LICEUL TEORETIC “PETRU CERCEL”

Proiect la matematica Sisteme de ecuatii liniare

Coordonator stiintific:

Prof. Nica Ionut

Elev:

Doncila Mihail

TARGOVISTE

2011

Cuprins

1. Forma generala a unui sistem de ecuatii liniare …………………3

2. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare ……………..4

2.1. Metoda matriceala …………………………………………4

2.2. Metoda lui Cramer ………………………………………...5

2.3. Metoda lui Gauss ………………………………………….6

3. Discutia unui sistem de ecuatii liniare …………………………...7

3.1. Rangul unei matrice ……………………………………….7

3.2. Compatibiliatea unui sistem liniar ………………………...7

4. Aplicatii ale sistemelor liniare in economie ……………………...8

4.1. Economia – Generalitati …………………………………..8

4.2. Aplicatie …………………………………………………...9

1. Forma generala a unui sistem de ecuatii liniare

Definitie: O ecuatie liniara cu n necunoscute x1,x2,…,xn are forma:

a1x1+a2x2+…+anxn=b , a1,…,an, b ∈ C.

Numerele a1,a2,…,an se numesc coeficientii necunoscutelor x1, x2,…,xn , iar b se numeste termenul liber al ecuatiei.

Definitie: Se numeste solutie pentru ecuatia liniara orice n-uplu

(s1,s2,…,sn) ∈ Cn, care verifica egalitatea: a1,s1+a2s2+…+ansn=b.

Definitie: Se numeste sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute, un sistem de forma:

{a11 x1+a12 x2+.. . .+a1 n xn=b1 ¿ {a21 x1+a22 x2+.. . .+a2 n xn=b2 ¿ {.. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . ¿¿¿¿aij∈ C, ∀i=1 ,m, ∀j=1 , n, bi∈C , ∀ i=1 ,m.

- x1, x2,…,xn, se numesc necunoscutele sistemului.- aij , i = 1 ,m , j=1 , n, se numesc coeficientii necunoscutelor sau

coeficientii sistemului.- bi , i=1 ,m , se numesc termenii liberi ai ecuatiilor sau termenii liberi

ai sistemului.

Asadar un sistem de ecuatii liniare este o multime finita de ecuatii liniare.

Numarul aij se afla in ecuatia cu numarul I in fata necunoscutei xj si reprezinta in aceasta ecuatie coeficientul acestei necunoscute.

Definitie: Sistemul se numeste omogen daca toti termenii liberi bi , i=1 ,m

sunt egali cu zero.

Definitie: Se numeste solutie a sistemului orice n-uplu (s1,s2,…,sn)∈ Cn care este o solutie pentru fiecare din ecuatiile sistemului.

Definitie: Un sistem care nu are nici o solutie se numeste incompatibil. Daca sistemul poseda solutii se spune ca este compatibil (determinat cu o solutie si nedeterminat cu mai mult de o solutie).

Definitie: Doua sisteme liniare sunt echivalente daca sunt amandoua incompatibile sa amandoua compatibile si au aceleasi solutii.

2. Metode de rezolvare a sistemelor liniare

2.1. Metoda matriceala

Fie sistemul liniar format din n ecuatii cu n necunoscute scris sub forma matriceala: AX=B, cu det (A)≠ 0 (matricea sistemului este nesingulara). Numarul det (A) il vom numi determinantul sistemului. In acest caz matricea A este inversabila. Inmultim egalitatea de mai sus, la stanga , cu A-1 si obtinem X=A-1B, Solutia sistemului. Spunem ca sistemul este compatibil determinat. Daca sistemul este liniar omogen, adica B = O, atunci sietmul admite numai solutia banala, X = O, adica x1 = x2 =…= xn = 0.

Procedeu practic: 1) Daca sistemul liniar are n ecuatii cu n necunoscut, atunci se scrie sistemul sub forma AX=B si se calculeaza det(A).

2) Daca det(A)≠ 0, se calculeaza A-1.

3) Solutia sistemului este X = A-1B .

Aceasta metoda precizeaza in ce conditii sistemul este compatibil determinat si cum i se determina solutia.

Exemplu:

{2 x+ y=33x− y=1

Raspuns: Matricele care definesc sistemul sunt:

A = (2 13 −1), X=( x

y) , B=(31) si sistemul se scrie matriceal AX =B

Deoarece det (A) = -5≠ 0 , matricea A este inversabila si deci X=A-1B. Calculand

inversa matricei A, gasim A-1 = (15

15

35

−25

) si deci X=A-1B=(4575) , adica x =

45 , y =

75.

2.2. Metoda lui Cramer

Este aplicabila unui sistem de n ecuatii liniare cu n necunoscute de forma:

{a11 x1+a12 x2+.. . .+a1 n xn=b1 ¿ {a21 x1+a22 x2+.. . .+a2 n xn=b2 ¿ {.. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . ¿¿¿¿sau in scriere matriceala AX = B, cand determinantul sistemului este nenul, adica det (A)≠ 0.

In aceste conditii sistemul este compatibil determinat (din cerinta det (A) ≠ 0 rezulta A este matrice inversabila si functioneaza metoda precedent de determinare a solutiei sistemului) si Solutia unica este data de urmatoarea:

Teorema: Orice sistem liniar pentru care determinantul sistemului, det(A) este nenul, este compatibil determinat cu solutia data de formulele

x1=Δ x1

Δ , x2=

Δ x2

Δ , …, xn=

Δ xn

Δ unde Δ=det(A), Δ xk se obtine din Δ inlocuind

coloana coeficientilor lui xk prin coloana termenilor liberi, k=1 , n .

Formulele de mai sus, care dau solutia sistemului, se numesc formulele lui Cramer. Un sistem liniar cu det(A) ≠0 se numeste sistem Cramer.

Procedeu practic: 1) Se calculeaza Δ si se observa ca Δ≠0.

2) Se calculeaza determinantii ∆xk , k=1 , n , obtinuti din ∆ prin inlocuirea coloanei k prin coloana termenilor liberi.

3) Solutia sistemului este data de formulele lui Cramer:

x1=Δ x1

Δ , x2=

Δ x2

Δ , …, xn=

Δ xn

Δ .

Exemplu:

{ x+ y+2 z=−12x− y+4 z=−44 x+ y+4 z=−2

Raspuns : Determinantul sistemului este: ∆=|1 1 22 −1 44 1 4| = 12≠ 0 ,si deci sistemul

este compatibil determinat (sistem Cramer), cu solutia x =∆ x∆

y=∆ y∆ , z=

∆ z∆ , unde: ∆ x=|−1 1 2

−4 −1 4−2 1 4| = 4, ∆ y=|1 −1 2

2 −4 44 −2 4|=8,

∆ z=|1 1 −12 −1 −44 1 −2| = -12. De aici ne rezulta ca x = 1

3 , y = 2

3, z = -1.

2.3. Metoda lui Gauss

Metoda lui Gauss sau metoda eliminarii partiale consta in transformarea echivalenta a sistemului prin transformari elementare, in sisteme in care necunoscuta x1 apare numai in prima ecuatie, iar in celelalte ecuatii se elimina. Pentru sistemul astfel format se pastreaza prima ecuatie neschimba-ta, iar in celelalte m-1 ecuatii se aplica procedeul pentru necunoscuta x2 , pastrand-o in a doua ecuatie si eliminand-o din celelalte m-2 ecuatii. Se repeta procedeul pana cand intr-o ecuatie a sitemului ramane o singura necunoscuta. Cu valoarea ei se trece in celelalte ecuatii (de jos in sus) si se

termina si celelalte necunoscute. Prin metoda lui Gauss eliminam succesiv necunoscutele.

Aceasta metoda se utilizeaza la rezolvarea sistemelor liniare de m ecuatii cu n necunoscute, fara a face apel la calcul de determinanti.

3. Discutia unui sistem de ecuatii liniare

3.1. Rangul unei matrice

Definitie: Fie A∈M m,n (C). Se numeste minor de ordinul k al matricei A, determinantul matricei extrase din A, ale carui elemente se gasesc la interesectia a k coloane diferite si k linii diferite.

Definitie: 1) Daca A∈M m,n (C), A nenula, atunci rangul matricei A, notat rang (A), este cel mai mare dintre ordinele minorilor nenuli ai matricei A.

2) Daca A=O , matricea nula, atunci rang (A) = 0.

3.2. Compatibilitatea unui sistem liniar

Proprietatea Kronecker – Capelli: Un sistem liniar este compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal rangul matricei extinse.

sistem compatibil ⇔ rang ( A) = rang ( A)

Proprietatea Rouche: Un sistem liniar este compatibil daca si numai daca toti determinantii caracteristici sunt nuli.

Procedeu practic pentru descutia sistemelor liniare

1) (Combatibiliatea sistemului). Se calculeaza rang (A) = r si stabilim daca sistemul este compatibil sau nu (fie cu proprietatea Kronecker-

Capelli verificand egalitatea rang (A) = rang (A), fie cu proprietatea lui Rouche calculand tori determinantii caracteristici).Daca rang (A) < rang (A), atunci sistemul este incompatibil (S = ∅ , unde S este multimea de solutii) (Kronecker – Capelli).Daca r<m si exista cel putin un determinant characteristic nenul atunci sistemul este incompatibil (S = ∅ ¿ (Rouche)Daca rang (A) = rang (A) sau toti termenii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul este compatibil.

2) (Determinarea solutiilor sistemului compatibil). Se alege un determinant principal Δp si se precizeaza necunoscutele: principale si secundare , precum si ecuatiile: principale si secundare.Daca r = n, atunci sistemul dat este compatibil determinat.Daca r < n, se rezolva sistemul format din ecuatiile principale, in care necunoscutele secundare se trec in membrul drept, utilizand regula lui Cramer. Li se atribuie necunoscutelor secundare valori arbitrare. Daca solutia depinde de una, doua, etc. valori arbitrare, sistemul este compatibil simplu, dublu, etc. nedeterminat.

4. Aplicatii ale sistemelor liniare in economie

4.1. Economia – Generalitati

Economia este o știință socială ce studiază producția și desfacerea, comerțul și

consumul de bunuri și servicii. Potrivit definiției date de Lionel Robbins în 1932,

economia este știința ce studiază modul alocării mijloacelor rare în scopuri alternative.

Se spune că economia este pozitivă atunci când încearcă să prezică în mod obiectiv și să explice consecințele anumitor opțiuni, date fiind un set de supoziții sau de observații. Alegerea unei supoziții ce trebuie făcută atunci când se

construiește un model, la fel ca și observațiile ce trebuie stabilite sunt alegeri normative.

Se spune că economia este normativă atunci când recomandă o alegere în detrimentul altei alegeri sau când este făcută o apreciere subiectivă asupra valorii.

O atenție deosebită se acordă și alocării resurselor, producției, desfacerii,

comerțului și concurenței. Logica economică este aplicată tot mai des în cazul

problemelor legate de opțiuni în cazul lipsurilor sau atunci când trebuie stabilită valoarea economică. Preocuparea principală în economie se centrează pe modul în care prețurile reflectă cererea și oferta, iar ecuațiile sunt folosite pentru a prezice

consecințele anumitor decizii.

Supoziția fundamentală care face subiectul teoriei economice tradiționale este

ideea existenței actorului rațional care urmărește maximizarea utilității. Economia

neoclasică este bazată pe această supoziție care este folosită pentru a deriva

rezultate referitoare la funcționării unui sistem de prețuri în condițiile puterii pieței descentralizate.

4.2. Aplicatie

O fabrica de mobila produce trei tipuri de mese A, B si C. Fiecare masa trece prin trei etape: prelucrare, asamblare şi finisare. Capacitatea maximă a fabricii pentru sculptura este de 200 ore, pentru prelucrare este de 195 ore şi pentru finisare de 165 ore. Pentru fiecare masa A sunt necesare 6 ore la prelucrare, 5 ore la asamblare şi 4 ore la finisare, pentru masa B 3 ore la prelucrare, 4 ore la asamblare şi 3 ore la finisare, iar pentru masa C 1 ora la prelucrare, 1 ora la ansamblare si 2 ore la finisare . Determinaţi numarul de mese de fiecare tip care pot fi produse utilizand la maxim capacitatea fabricii.

Solutie:

Notam cu: x – numarul de mese tip A;

y – numarul de mese tip B;

z – numarul de mese tip C.

Cele 200 de ore destinate sculptarii sunt descrise de ecuatia:

6x+3y+z = 200

Cele 175 de ore destinate ansamblarii sunt descrise de ecuatia:

5x+4y+z = 195

Cele 135 de ore destinate finisarii sunt descrise de ecuatia:

4x+3y+2z = 165

Deci sistemul ce trebuie rezolvat este :

{ 6 x+3 y+z=2005 x+4 y+z=195

4 x+3 y+2 z=165

A = (6 3 15 4 14 3 2

200195165)

det A = |6 3 15 4 14 3 2|=¿ 48+12+15-16-30-24 = 5 = Δ

Δ x=|200 3 1195 4 1165 3 2|=¿1600+495+585-660-600-1170 = 250

x = Δ xx =

2505 = 50 scaune tip A

Δ y=|6 200 16 195 14 165 2| = 2340+800+825-780-1170-2000 = 15

y = Δ yy =

155 = 3 scaune tip B

Δ z=|6 3 2005 4 1954 3 165| = 3960+2340+3000-3200-3510-2475 = 115

z =Δ zΔ =

1155 = 23 scaune tip C

Bibliografie : • Mircea Ganga - “Manual Matematica pentru clasa a XI-a - Trunchi Comun + Curriculum Diferentiat”, Editura MATHPRESS

• www.didactic.ro

• www.wikipedia.com