Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi

1. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi omogene

Forma generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordin n, liniare, cu coeficienţi constanţi, omogene este:

(1)

unde coeficienţii , iar este funcţia reală de o variabilă reală (

) necunoscută (apare liniar ca atare şi în derivatele sale până la ordinul n inclusiv). Mulţimea soluţiilor ecuaţiei (1) formează o structură de spaţiu liniar (vectorial) real de dimensiune n. Pentru determinarea soluţiei generale a ecuaţiei (1) este necesară găsirea unei baze în acest spaţiu (formate din n soluţii liniar independente ale ecuaţiei). Căutând soluţii de forma

, (2)

din (1) se obţine ecuaţia caracteristică:

(3)

care este o ecuaţie algebrică de grad n cu coeficienţi reali. Această ecuaţie (3) are exact n rădăcini (în general complexe, simple sau multiple).După natura rădăcinilor se determină soluţiile liniar independente. Astfel: Unei rădăcini reale simple: a ecuaţiei caracteristice (3) îi corespunde o singură soluţie liniar

independentă a ecuaţiei (1): .

Unei rădăcini reale multiple de ordin de multiplicitate : a ecuaţiei caracteristice (3) îi

corespund m soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1): .

Unei perechi de rădăcini complex conjugate simple : ale ecuaţiei caracteristice (3) îi

corespunde o pereche de soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1): .

Unei perechi de rădăcini complex conjugate multiple de ordin de multiplicitate : ale ecuaţiei caracteristice (3) îi corespund 2m soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1):

Astfel celor n rădăcini ale ecuaţiei caracteristice (3) le corespund n soluţii liniar independente (soluţii fundamentale), care constituie baza spaţiului liniar (vectorial) al soluţiilor ecuaţiei (1):

(4)

Prin urmare, orice soluţie a ecuaţiei (1) se exprimă ca o combinaţie liniară a soluţiilor fundamentale (vectorii bazei). În concluzie, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (1) se scrie:

, (5)

unde sunt constante reale arbitrare.

1

Exemplul 1: Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin doi, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia caracteristică este în acest caz: . Această ecuaţie de gradul al doilea are rădăcinile reale

distincte: ( Formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul al doilea este

). Prin urmare soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia

generală a ecuaţiei date este , unde C1, C2 sunt constante reale

arbitrare. Exemplul 2:

Rezolvare: Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile . Aşadar soluţiile

fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este

, unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.

Exemplul 3:

Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin trei, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia

caracteristică este în acest caz cu rădăcinile .

Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date

este , unde C1, C2 ,C3

sunt constante reale arbitrare.

Exemplul 4:

Rezolvare: Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile complex conjugate .

Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date

este , unde C1, C2 sunt

constante reale arbitrare.

Exemplul 5:

Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin patru, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia

caracteristică este în acest caz cu rădăcinile duble (de multiplicitate

m = 2): . Aşadar soluţiile fundamentale sunt

şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este

,

unde C1, C2 , C3 , C4 sunt constante reale arbitrare.

2

Exemplul 6:

Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin opt, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia

caracteristică este în acest caz: şi

, o ecuaţie de grad 7 pe care se rezolvă cu ajutorul schemei lui Horner. Se caută rădăcinile întregi ale ecuaţiei printre divizorii termenului liber (50):

1 -4 11 -6 -25 88 -115 50 ---------------------------------------- 1 | 1 -3 8 2 -23 65 -50 0 1 | 1 -2 6 8 -15 50 0 -2 | 1 -4 14 -20 25 0

Deci rădăcini întregi mai sunt (rădăcină dublă) şi . Celelalte rădăcini sunt date de

ecuaţia:

(rădăcini duble). Soluţiile fundamentale sunt atunci:

iar soluţia generală este:

, unde C1, C2 , C3, C4, C5, C6,

C7, C8 sunt constante reale arbitrare. Temă. Să se scrie soluţiile generale ale următoarelor ecuaţii diferenţiale de ordin superior, liniare, cu coeficienţi constanţi, omogene (în paranteză sunt indicate rădăcinile ecuaţiilor caracteristice corespunzătoare):

3

2. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi neomogene

Forma generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordin n, liniare, cu coeficienţi constanţi, neomogene este:

(6)

unde coeficienţii , iar funcţia (neidentic nulă, pentru ).

Dacă se notează

, (7)

atunci ecuaţia (6) se scrie: Ecuaţia diferenţială omogenă asociată ecuaţiei (6) este ecuaţia (1):

sau echivalent:

Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (6) este de forma:

(8)

unde y0 este soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate (1), iar yp este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene date (6). Ecuaţia diferenţială omogenă (1) se rezolvă după cum s-a arătat anterior, obţinându-se astfel y0, iar pentru găsirea unei soluţii particulare yp a ecuaţiei neomogene (6):

(9)

se foloseşte una din următoarele metode:

A. Metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange

Dacă conform (5):

este soluţia generală a ecuaţiei omogene (1), atunci o soluţie particulară yp a ecuaţiei neomogene (6) este de forma:

(10)

unde sunt soluţiile sistemului:

(11)

Din sistemul (11) se obţin funcţiile , apoi prin integrare funcţiile .

Observaţie: Această metodă se aplică şi dacă în ecuaţia (6) coeficienţii sunt variabili:

, dar este determinată soluţia generală a ecuaţiei omogene y0.

4

Exemplu.

Rezolvare: Ecuaţia diferenţială omogenă asociată este: .

Ecuaţia caracteristică acestei ecuaţii diferenţiale este: cu rădăcinile: .

Soluţiile fundamentale sunt atunci: şi prin urmare soluţia generală a ecuaţiei omogene

este .

O soluţie particulară a ecuaţiei neomogene se caută de forma: , unde

sunt soluţiile sistemului:

. Se integrează folosind schimbarea de

variabilă ( ): şi

Aşadar şi atunci soluţia generală a ecuaţia neomogenă dată

este: , unde C1, C2 sunt constante reale

arbitrare.

Temă: 1.

2.

3.

Răspunsuri: 1.

2.

3.

5

B. Metoda coeficienţilor nedeterminaţi (metoda identificării)

Dacă funcţia f(x) din ecuaţia neomogenă (6) este de forma unui cvasipolinom:

(12)

(unde Pp(x) este un polinom de grad p, iar Qq(x) – un polinom de grad q) sau o sumă de cvasipolinoame,atunci soluţia particulară yp a ecuaţiei diferenţiale neomogene (6) este un cvasipolinom sau o sumă de cvasipolinoame de acelaşi tip:

- Dacă , atunci ecuaţia neomogenă (6):

admite o soluţie particulară de forma:

(13)

unde k este ordinul de multiplicitate a numărului , dacă este rădăcină a ecuaţiei caracteristice

ataşată ecuaţiei omogene, , iar sunt polinoame generale de grad m, cu

coeficienţi reali nedeterminaţi. Înlocuind acest yp în ecuaţia neomogenă (6) se obţine (9): .

Prin identificare se obţin coeficienţii polinoamelor şi , apoi este determinat yp.

- Dacă şi dacă sunt soluţii particulare ale ecuaţiilor neomogene respective

, atunci este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (6):

.

Exemplul 1.

Rezolvare: Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este

cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia

generală a ecuaţiei omogene este , unde C1, C2 sunt constante

reale arbitrare. Pentru ecuaţia neomogenă dată (polinom de gradul I) , iar acestei

exponenţiale îi corespunde care este rădăcină simplă (k = 1) a ecuaţiei caracteristice. Atunci o

soluţie particulară a ecuaţiei neomogene va fi de forma: , cu A şi B nedeterminaţi.

Se introduce acest yp în ecuaţia dată:

.

Prin identificare

În final soluţia generală a ecuaţiei neomogene date este:

, unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.

6

Exemplul 2:

Rezolvare: Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este

cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi

deci soluţia generală a ecuaţiei omogene este , unde C1, C2 sunt

constante reale arbitrare. Ecuaţia neomogenă dată are termenul al doilea , unde

iar . Atunci o soluţie particulară yp se caută de forma: , unde

este o soluţie particulară a ecuaţiei (*) , iar

este o soluţie particulară a ecuaţiei (**) .

Astfel se caută de forma (= polinom de gradul zero , deoarece este

rădăcină simplă a ecuaţiei caracteristice)

.Înlocuind în (*) de

unde .

se caută de forma (= polinom de gradul întâi , deci nu se înmulţeşte cu

x, deoarece nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice)

.Înlocuind în (**)

de unde

.

Aşadar şi în final soluţia generală a ecuaţiei

neomogene date este , unde C1, C2 sunt

constante reale arbitrare.

Observaţie: Soluţia particulară yp se poate căuta direct de forma , care se

înlocuieşte în ecuaţia neomogenă dată pentru identificare. (

).

Exemplul 3. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei: , precum şi soluţia care

satisface condiţiile: (problema lui Cauchy).

Rezolvare: Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este

cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi

deci soluţia generală a ecuaţiei omogene este , unde C1, C2 sunt

constante reale arbitrare. Pentru ecuaţia neomogenă dată (polinom de gradul 0) , iar acestei

exponenţiale îi corespunde care este rădăcină dublă (k = 2) a ecuaţiei caracteristice. Atunci o

7

soluţie particulară a ecuaţiei neomogene va fi de forma: , cu A nedeterminat. Se introduce

acest yp în ecuaţia dată: .

Prin identificare . În fine soluţia generală a ecuaţiei neomogene date este:

, unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare. Se impun

condiţiile iniţiale date: ;

. Aşadar soluţia problemei lui Cauchy este un y particular şi anume:

.

Temă:

Răspunsuri:

3. Ecuaţii diferenţiale liniare de tip Euler

Sunt ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi variabili de forma:

8

(14)

unde coeficienţii , iar

Prin schimbarea de variabilă:

, (15)

derivatele funcţiei y în raport cu variabila x se exprimă în funcţie de derivatele lui y în raport

cu noua variabilă t astfel:

(16)

(17)

, etc.

Şi astfel ecuaţia se reduce la o ecuaţie diferenţială liniară de ordin n cu coeficienţi constanţi.

Exemplu:

Rezolvare: Schimbarea de variabilă conform (15), este în acest caz . Atunci

derivatele se înlocuiesc conform (16) şi (17): şi ecuaţia dată devine

care este o ecuaţie liniară cu coeficienţi constanţi neomogenă.

Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile

. Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei

omogene este , unde C1, C2 sunt constante

reale arbitrare. Pentru ecuaţia liniară cu coeficienţi constanţi neomogenă obţinută (polinom de

gradul 0) , iar acestei exponenţiale îi corespunde care este rădăcină dublă (k = 2) a ecuaţiei

caracteristice. Atunci o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene va fi de forma: , cu A

nedeterminat. Se introduce acest yp în ecuaţia dată:

.

9

Prin identificare . În fine soluţia generală a ecuaţiei

neomogene date este: , unde C1, C2 sunt constante reale

arbitrare.

Temă:

Răspunsuri:

10