ST - Lucrarea 4 - Tema de laborator.pdf

VERIFICAREA NORMALITĂȚII

REPARTIȚIEI DATELOR

Tema de laborator

Lucrarea

4

2 Lucrarea 4

A. Cuprins

A. Cuprins ............................................................................................................................... 2

B. Scopul lucrării .................................................................................................................... 3

C. Noțiuni de bază ................................................................................................................... 3

1. Verificarea concordantei dintre o repartiție experimentală (empirică), și o repartiție

teoretică; Verificarea normalității curbei de repartiție ........................................................... 3

1.1. Verificarea valorilor unora dintre parametrii statistici ................................................ 3

1.2. Testul 2

pentru verificarea normalității ...................................................................... 5

1.3. Testul Kolmogorov-Smirnov (K) ................................................................................ 6

1.4. Testul Massey .............................................................................................................. 8

D. Desfășurarea lucrării: ......................................................................................................... 8

1. Tema: .................................................................................................................................. 8

2. Prelucrarea rezultatelor: ..................................................................................................... 8

2.1. Testul 2 pentru verificarea normalității ............................................................... 10

2.2. Testul Kolmogorov-Smirnov, K, pentru verificarea normalității .......................... 12

E. Prezentarea rezultatelor: ................................................................................................... 14

F. Bibliografie: ..................................................................................................................... 14

Verificarea normalității repartiției datelor 3

B. Scopul lucrării Se urmărește realizarea următoarelor obiective:

- prezentarea noțiunilor generale legate de verificarea concordantei dintre o

repartiție teoretica și o repartiție empirica;

- prezentarea testelor de concordanta pentru verificarea normalității;

- prezentarea unei aplicaţii;

C. Noțiuni de bază Rezolvarea practica a problemelor de prelucrare statistica a datelor implica în

general aproximarea unei repartiții experimentale (obţinuta din datele măsurate) cu o

repartiția teoretica de care să se apropie în mod satisfăcător.

Pentru eliminarea aproximărilor este recomandat să se aplice un test de verificare,

aceste teste parcurgând în general următoarele etape:

- enunțarea ipotezei, a presupunerii asupra unei sau mai multor repartiții, sau

asupra unuia sau mai multor parametrii ai repartiției respective;

- alegerea parametrilor (α, n, etc.);

- calculul funcției de repartiție pe baza datelor şi stabilirea regulilor/ criteriilor ce vor

definii decizia (adaptarea sau respingerea unei repartiții);

- luarea deciziei, acceptarea sau respingerea funcției de repartiție.

Exista diferite metode şi teste de verificare a aplicabilității repartițiilor teoretice

Deoarece majoritatea fenomenelor se supun legii de repartiție normala (Gauss-

Laplace) testele cel mai frecvent test utilizate se refera la verificarea normalității.

Pentru verificarea repartițiilor, trebuie să se specifice un prag de semnificație sau un

risc pentru care să poată fi luata decizia de acceptare a ipotezelor.

Metodele de verificare a normalității sunt:

- verificarea egalității unor parametrii al repartiției cu o valoare data;

- verificarea egalității valorilor parametrilor a doua repartiții, fără a se preciza însă

aceste valori;

- verificarea concordantei dintre o repartiție experimentala (empirica), și o repartiție

teoretica;

- verificarea valorilor aberante;

1. Verificarea concordantei dintre o repartiție experimentală

(empirică), și o repartiție teoretică; Verificarea normalității

curbei de repartiție

1.1. Verificarea valorilor unora dintre parametrii statistici

Metoda este mai ales calitativă și constă din parcurgerea următorilor pași (vezi

Lucrarea 2, Repartiția în frecventa a datelor. Reprezentarea şi prelucrarea primară a

șirurilor):

1- se trasează histograma care are reprezentate pe abscisa valoarea limitelor

claselor xi, iar pe ordonata frecventa absoluta ai sau frecventa relativa fI,

utilizându-se relațiile:

4 Lucrarea 4

- determinand numărul de clase (4.1)

- determinand valoarea amplitudinii

(4.2)

- raport ce definește valoarea mărimii unui sub-interval

(4.3)

∑

- determinand valorile frecventelor relative

(4.4)

2- se calculează valoarea mediei aritmetice, a medianei, și a modulului:

∑

(4.5)

(

)- pentru număr impar de valori

⁄

- pentru număr par

(4.6)

(4.7)

3- se calculează valoarea coeficientului de asimetrie:

√

(4.8)

4- se calculează coeficientul de aplatizare, excesul , cu relația:

(4.9)

Unde: M3 este momentul centrat de ordinul 3, respectiv M4, momentul centrat de

ordinul 4, calculul valorilor momentului centrat de ordinul k în raport cu media

aritmetică notându-se cu Mk şi este dat de expresia:

∑

(4.10)

respectiv:

∑

∑

(4.11)

Având valorile calculate pentru toți acești parametri statistici, se poate face o

evaluare a repartizării. În cazul în care datele sunt normal repartizate:

- histograma va prezenta un singur maxim, având alura asemănătoare curbei

normale;

- media aritmetică, mediana și modala vor avea valori apropiate;

- coeficientul de asimetrie se va apropia de valoarea 0;

- coeficientul de aplatizare va avea valoarea 0.

Dacă aceste verificări nu duc la concluzii favorabile privind normalitatea repartiției

datelor, decizia poate fi:

- este necesara o analiză mai amănunțită cantitativă a șirului de date;

- pentru valori ce definesc o abatere suficient de mare între repartizarea teoretică

de referință şi cea observată, se respinge ipoteza de normalitate a repartiției

datelor.


Cel mai important și mai des utilizat test de verificare a normalității repartițiilor unui șir

de date experimentale este testul 2

1.2. Testul 2 pentru verificarea normalității

Repartiția 2 se utilizează şi pentru verificarea normalității unei populații normale cu μ

şi σ2 necunoscute.

Statistica 2 pentru =n-1 grade de libertate:

∑

∑

(4.12)

în acest caz este data de relația:

∑

(4.13)

Unde:

- ai - este frecventa absoluta a abaterilor intervalului i, (numărul înregistrat de valori

din acest interval i);

- pi - probabilitatea teoretica a intervalului i, ( a evenimentului considerat);

- n - volumul eșantionului; Observație: testul de concordanta 2 se aplica atunci

când volumul eșantionului este, n>100.

Pragul de semnificație 2c se stabileşte pentru un risc α acceptat și γ=n-1 grade de

libertate, iar dacă:

(4.14)

repartiția observată nu este de același tip cu repartiția teoretică considerată

Astfel, în cazul practic de verificare a aplicabilității distribuției teoretice, se parcurg

următori pașii:

1- datele observate se grupează în intervale, (determinându-se numărul m de

clase), calculându-se în continuare frecvența corespunzătoare repartiției

teoretice, ai, respectiv fi;

2- se calculează valoarea mediei aritmetice , (4.5), respectiv abaterea medie

pătratică:

√∑ ( )

(4.15)

3- se aplica transformarea de variabilă:

(4.16)

prin folosirea acestei transformări pentru repartiția teoretică normală, putându-se

determina probabilitatea pi corespunzătoare intervalului xi-1, xi, cu ajutorul funcției

Laplace:

∫

√ ∫

(4.17)

6 Lucrarea 4

valorile funcțiilor densitate de probabilitate f(z) şi ale funcției de repartiţie F(z) fiind

date tabelar, (Anexa A):

(

) (

)

(4.18)

Astfel ca, pentru primul interval:

(

)

(4.19)

iar pentru ultimul interval:

(

)

(4.20)

Deoarece, (vezi (4.17)):

(4.21)

4- se calculează valoarea lui 2, utilizând relația (4.13), (după ce au fost calculate/

sau determinate din tabelele de specialitate, (Anexa A), pentru fiecare valoare a

lui zi, valorile funcțiilor de repartiție, respectiv au fost calculate probabilitățile pi);

5- se determina valoarea 2c, utilizând valorile tabelare ale funcției 2, (Anexa B),

pentru nivelul de încredere, 1-α / riscul α impus, şi un număr γ de grade de

libertate, decizia luându-se în concordanta cu relația:

(∑

) (

)

(4.22)

Observație: numărul de grade de libertate reprezintă numărul de categorii (intervale)

al căror conținut se poate specifica în mod independent. În cazul repartiției normale,

dacă parametrii μ și σ se apreciază pe baza sondajului ( ), se reduc doua

grade de libertate.

Cu condiția suplimentar impusă:

∑

(4.23)

grade de libertate (unde, m este numărul de intervale).

6- dacă:

(4.24)

se acceptă repartiția teoretică studiată ca fiind o repartiție normală.

Observație: Metoda testului 2 poate fi aplicată și pentru rezolvarea unor probleme

de comparație între doua grupe de rezultate, obținute cu un element sau factor

modificat. Dacă se caută să se confirme ipoteza că diferența (defecțiunilor) între cele

două categorii nu este semnificativa, aceasta revine ipotezei că cele două grupe

aparțin unei distribuții normale.

1.3. Testul Kolmogorov-Smirnov (K)

Cele mai multe verificări a aplicabilității repartițiilor teoretice necesită cunoașterea în

prealabil a legii de repartiție, dar, în cazurile în care aceasta este necunoscută, se

impun o categorie de teste valabile pentru "orice" repartiție. În general aceste metode


sunt mai puţin precise decât metodele de verificare clasice (la care se cunosc legile

de repartiție teoretică), din acest motiv, acestea din urmă se aplică ori de câte ori

este posibil. Aceste metode, datorită posibilității aplicabilității pentru orice funcție de

repartiție (deci pentru orice parametrii) se numesc "neparametrice", ele fiind mai

eficiente atunci când se testează mediile și nu dispersiile.

Metoda de verificare Kolmogorov-Smirnov, K, verifică concordanța dintre o repartiție

teoretică F(x) (normală, binomială, Poisson) şi una experimentală Fe(x), pașii parcurși

fiind:

1- datele observate se grupează în intervale, (determinându-se numărul m de

clase), calculându-se în continuare valorile frecvențelor absolute ai, respectiv

valorile frecvențelor relative fi, corespunzătoare;

2- se calculează valoarea mediei aritmetice , utilizând relația (4.5), respectiv

abaterea medie pătratică s, utilizând relația (4.15);

3- se calculează valorile funcției de repartiție experimentale, utilizând relația:

∑ (4.25)

4- se aplica transformarea de variabila, aplicând relația (4.16), pentru repartiția

teoretica, valorile funcțiilor densitate de probabilitate f(z) şi ale funcției de

repartiţie F(z) fiind date tabelar, (Anexa A), aceasta în cazul verificării normalității.

Observație: în cazul verificării altor repartiții teoretice se vor aplica transformările

specifice acestora. Astfel ca, valorile funcției de repartiție teoretice vor fi date de

relația:

(4.26)

5- cu valorile grupate pe intervale se calculează diferența:

(4.27)

6- se determină valoarea maximă a diferenței:

| | (4.28)

7- pentru un nivel semnificativ 1-α, (sau risc α ) adoptat , se scrie relația:

(

√ )

(4.29)

Valoarea lui λ obținându-se din tabelele funcției calculate K, (Anexa E), calculându-

se în continuare valoarea raportului

√ ;

8- dacă:

√

(4.30)

se acceptă ipoteza concordantei dintre repartiția teoretica și cea observata. În caz

contrar ipoteza se respinge.

Observație: Metoda de verificare K, este o metoda greoaie necesitând un eșantion

de volum foarte mare, respectiv un volum mare de calcul.

8 Lucrarea 4

1.4. Testul Massey

Acest test se aplică în scopul verificării normalității, și se prezintă ca o modificare a

testului K el fiind adaptat pentru selecții/ eșantioane de volum n redus, (un volum

între 8 și 32 unități statistice).

Aplicarea acestei metode presupune parcurgerea următoarelor etape:

1- ordonarea valorilor experimentale xi în ordinea crescătoare;

2- se calculează valoarea mediei aritmetice , utilizând relația (4.5), respectiv

abaterea medie pătratică s, utilizând relația (4.15);

3- se normează valorile variabilei:

(4.31)

4- se determina frecventa cumulata Fc corespunzătoare fiecărei valori yi:

∑

(4.32)

Unde: fI este frecventa relativa a valorii yI;

5- cu ajutorul tabelelor Laplace, (Anexa A) se calculează funcția teoretica de

repartiție F(yi)

9- se determina diferența:

| | (4.33)

și se alege valoarea superioara: ds=sup d ;

10- din tabelul funcției calculate, Massey, se alege valoarea statistica dg,

corespunzător nivelului de semnificație α, adoptat;

11- dacă:

(4.34)

se accepta ipoteza ca repartiția experimentala corespunde unei repartiții normale. În

caz contrar se respinge aceasta ipoteza.

D. Desfășurarea lucrării:

1. Tema:

Să se genereze un șir de 100 de valori aşezate într-un tabel cu 10 coloane.

Generarea numerelor va fi aleatoare, datele vor fi normal repartizate, cu media egală

cu ziua de naştere și dispersia 0,XX (similar lucrărilor anterioare). Cu un risc de 5%

să se verifice normalitatea repartiţiei datelor.

Să se completeze un raport care să cuprindă:

1. Tabelul datelor primare;

2. Tabelul de calcul a abaterilor;

3. Decizia privind normalitatea datelor.

2. Prelucrarea rezultatelor:

2.1 Utilizând software-ul de specialitate Excel, se va genera un șir de date, n=100, ce

va reprezenta eşantionul supus analizei, și anume:


1. Selectaţi panoul Data și din secțiunea Analysis selectați Data Analysis

(Instrumente, Analiza datelor);

2. Selectaţi din caseta de dialog care s-a deschis opţiunea Random Number

Generation (Generare de Numere Aleatorii);

3. Executaţi clic asupra butonului OK;

4. În caseta de dialog care se deschide selectaţi:

Number of Variables (Numărul coloanelor generate): 10;

Number of Random Number (Numărul rândurilor generate): 10;

Distribution: Normal (Distribuţia, Normală):

Mean (Media):22 (ziua nașterii);

Standard Deviation (Abaterea standard): 0.22 (0,XX, unde XX este ziua

nașterii);

Output Range (Afişarea generării), selectând/introducând domeniul

(rândul/coloană) unde dorim să fie afişat șirul de date generat;

5. Executaţi clic asupra butonului OK.

2.2 Se determină valorile de minim, xmin şi a celor de maxim, xmax, utilizând opţiunile

oferite de Excel (=MIN(A1:A10) și =MAX(A1:A10), unde A1:A10 este domeniul de

valori din care vrem să aflăm minimul și maximul)

2.3. se calculează numărul de clase m, utilizând formula (2.5):

Care în Excel va fi scrisă sub forma: =1+3.322*LOG10(100)

Obţinând valoarea: m=7.644; fiind necesar un număr întreg de clase, se adoptă un

număr de 8 clase, astfel că m=8, este valoarea numărului de clase aproximat.

2.4 Se calculează amplitudinea W, utilizând formula (2.26);

2.5 Se determină mărimea unui sub-interval, utilizând formula:

2.6 Se realizează tabelul datelor grupate, reprezentând valorile intervalelor, astfel

(similar lucrărilor anterioare): [xmin: xmin+d); [xmin+d: xmin+2d);… (xmax];

2.7 Se calculează frecvențele absolute, ai, utilizându-se facilităţile software-ul Excel,

și anume funcția countifs:

1. Funcția counifs numără o valoare din unul sau mai multe intervale dacă

este respectată una sau mai multe condiții. Astfel argumentele funcției sunt

intervalul de valori din care se numără și condiția. Spre exemplu:

=COUNTIFS($P$2:$P$61,">="&A22, interval_2, condiție_2) va număra

din intervalul marcat cu albastru doar valorile care respectă condiția

marcată cu verde (în exemplu: dacă valoarea fiecărui număr din intervalul

P2:P61 este mai mare sau egală cu valoarea din căsuța A22) ș.a.m.d. Mai

multe detalii despre folosirea funcției puteți obține din meniul Help;

2. În coloana ai se vor introduce formulele astfel:

=COUNTIFS($A$6:$J$15,">="&F22,$A$6:$J$15,"<"&G22)

10 Lucrarea 4

Unde: intervalul roșu este cel care conține valorile generate, valoarea albastră este capătul din stânga a intervalului considerat iar valoarea verde capătul din dreapta al intervalului. 2.7. Verificarea rezultatelor se face cu formula (2.2.):

∑

2.8. Se calculează frecventele relative, fi,utilizând formula (2.3):

∑

2.9. Se trasează histograma valorilor calculate, având pe abscisă valorile clasei iar

pe ordonata valorile frecventelor, urmând paşii:

1. Selectaţi datele pe care doriţi să le reprezentaţi grafic;

2. Executaţi clic asupra butonului Column (Coloane) din secțiunea Charts

(Grafice) a panoului Insert;

3. Selectaţi tipul de grafic dorit;

4. Adaptați graficul după dorințe atribuindu-i un format (din Layout) și

adăugând elementele dorite (titlu, etichete pentru axe, etc.);

2.10. Determinarea mediei aritmetice, având formula (2.9.):

∑

Astfel, în Excel se va putea scrie: =AVERAGE(A1:L5) unde A1:L5 sunt adresele ce

conțin valorile generate.

2.12 Pentru determinarea dispersiei, avem formula (2.20):

∑

Pentru calculul în Excel al dispersiei se va folosi formula directă aflată în secţiunea

din program relativa funcţiilor: =VAR(A1:L5) unde A1:L5 sunt adresele ce conțin

valorile generate.

2.13 Se calculează abaterea standard (abaterea medie pătratică) (2.24):

√ √∑

√

∑

În Excel: =STDEV(A1:L5) sau =SQRT(F11) unde A1:L5 sunt adresele ce conțin

valorile generate iar F11 valoarea ocupată de dispersie.

În vederea verificării normalității datelor, ținându-se seama de volumul eșantionului,

n=100, se pot aplica testele:

- testul 2 pentru verificarea normalității;

- testul Kolmogorov-Smirnov, K.

2.1. Testul 2 pentru verificarea normalității

Utilizând funcțiile oferite de software-ul Excel, verificarea normalității funcției de

repartiție aplicând testul 2, presupune parcurgerea următorilor pași:


1. Se face schimbarea de variabilă, utilizând formula (4.26):

Unde valorile mediei, M[x]=µ și a abaterii, √ sunt valorile calculate anterior și

care se găsesc la adresa B21, respectiv B23, în cadrul raportului Excel.

2. Cu funcția de repartiție normală se calculează aria de la -∞ la valorile z1, z2,... zi-1,

zi, utilizând expresia (4.28). Calculul integralei este efectuat în Excel de funcția

NORMSDIST.

∫

√ ∫

Astfel se vor determina valorile funcţiei de repartiţie F(z), acestea fiind :

=NORMSDIST(A27:A33); =NORMSDINST(A28:A33) ș.a.m.d.

Unde A27-A33 sunt adresele celulelor ocupate de valorile z1 - zi

3. Se calculează probabilitatea pi corespunzătoare intervalului xi-1, xi,utilizând formula

(4.18)

(

) (

)

Aria obținută reprezintă aria dreptunghiului curbiliniu între limitele zi-1 zi obținută cu

repartiția normală

Ținând cont de relațiile (4.21)

Pentru primul interval, valoarea p1, va fii (4.19):

(

)

iar pentru ultimul interval (4.20):

(

)

Astfel, utilizând Excel, vom avea relațiile

=F27; =F28-F27; =F29-F28; …; =F33-F32

Unde adresele F27-F33 sunt ocupate de valorile F(zi)

4. Pentru a calcula ariile celor două dreptunghiuri este suficient să comparăm

înălțimile deoarece ele au aceeași bază. Având valorile pi, se pot calcula în

continuare valorile produsul n*pi, produs care intră în formula de calculul valorii

2.Utilizând Excel vom avea:

=100*G27; =100*G28; … =100*G33;

Unde 100 este volumul eșantionului, numărul de valori n iar G27-G33 sunt adresele

ocupate de valorile p1-pm.

5. Se calculează valoarea lui 2, pentru fiecare valoare a lui zi, utilizând formula

(4.13):

12 Lucrarea 4

Astfel, vom avea:

= (C16-I16)^2/I16; =(C17-I17)^2/I17; … =(C23-I23)^2/I23;

La final 2, va fi suma tuturor valorilor 2 calculate.

6. Se determină valoarea 2c, utilizând valorile tabelare ale funcției 2, (Anexa B),

pentru nivelul de încredere, 1-α / riscul α impus (1-α =0.950=95%), și un număr γ de

grade de libertate, decizia luându-se în concordanță cu relația (4.22):

(∑

) (

)

Observație: Numărul de grade de libertate reprezintă numărul de categorii

(intervale), al căror conținut se poate specifica în mod independent.

Deci valoarea atribuită pentru numărul gradelor de libertate este:

; rezultand astfel: - grade de libertate

unde, m este numărul de intervale.

Astfel, valoarea găsita pentru 2c, este:

2c = 2.167

7. Comparând valoarea calculata cu valoarea critica (4.24)

Iar dacă avem un rezultat ca:

1.606 < 2.167

concluzia pe care o putem trage în acest moment este doar aceea că datele studiate

respectă legea normală de repartiție, astfel ca decizia este:

"repartiția teoretica studiată se acceptă ca fiind o repartiție normală".

2.2. Testul Kolmogorov-Smirnov, K, pentru verificarea normalității

Utilizând funcțiile oferite de software-ul Excel, verificarea normalității funcției de

repartiție aplicând de această dată testul Kolmogorov-Smirnov, K, presupune

parcurgerea următorilor pași:

1. se determina valorile de minim, xmin şi a celor de maxim, xmax;

2. se calculează numărul de clase m;

3. se calculează amplitudinea W;

4. se determină mărimea unui sub-interval;

5. se realizează tabelul datelor grupate, reprezentând valorile intervalelor: [xmin:

Xmin+d); [xmin+d: xmin+2d);… (xmax];

6. se calculează frecvențele absolute, ai, verificându-se rezultatele obținute;

7. se calculează frecvențele relative, fI, verificându-se de asemenea rezultatele

obținute;

8. se trasează histograma valorilor calculate, având pe abscisa valorile clasei iar

pe ordonata valorile frecvențelor;

9. se determină valoarea mediei aritmetice M[x] şi valoarea dispersiei D[x];


10. se calculează abaterea standard (abaterea medie pătratica), √ ;

11. se face schimbarea de variabilă, aplicând relația necesara verificării

normalității, valorile funcțiilor densitate de probabilitate f(z) şi ale funcției de

repartiție F(z) fiind date tabelar, (Anexa A);

Până aici, toți acești pași se recunosc ca fiind aceeași cu cei de la aplicația

anterioară, deoarece este vorba despre același șir de valori, pașii ce urmează însă

pentru soluționarea temei propuse, sunt pașii ce diferențiază cele două metode de

verificare, şi anume:

12. se calculează valorile funcției de repartiție experimentale, utilizând relația

(4.25):

∑

Utilizând Excel, vom avea:

=SUM(D16); =SUM(D16:D17); … =SUM(D16:D23);

Unde adresele D16-D23 sunt adresele ce conțin frecvențele relative fi.

13. Cu valorile grupate pe intervale se calculează diferența (4.27)

Astfel, vom avea:

=H16-G16; =H17-G17; … =H23-G23;

Unde adresele H16-H23 conțin valorile pentru Fe calculate iar G16-G23 conțin valorile

pentru F(x) calculate.

14. Se determină valoarea maximă a diferenței (4.28):

Utilizând relația:

=MAX(J16:J23)

15. Pentru nivelul semnificativ 1-α, (sau risc α ) adoptat, (1-α=0.950=95%), se

scrie relația (4.29)

(

√ )

Valoarea lui λ obținându-se din tabelele funcției calculate K și deoarece 95% se

apropie mai mult de valoarea din stânga a intervalului [0.9477- 0.9505], vom găsi

valoarea λ:

λ1=1.720

16. se calculează în continuare valoarea raportului

√ , care utilizând Excel va fii

dat de relația (4.30)

=1.72/SQRT(100),

1.17- se va face verificarea:

√

Astfel încât, dacă relația se verifică, se acceptă ipoteza concordanței dintre repartiția

teoretică și cea observată. În caz contrar ipoteza se respinge.

14 Lucrarea 4

Calculele efectuate se pot verifica cu ajutorul modulului de statistică descriptivă din

Excel. Astfel, se execută clic pe Data Analysis din panoul Data, iar din listă se alege

Descriptive Statistics (Figura 4.1.).

Fig. 4.1. Fereastra Descriptive Statistics

În câmpul Input Range se introduc adresele ce conțin valorile generate, aranjate pe o

singură coloană (din Foaia de lucru). La Output Range se alege căsuța unde să fie

plasate rezultatele. Se bifează Summary Statistics și se alege nivelul de încredere

(95%) bifând Confidence Level for Mean. Se dă clic pe butonul OK.

E. Prezentarea rezultatelor: Rezultatele vor fi prezentate sub forma unui raport (vezi Exemplu raport) ce cuprinde:

- reprezentarea datelor primare, șirul de date;

- reprezentarea tabelară a datelor grupate și a indicatorilor statistici;

- reprezentarea tabelară a valorilor parametrilor funcțiilor de repartiție;

- trasarea histogramelor repartiției în frecvență (relative, fi și cumulate Fc);

- verificarea ipotezei și prezentarea deciziei;

F. Bibliografie: [1] Bulgaru, M., Bolboaca, L., Ingineria calității. Managementul calității, statistica și

control, măsurări în 3D, Alma Mater, Cluj-Napoca 2001, ISBN 973-85153-0-0

[2] Deaconescu, A., Deaconescu, T., Managementul calității. Aplicaţii, Editura

Omnia Uni S.A.S.T., Brasov, 2001, ISBN 973-9478-65-4

[3] Cathy, K., EXCEL pentru Windows tm 95 în 503 imagini, Teora, Bucuresti, 1999,

ISBN 973-601-457-6

[4] Faithe, W., Microsoft Office 97 Professional 6in 1, Teora, Bucuresti, 1998, ISBN

973-601-907-1

[5] Tanasescu I Controlul statistic al proceselor și produselor, Editura didactica și

pedagogica, Bucuresti, 1987.

[6] *** Colecție de standarde, Managementul și asigurarea calității, Editura tehnica,

Bucuresti, 1996

ST - Lucrarea 4 - Tema de laborator.pdf

Documents

Transcript of ST - Lucrarea 4 - Tema de laborator.pdf