Seminar Circuite Integrate Digitale Zoltan Hascsi

REPREZENTRI ALE FUNCIILOR LOGICE

1. Tabelul de adevr Tabelul de adevr al unei funcii logice este o list a tuturor punctelor mulimii de definiie,

pentru fiecare dintre acestea preciznd valoarea funciei. Funciile logice au valori logice numite uneori valori de adevr (adevrat i fals), de unde numele de tabe devr. Mulimea de definiie a unei funcii logice este un produs cartezia mulimi booleene,

, iar fiecare punct al ei, fie elD BDf :

BBBD = ... DP , este o combin de valori logice ale variabilelor funciei:

),...,,( 21 nbbbP = , unde , Bb 1 Bb 2 , ... Pentru a fi siguri c tabelul de adevr con oate combinaiile ile de valori logice,

acestea sunt listate n ordinea cresctoare a nu or naturale care sunt reprezentate n binar prin acele combinaii de valori logice

S considerm o funcie logic de trei varia s-i spunem f. Mulimea ei de definiie este produsul cartezian a trei mulimi booleene, prin re conine 2 2 2 = 8 puncte. Cele 8 combinaii posibile de valori logice le vom interpreta ca numere naturale scrise n binar pe 3 bii. Tabelul de adevr va fi o list de 8 numere, ncepnd cu 0 (scris n binar ca 000) i terminndu-se cu 7 (111 n binar):

a b c f 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

numr: 0

C mbinaii de valori ale variabilelor funciei se mpart n dou grupe. Pentru primele

patru co ii variabila cea mai semnificativ, a, este 0, n timp ce pentru ultimele patru variabila cea mapentru ccare su

Fi

celei deAc

de valode valorfuncie tabelulu1 2 3 4 5 6 7

ele 8 combina

i semnificativ este 1. n interiorul fiecrelelalte dou variabile logice, plasate de

nt reprezentate n binar prin acele combina

a b c f 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

b0011

a = 0

a = 1

ecare dintre aceste grupe poate fi la rnd-a doua variabile a funciei, b. este observaii stau la baza unei modalit

ri logice ale variabilelor unei funcii n tabi ale variabilelor sunt posibile, altfel spus de 3 variabile tabelul va avea 8 (= 23) i, corespunztoare variabilei cu cel mai Bbn ine t

merel

bile, urmaei grupe se ntlnesc t asemenea n ordineaii de doi bii:

c 0 1 0 1 b

0011

ul ei mprit n dou p

i foarte rapide de listelul de adevr. Mai ntcte rnduri va avea tarnduri. Completm la mare rang. mprim tal de an deaie

posib. oate combinaiile posibile cresctoare a numerelor

c 0 1 0 1

ri egale, dup valoarea

are a tuturor combinaiilor i stabilim cte combinaii belul de adevr. Pentru o nceput prima coloan a belul de adevr n dou:

Seminar Circuite Integrate Digitale Zoltan Hascsi

pentru prima jumtate completm aceast coloan cu valoarea 0, respectiv valoarea 1 pentru a doua jumtate.

a b c f 0 0 0 0 1 1 1 1

n continuare vom completa a doua coloan. Fiecare jumtate a tabelului de adevr se

mparte n dou, obinndu-se 4 sferturi ale tabelului. n primul sfert al tabelului de adevr, care este prima jumtate a jumtii de sus a acestuia, aceast coloan se completeaz cu valoarea logic 0. Pe rndurile din al doilea sfert din tabelul de adevr, care este a doua jumtate a primei jumti de tabel, coloana va avea valoarea logic 1, .a.m.d.

a b c f 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1

n fine, fiecare sfert de tabel de adevr se mparte n dou pri egale (avnd un singur rnd

n cazul unei funcii de numai 3 variabile). Dup aceeai regul se completeaz a treia coloan, alternnd valorile logice 0 i 1:

a b c f 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

Odat listate toate combinaiile de valori logice ale variabilelor funciei mai trebuie doar s

scriem n dreptul fiecrei combinaii valoarea corespunztoare a funciei, ca n exemplul urmtor:

a b c f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Seminar Circuite Integrate Digitale Zoltan Hascsi

2. Diagrama Veitch-Karnaugh Vom completa diagrama VK pentru funcia de gradul 3 din exemplul anterior. Fiecare csu de pe diagrama VK corespunde unei combinaii de valori logice ale

variabilelor funciei. Pentru o funcie logic de gradul 3 (care depinde de 3 variabile) sunt posibile 8 combinaii ale valorilor logice ale variabilelor, prin urmare diagrama VK a acesteia va avea 8 csue:

b

a

c

f

Fiecare variabil taie diagrama VK n dou regiuni egale, una corespunztoare combinaiilor

n care variabila considerat are valoarea 0, i una pentru combinaiile n care variabila considerat este 1. Desenul trebuie s indice n mod clar cum se face aceast mprire pentru a permite identificarea coordonatelor oricrei csue din diagram. Pe diagrama de mai sus fiecare linie prelungit n afara dreptunghiului delimiteaz zonele n care o anumit variabil are valori opuse. Variabila se noteaz lng acea linie n dreptul regiunii n care ea are valoarea 1. Coordonatele unei csue, adic combinaia corespunztoare de valori logice ale variabilelor funciei, se obin cu ajutorul acestor notaii din jurul diagramei, identificnd variabil cu variabil regiunea n care se plaseaz csua respectiv.

Spre exemplu csua a doua din stnga de pe rndul de jos corespunde combinaiei de valori logice (a,b,c) = (0,1,1):

b

a

c

f

a=0

c=1

b=1

Pentru a prelucra uor i rapid funciile logice de pe diagram putem eticheta fiecare csu

cu combinaia corespunztoare de valori ale variabilelor:

b

a

c

f

110 111 101 100

010 011 001 000

Aceste etichete le putem completa foarte repede dac urmrim cte o variabil pentru toate

csuele diagramei. Considernd variabila a cea mai semnificativ, vom scrie primul bit al fiecrei etichete 0 dac csua respectiv aparine regiunii a = 0, respectiv 1 dac este n regiunea a = 1:

Seminar Circuite Integrate Digitale Zoltan Hascsi

b

c

f

a 1 1 1 1

0 0 0 0

Valoarea logic a celei de-a doua variabile a funciei, b, este 1 pentru toate csuele din

stnga, respectiv 0 pentru cele din dreapta. Al doilea bit al etichetelor va fi completat cu valoarea logic a variabilei b:

b

a

c

f

1 1 1

0

1 11 0 0

1 01 00 00

n fine, ultima variabil, c, are valoarea 1 pe coloanele din centru i 0 pe cele laterale. Putem

completa astfel i ultimul bit, al treilea, al etichetelor:

b

a

f

11 11 10 10

01 01 00 00

0 1 1 0

0 1 1 0

c

Se poate acum urmri foarte uor corespondena ntre liniile tabelului de adevr i csuele

diagramei VK. Dup ce completm fiecare csu cu valoarea funciei obinem diagrama VK a acesteia:

1 1 1 0

1 0 0 0

b

a

c

f

110 111

010 011 0 000

1 100

01

01

3. Expresie algebric Pentru aceeai funcie vom exemplifica extragerea din tabelul de adevr a formei normale

disjunctive (FND) i a formei normale conjunctive (FNC), dou dintre posibilitile infinite de reprezentare a funciei cu ajutorul operatorilor logici.

Seminar Circuite Integrate Digitale Zoltan Hascsi

3.a Forma normal disjunctiv Expresia algebric sub form normal disjunctiv (FND) este o sum logic (disjuncie) a

mintermenilor funciei. Fiecrui punct din mulimea de definiie pentru care funcia are valoarea logic 1 i corespunde un mintermen n expresia FND:

a b c f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

(010) (101) (110) (111)

abc abc abc abc Fiecare mintermen se scrie ca produs logic al tuturor variabilelor funciei, dintre care sunt

negate cele care au valoarea 0 n punctul corespunztor. De exemplu, funcia de mai sus are valoarea 1 n punctul P2 = (010), mintermenul corespunztor avnd negate variabilele a i c, care au valoarea 0 n acest punct.

Expresia FND a funciei este suma logic (operatorul logic SAU) a acestor mintermeni: f = abc + abc + abc + abc

3.b Forma normal conjunctiv Expresia algebric sub form normal conjunctiv (FNC) este un produs logic (conjuncie) al

maxtermenilor funciei. Fiecrui punct din mulimea de definiie pentru care funcia are valoarea logic 0 i corespunde un maxtermen n expresia FNC:

a b c f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

(000) (001) (011) (100)

a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c Fiecare maxtermen se scrie ca sum logic a tuturor variabilelor funciei, dintre care sunt

negate cele care au valoarea 1 n punctul corespunztor. De exemplu, funcia de mai sus are valoarea 0 n punctul P1 = (001), iar n maxtermenul corespunztor variabila c este negat deoarece are valoarea 1 n acest punct.

Expresia FNC a funciei este produsul logic (operatorul logic I) al acestor maxtermeni:

f = (a+b+c) (a+b+c) (a+b+c) (a+b+c)