SEMINAR_3_4

1

VARIABILE ALEATOARE DEFINIŢIE ŞI CLASIFICARE Intuitiv, o variabilă aleatoare este o mărime care în urma realizării unei experienţe poate lua o valoare dintr-o mulţime bine definită (mulţimea valorilor posibile). Variabila aleatoare este o funcţie reală care depinde de rezultatul unui anumit experiment:

Definiţie: Fie , ,E K P spaţiu de probabilitate. Funcţia :X E se numeşte variabilă aleatoare dacă:

pentru a , e E X e a K

(în notaţie simplificată, scriem direct X a )

Observaţie:

Mulţimea valorilor variabilei aleatoare, X E , este o submulţime a mulţimii numerelor reale ( X E ), adică

variabila aleatoare nu este obligatoriu o funcţie surjectivă. Prin variabilele aleatoare, unui fenomen supus unor circumstanţe aleatoare i se asociază un număr real, deci se stabileşte o corespondenţă între spaţiul de selecţie E , convenabil ales, şi . În practică este dificil să găsim valorile acestor corespondenţe, dar este posibil să determinăm „cât de des” sunt luate aceste valori (cu ce probabilitate). Astfel, putem defini funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X :

Definiţie: Fie , ,E K P spaţiu de probabilitate şi :X E o variabilă aleatoare. Funcţia : 0,1XF

definită prin:

XF a P e E X e a , cu a

se numeşte funcţia de distribuţie (sau de repartiţie) a variabilei aleatoare X .

(prescurtat, se scrie: XF a P X a )

Observaţie:

Determinarea, pentru a a probabilităţii cu care X ia valori mai mici decât a înseamnă a găsi (defini)

funcţia de repartiţie pentru X .

Clasificarea variabilelor aleatoare se face după proprietăţile mulţimii X E :

a) V.A. de tip discret – dacă X E este mulţime cel mult numărabilă:

- X E finită – V.A. discretă simplă

- X E infinită dar numărabilă – V.A. discretă cu o infinitate de valori.

b) V.A. de tip continuu – dacă X E este o mulţime infinită de numere reale.

1. VARIABILE ALEATOARE DISCRETE SIMPLE O variabilă aleatoare discretă simplă este o funcţie reală ale cărei valori sunt luate cu probabilităţile corespunzătoare unui sistem complet de evenimente:

Considerăm o experienţă şi legat de aceasta un sistem complet de evenimente 1 i niA

. Definim funcţia X pe

acest sistem complet de evenimente şi o reprezentăm prin tabelul de asociere (perechi ordonate) numit tabloul de repartiţie al variabilei aleatoare X :

1 2

1 2

....

....n

n

x x xX

p p p

, cu 0ip şi 1

1n

ii

p

unde numerele ix se numesc valorile variabilei aleatoare iar ip sunt probabilităţile cu care variabila aleatoare ia

aceste valori (se mai poate scrie: i i i ip P A P X x P e E X e x )

Convenţii: În tabloul de repartiţie se trec valorile distincte ale variabilei aleatoare; În tabloul de repartiţie NU se trec valorile luate cu probabilitatea 0.

2

Atenţie !! Două variabile aleatoare asociate unor sisteme complete de evenimente diferite (pentru o aceeaşi experienţă) pot avea tabloul de repartiţie identic, deşi variabilele aleatoare nu sunt aceleaşi. Exemplu: Considerăm experienţa aruncării unui zar şi două sisteme complete de evenimente, definite astfel:

1A : se acordă 1 punct pentru faţa 1 sau 2 1B : se acordă 1 punct pentru faţa 1 sau 6

2A : se acordă 2 puncte pentru faţa 3 sau 4 2B : se acordă 2 puncte pentru faţa 2 sau 5

3A : se acordă 3 puncte pentru faţa 5 sau 6 3B : se acordă 3 puncte pentru faţa 3 sau 4

Variabilele aleatoare corespunzătoare celor două sisteme sunt X (pentru iA ) şi Y (pentru iB ):

1 2 3

1 1 1

3 3 3

X

şi respectiv:

1 2 3

1 1 1

3 3 3

Y

. Deşi tabloul de repartiţie este acelaşi, variabilele aleatoare X şi

Y nu sunt egale (de exemplu, 6 3X şi 6 1Y ).

Funcţia de distribuţie (repartiţie): Fie variabila aleatoare discretă simplă X , cu tabloul de repartiţie:

1 2

1 2

....

....n

n

x x xX

p p p

(cu 0ip şi 1

1n

ii

p

)

Atunci funcția : 0,1F , definită prin relația: ( )XF x P e E X e x se numește funcția de

repartiție a variabilei aleatoare X .

1

1 1 2

1 2 2 3

1 2 3 3 4

11

0,

,

,

,

( ) ........................................

,

........................................

1,

X

i

j i ij

n

x x

p x x x

p p x x x

p p p x x x

F x

p x x x

x x

Proprietăţi: Funcţie mărginită (valoarea minimă este 0, cea maximă 1).

XF este o funcţie „treaptă”, continuă la dreapta (şi discontinuă la stânga) în punctele ix , cu salturi egale cu ip

în aceste puncte.

Este nedescrescătoare ( 1 2X XF x F x dacă 1 2x x )

Observaţie:

În definirea funcţiei de distribuţie se pot folosi şi inegalităţile 1i ix x x , ceea ce este corect dar duce la

modificarea tipului de continuitate (în acest caz, XF este continuă la stânga şi discontinuă la dreapta).

Reprezentare grafică: Orice variabilă aleatoare discretă simplă dată prin tabloul său de repartiţie se poate reprezenta grafic prin „poligonul” său de repartiţie: pe axa absciselor se trec valorile variabilei aleatoare, iar pe axa ordonatelor se trec probabilităţile. Funcţia de distribuţie (repartiţie) a unei variabile aleatoare discrete simple se poate reprezenta grafic. Exemplu: Se consideră variabila aleatoare discretă simplă X , cu tabloul de repartiţie:

1 2 3 4 5 6

0.1 0.2 0.3 0.1 0.2 0.1X

3

Determinaţi funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare X şi reprezentaţi grafic variabila şi funcţia ei de distribuţie. Faceti graficele !

0 , 1

0.1 , 1 2

0.3, 2 3

0.6, 3 4

0.7 , 4 5

0.9, 5 6

1, 6

X

x

x

x

F x

x

x

x

Variabile aleatoare (discrete simple) independente:

Fie variabilele aleatoare discrete simple X și Y cu tablourile de repartiție:

1 2

1 2

....

....n

n

x x xX

p p p

, 1 2

1 2

....

....m

m

y y yY

q q q

cu , 0i jp q şi 1 1

1n m

i ji j

p q

.

X și Y se numesc independente (în totalitatea lor) dacă evenimentele ( )iX x și ( )jY y cu 1,i n și

1,j m sunt independente, adică:

( ), ( ) ( ) ( )i j i j i jP X x Y y P X x Y y p q

Operații cu variabile aleatoare discrete simple:

Fie variabilele aleatoare discrete simple X , Y și Z cu tablourile de repartiție:

1 2

1 2

....

....n

n

x x xX

p p p

, 1 2

1 2

....

....m

m

y y yY

q q q

, 1 2

1 2

....

....s

s

z z zZ

r r r

cu , , 0i j kp q r şi 1 1 1

1n m s

i j ki j k

p q r

. Putem defini următoarele operații (care au ca rezultat tot variabile

aleatoare simple):

1. Suma dintre o constantă ” a ” și variabila aleatoare X este variabila aleatoare care ia valoarea ia x când

X ia valoarea ix :

1 2

1 2

....

....n

n

a x a x a xa X

p p p

2. Produsul dintre o constantă ” a ” și variabila aleatoare X este variabila aleatoare care ia valoarea ia x

când X ia valoarea ix :

1 2

1 2

....

....n

n

a x a x a xa X

p p p

3. Suma dintre două variabile aleatoare X și Y este variabila aleatoare care ia valoarea i jx y (când X ia

valoarea ix și Y ia valoarea jy ) cu probabilitatea ijp :

4

1 1 1 2

11 12

.... ....

.... ....

i j n m

ij nm

x y x y x y x yX Y

p p p p

unde probabilitatea ijp ( 1,i n și 1,j m ) este probabilitatea realizării simultane a evenimentelor ( )iX x și

( )jY y . Altfel spus, ( ), ( ) ( ) ( )ij i j i jp P X x Y y P X x Y y .

Observație:

Dacă variabilele aleatoare discrete simple X și Y sunt independente, atunci ij i jp p q

Suma se poate extinde și pentru trei sau mai multe variabile aleatoare discrete simple:

1 1 1 1 1 2

111 112

.... ....

.... ....

i j k n m s

ijk nms

x y z x y z x y z x y zX Y Z

p p p p

unde probabilitatea ijkp ( 1,i n , 1,j m și 1,k s ) este probabilitatea realizării simultane a evenimentelor

( )iX x , ( )jY y și ( )kZ z . Altfel spus, ( ) ( ) ( )ijk i j kp P X x Y y Z z .

Observație:

Dacă variabilele aleatoare discrete simple X , Y și Z sunt independente, atunci ijk i j kp p q r

4. Produsul dintre două variabile aleatoare X și Y este variabila aleatoare care ia valoarea i jx y (când X ia

valoarea ix și Y ia valoarea jy ) cu probabilitatea ijp :

1 1 1 2

11 12

.... ....

.... ....

i j n m

ij nm

x y x y x y x yX Y

p p p p

unde probabilitatea ijp ( 1,i n și 1,j m ) este probabilitatea realizării simultane a evenimentelor ( )iX x și

( )jY y . Altfel spus, ( ), ( ) ( ) ( )ij i j i jp P X x Y y P X x Y y .

Observații:

Dacă variabilele aleatoare discrete simple X și Y sunt independente, atunci ij i jp p q ;

Produsul se poate extinde și pentru trei sau mai multe variabile aleatoare discrete simple. 5. Ridicarea la putere: vom numi ”puterea r a unei variabile aleatoare X ” variabila aleatoare care ia valoarea

rix când X ia valoarea ix :

1 2

1 2

....

....

r r rn

n

x x xX

p p p

6. Alte operații cu variabile aleatoare simple:

Inversa unei variabile aleatoare X (care ia valori nenule) – este variabila 1

X care ia valoarea

1

ix când

X ia valoarea ix (caz particular al ridicării la puterea -1):

Raportul a două variabile aleatoare X și Y (unde Y nu ia valori nule) – este variabila X

Y care ia

valoarea i

j

x

y dacă X ia valoarea ix și Y ia valoarea jy (caz particular al înmulțirii variabilei X cu

variabila 1

Y).

Exemplu:

Fie variabilele aleatoare discrete X şi Y , independente, cu repartiţiile: 0 1 2

:0.3 0.5 0.2

X

şi 1 1

:0.5 0.5

Y

.

Să se calculeze: 3X , 3X , X Y şi X Y .

5

Rezolvare:

0 3 1 3 2 3 0 3 63

0.3 0.5 0.2 0.3 0.5 0.2X

; 3 3 3

3 0 1 80 1 2

0.3 0.5 0.20.3 0.5 0.2X

;

0 ( 1) 0 1 1 ( 1) 1 1 2 ( 1) 2 1

0.3 0.5 0.3 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.2 0.5 0.2 0.5X Y

1 1 0 2 1 3 1 0 1 2 3

0.15 0.15 0.25 0.25 0.10 0.10 0.15 0.25 0.25 0.25 0.10

;

0 ( 1) 0 1 1 ( 1) 1 1 2 ( 1) 2 1

0.3 0.5 0.3 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.2 0.5 0.2 0.5X Y

0 0 1 1 2 2 2 1 0 1 2

0.15 0.15 0.25 0.25 0.10 0.10 0.10 0.25 0.3 0.25 0.10

.

2. VARIABILE ALEATOARE DISCRETE CU UN NUMĂR INFINIT (DAR NUMĂRABIL) DE VALORI

Definirea şi operaţiile cu variabile aleatoare cu un număr infinit de valori sunt similare cu cele de la variabile aleatoare discrete simple. Deoarece în repartiţia unei variabile aleatoare discrete ar trebui enumerate toate valorile posibile ale variabilei aleatoare precum şi probabilităţile corespunzătoare, o variabilă aleatoare cu un număr infinit de valori se va

reprezenta cu ajutorul funcţiei de probabilitate if x :

i

i

xX

f x

unde i i if x P X x p .

3. VARIABILE ALEATOARE CONTINUE

Definiţie: Fie , ,E K P câmp borelian de probabilitate. Funcţia :X E se numeşte variabilă aleatoare dacă:

pentru a , e E X e a K

(în notaţie simplificată, scriem direct X a )

Definiţie: Funcţia : 0,1XF definită prin:

XF x P e E X e x , cu a

se numeşte funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X .

(prescurtat, se scrie: XF x P X x )

Proprietăţi:

Funcţie mărginită: lim 0x

F x

şi lim 1x

F x

XF este continuă la stânga : 0F x F x pentru x , şi are un număr cel mul numărabil de puncte

de discontinuitate de prima speţă.

Este nedescrescătoare ( 1 2X XF x F x dacă 1 2x x , pentru 1 2,x x )

Definiţie: Fie , ,E K P câmp borelian de probabilitate. Considerăm o clasă de variabile aleatoare X pentru care

există o funcţie : 0,f cu un număr finit de puncte de discontinuitate de prima speţă (deci integrabilă),

ce satisface relaţia:

x

F x f t dt

6

unde F x este funcţia de repartiţie a variabilei X . Atunci funcţia f se numeşte densitate de repartiţie (sau

de probabilitate) a variabilei aleatoare X . Observaţie:

Dacă f este continuă în x , atunci F este derivabilă în x şi avem: F x f x .

Proprietăţi:

Funcţie pozitivă: 0f x , pentru x

1f t dt

Dacă ,a b şi F continuă, atunci b

aP a X b f x dx .

Observaţie: În cazul variabilelor aleatoare continue, operaţiile definite pentru variabile discrete au alte forme de definire (cu ajutorul densităţilor de repartiţie). 4. CARACTERISTICI NUMERICE (VALORI TIPICE) ALE VARIABILELOR ALEATOARE

4.1. MEDIA unei variabilei aleatoare: Cazul discret:

Fie variabila aleatoare discretă simplă 1 2

1 2

....

....n

n

x x xX

p p p

, cu 0ip şi 1

1n

ii

p

.

Media variabilei X este numărul:

1 1 2 21

.....n

n n i ii

m M X x p x p x p x p

Pentru n (cazul discret cu o infinitate de valori numărabile), seria 1

i ii

x p

trebuie să fie convergentă !!!

Cazul variabilelor continue:

Fie variabila aleatoare continuă x

Xf x

, cu x . Media variabilei X este integrala improprie:

m M X x f x dx

. (trebuie să fie convergentă)

Pentru ,x a b , media devine: b

am M X x f x dx .

Observaţie: Există variabile aleatoare care NU AU MEDIE:

Fie variabila aleatoare discretă

1

1

n

X

n n

, cu n . (este variabilă discretă cu o infinitate de valori).

Tabloul reprezintă o variabilă aleatoare, deoarece 1

11

1n n n

.

Deoarece seria 1 1n

nM X

n n

este divergentă, variabila aleatoare nu are medie.

Proprietăţi ale mediei:

a) valoarea medie a unei constante este egală cu constanta:

:1

cX

, M X c

b) dacă X este o variabilă aleatoare discretă simplă şi a o constantă, atunci au loc relaţiile:

M a X a M X şi

M a X a M X

7

c) valoarea medie a unei variabile aleatoare este cuprinsă între cea mai mică şi cea mai mare dintre valorile posibile ale variabilei aleatoare:

a M X A

(unde am notat min iia x şi max i

iA x )

d) valoarea medie a unei sume finite de variabile aleatoare este egală cu suma valorilor medii ale variabilelor aleatoare respective:

... ........M X Y Z M X M Y M Z

e) valoarea medie a unui produs de variabile aleatoare independente este egală cu produsul mediilor variabilelor considerate:

... ........M X Y Z M X M Y M Z

Atenţie!!! dacă variabilele aleatoare nu sunt independente, se calculează variabila produs şi apoi media ei, cu definiţia. f) Oricare ar fi variabila aleatoare X , are loc relaţia:

2 2M X M X

g) Inegalitatea lui Schwarz: Fie X şi Y două variabile aleatoare. Are loc inegalitatea:

2 2 2M X Y M X M Y

4.2. MOMENT INIŢIAL DE ORDIN k ( k ) al variabilei aleatoare X : media lui kX .

Se notează cu km sau kM X sau kM X .

Cazul discret:

1

k kk k i i

i

m M X M X x p

Cazul variabilei continue x

Xf x

cu ,x a b :

bk k

k k am M X M X x f x dx

Observaţii:

1. Momentul iniţial de ordinul 0 al variabilei aleatoare X este: 00 1 1m M X M

2. Momentul iniţial de ordinul 1 al variabilei aleatoare X este chiar media variabilei: 11m M X M X .

4.3. MOMENT CENTRAT DE ORDIN k În raport cu variabila aleatoare X , se numeşte moment centrat de ordin k raportat la constanta a media

variabilei kX a .

Pentru a M X (constanta este media variabilei X ), obţinem momentul centrat de ordin k al variabilei X :

Cazul discret:

1

k k

k i ii

X M X M X x M X p

Cazul variabilei continue x

Xf x

cu ,x a b :

bk k

k aX M X M X x m f x dx

Observaţie:

Variabila aleatoare X M X se numeşte abaterea de la medie a variabilei aleatoare X .

De multe ori la o variabilă aleatoare ne interesează cât de mult se abat valorile variabilei de la valoarea medie. Exemplu:

Fie 2 1 1 2

0.1 0.4 0.4 0.1X

, calculăm şi obţinem 0M X . Observăm că valorile lui X nu diferă mult de

medie (nu sunt „împrăştiate” faţă de valoarea medie).

8

Fie 1000 5 5 1000

0.1 0.4 0.4 0.1Y

, calculăm şi obţinem 0M X . Observăm că valorile lui Y diferă mult de

medie (sunt foarte „împrăştiate” faţă de valoarea medie). Concluzie: Trebuie să stabilim un indicator numeric al împrăştierii valorilor variabilei aleatoare în jurul valorii medii. Valoarea medie a abaterii de la medie nu poate caracteriza această împrăştiere deoarece este NULĂ pentru orice variabilă aleatoare:

0M X M X M X M M X M X M X

Vom caracteriza împrăştierea valorilor variabilei aleatoare X prin valoarea medie a abaterilor absolute

X M X pe care o numim abatere medie.

Dacă X are tabloul de repartiţie: 1 2

1 2

....

....n

n

x x xX

p p p

, atunci repartiţia abaterii absolute este:

1 2

1 2

....

....n

n

x m x m x m

p p p

, unde m M X ,

iar abaterea medie este: 1 1 2 2 ...... n np x m p x m p x m .

Folosirea abaterii medii este foarte incomodă în calcule, motiv pentru care se foloseşte expresia: 2M X m .

4.4. DISPERSIA variabilei aleatoare X este momentul centrat de ordinul 2 al variabilei:

22 2D X M X m , unde m M X .

Formula de calcul a dispersiei: 22 2M X M X .

Dispersia este cea mai bună valoare care caracterizează împrăştierea valorilor 1 2, ,....., nx x x sau, altfel spus,

media variabilei este punctul cel mai potrivit faţă de care trebuie să măsurăm devierile acestor valori. Proprietăţi ale dispersiei:

a) dispersia unei constante este nulă:

2 0D c

b) două variabile aleatoare care diferă printr-o constantă au dispersiile egale: Considerăm variabilele aleatoare X şi Y a X .

Atunci: M Y M a X a M X şi calculând dispersia lui Y obţinem: 2 2D Y D X .

c) 2 2 2D aX a D X , adică: 2 2 2

1 1

k k

i i ii i

D a X a D X

.

În particular, pentru două variabile aleatoare X şi Y putem deduce: 2 2 2D X Y D X D Y

d) dispersia unei sume finite de variabile aleatoare independente (în totalitate sau două câte două) este egală

cu suma dispersiilor:

2 2 2 2... ........D X Y Z D X D Y D Z

4.5. În practică nu se foloseşte dispersia, ci abaterea medie pătratică: 2D X D X , care are

avantajul exprimării prin aceleaşi unităţi de măsură ca şi valorile variabilei aleatoare X . Proprietăţi ale abaterii medii pătratice: (rezultă din proprietăţile dispersiei)

a) 0D c , unde c

b) D a X D X

c) D aX a D X

9

4.6. COVARIANŢA variabilelor aleatoare X şi Y :

,Cov X Y M X M X Y M Y

sau (formulă echivalentă): ,Cov X Y M XY M X M Y

de unde se poate scrie:

2 2 2 2 ,D X Y D X D Y Cov X Y

Observaţie:

Dacă X şi Y sunt variabile aleatoare independente, atunci , 0Cov X Y .

RECIPROC NU E ADEVĂRAT.

4.7. COEFICIENTUL DE CORELAŢIE al variabilelor aleatoare X şi Y (cu 0X şi 0Y ) este reprezentat

de numărul:

,,

X Y

Cov X YX Y

.

Proprietăţi ale coeficientului de corelaţie:

1) Dacă X şi Y sunt variabile aleatoare independente, atunci , 0X Y .

2) Pentru orice variabile aleatoare X şi Y avem: 1 , 1X Y

3) Dacă pentru două constante reale a şi b , variabila aleatoare Y se poate scrie: Y aX b , atunci:

1, 0,

1, 0

aX Y

a

INEGALITATEA LUI CEBÂŞEV Fie X o variabilă aleatoare care admite medie şi dispersie finite. Atunci, oricare ar fi 0 , are loc inegalitatea:

2

21P X m

, unde m M X

Observaţii:

1. Această inegalitate dă o margine inferioară pentru probabilitatea ca abaterea absolută a unei variabile aleatoare cu dispersia cunoscută să fie mai mică decât un număr dat.

2. Prin explicitarea inegalităţii cu modul: X m :

X m sau echivalent: m X m inegalitatea lui Cebâşev poate fi scrisă şi sub forma:

2

21P m X m

3. Există şi o formă „complementară” pentru inegalitatea lui Cebâşev, şi anume:

2

2P X m

.

Exemplu:

Fie 0.2 0.3 0.4 0.5

0.1 0.2 0.3 0.4X

. Să se estimeze probabilitatea 0.2P X m .

TEOREMA „ 3 ”

Cu o probabilitate cuprinsă între 8

9 şi 1, orice variabilă aleatoare ia valori cuprinse între 3 , 3m m .

(unde m este media valorilor variabilei şi este abaterea medie pătratică). Dem:

În inegalitatea lui Cebâşev luăm k şi obţinem: 2

2 21P X m k

k

, sau echivalent:

10

2

11P m k X m k

k .

Pentru 3k obţinem: 1 83 3 1 0.88

9 9P m X m .

Deci, cu o probabilitate cuprinsă între 0.88 şi 1, orice variabilă aleatoare ia valori cuprinse între

3 , 3m m .

RELAŢIA DINTRE MOMENTELE INIŢIALE ŞI MOMENTELE CENTRATE pentru o variabilă aleatoare: Fie X o variabilă aleatoare pentru care notăm cu:

m = media variabilei ( M X )

km = momentul iniţial de ordin k (media variabilei kX )

k = momentul centrat de ordin k (media variabilei kX m )

Atunci orice moment centrat de ordinul k se poate calcula în funcţie de momentele iniţiale de ordin k după formula:

0

1k

j j jk k k j

j

C m m

Exemplu: Pentru 2k , calculăm formula dispersiei (momentul centrat de ordinul 2) cu ajutorul acestei formule:

2

0 1 1 2 22 2 2 2 2 2 1 2 0

0

1j j j

jj

C m m C m C m m C m m

Ştim că: 00 1 1m M X M şi 1m m M X

Înlocuind şi formulele corespunzătoare ale combinărilor, obţinem:

22 2 2 2 22 2 1 1 2 12m m m m m M X M X D X

FUNCŢIA GENERATOARE DE MOMENTE a unei variabile aleatoare Se introduce pentru simplificarea calculelor momentelor. Definiţie: Se numeşte funcţie generatoare de momente a unei variabile aleatoare X , valoarea medie a variabilei

t Xe , unde t .

Notăm funcţia generatoare de momente cu :g , dată prin: t Xg t M e .

Cazul discret:

Fie 1 2

1 2

....

....n

n

x x xX

p p p

o variabilă aleatoare discretă, deci 1 2

1 2

....

....

ntxtx txt X

n

e e ee

p p p

iar funcţia

generatoare de momente este 1

i

nt xt X

ii

g t M e e p

.

Cazul variabilei continue:

Fie x

Xf x

cu ,x a b , deci

txtX e

ef x

, iar funcţia generatoare de momente este

bt X t x

ag t M e e f x dx .

Proprietăţi ale funcţiei generatoare de momente:

1. 0 1g

2. Dacă 1 2, ,...., nX X X sunt variabile aleatoare independente cu funcţiile generatoare de momente

1 2, ,...., ng t g t g t , atunci funcţia generatoare de momente a variabilei aleatoare 1 2 .... nX X X X

este 1 2 .... ng t g t g t g t .

11

3. Dacă variabila aleatoare X admite momente finite de orice ordin, atunci 0 !

k

kk

tg t m

k

.

4. (Formula generării momentelor iniţiale):

Funcţia generatoare de momente este de n ori derivabilă în raport cu t şi 0kkg m (sau 0

kt kg t m ).

Cazul discret:

Forma derivatei de ordin k a funcţiei 1

i

nt x

ii

g t e p

este:

1

i

nk t xk

i ii

g t x e p

, deci înlocuind pe t cu 0

obţinem:

1

0n

k ki i k

i

g x p m


Forma derivatei de ordin k a funcţiei b t x

ag t e f x dx este:

bk k t x

ag t x e f x dx , deci înlocuind pe

t cu 0 obţinem: 0

bk kka

g x f x dx m

FUNCŢIA CARACTERISTICĂ a unei variabile aleatoare Se foloseşte tot pentru calculul momentelor.

Definiţie: Se numeşte funcţie caracteristică a unei variabile aleatoare X , valoarea medie a variabilei i t Xe , unde

t şi 1i .

Notăm funcţia caracteristică cu :g , dată prin: i t Xt M e .

Cazul discret:

Fie 1 2

1 2

....

....n

n

x x xX

p p p

o variabilă aleatoare discretă, deci 1 2

1 2

....

....

nitxitx itxi t X

n

e e ee

p p p

iar funcţia

caracteristică este 1

j

ni t xi t X

jj

t M e e p

.


Fie x

Xf x

cu ,x a b , deci

itxitX e

ef x

, iar funcţia caracteristică este

bi t X i t x

at M e e f x dx .

Important:

Pentru orice putem scrie: cos sinie i şi respectiv: cos sinie i .

Puterile lui „i”: 4 1ki

4 1ki i

4 2 1ki

4 3ki i Exemplu:

Găsiţi funcţia caracteristică pentru variabila aleatoare discretă: 1 1

0.5 0.5X

.

Rezolvare:

Pentru variabila aleatoare X , avem: 0.5 0.5

it ititX e e

e

, deci putem scrie funcţia caracteristică:

0.5 0.5 0.5 0.5 cos sin cos sin 0.5 2cos cosi t X it it it itt M e e e e e t i t t i t t t

Deci funcţia caracteristică este: cost t .

12

Proprietăţi ale funcţiei caracteristice: a) funcţia caracteristică este o funcţie uniform continuă pe .

b) 0 1

c) Dacă 1 2, ,...., nX X X sunt variabile aleatoare independente cu funcţiile caracteristice 1 2, ,...., nt t t ,

atunci funcţia caracteristică a variabilei aleatoare 1 2 .... nX X X X este 1 2 .... nt t t t .

Consecinţe:

c.1) Dacă 1

n

k kk

Y X

, cu k , unde 1 2, ,...., nX X X sunt variabile aleatoare independente cu

funcţiile caracteristice 1 2, ,...., nt t t , atunci 1

k

n

Y X kk

t t

.

c.2) Un produs de funcţii caracteristice este tot o funcţie caracteristică. În particular, dacă t este

funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X , atunci nt este tot o funcţie caracteristică.

d) Fie X t funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X şi fie Y X . Atunci Y Xt t .

e) Fie variabila aleatoare X şi X t funcţia ei caracteristică. Fie Y aX b . Atunci ibtY Xt at e .

f) Dacă variabila aleatoare X admite momente finite de orice ordin, atunci 0 !

k

kk

itt m

k

.

g) (Formula de legătură cu momentele iniţiale):

Funcţia caracteristică este de n ori derivabilă în raport cu t şi 10k

kkm

i (sau 0

1 kt kk

t mi ).

Cazul discret:

Forma derivatei de ordin k a funcţiei 1

i

ni t x

ii

t e p

este:

1

j

ni t xk k k

j jj

t i x e p

, deci înlocuind pe t

cu 0 obţinem:

1

0n

k k k kj j k

j

i x p i m


Forma derivatei de ordin k a funcţiei b i t x

at e f x dx este:

bk k k i t x

at i x e f x dx , deci

înlocuind pe t cu 0 obţinem: 0

bk k k i t x kka

i x e f x dx i m

1

REPARTIŢII CLASICE 1. V.a. discrete (mulţime numărabilă de valori) REPARTIŢIA POISSON (v.a. Poisson, legea evenimentelor rare) O v.a. X are repartiţie Poisson dacă funcţia ei de probabilitate este de forma:

!

x

f x ex

, cu x şi 0

Fie

!

x

x

Xe

x

, cu x şi 0

a) f x este funcţie de probabilitate deoarece:

0!

x

ex

(evident)

0 0 0

1! !

x x

x x x

f x e e e ex x

(am folosit dezvoltarea în serie Taylor pentru xe : 2

0

1 .... ....1! 2! ! !

n nx

n

x x x xe

n n

)

b) Media şi dispersia variabilei X :

Media: 1

0 0 0 1

0! ! 1 !

x x x

x x x x

M X x f x x e e x e x e ex x x x

Dispersia: 22 2D X M X M X

Calculez

2 2

0 0 0 0

1 1 1! ! !

x x x

x x x x

M X

M X x f x x x e e x x e xx x x

2 2 2

2

2 2

0 0 11 2 ! 2 !

x x

x x

e x x M X e M Xx x x x

2 2e e M X

Deci, 22 2 2 2D X M X M X

REPARTIŢIA PASCAL (v.a. a „primului succes”, repartiţia geometrică) O v.a. X are repartiţie Pascal dacă tabloul ei de repartiţie este de forma:

2 1

1 2 3 .... ....

.... ....n

nX

p p q p q p q

, cu 0 1p , 0 1q şi 1p q

a) 1

1

n

n

f x p q

este funcţie de probabilitate deoarece:

1

1

0n

n

p q

(evident pentru 0 1p , 0 1q )

Seria puterilor 1

n

n

x

are suma

1

x

x şi este convergentă pentru 0 1x (deci se aplică şi pentru

x q )


Media:

1 12 2 2

1 1 1

1 1

1 1 1n n n

n n n

q q q p pM X n p q p n q p q p p

q p pq q

2


Calculez 2 2 1 1 1

1 1 1 1 1

n n n n n

n n n n n

M X n p q p n n q p nq p q n q p q q

2 2

2 2 4

1 1 2 2 2

1 1 1 1

q q q q q q q qp q p q p p

q q q q

3 3 2

1 1 1

1

q q qp p

p pq

Deci, 22 22 2 2

1 1q qD X M X M X

p p p

2. V.a. continue

O funcţie f x , :f este densitate de probabilitate dacă:

0f x pentru x

are un număr finit de discontinuităţi (de prima speţă) este mărginită

1f x dx

(Practic, se verifică prima şi ultima condiţie). REPARTIŢIA UNIFORM CONTINUĂ

O v.a. x

Xf x

are repartiţie uniform continuă dacă funcţia ei de probabilitate este de forma:

1, ,

0 , ,

x a bf x b a

x a b

, cu b a

a) f x este densitate de probabilitate deoarece:

1

0b a

(evident pentru b a )

1 10 0 1

ba b

a ba

b af x dx dx dx dx x

b a b a b a


Media: 2 2 21 1

0 02 2 2

ba b

a ba

x b a b aM X x f x dx x dx x dx x dx

b a b a b a


Calculez:

3 3 3 2 2

2 2 2 2 21 10 0

3 3 3

ba b

a ba

x b a b ab aM X x f x dx x dx x dx x dx

b a b a b a

Deci, 222 222 2

3 2 12

a bb ab a a bD X M X M X

.

3

REPARTIŢIA EXPONENŢIALĂ NEGATIVĂ O v.a. X are repartiţie exponenţială negativă de parametru dacă funcţia ei de probabilitate (densitatea de

probabilitate) este de forma: xf x e , cu 0x şi 0

Fie x

xX

e

, cu 0x şi 0 .


0xe (evident pentru 0x şi 0 )

0 0

0

0 1 1x x xf x dx e dx e dx e


Media: 0

xM X x f x dx x e dx

Schimbare de variabilă: x y , deci 1

dx dy

Schimbarea capetelor de integrare: 0 0x y

x y

(deci se păstrează capetele de integrare)

Rezultă că: 0

1 1 1 12 1 1yM X y e dy


Calculez: 2 2 2 2 2

0 0

1x xM X x f x dx x e dx x e dx

Schimbare de variabilă: x y , deci 1

dx dy

Schimbarea capetelor de integrare: 0 0x y

x y


Rezultă că: 2 22 2 20

1 1 1 1 23 2!yM X y e dy

Deci, 22 22 2 2

2 1 1D X M X M X

.

REPARTIŢIA NORMALĂ (GAUSS) O v.a. X are repartiţie normală (Gauss) dacă funcţia ei de probabilitate (densitatea de probabilitate) este de

forma: 21

21

2

x m

f x e

, cu m şi 0 ( m și se numesc parametrii distribuției normale, și

putem scrie: ( , )X N m ).


21

210

2

x m

e

(evident pentru 0 )

2 2

1 1

2 21 1

2 2

x m x m

f x dx e dx e dx

Schimbare de variabilă: x m

y

, deci x y m şi dx dy

Schimbarea capetelor de integrare: x y

x y


4

Rezultă că: 21

21 1

2 12 2

yf x dx e dy

(am folosit rezultatul integralei Euler-Poisson: 21

2 2x

e dx

)


Media: 21

21

2

x m

M X x f x dx x e dx

Schimbare de variabilă: x m

y

, deci x y m şi dx dy


x y


Rezultă că: 2 2 21 1 1

2 2 2

2

1 1

2 2 2

y y ymM X y m e dy y e dy e dy

2 21 1

2 22 02 2 2

y yme dy e m m m


Calculez: 2

2 2 2 21

2

x m

M X x f x dx x e dx

Schimbare de variabilă: 2

x my

, deci 2x y m şi 2dx dy


x y


Rezultă că: 222 1

2 22

yM X y m e dy

2 2 22 2 21 1 1

2 2 2y y yy e dy m y e dy m e dy

2 2 22 2

.A

22 y y y

not

m my ye dy e dy e dy

2

22

0

2 ym mA e A m

Rezolvăm integrala 22

2 yA y ye dy

prin părţi: 1f y f şi

2 2

2 y yg y e g e

Obţinem: 2 2

2 22

0

y yA ye e dy

.

Deci: 2 2 2M X m şi 22 2 2 2 2 2D X M X M X m m

5

c) Funcția Gauss-Laplace (funcția erorilor) ( )x :

Este funcția de repartiție a unei variabile aleatoare cu distribuția normală standard ( (0,1)X N ):

- densitatea de probabilitate a lui (0,1)X N este:

2

21

( )2

t

f t e

- funcția de repartiție a lui (0,1)X N este:

2

21

( ) ( )2

tx

x F x e dt

și se numește funcția Gauss-

Laplace (sau funcția erorilor). Proprietăți:

( ) 0

( ) 1

1

(0)2

( ) ( ) 1x x

- Se poate folosi pentru calcularea P a b , unde ( , )N m :

2

2

( )

21

2

x mb

a

b m a mP a b e dx

(cu schimbarea de variabilă x m t )

- Funcția Gauss-Laplace se folosește și în exprimarea Teoremei Limită Centrală. Valorile funcției Gauss-Laplace sunt tabelate.

6

INTEGRALELE BETA ŞI GAMMA (proprietăţi)

1. Funcţia : 0, definită prin: 1

0

x pp e x dx se numeşte funcţia Gamma (sau funcţia lui Euler

de speţa a doua) şi are următoarele proprietăţi:

1) 1 1

2) 1

2

3) 1p p p

4) 1 !n n pentru n

5) 2 2 1

02 t pp e t dt

6) 1sin

p pp

, cu 0,1p (formula complementelor)

2. Funcţia : 0, 0,B definită prin: 1 11

0, 1

qpB p q x x dx se numeşte funcţia Beta (sau

funcţia lui Euler de speţa întâi) şi are următoarele proprietăţi:

1)

1

0,

1

p

p q

yB p q dy

y

2)

1 11

0,

1

p q

p q

t tB p q dt

t

3)

,p q

B p qp q

(formula lui Dirichlet)

4) , ,B p q B q p (proprietatea de simetrie)

5) 1, 1,

1

pB p q B p q

p q

pentru 1, 0p q şi

1, , 1

1

qB p q B p q

p q

pentru 0, 1p q

7

Tabel integrale nr.crt. Integrala funcţiei simple Integrala funcţiei compuse

1. dx x dx

2. 1

1

nn x

x dxn

\ 1n

1

1

nn dx

n

\ 1n

3. 1lndx x

x

1lndx

4. ln

xx a

a dxa

ln

aa dx

a

5. x xe dx e e dx e

6. 2 2

1 1ln

2

x adx

x a a x a

2 2

1 1ln

2

adx

a a a

7. 2 2

1 1 xdx arctg

x a a a

2 2

1 1dx arctg

a a a

8. 2 2

2 2

1lndx x x a

x a

2 2

2 2

1lndx a

a

9. 2 2

2 2

1lndx x x a

x a

2 2

2 2

1lndx a

a

10. 2 2

1arcsin

xdx

aa x

2 2

1arcsindx

aa

11. sin cosxdx x sin cosdx

12. cos sinxdx x cos sindx

13. cossin

axaxdx

a

14. sincos

axaxdx

a

15. ln costgxdx x ln costg dx

16. ln sinctgxdx x ln sinctg dx

17. 2

1

sindx ctgx

x

2

1

sindx ctg

18. 2

1

cosdx tgx

x

2

1

cosdx tg

19. shxdx chx sh dx ch

20. chxdx shx ch dx sh

Obs: Funcţiile “hiperbolice” sunt:

:f “sinus hiperbolic” : 2

x xe ef x shx

:f “cosinus hiperbolic”: 2

x xe ef x chx

SEMINAR_3_4

Documents

Transcript of SEMINAR_3_4