8. IRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.1. iruri de variabile aleatoare

n teoria probabilitilor i n aplicaiile ei o problem important o constituie studiul irurilor de variabile aleatoare, care constituie modelul matematic adecvat pentru o serie de fenomene aleatoare cu evoluie temporal discret, iar legat de aceasta un loc central l ocup convergenta irurilor de variabile aleatoare. Vom prezenta n acest paragraf principalele tipuri de convergen ale irurilor de variabile aleatoare i unele proprieti referitoare la aceste tipuri de convergen. Fie (,K,) un spaiu cu msur de probabilitate complet aditiv i 1nn )f( un ir de variabile aleatoare , f o variabil aleatoare , toate definite pe acelai cmp de probabilitate ( R:f,fn ) i cu valori reale.

Definiia 1. Spunem c irul de variabile aleatoare INnn )f( converge n probabilitate ctre variabila aleatoare f , dac pentru orice > 0 si > 0 exist un numr natural N(,) astfel nct

(8.1) P({ )(f)(f: n })< ,

pentru orice n (,). Vom nota aceast convergen prin ffP

0 nn

Observaia 1. Din definiia de mai sus rezult c irul de variabile aleatoare 1)( nnf converge n probabilitate ctre variabila aleatoare f , dac

(8.1.2) 0}))(f)(f:({Plim nn=

,

oricare ar fi > 0.

Propoziia 1. Fie 1)( nnf , f i g variabile aleatoare reale definite pe acelai cmp de probabilitate (,K,) . Dac irul 1)( nnf converge n probabilitate ctre f i ctre g , atunci

P({ : f() g()}) = 0.

iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 180

Demonstraie. ntr-adevr din inegalitatea gf ff gf nn +

rezult

{ } { }{ }2n

2

n

g(((f:

(ff((:g((f((:

De aici deducem

{ }( ) { }( ){ }( )2n

2n

)(f)(g:P

)(f)(f:P)(g)(f:P

+

+

Inegalitatea de mai sus mpreun cu faptul c gf si ff PnP

n implic

{ }( ) )(g)(f:P =0, pentru orice > 0 n acelai timp avem

{ }( )

{ } { }( )

=

=

=

=

1nn1

1nn1 )(g)(f:P)(g)(f:P

0)(g)(f:P

U

Din cele de mai sus rezult c

{ }( ) 00)(g)(f:P = , ceea ce trebuie demonstrat Definiia 2. irul de variabile aleatoare INnn )f( converge tare ctre variabila aleatoare f dac pentru orice > 0 i > 0 exist numrul natural N(,) astfel nct

(8.1.3) U

),(Nnn )(f)(f:P

Observaia 2. Dac irul de variabile aleatore INnn )f( converge tare ctre variabila aleatoare f , atunci INnn )f( converge de asemenea n probabilitate ctre f.

8.1. iruri de variabile aleatoare 181

Definiia 3. Spunem c irul de variabile aleatoare Nnn )f( converge n repartiie (n sens Bernoulli) ctre variabila aleatoare f , dac irul funciilor de repartiie Nnn )F( asociate variabilelor Nnn )f( converge la funcia de repartiie F asociat variabilei aleatoare f , n fiecare punct de continuitate a lui F . Notm aceast convergent prin

ffr

nn .

Propoziia 2. Fie nf : (,K,) R , n N i f:(,K,) R un ir de variabile aleatoare i respectiv, o variabil aleatoare, definite pe acelai cmp de probabilitate (,K,) . Atunci are loc:

(8.1.4) ffP

nn ffr

nn

Demonstratie. Fie nF nN, respectiv F funciile de repartiie asociate variabilelor aleatoare considerate i 0x un punct de continuitate al lui F. Atunci, pentru orice > 0 exist > 0 astfel ca (8.1.5)

iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 182

Din relaiile (5), (6) i (7) rezult c )x(Flim 0nn exist i este egal cu

)x(F 0 , adic ffr

nn .

Observatia 8. Afirmaia reciproc a propoziiei de mai sus nu este adevarat. Adic, dac un sir de variabile aleatoare Nnn )f( converge n repartiie ctre variabila aleatoare f, nu rezult c el converge i n probabilitate ctre variabila aleatoare f. Avnd n vedere locul central ocupat de convergena n probabilitate n aplicaiile din diferite domenii dm urmtoarea proprietate a acestei convergene. Propozitia 9. Dac irurile de variabile aleatoare Nnn )f( , Nnn )g( converg n probabilitate ctre variabilele aleatoare f , respectiv g , iar i sunt dou constante reale, atunci:

(8.1.8) gfgfP

nnn + +

Definitia 4. Fie variabilele aleatoare 1nn )f( , f , definite pe acelai cmp de probabilitate (,K,). Spunem c irul 1nn )f( > converge n medie de ordinul k ctre f

dac exist momentele absolute de ordinul k Nk , ]f[M , ])f[(M kkn i dac

[ ] 0ff Mlim knn = Urmtoarea afirmaie stabilete legtura ntre convergena n medie de ordinul k i convergena n probabilitate a unui ir de variabile aleatoare. Propozitia 4. Fie 1nfn i f , variabile aleatoare definite pe acelai spaiu cu

msur de probabilitate (,K,) . Dac irul 1nn )f( converge n medie de ordinul k ctre f , atunci 1nn )f( converge n probabilitate ctre f . Demonstraie. Procedm prin reducere la absurd. Dac 1nn )f( nu converge n probabilitate la f , atunci pentru orice > 0 i > 0 exist un ir de numere in astfel ca

{ }( ) )(f)(f:P ni , pentru orice i 1. Atunci, din definiia momentului de ordinul k rezult

8.1. iruri de variabile aleatoare 183

[ ] kkni ff M , ceea ce contrazice c 1nn )f( converge n medie de ordinul k la f. Deci presupunerea fcut duce la contrazicerea ipotezei, aa c afirmaia propoziiei este adevarat . Fie 1nn )A( un ir de evenimente din (,K,), ( 1nn )A( K). Prin evenimentul sup lim

n nA ntelegem producerea de o infinitate de ori a

evenimentelor 1n,An (pentru o infinitate de indici n). Urmtoarea teorem este frecvent utilizat n diverse probleme de convergen.

Teorema 12. (Borel-Cantelli). Fie 1nn )A( un ir de evenimente. Dac

=

0 Definiia 2. Spunem c irul ( ) 1nnf este supus legii tari a numerelor mari dac exist un ir de constante ( ) 1nnc astfel nct

(8.2.3) 1}0)c)(h(lim:{P nnn=

=

,

adic irul de variabile aleatoare ( ) 1nnn ch converge aproape la sigur la 0 . Pentru diferite iruri de funcii msurabile ( ) 1nng se obin diferite legi a numerelor mari, att sub forma slab, ct i sub forma tare. n continuare presupunem c exist si sunt finite caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare care intervin n exprimarea legii numerelor mari .

8.2. Legea numerelor mari 185

Teorema 1 (Teorema lui Markov) . Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare pentru care

(8.2.4) 0fDn1lim

n

1kk

22n

=

=

,

atunci irul ( ) 1nnf urmeaz legea slab a numerelor mari .

Demonstraie . S considerm funciile IRIR:g nn definite prin =

=n

1kkn xn

1g

i constantele =

=n

1kkn )f(Mn

1c .

Aplicnd inegalitatea lui Cebev obinem

(8.2.5)

=== 1kk

222

n

1kk

n

1kk fDn

1})f(Mn1)(f

n1:{P .

Fcnd pe n rezult c irul ( ) 1nnf urmeaz legea slab a numerelor mari . Dac variabilele aleatoare ( ) 1nnf sunt independente dou cte dou atunci

)f(DfDn

1kk

2n

1kk

2 ==

=

i din Teorema 1 se deduce urmtorul corolar.

Corolarul 1 Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare independente dou cte dou, pentru care

(8.2.6) 0)f(Dn1lim

n

1kk

22n

=

=

,

atunci irul ( ) 1nnf urmeaz legea slab a numerelor mari. Dac variabilele aleatoare ( )nf sunt independente dou cte dou i pentru fiecare n 1 are loc

iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 186

i din Teorema 1 se deduce. Corolarul 2 . Dac un ir este de variabile aleatoare ( ) 1nnf independente dou cte dou este astfel nct

8.2. Legea numerelor mari 187

(8.2.10) 0}n

p...ppn

:{Plim n21n

=

+++

.

Demonstraie . Considerm irul de variabile aleatoare ( ) 1nnf , unde ( )nf ia valoarea 1 sau 0 dup cum n experimentul de rang k s-a realizat evenimentul A sau contrarul sau CA . Atunci

(8.2.11) 41gp)f(D p)(fM p)M(f f kkk

2kk2kk

1n

1kk ====

=

pentru orice k 1 si n 1. Astfel sunt ndeplinite condiiile din Corolarul 2, de unde rezult afirmaia teoremei. O alt formulare celebr a legii numerelor mari este cunoscut sub numele de teorema lui J. Bernoulli(1654 - 1705). Aceasta se opine ca un caz particular al Teoremei lui Poisson. Teorema 4 (Teorema lui Bernoulli ). Fie numrul de apariii ale unui eveniment A n n experimente independente i p probabilitatea lui A n fiecare experiment, atunci

(8.2.12) 0}pn

:{Plimn

=

Demonstraie. Acest rezultat este o consecin imediat a Teoremei 3 pentru cazul

pp...pp n21 ==== O alt formulare a acestei teoreme pune mai bine n eviden faptul c frecvena tinde n probabilitate ctre probabilitate i anume : Dac n condiiile teoremei de mai sus considerm irul frecvenelor relative ( ) 1nnf , nnf = atunci, acest ir de variabile aleatoare converge n probabilitate ctre p. Teorema lui Bernouli pune n eviden faptul c irul frecvenelor relative tinde n probabilitate ctre o constant, ctre probabilitatea p. Tocmai n aceast tendin se manifest aciunea obiectiv a legii numerelor mari, a creterii necontenite a numrului cazurilor observate. Esena acestei legi const n aceea c ea este valabil pentru un ntreg ansamblu de fenomene i nu pentru fiecare fenomen n parte al acestui ansamblu .

iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 188

Teorema 5 (A.N.Kolmgorov). Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare reale definite pe acelai cmp de probabilitate (,K,P) independente astfel c

8.3. Problema asimptotica central 189

Analiznd aceste aspecte a cptat o deosebit importan determinarea condiiilor n care, suprapunerea unui numr mare de factori independeni conduce la o funcie de repartiie normal. Aceast problem s-a constituit ca o problem central a Teoriei probabilitilor.

n continuare vom aminti cteva rezultate clasice obinute n aceast direcie. Fie (,K,P) un cmp de probabilitate si R:fn , n 1 un ir de variabile

aleatoare independente, care admit dispersii finite. Vom nota

(8.3.1) ==

==

==n

1k

2k

2n

n

1kkn

k22

kkk

1n , , aa

1k , )f(D , )f(Ma

Se pune problema: n ce condiii funcia de repartiie F(n) a variabilei aleatoare

(8.3.2) =

=n

1kkk

)n()n( )af(

1f

converge ctre funcia de repartiie normal cnd n ? Amintim c

(8.3.3)

=

x

2 dtt

21)x( e

2

.

Teoremele care stabilesc astfel de rezultate se numesc teoreme limit central. n cele ce urmeaz vom da teoreme limit care ofer un rspuns la problema formulat, punnd n eviden rolul important al repartiiei normale. Teorema 7 (Teorema limit central). Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare independente, avnd aceeai repartiie. S presupunem c, )f(Ma n= i

0)f(D n >= exist . Atunci pentru orice xR funcia de repartiie )n(F a variabilei

aleatoare )n(f tinde, pentru n , la funcia de repartiie normal redus (x) (funcia lui Laplace). Adic,

(8.3.4)

=

x

2nndu

u

21)x(Flim e

2

iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 190

Demonstraie. Vom arta c funcia caracteristic asociat variabilei aleatoare )n(f tinde ctre funcia de repartiie a variabilei aleatoare normale reduse.

Fie funcia caracteristic asociat variabilei aleatoare afk . Atunci avem

)t(fe)fe(Me)fe(M)t(

k

kk itaitita)a(it ===

De unde rezult c funcia de repartiie a variabilei aleatoare kf se exprim prin:

(8.3.5) )t(e)t(fita

k= ,

pentru orice k 1. De aici rezult c funcia de repartiie a variabilei aleatoare

=

=n

lkkn fg este dat prin :

(8.3.6) ntani )]t([e)t(gn= .

n acelai timp avem naf[M]g[Mn

1kkn ==

=i n]g[D n =

Cu aceste consideraii avem :

(8.3.7)

=

=na

ng

nnagf nn)n(

de unde rezult

(8.3.8) )n

t(ge)t(f n)n(

nita

=

.

innd seama de (22) rezult

nntaninita

)]n

t([ee)t(f )n( =

,

de unde prin simplificare avem

n)]n

t([)t(f )n( = .

8.3. Problema asimptotica central 191

Dezvoltnd n serie de puteri ale lui t funcia caracteristic )n

t(

obinem

n10

n2t1)

nt(

2+=

,

de unde rezult

2tn2

nn

2

)n(e

n10

n2t1lim)t(flim

=

+= ,

adic funcia caracteristic asociat variabilei aleatoare )n(f tinde cnd n tinde la ctre funcia caracteristic a variabilei aleatoare normale reduse. Cum funcia caracteristic determin, probabilistic complet variabila aleatoare, respectiv funcia de repartiie asociat rezult c relaia (20) este adevarat . O teorem limt mai general este. Teorema 8. (Teorema lui Leapunov). Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare independente. S presupunem c

exist [ ] 3k3kkkkkk HafM0,)D(f , a)M(f =>== pentru fiecare kN i s notm

==

n

1k

3kn HL . Dac este verificat condiia lui Leapunov

0L

lim)n(

)n(

n=

,

atunci funcia de repartiie )n(F a variabilei aleatoare )n(f tinde pentru n ctre

funcia de repartiie a variabilei aleatoare normale (x), pentru orice xR . O alt teorem limit cu aplicaii multiple n statistic i a crei importan se datoreaz faptului c n ipotezele impuse nu figureaz aceea de independen este urmtoarea. Teorema 9. (Teorema lui P.L. Cebsev). Fie ( ) 1nnf un ir de variabile aleatoare care admit momente de orice ordin, adic exist mrimile

iruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 192

=IR

nkn

k )x(dFxm

unde nF este funcia de repartiie asociat variabilei aleatoare nf

Dac knkn

mmlim =

, pentru orice kN, unde km sunt momentele variabilei normale

reduse, atunci

)x()x(Flim nn=

.