamn c la 10.000 piese exist 262 piese rebut:

1- lotul se accepta, beneficiarul suportnd neconformitatea.

2- beneficiarul comand 10.275 piese, depind astfel prin comand coeficientul de

rebut (i n acest caz plile datorate nonconformitii sunt suportate de ctre

beneficiar);

3- se accept lotul numai n urma unui control al calitii pieselor, efectuat de ctre

furnizor;

4- se accept lotul pentru diferite clase de calitate (respectiv pentru diferite costuri);

D. Prezentarea rezultatelor Rezultatele vor fi prezentate sub forma unui raport (vezi Exemplu Raport) ce

cuprinde:

- reprezentarea tabelar a valorilor parametrilor funciilor de repartiie continue

obinui n urma calculelor matematice utiliznd software-ul de specialitate

Excel, pentru fiecare aplicaie dat;

- reprezentarea i calculul coeficientului de rebut n funcie de mrimea

cmpului de tolerante.

E. Bibliografie: [1] Apostolescu, N., Taraza, D., Bazele cercetrii experimentale a masinilor

termice, Editura Didactica i Pedagocica, Bucuresti, 1974.

[2] Bulgaru, M., Bolboaca, L., Ingineria calitatii.Mangementul calitatii, statistica i

control, msurri n 3D, Alma Mater, Cluj-Napoca 2001, ISBN 973-85153-0-0

[3] Cathy, K., Excel pentru Windows tm 95 n 503 imagini, Teora, Bucuresti, 1999,

ISBN 973-601-457-6

[4] Faithe, W., Microsoft Office 97 Professional 6in 1, Teora, Bucuresti, 1998, ISBN

973-601-907-1

[5] Tanasescu I Controlul statistic al proceselor i produselor, Editura didactica i

pedagogica, Bucuresti, 1987.

[6] *** Colectie de standarde, Managementul i asigurarea calitatii, Editura tehnica,

Bucuresti, 1996

ST - Lucrarea 5 - Tema de laborator.pdf

Documents

Transcript of ST - Lucrarea 5 - Tema de laborator.pdf