xxxfRfFie 2)(,2,0: 2

Arătați că funcția îndeplinește cerințele Teoremei lui Rolle și determinați constanta c.

atunci există cel puțin un punct în care f’(c)=0.

),( bac

O problemă importantă în rezolvarea unei

ecuații de forma f(x)=0, unde f este o funcție reală de

argument real, o reprezintă separarea rădăcinilor

acestora.

Separarea soluțiilor ecuației f(x)=0 presupune:

a)Determinarea numărului de soluții reale ale

ecuației;

b)Precizarea intervalelor în care acestea se

află.

Teorema lui Rolle și consecințele

acesteia permit stabilirea unei metode de

separare a soluțiilor reale ale unor ecuații,

metodă cunoscută sub numele de ”Șirul lui

Rolle”.

ETAPELE ȘIRULUI LUI ROLLE

Aplicarea acestei metode constă în parcurgerea următoarelor

etape:

1. se fixează intervalul de studiu al ecuației f(x)=0 și se

definește funcția , derivabilă pe I.

Exemplu: Avem ecuația , pentru care putem defini

funcția

2. Se calculează f’ și se determină soluțiile ecuației f’(x)=0

din intervalul I, ordonându-se crescător:

RIf :

0733 xx

73)(,: 3 xxxfRRf

......21 nxxx

3. Se formează șirul a, f(x1), f(x2), …, f(xn), b,

unde a și b sunt valorile funcției la capetele intervalelor I,

sau limitele funcției f la capetele intervalului.

4. Rezultatele se trec în următorul tabel:

x

f’(x)

f(x)

Șirul lui Rolle

semnele valorilor din rubrica f(x)

nxxx ...21

)('...)(')(' 21 nxfxfxfbxfxfxfa n )(...)()( 21

0733 xx

1. Fixăm intervalul de studiu și definim funcția:

Să se separe rădăcinile reale ale ecuației:

73)(,: 3 xxxfRRf

2. Calculăm f’ și rezolvăm ecuația f’(x)=0

1

1

0330)('

33)('

2

1

2

2

x

x

xxf

xxf

3. Formăm șirul de valori:

)(lim

9)1()(

5)1()(

)(lim

2

1

xfb

fxf

fxf

xfa

x

x

Xx

f’(x)

f(x)

Șirul lui Rolle

- - - +

-1 1 0 0

-5 -9

4. Construim tabelul:

x

f’(x)

f(x)

Șirul lui Rolle

- - - +

-1 1 0 0

-5 -9

În continuare vom analiza șirul lui Rolle pe baza exemplului precedent:

A. Dacă în șirul lui Rolle apar două semne alăturate identice, atunci în intervalul corespunzător nu există nici o soluție a ecuației f(x)=0.

B. Dacă în șirul lui Rolle apar două semne consecutive diferite, atunci ecuația f(x)=0 are o singură soluție reală în intervalul delimitat de acestea.

!_1. Dacă în șirul lui Rolle apare numărul 0, de

exemplu f(xk)=0, atunci xk este soluție și pentru f și

pentru f’. Se consideră în acest caz, că xk este rădăcină

multiplă pentru f.

!_2. Numărul schimbărilor de semn și al zerourilor din

șirul lui Rolle determină numărul de soluții reale ale

ecuației f(x)=0 și totodată intervalele în care aceste soluții

sun situate.