7/31/2019 Seminar DEPI

1/5

Densitatea spectrala de putere si trecerea semnalelor aleatoare prin sisteme liniare

Constantin VERTAN

Densitatea spectrala de putere a unui proces (semnal) aleator (t) estedefinita ca:

q() = limT

|F {T(t)} ()|2

T, (1)

unde T(t) este restrictia semnalului aleator (t) la intervalul [T; T], iarF {x(t)}() este transformata Fourier a semnalului x(t).

Teorema Wiener-Hincin afirma ca pentru un proces aleator (t), stationarn sens larg, functia de autocorelatie si densitatea spectrala de putere suntperechi Fourier:

q() = F {B()} () =

B() exp(j)d, (2)

respectiv

B() = F1 {q()} () =

1

2

q() exp(j)d.

In cazul trecerii semnalelor aleatoare prin sisteme liniare, principala relatiede interes (suplimentara fata de legatura de tip convolutie ntre semnalul deiesire si semnalul de intrare ((t) = (t) h(t)) si derivata din aceasta) estecea care exprima densitatea spectrala de putere a semnalului de la iesireasistemului fata de densitatea spectrala de putere a semnalului de la intrareasistemului (3):

q() = q() |H()|2

. (3)O clasa particulara de sisteme liniare sunt filtrele adaptate la forma sem-

nalului. Un filtru adaptat la forma semnalului (sau, pe scurt, la semnalul)s(t) are o functie pondere definita ca:

h(t) = ks ((t 0)) . (4)

Proprietatea remarcabila a filtrului adaptat (4) este aceea ca raspunsul saula un semnal oarecare aplicat la intrare este o varianta scalata si decalata n

timp a functiei de corelatie a semnalului de intrare si a semnalului la carefiltrul a fost adaptat:

y(t) = (t) h(t) = kRs(t 0). (5)

Ex. 1. Fie un semnal aleator ergodic, a carui densitate spectrala de putereeste:

q() =

A + C(), pentru || 0,0, n rest.

Sa se calculeze functia de autocorelatie a procesului aleator, valorile salemedii, si sa se determine componenta acestuia.

Teorema Wiener-Hincin (2) leaga densitatea spectrala de putere de funct iade autocorelatie prin:

B() =1

2

q() exp(j)d =1

2

00

A exp(j)d +

+

00

C()exp(j)d

=

A

2

1

jexp(j)

0

0

+C

2

=C

2+

A

sin0 =

C

2+

0A

sinc 0.

Din proprietatile functiei de autocorelatie avem ca:

(t) =

B() =

C2

,

2(t) = B(0) =C

2+

0A

,

2 = B(0) B() =0A

.

Din gama de frecvente ocupate de densitatea spectrala de putere se poatededuce faptul ca procesul aleator este un proces de zgomot de banda limitata

1

7/31/2019 Seminar DEPI

2/5

(0) suprapus peste un semnal constantC2 . Variind valorile lui 0 ntre 0 si

, cazurile extreme sunt: semnal constant (t) = C2 pentru 0 0 si unzgomot alb suprapus peste un semnal constant pentru 0 .

Ex. 2. Fie procesul aleator (t) = (t) + (t), unde si sunt procesealeatoare stationare si independente. Sa se calculeze densitatea spectrala deputere a procesului n functie de densitatile spectrale de putere a celor douaprocese aleatoare, stiind ca cel putin unul dintre procesele si are media

nula.Densitatea spectrala de putere cautata este:

q() = F {B()} ().

Functia de autocorelatie a procesului aleator este

B() = (t)(t ) = ((t) + (t)) ((t ) + (t ))

= (t)(t ) + (t)(t ) + (t)(t ) + (t )(t)

= B() + B().

Deoarece procesele si sunt procese aleatoare independente, (t)(t ) =(t) (t ) si (t )(t) = (t ) (t). Deoarece procesele si sunt

procese aleatoare stationare, (t) = (t ) si (t) = (t ). Atunci:

B() = B() + B() + 2(t)(t) = B() + B() + 2

B()B().

Atunci transformata Fourier a functiei de autocorelatie este (tinand contca F {1}() = 2()):

q() = F {B()} () = F {B()} () + F {B()} () +

+ F

2

B()B()

()

= q() + q() + 4

B()B()().

Daca macar unul dintre procesele aleatoare este de medie nula, atunci pro-dusul B()B() = 0 si, deci:

q() = q() + q().

Ex. 3. Procesul aleator de timp discretx(n) este obtinut ca o medie mobiladin procesul aleator de zgomot (n) prin x(n) = 12 ((n) + (n 1)). Sa sedetermine densitatea spectrala de putere a procesului aleator x(n), folosindteorema Wiener-Hincin.

Mai ntai trebuie determinata functia de autocorelatie a procesului aleatorx(n):

Bx(k) = x(n)x(n k) =1

4((n) + (n 1))((n k) + (n 1 k))

=1

4(n)(n k) + (n)(n 1 k) + (n 1)(n k)+

+ (n 1)(n k 1)

=1

4(B(k) + B(k + 1) + B(k 1) + B(k))

=1

2B(k) +

1

4B(k 1) +

1

4B(k + 1).

Cum procesul aleator (n) este un zgomot alb, functia sa de autocorelatieeste un impuls Dirac, B(k) = (k). Atunci

Bx(k) =1

2(k) +

1

4(k 1) +

1

4(k + 1).

Pentru determinarea densitatii spectrale de putere, teorema WienerHincinva trebui aplicata sub forma discreta:

qx() =

k=

Bx(k) exp(jk),

=1

2+

1

4exp(j) +

1

4exp(j) =

1

2+

1

2cos.

Ex. 4. La intrarea unui filtru trece jos ideal cu frecventa de taiere fT =

1 kHz se aplica semnalul aleator(t) = sin(2104t+) +n(t), unde n(t) esteun zgomot alb si este o variabila aleatoare repartizata uniform n intervalul[0,2]. Sa se calculeze functia de autocorelatie statistica a semnalului (t) sidensitatea spectrala de putere a acestuia. Daca(t) este semnalul de la iesirea

filtrului, sa se calculeze functia sa de autocorelatie si densitatea spectrala deputere.

Definitia zgomotului alb precizeaza ca acesta este necorelat cu semnalulpe care l afecteaza. Functia de autocorelatie statistica pentru semnalul (t)

2

7/31/2019 Seminar DEPI

3/5

este:

B(t1, t2) = (t1)(t2)

=

sin(2104t1 + ) + n(t1)

sin(2104t2 + ) + n(t2)

= sin(2104t1 + ) sin(2104t2 + ) + n(t1)n(t2) +

+ sin(2104t1 + )n(t2) + sin(2104t2 + )n(t1)

=1

2

cos(2104(t2 t1)) cos(210

4(t2 + t1) + 2)

+

+ Bn(t2 t1) + sin(2104t1 + ) n(t2) + sin(210

4t2 + ) n(t1)

=1

2cos(2104(t2 t1)) + 0 + Bn(t2 t1) + 0 + 0

=1

2cos(2104(t2 t1)) + Bn(t2 t1) = B(t2 t1)

In dezvoltarea de mai sus, s-a t inut cont de faptul ca zgomotul n(t) este demedie nula (n(t) = 0, t) si ca

cos(2104(t2 + t1) + 2) =

cos(2104(t2 + t1) + 2x)f(x)dx

=1

2

20

cos(2104(t2 + t1) + 2x)dx

=1

4sin(2104(t2 + t1) + 2x)

2

0

= 0

Semna lul (t) este stationar n sens larg, si deci se poate aplica teoremaWiener-Hincin (2) pentru a calcula functia de densitate spectrala de puteredin functia de autocorelatie:

q() = F{B()}() =1

2F{cos(2104)}() + F {()}()

=1

2

( + 2104) + ( 2104)

+ 1.

Functia de transfer a filtrului trece jos ideal este data de:

H() =

1, daca || 2fT = 210

3,0, n rest.

Functia de densitate spectrala de putere a semnalului de la iesirea filtruluieste determinata conform (3):

q() = q() |H()|2.

Efectuand nmultirea, se obtine:

q() = |H()|2

= 1, daca || 2f

T= 2103,

0, n rest.

(adica un semnal de banda limitata, cu densitate spectrala de putere con-stanta, deci un zgomot de banda limitata). Functia de autocorelatie a sem-nalului de iesire este, conform (2), transformata Fourier inversa a functiei dedensitate spectrala de putere:

B() = F1{q()}() =

1

sinc (2103).

Ex. 5. Se da un filtru adaptat la semnalul s(t) =

A, daca |t| T2 ,0, n rest.

.

Sa se determine raspunsul filtrului la semnalele de intrare s(t) si (t) (unde(t) este un semnal aleator de tip zgomot alb).

Conform definitiei filtrului adaptat (4), functia sa pondere este data de:h(t) = ks ((t 0)). Atunci functia p ondere n cazul particular studiateste:

h(t) =

kA, daca t [T2 + 0,

T2 + 0],

0, n rest.

Pentru ca filtrul sa fie cauzal este necesar ca T2 + 0 0, deci 0 T2 .

Semnalul de la iesirea filtrului adaptat este produsul de convolutie a intrariicu functia pondere. Daca la intrare sa aplicat semnalul s(t), la ie sire vom avea:

y(t) = s(t) h(t) =

h()s(t )d = k

s(0 )s(t )d

= k

s(0 t + u)s(u)du = k

s (u (t 0)) s(u)du

= kRs((t 0)) = kRs(t 0).

Deci iesirea este f unctia de autocorelatie temporala a semnalului de intrare,translatata cu 0. Functia de autocorelatie a semnalului s(t) este calculata

3

7/31/2019 Seminar DEPI

4/5

ca:

Rs(t) =

s(u)s(u + t)du =

A2(t + T), daca t [T, 0],A2(T t), daca t [0, T],0, n rest.

Atunci semnalul de iesire y(t) este:

y(t) =

kA2(t + T + 0), daca t [T+ 0, 0],kA2(T+ 0 t), daca t [0, T + 0],0, n rest.

Daca la intrarea filtrului se aplica semnalul de zgomot alb (t), la iesireasistemului vom obtine:

y(t) = s(t) h(t) =

h()(t )d = k

s(0 )(t )d =

= k

s(u)(t 0 + u)du = kA

T/2T/2

(t 0 + u)du.

Acest semnal de iesire este o varianta mediata a semnalului de intrare (mediererealizata pe perioada T). Cu cat T va creste, acest semnal de ie sire se vaapropia de media temporala a zgomotului alb de intrare, deci de 0.

Ex. 6. La intrarea unui filtru trece jos realizat cu o celula de filtrare RCse aplica un zgomot de banda larga (proces aleator cu densitatea spectrala deputere constanta n intervalul de frecvent a[0, 0] si nul a n rest), stationar.Sa se calculeze (utiliznd aproximarile) densitatea spectrala de putere si functiade autocorelatie a zgomotului filtrat n cazurile n care banda filtrului este multmai mare, respectiv mult mai mica decat banda zgomotului.

Celula de filtrare RC este un divizor de tensiune format dintr-un rezistor derezistenta R si un condensator de capacitate C nseriate; semnalul de intrarese aplica ntregii grupari serie; semnalul de iesire se culege de pe condensator.

Functia de transfer n frecventa a filtrului este:

H() =

1jC

R + 1jC=

1

1 + jRC.

Modulul patrat al functiei de transfer este atunci:

|H()|2

=1

1 + (RC)2.

Frecventa de taiere T a filtrului este definita ca frecventa la care putereala iesirea filtrului este jumatate din puterea de intrare; puterea la iesire esteproportionala cu puterea la intrare prin modulul patrat al functiei de transfera filtrului, si atunci:

|H()|2

=1

2 TRC= 1 T =

1

RC.

Zgomotul alb aplicat la intrarea filtrului are o densitate spectrala de puteredescrisa de:

q() =

k, daca [0, 0],0, n rest.

Densitatea spectrala de putere a semnalului de la iesirea filtrului este datade (3), adica:

q() = q() |H()|2.

Cazul I: daca banda de trecere a filtrului este mult mai mare ca bandazgomotului, adica T 0, putem aproxima funct ia de transfer a filtruluipe intervalul [0;0] cu 1:

|H()|2[0,0]

|H(0)|2

= 1,

si atunci:

q() q() = B() B().

de unde

B() = F1{q()}() =

1

2

q() exp(j)d (6)

=k

2

00

exp(j)d =k0

sinc (0).

Cazul II: daca banda de trecere a filtrului este mult mai mic a ca bandazgomotului, adica 0 T, putem aproxima:

q() = q() |H()|2

k |H()|2

=k

1 + (RC)2;

q() =k

1 +

T

2 = kT2

1

j + T

1

j T

.

4

7/31/2019 Seminar DEPI

5/5

Calculul transformatei Fourier inverse a acestei funct ii se face prin intermediultransformatei Laplace bilaterale (nlocuind formal j = s) si conduce la:

B() =kT

2(U() exp(T) + U()exp(T)) =

kT

2exp( || T)

=k

2RCexp( || T).

Ex. 7.Fie (t) un semnal aleator ergodic a carui densitate spectralade putere este q() =

N02 , si fie semnalul determinist s(t) = (t). Sa se

calculeze functiile de autocorelatie a celor doua semnale si sa se interpreteze.Ex. 8. Functia de autocorelatie a unui proces aleator ergodic este data

de:

RX() =

T0||T0

, daca || T0,

0, n rest.

Sa se reprezinte functia de autocorelatie si s a se verifice grafic proprietatileacesteia; sa se determine componenta continua, puterea medie si variantaprocesului aleator. Sa se calculeze densitatea spectrala de putere a procesuluialeator si sa se comenteze influenta parametrului T0 asupra latimii functieide autocorelatie si asupra largimii de banda a densitatii spectrale de putere.

Ex. 9. Procesul aleator y(t) este construit din procesul aleator x(t) cay(t) = x(t + a) x(t a). Sa se calculeze functia de densitate spectrala deputere a procesului aleator y(t). (Solutie: qy() = 4qx()sin

2 a).Ex. 10 Iesirea unui sistem liniar, y(t), este determinata n functie de

semnalul de intrare, x(t) prin y(t) = kx(t) + x(t t0). Daca semnalul deintrare x(t) este distribuit gaussian n jurul valorii nule si are densitateaspectrala de putere qx() = Q0sinc

22B

, care este densitatea spectrala de

putere a semnalului de la iesirea sistemului ? Ce semnal de iesire se obtinepentru k = 1 si t0 =

1B ?

Ex. 11 Un proces aleator stationar(t) cu functia de autocorelatie statis-ticaB() = cos(210

3)+exp(100 ||), cu R se aplica la intrarea unuifiltru trece banda ideal, acordat pe frecventa de 1 kHz si cu banda d e trecerede 100 Hz. Fie (t) rezultatul filtrarii lui (t). Sa se calculez puterea me-

die si densitatea spectrala de putere a semnalului aleator (t); sa se calculeze(cu o cat mai buna aproximare) densitatea spectrala d e putere si functia deautocorelatie pentru semnalul de la iesirea filtrului trece banda.

Bibliografie

[1] Al. Spataru: Teoria Transmisiunii Informatiei, Ed. Didactica si Peda-gogica, Bucuresti, 1983.

[2] A. T. Murgan, I. Spanu, I. Gavat, I. Sztojanov, V. E. Neagoe, A.Vlad: Teoria Transmisiunii Informatiei - probleme, Ed. Didactica si Ped-agogica, Bucuresti, 1983.

[3] C. Vertan, I. Gavat, R. Stoian: Variabile si procese aleatoare: principiisi aplicat ii, Ed. Printech, Bucuresti, 1999.

5