CAPITOLUL 3

Spatii vectoriale

1. Preliminarii

Fie K = R sau K = C. O multime nevida V se numeste spatiu vectorial (sauliniar) peste corpul K daca este nzestrata cu doua legi de compozitie: una interna,notata aditiv, (x; y) ! x + y si una externa, notata multiplicativ (; x) ! x, cuurmatoarele proprietati:

1) x+ y = y + x, 8x, y 2 V ;2) (x+ y) + z = x+ (y + z), 8x, y, z 2 V ;3) exista un element 0V astfel nct x+ 0V = x, 8x 2 V ;4) pentru orice x 2 V exista un element x0 2 V astfel nct x+ x0 = 0V ;5) 1 x = x, 8x 2 V ;6) (x) = ()x, 8, 2 K, 8x 2 V ;7) (+ )x = x+ x, 8, 2 K, 8x 2 V ;8) (x+ y) = x+ y, 8 2 K, 8x, y 2 V .Elementele lui V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari.

Cnd K = R, V se mai numeste spatiu vectorial real, iar K = C, V se mai numestespatiu vectorial complex.

Fie V un K-spatiu vectorial. O submultime nevida S V se numeste subspatiuvectorial daca:

1) x, y 2 S ) x+ y 2 S;2) x 2 S, 2 K ) x 2 S,sau, echivalent,

x+ y 2 S, 8x; y 2 S, 8; 2 K.Asadar, submultimea S nsasi este spatiu vectorial peste corpul K.Fie A V . Vectorul x 2 V este combinatie liniara de vectori din A, daca

exista v1,..., vn 2 A si 1, ..., n 2 K astfel nct x = 1v1 + ::: + nvn. n acestcaz, scalarii 1, ..., n se numesc coecientii combinatiei liniare. Multimea tuturorcombinatiilor liniare (nite) de vectori din A este subspatiu vectorial al lui V , numitsubspatiu vectorial generat de multimea A sau acoperire liniara a lui A si se noteazaSp(A). Spunem ca submultimea A a lui V este sistem de generatori pentru V sauca A genereaza V , daca orice x 2 V este combinatie liniara de vectori din A. DacaA este nita, atunci V se numeste nit generat. Multimea fx1; :::; xng V senumeste liniar independenta ( sau libera) daca din 1x1 + :::+ nxn = 0V rezulta1 = 2 = ::: = n = 0. Aceeasi multime se numeste liniar dependenta ( sau legata)daca exista scalarii 1; :::; n, nu toti nuli, astfel nct 1x1 + :::+ nxn = 0V . nacest caz, se mai spune ca vectorii x1; :::; xn sunt liniar independenti respectiv liniardependenti. O multime innita de vectori din V se numeste liniar independenta ( saulibera) daca orice submultime nita a sa este liniar independenta. O submultimede vectori din V se numeste baza, daca este liniar independenta si genereaza V .

25

26 3. SPATII VECTORIALE

Spatiul vectorial V este de dimensiune nita (sau nit dimensional) daca este nitgenerat. Orice doua baze ntr-un spatiu de dimensiune nita au acelasi numar deelemente. Se numeste dimensiune a unui spatiu vectorial nit dimensional V si senoteaza dimV , numarul de vectori dintr-o baza oarecare a sa. Un spatiu vectorialse numeste innit dimensional cnd contine o multime innita libera.

Daca dim V = n; atunci orice submultime libera S = fe1; e2; :::; ekg V , cuk n, poate completata pna la o baza fe1; e2; :::ek; ek+1; :::eng a lui V . Sianume, daca Vk = Spfe1; e2; :::ekg = V , nu avem ce sa completam. Daca Vk 6= V ,luam ek+1 2 VVk si construim Vk+1 = Spfe1; :::; ek; ek+1g. Continuam apoirationamentul cu Vk+1 in locul lui Vk: Deoarece dimV = n, putem face acest lucrupna la Vn=k+(nk), deci procedeul se termina dupa n k pasi.

Daca B V este un sistem nit de vectori, se numeste rangul sistemuluiB, numarul maxim de vectori liniar independenti din B. Este clar ca rangB =dimSp(B). Fie E o baza n V . Matricea M , ale carei coloane contin coodonatele(unic determinate) ale ecarui vector din B n raport cu baza E, se numeste ma-tricea sistemului B n raport cu baza E. Are loc rangB = rangM . (teoremarangului).

Teorema lui Grassmann. Daca si sunt subspatii nit dimensionale ale unuispatiu vectorial, atunci

dim(S1 + S2) = dimS1 + dimS2 dim(S1 \ S2).

Daca B = fe1; e2; :::; eng si B0 = ff1; f2; :::; fng sunt doua baze n spatiulvectorial V , atunci matricea patrata, unic determinata C = (cij)i;j=1;n, care sa-

tisface relatiile fj =nPi=1

cijei, 1 j n, se numeste matricea de trecere de la

baza B la baza B0. n plus, daca x 2 V se scrie x =nPi=1

xiei =nPi=1

x0ifi, atunci

(x1; x2; :::; xn)t= C (x01; x

02; :::; x

0n)t.

2. Probleme rezolvate

1. a) Sa se arate ca n R3, vectorii v1 = (1; 1; 1), v2 = (0; 1; 1), v3 = (0; 0; 1)formeaza un sistem de generatori si sunt liniar independenti. Sa se calculeze coor-donatele vectorului x = (1; 2; 3) n raport cu baza fv1; v2; v3g;

b) Aceeasi problema n R4, pentru vectorii v1 = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; 1;1;1),v3 = (1;1; 1;1), v4 = (1;1;1; 1) si x = (1; 2; 1; 1);

c) Aceeasi problema n R2, pentru vectorii v1 = (1; 2), v2 = (3;5), si x =(1;3).

Solutie. a) Fie x 2 R3, x = (x1; x2; x3). Vom arata ca putem determina 1, 2,3 astfel nct x = 1v1 + 2v2 + 3v3. Aceasta relatie se mai scrie (x1; x2; x3) =(1; 1 + 2; 1 + 2 + 3), de unde 1 = x1, 1 + 2 = x2, 1 + 2 + 3 = x3.Rezulta 1 = x1, 2 = x2 x1, 3 = x3 x2, deci v1, v2, v3 formeaza un sistemde generatori pentru R3. n plus, vectorii v1, v2, v3 sunt liniar independenti. ntr-adevar, daca pentru 1, 2; 3 2 R are loc relatia 1v1 + 2v2 + 3v3 = (0; 0; 0),atunci 1 = 0, 1 + 2 = 0, 1 + 2 + 3 = 0, de unde 1 = 2 = 3 = 0.n consecinta, fv1; v2; v3g este o baza n R3. Tinnd seama de prima parte, daca

2. PROBLEME REZOLVATE 27

x = (1; 2; 3) = 1v1+2v2+3v3, obtinem coordonatele lui x n raport cu aceastabaza: 1 = 1, 2 = 1, 3 = 1, deci (1; 2; 3) = 1 v1 + 1 v2 + 1 v3.

b) Din x = (x1; x2; x3; x4) = 1v1 + 2v2 + 3v3 + 4v4 obtinem 1 + 2 +3 + 4 = x1, 1 + 2 3 4 = x2, 1 2 + 3 4 = x3, 1 2 3 + 4 = x4, deci 1 =

1

4(x1 + x2 + x3 + x4), 2 =

1

4(x1 + x2 x3 x4), 3 =

1

4(x1 x2 + x3 x4), 4 = 1

4(x1 x2 x3 + x4). Prin urmare, v1, v2, v3, v4

formeaza un sistem de generatori pentru R4. n plus, vectorii v1, v2, v3, v4 suntliniar independenti. ntr-adevar, daca 1v1 + 2v2 + 3v3 + 4v4 = (0; 0; 0; 0), dinrelatiile anterioare gasim 1 = 2 = 3 = 4 = 0. Asadar, fv1; v2; v3; v4g este obaza n R4. Totodata, daca x = (1; 2; 1; 1) = 1v1 + 2v2 + 3v3 + 4v4, obtinem

coordonatele lui x n raport cu aceasta baza: 1 =5

4, 2 =

1

4, 3 = 1

4, 4 = 1

4.

c) Similar, din x = (x1; x2) = 1v1+2v2 rezulta 1+32 = x1, 2152 = x2,deci 1 =

1

11(5x1 + 3x2), 2 =

1

11(2x1 x2), iar din 1v1 + 2v2 = (0; 0), gasim

1 = 2 = 0. n consecinta, fv1; v2g este o baza n R2. Folosind relatiile anterioare,se obtin coordonatele lui x n aceasta baza: 1 = 4

11, 2 =

5

11.

2. Fie a 2 R. Sa se arate ca functiile pi : R! R, pi(x) = (x a)i, 0 i n,formeaza o baza n spatiul functiilor polinomiale de grad cel mult n pe R.

Solutie. DacanPk=0

k(x a)k = 0, atunci, derivnd de n ori relatia, obtinem

n n! = 0, deci n = 0. Derivnd acum, de n 1 ori relatian1Pk=0

k(x a)k = 0,obtinem n1 (n 1)! = 0, deci n1 = 0. Procedeul continua. n nal, rezulta0 = 1 = ::: = n = 0, deci polinoamele p0, p1, ...,pn sunt liniar independente. Saaratam ca aceste polinoame formeaza un sistem de generatori. ntr-adevar, dacaf(x) = 0 1+1 (x a)+ :::+n (x a)n, atunci 0 = f(a). Derivnd, obtinem1 =

f 0(a)1!

. Derivnd din nou, gasim 2 =f 00(a)2!

. Continund procedeul, rezulta

ca k =f (k)(a)

k!, 0 k n. n consecinta, functiile polinomiale pk, 0 k n,

formeaza un sistem de generatori, deci o baza n spatiul functiilor polinomiale degrad cel mult n pe R.

3. n spatiul vectorial real al functiilor continue pe R, cu valori reale, sa searate ca functiile 1, cos t, cos2 t, cos3 t sunt liniar independente. Aceeasi problemapentru functiile 1, cos t, cos 2t, cos 3t

Solutie. Fie , , , 2 R astfel ca 1 + cos t + cos2 t + cos3 t = 0,8t 2 R. Dnd succesiv lui t valorile 0,

4,

2, , se obtin relatiile + + + = 0,

+

p2

2+

1

2

+

p2

4 = 0, = 0, + = 0. Determinantul sistemului omogen

astfel obtinut este nenul, deci admite numai solutia banala = = = = 0.Prin urmare, functiile 1, cos t, cos2 t, cos3 t sunt liniar independente. Similar, daca 1 + cos t+ cos 2t+ cos 3t = 0, 8t 2 R, tinnd seama ca cos 2t = 2 cos2 t 1,cos 3t = 4 cos3 t 3 cos t, rezulta ca + ( 3) cos t+2 cos2 t+4 cos3 t = 0,8t 2 R. Deoarece functiile 1, cos t, cos2 t, cos3 t sunt liniar independente, obtinem

28 3. SPATII VECTORIALE

= 0, 3 = 0, 2 = 0, 4 = 0, deci = = = = 0, adica functiile 1,cos t, cos 2t, cos 3t sunt liniar independente.

4. Fie x = (1; 2; 3) 2 R3. Sa se determine coordonatele vectorului x n bazaB0 = fe01; e02; e03g, unde e01 = (1; 0; 1), e02 = (1;1; 0), e03 = (2; 0; 1).

Solutie. Fie B = fe1; e2; e3g baza canonica din R3. Deoarece e01 = e1 + e3,e02 = e1 e2, e03 = 2e1 + e3, rezulta ca matricea de trecere de la baza B la baza B0

este C =

0@ 1 1 20 1 01 0 1

1A. Totodata e1 = e01+e03, e2 = e01e02+e03, e3 = 2e01e03,deci matricea de trecere de la baza B0 la baza B este C1 =

0@ 1 1 20 1 01 1 1

1A.Daca x = x01e

01+x

02e02+x

03e03, atunci se obtine

0@ x01x02x03

1A = C10@ 123

1A =0@ 32

0

1A.Asadar x = 3e01 2e02.

5. Fie S1, S2 doua subspatii vectoriale ale lui R4, generate de vectorii f1 =(1; 1; 0; 0), f2 = (0; 1; 1; 0), f3 = (0; 0; 1; 1) respectiv g1 = (1; 0; 1; 0), g2 = (0; 2; 1; 1),g3 = (1; 2; 1; 2). Sa se ae dimensiunile si cte o baza n S1, S2, S1 + S2 si S1 \ S2.

Solutie. Deoarece rangff1; f2; f3g = 3, rangfg1; g2; g3g = 3, rezulta ca dimS1 =dimS2 = 3, iar ff1; f2; f3g si fg1; g2; g3g sunt baze n S1 respectiv S2. Pe de altaparte, n mod evident, ff1; f2; f3; g1; g2; g3g genereaza S1 + S2 R4. Deoarecerangff1; f2; f3; g1g = 4, atunci dim(S1 + S2) = 4, adica S1 + S2 = R4. Putem luaca baza n S1 + S2 vectorii f1; f2; f3; g1, de exmplu. Din teorema lui Grassmann,dim(S1 \ S2) = 2. Vom determina o baza n S1 \ S2. Daca u 2 S1 \ S2, atunciu = f1 + f2 + f3 =

0g1 + 0g2 + 0g3. Se obtine sistemul liniar8>>>: = 0 + 0

+ = 20 + 20

+ = 0 + 0 + 0

= 0 + 20.

Din ecuatiile 1, 2, 4, rezulta = 0 + 0, = 0 + 20 + 0, = 0 + 20.Introducnd n ecuatia 3, gasim 0 = 0+0. Atunci u = 0(1; 2; 2; 1)+0(2; 2; 2; 2).Vectorii (1; 2; 2; 1) si (2; 2; 2; 2) ind liniar independenti, rezulta ca formeaza o bazan S1 \ S2.

3. Probleme propuse

1. Fie V = (0;1). Sa se arate ca n raport cu operatiile x y = xy, x; y 2 Vsi x = x, 2 R, x 2 V , V devine spatiu vectorial real. Sa se arate ca vectoriip2 si

p3 sunt liniar dependenti.

2. Fie V un K-spatiu vectorial si v 2 V , v 6= 0V . Denimx y = x+ y v, x; y 2 V , x = x+ f () v, 2 K, x 2 V ,

unde f : K ! K. Sa se determine f () astfel nct V nzestrat cu cele douaoperatii sa e spatiu vectorial.

3. PROBLEME PROPUSE 29

3. Sa se precizeze care din urmatoarele submultimi ale lui R3 sunt subspatiivectoriale ale lui R3.

a) S1 = f(x1; x2; x3) j x1 + 2x2 3x3 = 0g;b) S2 = f(x1; x2; x3) j x1 x2 + x3 = 1g;c) S3 = f(x1; x2; x3) j jx1j+ jx2j = 1g;d) S4 = f(x1; x2; x3) j x21 x2 = 0g;e) S5 = f(x1; x2; x3) j x1 = 2x2g.4. n Mn (R), e S1 = fA 2 Mn (R) j At = Ag, S2 = fA 2 Mn (R) j

At = Ag. Sa se arate ca S1 si S2 sunt subspatii vectoriale ale lui Mn (R) siMn (R) = S1 S2. Sa se gaseasca dimensiunile acestor subspatii.

5. Fie A 2 Mm;n (R), A = (aij) si S = fx 2 Rn, x = (x1; :::; xn) jnPj=1

aijxj =

0, 1 i mg. Sa se arate ca S este un subspatiu vectorial al lui Rn.6. Fie V un spatiu vectorial. Sa se arate ca daca v1, v2, v3 2 V sunt liniar

independenti atunci si vectorii w1 = v1+v2+v3, w2 = v1+v2v3, w3 = v1v2+v3sunt liniar independenti.

7. Sa se arate ca vectorii v1 = (1; 2; 2; 1), v2 = (5; 6; 6; 5), v3 = (1;3; 4; 0),v4 = (0; 4;3;1) sunt liniar dependenti. Sa se scrie v4 ca o combinatie liniara dev1, v2, v3.

8. Sa se arate ca vectorii v1 = (2; 1;3), v2 = (3; 2;5), v3 = (1;1; 1)formeaza o baza a lui R3. Sa se determine coordonatele vectorilor x = (4; 4;9) siy = (6; 2;7) n aceasta baza.

Aceeasi problema pentru vectorii v01 = (1; 2; 1), v02 = (1; 1; 1), v

03 = (1; 3; 2),

x0 = (2; 1; 1), y0 = (1; 1; 0).

9. Sa se arate ca vectorii v1, v2, v3, v4 formeaza o baza a lui R4. Sa sedetermine coordonatele vectorului x n raport cu aceasta baza:

a) v1 = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; 2; 1; 1), v3 = (1; 1; 2; 1), v4 = (1; 3; 2; 3);x = (1;4;2;5);

b) v1 = (1; 0; 0; 1), v2 = (2; 1; 3; 1), v3 = (1; 1; 0; 0), v4 = (0; 1;1; 1);x = (0; 0; 0; 1).

10. Sunt liniar independente matricele A =2 15 3

, B =

5 32 1

,

C =

1 12 3

? Dar functiile f1; f2; f3 : R ! R, f1(x) = ex, f2(x) = ex,

f3(x) = e2x?

11. Sa se determine dimensiunea subspatiului generat si o baza a subspatiuluigenerat de vectorii:

a) v1 = (1; 1; 1), v2 = (1; 2; 3), v3 = (0; 1; 1), v4 = (0; 0; 0);b) v1 = (1; 0; 0;1), v2 = (2; 1; 1; 0), v3 = (1; 1; 1; 1), v4 = (1; 2; 3; 4),v5 = (0; 1; 2; 3).

12. Sa se determine dimensiunile sumei si intersectiei subspatiilor generate:a) u1 = (1; 2;1), u2 = (3; 4;2), u3 = (2; 2;1), respectiv v1 = (0; 1; 1),v2 = (1; 2; 0);

30 3. SPATII VECTORIALE

b) u1 = (1; 1; 1; 1), u2 = (1;1; 1;1), u3 = (1; 3; 1; 3), respectivv1 = (1; 2; 0; 2), v2 = (1; 2; 1; 2), v3 = (3; 1; 3; 1).

13. Sa se completeze sistemul format din vectorii v1 = (2;1; 3), v2 = (4; 1; 1)la o baza a lui R3.

14. Sa se arate ca functiile f1 = t, f2 = t2 + 1, f3 = t2 + t formeaza o bazan spatiul functiilor polinomiale de grad cel mult 2. Sa se determine coordonatelefunctiilor t2 + 2t+ 4 respectiv t2 + 3 n raport cu aceasta baza.

15. Sa se gaseasca o baza n spatiul vectorial al solutiilor sistemului x1 + x2x3 = 0, x1 x2 + x4 = 0, x2 + x4 = 0.

16. n spatiul vectorial al functiilor f : R ! R sa se arate ca functiilef1 (t) = sin t, f2 (t) = cos t, f3 (t) = t sunt liniar independente.

17. Sa se gaseasca rangul matricelor:

a)

0BB@1 2 32 1 0

2 1 31 4 2

1CCA; b)0@ 2 1 3 2 44 2 5 1 72 1 1 8 2

1A.17. Fie S1 si S2 subspatiile vectoriale ale lui R4 date de: S1 = f(x1; x2; x3; x4) j

x2 + x3 + x4 = 0g, S2 = f(x1; x2; x3; x4) j x1 + x2 = 0, x3 = 2x4g. Sa se gaseascadimensiunile si baze ale acestor subspatii, precum si ale subspatiilor S1\S2, S1+S2.

18. n R2 e x = 2f1 + f2, unde f1 = (1; 1), f2 = (2; 3). Sa se determinecoordonatele lui x n baza fg1; g2g, unde g1 = (1; 3), g2 = (3; 8).

19. Sa se determine matricea de trecere de la baza B = ff1; f2; f3g la bazaC = fg1; g2; g3g, daca f1 = (1; 0; 0), f2 = (1; 1; 0), f3 = (1; 1; 1), g1 = (3; 0; 2),g2 = (1; 1; 4), g3 = (3; 5; 2). Cum se schimba coordonatele unui vector cnd setrece de la baza B0 la baza B?

20. Fie a1, a2, ..., an numere reale distincte. Se considera functiile polinomialeLi : R! R, 1 i n,

Li(x) =(x a1)(x a2):::(x ai1)(x ai+1):::(x an)(ai a1)(ai a2):::(ai ai1)(ai ai+1):::(ai an) .

Sa se arate ca:a) Sa se calculeze Li(aj), 1 i; j n;b) Sa se arate ca functiile Li, 1 i n, sunt liniar independente;c) Sa se arate ca functiile Li, 1 i n, formeaza o baza n spatiul vectorial

real al functiilor polinomiale de grad cel mult n 1.

4. Indicatii si raspunsuri

1. (V;) coincide cu grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive, deci auloc proprietatile 1)-4). Elementul neutru este 1, simetricul unui x 2 V este 1

x. 5)

1 x = x1 = x, 8x 2 V . 6) ( x) = (x) = (x) = x = () x, 8, 2 R, 8x 2 V . 7) ( + ) x = x+ = x x = x x = ( x) ( x),8, 2 R, x 2 V . 8) (x y) = (xy) = x y = x y = ( x) ( y),8 2 R, 8x, y 2 V . p2 = p3, unde = log3 2. 2. Proprietatile 1)-4) suntsatisfacute, elementul neutru ind v, iar simetricul unui x 2 V este x0 = x+ 2v.

4. INDICATII SI R ASPUNSURI 31

5)) f(1) = 0. 6)) f() + f() = f(). 7)) f( + ) = f() + f() 1.8)) f() = 1. 3. S1 si S5 sunt subspatii vectoriale. S2 si S3 nu sunt subspatiivectoriale deoarece nu contin (0; 0; 0). S4 nu este subspatiu vectorial deoarece( + )2 6= 2 + 2. 4. Deoarece (A + B)t = At + Bt si (A)t = At, rezultaimediat ca S1 si S2 sunt subspatii vectoriale ale lui Mn (R). Pentru orice matrice

A 2Mn (R), putem scrie A = B+C, unde B = 12(A+At) si C =

1

2(AAt). Cum

(At)t = A, rezulta ca Bt = B, Ct = C, deci B 2 S1 si C 2 S2. Prin urmare,Mn (R) = S1 + S2. Daca A 2 S1 \ S2, atunci A = At si A = At, deci A estematricea nula. n consecinta, Mn (R) = S1 S2. Matricele Ei, i = 1; n, ale carorelemente sunt ejk = 1, daca j = k = i si ejk = 0 n rest, precum si matricele Fij ,i; j = 1; n, i < j, ale caror elemente sunt fij = fji = 1 si flk = 0 n rest, formeaza

o baza n S1, deci dimS1 = n + (n 1) + (n 2) + ::: + 1 = n2 + n

2. Matricele

Gij , i; j = 1; n, i < j, ale caror elemente sunt gij = gji = 1 si glk = 0 n rest,formeaza o baza n S2, deci dimS2 = (n 1) + (n 2) + :::+1 = n

2 n2

. 5. Daca

x = (x1; :::; xn) 2 S, y = (y1; :::; yn) 2 S si ; 2 R, atuncinPj=1

aij(xj + yj) =

nPj=1

aijxj+nPj=1

aijyj = 0. 6. 1w1+2w2+3w3 = 0V ) (1+2+3)v1+(1+23)v2+(12+3)v3 = 0V . Cum v1, v2, v3 sunt liniar independenti, rezulta1 + 2 + 3 = 0, 1 + 2 3 = 0, 1 2 + 3 = 0, deci 1 = 2 = 3 = 0. 7.1v1+2v2+3v3+4v4 = (0; 0; 0; 0)) 1+523 = 0, 21+6233+44 = 0,21+62+4334 = 0, 1+524 = 0. Determinantul sistemului ind nul, aresolutii nenule. v4 =

11

4v1 3

4v2v3. 8. Relatia v1+v2+v3 = (0; 0; 0) conduce

la sistemul omogen 2 + 3 + = 0, + 2 = 0, 3 5 + = 0, al caruideterminant este nenul. Atunci = = = 0, deci vectorii v1, v2, v3 sunt liniarindependenti. Cum dimR3 = 3, rezulta ca vectorii v1, v2, v3 formeaza o baza n R3.x = v1 + v2 v3, y = v1 + v2 + v3. De asemenea, x0 = v01 + 2v02 v03, y0 = 2v01 v03.9. Determinantul de ordinul 4, ale carui coloane contin componentele vectorilorv1, v2, v3, v4, este nenul, deci vectorii sunt liniar independenti. Cum dimR4 = 4,rezulta ca vectorii v1, v2, v3, v4 formeaza o baza n R4. a) x = 3v1 + v2 3v4. b)x =

1

3v1 +

1

6v2 2

3v3 +

1

2v4. 10. Conditia A+ B + C =

0 00 0

conduce la

sistemul omogen 2+5+ = 0, 3 = 0, 5+2+2 = 0, 3+3 = 0,a carui matrice are rangul 3. n consecinta, = = = 0, deci matricele suntliniar independente. Derivnd de doua ori relatia ex + ex + e2x = 0, obtinemexex+2e2x = 0, ex+ex+4e2x = 0. Determinantul sistemului omogencu necunoscutele , , , este nenul, deci = = = 0, adica functiile sunt liniarindependente. 11. a) Cum v4 = (0; 0; 0) si v1, v2, v3 sunt liniar independenti,rezulta ca dimSp(fv1; v2; v3; v4g) = 3. b) Rangul matricei sistemului de vectorieste 3, deci dimSp(fv1; v2; v3; v4; v5g) = 3. v3 = v2 v1. Putem alege ca bazafv1; v2; v4g. 12. a) Fie S1 = Sp(fu1; u2; u3g), S2 = Sp(fv1; v2g), dimS1 = 2,dimS2 = 2, S1 + S2 este generat de u1, u2, u3, v1, v2. Cum u1, u2, v1 suntliniar independenti, rezulta ca dim(S1 + S2) = 3, deci dim(S1 \ S2) = 1 (teoremalui Grassmann). b) Fie S1 = Sp(fu1; u2; u3g), S2 = Sp(fv1; v2; v3g), dimS1 = 2,dimS2 = 3, S1 + S2 este generat de u1, u2, u3, v1, v2, v3. Cum u1, v1, v2, v3 sunt

32 3. SPATII VECTORIALE

liniar independenti, rezulta ca dim(S1 + S2) = 4, deci dim(S1 \ S2) = 1. 13. v1 siv2 sunt liniar independenti. Putem alege v3 = (1; 0; 0) =2 Sp(fv1; v2g). 14. Relatiat + (t2 + 1) + (t2 + t) = 0 conduce la sistemul + = 0, + = 0, = 0.Atunci = = = 0, deci polinoamele t, t2 + 1, t2 + t sunt liniar independente.Pentru orice polinom de gradul 2 avem at2 + bt + c = (b a + c)t + c(t2 + 1) +(a c)(t2 + t), deci cele trei polinoame formeaza un sistem de generatori, adica obaza. t2+2t+4 = 5t+4(t2+1) 3(t2+ t), t2+3 = 2t+3(t2+1) 2(t2+ t). 15.S = f(2t; t; 3t;t) j t 2 Rg, dimS = 1, v = (2; 1; 3;1). 16. Derivnd de doua orirelatia sin t+ cos t+ = 0, obtinem cos t sin t = 0, sin t cos t = 0.Determinantul sistemului omogen cu necunoscutele , , , este nenul, deci = = = 0, adica functiile sunt liniar independente. 17. S1 = f(a; b; c;b c) ja; b; c 2 Rg, dimS1 = 3, baza: u1 = (1; 0; 0; 0), u2 = (0; 1; 0;1), u3 = (0; 0; 1;1),S2 = f(a;a; 2b; b) j a; b 2 Rg, dimS1 = 2, baza: v1 = (1;1; 0; 0), v2 = (0; 0; 2; 1).dim(S1 + S2) = 4, se poate lua ca baza fu1; u2; u3; v1). Atunci dim(S1 \ S2) = 1,S1 \ S2 = f(3t;3t; 2t; t) j t 2 Rg. Vectorul v = (3;3; 2; 1) este baza n S1 \ S2.18. x = (0; 5) = g1+g2 = (+3; 3+8), deci +3 = 0, 3+8 = 5, adicax = 15g15g2. 19. g1 = 3f12f2+2f3, g2 = 2f13f2+4f3, g3 = 2f1+3f2+2f3,

deci C =

0@ 3 2 22 3 32 4 2

1A. Daca x = x1f1 + x2f2 + x3f3 = x01g1 + x02g2 + x03g3,atunci x1 = 3x01 2x02 2x03, x2 = 2x01 3x02 + 3x03, x3 = 2x01 + 4x02 + 2x03.20. a) Li(aj) =

0, daca j 6= i1, daca j = i

. b) Daca i 2 R, i = 1; n, sunt astfel canPi=1

iLi(x) = 0, x 2 R, atunci dnd succesiv lui x valorile a1, a2, ..., an, obtinem1 = 2 = ::: = n = 0. c) Daca p este un polinom de grad cel mult n 1,atunci din p(x) =

nPi=1

iLi(x), rezulta i = p(ai), i = 1; n. Prin urmare, multimea

functiilor Li, 1 i n, este sistem de generatori, deci baza.