SCS2-curs2

8/2/2019 SCS2-curs2

1/21

SCS II : Teoria sistemelor

Capitolul 1. Introducere

Capitolul 2. Sisteme analogice

Capitolul 3. Sisteme discreteCapitolul 4. Graful de fluenta

Capitolul 5. Analiza stabilitatiiCapitolul 6. Ecuatii de stare

SCS II , 2003-2004

8/2/2019 SCS2-curs2

2/21

2. SISTEME ANALOGICE

2.1 Caracterizarea sistemelor analogice

2.2 Analiza sistemelor analogice liniare si invariante

2.3 Sisteme analogice liniare si invariante de ordinul I si II

SCS II 2. Sisteme analogice

8/2/2019 SCS2-curs2

3/21

2.1 Caracterizarea sistemelor analogice liniare si invariante(SALI)

ecuaia difereniala n timp cu coeficieni constani;

funcia de sistem;

funcia pondere;

rspunsul indicial;

rspunsul n frecven.

n timp n frecven

SCS II - 2. Sisteme analogice

8/2/2019 SCS2-curs2

4/21

2.1 Caracterizarea sistemelor analogice SALI

Ecuaia diferenial cu coeficieni constani

pt. un SALI cu o intrare x(t) i o ieire y(t):

1 1

1 1 0 1 1 01 1

1 0 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

; , , , , , , , constante reale

n n m m

n n m mn n m m

n n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx t a a a a y t b b b b x t

dt dtdt dt dt dt

unde m n a a a b b b

+ + + + = + + + +

=

0 10

1 ( ) ( )( )

k km n

k kk kk k

d x t d y t y t b a

a dt dt = =

=

1

( ) ( )

0 0

(0) (1)

(2)

( ) ( 1)

1( ) ( ) ( )

: ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;

; ( ) ( ) ( )

n n

k n k k n k

k kn

t

t t

k k

y t b x t a y ta

unde y t y t y t y t u t y d

y t y t u t u t y d d

y t y t u t

= =

=

= = =

= =

=


8/2/2019 SCS2-curs2

5/21

8/2/2019 SCS2-curs2

6/21


Figura 2.2 Circuit RL serie

e(t)

i(t) R L

uR(t) uL(t)

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ); ( )

R L

R L

u t u t e t

di tu t R i t u t L

dt

+ =

= =

Exemplul 2.1

1 ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t tdi t

i t e t L sau i t e d R i d R dt L

= =

b)Figura 2.3 Scheme bloc pentru ecuaia de funcionare ataat unui circuit RL serie

a)

e(t) i(t)

-L

D

i(t)e(t)

-R

L

1

R

1

( )( ) ( )

di tL R i t e t

dt + =


8/2/2019 SCS2-curs2

7/21


1( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( )

( )1( ) ( ) ; ( )

R L C R b

t

b

L b C

i t i t i t i t i t u t R

du ti t u d i t C

L dt

= + + =

= =

Exemplul 2.2

2

2

( ) ( )( ) 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t t

b b

b b b b

d u t du t di tu t L C sau u t i d u d u d

dt R dt C R Ldt

= =

Figura 2.4 Circuit RLC paralel

iL

iR

iC

R

L

C

ub(t)

i

Figura 2.5 Scheme bloc pentru ecuaia de funcionare ataat unui circuit RLC paralel

C

1

a)

D

D

i(t) ub(t)L

D

-C

b)

i(t) ub(t)

R

1R

1

L

1

2

2

( ) ( )1 1 ( )( )b b b

d u t du t di tC u t

R dt L dtdt + + =


8/2/2019 SCS2-curs2

8/21


Funcia de sistem (circuit, transfer)

( )( )

( )conditii initiale nule

Y sH s

X s= pt. un SALI cu o intrare x(t) i o ieire y(t):

1 1

1 1 0 1 01 1

1

1

1

1 1 0

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

(0) (0): ( ) 0 pentru 0; 0; 0; (0) 0;

( )( )

( )

n n m m

n n m mn n m m

n

n

m m

m m

n

n n

d y t d y t dy t d x t d x t a a a a y t b b b x t

dtdt dt dt dt

d y dyunde x t t y

dtdtb s b s b s bY s

H sX s a s a

+ + + + = + + +

= < = = =

+ + + + = =

+

1

1 0

ns a s a + + +


8/2/2019 SCS2-curs2

9/21


Exemplul 2.3

Figura 2.2 Circuit RL serie

e(t)

i(t) R L

uR(t) uL(t)

1

( ) ( ) ( )

1

( ) 1( )

( )

di tL R i t e tdt

I s LH s

RU s L s R sL

+ =

= = =

+ +

Exemplul 2.4

2

2

2 22

( ) ( )1 1 ( )( )

1( )

( )1 1( )

b b

b

b

d u t du t di tC u t

R dt L dtdt

sU s RL s CH sI s RLC s L s R

s s

RC LC

+ + =

= = =

+ + + +Figura 2.4 Circuit

RLC paralel

iL

iR

iC

R

L

C

ub(t)

i


8/2/2019 SCS2-curs2

10/21


Natura funciilor de circuit:

impedan admitan

amplificare n tensiune

amplificare n curent.

( )( )

( )( )

, 1

, 1

i i

k k

p H p i n

z H z O k m

= =

= =

.

Punctele critice ale unei funcii de circuit:

polii:

zerourile:

1 2 1

1 2

1

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

m

k

m m m k

n

n n n

ii

s zb s z s z s z bB s

H sA s a s p s p s p a

s p

=

=

= = =


8/2/2019 SCS2-curs2

11/21


Exemplul 2.5

Figura 2.6 Diagrame pol-zero pentru circuitele RL serie i RLC

paralel

a) b)

Im s

Re s

H1(s)

p1

p2

H2(s)

p1

p1,2p1 p2 Re s Re sRe s

Im s Im s Im s

1 1 1

1

12

1 2

1 2 1,2 2

1 1( ) ; ; ;

( ) ;( ) ( )

1 1 1 1

; 0; ; 2 (2 )

RH s K K z p

s p L L

s zH s K

s p s p

K z z pC RC LC RC

= = = =

=

= = = =


8/2/2019 SCS2-curs2

12/21


11 12 11 1

21 22 22 2

1 2

( ) 0, 1,2, 1, 1,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ; ( ) ; ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ): ( )( )

p

r

r

l l lr r r

kkl

l X s p l l r

s s s

H s H s H sY s X s

H s H s H sY s X ss s s

H s H s H sY s X s

Y sunde H sX s

= = +

=

= = =

=

Y H X

Y X H

pt. un SALI cu intrari multiple x(t) i ieiri multiple y(t):


8/2/2019 SCS2-curs2

13/21


Exemplul 2. 6

Figura 2.7 Diport

u2(t)D

i1(t) i2(t)

u1(t)1

1

2

2

2 1

2 1

1 11 12 1

2 21 22 2

1 111 12

1 2( ) 0 ( ) 0

2 2

21 221 2( ) 0 ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ; ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ; ( )( ) ( )

U s U s

U s U s

I s Y s Y s U s

I s Y s Y s U s

I s I sY s Y s

U s U s

I s I s

Y s Y sU s U s

= =

= =

=

= =

= =


8/2/2019 SCS2-curs2

14/21


Funcia pondere (raspuns la impuls)

, 0( ) ; ( ) 1 ( ) ( )

0, 0

( ) ( )

tt t dt si x t h t

t

t h t

+

== =

pt. un SALI cu o intrare x(t) i o ieire y(t):

{ } { } { }1( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )L t H s L h t si h t L H s = = =

Observatii:


8/2/2019 SCS2-curs2

15/21


1 1

1

( )

( ) ( )

( )

m

km k

in

ni

i

s zbh t L h t a

s p

=

=

= =

Figura 2.8 Contribuia unui pol simplu la realizareafunciei pondere

Im s

Re s

t t

t t t

pi

pi

pipipi

pi* pi* pi*

t

hi(t) hi(t) hi(t)hi(t)

hi(t) hi(t)

Im s

Re s

tt

t t

hi(t) hi(t)

hi(t) hi(t)

pi*pi* pi*

hi(t) hi(t)

Figura 2.9 Contribuia polilor multipli la realizareafunciei pondere


8/2/2019 SCS2-curs2

16/21


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( )

)x x yx t M y t x t h d x t h d M h d M

h d

=

=

legatura dintre stabilitate, functia pondere si pozitia polilor la un

SALI cu o intrare x(t) i o ieire y(t):

Un sistem este stabil dac la o excitaie mrginit rspunde cu un

semnal mrginit.

Sistem asimptotic stabil= toi polii aparin semiplanului stng al

domeniuluis. Sistem neasimptotic stabil= polii aparin semiplanului stng al

domeniuluis, dar exist poli imaginari simpli

Sistem instabil = exist poli n semiplanul drept sau poli imaginari

multipli.


8/2/2019 SCS2-curs2

17/21


Influenta punctelor critice asupra proprietatilor SALI:

Polii determina stabilitatea; Zerourile - influeneaz dinamica.

Sistem de faz minim = att polii, ct i zerourile au parteareal negativ admit sisteme inverse

Sistem de faz neminim = polii au partea real negativiexist zerouri cu partea real pozitiv sau nul nu admit sisteme

inverse


8/2/2019 SCS2-curs2

18/21


( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t d

+

= =

functia pondere si convolutia la un SALI cu o intrare x(t) i o ieire

y(t):

comutativitate:

( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t =

asociativitate:

distributivitate:

proprietate referitoare

la derivare:

1 2 1 2( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( )x t h t h t x t h t h t =

1 2

1 2

( ) [ ( ) ( )]

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

x t h t h t

x t h t x t h t

+ =

= +

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )x t h t x t h t x t h t = =

Figura 2.11 Echivalene n conectarea sistemelor analogice liniare invariante

x(t) y(t)h(t)h(t) y(t)x(t)

h1(t)* h2(t) y(t)x(t)h1(t) y(t)x(t) h2(t)

h1(t)+ h2(t)y(t)x(t)y(t)

h1(t)

h2

(t)

x(t)

h(t)x(t)h(t)x(t)

a)

b)

c)

d)

dt

d

dt

d dt

tdy )(

dt

tdy )(


8/2/2019 SCS2-curs2

19/21


pentru sisteme cauzale

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(0) ( ) ( ) (0) ( ) ( )

t t

t t

y t x t h t x h t d x t h d

y x h t d y x t h d

= = = =

= + = +


8/2/2019 SCS2-curs2

20/21


Rspunsul indicial

1, 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 0

tu t si u t a t u t a t t

>=

8/2/2019 SCS2-curs2

21/21

SCS2-curs2

Documents

Transcript of SCS2-curs2