Sisteme de forţe

Mecanica I 1

CURS 2

SISTEME DE FORŢE

CUPRINS

2. Sisteme de forţe …..…..……………………………………………………………………1

Cuprins……………………………………………………………………………………..1

Introducere modul………………………………………………………………………….1

Obiective modul...………………………………………………………………………….2

2.1. Forţa……………………………………………………………………………....2

Test de autoevaluare 1………………………………………………………………...3

2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei pe direcţia unei axe.....................4

Test de autoevaluare 2………………………………………………………………...5

2.3. Compunerea a două forţe concurente .................................................................5

Test de autoevaluare 3...................................................................................................7

2.4. Expresia forţei în sistemul de referinţă cartezian ..............................................7

Test de autoevaluare 4...................................................................................................9

2.5. Rezultanta unui sistem de forţe concurente. Teorema proiecţiilor ................10

Test de autoevaluare 5.................................................................................................12

Bibliografie modul……………………………………………………………………………12

Rezumat modul……………………………………………………………………………….12

Rezolvarea testelor de autoevaluare…………………………………………………………..13

2. Sisteme de forţe

Introducere

modul

În acest modul se va defini noţiunea de forţă.

Se vor defini noţiunile de proiecţie a forţei pe o axă şi de

componentă a unei forţe pe direcţia unei axe.

Se va defini sistemul de forţe concurente şi se va determina

rezultanta acestui sistem de forţe.

Sisteme de forţe

Mecanica I 2

Obiective modul

După parcurgerea acestui modul cursantul va şti:

- să definească şi să reprezinte noţiunea de forţă;

- să definească şi să determine proiecţia unei forţe pe o axă;

- să definească şi să determine componenta unei forţe pe

direcţia unei axe;

- să exprime forţa în sistemul de referinţă cartezian;

- să determine rezultanta unui sistem de forţe concurente

utilizând teorema proiecţiilor.

Durata medie de

studiu individual

2 ore

Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în

acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare.

2.1. Forţa

Forţa este mărimea vectorială ce caracterizează direcţia şi intensitatea acţiunii unui corp

asupra altui corp.

Ca orice vector, forţa poate fi reprezentată grafic punând în evidenţă cele patru caracteristici:

mărime, direcţie, sens şi punct de aplicaţie.

Fig. 2.1. Reprezentarea forţei

Mărimea forţei este un scalar având unitatea de măsură specifică forţei şi se reprezintă la o

anumită scară prin lungimea vectorului .

A α

O

A α

O

Sisteme de forţe

Mecanica I 3

Dreapta care conţine vectorul forţă se numeşte dreapta suport a forţei (sau suportul forţei).

Dreapta suport a forţei defineşte direcţia forţei prin unghiul pe care îl face cu o altă dreaptă

(sau axă) de direcţie cunoscută (fig. 2.1).

Sensul forţei este definit prin săgeata vectorului ce reprezintă forţa. Punctul de aplicaţie al

forţei este indicat în general printr-o literă şi poate fi situat în oricare dintre cele două

extremităţi ale vectorului forţă (fig. 2.1).

O dreaptă devine axă dacă i se asociază un punct ca origine (punctul O în figura 2.1) şi un

sens pozitiv. Direcţia şi sensul unei axe se pot pune în evidenţă printr-un vector având

mărimea 1, numit versor ( în figura 2.1). În funcţie de acest versor, forţa se poate exprima:

În această expresie se pun în evidenţă trei din cele patru caracteristici ale forţei: mărimea

(notată cu ), direcţia (direcţia versorului ) şi sensul (prin intermediul semnului: semnul (+)

arată că forţa şi versorul au acelaşi sens iar semnul (-) arată ca forţa şi versorul au sensuri

opuse). Această relaţie nu oferă nici o informaţie cu privire la poziţia punctului de aplicaţie al

forţei sau la poziţia dreptei suport a forţei în raport cu un reper oarecare. Pentru exprimarea

poziţiei forţei în raport cu un reper oarecare se va utiliza o altă noţiune ce va fi introdusă

ulterior.

Test de

autoevaluare 1

1. Definiţi forţa.

2. Ce înţelegeţi prin noţiunea de axă?

3. Expresia nu pune în evidenţă următoarea

caracteristică ale forţei:

a) mărimea

b) direcţia

c) sensul

d) punctul de aplicaţie

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

Sisteme de forţe

Mecanica I 4

2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei pe direcţia unei axe

Fie o forţă oarecare , reprezentată în figura 2.2 şi o axă oarecare (Δ), definită cu ajutorul

versorului . Pentru uşurinţa reprezentării, vom considera forţa şi axa în acelaşi plan.

Figura 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Proiecţia forţei pe direcţia unei axe

Mărimea segmentului , măsurată la scara forţelor, este mărimea scalară şi se numeşte

proiecţia forţei pe axa (Δ) :

Dacă vârful forţei se proiectează pe o dreaptă paralelă cu axa (Δ) ce conţine punctul A

(punctul de aplicaţie al forţei) atunci se obţine punctul B2. Este evident că mărimile

segmentelor şi sunt egale. Segmentul este catetă în triunghiul dreptunghic

AB2B, astfel încât putem scrie:

Dacă în extremitatea B2 se reprezintă o săgeată, atunci segmentul devine un vector având

punctul de aplicaţie identic cu punctul de aplicaţie al forţei şi mărimea egală cu mărimea

proiecţiei forţei pe axa (Δ). Acest vector, notat cu , se numeşte componenta forţei pe

direcţia axei (Δ):

A

α

O

A1 B1

B2

B

(Δ)

Sisteme de forţe

Mecanica I 5

Test de

autoevaluare 2

1. Definiţi proiecţia unei forţe pe o axă.

2. Definiţi componenta unei forţe pe direcţia unei axe.

3. Determinaţi mărimea proiecţiei forţei din figură pe axa (Δ),

cunoscând mărimea forţei F=10 N şi α=60 .

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

2.3. Compunerea a două forţe concurente.

Problema principală care se pune atunci când avem un sistem de forţe dat este, în general,

determinarea sistemului echivalent cel mai simplu. Două sisteme de forţe se numesc

echivalente dacă efectul mecanic produs asupra corpului pe care acţionează este acelaşi. Se va

determina în continuare sistemul echivalent cel mai simplu pentru un sistem de forţe alcătuit

din două forţe concurente.

Fie două forţe şi având acelaşi punct de aplicaţie. Conform principiului paralelogramului

aceste două forţe pot fi înlocuite cu o singură forţă ce produce acelaşi efect mecanic, numită

rezultantă şi notată cu (figura 2.3).

Fig. 2.3. Compunerea a două forţe concurente

Matematic, rezultanta celor două forţe concurente se exprimă ca sumă vectorială între aceste

forţe:

A

α

A

α1

A

α2

A α

(Δ)

Sisteme de forţe

Mecanica I 6

Mărimea rezultantei se determină utilizând teorema cosinusului într-unul dintre cele două

triunghiuri ce se formează în paralelogramul forţelor:

Utilizând teorema sinusului într-unul dintre cele două triunghiuri formate de rezultantă cu cele

două forţe rezultă direcţia rezultantei, dată de unghiul format de aceasta cu una dintre

direcţiile celor două forţe (direcţii cunoscute):

Dacă se aduce una dintre cele două forţe (la alegere) cu punctul de aplicaţie în vârful celei de-

a doua şi se uneşte punctul de aplicaţie al celei de-a doua forţe cu vârful primei forţe, se

obţine vectorul rezultantă. Această metodă de determinare a rezultantei se numeşte regula

triunghiului.

Se prezintă în continuare cazul compunerii a două forţe coliniare, utilizând regula

triunghiului:

Fig. 2.4. Compunerea a două forţe concurente coliniare

Dacă forţele au acelaşi sens, mărimea rezultantei se determină ca sumă algebrică a mărimilor

celor două forţe:

Dacă forţele au sensuri opuse, mărimea rezultantei se determină dintr-o scădere:

A

A

Sisteme de forţe

Mecanica I 7

x

O

z

y

Fig. 2.5. Sistem de referinţă

cartezian drept

Test de

autoevaluare 3

1. Două sisteme de forţe sunt echivalente dacă:

a) au acelaşi număr de forţe;

b) produc acelaşi efect mecanic corpului pe care acţionează;

c) acţionează în acelaşi punct.

2. Rezultanta a două forţe concurente se determină cu metodele:

a) regula paralelogramului;

b) regula rombului;

c) regula triunghiului.

3. Mărimea rezultantei a două forţe concurente se determină

aplicând:

a) teorema cosinusului;

b) teorema sinusului;

c) teorema tangentei.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

2.4. Expresia forţei în sistemul de referinţă cartezian

În figura 2.5 se prezintă sistemul de referinţă cartezian triortogonal drept. Acesta este alcătuit

din trei axe perpendiculare două câte două, notate Ox, Oy şi Oz. Noţiunea de sistem de

referinţă drept se referă la orientarea axelor (există

sisteme de referinţă drepte sau stângi). Astfel, un

sistem de referinţă drept Oxyz este acel sistem de

referinţă la care observatorul, aşezat în primul

triedru, vede notaţiile axelor în sens trigonometric

(în ordinea x, y, z). Alt mod de definire este acesta:

rotind burghiul drept astfel încât axa Ox să se

suprapună peste axa Oy pe drumul cel mai scurt,

sensul de înaintare al burghiului să coincidă cu

sensul pozitiv al axei Oz (pentru sistemul de

referinţă Oxyz). Direcţiile şi sensurile pozitive ale

Sisteme de forţe

Mecanica I 8

axelor sistemului de referinţă cartezian se definesc cu ajutorul a trei versori , şi . Mecanica

lucrează cu sisteme de referinţă drepte.

Fie forţa având punctul de aplicaţie în originea sistemului de referinţă cartezian (figura

2.6.a). Se determină proiecţiile pe axele de coordonate proiectând vârful forţei pe axele de

coordonate în modul următor: se duce o paralelă la axa Oz prin vârful forţei, aceasta

intersectând planul Oxy în punctul A. Din punctul A se duc paralele la axele Ox şi Oy şi se

determină proiecţiile vârfului forţei pe axele Oy, respectiv Ox. Pentru determinarea proiecţiei

vârfului forţei pe axa Oz se duce o paralelă prin vârful forţei la segmentul (figura 2.6.b).

Dacă se orientează segmentele obţinute, se obţin componentele forţei pe axele sistemului de

referinţă (figura 2.6.c). De asemenea se poate construi paralelipipedul având ca diagonală

forţa şi ca laturi componentele forţei pe axele de coordonate. Unghiurile făcute de forţa cu

axele sistemului de referinţă se vor nota cu α, β, respectiv γ.

Fig. 2.6. Forţa în sistemul de referinţă cartezian

Proiecţiile forţei pe axele sistemului de referinţă sunt:

;

Componentele forţei pe direcţiile celor trei axe de coordonate sunt:

Dacă sumăm vectorial componentele forţei rezultă:

O

z

y

a) x

y O

z

b) x

A

O

z

c) x

y

α β

γ

Sisteme de forţe

Mecanica I 9

Notând pentru simplificare:

şi

se va obţine expresia forţei în raport cu sistemul de referinţă cartezian:

Mărimea forţei este:

iar direcţia forţei este dată de cosinuşii directori ai dreptei suport:

Între cosinuşii directori există relaţia:

Test de

autoevaluare 4

1. Ce înţelegeţi prin sistem de referinţă drept?

2. Enunţul ,,Orice forţă poate fi înscrisă pe diagonala unui

paralelipiped” este:

a) adevărat

b) fals

3. În expresia , X este:

a) componenta forţei pe axa Ox;

b) vectorul ce uneşte punctul de aplicaţie al forţei cu proiecţia

vârfului forţei pe axa Ox;

c) proiecţia forţei pe axa Ox.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

Sisteme de forţe

Mecanica I 10

2.5. Rezultanta unui sistem de forţe concurente. Teorema proiecţiilor

Sistemul de forţe concurente este acel sistem de forţe în care toate forţele au acelaşi punct de

aplicaţie. Dacă sistemul de forţe acţionează asupra unui solid rigid atunci este suficient ca

dreptele suport ale acestora să fie concurente în acelaşi punct.

Fie un sistem de forţe concurente . Pentru a determina sistemul echivalent cel

mai simplu se pot aplica cele două metode cunoscute (regula paralelogramului sau regula

triunghiului) considerând succesiv câte două

forţe. Aplicând regula triunghiului în mod

repetat se obţine o nouă metodă ce se numeşte

regula conturului poligonal (figura 2.7).

În metoda conturului poligonal se aşează forţele

într-o ordine oarecare, astfel încât punctul de

aplicaţie al unei forţe să coincidă cu vârful forţei

anterioare. Rezultanta sistemului de forţe

concurente va avea punctul de aplicaţie în

punctul de aplicaţie al primei forţe şi vârful în vârful ultimei forţe considerate. Această

metodă este o metodă grafică ce devine greu de utilizat pentru sisteme de forţe în spaţiu sau

pentru sisteme de forţe cu un număr mare de forţe.

Prin aplicarea acestei metode se observă că sistemul echivalent cel mai simplu pentru un

sistem de forţe concurente este sistemul alcătuit dintr-o singură forţă, şi anume rezultanta

sistemului de forţe concurente aplicată în punctul de concurenţă al forţelor. Matematic,

rezultanta unui sistem de forţe este dată de relaţia:

Pentru o abordare analitică a determinării rezultantei unui sistem de forţe concurente se

enunţă teorema proiecţiilor.

Teorema proiecţiilor: proiecţia pe o axă a rezultantei unui sistem de forţe concurente este

egală cu suma proiecţiilor pe aceeaşi axă a tuturor forţelor din sistem.

A

...

... ...

... Figura 2.7. Regula conturului poligonal

Sisteme de forţe

Mecanica I 11

Demostraţie

Se cunoaşte că:

Înmulţind relaţia cu versorul unei axe (Δ), rezultă:

Dar produsul scalar al unui vector cu versorul unei axe este chiar

proiecţia vectorului pe acea axă:

Această relaţie reprezintă chiar teorema proiecţiilor.

În cazul unui sistem de referinţă cartezian se pot scrie:

unde X, Y şi Z sunt proiecţiile rezultantei pe axele sistemului de referinţă iar Xi, Yi şi Zi sunt

proiecţiile forţei pe axele sistemului de referinţă.

În sistemul de referinţă cartezian, rezultanta va avea expresia:

Mărimea rezultantei este:

Direcţia rezultantei este dată de cosinuşii directori ai dreptei sale suport:

Sisteme de forţe

Mecanica I 12

Test de

autoevaluare 5

1. Enunţul ,,regula conturului poligonal este o metodă analitică”

este:

a) adevărat

b) fals

2. Care este cel mai simplu sistem echivalent unui sistem de forţe

concurente?

3. Enunţaţi teorema proiecţiilor.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

Bibliografie modul

[1]. Hangan, S., Slătineanu, I., ,,Mecanică”, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 24-27;

[2]. Szolga, V., Szolga, A. M., ,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi

îndrumător de seminar. Partea I”, Editura Conspress, Bucureşti,

2003, pag. 7-15;

[3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., ,,Mecanica Teoretică”,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 21-28, 110-112.

Rezumat modul

Modulul prezintă noţiuni de bază privind sistemele de forţe, cum ar

fi: forţa, sistem echivalent cel mai simplu, sistem de forţe

concurente.

S-au prezentat metode de determinare a rezultantei pentru un sistem

de două forţe concurente (regula paralelogramului şi regula

triunghiului) sau pentru un sistem cu mai multe forţe concurente

(regula conturului poligonal şi metoda analitică bazată pe teorema

proiecţiilor)

Sisteme de forţe

Mecanica I 13

Rezolvare

test de autoevaluare

1

1. Consultare aspecte teoretice pag. 2;

2. Consultare aspecte teoretice pag. 3;

3. d.

Rezolvare

test de autoevaluare

2

1. Consultare aspecte teoretice pag. 4;

2. Consultare aspecte teoretice pag. 4;

3. .

Rezolvare

test de autoevaluare

3

1. b;

2. a, c;

3. a.

Rezolvare

test de autoevaluare

4

1. Consultare aspecte teoretice pag. 7;

2. a;

3. c.

Sisteme de forţe

Mecanica I 14

Rezolvare

test de autoevaluare

5

1. b;

2. Consultare aspecte teoretice pag. 10;

3. Consultare aspecte teoretice pag. 10;