LICEU

Clasa a IX-a

S:L15.241. În triunghiul ABC diferenµa m surilor unghiurilor B ³iC este 30◦. În lµimea din A intersecteaz  a doua oar  cercul circumscristriunghiului ABC în punctul T . Tangenta în T intersecteaz  prelungireadiametrului ce trece prin A în punctul M . Demonstraµi c  AM = 3R, undeR este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

L cr mioara Techiu, Br ila

S:L15.246. Fie x, y, z numere reale pozitive cu proprietatea:xy + yz + zx = 2.

S  se arate c  xyz (9xyz + x+ y + z) ≤ 4.�tef nuµ Ciochin , Br ila

Clasa a X-a

S:L15.253. Ar taµi c  în orice triunghi are loc inegalitatea :

a

ma+

b

mb+

c

mc≥ 3.

(Notaµiile sunt cele cunoscute.)George-Florin �erban, Braila

S:L15.254. Ar taµi c  2x > x, pentru orice num r real x.∗ ∗ ∗

Clasa a XI-a

S:L15.264. Studiaµi convergenµa ³irului (xn)n≥0, de�nit prin x0 = 1,

x1 = −7

3³i relaµia de recurenµ :

8x3n + 8xn = 27x3n+2 − x3n+1 + (3xn+2 − xn+1)(4− 9xn+2xn+1), ∀n ≥ 0.

Adela Dimov, Br ila

S:L15.269. Fie a, b ∈ R cu proprietatea c  3a + 14b = 18a ³i5a + 8b = 12b. Ar taµi c  a < b.

Carmen Botea ³i Viorel Botea, Br ila

5

Clasa a XII-a

S:L15.273. Fie A =

[0,

1

22015

]³i x ◦ y = x+ y − 22016xy, oricare ar �

x, y ∈ R.a) Ar taµi c  (A, ◦) este monoid comutativ;b) Determinaµi toate p rµile stabile G ale lui A în raport cu legea dat ,

astfel încât (G, ◦) s  �e grup.∗ ∗ ∗

S:L15.275. Fie (G, ·) un grup. Presupunem c  exist  f : G → Ginjectiv  astfel încât x·f

(x2013 · f (y)

)= x2015 ·f (x · y) , oricare ar � x, y ∈ G.

Demonstraµi c  G este grup abelian.Carmen Botea ³i Viorel Botea, Br ila

6