Variabile Aleatoare Si Functii de Repartitie

Capitolul 4

Variabile aleatoare i funcii de repartiie 4.1 Variabile aleatoare

Variabila aleatoare este una din noiunile fundamentale ale teoriei

probabilitilor i a statisticii matematice. In urma unui proces tehnologic de

prelucrare se constat c dei condiiile de uzinare sunt identice ntre reperele

prelucrate la anumite perioade de timp exist diferene n cea ce privete

dimensiunile prescrise. De asemeni n cadrul unei cercetri experimentale se

constat c ntre valorile numerice msurate exist diferene chiar dac condiiile de

desfurare a experimentului rmn neschimbate.

Dac ne referim la o singur msurtoare, variabila aleatoare este acea

mrime care n cadrul unui experiment poate lua o valoare necunoscut aprioric.

Pentru un ir de msurtori, variabila aleatoare este o noiune care-l caracterizeaz

din dou puncte de vedere:

- caracterizare din punct de vedere cantitativ - variabila aleatoare ne d informaii

privind valoarea numeric a mrimii msurate

- caracterizare din punt de vedere calitativ - variabila aleatoare ne d informaii

privind frecvena de apariie a unei valori numerice ntr-un ir.

Dac valorile numerice ale unui ir de date aparin mulimii numerelor ntregi

sau raionale atunci se definete o variabil aleatoare discret. In cazul apartenenei valorilor la mulimea numerelor reale se definete o variabila aleatoare continu. Primul caz se ntlnete n cazul numrului de piese defecte extras dintr-un lot de

Capitolul 4 70

fabricaie care aparine totdeauna mulimii numerelor ntregi. Al doilea caz n

cercetarea experimental la msurarea forei de achiere sau a momentului cnd

valorile obinute aparin mulimii numerelor reale

O variabil aleatoare se noteaz cu litere mari A,B,X, cu litere mici notndu-se valorile posibile: x1,x2,x3,...,xn.

4.1.1 Variabile aleatoare discrete Considerm un experiment n urma cruia pentru variabila X rezult valorile x1, x2,...xn. Probabilitatea ca o valoare oarecare i s aib valoarea xi este P(X=xi)=pi. Pentru toate valorile msurate se poate construi un tablou de forma:

ni1,px:Xsau

p...,p,px...x,x:X

i

i

n21

n,21

(4.1)

care poart denumirea de tabloul repartiiei. In prima linie sunt trecute toate valorile posibile ale caracteristicii i n a doua sunt trecute toate probabilitile de apariie.

Aplicaia 4.1 Se arunc un zar de 100 de ori obinndu-se pentru cifra 1 10 apariii, pentru cifra 2 18 apariii pentru cifra 3 20 apariii pentru cifra 4 12 apariii pentru cifra 5 25 de apariii pentru cifra 6 15 apariii. Probabilitatea apariiei cifrelor 1,2,...,6 este:

15,010015)6(P25,0

10025)5(P12,0

10012)4(P

20,010020)3(P18.0

10018)2(P10,0

10010)1(P

======

====== (4.2)

Tabloul repartiiei este:

15,025,012,020,018,010,0654321

:X (4.3)

Aplicaia 4.2 Considerm un lot de 100 buci pentru care coeficientul de rebut este 5% Se efectueaz o singur extragere. S se construiasc variabila aleatoare a numrului de piese defecte.

Deoarece coeficientul de rebut este 5% numrul pieselor defecte este de 5. Efectund o singur extragere se poate ca s nu fie extras nici o pies defect i-n

acest caz numrul pieselor defecte este zero, sau o pies defect. Notnd cu p probabilitatea de-a extrage o pies defect i cu q probabilitatea de a extrage o pies bun, valorile probabilitilor sunt: p=0,05; q=0,95.. In consecin valorile probabilitii de-a extrage 0 piese defecte i a probabilitii de-a extrage o pies defect sunt:

Variabile aleatoare i funcii de repartiie 71

P(X=0)=q=0,95; P(X=1)=p=0,05. Variabila aleatoare este:

05,095,010

:X (4.4)

Aplicaia 4.3 Pentru un lot de 200 de buci cu un coeficient de rebut de 2% s se construiasc variabila aleatoare a numrului de piese defecte. Din lot pot fi extrase

0,1,2,3 maxim 4 piese defecte. Fie A0 evenimentul extragerii unei piese bune. A1 evenimentul extragerii unei

piese defecte; A2 evenimentul extrageri a dou piese defecte,..., A4 evenimentul extragerii a 4 piese defecte. Calculul acestor probabiliti ne conduce la valorile:

10546,11971

1982

1993

2004

)AAA/A(P)AA/A(P)A/A(P)A(P)AAAA(P)4X(P

10046,31982

1993

2004)AA/A(P)A/A(P)A(P)AAA(P)3X(P

10016,31993

2004)A/A(P)A(P)AA(P)2X(P

1022004)A(P)1X(P98,0200

196)A(P)0X(P

8

32142131214321

6213121321

412121

210

=====

=====

=====

========

IIIIII

III

I

(4.5)

Tabloul repartiiei are forma:

10546,110046,310015,310298,043210

:X 8642 (4.6)

Legtura care exist ntre variabila aleatoare i probabilitatea de apariie a

acesteia poart denumire de lege de repartiie. Legea de repartiie se poate reprezenta grafic sub forma diagramei cu bare (Fig.4.1), histograme, poligonul

repartiiei (Fig.4.2)

In cazul n care se poate determina o expresie analitic care s stabileasc o

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

1 2 3 4 5 6

variabila

prob

abili

tate

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 2 4 6 8

variabila

prob

abili

tate

Fig.4.1 Reprezentarea legii de repartiie Fig.4.2 Reprezentarea legii de repartiie

Capitolul 4 72

(diagrama cu bare) (poligonul frecvenelor) legtur ntre variabila aleatoare i probabilitate, aceasta poart denumirea de

funcie de probabilitate: Expresia ei analitic este:

p)x(P)xX(P iii === (4.7) Deoarece orice experiment poate avea un singur rezultat totalitatea valorilor

distincte i posibile formeaz un sistem complet de evenimente incompatibile. Pentru

mulimea ale crei perechi ordonate definesc repartiia se poate scrie:

1pn

1ii == (4.8)

In multe aplicaii ne intereseaz probabilitatea evenimentului X


Obs. Intre notiunea de probabilitate si notiunea de frecventa pentru variabile

aleataore discrete poate fi pus semnul de egalitate, cea ce face ca teoria

probabilitatilor sa poata fi aplicata in statistica.

4.1.2 Variabile aleatoare continue In cazul variabilelor aleatoare continue, construirea unui tablou al repartiiei nu

este realizabil deoarece exist o infinitate de valori posibile. In aceste cazuri pentru

a putea analiza irurile de valori se utilizeaz funcia de repartiie. Construcia ei

implic determinarea probabilitii evenimentului X

Capitolul 4 74

eveniment nu poate avea loc. Spre deosebire de cazul variabilelor aleatoare discrete

la care funcia densitii de probabilitate are semnificaia unei probabiliti la

variabilele aleatoare continue acest fapt nu este valabil i-n consecin semnul folosit la variabile aleatoare discrete este nlocuit prin


- A - evenimentul X

Capitolul 4 76

4.4.1 Repartiii discrete

Repartiia binomial Aceast repartiie corespunde urmtorului tip de experiment: Fie A un

eveniment care se produce cu probabilitatea p. Evenimentul contrar este A care se produce cu probabilitatea q. Cele dou formeaz un sistem de evenimente, producerea unuia excluznd producerea celuilalt. Se repet experimentul de n ori. In cele n ocazii evenimentul A s-ar putea s nu se produc nici o dat, s-ar putea s se produc o dat, s-ar putea produce de n ori. Ne intereseaz s determinm de fiecare dat probabilitatea de realizare a evenimentului A. In acest caz am putea scrie un tablou de repartiie de urmtoarea form:

p...ppn...10

:Xn10

(4.33)

unde n prima linie sunt trecute numrul de realizri ale evenimentului A i-n linia a doua sunt trecute probabilitile de realizare. Pentru a determina relaia cu ajutorul

creia vom determina aceste probabiliti plecm de la observaia c acest tip de

experiment corespunde controlului de fabricaie a unui lot la care se fac n extrageri punnd de fiecare dat piesa extras la loc. Lotul trebuie verificat dac are un

coeficient de rebut p. Fie A evenimentul se extrage o pies i aceasta pies este defect. Probabilitatea unui astfel de eveniment este egal cu coeficientul de rebut.

Evenimentul contrar l reprezint cazul n care piesa extras este bun,

probabilitatea unui astfel de eveniment fiind q. Prin punerea la loc a piesei dup constatarea calitii acesteia nu se modific coeficientul de rebut i nici probabilitatea

extragerii unei piese defecte n cazul repetrii experimentului.

Lum n considerare urmtoarele cazuri:

Cazul 1 - se extrage o singur pies. Pot avea loc urmtoarele evenimente:

- piesa extras este bun; probabilitatea acestui eveniment: P(A)=q; - piesa extras este defect; probabilitatea unui astfel de eveniment este: P(A)=q; Tabloul repartiiei numrului de piese defecte este:

pq10

(4.34)

Cazul 2 - se extrag consecutiv dou piese punnd de fiecare data piesa la loc. Pot

avea loc urmtoarele evenimente:

- ambele piese sunt bune - probabilitatea acestui eveniment este: P(A)P(A)=q2 ;


- o pies bun i una defect - probabilitatea acestui eveniment este

P(A)P(A)+P(A)P(A)=qp+pq=2qp; - ambele piese sunt defecte; probabilitatea acestui eveniment este: P(A)P(A)=p2.

Tabloul repartiiei numrului de piese defecte este:

pqp2q21022 (4.35)

Termenii liniei a doua aparin unei dezvoltri binomiale la puterea a doua.

Continund pentru n=3,4,... se observ c linia a doua a tabloului poate fi completat cu termenii binomului lui Newton de unde i denumirea repartiiei.

Pentru cazul general n=k tabloul repartiiei este:

p...pqCpqCqk...210k22k2

k1k1

kk (4.36)

Pentru n=n tabloul repartiiei este:

pqC...pqC...pqCpqCpqCn...k...210

n0nn

kknkn

22n2n

11n1n

0n0n

(4.37)

Funcia de probabilitate a repartiiei binomiale este dat de expresia:

qpC)k(P)kX(P knkkn=== (4.38)

0.27249

0.052830.00647 0.00056 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 1 2 3 4 5

p=4%n=20

P(k)

k

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 2 4 6 8 10

p=4%

p=6%

p=8%

p=10%

n=20

k

P(k)

Fig. 4.10 Funcia de probabilitate a repartiiei

binomiale cu p=4% i n=20 Fig.4.11 Diagrama poligonal a funciei de

probabilitate cu repartiie binomial cu n=20; p=4%-10%

Funcia de probabilitatea se poate reprezenta prin diagrama cu bare (Fig.4.10)

sau prin diagrama poligonal, (Fig.4.11).

Funcia de repartiie a repartiiei binomiale este dat de expresia:

==== =

k0x

k

0x

xnxxn qpC)x(P)k(F)kx(P (4.39)

Formulele pentru principalele valori tipice ale variabilelor aleatoare sunt,

(Fig.4.1):

Capitolul 4 78

Tab. 4.1 Indicatorii teoretici ai unei variabile aleatoare cu repartiie binomial

Media M[X], , X [ ] === =

n1i

n

0k

knkii qpkpxXM

Mod Mo )pnp(M)qnp( o +


00,10099,9963,9977,9461,6543210

Decizia de acceptare: lotul este acceptat dac-n 4 verificri consecutive se gsete

cel mult o pies defect.

Repartiia hipergeometric. Modelul matematic al acestei repartiii este similar celui binomial, diferena

constnd n faptul c elementul extras pentru control nu se mai ntoarce n lot, i-n

consecin la fiecare nou extragere se modific condiiile i deci i probabilitatea de

extragere a unei piese defecte. Din acest motiv extragerea se mai numete fr

ntoarcere. Se consider un lot la care trebuie verificat coeficientul de rebut p. Cunoscnd mrimea lotului n se pot determina numrul de piese defecte a respectiv numrul de piese bune b.

)p1(nbpna == (4.40) Se efectueaz m extrageri consecutiv fr a pune piesa extras la loc; n cele m extrageri consecutive pot s rezulte 0 piese defecte, 1 pies defect,...., sau

m piese defecte. In consecin putem construi un tablou de repartiie n care pe prima linie s trecem numrul pieselor defecte i-n linia a dou probabilitatea

fiecruia de-a fi extras.

p...ppn...10

:Xn10

(4.41)

Aceast probabilitate care determin funcia de probabilitate are expresia:

CCC)k(P)kX(P mn

kmb

ka

=== (4.42)

Funcia de repartiie este:

===

k0k

kmb

kam

nC

C1)k(F)kX(P (4.43)

Principalii indicatori ai variabilei aleatoare cu repartiie hipergeometric sunt

prezentai n (Tab. 4.2): Tab.4.2 Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu repartiie binomial.

Media M[X], , X [ ] ===n

1iii mppxXM

Capitolul 4 80

Mod Mo qpmMqpmmnDaca

2n1mpnpnm

M2n1mqnpnm

0

o

++

+++=

nm1mpqXDmnDaca

1nmnmpqXD

Dac n este foarte mare, repartiia hipergeometric se apropie de repartiia binomial cu coeficientul de rebut p obinut din relaia 4.43.

Aplicatia 4.5

Dintr-un lot de 100 de buci avnd coeficientul de rebut p=8% se extrag consecutiv

fr a pune piesa extras la loc 3 uniti.

1. S se construiasc variabila aleatoare a numrului de piese defecte;

2. S se stabileasc decizia de acceptare/respingere a lotului:

Numrul pieselor defecte/bune, (4.40):

92)08,01(100808,0100 ==== ba Variabila aleatoare a numrului de piese defecte se construiete utiliznd (4.41,

4.42).

3210

3210pppp

n care:

%%04,00004,0*%59,10159,0*

%70,202070,0*%67,777767,0*

3100

092

38

33100

192

28

2

3100

292

18

13100

392

08

0

======

======

CCCp

CCCp

CCCp

CCCp

rezultnd:

04,059,170,2067,773210

Variabila aleatoare a cel mult k piese defecte se construiete utiliznd, (4.43):

00,10096,9937,9867,773210

Decizia de acceptare: Deoarece probabilitatea de-a accepta/respinge lotul nu este


cuprins ntre 95% (riscul furnizorului), i 90% (riscul beneficiarului), este necesar

recalcularea parametrilor pentru alte mrimi ale eantionului (m=4, 5,uniti).

Repartiia Poisson Este repartiia evenimentelor rare. Aceast repartiie se aplic n cazul avariilor la maini sau a accidentelor.

Dac se noteaz cu densitatea de apariie a unui eveniment n unitatea de timp, atunci =t reprezint media apariiilor n intervalul t. Posibilitatea apariiei de k ori a evenimentului n acelai interval este:

( )e!ke!k

t)k(P)kX(Pk

tk ==== (4.44)

In figurile 4.12-4.13 sunt prezentate diagrama cu bare i diagramele poligonale ale

funciei de probabilitate Poisson pentru diferite valori ale parametrului .

0.3032

0.07580.012630.001 0.000013

0.00015

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 1 2 3 4 5 6 7

P(k)

k

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 5 10 15 20

u=0,5

u=2

u=5

u=1

k

P(k)

Fig. 4.12 Funcia de probabilitate a

repartiiei binomiale cu .=0,5 Fig.4.13 Diagrama poligonal a funciei de

probabilitate cu repartiie Poisson

Funcia de repartiie are expresia:

==

k0k

k

!ke)kX(P (4.45)

Repartiia Poisson se aplic n cazul repartiiei binomiale dac coeficientul de

rebut este foarte mic p5. Relaia care se aplic este:

ek)np()k(P)kX(P npk === (4.46)

Principalii indicatori ai repartiiei Poisson sunt prezentai n tabelul 4.3 Tab.4.3 Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu repartiie Poisson.

Media

M[X], , X [ ] === =

=

n1i 0k

1k

ii 1kepxXM

Mod Mo )M1 o

Capitolul 4 82

Dispersia D[X], 2, S2 [ ] =XD Abaterea standard , s = Momente

mk, Mk

2432

323

221

3MMM

3mmm+===

++=+==

Asimetria

1

11 =

Excesul

2

12 =

Aplicatia 4.6 4.4.2 Repartiii continue

Repartiia uniform Este repartiia la care toate valorile variabilei aleatoare au aceeai

probabilitate. Expresia densitii de probabilitate este:

( )( )

=b,ax0

b,axab

1)x(f (4.47)

Funcia de repartiie are expresia:


repartiiei uniforme uniforme

Tab.4.4 Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu repartiie uniform Media

M[X], , X [ ] +==

b

a 2ab

abxdxXM

Dispersia

D[X], 2, S2 [ ] ( )

12ba

mmxD2

212

== Momente

mk

[ ] =

=b

a

22

1

abdxxm

xMm

Repartiia exponenial Repartiia exponenial are densitatea de repartiie:

>= x0,0;e)x(f x (4.49) Funcia de repartiie are expresia:

=

0x,0

0x,e1)x(Fx

(4.50)

Indicatorii teoretici sunt prezentai n tabelul 4.5. Tab.4.5 Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu repartiie exponenial

Media

M[X], , X [ ] ==

0

x 1dxeXM

Dispersia

D[X], 2, S2 [ ]

2mmxD 212 ==

Momente

mk [ ]

==

== 0

2x2

2

1

2dxexm

1xMm

Diagramele densitii i funciei de repartiie sunt prezentate n figurile 4.16.

4.17.

Capitolul 4 84

x

f(x)

0,36

8 l

1/ l

0

0.5

1

1.5

2

x

F(x)

1/ l

0,632 l

Fig. 4.16 Densitatea de probabilitate a

repartiiei exponeniale Fig.4.17 Funcia de repartiie a repartiie

exponeniale

Repartiia normal Este cea mai important lege de repartiie fiind cunoscut sub denumirea de

legea Gauss-Laplace. Repartiia Gauss a fost prima repartiie studiat, fiind

caracterizat de parametrii i 2. Notarea ei se face prin N(,). Densitatea de probabilitate are expresia:

e21)x(f 2

2

2)x(

= (4.51)

Notat simbolic prin N(, 2), graficul repartiiei are form de clopot cu urmtoarele proprieti:

- admite un maxim unic pentru x=; - are o simetrie n raport cu dreapta x=; - i modific convexitatea n punctele - i + - modificarea parametrului translateaz curba de-a lungul axei x, (Fig.4.19) - modificarea parametrului modific ascuirea curbei, (Fig.4.18) Funcia de repartiie normal este dat de expresia:

( )dx

21)xX(P)x(F

x2xe 2

2

=


Fig. 4.18 Curbele densitii de probabilitate cu aceeai medie

i dispersii diferite

Fig. 4.19 Curbele densitii de probabilitate cu aceeai dispersie

i medii diferite Valoarea funciei de repartiie este

reprezentat n figura 4.20 prin aria

haurat. Indicatorii teoretici au relaiile din

tabelul 4.6. Asimetria i aplatizarea pentru

repartiia Gauss sunt egale cu zero.

Cunoscnd parametrii , 2, pe baza relaiei 4.52 se poate determina

analitic valoarea probabilitii P(X

Capitolul 4 86

e21)z(f 2

z2= (4.54) Funcia de repartiie Laplace are expresia:

==

x x2zdxe

21dx)x(f)x(F

2

(4.55) Valorile funciilor densitate de probabilitate i ale funciei de repartiie sunt

date tabelar:

Regula celor 3 Considernd o variabila aleatoare X cu repartiie normal N(,2 ) Ne punem problema determinrii probabilitii pentru care abaterea unei valori

oarecare fa de medie s fie mai mic dect x0, adic x-


In variabila aleatoare probabilitile p1, p2, pn-1 sunt independente avnd posibilitatea s ia orice valoare cuprins

ntre 0 i 1. Probabilitatea pn va lua o valoare care nsumat cu celelalte probabiliti va da valoarea unu. In acest caz aceast probabilitate nu mai este independent ci

depinde de celelalte valori. In consecin numrul valorilor independente pentru un

ir de numere este n-1 i este egal cu numrul gradelor de libertate. Valorile calculate ale funciei de repartiie se gsesc tabelate.

Repartiia Student. Considerm dou variabile una cu repartiie normal N(0, 1) i una cu

repartiie 2, avnd grade de libertate. Acestea pot forma o nou variabil care se calculeaz cu relaia:

2i

izt = (4.59)

i care matematic reprezint raportul dintre eroarea msurtorii i i suma erorilor msurtorilor. Densitatea de probabilitate a repartiiei Student este:

+

+=

+

t1

2

21

1)t(f2 2

1

(4.60)

Valorile calculate ale funciei de repartiie se gsesc tabelate.

Repartiia Fischer

Considerm dou variabile aleatoare X1 i X2 independente , cu repartiie 2 avnd respectiv 1 i 2 grade de libertate. Acestea pot forma o nou variabil care se calculeaz cu relaia:

1

22i

1i

ixxF = (4.61)

i care matematic reprezint raportul dintre erorile msurtorilor i. Densitatea de probabilitate a repartiiei Fischer este:

( )2

)(

1*

2

*

2

*)F(f21

22

1

2

21

1

21

+

+

= (4.62)

Indicatorii teoretici au expresiile:

p...ppn...21

n21

Capitolul 4 88

Media

M[X], , X [ ]

1FM

1

2=

Dispersia

D[X], 2, S2 [ ]

)4()2(

)2(2FD

212

1

222 1

++=

Valorile calculate ale funciei de repartiie se gsesc tabelate.

4.5 Utilizarea tabelelor la calculul parametrilor functiiilor de repartitie continue Pentru calcularea parametrilor sunt definite urmatoarele notiuni, (Fig. 4.22-

4.23):

1- nivel de semnificatie; a - b interval de semnificatie; risc; (- a ) U (b ) interval de incredere. Riscul poate fi unilateral (dreapta sau stinga) si-n acest caz a = respectiv b= -. In cazul unui risc bilateral simetric cele doua limite se noteaza cu a = /2 respectiv b= -/2.

Parametrii functiilor de repartitie calculati pe baza formulelor 4.54, 4.58, 4.60,

4.62 pot fi determinati utilizind tabele prezentat in Anexa 1.-4. Se intilnesc doua

situatii:

1. se da probabilitatea, notata 1- determinindu-se parametrul statistic caracteristic fiecarei functii de repartitie:

- z pentru repartitia normala;

- t pentru repartitia Student;

- 2 pentru repartitia 2; - F1;2; pentru repartitia Fischer.

2. se da valoarea parametrului statistic carcteristic functiei de repartitie si se cere

probabilitatea.


Risc

1-Nivel de semnificatie

/2Risc /2Risc

/21-/2

Risc Unilateral Risc Bilateral

Interval desemnificatie

1-Nivel de semnificatie

Interval de semnificatie

Fig.4.22 Legatura intre intervalul de semnificatie si probabilitate pentru un risc

unilateral

Fig.4.23 Legatura intre intervalul de semnificatie si probabilitate pentru un risc

bilateral

Pentru o functie de repartitie oarecare legatura dintre intervalul de semnificatie si

nivelul de semnificatie, (Fig.4,22-4.23) este data de relatia:

=< 1)(P (4.63)

pentru risc unilateral, sau de relatia:

=

Capitolul 4 90

=5,71%1-=94,29%

z=1,58

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00,1.1,5 0,9429

P(z< z )=1- P(z> z )=

Fig.4.24 Determinarea riscului pentru un interval se semnificatie dat-repartitia normala

Aplicatia 4.7

Pentru repartitia normala cu un risc unilateral dreapta se da valoarea nivelului de

semnificatie 1-=95%. Se cere determinarea limitei z. Din tabelul repartitiei normale, (Anexa 1), Fig.4.25, valorile cele mai apropiate de

nivelul de semnificatie sunt prezentate in tabelul de mai jos si carora le corespund:

1-=0,9495=94,95%. 1-=0,9505=95,05%. z=1,64 z=1,65

Deoarece 95% se afla in mijlocul intervalului [0,9495 0,9505} rezulta ca valoarea

limitei z=1,645.

=5%1-=95%

z=1,645

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00,1.1,6 0,9495 0,9505

P(z< z )=1- P(z> z )=


Fig.4.24 Determinarea intervalului de semnifictie pentru un risc unilateral dreapta dat-repartitia normala

Aplicatia 4.8

Pentru repartitia normala cu un risc bilateral simetric de 5%, se cere determinarea

intervalului de semnificatie

/2=2,5%1-=95%

z/2=1,965

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00,1.1,9 0,9744 0,9756

-z/2=-1,965

P(-z /2z< z /2)=1-

P(-z /2>z) UP(z< z /2)=

Fig.4.26 Determinarea intervalului de semnificatie pentru un risc bilateral simetric-

repartitia normala

Riscul bilateral se imparte simetric. Din tabelul repartitiei normale, (Anexa 1),

Fig.4.26, nivelul de semnificatie pentru care trebuie determinata limita din dreapta

z/2 este 1-=95%+2,5%=97,5%. Valorile cele mai apropiate de nivelul de semnificatie sunt prezentate in tabelul de mai jos si carora le corespund:

1-=0,9744=97,44%. 1-=0,9756=97,56%. z=1,96 z=1,97

Deoarece 97,5% se afla in mijlocul intervalului [0,9744 0,9756] rezulta ca valoarea

limitei z/2=1,965. Functia de repartitie normala este simetrica cea ce conduce la

determinarea limtei din stinga -z/2= -1,965.

Aplicatia 4.9

Pentru repartitia 2 cu un risc unilateral dreapta se da valoarea lui 2 =13,362, si numarul gradelor de libertate =8. Se cere determinarea riscului. Din tabelul repartitiei 2, (Anexa 2), Fig.4.27, riscul este = 0,10 = 10%.

Capitolul 4 92

=10%

2=13,36 0,995 0,990 0,975 0,95 0,90.0,20 0,10 0,05 0,02512.8 13,362

1-=90%

P(22)=

Fig.4.27 Determinarea riscului pentru un interval se semnificatie dat-repartitia 2

Aplicatia 4.10

Pentru repartitia 2 cu un risc unilateral dreapta, se da valoarea nivelului de semnificatie 1-=95% si numarul gradelor de libertate =10. Se cere determinarea limitei 2 Riscul este =5%. Din tabelul repartitiei 2, (Anexa 2), Fig.4.28, valoarea limitei 2 este 2 =18,307.

=5%

2=18,30 0,995 0,990 0,975 0,95 0,90.0,20 0,10 0,05 0,02512.10 18,307

P(22)=

Fig.4.28 Determinarea limitei intervalului de semnifictie pentru un nivel de semnificatie

unilateral dat reprtitia 2

Aplicatia 4.11

Pentru repartitia 2 cu un risc bilateral simetric de 5%, se cere determinarea


intervalului de semnificatie pentru =15 grade de libertate.

/2=2,5%

2=27,488

0,995 0,990 0,975 0,95 0,90.0,20 0,10 0,05 0,02512.15 6,262 27,488

P(21-/2

Capitolul 4 94

0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005 0,0001

1210 1,8121000 8

P(t< t )=1-

=5%1-=95%

z=1,812

Nivel de semnificatie pentru testul unilateral

P(t> t )=

Fig.4.30 Determinarea riscului pentru un interval se semnificatie dat-repartitia Student

Aplicatia 4.13

Pentru repartitia Student cu un risc unilateral dreapta de =10% si =15 grade de libertate, se cere determinarea limitei t.

Din tabelul repartitiei Student, (Anexa 3), Fig.4.31, valoarea determinata este

t=1,341. Tabelul se citeste de jos in sus.


0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005 0,0001

1215 1,3411000 8

P(t< t )=1-

=10%1-=90%

z=1,812

Nivel de semnificatie pentru testul unilateral

P(t> t )=

Fig.4.31 Determinarea limitei intervalului de semnifictie pentru un risc unilateral

dreapta dat-repartitia Student

Aplicatia 4.14

Pentru repartitia Student cu un risc bilateral simetric de 5% si =20 grade de libertate, se cere determinarea limitelor intervalului de semnificatie.

/2=2,5%1-=95%

t/2=1,965

0,50 0,25 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 0,00112.20 1,725

-t/2=-1,965

P(-t /2

Capitolul 4 96

Fig.4.32 Determinarea limitelor intervalului de semnificatie pentru un risc bilateral simetric-repartitia Student

Riscul bilateral se imparte simetric. Din tabelul repartitiei Student, (Anexa 3),

Fig.4.32, limita din dreapta este t/2=1,725 Functia de repartitie Student este

simetrica cea ce conduce la determinarea limtei din stinga -t/2= -1,725.

Aplicatia 4.15

Pentru repartitia Fischer cu un risc unilateral dreapta =10% si numarul gradelor de libertate 1=10, respectiv 2=15, se cere determinarea limitei intervalului de semnifictie F1, 2,

Riscul este =10%. Din tabelul repartitiei Fischer, (Anexa 4), Fig.4.33, valoarea limitei F1, 2, este F1, 2, = 2,24.

=10%

F1,2, = 2,24

1\2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 50012.10 2,24

P(F< F1,2,)=1-

1-=90%

P(F> F1,2,)=

Fig.4.33 Determinarea limitei intervalului de semnificatie pentru un nivel de

semnificatie unilateral dat repartitia Fischer

Aplicatia 4.16

Pentru repartitia Fischer cu un risc bilateral simetric de 20%, se cere determinarea

limitelor intervalului de semnificatie pentru 1=15 grade de libertate, respectiv 2=20


=10%

F1,2,/2 = 2,24

1\2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 500115 1,9220 1,84

P(F1,2,1-/2 F) UP(F

Variabile Aleatoare Si Functii de Repartitie

Documents

Transcript of Variabile Aleatoare Si Functii de Repartitie