Cap2. Variabile 33 Cap. 2 VARIABILE 2.1. Definirea unei variabile ...
ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
-
Upload
chris-maher -
Category
Documents
-
view
7 -
download
1
description
Transcript of ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
-
8. IRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.1. iruri de variabile aleatoare
n teoria probabilitilor i n aplicaiile ei o problem important o constituie studiul irurilor de variabile aleatoare, care constituie modelul matematic adecvat pentru o serie de fenomene aleatoare cu evoluie temporal discret, iar legat de aceasta un loc central l ocup convergenta irurilor de variabile aleatoare. Vom prezenta n acest paragraf principalele tipuri de convergen ale irurilor de variabile aleatoare i unele proprieti referitoare la aceste tipuri de convergen. Fie (,K,) un spaiu cu msur de probabilitate complet aditiv i 1nn )f( un ir de variabile aleatoare , f o variabil aleatoare , toate definite pe acelai cmp de probabilitate ( R:f,fn ) i cu valori reale.
Definiia 1. Spunem c irul de variabile aleatoare INnn )f( converge n probabilitate ctre variabila aleatoare f , dac pentru orice > 0 si > 0 exist un numr natural N(,) astfel nct
(8.1) P({ )(f)(f: n })< ,
pentru orice n (,). Vom nota aceast convergen prin ffP
0 nn
Observaia 1. Din definiia de mai sus rezult c irul de variabile aleatoare 1)( nnf converge n probabilitate ctre variabila aleatoare f , dac
(8.1.2) 0}))(f)(f:({Plim nn=
,
oricare ar fi > 0.
Propoziia 1. Fie 1)( nnf , f i g variabile aleatoare reale definite pe acelai cmp de probabilitate (,K,) . Dac irul 1)( nnf converge n probabilitate ctre f i ctre g , atunci
P({ : f() g()}) = 0.
-
iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 180
Demonstraie. ntr-adevr din inegalitatea gf ff gf nn +
rezult
{ } { }{ }2n
2
n
g(((f:
(ff((:g((f((:
De aici deducem
{ }( ) { }( ){ }( )2n
2n
)(f)(g:P
)(f)(f:P)(g)(f:P
+
+
Inegalitatea de mai sus mpreun cu faptul c gf si ff PnP
n implic
{ }( ) )(g)(f:P =0, pentru orice > 0 n acelai timp avem
{ }( )
{ } { }( )
=
=
=
=
1nn1
1nn1 )(g)(f:P)(g)(f:P
0)(g)(f:P
U
Din cele de mai sus rezult c
{ }( ) 00)(g)(f:P = , ceea ce trebuie demonstrat Definiia 2. irul de variabile aleatoare INnn )f( converge tare ctre variabila aleatoare f dac pentru orice > 0 i > 0 exist numrul natural N(,) astfel nct
(8.1.3) U
),(Nnn )(f)(f:P
Observaia 2. Dac irul de variabile aleatore INnn )f( converge tare ctre variabila aleatoare f , atunci INnn )f( converge de asemenea n probabilitate ctre f.
-
8.1. iruri de variabile aleatoare 181
Definiia 3. Spunem c irul de variabile aleatoare Nnn )f( converge n repartiie (n sens Bernoulli) ctre variabila aleatoare f , dac irul funciilor de repartiie Nnn )F( asociate variabilelor Nnn )f( converge la funcia de repartiie F asociat variabilei aleatoare f , n fiecare punct de continuitate a lui F . Notm aceast convergent prin
ffr
nn .
Propoziia 2. Fie nf : (,K,) R , n N i f:(,K,) R un ir de variabile aleatoare i respectiv, o variabil aleatoare, definite pe acelai cmp de probabilitate (,K,) . Atunci are loc:
(8.1.4) ffP
nn ffr
nn
Demonstratie. Fie nF nN, respectiv F funciile de repartiie asociate variabilelor aleatoare considerate i 0x un punct de continuitate al lui F. Atunci, pentru orice > 0 exist > 0 astfel ca (8.1.5)
-
iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 182
Din relaiile (5), (6) i (7) rezult c )x(Flim 0nn exist i este egal cu
)x(F 0 , adic ffr
nn .
Observatia 8. Afirmaia reciproc a propoziiei de mai sus nu este adevarat. Adic, dac un sir de variabile aleatoare Nnn )f( converge n repartiie ctre variabila aleatoare f, nu rezult c el converge i n probabilitate ctre variabila aleatoare f. Avnd n vedere locul central ocupat de convergena n probabilitate n aplicaiile din diferite domenii dm urmtoarea proprietate a acestei convergene. Propozitia 9. Dac irurile de variabile aleatoare Nnn )f( , Nnn )g( converg n probabilitate ctre variabilele aleatoare f , respectiv g , iar i sunt dou constante reale, atunci:
(8.1.8) gfgfP
nnn + +
Definitia 4. Fie variabilele aleatoare 1nn )f( , f , definite pe acelai cmp de probabilitate (,K,). Spunem c irul 1nn )f( > converge n medie de ordinul k ctre f
dac exist momentele absolute de ordinul k Nk , ]f[M , ])f[(M kkn i dac
[ ] 0ff Mlim knn = Urmtoarea afirmaie stabilete legtura ntre convergena n medie de ordinul k i convergena n probabilitate a unui ir de variabile aleatoare. Propozitia 4. Fie 1nfn i f , variabile aleatoare definite pe acelai spaiu cu
msur de probabilitate (,K,) . Dac irul 1nn )f( converge n medie de ordinul k ctre f , atunci 1nn )f( converge n probabilitate ctre f . Demonstraie. Procedm prin reducere la absurd. Dac 1nn )f( nu converge n probabilitate la f , atunci pentru orice > 0 i > 0 exist un ir de numere in astfel ca
{ }( ) )(f)(f:P ni , pentru orice i 1. Atunci, din definiia momentului de ordinul k rezult
-
8.1. iruri de variabile aleatoare 183
[ ] kkni ff M , ceea ce contrazice c 1nn )f( converge n medie de ordinul k la f. Deci presupunerea fcut duce la contrazicerea ipotezei, aa c afirmaia propoziiei este adevarat . Fie 1nn )A( un ir de evenimente din (,K,), ( 1nn )A( K). Prin evenimentul sup lim
n nA ntelegem producerea de o infinitate de ori a
evenimentelor 1n,An (pentru o infinitate de indici n). Urmtoarea teorem este frecvent utilizat n diverse probleme de convergen.
Teorema 12. (Borel-Cantelli). Fie 1nn )A( un ir de evenimente. Dac
=
0 Definiia 2. Spunem c irul ( ) 1nnf este supus legii tari a numerelor mari dac exist un ir de constante ( ) 1nnc astfel nct
(8.2.3) 1}0)c)(h(lim:{P nnn=
=
,
adic irul de variabile aleatoare ( ) 1nnn ch converge aproape la sigur la 0 . Pentru diferite iruri de funcii msurabile ( ) 1nng se obin diferite legi a numerelor mari, att sub forma slab, ct i sub forma tare. n continuare presupunem c exist si sunt finite caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare care intervin n exprimarea legii numerelor mari .
-
8.2. Legea numerelor mari 185
Teorema 1 (Teorema lui Markov) . Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare pentru care
(8.2.4) 0fDn1lim
n
1kk
22n
=
=
,
atunci irul ( ) 1nnf urmeaz legea slab a numerelor mari .
Demonstraie . S considerm funciile IRIR:g nn definite prin =
=n
1kkn xn
1g
i constantele =
=n
1kkn )f(Mn
1c .
Aplicnd inegalitatea lui Cebev obinem
(8.2.5)
=== 1kk
222
n
1kk
n
1kk fDn
1})f(Mn1)(f
n1:{P .
Fcnd pe n rezult c irul ( ) 1nnf urmeaz legea slab a numerelor mari . Dac variabilele aleatoare ( ) 1nnf sunt independente dou cte dou atunci
)f(DfDn
1kk
2n
1kk
2 ==
=
i din Teorema 1 se deduce urmtorul corolar.
Corolarul 1 Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare independente dou cte dou, pentru care
(8.2.6) 0)f(Dn1lim
n
1kk
22n
=
=
,
atunci irul ( ) 1nnf urmeaz legea slab a numerelor mari. Dac variabilele aleatoare ( )nf sunt independente dou cte dou i pentru fiecare n 1 are loc
-
iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 186
i din Teorema 1 se deduce. Corolarul 2 . Dac un ir este de variabile aleatoare ( ) 1nnf independente dou cte dou este astfel nct
-
8.2. Legea numerelor mari 187
(8.2.10) 0}n
p...ppn
:{Plim n21n
=
+++
.
Demonstraie . Considerm irul de variabile aleatoare ( ) 1nnf , unde ( )nf ia valoarea 1 sau 0 dup cum n experimentul de rang k s-a realizat evenimentul A sau contrarul sau CA . Atunci
(8.2.11) 41gp)f(D p)(fM p)M(f f kkk
2kk2kk
1n
1kk ====
=
pentru orice k 1 si n 1. Astfel sunt ndeplinite condiiile din Corolarul 2, de unde rezult afirmaia teoremei. O alt formulare celebr a legii numerelor mari este cunoscut sub numele de teorema lui J. Bernoulli(1654 - 1705). Aceasta se opine ca un caz particular al Teoremei lui Poisson. Teorema 4 (Teorema lui Bernoulli ). Fie numrul de apariii ale unui eveniment A n n experimente independente i p probabilitatea lui A n fiecare experiment, atunci
(8.2.12) 0}pn
:{Plimn
=
Demonstraie. Acest rezultat este o consecin imediat a Teoremei 3 pentru cazul
pp...pp n21 ==== O alt formulare a acestei teoreme pune mai bine n eviden faptul c frecvena tinde n probabilitate ctre probabilitate i anume : Dac n condiiile teoremei de mai sus considerm irul frecvenelor relative ( ) 1nnf , nnf = atunci, acest ir de variabile aleatoare converge n probabilitate ctre p. Teorema lui Bernouli pune n eviden faptul c irul frecvenelor relative tinde n probabilitate ctre o constant, ctre probabilitatea p. Tocmai n aceast tendin se manifest aciunea obiectiv a legii numerelor mari, a creterii necontenite a numrului cazurilor observate. Esena acestei legi const n aceea c ea este valabil pentru un ntreg ansamblu de fenomene i nu pentru fiecare fenomen n parte al acestui ansamblu .
-
iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 188
Teorema 5 (A.N.Kolmgorov). Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare reale definite pe acelai cmp de probabilitate (,K,P) independente astfel c
-
8.3. Problema asimptotica central 189
Analiznd aceste aspecte a cptat o deosebit importan determinarea condiiilor n care, suprapunerea unui numr mare de factori independeni conduce la o funcie de repartiie normal. Aceast problem s-a constituit ca o problem central a Teoriei probabilitilor.
n continuare vom aminti cteva rezultate clasice obinute n aceast direcie. Fie (,K,P) un cmp de probabilitate si R:fn , n 1 un ir de variabile
aleatoare independente, care admit dispersii finite. Vom nota
(8.3.1) ==
==
==n
1k
2k
2n
n
1kkn
k22
kkk
1n , , aa
1k , )f(D , )f(Ma
Se pune problema: n ce condiii funcia de repartiie F(n) a variabilei aleatoare
(8.3.2) =
=n
1kkk
)n()n( )af(
1f
converge ctre funcia de repartiie normal cnd n ? Amintim c
(8.3.3)
=
x
2 dtt
21)x( e
2
.
Teoremele care stabilesc astfel de rezultate se numesc teoreme limit central. n cele ce urmeaz vom da teoreme limit care ofer un rspuns la problema formulat, punnd n eviden rolul important al repartiiei normale. Teorema 7 (Teorema limit central). Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare independente, avnd aceeai repartiie. S presupunem c, )f(Ma n= i
0)f(D n >= exist . Atunci pentru orice xR funcia de repartiie )n(F a variabilei
aleatoare )n(f tinde, pentru n , la funcia de repartiie normal redus (x) (funcia lui Laplace). Adic,
(8.3.4)
=
x
2nndu
u
21)x(Flim e
2
-
iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 190
Demonstraie. Vom arta c funcia caracteristic asociat variabilei aleatoare )n(f tinde ctre funcia de repartiie a variabilei aleatoare normale reduse.
Fie funcia caracteristic asociat variabilei aleatoare afk . Atunci avem
)t(fe)fe(Me)fe(M)t(
k
kk itaitita)a(it ===
De unde rezult c funcia de repartiie a variabilei aleatoare kf se exprim prin:
(8.3.5) )t(e)t(fita
k= ,
pentru orice k 1. De aici rezult c funcia de repartiie a variabilei aleatoare
=
=n
lkkn fg este dat prin :
(8.3.6) ntani )]t([e)t(gn= .
n acelai timp avem naf[M]g[Mn
1kkn ==
=i n]g[D n =
Cu aceste consideraii avem :
(8.3.7)
=
=na
ng
nnagf nn)n(
de unde rezult
(8.3.8) )n
t(ge)t(f n)n(
nita
=
.
innd seama de (22) rezult
nntaninita
)]n
t([ee)t(f )n( =
,
de unde prin simplificare avem
n)]n
t([)t(f )n( = .
-
8.3. Problema asimptotica central 191
Dezvoltnd n serie de puteri ale lui t funcia caracteristic )n
t(
obinem
n10
n2t1)
nt(
2+=
,
de unde rezult
2tn2
nn
2
)n(e
n10
n2t1lim)t(flim
=
+= ,
adic funcia caracteristic asociat variabilei aleatoare )n(f tinde cnd n tinde la ctre funcia caracteristic a variabilei aleatoare normale reduse. Cum funcia caracteristic determin, probabilistic complet variabila aleatoare, respectiv funcia de repartiie asociat rezult c relaia (20) este adevarat . O teorem limt mai general este. Teorema 8. (Teorema lui Leapunov). Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare independente. S presupunem c
exist [ ] 3k3kkkkkk HafM0,)D(f , a)M(f =>== pentru fiecare kN i s notm
==
n
1k
3kn HL . Dac este verificat condiia lui Leapunov
0L
lim)n(
)n(
n=
,
atunci funcia de repartiie )n(F a variabilei aleatoare )n(f tinde pentru n ctre
funcia de repartiie a variabilei aleatoare normale (x), pentru orice xR . O alt teorem limit cu aplicaii multiple n statistic i a crei importan se datoreaz faptului c n ipotezele impuse nu figureaz aceea de independen este urmtoarea. Teorema 9. (Teorema lui P.L. Cebsev). Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare care admit momente de orice ordin, adic exist mrimile
-
iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 192
=IR
nkn
k )x(dFxm
unde nF este funcia de repartiie asociat variabilei aleatoare nf
Dac knkn
mmlim =
, pentru orice kN, unde km sunt momentele variabilei normale
reduse, atunci
)x()x(Flim nn=
.