Sirul lui Fibonacci

5/12/2018 Sirul lui Fibonacci - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sirul-lui-fibonacci 1/9

Leonardo Fibonacci

<Sirul lui Fibonacci >

(1170-1250)

1

FURNEA ANDREEA GRUPA 101RUSU FLORIN-ANDREI GRUPA 102COBZARIU RAZVAN-BOGDAN GRUPA 102

STOICA MIHAI GRUPA 102



Profesor Indrumator : Gheorghe Duda

Cuvinte Cheie:

➢ Matematica : (stinta care se ocupa cu calculul

exact cu ajutorul

numerelor )

➢ Sir : (infinitate de numere identice sau diferite

scrise unul dupa altu )

➢ Fibonacci : (mare matematician si intelect al

evului mediu )

➢Cifrele Hindu-Arabe : (scriere veche

matematica )

➢Cifrele Romane : (scriere veche matematica )

➢ Pisa : (oras italian )➢Bugia : (Port aflat in nordul Africi )

Cuprins

2





Introducere

Leonardo Fibonacci s-a nascut in anul 1170 in orasul italian Pisa, orasul fiind faimos pentru turnul sau inclinat. Tatal sau, Guglielmo Fibonacci, a fost un negustor italian instarit care detinea un post de conducere in cadrul comercial din portul Bugia (nordul Africii). Intinerete, Fibonacci obisnuia sa calatoreasca foarte mult cu tatal sau. Astfel, a luat la cunostiintadespre sistemul numeral de calcul hindus-arab ,recunoscand ca aritmetica cu ajutorul cifrelor hindu-arabe este mai eficienta decat ceea cu cifre romane .Pana in anul 1200 Fibonacci acalatorit pe tarmul Marii Mediterane pentru a studia cu profesorii de origine araba din acelevremuri.

In 1202, la varsta de 32 de ani, Leonardo a publicat ceea ce a invatat din Cartea lui Abacus sau Cartea de Calcul, introducand cifrele hindu-arabe in Europa. Datorita acestuilucru, Fibonacci a fost considerat de unii drept cel mai talentat matematician din occidentul Evului Mediu.

Fibonacci a fost cunoscut lumii moderne pentru raspandirea sistemului de calcul

hindu-arab in Europa la inceputul secolului al-XIII-lea prin cartea sa Liber Abacii. Acesta si-aluat titlul de matematicianul momentului prin folosirea unui sir de numere nedescoperit de el, folosit insa in cartea sa; sirul semnificand o secventa de numere in care fiecare numar se obtinedin suma precedentelor doua.

Alte carti scrise de marele matematician italian au fost :

• Practica Geometriae (1220), un compendiu de geometrie i trigonometrie.ș

• Flos (1225), solu ii la problemele ridicate de Johannes din Palermoț

• Liber Quadratorum , ( "Cartea pătratelor") despreecua iile Diophantine, dedicată ț împăratului Frederick al II-lea. A se vedea, în special, Brahmagupta-identitatea

Fibonacci.• Di minor guisa (despre aritmetica comercială; carte dispărută)• Comentariu cu privire la Cartea X cu privire la Elementele lui Euclid (carte dispărută)

3





Dupa anul 1228 viata lui Fibonacci ramane un mister. Tot ce se cunoaste este faptul caacesta, cunoscut sub numele de Leonardo Bigollo, a fost premiat de catre Republica Italiana dinorasul Pisa pentru ajutorul adus in domeniul calculului matematic. În secolul al 19-lea, a fost ridicată o statuie a lui Fibonacci care a fost dezvelită în ora ul Pisa. Astăzi statuia este găzduită ș de galeria occidentală din Camposanto din cimitirul istoric situat în Piazza dei Miracoli.

In 1250 marele matematician se stinge din viata.

In cultura populara :

• Numele Fibonacci a fost adoptat de o forma ie de muzică rock din Los Angeles numită ț Fibonaccis, care a cântat între anii 1981-1987.

• Oamenii de la bursă studiază frecvent "Evolu ia numerelor lui Fibonacci" atunci când ț fac estimări privind pre ul ac iunilor viitoare.ț ț

• Un tânăr Fibonacci este unul dintre personajele principale din romanul Cruciadă înblugi (1973). În 2006 a existat i o versiune pentru film, dar filmul nu a mai fost făcut.ș

• În Codul lui Da Vinci irul lui Fibonacci a fost folosit ca un cod, dar i pentru aș ș introduce confuzia asupra personajelor din carte.

Sirul lui Fibonacci

Cum si unde a fost folosit pentru prima oara sirul lui

Fibonacci? - PROBLEMA IEPURILOR

Se pare ca si pe vremea lui Fibonacci se organizau concursuri de matematica. In Pisa, a participat si Fibonacci la un astfel de concurs care a fost condus de insusi imparatul Frederik al II-lea. Problema propusa concurentilor suna astfel:

Plecand de la o singura pereche de iepuri si stiind ca fiecare pereche de iepuri producein fiecare luna o noua pereche de iepuri, care devine "productiva" la varsta de 1 luna, calculaticate perechi de iepuri vor fi dupa n luni. (de asemenea se considera ca iepurii nu mor indecursul respectivei perioade de n luni)

Vom prezenta in continuare solutia problemei si modul in care vestitul sir al lui Fibonacci poate fi utilizat in rezolvare:

SOLUTIE: Din datele problemei rezulta ca numarul perechilor de iepuri din fiecare luna este un

termen al sirului lui Fibonacci. Intr-adevar, sa presupunem ca la 1 ianuarie exista o singura

4





pereche fertila de iepuri. Notam cu 1 perechea respectiva. Ea corespunde numarului F2 din sirul lui Fibonacci:

F2=F0+F1=0+1=1 La 1 februarie mai exista o pereche pe care o notam cu 1.1. Deci in acest moment sunt

doua perechi, ceea ce corespunde termenului: F3=F1+F2=1+1=2

La 1 martie sunt 3 perechi, doua care existau in februarie si una noua care provine de la perechea numarul 1. Notam cu 1.2 aceasta noua pereche. Numarul perechilor din aceasta lunacorespunde termenului: F4=F2+F3=1+2=3 Prezentam in figura de mai jos arborele genealogic al celor trei perechi:

11.1 1.2

La 1 aprilie exista 5 perechi si anume:- trei perechi existente in luna martie;- o pereche noua care provine de la parechea 1

- o pereche noua care provine de la perechea 1.1 care la 1 martie a devenit fertila( pereche pe care o notam cu 1.1.1. )

Din nou se obtine urmatorul arbore genealogic:1

1.1 1.2 1.31.1.1

Numarul perechilor din aceasta luna corespunde termenului:F5=F3+F4=2+3=5

Termenii din aceasta relatie se interpreteaza astfel:

F4=numarul perechilor existente in luna precedentaF3=numarul perechilor noi;ele provin de la perechile existente in luna anteprecedentaProcedand in continuare in acest fel, vom deduce ca la data de 1 decembrie numarul

perechilor este dat de termenul : F13=F11+F12=89+144=233,

iar la 1 ianuarie anul urmatoe exista F14=F12+F13=144+233=377 perechi de iepuri.

Concluzia ar putea fi urmatoarea:Sa notan Fn numarul de perechi de iepuri dupa n luni. Numarul de perechi de iepuri dupa n+1luni, notat Fn+1, va fi Fn (iepurii nu mor niciodata!), la care se adauga iepurii nou-nascuti. Dar iepurasii se nasc doar din perechi de iepuri care au cel putin o luna, deci vor fi Fn-1

perechi de iepuri nou-nascuti.Obtinem astfel o relatie de recurenta: Fn+1 = Fn + Fn-1; F1=1;

5





F0=0 Aceasta relatie de recurenta reprezinta regula care genereaza termenii sirului lui

Fibonacci.

Sirul lui Fibonacci era cunoscut matematicienilor indieni inca din secolul al-VI-lea, insacartea Liber Abaci a lui Fibonacci a fost ceea care a introdus aceasta secventa de numere inoccident si in sistemul de calcul in secolul al –XIII-lea.

Sirul semnifica o secventa de numere in care fiecare numar de obtine din suna precedentelor doua si astfel primele numere care incep sirul sunt:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610 …………

Metoda de calcul fiind Fo=0,F1=1,Fi=Fi-1+Fi-2 pentru i mai mare sau egal cu2.Dupa cateva numere din acest sir ne dam seama de o proprietate interesanta de exemplu :raportul dintre 2 numere consecutive este de 0,618 ( 34/55=0,618 , 89/144=0,618) iar raportul dintre 1 numar si alt numar aflat cu 2 poziti fata de acesta este de 0,382 ( 55/144=0,382 ,13/34=0,382).

Cu cât este mai mare valoarea unui număr din cadrul acestui ir, cu atât mai mult seș

apropie de corela ia supremă două "numere Fibonacci" consecutive din ir, numere care seț ș împart prin ele însele (aproximativ 1 : 1,618 sau 0,618 : 1). Aparitii ale sirului numeric al lui Fibonacii:Un anume Fibonacci mi-a atras atentia acum mult timp, cu sirul sau care reprezinta crestereaorganica a materiei vii. Cand auzi despre asa ceva, iti vine sa spui: “Ia uite, alt nebun se arata si vrea sa revolutioneze stiinta, printr-o simpla insiruire de numere si o denumire pompoasa”.Daca in multe cazuri exact asa stau lucrurile, cu Fibonacci e cu totul altceva. E ceva plin demister pe care putini s-au aventurat sa-l studieze asa cum trebuie. Ceva care, prin exemple, parecat se poate de adevarat.

Iata o cochilie de Nautilus care respecta spirala descrisa mai sus:

6





Aloe Polyphylla cu spirale descrise sub forma sirului lui Fibonacci:

7





Galaxiile par si ele ca se supun acestui sir:

La fel si semintele de floarea-soarelui:

8





Corpul uman creste dupa numerele misterioase, de asemenea. Grosso modo,considerand unghia de la aratator drept 1, falanga distala este de doua ori mai mare, ceamijlocie de trei ori, cea proximala de 5 ori, metacarpianul de 8 ori. Mana este 1, antebratul 2,iar bratul 3..Cercetatorii pasionati de sirul lui Fibonacci au gasit chiar ca si ADN-ul respectaaceasta regula aparent ciudata.

Pana acum, sirul lui Fibonacci era un lucru ciudat de care mai toata lumea se ferea. Mainou, acest sir este o adevarata minune care capteaza atentia cercetatorilor si ii face sa inteleagamult mai usor cum evolueaza natura. Fie vorba intre noi, Kant spunea ca nu exista niciun lucrucomplicat. Fiecare lucru aparent complicat este constituit din lucruri mai mici, simple. Dar tot Kant a adaugat ca nu exista niciun lucru simplu..Poate descoperind tot felul de teoriimisterioase vom ajunge sa stim totul despre lucrurile simple, care formeaza lucrurilecomplicate, care stau la baza lucrurilor si mai complicate, exact ca o spirala.

9



Sirul lui Fibonacci

Documents

Transcript of Sirul lui Fibonacci